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Quadrilateri e isometrie
Gregori Eleonora, Iannelli Ilaria, Marini Luca,
La Rocca Serena e Vadini Samuele.
Liceo "C. D'Ascanio"-Montesilvano
1F
A.s. 2021/2022
Trapezi
Un trapezio è una figura composta da 4
lati (quadrilatero).
Una figura può essere definita tale
quando troviamo un quadrilatero che
ha una sola coppia di lati paralleli. Essi
sono detti basi del trapezio. Non
essendo congruenti, però, sono distinti
in "base maggiore" e "base minore". Gli
altri due lati invece vengono chiamati
lati obliqui, mentre i due segmenti
perpendicolari alla base si chiamano
altezze.
Terminologia
• Lati consecutivi e lati opposti: due lati di un
quadrilatero che hanno un vertice in comune si dicono
consecutivi, due lati non consecutivi si dicono opposti.
• Angoli adiacenti e angoli opposti: due angoli di un
quadrilatero che hanno un lato in comune si
dicono adiacenti a quel lato. Due angoli non adiacenti
si dicono opposti.
• Vertici consecutivi e vertici opposti: due vertici di un
quadrilatero appartenenti a uno stesso lato si
dicono consecutivi, due vertici che non appartengono a
uno stesso lato si dicono opposti.
Tipi di trapezio
Esistono 3 vari tipi di trapezio e sono:
• trapezio isoscele: quando i lati obliqui sono tra loro
congruenti
• trapezio rettangolo: quando uno dei lati obliqui è
perpendicolare alle basi
• trapezio scaleno: quando i quattro lati sono diversi
Parallelogramma
Parallelogramma è un quadrilatero
che ha i lati opposti paralleli.
Poiché i parallelogrammi hanno
due coppie di lati paralleli.
In ogni parallelogramma:
A. Lati opposti sono congruenti.
B. Angoli opposti sono congruenti.
C. Diagonali si intersecano nel loro
punto medio.
Rettangoli,
rombi e
quadrati
Rettangoli, rombi e quadrati sono
parallelogrammi.
Un rettangolo è un quadrilatero che
ha tutti gli angoli retti;
In un rettangolo gli angoli opposti
sono congruenti, quindi ogni
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incontrano nel loro punto medio;
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N.8 Se un quadrilatero ha i quattro angoli
congruenti, allora è un rettangolo.
N.9 Se un parallelogramma ha le diagonali
congruenti, allora è un rettangolo.
Un parallelogramma è un rettangolo se e solo
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sono quindi caratterizzati, nell'insieme dei
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Un rombo è un quadrilatero che
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I rombi sono caratterizzati dal
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Un parallelogramma è un rombo se è
verificata una delle seguenti condizioni:
A) due lati consecutivi congruenti;
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Teorema 11
Quadrati
Un quadrato è un quadrilatero che ha gli
angoli retti e tutti i lati congruenti.
Avendo sia quattro angoli e lati
congruenti possiamo definirlo anche un
rombo.
Valgono sia le proprietà del rombo sia
quelle dei rettangoli soprattutto per le
diagonali, perpendicolari e le bisettrici
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Teorema 12. Le diagonali di un quadrato
sono congruenti, perpendicolari e
bisettrici degli angoli interni del
quadrato.
Teorema 13
Un parallelogramma è un quadrato se è
verificata una delle seguenti condizioni:
A) le diagonali sono congruenti e
perpendicolari;
B) le diagonali sono congruenti e una di esse
è bisettrice di un angolo interno del
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Teorema 13
Talete: biografia
Talete nacque a Mileto nel 625 a.C. ed
è considerato uno dei sette saggi della
Grecia antica.
• Talete veniva identificato come il primo
filosofo per aver indicato come principio
originario di tutte le cose l'acqua
• Talete era un ottimo astronomo e pare che
abbia predetto un’eclissi solare verificatasi
durante una battaglia tra Medi e Lidi.
• Lui era un valente geometra, e si narra che
sia riuscito a calcolare l’altezza delle
piramidi misurando la loro ombra.
Talete è deceduto verso il 547 a Mileto, mentre
assisteva ad una competizione sportiva.
Teorema di Talete
Dato un fascio di rette parallele
tagliate da due trasversali su di esse
vengono a formarsi due classi di
segmenti ordinatamente
proporzionali.
Corollario del teorema
La parallela tracciata dal punto
medio di un lato di un triangolo a
uno degli altri due lati incontra il
terzo lato nel suo punto medio.
Dimostrazione del teorema
di Talete
Dimostrazione:
Conduciamo da A la parallela ad r’ e indichiamo
con E il suo punto d’intersezione con b.
Conduciamo da C la parallela ad r’ e indichiamo
con F il suo punto d’intersezione con d.
I due triangoli ABE e CDF sono congruenti per il
II criterio di congruenza dei triangoli
Pertanto AE ≅ CF
Osserviamo AEB’A’ e CFD′C′ sono due
parallelogrammi (hanno i lati opposti paralleli)
Di conseguenza: A′B′ ≅ AE e CF ≅ C′D′
Per la proprietà transitiva si ha: A′B′ ≅ C′D′
Le
trasformazioni
geometriche
Si chiama trasformazione geometrica
ogni funzione biunivoca che associa a
ogni punto un altro punto dello stesso
piano.
Permettono di trasformare una
figura geometrica in un'altra aprendo
nuovi orizzonti nella geometria
Gli elementi uniti di una trasformazione
Una figura si dice unità rispetto a una data trasformazione se la sua
corrispondente è la trasformazione stessa.
La trasformazione che associa a ogni punto P del piano il punto P
stesso si chiama Trasformazione indentità o identica. Ogni punto del
piano è unito rispetto alla trasformazione identica.
Per capire se un elemento è unito bisogna immaginare di piegare un
foglio lungo la retta che divide i semipiani: se gli elementi combaciano
allora saranno uniti.
Proprietà invarianti delle trasformazioni
Si dice che una certa proprietà è un invariante di una
trasformazione se, per ogni figura che gode di quella proprietà, anche
la sua corrispondente gode della stessa proprietà.
Gli invarianti possono essere l’allineamento dei punti, la lunghezza
dei segmenti, l’ampiezza degli angoli, il parallelismo ecc…
Per esempio gli ingrandimenti hanno come invariante le ampiezze
degli angoli ma non hanno come invariante la lunghezza dei lati.
Trasformazione inversa
Una trasformazione è una
funzione biunivoca, esiste la sua
inversa, che è ancora una
trasformazione geometrica.
Trasformazione involutoria
Una trasformazione che, applicata
due volte, coincide con la
trasformazione identica, si dice
involutoria.
Isometrie
Un'isometria è una qualsiasi
trasformazione geometrica definita nel
piano o nello spazio che mantiene
inalterate le caratteristiche misurabili
di una figura.
Possono essere classificate in isometrie
inverse e in isometrie dirette:
• Se sono in senso orario, l'isometria è
diretta
• Se sono in senso antiorario,
l'isometria è inversa
Un esempio di isometria inversa
Un esempio di isometria diretta
Proprietà
delle
isometrie
Le isometrie hanno delle proprietà fondamentali e sono:
1. Una isometria trasforma punti allineati in punti
allineati.
2. Una isometria trasforma una coppia di rette
parallele in una coppia di rette parallele.
3. Un'isometria trasforma una coppia di rette
incidenti in una coppia di rette incidenti e il punto
di intersezione della prima coppia di rette ha come
immagine nell'isometria il punto di intersezione
delle loro corrispondenti nell'isometria stessa
4. Una isometria trasforma un angolo in un angolo. I
lati e il vertice dell'angolo trasformato sono le
immagini dei lati e del vertice dell'angolo originario
5. Una isometria trasforma un angolo in un angolo a
esso congruente
Classificazione delle isometrie
Ogni isometria è la composizione di al più tre simmetrie
assiali.
Per stabilire se esiste altre isometrie oltre a quelle che
abbiamo presentato, basta stabilire quali isometrie si
ottengono dalla composizione di due o tre simmetrie
assiali.
Le uniche isometrie nuove sono quelle che provengono
dalla composizione di una simmetria assiale o di una
traslazione: esse vengono chiamate glissosimmetrie
Simmetria
assiale
La trasformazione che, data una retta
r nel piano, associa ogni punto P il
punto P', simmetrico di P rispetto a r,
si chiama simmetria assiale rispetto
alla retta r.
Composizione
di simmetrie
assiali con assi
paralleli
La trasformazione composta di due
simmetrie assiali con assi paralleli è
una traslazione di vettore
perpendicolare agli assi, con verso dal
primo al secondo asse, e modulo uguale
al doppio della distanza tra gli assi.
Composizione
di simmetrie
assiali con assi
incidenti
La trasformazione composta di due
simmetrie assiali con assi incidenti in
O è una rotazione avente centro i O e
angolo di rotazione, orientato dal
primo al secondo asse, di ampiezza
uguale al doppio dell'angolo formato
dai due assi
La simmetria assiale è una isometria
Ogni simmetria assiale è una isometria, questo comporta
delle proprietà invarianti:
- l'allineamento dei punti
- la lunghezza dei segmenti
- l'incidenza e il parallelismo tra le rette
- l'ampiezza degli angoli
Le simmetrie assiali non conservano invece le direzioni e
l'orientamento delle figura.
Tutti i punti appartenenti all'asse di simmetria sono uniti.
Quindi l'asse di simmetria è una retta unita.
Figura con assi di simmetria
Una figura che risulta unita nella simmetria rispetto a una
retta r si dice simmetrica rispetta a una retta r.
La retta r si chiama asse di simmetria della figura.
Simmetrie centrali
Dato un punto O, diciamo simmetrico di un punto P rispetto ad O:
- Il punto P1 tale che il suo punto pedio PP1 sia O, se P è diverso da O
- il punto P stesso, se P coincide con O
Si chiama simmetria centrale di centro O la trasformazione che associa a ogni
punto P del piano il suo simmetrico rispetto ad O.
Per individuare la corrispondente di una figura in una simmetria centrale basta
individuare i corrispondenti degli elementi che individuano la figura.
Simmetrie centrali
Ogni simmetria centrale è un’isometria.
Invarianti di una simmetria centrale
- Allineamento dei punti
- Incidenza e parallelismo tra le rette
- Lunghezza dei segmenti e ampiezza
degli angoli
- Direzioni
- Orientamento delle figure
Le traslazioni
Si chiama traslazione di vettore la trasformazione che associa a ogni
punto P del piano il punto P¹ tale che PP¹ abbia la stessa direzione, mi
stesso verso e lo stesso modulo di v.
Osservazioni sulle traslazioni
A. La traslazione di vettore nullo lascia fermo ogni punto del piano,
quindi coincide con l’identità.
B. L’inversa di una traslazione di vettore v è la traslazione
individuata dal vettore –v , opposto di v.
La traslazione è un’isometria
Proprietà delle traslazioni
Le traslazioni conservano:
- l’allineamento dei punti
- L’incidenza e il parallelismo tra le rette
- La lunghezza dei segmenti e l’ampiezza
degli angoli
- Le direzioni
- L’orientamento delle figure
Elementi uniti
Nessun punto è unito rispetto a una
traslazione. Ci sono invece infinite rette
unite (tutte quelle che hanno la stessa
direzione di v).
Rotazioni
Dato un angolo orientato a , si dice
rotazione di centro O e angolo di
rotazione a la trasformazione che associa
a ogni punto P il punto P’ che soddisfa le
seguenti condizioni:
• l’angolo POP¹, orientato in modo che OP
sia il primo lato, ha la stessa ampiezza e lo
stesso orientamento di a
• OP congOP.
Quando si assegna l’angolo di rotazione,
l'ampiezza dell’angolo è preceduta da + se
l’angolo è orientato in senso antiorario e –
se l’angolo è orientato in senso orario.
Osservazioni sulle rotazioni
A. Una rotazione di angolo nullo lascia «fermo» ogni punto del
piano e coincide con la trasformazione identica.
B. Una rotazione di 180° coincide con una simmetria avente centro
nel centro di rotazione.
C. L’inversa di una rotazione di centro O e angolo di rotazione a è
la rotazione che ha centro in O e angolo di rotazione congruente
ad a ma orientato in verso opposto.
Le rotazioni sono isometrie
Grazie per
l’attenzione!

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Lavoro di matematica su isometrie e quadrilateri

  • 1. Quadrilateri e isometrie Gregori Eleonora, Iannelli Ilaria, Marini Luca, La Rocca Serena e Vadini Samuele. Liceo "C. D'Ascanio"-Montesilvano 1F A.s. 2021/2022
  • 2. Trapezi Un trapezio è una figura composta da 4 lati (quadrilatero). Una figura può essere definita tale quando troviamo un quadrilatero che ha una sola coppia di lati paralleli. Essi sono detti basi del trapezio. Non essendo congruenti, però, sono distinti in "base maggiore" e "base minore". Gli altri due lati invece vengono chiamati lati obliqui, mentre i due segmenti perpendicolari alla base si chiamano altezze.
  • 3. Terminologia • Lati consecutivi e lati opposti: due lati di un quadrilatero che hanno un vertice in comune si dicono consecutivi, due lati non consecutivi si dicono opposti. • Angoli adiacenti e angoli opposti: due angoli di un quadrilatero che hanno un lato in comune si dicono adiacenti a quel lato. Due angoli non adiacenti si dicono opposti. • Vertici consecutivi e vertici opposti: due vertici di un quadrilatero appartenenti a uno stesso lato si dicono consecutivi, due vertici che non appartengono a uno stesso lato si dicono opposti.
  • 4. Tipi di trapezio Esistono 3 vari tipi di trapezio e sono: • trapezio isoscele: quando i lati obliqui sono tra loro congruenti • trapezio rettangolo: quando uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi • trapezio scaleno: quando i quattro lati sono diversi
  • 5. Parallelogramma Parallelogramma è un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli. Poiché i parallelogrammi hanno due coppie di lati paralleli. In ogni parallelogramma: A. Lati opposti sono congruenti. B. Angoli opposti sono congruenti. C. Diagonali si intersecano nel loro punto medio.
  • 6. Rettangoli, rombi e quadrati Rettangoli, rombi e quadrati sono parallelogrammi. Un rettangolo è un quadrilatero che ha tutti gli angoli retti; In un rettangolo gli angoli opposti sono congruenti, quindi ogni rettangolo è un parallelogramma; Le diagonali di un rettangolo si incontrano nel loro punto medio;
  • 7. Teorema 8 Teorema 9 N.8 Se un quadrilatero ha i quattro angoli congruenti, allora è un rettangolo. N.9 Se un parallelogramma ha le diagonali congruenti, allora è un rettangolo. Un parallelogramma è un rettangolo se e solo se ha le diagonali congruenti. I rettangoli sono quindi caratterizzati, nell'insieme dei parallelogrammi, dalla proprietà di avere le diagonali congruenti.
  • 8. Rombi Un rombo è un quadrilatero che ha tutti i lati congruenti. L'insieme dei rombi è un sottoinsieme dell'insieme dei parallelogrammi. I rombi sono caratterizzati dal fatto di avere le diagonali perpendicolari e bisettrici degli angoli interni.
  • 9. Teorema 11 Un parallelogramma è un rombo se è verificata una delle seguenti condizioni: A) due lati consecutivi congruenti; B) le diagonali sono perpendicolari; C) una diagonale è bisettrice di un angolo nel parallelogramma; Teorema 11
  • 10. Quadrati Un quadrato è un quadrilatero che ha gli angoli retti e tutti i lati congruenti. Avendo sia quattro angoli e lati congruenti possiamo definirlo anche un rombo. Valgono sia le proprietà del rombo sia quelle dei rettangoli soprattutto per le diagonali, perpendicolari e le bisettrici degli angoli. Teorema 12. Le diagonali di un quadrato sono congruenti, perpendicolari e bisettrici degli angoli interni del quadrato.
  • 11. Teorema 13 Un parallelogramma è un quadrato se è verificata una delle seguenti condizioni: A) le diagonali sono congruenti e perpendicolari; B) le diagonali sono congruenti e una di esse è bisettrice di un angolo interno del parallelogramma; Teorema 13
  • 12. Talete: biografia Talete nacque a Mileto nel 625 a.C. ed è considerato uno dei sette saggi della Grecia antica. • Talete veniva identificato come il primo filosofo per aver indicato come principio originario di tutte le cose l'acqua • Talete era un ottimo astronomo e pare che abbia predetto un’eclissi solare verificatasi durante una battaglia tra Medi e Lidi. • Lui era un valente geometra, e si narra che sia riuscito a calcolare l’altezza delle piramidi misurando la loro ombra. Talete è deceduto verso il 547 a Mileto, mentre assisteva ad una competizione sportiva.
  • 13. Teorema di Talete Dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali su di esse vengono a formarsi due classi di segmenti ordinatamente proporzionali. Corollario del teorema La parallela tracciata dal punto medio di un lato di un triangolo a uno degli altri due lati incontra il terzo lato nel suo punto medio.
  • 14. Dimostrazione del teorema di Talete Dimostrazione: Conduciamo da A la parallela ad r’ e indichiamo con E il suo punto d’intersezione con b. Conduciamo da C la parallela ad r’ e indichiamo con F il suo punto d’intersezione con d. I due triangoli ABE e CDF sono congruenti per il II criterio di congruenza dei triangoli Pertanto AE ≅ CF Osserviamo AEB’A’ e CFD′C′ sono due parallelogrammi (hanno i lati opposti paralleli) Di conseguenza: A′B′ ≅ AE e CF ≅ C′D′ Per la proprietà transitiva si ha: A′B′ ≅ C′D′
  • 15. Le trasformazioni geometriche Si chiama trasformazione geometrica ogni funzione biunivoca che associa a ogni punto un altro punto dello stesso piano. Permettono di trasformare una figura geometrica in un'altra aprendo nuovi orizzonti nella geometria
  • 16. Gli elementi uniti di una trasformazione Una figura si dice unità rispetto a una data trasformazione se la sua corrispondente è la trasformazione stessa. La trasformazione che associa a ogni punto P del piano il punto P stesso si chiama Trasformazione indentità o identica. Ogni punto del piano è unito rispetto alla trasformazione identica. Per capire se un elemento è unito bisogna immaginare di piegare un foglio lungo la retta che divide i semipiani: se gli elementi combaciano allora saranno uniti.
  • 17. Proprietà invarianti delle trasformazioni Si dice che una certa proprietà è un invariante di una trasformazione se, per ogni figura che gode di quella proprietà, anche la sua corrispondente gode della stessa proprietà. Gli invarianti possono essere l’allineamento dei punti, la lunghezza dei segmenti, l’ampiezza degli angoli, il parallelismo ecc… Per esempio gli ingrandimenti hanno come invariante le ampiezze degli angoli ma non hanno come invariante la lunghezza dei lati.
  • 18. Trasformazione inversa Una trasformazione è una funzione biunivoca, esiste la sua inversa, che è ancora una trasformazione geometrica. Trasformazione involutoria Una trasformazione che, applicata due volte, coincide con la trasformazione identica, si dice involutoria.
  • 19. Isometrie Un'isometria è una qualsiasi trasformazione geometrica definita nel piano o nello spazio che mantiene inalterate le caratteristiche misurabili di una figura. Possono essere classificate in isometrie inverse e in isometrie dirette: • Se sono in senso orario, l'isometria è diretta • Se sono in senso antiorario, l'isometria è inversa Un esempio di isometria inversa Un esempio di isometria diretta
  • 20. Proprietà delle isometrie Le isometrie hanno delle proprietà fondamentali e sono: 1. Una isometria trasforma punti allineati in punti allineati. 2. Una isometria trasforma una coppia di rette parallele in una coppia di rette parallele. 3. Un'isometria trasforma una coppia di rette incidenti in una coppia di rette incidenti e il punto di intersezione della prima coppia di rette ha come immagine nell'isometria il punto di intersezione delle loro corrispondenti nell'isometria stessa 4. Una isometria trasforma un angolo in un angolo. I lati e il vertice dell'angolo trasformato sono le immagini dei lati e del vertice dell'angolo originario 5. Una isometria trasforma un angolo in un angolo a esso congruente
  • 21. Classificazione delle isometrie Ogni isometria è la composizione di al più tre simmetrie assiali. Per stabilire se esiste altre isometrie oltre a quelle che abbiamo presentato, basta stabilire quali isometrie si ottengono dalla composizione di due o tre simmetrie assiali. Le uniche isometrie nuove sono quelle che provengono dalla composizione di una simmetria assiale o di una traslazione: esse vengono chiamate glissosimmetrie
  • 22. Simmetria assiale La trasformazione che, data una retta r nel piano, associa ogni punto P il punto P', simmetrico di P rispetto a r, si chiama simmetria assiale rispetto alla retta r.
  • 23. Composizione di simmetrie assiali con assi paralleli La trasformazione composta di due simmetrie assiali con assi paralleli è una traslazione di vettore perpendicolare agli assi, con verso dal primo al secondo asse, e modulo uguale al doppio della distanza tra gli assi.
  • 24. Composizione di simmetrie assiali con assi incidenti La trasformazione composta di due simmetrie assiali con assi incidenti in O è una rotazione avente centro i O e angolo di rotazione, orientato dal primo al secondo asse, di ampiezza uguale al doppio dell'angolo formato dai due assi
  • 25. La simmetria assiale è una isometria Ogni simmetria assiale è una isometria, questo comporta delle proprietà invarianti: - l'allineamento dei punti - la lunghezza dei segmenti - l'incidenza e il parallelismo tra le rette - l'ampiezza degli angoli Le simmetrie assiali non conservano invece le direzioni e l'orientamento delle figura.
  • 26. Tutti i punti appartenenti all'asse di simmetria sono uniti. Quindi l'asse di simmetria è una retta unita. Figura con assi di simmetria Una figura che risulta unita nella simmetria rispetto a una retta r si dice simmetrica rispetta a una retta r. La retta r si chiama asse di simmetria della figura.
  • 27. Simmetrie centrali Dato un punto O, diciamo simmetrico di un punto P rispetto ad O: - Il punto P1 tale che il suo punto pedio PP1 sia O, se P è diverso da O - il punto P stesso, se P coincide con O Si chiama simmetria centrale di centro O la trasformazione che associa a ogni punto P del piano il suo simmetrico rispetto ad O. Per individuare la corrispondente di una figura in una simmetria centrale basta individuare i corrispondenti degli elementi che individuano la figura.
  • 28. Simmetrie centrali Ogni simmetria centrale è un’isometria. Invarianti di una simmetria centrale - Allineamento dei punti - Incidenza e parallelismo tra le rette - Lunghezza dei segmenti e ampiezza degli angoli - Direzioni - Orientamento delle figure
  • 29. Le traslazioni Si chiama traslazione di vettore la trasformazione che associa a ogni punto P del piano il punto P¹ tale che PP¹ abbia la stessa direzione, mi stesso verso e lo stesso modulo di v. Osservazioni sulle traslazioni A. La traslazione di vettore nullo lascia fermo ogni punto del piano, quindi coincide con l’identità. B. L’inversa di una traslazione di vettore v è la traslazione individuata dal vettore –v , opposto di v. La traslazione è un’isometria
  • 30. Proprietà delle traslazioni Le traslazioni conservano: - l’allineamento dei punti - L’incidenza e il parallelismo tra le rette - La lunghezza dei segmenti e l’ampiezza degli angoli - Le direzioni - L’orientamento delle figure Elementi uniti Nessun punto è unito rispetto a una traslazione. Ci sono invece infinite rette unite (tutte quelle che hanno la stessa direzione di v).
  • 31. Rotazioni Dato un angolo orientato a , si dice rotazione di centro O e angolo di rotazione a la trasformazione che associa a ogni punto P il punto P’ che soddisfa le seguenti condizioni: • l’angolo POP¹, orientato in modo che OP sia il primo lato, ha la stessa ampiezza e lo stesso orientamento di a • OP congOP. Quando si assegna l’angolo di rotazione, l'ampiezza dell’angolo è preceduta da + se l’angolo è orientato in senso antiorario e – se l’angolo è orientato in senso orario.
  • 32. Osservazioni sulle rotazioni A. Una rotazione di angolo nullo lascia «fermo» ogni punto del piano e coincide con la trasformazione identica. B. Una rotazione di 180° coincide con una simmetria avente centro nel centro di rotazione. C. L’inversa di una rotazione di centro O e angolo di rotazione a è la rotazione che ha centro in O e angolo di rotazione congruente ad a ma orientato in verso opposto. Le rotazioni sono isometrie