gggnnnnnnnnnnnnnnnnnn mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

1. 1
PERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK
Suatu PD : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dikatakan
PD Eksak jika ada suatu fungsi F(x,y) sehingga :
dF = M(x,y) dx + N(x,y) dy …….(1)
Rumus differensial :
)........(2..........
y
F
x
F
dydxdF






Maka dari (1) dan (2) diperoleh :
3).........(..........y)........M(x,
x
F



4).........(..........y)........N(x,
y
F



Untuk memeriksa apakah suatu PD merupakan PD
eksak adalah : x
N





y
M

2. 2
Untuk mencari solusi dari PD Eksak dapat melalui
persamaan (3) atau persamaan (4).
Dari persamaan (3)
c(y)y)A(x,dxy)M(x,y)F(x,y)M(x,
x
F
 


Untuk mencari c(y) turunkan F(x,y) terhadap y
y)N(x,(y)c'
y
F






y
A
 





 cdy)
y
A
-y)N(x,(c(y)
y
A
-y)N(x,(y)c'
Dari persamaan (4)
c(x)y)B(x,dyy)N(x,y)F(x,y)N(x,
F
 


y
Untuk mencari c(x) turunkan F(x,y) terhadap x
y)M(x,(x)c'
F






x
B
x
 





 cdx
B
)
x
-y)M(x,(c(x)
x
B
-y)M(x,(x)c'

3. 3
Contoh :
Selesaikan setiap PD dibawah ini :
1. (x2
– y) dx – x dy = 0
2. (x2
+ y2
) dx + 2xy dy = 0
3. (2x + ey
) dx + x ey
dy = 0
4. (x + y cos x) dx + sin x dy = 0
5. (x + y + 1) dx + (x – y + 3) dy = 0

4. 4
REDUKSI KEPERSAMAAN DIFFERENSIAL
EKSAK
Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah PD tidak
eksak dan dapat ditemukan suatu fungsi I(x,y)
sedemikian sehingga PD :
I(x,y) { M(x,y) dx + N(x,y) dy } = 0 merupakan PD
eksak, maka fungsi I(x,y) dinamakan factor
integrasi dari PD tersebut.
Ada beberapa jenis factor integrasi antara lain
)(.1 xf
N
x
N
y
M
Jika 





suatu fungsi dari x saja
maka
 dxxf
e
)(
adalah factor intergrasi dari
PD tsb.

5. 5
)(.2 yg
M
x
N
y
M
Jika 





suatu fungsi dari y saja
maka
 dyyg
e
)(
adalah factor intergrasi dari
PD tsb.
3. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 merupakan
PD Homogen dan xM + yN ≠ 0 , maka :
yNxM 
1
adalah faktor integrasi dari PD tsb.
4. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat ditulis
dlm bentuk : y f(x,y) dx + x g(x,y) = 0 , dimana
f(x,y) ≠ g(x,y) maka yNxM 
1
adalah foktor
integrasi dari PD tersebut.

6. 6
Contoh :
Selesaikan setiap PD dibawah ini :
1. (2y –x3
) dx + x dy = 0
2. 3x2
y2
dx + (4x3
y – 12 ) dy = 0
3. (xy + y2
) dx – x2
dy = 0
4. (x2
y3
+ 2y) dx + (2x - 2x3
y2
) dy = 0

7. 7
PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER
ORDE PERTAMA
Bentuk umum :
Q(x)P(x)  y
dx
dy
Persamaan ini mempunyai factor integrasi :
 dx)(xP
e
Solusi umu dari PD ini adalah :
cdxexQey
xPxP

 )(
dx)(dx)(
Contoh :
1.
2x
e2  y
dx
dy
2.
x
e
x
y
dx
dy 2
x2 
3. 4x2  y
dx
dy

8. 8
PERSAMAAN DIFFERENSIAL BERNOULLI
Bentuk umum :
)()( xQyxyP
dx
dy n

Dengan transformasi :
dx
dz
dx
dy
yz n
n-1
1
y
1
dan n
1
 
akan menghasilkan persamaan differensial
linier orde satu :
)()1()()1( xQnxzPn
dx
dz

mempunyai solusi umum PD :
cdxexQnez
dxxPndxxPn
 

)()1()()1(
.)()1(.

9. 9
contoh :
)1(.1 32 x
eyy
dx
dy

)3(.2 22
xxy
x
y
dx
dy

)(.3 66
xxydxydyx 
xxyy
dx
dy
lnx.4 2
