Lavoro di gruppo

1. AvvioEsci
Le trasformazioni
geometriche
nel piano

2. Tour
Nozioni fondamentali sulle
trasformazioni geometriche
Fare clic sull'argomento desiderato.
Esci
Le trasformazioni nel piano
Definizioni e proprietà
MENU

3. Menu
TOUR
Esci
Le simmetrie si ritrovano in molte
opere artistiche:
Nei rosoni delle cattedrali gotiche

4. Menu
Nelle decorazioni dei vasi greci
Esci

5. Menu
Nei quadri di Escher:
Esci
Nella prima figura, ogni cavaliere viene trasformato in
un altro effettuando uno spostamento secondo una certa
direzione. Nella seconda figura, le immagini sono
ottenute mediante rotazioni lungo la linea orizzontale.

6. Menu
NELLE TASSELLAZIONI
Esci
Le tassellazioni sono ottenute riempiendo il
foglio mediante trasformazioni geometriche,
senza che rimangano spazi bianchi.

7. MenuEsci
Le simmetrie sono presenti
anche in natura:
❖Nelle molecole
❖Nei fiori
❖Nelle stelle marine
❖Negli animali.

8. MenuEsci
Profili o bicchieri?
La risposta dipende da
come interpreti lo sfondo -
se bianco o nero. Il
fotografo Zeke Berman ha
creato questo disegno
usando silhouettes di
persone vere.
…e persino nelle illusioni
ottiche.

9. MenuEsci
LE SIMMETRIE SONO TRASFORMAZIONI
GEOMETRICHE
Consideriamo una figura geometrica contenuta in
un piano, ad esempio un triangolo, e uno specchio
perpendicolare a questo piano

10. MenuEsci
Vediamo nello specchio un’immagine che
assomiglia al triangolo e che tuttavia non è
del tutto identica; infatti anche se sono
identiche le dimensioni, la sinistra e la
destra risultano invertite.
L’immagine risulta speculare e cioè è
simmetrica del triangolo dato rispetto al
piano dello specchio.

11. Menu
Analoghe considerazioni valgono per villa Foscari
a Mira (la malcontenta di Andrea Palladio) riflessa
nello specchio d’acqua
Esci

12. MenuEsci
I matematici dicono che esiste una
corrispondenza biunivoca tra i punti
della figura data e i punti dell’immagine.
Risulta che alcune caratteristiche sono
comuni alla figura iniziale e alla sua
immagine (ad esempio, le dimensioni),
mentre altre differiscono (ad esempio,
l’orientamento dei punti dovuto allo
scambio della sinistra con la destra).
Le proprietà comuni sono chiamate
invarianti.

13. MenuEsci
Consideriamo una grata e la sua ombra
proiettata dai raggi solari che possono essere
considerati tutti paralleli tra di loro. Anche qui
esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti
della grata e la sua ombra, ma non si
conservano né il parallelismo né le dimensioni
della grata.

14. Esci
Possiamo quindi dire che: “Una trasformazione
piana è una corrispondenza biunivoca tra i
punti del piano che fa corrispondere ad ogni
punto uno ed un solo punto del piano stesso”.
P P’
DEFINIZIONE DI
TRASFORMAZIONE PIANA
Fine

15. Fare clic sull'argomento desiderato.
MenuEsci
La traslazione La simmetria assiale
Le omotetieLa rotazione
La simmetria centrale
LE TRASFORMAZIONI
La composizioneLa similitudine

16. Esci Menu
LA TRASLAZIONE
Una traslazione è una trasformazione del pianio in sé
completamente individuata da un vettore, ossia da:
una direzione (lungo la quale avviene lo spostamento
di ogni punto)
da un verso su tale direzione (a ogni direzione si
possono associare due versi di percorrenza, l’uno
opposto all’altro)
da una lunghezza (che rappresenta la misura dello
spostamento che subisce ciascun punto)

17. Esci
GLI INVARIANTI DI UNA
TRASLAZIONE
❖L’allineamento dei punti
❖La lunghezza dei segmenti
❖L’orientamento dei punti
❖L’ampiezza degli angoli
❖Il parallelismo
❖Le direzioni
❖Il rapporto tra i segmenti
Menu

18. Esci
UN ESEMPIO DI TRASLAZIONE
Menu

19. Le equazioni della traslazione
di vettore v
Esci Fine
y
x
vyy
vxx


'
'

20. LA ROTAZIONE
Esci
O
P
P’
α
La rotazione di centro O e ampiezza α è la
trasformazione del piano in sé che al punto O fa
corrispondere O e a ogni punto P≠O associa un
punto P’ in modo che d(O,P) = d(O,P’) e che
l’angolo PÔP’ abbia ampiezza α
Il centro O è l’unico
punto unito in una
rotazione
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21. Invarianti della rotazione
• L’allineamento dei punti
• La lunghezza dei segmenti
• L’ampiezza degli angoli
• Il parallelismo
• L’orientamento dei punti nel piano
• Il rapporto tra segmenti
Esci Menu
Non sono invece un invariante le direzioni!!!

22. Un esempio di rotazione in
senso antiorario di centro O
Esci Menu
O
α=45°

23. Rotazione di 90° in senso
antiorario
Esci Menu
O

24. Rotazione di 90° in senso orario
Esci Menu
O

25. Rotazione di 180°
Esci Menu

26. Le equazioni della rotazione
Se l’angolo di
rotazione è 90°, le
equazioni sono:
Se l’angolo è di
180°, le equazioni
sono:
Esci Fine





xy
yx
'
'





yy
xx
'
'

27. Esci Menu
La simmetria centrale
Per simmetria centrale di centro O si intende una
trasformazione che ad ogni punto P, diverso da O,
associa un punto P’, allineato con P ed O, in modo che
PP’ abbia O come punto medio. Il centro
O è l’unico punto unito di una simmetria centrale.
Una simmetria centrale di centro O è una rotazione di
180° attorno ad O.
Oltre agli invarianti della rotazione, la simmetria
centrale conserva le direzioni.

28. Esci Menu
Simmetria rispetto all’origine

29. Simmetria rispetto ad un punto
Esci Menu

30. Simmetria centrale
Esci Menu

31. Le equazioni della simmetria
centrale
Rispetto all’origine O
di un sistema di assi
cartesiani ortogonali,
le equazioni sono:
Rispetto al centro di
coordinate (e,f), le
equazioni sono:
Esci





yy
xx
'
'





fyy
exx
2'
2'
Fine

32. Esci
La simmetria assiale
Menu
La simmetria assiale rispetto alla retta r, asse
di simmetria, è una trasformazione che ad
ogni punto P del piano associa il punto P’ tale
che r sia l’asse del segmento PP’.

33. Esci
Gli invarianti della simmetria assiale
• L’allineamento dei punti
• La lunghezza dei segmenti
• L’ampiezza degli angoli
• Il parallelismo
• Il rapporto tra i segmenti
Non sono invarianti:
Le direzioni e L’orientamento dei punti
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34. Esci
Un esempio di simmetria
assiale rispetto agli assi x e y.
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35. Esci
Un esempio di simmetria assiale
rispetto a una retta r ortogonale.
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36. Esci
Un esempio di simmetria assiale
rispetto a una retta r obliqua.
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37. Esci
Le equazioni della simmetria
assiale
Simmetria rispetto
all’asse x:





yy
xx
'
'
Simmetria rispetto
all’asse y:





yy
xx
'
'
Simmetria rispetto
alla retta y=x:
Simmetria rispetto
alla retta y=-x:





xy
yx
'
'





xy
yx
'
'
Fine

38. Esci
LE OMOTETIE
“Si chiama omotetia di centro O e rapporto k (k≠0), la
corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che ad
ogni punto P associa il P’ tale che tra i segmenti
orientati OP e OP’ valga la relazione OP’= k OP.”
L’omotetia permette di ingrandire o ridurre una
figura, lasciandone inalterata la forma.
Le equazioni dell’omotetia di centro O e rapporto k
sono:





kyy
kxx
'
'
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39. Esci
TRIANGOLI OMOTETICI
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40. Esci
Riduzione con centro O e k = -0.5
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41. Esci
Riduzione con centro P e k = 0.5
Fine

42. Esci
COMPOSIZIONE DI TRASFORMAZIONI
Fine

43. Esci
SIMILITUDINE
Fine