Emanuela Scavella II-E LE ISOMETRIE LE ISOMETRIE  LE ISOMETRIE  Fontwork  LE ISOMETRIE
Si dice  trasformazione  del piano ogni  corrispondenza  biunivoca  tra punti del piano. Si chiama  identità  la trasforma...
Si dicono  invarianti  di una trasformazione le proprietà delle figure che si conservano una volta effettutata la  trasfor...
Si dice  isometria  ogni trasformazione del piano che a ogni coppia di punti A e B fa corrispondere i punti A' e B'  tali ...
TEOREMA 1  Se l'isometria fa corrispondere ai  punti A,B,C  rispettivamente i punti A',B',C',  allora :
a.  se i punti A,B,C sono allineati e C appartiene al segmento AB anche i  punti A',B',C' sono allineati e C' appartiene a...
b.  se i punti A,B,C  non sono allineati anche i punti A',B',C' non sono allineati e i triangoli ABC e A'B'C' sono congrue...
c.  la circonferenza di centro A e raggio r viene trasformata in  una circonferenza avente uguale raggio e di centro il pu...
Proprietà invarianti 1. rette in rette;  2. rette incidenti in rette incidenti, rette parallele in rette parallele; 3. il ...
Sono proprietà  invarianti  di una isometria : la lunghezza, l'allineamento, il parallelismo, l'ampiezza degli angoli, l'o...
SIMMETRIA CENTRALE  Si definisce simmetria centrale rispetto al punto 0 la  corrispondenza biunivoca dei punti del che ass...
TEOREMA 2  La simmetria centrale è una isometria IPOTESI  So è una simmetria centrale  TESI  So è una isometria  DIMOSTRAZ...
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SIMMETRIA ASSIALE  Due punti A e A'  si dicono  simmetrici  rispetto alla retta r, detta  asse di simmetria , se la retta ...
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<ul><li>Proprietà  </li></ul><ul><li>Tutti i punti dell'asse di simmetria sono uniti: l'asse è quindi una </li></ul><ul><l...
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Le Isometrie

  1. 1. Emanuela Scavella II-E LE ISOMETRIE LE ISOMETRIE LE ISOMETRIE Fontwork LE ISOMETRIE
  2. 2. Si dice trasformazione del piano ogni corrispondenza biunivoca tra punti del piano. Si chiama identità la trasformazione che a ogni punto del piano associa il punto stesso: P=I(P)
  3. 3. Si dicono invarianti di una trasformazione le proprietà delle figure che si conservano una volta effettutata la trasformazione. Si dice elemento unito di una trasformazione ogni elemento del piano, punto o retta... che coincide con il suo trasformato.
  4. 4. Si dice isometria ogni trasformazione del piano che a ogni coppia di punti A e B fa corrispondere i punti A' e B' tali che siano uguali i segmenti AB e A'B': se A->A' e B->B' allora AB=A'B' Pertanto, una isometria è una corrispondenza biunivoca tra punti del piano che conserva le distanze.
  5. 5. TEOREMA 1 Se l'isometria fa corrispondere ai punti A,B,C rispettivamente i punti A',B',C', allora :
  6. 6. a. se i punti A,B,C sono allineati e C appartiene al segmento AB anche i punti A',B',C' sono allineati e C' appartiene al segmento A'B'; DIMOSTRAZIONE Siano A,B,C punti allineati e C interno ad AB, allora risulta : AC + CB = AB poiché un'isometria trasforma segmenti in segmenti di uguale lunghezza risulta : AB=A'B' , AC=A'C' , CB=C'B' quindi: A'C' + C'B' = A'B' che è la condizione di allineamento dei tre punti A',B',C' con C' interno ad A'B'.
  7. 7. b. se i punti A,B,C non sono allineati anche i punti A',B',C' non sono allineati e i triangoli ABC e A'B'C' sono congruenti; DIMOSTRAZIONE Se A'B'C' è il triangolo trasformato del triangolo ABC, essendo AB =A'B' , AC=A'C' , CB=C'B' per il 3° criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti.
  8. 8. c. la circonferenza di centro A e raggio r viene trasformata in una circonferenza avente uguale raggio e di centro il punto A' trasformato di A; DIMOSTRAZIONE Per un punto qualunque M della circonferenza data risulta AM=r, quindi il trasformato M' di M, essendo AM=A'M'=r, sta sulla circonferenza di centro A' e raggio r.
  9. 9. Proprietà invarianti 1. rette in rette; 2. rette incidenti in rette incidenti, rette parallele in rette parallele; 3. il punto medio di un segmento nel punto medio del segmento trasformato; 4. triangoli in triangoli uguali; 5. angoli in angoli uguali; 6. un poligono ABC...G in un poligono uguale A'B'C'...G', in cui il vertice A' corrisponde ad A,B' corrisponde a B,...,G' corrisponde a G; 7. circonferenze in circonferenze di uguale raggio; 8. figure in figure uguali.
  10. 10. Sono proprietà invarianti di una isometria : la lunghezza, l'allineamento, il parallelismo, l'ampiezza degli angoli, l'ortogonalità, l'area.
  11. 11. SIMMETRIA CENTRALE Si definisce simmetria centrale rispetto al punto 0 la corrispondenza biunivoca dei punti del che associa a ogni punto A il punto A' tale che 0 sia il punto medio del segmento AA'.
  12. 12. TEOREMA 2 La simmetria centrale è una isometria IPOTESI So è una simmetria centrale TESI So è una isometria DIMOSTRAZIONE Siano A' e B' i simmetrici rispettivamente dei punti A e B nella simmetria So rispetto al punto 0. I due triangoli corrispondenti AOB e A'B'O' sono uguali per il 1° criterio di uguaglianza, pertanto risulta: A'B'=AB cioè segmenti corrispondenti sono uguali, pertanto So è una isometria.
  13. 13. <ul><li>Proprietà </li></ul><ul><li>1. La simmetria centrale ha un solo punto unito: il centro O. </li></ul><ul><li>2. Tutte le rette passanti per O sono unite. </li></ul><ul><li>3. La simmetria centrale è involutoria. </li></ul><ul><li>4. Le rette che si corrispondono in una simmetria centrale sono parallele. </li></ul>
  14. 14. SIMMETRIA ASSIALE Due punti A e A' si dicono simmetrici rispetto alla retta r, detta asse di simmetria , se la retta r è asse del segmento AA'. Si chiama simmetria assiale di asse r la trasformazione S, che associa a ogni punto A del piano il punto A' simmetrico di A rispetto a r.
  15. 15. <ul><li>TEOREMA 3 La simmetria assiale è una isometria. </li></ul><ul><li>IPOTESI Sr è una simmetria assiale </li></ul><ul><li>TESI Sr è una isometria </li></ul><ul><li>DIMOSTRAZIONE </li></ul><ul><li>Siano A' e B' i simmetrici rispettivamente dei punti A e B nella </li></ul><ul><li>simmetria Sr rispetto alla retta r. I due triangoli AHB e A'B'H' sono </li></ul><ul><li>uguali avendo uguali i due cateti; infatti : </li></ul><ul><li>BH=B'H' perchè differenze di segmenti uguali; </li></ul><ul><li>AH=A'H' perchè entrambi uguali a LM. </li></ul><ul><li>Pertanto : </li></ul><ul><li>AB=A'B' </li></ul>
  16. 16. <ul><li>Proprietà </li></ul><ul><li>Tutti i punti dell'asse di simmetria sono uniti: l'asse è quindi una </li></ul><ul><li>retta unita luogo di punti uniti. </li></ul><ul><li>Tutte le rette perpendicolari all'asse sono unite, ma non costituite da punti uniti. </li></ul><ul><li>La simmetria assiale è involutoria. </li></ul><ul><li>La simmetria assiale, come tutte le isometrie, conserva le relazioni di perpendicolarità e parallelismo. </li></ul>
  17. 17. LAVORO DI EMANUELA SCAVELLA

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