Persamaan Diferensial

2. homogen
3
)
,
(
.
2
3
derajat
homogen
2
)
,
(
.
1
:
)
,
(
)
,
(
jika
n
derajat
homogen
disebut
)
,
(
2
2
2
3
tidak
xy
x
y
x
f
y
x
x
y
x
f
Contoh
y
x
f
y
x
f
y
x
f n






 



3. Persamaan diferensial adalah persamaan yang
memuat turunan atau diferensial.
Apabila y fungsi dalam x, maka turunan y terhadap x
dinotasikan dengan
y dinamakan variabel tak bebas/terikat.
x dinamakan variabel bebas.
)
(
'
' x
f
dx
dy
y 


4. Beberapa permasalahan dalam berbagai bidang teknik,
fisika maupun bidang-bidang kehayatan yang
dimodelkan ke dalam bentuk persamaan diferensial.

5. CONTOH 1:
Misalkan maka turunannya adalah
x
e
x
y 2
2
sin 

x
e
x
dx
dy 2
4
cos 


6. CONTOH 2:
Misalkan , dengan suatu konstanta
sembarang bagaiamana bentuk persamaan
diferensialnya
(1)
karena , maka (2)
Dari (1) dan (2), maka bentuk PD adalah
mx
y  m
m
dx
dy

mx
y 
x
y
m 
x
y
dx
dy


7. Jenis Persamaan diferensial, Berdasarkan
Jumlah Variable bebas
1. Persamaan diferensial biasa (PDB), hanya
mengandung satu variabel bebas
Contoh :
,
2. Persamaan diferensial parsial (PDP), mengandung
lebih dari satu variabel bebas
Contoh :
x
e
y
dx
dy

 5 y
dx
dy
5

0







z
y
z
x
x
z

8. Tingkat (Orde) dan Derajat (Degree) suatu PD
1. Orde adalah tingkat turunan tertinggi yang muncul
dalam PD .
Contoh : 3
2 
 x
dx
dy Orde 1
Orde 2
x
y
y 

 1
'
'
' Orde 2
x
e
y
dx
dy
dx
y
d








 4
5
3
2
2

9. 2. Derajat adalah pangkat dari turunan tertinggi yang
muncul dalam PD (jika ditulis sebagai polinom dalam
turunan).
Contoh :
3
2 
 x
dx
dy Derajat 1
Derajat 1
x
y
y 

 1
'
'
' Derajat 2
x
e
y
dx
dy
dx
y
d








 4
5
3
2
2
Tingkat (Orde) dan Derajat (Degree) suatu PD

10. Latihan
Tentukan orde dan degree dari persamaan diferensial
berikut :
1.
2.
3.
3
6
4
3
3








 y
dx
dy
dx
y
d
3
1



x
y
dx
dy
0
3
2 2
2
2


 y
dx
dy
dx
y
d
x

11. Suatu persamaan yang tidak lagi memuat turunan
dan memenuhi suatu persamaan diferensial disebut
penyelesaian atau selesaian persamaan
diferensial.

12. , maka
Merupakan penyelesaian dari PD diatas
Apa yang bisa kita simpulkan ?
Secara umum solusi dari PD diatas dapat ditulis :
dimana c1 dan c2 adalah konstanta
0
4
2
2


dx
y
d
CONTOH :
3
5
2
atau
2
atau
2 2
2
2





 x
x
y
x
x
y
x
y
2
1
2
2 c
x
c
x
y 



13. CONTOH :
Manakah fungsi dibawah ini yang merupakan solusi
dari persamaan diferensial
a. c.
b. d.
x
y
y sin
" 

x
y sin

x
x
y sin
2
1

x
y cos

x
x
y cos
2
1



14. Selesaian Persamaan diferensial
1. Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial (PUPD)
adalah selesaian PD yang masih memuat konstanta
sebarang
2. Penyelesaian Partikulir/Khusus Persamaan
Diferensial (PPPD/PKPD) adalah selesaian PD yang
diperoleh dari PUPD dengan mengganti konstanta
dengan konstanta yang memenuhi syarat awal atau
syarat batas yang diberikan.

15. Latihan
Selidiki apakah fungsi berikut merupakan solusi dari PD
yang diberikan. NB: jika solusinya tentukan jenisnya
(PUPD/PKPD)
y
dx
dy
x
x
y 2
,
2
.
a 2


x
x
x
e
y
dx
dy
Ce
e
y 





 2
,
.
b 2
0
'
"
)
1
(
,
.
c 2
1 




 y
xy
y
x
e
C
x
C
y x

16. PERSAMAAN DIFERENSIAL
TINGKAT SATU
DERAJAT SATU
 P D T E R P I S A H
 P D D A PAT D I P I S A H K A N
 P D H O M O G E N
 P D E K S A K .

17. 0
)
,
(
)
,
( 
 dy
y
x
N
dx
y
x
M
Terpisah
PD
,
0
)
(
)
( 
 dy
y
g
dx
x
f
dipisahkan
dapat
PD
,
0
)
(
)
(
)
(
)
( 2
2
1
1 
 dy
y
g
x
f
dx
y
g
x
f
maka
,
)
,
(
)
(
dan
)
,
(
)
(
Jika y
x
N
y
g
y
x
M
x
f 

maka
,
)
,
(
)
(
)
(
dan
)
,
(
)
(
)
(
Jika 2
2
1
1 y
x
N
y
g
x
f
y
x
M
y
g
x
f 


18. 0
)
,
(
)
,
( 
 dy
y
x
N
dx
y
x
M
Homogen
PD
Eksak
PD
maka
sama,
berderajat
homogen
fungsi
merupakan
)
,
(
dan
)
,
(
Jika y
x
N
y
x
M
maka
,
)
,
(
)
,
(
Jika
x
y
x
N
y
y
x
M






19. PD Terpisah
Cara Penyelesaian
• Integralkan kedua ruas terhadap variabel
yang muncul dalam diferensialnya masing-
masing.

20. Contoh
Carilah selesaian dari 0
)
1
(
3


 dy
y
dx
x
Penyelesaian :
0
)
1
(
3


 dy
y
dx
x
dx
dy
y
dx
x 

 

 0
)
1
(
3
C
y
x 

 4
4
)
1
(
2
1
4
1

21. Latihan
Tentukan selesainnya
x
dx
dy

.
a
0
4
.
b 2



x
x
dx
y
dy
0
4
)
4
2
(
1
.
c 2
2




 x
x
dx
x
y
dy

22. PD dapat dipisahkan
Cara Penyelesaian
Ubahlan PD tersebut sehingga menjadi
PD terpisah, kemudian PD diselesaikan
menggunakan cara penyelesaian PD
terpisah

23. Contoh
Carilah selesaian dari 0
1
'
3 2


y
xyy
Penyelesaian :
0
)
1
(
3 2


 dx
y
dy
xy
dx
dx
x
dy
y
y


 


0
3
1
)
1
( 2
0
3
1
)
1
( 2



dx
x
dy
y
y
dx
dx
x
y
d
y 

 



0
3
1
)
1
(
)
1
(
2
1 2
2
C
x
y 

 ln
3
1
)
1
ln(
2
1 2
PD Terpisah

24. PD Homogen
Cara menyelesaikan :
1. Misalkan y = vx, kemudian subtitusikan ke PD
2. Ubah menjadi PD tersebut sedemikian
sehingga menjadi PD terpisah
3. Selesaikan dengan menggunakan cara PD
terpisah

25. Contoh
Carilah selesaian dari 0
3
)
( 2
3
3


 dy
xy
dx
y
x
Penyelesaian :
maka
3,
berderajat
homogen
fungsi
merupakan
3
)
,
(
,
)
,
( 2
3
3
xy
y
x
N
y
x
y
x
M 


PD
ke
an
Subtitusik
.
maka
,
Misalkan xdv
vdx
dy
vx
y 


0
]
[
]
[
3
)
]
[
( 2
3
3



 xdv
vdx
vx
x
dx
vx
x
0
3
3
)
1
( 2
4
3
3
3
3



 dv
v
x
dx
v
x
dx
v
x
0
3
3
)
1
( 2
3
3



 dv
xv
dx
v
dx
v
0
3
)
4
1
( 2
3


 dv
xv
dx
v

26. Contoh
0
)
4
1
(
3
1
3
2


 dv
v
v
dx
x
0
3
)
4
1
( 2
3


 dv
xv
dx
v
C
dv
v
v
dx
x


 
 )
4
1
(
3
1
3
2
C
v
d
v
dx
x



 
 )
4
1
(
)
4
1
(
4
1
1 3
3
C
v
x 

 3
4
1
ln
4
1
ln
sehingga
,
,
Karena
x
y
v
vx
y 

C
x
y
x 








3
4
1
ln
4
1
ln

27. Latihan
Tentukan selesainnya
x
x
y
dx
dy
dy
y
x
dx
y
x
y
x
dy
xy
dx
y
x
dy
y
e
dx
y
dy
x
y
dx
x
y
x
4
.
e
0
)
3
2
(
)
2
(
.
d
1
,
1
untuk
,
0
)
(
.
c
0
sin
)
1
(
cos
.
b
0
)
2
(
)
1
(
.
a
2
2
2




















28. dy
x
dx
y
dy
x
y
y
y
x
x
N
Nte
N
dt
dN
y
dy
x
y
dx
y
x
dy
x
y
x
dx
x
y
y
x
y
x
t
2
2
2
2
2
4
.
j
'
)
(
.
i
1
)
0
(
,
.
h
2
)
1
(
,
0
)
1
(
)
1
(
.
g
0
cos
)
cos
sin
(
.
f















