Le trasformazioni geometriche

1. AvvioEsci
ITC SoveratoITC Soverato
Proff. Santoro-MezzoteroProff. Santoro-Mezzotero
Le trasformazioni
geometriche
nel piano

2. Tour
Nozioni fondamentali sulle
trasformazioni geometriche
Fare clic sull'argomento desiderato.
Esci
Le trasformazioni nel piano
Definizioni e proprietà
Risorse e materiale aggiuntivo
Obiettivi, schede operative,
valutazione
MENUMENU

3. Menu
TOURTOUR
Esci
Le simmetrie si ritrovano in molte
opere artistiche:
Nei rosoni delle cattedrali gotiche

4. Menu
Nelle decorazioni dei vasi greciNelle decorazioni dei vasi greci
Esci

5. Menu
Nei quadri di Escher:Nei quadri di Escher:
Esci
Nella prima figura, ogni cavaliere viene trasformato in
un altro effettuando uno spostamento secondo una certa
direzione. Nella seconda figura, le immagini sono
ottenute mediante rotazioni lungo la linea orizzontale.

6. Menu
NELLE TASSELLAZIONINELLE TASSELLAZIONI
Esci
Le tassellazioni sono ottenute riempiendo il
foglio mediante trasformazioni geometriche,
senza che rimangano spazi bianchi.

7. MenuEsci
Le simmetrie sono presenti
anche in natura:
Nelle molecole
Nei fiori
Nelle stelle marine
Negli animali.

8. MenuEsci
Profili o bicchieri?
La risposta dipende da
come interpreti lo sfondo -
se bianco o nero. Il
fotografo Zeke Berman ha
creato questo disegno
usando silhouettes di
persone vere.
…e persino nelle illusioni
ottiche.

9. MenuEsci
LE SIMMETRIE SONO TRASFORMAZIONI
GEOMETRICHE
Consideriamo una figura geometrica contenuta in
un piano, ad esempio un triangolo, e uno specchio
perpendicolare a questo piano

10. MenuEsci
Vediamo nello specchio un’immagine che
assomiglia al triangolo e che tuttavia non è
del tutto identica; infatti anche se sono
identiche le dimensioni, la sinistra e la
destra risultano invertite.
L’immagine risulta speculare e cioè è
simmetrica del triangolo dato rispetto al
piano dello specchio.

11. Menu
Analoghe considerazioni valgono perAnaloghe considerazioni valgono per villa Foscarivilla Foscari
a Mira (la malcontenta di Andrea Palladio)a Mira (la malcontenta di Andrea Palladio) riflessariflessa
nello specchio d’acquanello specchio d’acqua
Esci

12. MenuEsci
I matematici dicono che esiste una
corrispondenza biunivoca tra i punti
della figura data e i punti dell’immagine.
Risulta che alcune caratteristiche sono
comuni alla figura iniziale e alla sua
immagine (ad esempio, le dimensioni),
mentre altre differiscono (ad esempio,
l’orientamento dei punti dovuto allo
scambio della sinistra con la destra).
Le proprietà comuni sono chiamate
invarianti.

13. MenuEsci
Consideriamo una grata e la sua ombra
proiettata dai raggi solari che possono essere
considerati tutti paralleli tra di loro. Anche qui
esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti
della grata e la sua ombra, ma non si
conservano né il parallelismo né le dimensioni
della grata.

14. Esci
Possiamo quindi dire che: “Una trasformazione
piana è una corrispondenza biunivoca tra i
punti del piano che fa corrispondere ad ogni
punto uno ed un solo punto del piano stesso”.
P P’
DEFINIZIONE DI
TRASFORMAZIONE PIANA
Fine

15. Fare clic sull'argomento desiderato.
MenuEsci
La traslazione La simmetria assiale
Le omotetie
I vettori
La rotazione
La simmetria centrale
LE TRASFORMAZIONILE TRASFORMAZIONI
La composizioneLa similitudine

16. Esci Menu
I VETTORII VETTORI
Un vettore è una classe di segmenti orientati aventi la stessa
direzione, lo stesso verso e la stessa lunghezza, Un vettore è
indicato con la lettera in grassetto v, oppure con B-A, dove
B è l’estremo e A è l’origine..

17. Esci Menu
Le componenti di un vettoreLe componenti di un vettore
2
3
=
=
y
x
u
u
2
2
−=
=
y
x
z
z

18. Esci
La somma di due vettoriLa somma di due vettori
regola del parallelogrammaregola del parallelogramma
Fine

19. Esci Menu
LA TRASLAZIONELA TRASLAZIONE
Una traslazione è una trasformazione del pianio in sé
completamente individuata da un vettore, ossia da:
una direzione
(lungo la quale avviene lo spostamento di ogni punto)
da un verso
su tale direzione (a ogni direzione si possono associare
due versi di percorrenza, l’uno opposto all’altro)
da una lunghezza (che
rappresenta la misura dello spostamento che subisce
ciascun punto)

20. Esci
GLI INVARIANTI DI UNAGLI INVARIANTI DI UNA
TRASLAZIONETRASLAZIONE
L’allineamento dei punti
La lunghezza dei segmenti
L’orientamento dei punti
L’ampiezza degli angoli
Il parallelismo
Le direzioni
Il rapporto tra i segmenti
Menu

21. Esci
UN ESEMPIO DI TRASLAZIONEUN ESEMPIO DI TRASLAZIONE
Menu

22. Le equazioni della traslazioneLe equazioni della traslazione
di vettoredi vettore vv
Esci Fine
y
x
vyy
vxx
+=
+=
'
'

23. LALA ROTAZIONEROTAZIONE
Esci
O
P
P’
α
La rotazione di centro O e ampiezza α è la
trasformazione del piano in sé che al punto O fa
corrispondere O e a ogni punto P≠O associa un
punto P’ in modo che d(O,P) = d(O,P’) e che
l’angolo PÔP’ abbia ampiezza α
Il centro O è l’unico
punto unito in una
rotazione
Menu

24. Invarianti della rotazioneInvarianti della rotazione
• L’allineamento dei punti
• La lunghezza dei segmenti
• L’ampiezza degli angoli
• Il parallelismo
• L’orientamento dei punti nel piano
• Il rapporto tra segmenti
Esci Menu
Non sono invece un invariante le direzioni!!!

25. Un esempio di rotazione inUn esempio di rotazione in
senso antiorario di centro Osenso antiorario di centro O
Esci Menu
O
α=45°

26. Rotazione di 90° in sensoRotazione di 90° in senso
antiorarioantiorario
Esci Menu
O

27. Rotazione di 90° in senso orarioRotazione di 90° in senso orario
Esci Menu
O

28. Rotazione di 180°Rotazione di 180°
Esci Menu

29. Le equazioni della rotazioneLe equazioni della rotazione
Se l’angolo di
rotazione è 90°, le
equazioni sono:
Se l’angolo è di
180°, le equazioni
sono:
Esci Fine



=
−=
xy
yx
'
'



−=
−=
yy
xx
'
'

30. Esci Menu
La simmetria centraleLa simmetria centrale
Per simmetria centrale di centro O si intende una
trasformazione che ad ogni punto P, diverso da O,
associa un punto P’, allineato con P ed O, in modo che
PP’ abbia O come punto medio. Il centro
O è l’unico punto unito di una simmetria centrale.
Una simmetria centrale di centro O è una rotazione di
180° attorno ad O.
Oltre agli invarianti della rotazione, la simmetria
centrale conserva le direzioni.

31. Esci Menu
Simmetria rispetto all’origineSimmetria rispetto all’origine

32. Simmetria rispetto ad un puntoSimmetria rispetto ad un punto
Esci Menu

33. Simmetria centraleSimmetria centrale
Esci Menu

34. Le equazioni della simmetriaLe equazioni della simmetria
centralecentrale
Rispetto all’origine O
di un sistema di assi
cartesiani ortogonali,
le equazioni sono:
Rispetto al centro di
coordinate (e,f), le
equazioni sono:
Esci



−=
−=
yy
xx
'
'



+−=
+−=
fyy
exx
2'
2'
Fine

35. Esci
La simmetria assialeLa simmetria assiale
Menu
La simmetria assiale rispetto alla retta r, asse
di simmetria, è una trasformazione che ad
ogni punto P del piano associa il punto P’ tale
che r sia l’asse del segmento PP’.

36. Esci
Gli invarianti della simmetria assialeGli invarianti della simmetria assiale
• L’allineamento dei punti
• La lunghezza dei segmenti
• L’ampiezza degli angoli
• Il parallelismo
• Il rapporto tra i segmenti
Non sono invarianti:
Le direzioni e L’orientamento dei punti
Menu

37. Esci
Un esempio di simmetriaUn esempio di simmetria
assiale rispetto agli assi x e y.assiale rispetto agli assi x e y.
Menu

38. Esci
Un esempio di simmetria assialeUn esempio di simmetria assiale
rispetto a una rettarispetto a una retta rr ortogonale.ortogonale.
Menu

39. Esci
Un esempio di simmetria assialeUn esempio di simmetria assiale
rispetto a una rettarispetto a una retta rr obliqua.obliqua.
Menu

40. Esci
Le equazioni della simmetriaLe equazioni della simmetria
assialeassiale
Simmetria rispetto
all’asse x:



−=
=
yy
xx
'
'
Simmetria rispetto
all’asse y:



=
−=
yy
xx
'
'
Simmetria rispetto
alla retta y=x:
Simmetria rispetto
alla retta y=-x:



=
=
xy
yx
'
'



−=
−=
xy
yx
'
'
Fine

41. Esci
LE OMOTETIELE OMOTETIE
“Si chiama omotetia di centro O e rapporto k (k≠0), la
corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che ad
ogni punto P associa il P’ tale che tra i segmenti
orientati OP e OP’ valga la relazione OP’= k OP.”
L’omotetia permette di ingrandire o ridurre una
figura, lasciandone inalterata la forma.
Le equazioni dell’omotetia di centro O e rapporto k
sono:



=
=
kyy
kxx
'
'
Menu

42. Esci
TRIANGOLI OMOTETICITRIANGOLI OMOTETICI
Menu

43. Esci
Riduzione con centro O e k = -0.5Riduzione con centro O e k = -0.5
Menu

44. Esci
Riduzione con centro P e k = 0.5Riduzione con centro P e k = 0.5
Fine

45. Esci
COMPOSIZIONE DI TRASFORMAZIONICOMPOSIZIONE DI TRASFORMAZIONI
Fine

46. Esci
SIMILITUDINESIMILITUDINE
Fine

47. Esci Menu
Materiale aggiuntivoMateriale aggiuntivo
• Test e schede operative
• Cerca in Internet
• Obiettivi del corso
• Tabella di valutazione

48. Esci Menu
Test e schede operativeTest e schede operative
Test_iniziale Scheda_0 Scheda_1 Scheda_2 scheda_3 scheda_4
In formato Word sono raccolti test e schede
di verifica utilizzate durante il corso
Verifica_finale

49. • http://www.scuoladibase.it/docs/risordid/disper/I
NF_Gall.htm
(articolo interessante sulle isometrie nell’arte in cui
si parla di Escher)
• http://www.matematicamente.it/arte/enriques.ht
m
(articolo su matematica e arte)
• http://standards.nctm.org/document/eexamples/
chap6/6.4/index.htm
(per comprendere le trasformazioni in modo
interattivo)
Esci Menu
CERCA IN INTERNET

50. Esci Menu
OBIETTIVI DEL CORSO
• Conoscere il significato di
trasformazione geometrica
• Conoscere il significato di isometria
• Individuare gli invarianti di una
trasformazione
• Classificare le trasformazioni
geometriche
• Comporre isometrie

51. Esci
Tabella di valutazioneTabella di valutazione
Giudizio Conoscenze Competenze
Scarso Manca di conoscenze Non sa operare
Mediocre
Conosce in maniera frammentaria
e/o superficiale
Sa operare solo se guidato
Sufficiente Conosce i contenuti specifici Opera in modo autonomo
Buono
Conosce i contenuti specifici in
maniera organica e consapevole
Opera in modo critico e
utilizza le varie tecniche
con sicurezza
Ottimo
Conosce i contenuti specifici in
maniera approfondita
e personale
Riesce a seguire strategie
alternative e personalizzate.
Fine