Dokumen tersebut membahas tentang limit fungsi, derivasi fungsi, dan soal matematika tentang harga permen, cokelat, dan kue. Secara singkat, dibahas tentang penentuan nilai limit dan derivasi dari beberapa fungsi trigonometri dan eksponensial, serta penyelesaian soal untuk menentukan harga sebatang cokelat berdasarkan informasi harga permen dan kue.

1. Profesional Modul 2 - KB 3 - Limit dan kekontinuan
NAMA : ANITA ANGGRAENI
NO : 19022118010085
1. Dengan menggunakan definisi limit buktikan bahwa:
a.
12
4
lim 24



xx
x
x =1
Penyelesaian :
Analisis pendahuluan: kita mencari 𝛿 sedemikian sehingga
0 < | 𝑥 − 4| < 𝛿 ⇒ |
𝑥 − 4
𝑥2 − 𝑥 − 12
< 𝜀|
Sekarang untuk 𝑥 ≠ 4 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 3,
|
𝑥 − 4
𝑥2 − 𝑥 − 12
− 4| < 𝜀 ⟺ |
𝑥 − 4
(𝑥 − 4)(𝑥 + 3)
− 4| < 𝜀
⟺ |
1
( 𝑥 + 3)
− 4| < 𝜀
⟺ |
1 − 4(𝑥 + 3)
( 𝑥 + 3)
| < 𝜀
⟺ |
−4𝑥 − 11
( 𝑥 + 3)
| < 𝜀
Karena pernyataan
−4𝑥−11
( 𝑥+3)
tidak bisa disederhanakan menjadi
| 𝑥 − 4|, sehingga pernyataan diatas tidak benar. Berarti
1
12
4
lim 24 



xx
x
x

2. 2. Apakah setiap fungsi merupakan relasi ekivalen. Buktikan!
Penyelesaian:
Suatu relasi pada himpunan A dikatakan sebagai relasi
ekivalen jika relasi tersebut bersifat refleksif, simetris, dan
transitif.
Kita jabarkan sebagai berikut:
Jika a,b dan c anggota himpunan tersebut berlaku :
1. sifat rekleksif
a~ a ,artinya jika a berelasi dengan dirinya sendiri
2. sifat simetri
a ~ b maka b~a , artinya jika a berelasi dengan b maka b juga
berelasi
dengan a
3. sifat transitif
a ~b dan b~ c maka a ~ c , artinya jika a berelasi dengn b dan b
berekasi
dengan c maka a juga berelasi dengan c
Dibuktikan dengan contoh salah.
Misalkan R adalah fungsi yang di definisikan 𝐴 = {1,2,3}, 𝐵 =
{2,3,4} 𝑑𝑎𝑛 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)| 𝑥 ≤ 𝑦} .
Kita peroleh 1≤ 2 tetapi 2≰1 sehinggan R bukan relasi ekivalen.
Dari contoh salah tersebut kita simpulkan tidak semua fungsi
merupakan relasi ekivalen.

3. 3. Dengan menggunakan definisi limit yaitu:
h
xfhxf
hx
)()(
lim


, tentukan nilai turunan dari fungsi xSinxg )(
dan f(x) = cos x
Penyelesaian :
 xSinxg )(
lim
𝑥⟶ℎ
sin( 𝑥 + ℎ) − sin(𝑥)
ℎ
= lim
𝑥⟶ℎ
2 cos
1
2
(2𝑥 + ℎ).sin
1
2
ℎ
ℎ
= lim
𝑥⟶ℎ
2 cos
1
2
(2𝑥 + ℎ). lim
𝑥⟶ℎ
sin
1
2
ℎ
ℎ
= 2 cos ℎ .
1
2
= cos ℎ = cos 𝑥
 f(x) = cos x
lim
𝑥⟶ℎ
cos( 𝑥 + ℎ) − cos(𝑥)
ℎ
= lim
𝑥⟶ℎ
−2 sin
1
2
(2𝑥 + ℎ). sin
1
2
ℎ
ℎ
= lim
𝑥⟶ℎ
− 2 sin
1
2
(2𝑥 + ℎ). lim
𝑥⟶ℎ
sin
1
2
ℎ
ℎ
= −2 sin ℎ .
1
2
= − sin ℎ = − sin 𝑥

4. 4. Tentukan nilai turunan dari fungsi berikut:
a.  5
225
sin34)(
2
xxexf x
 
b. x
xexh 2
2)( 
Penyelesaian : memakai rumus f’(x) =u’v+uv’
a. 𝑓′( 𝑥) =5(4𝑥𝑒5𝑥2+2
+ 3 sin2
𝑥)
4
𝑑𝑥(4𝑥𝑒5𝑥2+2
+ 3 sin2
𝑥)
= 5(4𝑥𝑒5𝑥2+2
+ 3 sin2
𝑥)
4
(4. 𝑒5𝑥2+2
+ 4x. 10𝑥𝑒5𝑥2+2
+3.2
sin x .cos x)
= 5(4𝑥𝑒5𝑥2+2
+ 3 sin2
𝑥)
4
. (4 𝑒5𝑥2+2
+ 40x2
𝑥𝑒5𝑥2+2
+6
sin x .cos x)
b. x
xexh 2
2)( 
ℎ′( 𝑥) = 2. 𝑒2𝑥
+ 2𝑥. 2𝑒2𝑥
= 2𝑒2𝑥
(1 + 2𝑥)

5. 5. Sebuah permen, sebatang cokelat, dan sebuah kue harganya
Rp2.500,00. Harga sebatang cokelat Rp800,00 lebih mahal
daripada harga sebuah kue. Harga sebuah kue Rp400,00 lebih
mahal daripada harga sebuah permen. Berapa harga sebatang
cokelat?
Penyelesaian:
Missal : permen = x
Coklat = y
Kue = z
Diketahui x +y+z = 2.500
Y = 800+z ⟶z = y-800
Z = 400 + x⟶x = z-400=y-800-400=y-1200
Maka kita rubah variabel x dan z kedalam y :
y-1200+y+y-800 = 2.500
3y-2000=2500
3y=4500
Y=4500:3 =1500
Jadi harga sebatang coklat adalah Rp.1.500,-