M3 k1 sistem bilangan Real

1. Profesional Modul 2
KB 1 Sistem Bilangan
NAMA : ANITA ANGGRAENI
NO : 19022118010085
1. Tunjukan bilangan nol itu ganjil atau genap.
Nol adalah bilangan genap. Cara paling sederhana untuk
membuktikan bahwa nol bahkan adalah memeriksa bahwa nol cocok
dengan definisi "genap": nol adalah bilangan bulat kelipatan dari 2,
tepatnya 0 × 2. Sebagai hasilnya, nol memiliki semua sifat-sifat yang
mencirikan bilangan genap: 0 habis dibagi oleh 2, 0 diapit dari kedua
sisi dengan angka ganjil, 0 adalah jumlah dari sebuah bilangan bulat
(0) dengan dirinya sendiri, dan himpunan 0 benda dapat dibagi
menjadi dua himpunan dengan imbang.
2. Selesaikan maslah berikut:
a. Perlihatkan bahwa untuk tiap bilangan asli 𝑛, berlaku 𝑛3
− 𝑛
habis dibagi 3 !
Asumsikan P(k) benar, yaitu
k3 + 2k = 3m, k ∈ N
Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3p, p ∈ Z
(k + 1)3 + 2(k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1)3 + 2(k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3m + 3(k2 + k + 1)
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3(m + k2 + k + 1)
Karena m bilangan bulat dan k bilangan asli, maka (m + k2 +
k + 1) adalah bilangan bulat.

2. Misalkan p = (m + k2 + k + 1), maka
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3p, dengan p ∈ Z
Jadi, P(k + 1) benar
𝑛3
− 𝑛 = 𝑛( 𝑛2
− 1) = ( 𝑛 − 1) 𝑛 ( 𝑛 + 1)
Faktor nya :
( 𝑛 − 1) ,
𝑛 ,
(𝑛 + 1),
Untuk setiap bilangan asli n ,
maka salah satu faktor di atas sudah pasti merupakan
bilangan kelipatan tiga.
b. Buktikan Bilangan 13 2
a tidak pernah berbentuk bilangan kuadrat
sempurna Za !
3𝑎2
− 1 = (√3𝑎 − 1)(√3𝑎 + 1)
Akan dibuktikan bahwa 3𝑎2
− 1 ≠ 3n atau 3𝑎2
− 1≠ 3n+1 ,untuk
semua n bilangan bulat. (Ket: Bilangan kuadrat sempurna akan
memenuhi bentuk 3n atau 3n+1, untuk semua n ).
Bukti Kontradiksi

3. Maka, untuk berapapun bilangan bulat n maka a bukan bilangan
bulat. Sehingga asumsi bahwa 3𝑎2
− 1-1 = 3n atau 3𝑎2
− 1=
3n+1 , untuk semua n bilangan bulat adalah salah yang artinya
3𝑎2
− 1 ≠ 3n atau 3𝑎2
− 1≠ 3n+1 ,untuk semua n bilangan
bulat benar. Sehingga 3𝑎2
− 1 tidak pernah berbentuk bilangan
kuadrat sempurna untuk semua a adalah bilangan bulat.
3. Jika diketahui:
889...488888888...44444444444442
A , Tentukan nilai A!
Misalkan
B2 = 672 = 4489
C2 = 6672 = 444889
D2 = 66672 = 44448889
E2 = 666672 = 4444488889
….
JADI
A2 = 6666666666666672 = 4444444444……….888888……..9
4. Proof teorems below !
a. √2 is irrational.
Kita asumsikan (√2)
2
bilangan kuadrat sempurna, maka
(√2)
2
=3n atau (√2)
2
=3n+1
2=3n 2 = 3n +1
𝑛 =
2
3
= 0,666 …. 𝑛 =
1
3
= 0,33333 … … ..
Jadi, bilangan irasional adalah bilangan yang hasil baginya tidak
pernah berhenti. Maka terbukti √2 is irrational.
2019 20172017