Introduzione alla retta nel piano cartesianoVoglio 10
Introduzione alla retta nel piano cartesiano. si parte da una situazione problematica risolvibile conoscendo la formula per la distanza tra due punti, ossia la determinazione dell'asse di un segmento. La soluzione geometrica del problema e poi quella algebrica permettono di congetturare che le equazioni lineari rappresentino una retta.
4. Si definisce affinità una corrispondenza biunivoca
tra punti dello stesso piano che trasformi rette in
rette conservando il parallelismo.
5. può allora essere scritta nella forma matriciale
x’ = Ax + u , in cui u = , è il vettore dell’affinità e
A = è la matrice dell’affinità il cui determinante è
diverso da 0 (condizione di non singolarità della matrice)
x’ = ax + by + p
y’ = cx + dy + q
a b
c d
Associamo a ciascun punto P (x,y) del piano in modo
biunivoco il vettore . L’affinità T di equazioni:
6. Data una trasformazione di matrice A e una superficie del
piano S, sia S’ la superficie corrispondente. Il rapporto tra S’
e S è pari al modulo del det A.
Si definisce elemento unito un elemento che corrisponde a
se stesso nella trasformazione.
7. Si definisce dilatazione o compressione di rapporto
k lungo l’asse x e di rapporto h lungo l’asse y
l’affinità:
x’ = kx
y’ = hy
k 0
0 hdi matrice: det A = kh
k ≠ 0
h ≠ 0
0
0e vettore:
con:
8. 1 0
0 3di matrice: det A = 3
x’ = x
y’ = 3y
1 0
0 ⅓di matrice: det A = ⅓
x’ = x
y’ = ⅓y
9. x’ = x + k y
y’ = y
1 k
0 1
di matrice:
det A = 1
Si definisce inclinazione lungo l’asse x di
coefficiente k la trasformazione che fa
corrispondere a ogni punto (x,y) il punto che ha la
stessa ordinata y e ascissa proporzionale.
10. x’ = x
y’ = kx + y
1 0
k 1
di matrice:
det A = 1
Si definisce inclinazione lungo l’asse y di
coefficiente k la trasformazione che fa
corrispondere a ogni punto (x,y) il punto che ha la
stessa ascissa x e ordinata proporzionale.
11. ESERCIZIO
La trasformazione di matrice muta il quadrato Q di
vertici O(0,0), A(1,0), B(1,1) e C(0,1) nel rettangolo R. Appli-
cando successivamente l’inclinazione di matrice
si ottiene il parallelogramma P. Calcolane l’area.
1 2
0 1
2 0
0 1
12.
13. La similitudine è un’affinità tra punti del piano che
mantiene costante il rapporto tra segmenti
corrispondenti.
Cioè, dati i segmenti AB e CD:
k è detto rapporto di similitudine.
14. x’ = ax + by + p
y’ = - bx + ay + q
La cui matrice associata risulta: a b
-b a
det A = a² + b² = k²
x’ = ax + by + p
y’ = bx - ay + q
La cui matrice associata risulta: a b
b -a
det A = - a² - b² = - k²
a = k cos α
b = - k sin α
a = - k cos α
b = k sin α
15. Siano C un punto del piano e a un numero reale
non nullo si definisce omotetia di centro C e
rapporto a la corrispondenza biunivoca tra i punti
del piano che a ogni punto P fa corrispondere in
modo univoco il punto P’ tale che CP’ = a CP.
x’ = ax + xC - axC
y’ = ay + yC - ayC
La matrice associata risulta: a 0
0 a
det A = a²
E il suo vettore:
xC – axC
yC - ayC
16.
17. Si definisce isometria ogni affinità tra i punti del
piano che conservi le distanze (k = 1).
La più semplice isometria è l’identità:
x’ = x
y’ = y
La cui matrice associata risulta:
1 0
0 1 det A = 1
18. Si definisce traslazione di vettore v la
corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che a
ogni punto P associa il punto P’ tale che PP’ = v
Dato il vettore v = (p;q), risulta:
x’ = x + p
y’ = y + q
La cui matrice associata risulta:
1 0
0 1 det A = 1
E il cui vettore:
20. ESERCIZIO
Dati la traslazione di vettore e il triangolo di vertici A (0,0),
B (1,0) e C (0,3), trovare i vertici di A’B’C’.
A’ (xA’, yA’) = (xA + p, yA + q) = (9, -1)
B’ (xB’, yB’) = (xB + p, yB + q) = (10, -1)
C’ (xC’, yC’) = (xC + p, yC + q) = (9, 2)
9
-1
21. Siano O un punto del piano e θ un numero reale. Si
chiama rotazione di centro O e di angolo θ la
corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che
associa il punto O il punto O stesso e che ogni
punto P distinto da O associa il punto P’ tale che
PÔP’ = θ.
x’ = x cos θ – y sin θ
y’ = x sin θ + y cos θ
La cui matrice associata risulta:
cos -sin
sin cos det A = 1
23. ESERCIZIO
Dati la rotazione di angolo θ = 90° e il triangolo di vertici A (0,0),
B (1,0) e C (0,3), trovare i vertici di A’B’C’.
A’ (xA’, yA’) = (xA cos θ - yA sin θ, xA sinθ + yA cos θ) = (0, 0)
B’ (xB’, yB’) = (xB cos θ - yB sin θ, xB sinθ + yB cos θ) = (0, 1)
C’ (xC’, yC’) = (xC cos θ - yC sin θ, xC sinθ + yC cos θ) = (-3, 0)
24. Si definisce simmetria centrale Sc rispetto a C la
corrispondenza biunivoca tra punti del piano che
associa a ogni punto P il punto P’ tale che C sia il
punto medio di PP’
x’ = 2 xC - x
y’ = 2 yC - y
La cui matrice associata risulta: -1 0
0 -1
det A = 1
2 xC
2 yC
E il suo vettore:
26. ESERCIZIO
Dati la simmetria centrale di vettore e il triangolo di vertici
A (0,0), B (1,0) e D (0,3), trovare i vertici di A’B’D’.
C (½ 8, ½ 4) = (4, 2)
A’ (xA’, yA’) = (2 xC - xA, 2 yC - yA) = (8, 4)
B’ (xB’, yB’) = (2 xC - xB, 2 yC - yB) = (7, 4)
D’ (xD’, yD’) = (2 xC - xD, 2 yC - yD) = (8, 1)
8
4
27. Si definisce simmetria rispetto a r l’affinità Sr che
lascia uniti i punti P che appartengono ad r e che
trasforma ogni punto P che non appartiene ad r in
P’ tale che r sia l’asse di PP’.
Di matrice:
det A = -1e vettore:
28. x’ = x
y’ = - y + 2 k
1 0
0 -1det A = -1
x’ = - x + 2 k
y’ = y
-1 0
0 1
det A = -1
0
2k
2k
0
30. ESERCIZIO
Dati la simmetria assiale di asse x = 4 e il triangolo di vertici
A (0,0), B (1,0) e C (0,3), trovare i vertici di A’B’C’.
A’ (xA’, yA’) = (- xA + 8, yA) = (8, 0)
B’ (xB’, yB’) = (- xB + 8, yB) = (7, 0)
C’ (xC’, yC’) = (- xC + 8, yC) = (8, 3)
31. La composizione o prodotto di due affinità T1 e T2,
rispettivamente di matrici A1 e A2 e vettori u1 e u2,
è l’affinità T2T1, la cui matrice è A = A2A1 e il cui
vettore è u = A2u1+u2.
T1: x’= A1 x + u1 e T2: x’= A2 x + u2
x Applico T1:
x’= A1 x + u1 Applico T2:
x’’= A2 (A1 x + u1) + u2 = A2 A1 x + A2 u1 + u2
MATRICE VETTORE
32.
33.
34. ESERCIZIO
Trasformare la circonferenza x²+y²-2x=0 applicando prima T:
e poi T’: . Ripetere l’esercizio applicando prima T’ e poi T.x’ = 3x
y’ = 2y
x’ = 2x
y’ = -y
35.
36. L’inversa di un’affinità T di matrice A e vettore u è
l’affinità di matrice A-1 e vettore v = -A-1 u.
x’= A x + u Moltiplico per A-1
A-1x’= A-1A x + A-1u A-1A = I
A-1x’= I x + A-1u Isolo x
x = A-1x’ - A-1u
MATRICE VETTORE