2. Si dice trasformazione del piano ogni corrispondenza biunivoca tra punti del piano. Si chiama identità la trasformazione che a ogni punto del piano associa il punto stesso: P=I(P)
3. Si dicono invarianti di una trasformazione le proprietà delle figure che si conservano una volta effettutata la trasformazione. Si dice elemento unito di una trasformazione ogni elemento del piano, punto o retta... che coincide con il suo trasformato.
4. Si dice isometria ogni trasformazione del piano che a ogni coppia di punti A e B fa corrispondere i punti A' e B' tali che siano uguali i segmenti AB e A'B': se A->A' e B->B' allora AB=A'B' Pertanto, una isometria è una corrispondenza biunivoca tra punti del piano che conserva le distanze.
5. TEOREMA 1 Se l'isometria fa corrispondere ai punti A,B,C rispettivamente i punti A',B',C', allora :
6. a. se i punti A,B,C sono allineati e C appartiene al segmento AB anche i punti A',B',C' sono allineati e C' appartiene al segmento A'B'; DIMOSTRAZIONE Siano A,B,C punti allineati e C interno ad AB, allora risulta : AC + CB = AB poiché un'isometria trasforma segmenti in segmenti di uguale lunghezza risulta : AB=A'B' , AC=A'C' , CB=C'B' quindi: A'C' + C'B' = A'B' che è la condizione di allineamento dei tre punti A',B',C' con C' interno ad A'B'.
7. b. se i punti A,B,C non sono allineati anche i punti A',B',C' non sono allineati e i triangoli ABC e A'B'C' sono congruenti; DIMOSTRAZIONE Se A'B'C' è il triangolo trasformato del triangolo ABC, essendo AB =A'B' , AC=A'C' , CB=C'B' per il 3° criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti.
8. c. la circonferenza di centro A e raggio r viene trasformata in una circonferenza avente uguale raggio e di centro il punto A' trasformato di A; DIMOSTRAZIONE Per un punto qualunque M della circonferenza data risulta AM=r, quindi il trasformato M' di M, essendo AM=A'M'=r, sta sulla circonferenza di centro A' e raggio r.
9. Proprietà invarianti 1. rette in rette; 2. rette incidenti in rette incidenti, rette parallele in rette parallele; 3. il punto medio di un segmento nel punto medio del segmento trasformato; 4. triangoli in triangoli uguali; 5. angoli in angoli uguali; 6. un poligono ABC...G in un poligono uguale A'B'C'...G', in cui il vertice A' corrisponde ad A,B' corrisponde a B,...,G' corrisponde a G; 7. circonferenze in circonferenze di uguale raggio; 8. figure in figure uguali.
10. Sono proprietà invarianti di una isometria : la lunghezza, l'allineamento, il parallelismo, l'ampiezza degli angoli, l'ortogonalità, l'area.
11. SIMMETRIA CENTRALE Si definisce simmetria centrale rispetto al punto 0 la corrispondenza biunivoca dei punti del che associa a ogni punto A il punto A' tale che 0 sia il punto medio del segmento AA'.
12. TEOREMA 2 La simmetria centrale è una isometria IPOTESI So è una simmetria centrale TESI So è una isometria DIMOSTRAZIONE Siano A' e B' i simmetrici rispettivamente dei punti A e B nella simmetria So rispetto al punto 0. I due triangoli corrispondenti AOB e A'B'O' sono uguali per il 1° criterio di uguaglianza, pertanto risulta: A'B'=AB cioè segmenti corrispondenti sono uguali, pertanto So è una isometria.
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14. SIMMETRIA ASSIALE Due punti A e A' si dicono simmetrici rispetto alla retta r, detta asse di simmetria , se la retta r è asse del segmento AA'. Si chiama simmetria assiale di asse r la trasformazione S, che associa a ogni punto A del piano il punto A' simmetrico di A rispetto a r.
