Trasformazioni nel piano cartesiano. Temporaneo

1. Trasformazioni nel piano cartesiano

2. Premesse
Definizione
Si chiama trasformazione geometrica piana
la corrispondenza biunivoca che associa a punti
del piano altri punti del piano.
in simboli: indichiamo con Π (pi greco maiuscola) l'insieme
di tutti i punti del piano; la corrispondenza potrà essere
indicata con una lettera minuscola (ad esempio f) e con il
seguente simbolo
Trasformazioni
Biunivoca
ad ogni punto P
corrisponde uno e un
solo punto P’
indica l'insieme da cui
partiamo e l'insieme a cui
arriviamo
al punto P è associato il punto P'
ottenuto sostituendo le coordinate
di P nella espressione che descrive
f.

3. Premesse
.
Trasformazioni
 Esempio 1
Consideriamo la corrispondenza che associa al punto
P il punto P' ottenuto scambiando le ascisse con le
ordinate .

In simboli
dove P’=f(P)

Vediamo come agisce la trasformazione:
se P=(2;3) il punto P'=(3;2)
 se P=(1,1) il punto P’=(1,1) ovvero P’=P; in generale questo vale
per ogni punto della forma (a,a)


4. Trasformazioni
Premesse
.
Sfruttiamo l’esempio 1, per introdurre alcune terminologie:

Ogni punto/linea/figura che si ottiene mediante una trasformazione viene detta
trasformato (o immagine) del punto/linea/figura.

Data una trasformazione f definiamo P punto unito se f(P)=P (ovvero se lo lascia
fermo); definiamo r retta unita se f(r)=r

Identità la trasformazione che a ogni punto del piano associa il punto stesso

Definiamo una trasformazione involutoria se
f :P
P' e f : P '
P
per ogni
punto P. Ovvero se applicando due volte la trasformazione otteniamo l’identità.

5. Premesse
.
Trasformazioni
 Torniamo all’esempio 1
P’=f(P)



Abbiamo già osservato che per ogni P=(a,a) P’=(a,a)
Ovvero i punti (a,a) sono punti uniti per la trasformazione
Consideriamo ora la retta di equazione y=x, possiamo intuire
(vedremo dopo come provarlo) che questa è una retta unita
Infine se pensiamo di applicare due volte la trasformazione per un
punto P qualsiasi del piano otteniamo:
P( x0 , y0 )
f
ovvero è involutoria
P' ( y0 , x0 )
f
P' ' ( x0 , y0 )
P

6. Trasformazioni
Premesse
.
Due ultime definizioni:
1) Date due trasformazioni f e g tali che
e
chiamiamo trasformazione composta la trasformazione
indicheremo h(P)=g(f(P)). La indicheremo con
e
Per chiarire pensiamo di prendere un triangolo, ruotarlo di 90° e poi traslarlo.
Il triangolo finale è ottenuto dalla composizione di due trasformazioni
g
f
g(f(p))
2) Data una trasformazione t che associa ad ogni P il punto P’, la
trasformazione inversa associa al punto P’ il punto P e viene indicata
con il simbolo t 1 .
Sfruttando la composizione possiamo anche dire che

7. .
Premesse
Trasformazioni
 Le proprietà che non cambiano nelle trasformazioni
si chiamano invarianti della trasformazione
 Tra i vari esempi che possiamo fare, si osserva che
esistono trasformazioni che conservano le
distanze, altre che conservano solo gli angoli, altre
ancora che conservano il solo fatto che la figura è
chiusa.

8. Trasformazioni isometriche o isometrie
 Definizione
Chiamiamo isometria la trasformazione che
conserva le distanza; ovvero
la trasformazione f è una isometria se
d(A,B)=d(f(A),f(B))
Elenchiamo (e approfondiremo in seguito) le principali isometrie:
traslazione, rotazione, simmetria centrale e simmetria assiale
(per il momento accontentiamoci della esperienza, fatta ad esempio in CAD, per caratterizzare
ciascuna di queste trasformazioni).
Distinguiamo tra ISOMETRIE DIRETTE (traslazione, rotazione, simmetria centrale) ovvero quelle
ottenute per scivolamento ed ISOMETRIE INDIRETTE (simmetria assiale) ottenute per ribaltamento.

9. Trasformazioni isometriche o isometrie
Proprietà isometrie
Elenchiamo le proprietà delle isometrie (dimostreremo poi alcune di queste
proprietà)
Proprietà 1. Una isometria porta rette in rette
Proprietà 2. Una isometria porta rette incidenti in rette incidenti e rette
parallele in rette parallele.
Proprietà 3. Una isometria porta triangoli in triangoli
Proprietà 4. Una isometria conserva gli angoli

10. Traslazioni
Trasformazioni - Isometrie
Definizione: chiamiamo traslazione di vettore 𝒗 e indichiamo con 𝑡 𝑣 la
trasformazione che associa al punto P il punto P’ tale che PP’ coincide con il
vettore 𝑣 in modulo, direzione e verso.
In simboli
𝑡 𝑣 : 𝑃 → 𝑃′tale che 𝑃𝑃′ = 𝑣
E' facile osservare (ma noi non lo dimostriamo) che:
- La traslazione 𝑡 𝑣 è una isometria.
- La traslazione 𝑡 𝑣 porta rette parallele in rette parallele; rette incidenti in rette
incidenti; porta angoli in angoli congruenti
La traslazione 𝑡 𝑣 : (con 𝑣 ≠ 0) Non ha punti uniti; Non è involutoria
con 𝑣 = 0 coincide con l’identità
- La composizione di due traslazioni 𝑡 𝑣 , 𝑡 𝑤 è una traslazione di vettore 𝑣 ⊕ 𝑤
(dove ⊕ indica la somma tra vettori). In simboli 𝑡 𝑣 ⊕ 𝑡 𝑤 = 𝑡 𝑣⊕𝑤

11. Traslazioni
Trasformazioni - Isometrie
Tutte le proprietà sopra possono essere verificate sia con il CAD che con
GEOGEBRA. Ad esempio in GEOGEBRA esiste un comando che permette di traslare
oggetti.
In Geogebra un vettore può essere descritto:
-Mediante un segmento orientato utilizzando l’icona
che troviamo insieme a rette e segmenti
- Oppure digitando le componenti cartesiane nella riga
di inserimento con la seguente sintassi: v=(vx,vy).
Nella finestra di algebra vedremo il vettore
rappresentato con un vettore colonna.
In Geogebra la traslazione di vettore v può essere realizzata:
-Mediante il comando descritto dall’icona

12. Traslazioni
Trasformazioni - Isometrie
Per verificare le proprietà enunciate sopra possiamo, fissato un vettore,
1) Tracciare un segmento, traslarlo e poi misurare i due segmenti
2) Tracciare una retta e poi traslarla e osservare il trasformato. In particolare
a) se la retta è parallela al vettore cosa osservo?
b) se la retta è incidente con la direzione del vettore cosa osservo?
3) Tracciamo due rette e trasliamole:
a) Se le rette sono parallele cosa osservo?
b) Se le rette sono incidenti cosa osservo?
c) L’angolo individuato dalle due rette come risulta dopo la traslazione?
4) Infine definiamo due vettori v e w e il vettore somma;
a. Trasliamo il segmento (o un poligono) prima secondo v poi secondo w
b. Trasliamo ora lo stesso segmento (o poligono) secondo il vettore somma.

13. Traslazioni
Trasformazioni - Isometrie
Cerchiamo adesso l'equazioni della traslazione
𝑥′ = 𝑥 + 𝑎
Sia 𝑣 = (𝑎; 𝑏) la traslazione di vettore 𝑣 ha equazioni ′
𝑦 = 𝑦+ 𝑏
Come si ottengono: dalla definizione di traslazione di vettore 𝑣:
associamo al punto P (x;y) il punto P'(x';y') tale che 𝑃𝑃′ = 𝑣
passando alle componenti cartesiane risulterà 𝑥 ′ − 𝑥; 𝑦 ′ − 𝑦 =
𝑥′ − 𝑥 = 𝑎
(𝑎; 𝑏) e uguagliando le componenti otteniamo ′
𝑦 − 𝑦= 𝑏
Esempio 3
Nella traslazione individuata dal vettore 𝑣 = (2; −3) determiniamo il
trasformato di P(5;4).
Per ricavare P' sfruttiamo le equazioni sopra: la traslazione risulterà
𝑥′ = 𝑥 + 2
𝑥′ = 5 + 2
e sostituiamo le coordinate di P ′
𝑦′ = 𝑦 − 3
𝑦 =4−3

14. Traslazioni
Sia 𝑣 = (𝑎; 𝑏) la traslazione di vettore 𝑣 ha equazioni
Trasformazioni - Isometrie
𝑥′ = 𝑥 + 𝑎
𝑦′ = 𝑦 + 𝑏
Esempio 4
Nella traslazione individuata dal vettore 𝑣 = (2; −3) determiniamo il trasformato della retta 𝑦 = −2𝑥
Da quanto detto sopra: otterremo una retta (poichè le isometrie portano rette in rette) parallela alla precedente.
Possiamo procedere in due modi:
Modo I:
descriviamo il generico punto P appartenente alla retta, P(t;-2t).
𝑥′ = 𝑥 + 2
scriviamo l'equazione della traslazione
𝑦′ = 𝑦 − 3
𝑥′ = 𝑡 + 2
ricaviamo il trasformato di P: P'
𝑦 ′ = −2𝑡 − 3
per ricavare l'equazione della retta trasformata ricaviamo il parametro t da una equazione e sostituiamo
𝑡 = 𝑥′ − 2
nell'altra
e otteniamo 𝑦 ′ = −2𝑥 ′ − 7
′
𝑦 = −2 𝑥 ′ − 2 − 3
Modo II:
𝑥′ = 𝑥 + 2
𝑥 = 𝑥′ − 2
scriviamo l'equazione della traslazione
e ricaviamo x e y;
′
𝑦 = 𝑦−3
𝑦 = 𝑦′ + 3
′
sostituiamo nell'equazione della retta 𝑦 = −2𝑥 e ricaviamo 𝑦 + 3 = −2 𝑥 ′ − 2 ;
l'equazione 𝑦 ′ = −2𝑥 ′ − 7 è la retta traslata.
Attenzione: se vogliamo rappresentare la retta nello stesso sistema di riferimento sostituiremo alla x' l'incognita x e
alla y' l'incognita y.

15. Traslazioni
Sia 𝑣 = (𝑎; 𝑏) la traslazione di vettore 𝑣 ha equazioni
Trasformazioni - Isometrie
𝑥→ 𝑥− 𝑎
𝑥 = 𝑥+ 𝑎
sostituzione associata 𝑦 → 𝑦 − 𝑏
′
𝑦 = 𝑦+ 𝑏
′
Casi particolari: se a=0 traslazione verticale; se b=0 traslazione orizzontale
Esempio 6: traslazioni e rette
consideriamo una retta r passante per l'origine, ad esempio y=2x. Sottoponiamo tale retta ad una
traslazione di vettore (0;q)
Per ottenere l'equazione della retta trasformata consideriamo la
sostituzione associata
𝑥→𝑥
𝑦 →𝑦 −𝑞
e si ricava l'equazione della retta
ottenuta traslando r
𝑦 = 2𝑥
𝑒𝑞 .𝑑𝑖 𝑟
𝑥 →𝑥
𝑦 →𝑦 −𝑞
𝑦 − 𝑞 = 2𝑥 → 𝑦 = 2𝑥 + 𝑞
𝑒𝑞 .𝑑𝑖 𝑠
Viceversa mediante la traslazione inversa di vettore (0;-q)
dall'equazione y=2x+q otteniamo y=2x
consideriamo una retta r non passante per l'origine e non parallela agli assi (ad esempio y=-2x+q).
Sia Q(0;q) il punto in cui la retta incontra l'asse y. Consideriamo la traslazione del sistema di
riferimento che porta l'origine in Q
𝑥= 𝑋
. Nel sistema QXY la retta passa per l'origine Q e avrà equazione Y=2X; applichiamo ora
𝑦= 𝑞+ 𝑌
la traslazione e otteniamo l'equazione della stessa retta nel sistema Oxy
𝑌 = 2𝑋
𝑒𝑞 .𝑑𝑖 𝑟
𝑋=𝑥
𝑌=𝑦 −𝑞
𝑦 − 𝑞 = 2𝑥 → 𝑦 = 2𝑥 + 𝑞
𝑒𝑞 .𝑑𝑖 𝑠

16. Traslazioni
Sia 𝑣 = (𝑎; 𝑏) la traslazione di vettore 𝑣 ha equazioni
Trasformazioni - Isometrie
𝑥→ 𝑥− 𝑎
𝑥 = 𝑥+ 𝑎
sostituzione associata 𝑦 → 𝑦 − 𝑏
′
𝑦 = 𝑦+ 𝑏
′
Casi particolari: se a=0 traslazione verticale; se b=0 traslazione orizzontale
Esempio 7: traslazione di circonferenze
Vedi esercizio guida pag. 287 n. 277 ; svolgiamo l'esercizio n. 318:
Dati iniziali circonferenza 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4 = 0 ; nuovo centro C(3;-3)
Obiettivo: determinare la traslazione e l'equazione della circonferenza traslata
Svolgimento: Poiché la traslazione conserva le distanze, porta circonferenze in circonferenze; pertanto:
1)individuiamo la trasformazione (o traslazione) che porta il centro della circonferenza 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4 = 0 nel
punto C.
𝑥′ = 𝑥 + 𝑎
per
𝑦′ = 𝑦 + 𝑏
3=0+ 𝑎
determinare a e b imponiamo che il trasformato di (0;0) risulti (3;-3); sostituendo otteniamo
e ricaviamo
−3 = 0 + 𝑏
𝑥′ = 𝑥 + 3
che la traslazione cercata è ′
𝑦 = 𝑦−3
Il centro della circonferenza 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4 = 0 è (0;0); l'equazione della traslazione è
2) Per ricavare l'equazione della circonferenza traslata scriviamo la sostituzione associata
𝑥 = 𝑥′ − 3
e operiamo la
𝑦 = 𝑦′ + 3
sostituzione nell'equazione della circonferenza
𝑥2 + 𝑦2 − 4 = 0
𝑒𝑞 .𝑐𝑖𝑟𝑐𝑜𝑛𝑓
𝑥=𝑥′ −3
𝑦=𝑦′ +3
𝑥′ − 3
2
+
𝑦′ + 3
2
− 4 = 0 → 𝑥′2 + 𝑦′2 − 6𝑥 ′ + 6𝑦 ′ + 14 = 0
𝑒𝑞 .𝑐𝑖𝑟𝑐𝑜𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑧𝑎
𝑡𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑡𝑎
3) Per rappresentare la circonferenza traslata sul nostro piano Oxy occorre "togliere gli apici"
Si osserva che se calcoliamo il centro e il raggio della nuova circonferenza questi verificano le richieste
dell'esercizio.

17. Traslazioni
Sia 𝑣 = (𝑎; 𝑏) la traslazione di vettore 𝑣 ha equazioni
Trasformazioni - Isometrie
𝑥→ 𝑥− 𝑎
𝑥 = 𝑥+ 𝑎
sostituzione associata 𝑦 → 𝑦 − 𝑏
′
𝑦 = 𝑦+ 𝑏
′
Casi particolari: se a=0 traslazione verticale; se b=0 traslazione orizzontale
Possiamo ripetere gli esercizi visti traslando ad esempio alcune funzioni
-Esponenziali
-Logaritmiche
Se in particolare trasliamo con vettori del tipo (0,b) e (a,0) come si
modificano le equazioni delle funzioni?
Possiamo generalizzare?

18. Traslazioni
Trasformazioni - Isometrie
Sistema di riferimento
Traslazione di un sistema di riferimento
Consideriamo un sistema di riferimento di assi cartesiani ortogonali: Oxy.
In alcuni casi è utile cambiare il sistema di riferimento, cioè riferire i punti di una certa figura anziché al
sistema Oxy ad un nuovo sistema di riferimento che per comodità indichiamo con OXY.
Vediamo ora il caso della traslazione; per quanto detto sopra: otterremo un sistema di riferimento
ortogonale (poiché la traslazione conserva gli angoli) con assi paralleli a quelli di Oxy
Con riferimento alla figura
Indichiamo con (a;b) le
coordinate della nuova origine O'
nel sistema di riferimento Oxy;
consideriamo un generico
punto P di coordinate (x;y) nel
vecchio sistema Oxy e di
coordinate (X;Y) nel nuovo sistema
O'XY;

19. Traslazioni
Trasformazioni - Isometrie
Sistema di riferimento
Possiamo ricavare le seguenti relazioni
𝑥 = 𝑂𝐾 = 𝑂𝑁 + 𝑁𝐾 = 𝑎 + 𝑂′𝐻 = 𝑎 + 𝑋
𝑥 = 𝑂𝑇 = 𝑂𝑀 + 𝑀𝑇 = 𝑏 + 𝑂′𝑆 = 𝑏 + 𝑌
Concludendo le relazioni tra le vecchi e le nuove coordinate del generico punto P risultano
inverse risultano
𝑋= 𝑥− 𝑎
𝑌= 𝑦− 𝑏
𝑥= 𝑎+ 𝑋
e le
𝑦= 𝑏+ 𝑌

20. Traslazioni
Trasformazioni - Isometrie
Sistema di riferimento
Osservazioni:
1) a questo stesso risultato si può arrivare ragionando sui vettori:
(X;Y) sono le componenti del vettore 𝑂′𝑃 nel sistema O'XY; (x;y) sono le componenti del vettore 𝑂𝑃
nel sistema Oxy.
tra i due vettori sussiste la seguente relazione (letta in Oxy) 𝑂𝑃 = 𝑂𝑂′⨁𝑂′𝑃.
Fissati i versori fondamentali di Oxy, possiamo scrivere la relazione sopra per componenti
𝑥; 𝑦 = (𝑎; 𝑏)⨁(X;y)=(a+X;b+Y).
Poiché, fissati i versori, i due vettori sono uguali se hanno uguali le componenti possiamo ricavare
𝑥= 𝑎+ 𝑋
𝑦= 𝑏+ 𝑌
Viceversa possiamo affermare che letto nel sistema O'XY il vettore 𝑂′𝑃 = 𝑂𝑃 ⊝ 𝑂𝑂′ e ricavare
𝑋= 𝑥− 𝑎
𝑌= 𝑦− 𝑏
2) E' importante osservare che nei ragionamenti sopra il piano ed il punto P restano fissi, mentre è il
sistema di riferimento che si muove mediante la tralsazione. Invece nelle osservazioni fatte all'inizio di
questa parte la traslazione era un movimento dei punti del piano: riferendo tale piano ad un unico sistema
di assi cartesiani si poteva pensare che fossero i punti a muoversi.