Dokumen tersebut membahas tentang persamaan diferensial, meliputi definisi, klasifikasi, dan penyelesaian persamaan diferensial. Dibahas pula contoh-contoh soal dan aplikasi persamaan diferensial dalam pemodelan matematis.
Dokumen tersebut membahas tentang definisi dan jenis-jenis persamaan diferensial, meliputi: persamaan diferensial biasa dan parsial, tingkat dan derajat persamaan diferensial, penyelesaian persamaan diferensial, dan contoh soal persamaan diferensial orde pertama beserta penyelesaiannya.
Bab ini membahas persamaan diferensial orde satu yang meliputi:
1) Persamaan diferensial terpisah yang dapat diselesaikan dengan pengintegralan.
2) Reduksi persamaan tak terpisah menjadi terpisah melalui transformasi variabel.
3) Persamaan diferensial eksak yang selesaiannya didapat dari integral total.
4) Contoh-contoh penerapan metode tersebut untuk menyelesaikan berbagai persamaan diferensial orde satu.
Bahan ajar ini membahas tentang persamaan diferensial dan penyelesaiannya. Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan dari variabel terikat. Bab pertama membahas pengertian, definisi, notasi, orde, derajat, jenis, dan solusi persamaan diferensial. Solusi persamaan diferensial adalah fungsi yang memenuhi persamaan tersebut.
Makalah Persamaan Deferensial NON EKSAKRaden Ilyas
Dokumen tersebut membahas tentang penyelesaian persamaan diferensial tidak eksak dengan metode faktor integral. Metode ini melibatkan pengalian persamaan diferensial dengan suatu fungsi u yang disebut faktor integral untuk mengubahnya menjadi persamaan diferensial eksak yang dapat diselesaikan dengan metode integral. Faktor integral dapat berupa fungsi x saja, y saja, atau fungsi x dan y. Beberapa contoh soal juga diberikan beserta penye
Dokumen ini membahas tentang persamaan diferensial biasa, khususnya persamaan diferensial orde pertama. Topik yang dibahas meliputi bentuk umum persamaan diferensial biasa, orde persamaan diferensial, solusi persamaan diferensial, dan metode-metode penyelesaian persamaan diferensial seperti pemisahan variabel dan penggunaan faktor integrasi."
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan diferensial, meliputi definisi, klasifikasi, dan penyelesaian persamaan diferensial. Dibahas pula contoh-contoh soal dan aplikasi persamaan diferensial dalam pemodelan matematis.
Dokumen tersebut membahas tentang definisi dan jenis-jenis persamaan diferensial, meliputi: persamaan diferensial biasa dan parsial, tingkat dan derajat persamaan diferensial, penyelesaian persamaan diferensial, dan contoh soal persamaan diferensial orde pertama beserta penyelesaiannya.
Bab ini membahas persamaan diferensial orde satu yang meliputi:
1) Persamaan diferensial terpisah yang dapat diselesaikan dengan pengintegralan.
2) Reduksi persamaan tak terpisah menjadi terpisah melalui transformasi variabel.
3) Persamaan diferensial eksak yang selesaiannya didapat dari integral total.
4) Contoh-contoh penerapan metode tersebut untuk menyelesaikan berbagai persamaan diferensial orde satu.
Bahan ajar ini membahas tentang persamaan diferensial dan penyelesaiannya. Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan dari variabel terikat. Bab pertama membahas pengertian, definisi, notasi, orde, derajat, jenis, dan solusi persamaan diferensial. Solusi persamaan diferensial adalah fungsi yang memenuhi persamaan tersebut.
Makalah Persamaan Deferensial NON EKSAKRaden Ilyas
Dokumen tersebut membahas tentang penyelesaian persamaan diferensial tidak eksak dengan metode faktor integral. Metode ini melibatkan pengalian persamaan diferensial dengan suatu fungsi u yang disebut faktor integral untuk mengubahnya menjadi persamaan diferensial eksak yang dapat diselesaikan dengan metode integral. Faktor integral dapat berupa fungsi x saja, y saja, atau fungsi x dan y. Beberapa contoh soal juga diberikan beserta penye
Dokumen ini membahas tentang persamaan diferensial biasa, khususnya persamaan diferensial orde pertama. Topik yang dibahas meliputi bentuk umum persamaan diferensial biasa, orde persamaan diferensial, solusi persamaan diferensial, dan metode-metode penyelesaian persamaan diferensial seperti pemisahan variabel dan penggunaan faktor integrasi."
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan diferensial linier orde satu. Definisi persamaan diferensial adalah hubungan antara variabel bebas dan tak bebas serta derivasinya. Dibahas pula istilah-istilah seperti orde, derajat, penyelesaian umum dan khusus, serta contoh soal dan penyelesaiannya.
Bab i-konsep-dasar-persamaan-diferensialL'vthf-i Ix-a
Dokumen tersebut membahas konsep dasar persamaan diferensial, meliputi definisi, klasifikasi, bentuk solusi, metode penyelesaian, dan pembentukan persamaan diferensial dari suatu fungsi. Secara rinci dibahas tentang persamaan diferensial biasa dan parsial, linier dan non-linier, solusi umum, khusus, dan singular, serta metode analitik, kualitatif, dan numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial.
Dokumen tersebut membahas tentang pemisahan variabel untuk menyelesaikan persamaan Laplace dalam menentukan potensial listrik di dalam pipa logam persegi panjang. Metode ini memungkinkan fungsi potensial ditulis sebagai hasil kali dua fungsi yang masing-masing hanya bergantung pada satu variabel saja. Dengan menggunakan kondisi batas dan sifat ortogonalitas fungsi trigonometri, didapatkan penyelesaian tunggal berupa deret Fourier.
Makalah ini membahas tentang rangkuman materi Persamaan Diferensial Linier orde n dengan koefisien konstan dan variable serta sistem Persamaan Diferensial Linier simultan. Terdapat penjelasan mengenai bentuk umum PDL, jenis-jenisnya, dan langkah penyelesaian menggunakan metode invers operator dan variasi parameter.
Dokumen ini membahas klasifikasi persamaan diferensial orde pertama, termasuk bentuk standar, linear, Bernoulli, homogen, yang dapat dipisahkan, dan eksak. Beberapa contoh soal dan penyelesaian juga diberikan untuk mengilustrasikan konsep-konsep tersebut.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan diferensial linier, termasuk konsep dasar persamaan diferensial linier, metode penyelesaian untuk persamaan diferensial homogen dan tak homogen, serta contoh soal latihan.
Dokumen ini membahas pengertian dasar persamaan diferensial (PD) tingkat satu pangkat satu dan penyelesaiannya. PD dijelaskan sebagai persamaan yang memuat derivatif atau diferensial, dengan penjelasan tentang tingkat, pangkat, dan contoh-contohnya. Penyelesaian umum dan khusus PD ditentukan, dengan contoh penyelesaian umum dari PD yang variabelnya dapat dipisahkan.
Dokumen tersebut membahas metode penyelesaian persamaan diferensial homogen dengan menggunakan subtitusi y = vx, di mana v adalah fungsi dari x. Metode ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang tidak dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel atau faktorisasi. Beberapa contoh soal dan penyelesaiannya juga diberikan untuk memperjelas penjelasan metode subtitusi tersebut.
Metoda variasi parameter digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial tak homogen dengan menentukan fungsi variabel V1(x) dan V2(x) sehingga didapatkan penyelesaian khusus. Contoh penerapannya adalah menyelesaikan persamaan Y''+Y=cosec x dengan hasil Y=-x.cosx+ln|sinx|.sinx dan Y''-9Y=e^2x dengan hasil Y=C1e^3x +C2e^-3x -1/5e^2x
Dokumen tersebut membahas tentang materi persamaan diferensial orde satu, termasuk persamaan diferensial eksak, faktor integral, solusi umum, dan pemanfaatannya dalam penyelesaian rangkaian listrik.
Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial biasa berorde n mengandung turunan ke-n dari fungsi tersebut. Fungsi yang disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial dan memenuhi persamaan tersebut untuk semua nilai x disebut solusi persamaan diferensial.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian dan cara penyelesaian persamaan diferensial tingkat satu dan pangkat satu. Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif dari suatu fungsi. Terdapat beberapa jenis persamaan diferensial seperti persamaan homogen, tidak homogen, eksak dan tidak eksak yang diselesaikan dengan beberapa metode seperti faktor integral, variasi konstan, dan metode Bernouli.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan diferensial linier orde satu. Definisi persamaan diferensial adalah hubungan antara variabel bebas dan tak bebas serta derivasinya. Dibahas pula istilah-istilah seperti orde, derajat, penyelesaian umum dan khusus, serta contoh soal dan penyelesaiannya.
Bab i-konsep-dasar-persamaan-diferensialL'vthf-i Ix-a
Dokumen tersebut membahas konsep dasar persamaan diferensial, meliputi definisi, klasifikasi, bentuk solusi, metode penyelesaian, dan pembentukan persamaan diferensial dari suatu fungsi. Secara rinci dibahas tentang persamaan diferensial biasa dan parsial, linier dan non-linier, solusi umum, khusus, dan singular, serta metode analitik, kualitatif, dan numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial.
Dokumen tersebut membahas tentang pemisahan variabel untuk menyelesaikan persamaan Laplace dalam menentukan potensial listrik di dalam pipa logam persegi panjang. Metode ini memungkinkan fungsi potensial ditulis sebagai hasil kali dua fungsi yang masing-masing hanya bergantung pada satu variabel saja. Dengan menggunakan kondisi batas dan sifat ortogonalitas fungsi trigonometri, didapatkan penyelesaian tunggal berupa deret Fourier.
Makalah ini membahas tentang rangkuman materi Persamaan Diferensial Linier orde n dengan koefisien konstan dan variable serta sistem Persamaan Diferensial Linier simultan. Terdapat penjelasan mengenai bentuk umum PDL, jenis-jenisnya, dan langkah penyelesaian menggunakan metode invers operator dan variasi parameter.
Dokumen ini membahas klasifikasi persamaan diferensial orde pertama, termasuk bentuk standar, linear, Bernoulli, homogen, yang dapat dipisahkan, dan eksak. Beberapa contoh soal dan penyelesaian juga diberikan untuk mengilustrasikan konsep-konsep tersebut.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan diferensial linier, termasuk konsep dasar persamaan diferensial linier, metode penyelesaian untuk persamaan diferensial homogen dan tak homogen, serta contoh soal latihan.
Dokumen ini membahas pengertian dasar persamaan diferensial (PD) tingkat satu pangkat satu dan penyelesaiannya. PD dijelaskan sebagai persamaan yang memuat derivatif atau diferensial, dengan penjelasan tentang tingkat, pangkat, dan contoh-contohnya. Penyelesaian umum dan khusus PD ditentukan, dengan contoh penyelesaian umum dari PD yang variabelnya dapat dipisahkan.
Dokumen tersebut membahas metode penyelesaian persamaan diferensial homogen dengan menggunakan subtitusi y = vx, di mana v adalah fungsi dari x. Metode ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang tidak dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel atau faktorisasi. Beberapa contoh soal dan penyelesaiannya juga diberikan untuk memperjelas penjelasan metode subtitusi tersebut.
Metoda variasi parameter digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial tak homogen dengan menentukan fungsi variabel V1(x) dan V2(x) sehingga didapatkan penyelesaian khusus. Contoh penerapannya adalah menyelesaikan persamaan Y''+Y=cosec x dengan hasil Y=-x.cosx+ln|sinx|.sinx dan Y''-9Y=e^2x dengan hasil Y=C1e^3x +C2e^-3x -1/5e^2x
Dokumen tersebut membahas tentang materi persamaan diferensial orde satu, termasuk persamaan diferensial eksak, faktor integral, solusi umum, dan pemanfaatannya dalam penyelesaian rangkaian listrik.
Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial biasa berorde n mengandung turunan ke-n dari fungsi tersebut. Fungsi yang disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial dan memenuhi persamaan tersebut untuk semua nilai x disebut solusi persamaan diferensial.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian dan cara penyelesaian persamaan diferensial tingkat satu dan pangkat satu. Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif dari suatu fungsi. Terdapat beberapa jenis persamaan diferensial seperti persamaan homogen, tidak homogen, eksak dan tidak eksak yang diselesaikan dengan beberapa metode seperti faktor integral, variasi konstan, dan metode Bernouli.
Persamaan Diferensial Biasa ( Kalkulus 2 )Kelinci Coklat
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan diferensial biasa (PDB), yang didefinisikan sebagai persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi satu peubah bebas yang tidak diketahui. PDB dibedakan berdasarkan orde dan derajat turunan tertinggi yang terlibat. Ada beberapa jenis PDB dan cara penyelesaiannya, seperti PDB dengan variabel terpisah, PDB dengan koefisien fungsi homogen, dan PDB linear.
Teks tersebut membahas tentang persamaan diferensial orde dua dan penyelesaiannya. Persamaan diferensial orde dua umumnya berbentuk a(d2y/dx2) + b(dy/dx) + cy = f(x), dan penyelesaiannya tergantung pada akar-akar persamaan karakteristiknya. Jika akar-akarnya real dan berbeda, penyelesaiannya adalah y = Ae^{m_1x} + Be^{m_2x}. Jika sama, penye
Dokumen tersebut membahas persamaan diferensial biasa orde pertama, termasuk definisi persamaan diferensial eksak, teorema solusi umum, dan cara menentukan fungsi potensial."
Teks tersebut membahas tentang persamaan diferensial biasa dan penyelesaiannya. Secara singkat, persamaan diferensial biasa adalah persamaan yang menghubungkan suatu fungsi dengan turunan-turunannya, sedangkan penyelesaian persamaan diferensial adalah fungsi yang memenuhi persamaan tersebut.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan diferensial orde dua homogen dan non homogen. Secara garis besar dibahas tentang bentuk umum persamaan diferensial orde dua, solusi homogen, dan metode penyelesaian persamaan non homogen seperti metode koefisien tak tentu dan metode variasi parameter beserta contoh soalnya.
Dokumen tersebut merangkum tentang persamaan diferensial, yang didefinisikan sebagai persamaan yang menghubungkan variabel bebas dan tak bebas serta derivasinya. Terdapat beberapa istilah kunci seperti orde, derajat, penyelesaian umum dan khusus, serta jenis persamaan diferensial seperti biasa dan parsial. Langkah penyelesaian persamaan diferensial linier orde satu juga dijelaskan beserta contoh soalnya.
Dokumen tersebut membahas tentang hakikat rujukan, kutipan, dan daftar pustaka. Ia menjelaskan definisi rujukan, jenis-jenis rujukan, dan cara penulisan rujukan. Dokumen ini juga menjelaskan tentang definisi kutipan, jenis kutipan beserta contoh penulisan kutipan. Terakhir, dibahas mengenai tujuan dan cara penulisan daftar pustaka dari berbagai sumber seperti buku
Kalimat adalah kesatuan bahasa lisan atau tulis yang menyatakan suatu konsep pikiran dan perasaan secara utuh. Kalimat terdiri dari unsur subjek, predikat, objek, pelengkap, dan keterangan. Kalimat efektif adalah kalimat yang singkat, padat, jelas dan lengkap untuk menyampaikan informasi secara tepat kepada pembaca.
Seorang mahasiswa melihat banyak sampah berserakan di lingkungan kampusnya. Dia memutuskan untuk mengurangi sampah dengan mengumpulkannya dan membuat kerajinan berguna dari sampah tersebut, seperti membuat bunga pajangan dari botol plastik, pajangan kamar dari gelas, dan tas dari sampah sabun cuci.
Sistem bilangan pada komputer membahas empat sistem bilangan yang dikenal yaitu bilangan desimal, biner, oktal dan heksadesimal. Setiap sistem bilangan memiliki basis tertentu dan menggunakan simbol-simbol angka khusus. Dokumen ini juga menjelaskan proses konversi antar sistem bilangan tersebut seperti desimal ke biner, biner ke desimal, dan seterusnya beserta contoh-contoh penerapannya.
Ppt sistem bilangan komputer_ardi MAWARDIArdiMawardi1
Dokumen tersebut membahas tentang sistem bilangan pada komputer, terutama menjelaskan empat jenis sistem bilangan yang dikenal yaitu bilangan desimal, biner, oktal dan heksadesimal beserta cara mengkonversikan antar sistem bilangan tersebut.
Teori Fungsionalisme Kulturalisasi Talcott Parsons (Dosen Pengampu : Khoirin ...nasrudienaulia
Dalam teori fungsionalisme kulturalisasi Talcott Parsons, konsep struktur sosial sangat erat hubungannya dengan kulturalisasi. Struktur sosial merujuk pada pola-pola hubungan sosial yang terorganisir dalam masyarakat, termasuk hierarki, peran, dan institusi yang mengatur interaksi antara individu. Hubungan antara konsep struktur sosial dan kulturalisasi dapat dijelaskan sebagai berikut:
1. Pola Interaksi Sosial: Struktur sosial menentukan pola interaksi sosial antara individu dalam masyarakat. Pola-pola ini dipengaruhi oleh norma-norma budaya yang diinternalisasi oleh anggota masyarakat melalui proses sosialisasi. Dengan demikian, struktur sosial dan kulturalisasi saling memengaruhi dalam membentuk cara individu berinteraksi dan berperilaku.
2. Distribusi Kekuasaan dan Otoritas: Struktur sosial menentukan distribusi kekuasaan dan otoritas dalam masyarakat. Nilai-nilai budaya yang dianut oleh masyarakat juga memengaruhi bagaimana kekuasaan dan otoritas didistribusikan dalam struktur sosial. Kulturalisasi memainkan peran dalam melegitimasi sistem kekuasaan yang ada melalui nilai-nilai yang dianut oleh masyarakat.
3. Fungsi Sosial: Struktur sosial dan kulturalisasi saling terkait dalam menjalankan fungsi-fungsi sosial dalam masyarakat. Nilai-nilai budaya dan norma-norma yang terinternalisasi membentuk dasar bagi pelaksanaan fungsi-fungsi sosial yang diperlukan untuk menjaga keseimbangan dan stabilitas dalam masyarakat.
Dengan demikian, konsep struktur sosial dalam teori fungsionalisme kulturalisasi Parsons tidak dapat dipisahkan dari kulturalisasi karena keduanya saling berinteraksi dan saling memengaruhi dalam membentuk pola-pola hubungan sosial, distribusi kekuasaan, dan pelaksanaan fungsi-fungsi sosial dalam masyarakat.
Workshop "CSR & Community Development (ISO 26000)"_di BALI, 26-28 Juni 2024Kanaidi ken
Dlm wktu dekat, Pelatihan/WORKSHOP ”CSR/TJSL & Community Development (ISO 26000)” akn diselenggarakan di Swiss-BelHotel – BALI (26-28 Juni 2024)...
Dgn materi yg mupuni & Narasumber yg kompeten...akn banyak manfaat dan keuntungan yg didpt mengikuti Pelatihan menarik ini.
Boleh jga info ini👆 utk dishare_kan lgi kpda tmn2 lain/sanak keluarga yg sekiranya membutuhkan training tsb.
Smga Bermanfaat
Thanks Ken Kanaidi
Materi ini membahas tentang defenisi dan Usia Anak di Indonesia serta hubungannya dengan risiko terpapar kekerasan. Dalam modul ini, akan diuraikan berbagai bentuk kekerasan yang dapat dialami anak-anak, seperti kekerasan fisik, emosional, seksual, dan penelantaran.
Materi Feedback (umpan balik) kelas Psikologi Komunikasi
Fisika. Hasnur
1. 1
PERSAMAAN DIFFERENSIAL
BIASA
Persamaan Differensial (PD) :
Persamaan yang mengandung
variabel x, y serta turunan-turunan
dari y terhadap
Tingkat dan derajat PD :
PD tingkat n jika turunan tertinggi
pada PD adalah ke-n
PD derajat n jika pangkat tertinggi
dari turunan tertinggi adalah n
0,...),,,( 2
2
=
dx
yd
dx
dy
yxF
3. 3
JENIS – JENIS PD :
I. I. PD dengan variabel yang dapat
dipisahkan
Bentuk Umum :
kan.diintegralKemudian
0
)(
)(
)(
)(
)()((*)
:
....(*)0)()()()(
1
2
2
1
12
2211
=+
⋅
=⋅+⋅
dy
yg
yg
dx
xf
xf
diperolehsehingga
ygxfdenganBagilah
anPenyelesai
dyygxfdxygxf
9. 9
III. PD EKSAK
Bentuk umum
(**)(*)
))......(**,(
.....(*)),(:
),(),(
:
),(darieksakaldifferensiadalah(1)
syarat
)1.(..........0),(),(
ataudaridicaridapateksakPDdariSolusi
yxN
y
yxM
x
maka
dyyxNdxyxMdy
y
dx
x
yaitu
CyxJika
x
N
y
M
dengan
dyyxNdxyxM
=
∂
∂
=
∂
∂
+=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=+
µ
µ
µµ
µ
14. 14
Cara Langsung:
∫ ∫∫∫ =−+
=−+
=−++
=−++
+=
0
11
)(
0
11
)(
0
11
34
0)
1
3()
1
4(2.
34)(
34
34
2433
2433
243334
dy
y
dx
x
yxd
dy
y
dx
x
yxd
dy
y
dx
x
dyyxdxyx
dy
y
yxdx
x
yxSoal
dyyxdxyxyxdIngat
15. 15
Jika PD non eksak dapat dibuat
eksak dengan cara mencari faktor
integrasi (F.I)
)(
)(1
b.
)(
1
a.
EksakalDifferensiF.IBentuk
:Ingat
lidikancoba/penye-coba.3
F.Imaka
sajadari)(.2
F.Imaka
sajadari)(.1
22
22
)(
)(
y
x
d
y
dyxdxy
y
dxydyx
x
y
d
x
dxydyx
x
dxydyx
Dengan
e
yfungsiyg
M
x
N
y
M
Jika
e
xfungsixf
N
x
N
y
M
Jika
dyyg
dxxf
−=
−
−−
=
−
−
∫=
→−=
∂
∂
−
∂
∂
∫=
→=
∂
∂
−
∂
∂
22. 22
IV. PD LINIER DAN
PERSAMAAN BERNOULLI
A. PD LINIER
Bentuk Umum :
Turunan maupun variabel tidak
bebas berpangkat 1/linier
Penyelesaian
)()( xQxPy
dx
dy
=+
∫
∫
+∫⋅∫=
+∫⋅=∫
−
CexQeyatau
CdxexQey
dxxPdxxP
dxxPdxxP
)()(
)()(
)(
)(
23. 23
Contoh Soal PD Linier
x
x
xx
xxx
x
xx
dxdx
e
C
xy
Cexy
Cxee
Cexee
Cdxexdxeey
Cdxexey
anPenyelesai
xxQ
xP
xy
dx
dy
+−=
+−=
+−=
+−−=
+−=
+∫⋅−=∫
−=
=
−=+
−
∫ ∫
∫
58
58
58
)(53
53
)53(
:
53)(
1)(
53.1
11
25. 25
B. Persamaan Bernoulli
Bentuk Umum :
dx
dv
dx
dy
y
dx
dy
y
dx
dv
yyvMisalkan
xy
dx
dy
y
xxQxPndengan
BernoulliPersamaan
xyy
dx
dy
PDyvMisalkan
anPenyelesai
xQxPy
dx
dy
yatau
xQyxPy
dx
dy
n
n
nn
n
4
1
4
)(,1)(,5
:Contoh
LinierPDmenjadi
:
)()(
)()(
5-
5
41
45
5
1
1
−=
−=
==
=−
=−==
=−
→=
=+
=+
−
−+−
−−
+−
+−−
27. 27
PERSAMAAN
DIFFERENSIAL LINIER
tingkat n (PDL tingkat n)
Bentuk Umum :
variabelkoefisiendengan
ntingkatPDLdisebut
variabelmengandung.,,.........Jika
konstantakoefisiendengan
ntingkatPDLdisebut
konstantaberupa.,,.........Jika
0)(jikahomogentak
0)(jikahomogen
)(.....
0
0
11
1
10
n
n
nnn
n
n
n
PP
PP
xR
xR
xRyP
dx
dy
P
dx
yd
P
dx
yd
P
≠
=
=++++ −−
−
28. 28
I. PDL HOMOGEN dengan
Koefisien Konstanta
Penyelesaiannya disebut
Penyelesaian homogen/
penyelesaian komplementer/ yc
tanpa
operator
2 cara mencari yc
dengan
operator
31. 31
Jenis Akar-akar Persamaan
Karakteristik
-Riil berbeda
-Riil berulang
-Kompleks
a). Akar Riil Berbeda
lihat contoh 2. di atas
(Dengan Operator).
b). Akar Riil Berulang
Contoh :
xx
xeCeCyc
berulangakarnyaAkar
DD
yDD
2
2
2
1
2
2,2
0)2)(2(
0)44(
−−
+=
→−−=−
=++
=++
32. 32
c). Akar Kompleks
Jika akar-akarnya a ± bi maka
)3sin3cos(
32
0)134(
:
)sincos(
21
2
2
21
xCxCeyc
iakarnyaakar
yDD
Contoh
bxCbxCeyc
x
ax
+=
±−
=+−
+=
33. 33
II. PD TAK HOMOGEN dengan
Koefisien Konstanta
Bentuk Umum :
khususanpenyelesai
mplementerhomogen/koanpenyelesai
:anPenyelesai
konstanta.adalah.,,.........
0)(
)()(
)()..........(
0
1
1
10
=
=
+=
≠
=
=++++ −
−
yp
yc
ypycy
PP
xQdengan
xQyDFatau
xQyPDPDPDP
n
nn
nn
34. 34
Mencari Penyelesaian Khusus/yP
1). Teknik Operator Invers (Rumus
Integral Lipat)
( )( )
( )
x
dxexee
dxexeey
mm
x
DD
y
yPxyDD
Contoh
dxexQe
eeey
xQ
mDmDmD
xQ
DF
y
xQyDFPD
xxx
xxx
n
xm
xmm
xmmxmmxm
n
n
nn
2
1
8
11
.........)23(
)()23(
4dan1
23
41
1
cari,23)45(
:
)()(..........
..........
)(
1
.....
11
)(
)(
1
)()(
243
2)4())1(4(
21
2
)(
)()(
21
1
23121
−=
=−=
−=
−=−=
−
++
=
−=++
⋅⋅
=
−
⋅
−
⋅
−
=
=
=⇒
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
−−
−−−−−−
−
−
−−
−
37. 37
Metoda Koefisien Tak Tentu Dan
Metoda Variasi Parameter
Adalah 2 metoda lain untuk mencari
penyelesaian khusus/yp
A. Metoda Koefisien Tak Tentu
DCxBxAxypatau
KxKxKxKyp
xyDF
Contoh
wtBwtAwtk
wtBwtAwtk
KxKxKxKnkx
Aeke
ypxQ
n
n
n
n
n
xx
+++=
+++=
=
+
+
++++= −
−
23
01
2
2
3
3
3
01
1
1
)().1
:
sincossin
sincoscos
...,...)2,1,0(
Pemisalan)(Bentuk
αα
40. 40
B. Metode Variasi Parameter
Langkah-langkah menentukan yp :
1. Tulis fungsi komplementernya/yc
2. Ganti semua konstanta C
dengan L yaitu fungsi dari x
)(.........)()( 2211 xyCxyCxyCyc nn+++=
)()(
.....)()()()( 2211
xyxL
xyxLxyxLyp
nn
++=→
41. 41
Lanjutan Metoda Variasi Parameter
3. Turunkan yp sebanyak order dari
PDnya.
Setelah diturunkan :
- Semua bagian yang mengandung
turunan dari L=0
- Pada turunan yang Terakhir,
semua bagian yang mengandung
turunan dari L=Q
4. Hitunglah
5. Tentukan
',,.........',' 21 nLLL
integrasi.dengan,,........., 21 nLLL
45. 45
Metoda Sederhana mencari
penyelesaian khusus/yp untuk Q(x)
tertentu
mnxD
D
axDaDaDaa
x
DF
y
xxQ
aF
bax
aF
bax
DF
y
aF
bax
aF
bax
DF
y
baxbaxxQ
aFe
aF
e
DF
y
exQ
mn
m
mm
m
m
m
axax
ax
>=
→
≠++++=
=→
=
≠−
+
−
=+=
≠−
+
−
=+=→
++=
≠==→
=
jika0karena
ndihilangkaatasdisukusemua
0,).....(
)(
1
)(Bentuk3.
0)(
),cos(
)(
1
)cos(
)(
1
0)(
),sin(
)(
1
)sin(
)(
1
)cos(atau)sin()(Bentuk2.
0)(,
)(
1
)(
1
)(Bentuk1.
0
2
210
2
22
2
22
51. 51
Persamaan Differensial
Linier Dengan Koefisien
Variabel
Persamaan Cauchy
Bentuk Umum :
)1()2)(1(
(**)
)1(
:makadanMisalkan
:anPenyelesai
...(*)).........(
.........
22
1
1
1
1
10
yrvvvvyDx
yvvyDx
vyxDy
dz
d
vex
xQyP
dx
dy
xP
dx
yd
xP
dx
yd
xP
rr
z
nn
n
n
n
n
n
n
+−−−=
⇒
−=
=
==
=++
++
−
−
−
−
52. 52
Substitusikan (**) ke (*) sehingga
diperoleh PD Linier dengan
Koefisien Konstan.
Contoh Soal :
[ ]
2
3
21
2
321
2233
ln
0)2)(1)(1(
022)1(3)2)(1(
:
0)223(
x
C
xxCxC
eCzeCeCyc
yvvv
yvvvvvv
anPenyelesai
xDDxDx
zzz
++=
++=
=+−−
=+−−+−−
=+−+
−
53. 53
PD SIMULTAN
Ketentuan :
- Lebih dari 1 persamaan
- Jumlah persamaan = jumlah
variabel tidak bebas
- Jumlah variabel bebas = 1
Bentuk Umum :
Penyelesaian PD Simultan :
1. Cara Eliminasi
2. Cara dengan Determinan
)()()(
)()()(
222
111
thyDgxDf
thyDgxDf
=+
=+
54. 54
Catatan : Banyaknya konstanta
sembarang (yang bebas) yang
muncul pada
penyelesaian umum =
derajat D dalam Δ di mana
Ctty
tx
Jawab
tDyxD
tDyxD
DgDf
DgDf
++=
−−=
=++
+=+−
=∆
3
4
2
1
3
2
:
2)12(
12)1(
:SoalContoh
)()(
)()(
2
22
11
56. 56
Lanjutan Tabel Transformasi Laplace
1
222
3
222
22
22
1
22
22
22
)1(
1,.14
2
cos13
2
sin12
cos11
sin10
9
cosh8
sinh7
0cos6
+
+
+Γ
−>
+
+
+
⋅
+
⋅
⋅
>
−
>
−
>
+
p
p
at
at
n
nat
s
p
pt
)a(s
a
at. t
)a(s
as
at. t
b(s-a)
s-a
bt. e
b(s-a)
b
bt. e
(s-a)
n!
t. e
a,s
as
s
at.
a,s
as
a
at.
,s
as
s
at.
F(s)f(t)
60. 60s
e
s
ttf
t
, t
, t
, t-
, t
tf
Jawab
tf
t,
t,
tf
Contoh
at
s
e
s
s
e
at
s
as
as
2
1
2
8
)}2(28{)}({
)2(28
21
20
28
22
20
8)(
:
)}({andan tentuk
satuantanggafungsisuku-sukudalam
26
28
)(Nyatakan
:
)(
0,)}({
−
−
−
−
−=
−−=
−−=
>
<
−=
>
<
+=
>
<
=
−=
>=−
ULL
U
L
UL
UL
61. 61
Beberapa Teorema Khusus
I. Teorema Translasi Pertama
II. Teorema Translasi Kedua
)()}({
jikadan)()}({
maka)()}({Jika
1
tfsF
asFtfe
sFtf
at
=
−=
=
−
L
L
L
)()()}({
maka)()}({jikadan
)}()({
maka)()}({Jika
1
1
atfatsFe
tfsF
F(s)eatfat
sFtf
as
as
−−=
=
=−−
=
−−
−
−
UL
L
UL
L
62. 62
Lanjutan Beberapa Teorema Khusus
tete
ss
s
ss
s
s
s
sFtt
e
ssss
tf
πtt,
πt, t
tf
s
te
Soal
sF
ds
Fd
tft
,,,nsFtf
tt
s
t
nn
n
n
nn
2sin
2
3
2cos3
4)1(
1
3
4)1(
1
3
52
63
4).
III)(teorema
)4(
1612
)()1(}2sin{3).
II)(teorema
1
11
1
1
)}({maka
sin
)(Jika2).
I)(teorema
)4(
6
}{1).
:
)()1()1()}({
321untukmaka)()}({JikaIII.
2
1
2
1
2
1
32
2
)2(22
222
4
34
)(
⋅+⋅=
++
+
++
+
=
++
+
+
−
=−=⋅
+
+++
+
=
>
<
=
−
=⋅
−=−=
==
−−
−−
−
−
LL
L
L
L
L
L
L
ππ
63. 63
TRANSFORMASI LAPLACE
DALAM PENYELESAIAN PD
Contoh:
Selesaikan PD berikut
ttt
t
t
eeeYty
ssssss
ss
Y
s
sYss
s
YyYsyysYs
eyyy
YsYty
Jawab
yyeyyy
4
3
7
3
1
)()(
1
4
21)1)(2)(1(
552
1
2
612)23(
1
2
2)}0({3)0(')0(
}{2}{2}'{3}"{
)()}({
:
1)0(',2)0(,22'3"
21
3
7
3
12
2
2
+−==∴
−
+
−
−
+
+
=
−−+
−−
=
+
=++−+−
+
=+−⋅−−⋅−
=+−
==
−===+−
−−
−
−
L
LLLL
L
64. 64
PERSAMAAN
DIFFERENSIAL PARSIAL
(PDP)
Definisi dari PDP :
Persamaan-persamaan yang
mengandung satu atau lebih turunan-
turunan parsial.
Persamaan itu haruslah melibatkan
paling sedikit 2 variabel bebas.
Tingkat Persamaan Differensial
Parsial Tingkat turunan
tertinggi pada
persamaan itu.
Contoh :
Pandanglah z sebagai variabel terikat
dan x,y sebagai variabel bebas
66. 66
Eliminasi Konstanta-konstanta
Sebarang
Pandang z sebagai fungsi 2 variabel
bebas x dan y yang didefinisikan
oleh
3). g(x,y,z,a,b)=0
a dan b 2 konstanta
sebarang
3). Diturunkan secara parsial
terhadap x dan y diperoleh
05).
dan
04).
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
z
g
q
y
g
y
z
z
g
y
g
z
g
p
x
g
x
z
z
g
x
g
69. 69
Eliminasi Fungsi - fungsi
Sebarang
Misalkan u=u(x,y,z) dan v=v(x,y,z)
adalah fungsi-fungsi bebas dari
variabel x,y,z, dan misalkan
7). Ф(u,v)=0
adalah suatu hubungan sebarang
dari variabel-variabel.
Pandang z sebagai variabel terikat
dan diturunkan parsial terhadap x dan
y, diperoleh
08). =
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
z
v
p
x
v
vz
u
p
x
u
u
φφ
73. 73
PERSAMAAN
DIFFERENSIAL PARSIAL
LINIER TINGKAT 1
PDP tingkat 1
PDP Linier tingkat 1
linier.kdisebut ta
.2ln)2dan1)2
.riabelderajat vapadabatasanadatakPDPPada
:Catatan
.dandalamsatuberderajatPDP
nmenunjukkauntukdisebut
)1dan3)1
3
2
22
1
32
21
xqpqp
z
qp
linier
zqypxzqypx
=+=+
→
=+=+
)1umumanPenyelesai
aekivalennyatau
0,)3
1
3
3
→
=
=
annyaPenyelesai
x
y
f
x
z
x
y
x
z
φ
78. 78
PDP HOMOGEN TINGKAT
TINGGI DENGAN KOEFISIEN-
KOEFISIEN KONSTAN
PERSAMAAN SEJENIS
yang linier pada variabel terikat z dan
turunan-turunan parsialnya
PDP linier tingkat 1)
adalah 3 tingkat turunan
tertinggi
( )
yx
eyz
y
z
x
x
z
x
yx
z
xy
x
z
y
z
yx
z
x
x
z
yx
+
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
+
3
2
2
2
3
3
2
3
3
3
22
5
2)1
79. 79
PDP Linier Sejenis
di mana turunan-turunannya
bertingkat sama homogen
PDP Linier Homogen Dengan
Koefisien-koefisien Konstan
,
2
y
2)
32
3
3
2
2
2
3
3
3
2
yx
y
z
yx
z
x
z
xy
x
z
x
+=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
0)3 =
∂
∂
+
∂
∂
y
z
B
x
z
A