Ασκήσεις από Βιβλίο: Πανεπιστημιακή φυσική (τόμος 1 και τόμος 2), D. Young Hugh, εκδόσεις Παπαζήση.

1. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 77
Η επιτάχυνση μπορεί επίσης να παρασταθεί συναρτήσει των συνιστωσών της παράλ­
ληλα και κάθετα προς τη διεύθυνση της στιγμιαίας ταχύτητας.
κεντρομόλος επιτάχυνση
περίοδος• Στην κίνηση βλημάτων, αχ = Ο και ay = -g. Οι συντεταγμένες και οι συνιστώσες της
ταχύτητας, συναρτήσει του χρόνου, είναι σχετικ1j ταχύτητα.
χ = (υο cos ao)t,
y = (υο sin ao)t - tgt2•
υχ = υο COS αο,
Vy = υο sin αο - gt.
Ημορφή της τροχιάς βλήματος είναι πάντοτε παραβολή.
(3-20)
(3-21)
(3-22)
(3-23)
• Όταν ένα σωμάτιο κιΥείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R με ταχύτητα υ, έχει επιτά­
χυνση με μέτρο
2
α - υrad -
R' (3-30)
που πάντοτε κατευθύνεται προς το κέντρο του κύκλου κάθετα προς το υ. Η περίοδος
Ττης κυκλικής κίνησης είναι ο χρόνος μιας περιφοράς. Εάν το μέτρο της ταχύτητας εί­
ναι σταθερό, τότε υ = 2πR/Υ,και
(3-32)
Όταν το μέτρο της ταχύτητας δεν είναι σταθερό, υπάρχει επίσης μια συνιστώσα της α
παράλληλη προς την τροχιά· αυτή είναι ίση προς το ρυθμό μεταβολής του μέτρου της
ταχύτητας, dυ/dt.
• Όταν σώμα Ρκινείται σε σχέση με άλλο σώμα (ή σύστημα αναφοράς) Β, και το Β
κινείται σε σχέση με το Α, παριστάνουμε την ταχύτητα του Ρως προς τοΑ με VΡΙΑκαι
την ταχύτητατουΒ ως προς τοΑ με v81A. Αυτές οι ταχύτητες συνδέονται με την
(3-35)
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ _______________________
Εδάφιο 3-1
Το διάνυσμα της ταχύτητας
3-1 Ένας σκίουρος έχει συντεταγμένεςχ καιy (2,7 m, 3,8 m) τη
στιγμή ι, = Ο, και συντεταγμένες (-4,5 m, 8,1 m) τη στιγμή ιz = 4,0 s.
Για το χρονικό διάστημα μεταξύ tι και tz βρείτε a) τις συνιστώσες
της μέσης ταχύτητας b) το μέτρο καιτην κατεύθυνση της μέσης τα­
χύτητας.
3-2 Ένας ελέφαντας είναι στην αρχή των συντεταγμένων τη
στιγμή ι, = Ο. Για το χρονικό διάστημα από ι, = Ο έως ιz = 20,0 s,
η μέση ταχύτητατου ελέφαντα έχει συνιστώσες (υx)av = 3,6 m/s και
(υy)av = - 5,2 m/s. Τη στιγμή ιz = 20,0 s, a) ποιες είναι οι συντεταγ­
μένεςχ καιy του ελέφαντα; b) Πόσο μακριά από την αρχή είναι ο
ελέφαντας;
Εδάφιο 3-2
Το διάνυσμα της επιτάχυνσης
3-3 Ένααεριωθούμενο τη στιγμή ι, = Ο έχει συνιστώσες ταχύτη­
ταςVx = 190 m/s καιVy = - 120 m/s. Τη στιγμή ιz = 20,0 s οι συνιστώ­
σες της ταχύτητας είναι Vx = 110 m/s, Vy = 60 m/s. Για το χρονικό
διάστημα μεταξύ ι, και ιzυπολογίστε a) τις συνιστώσες της μέσης ε­
πιτάχυνσης b) το μέτρο καιτην κατεύθυνση της μέσης επιτάχυνσης.
3-4 Ένας σκύλος που τρέχει σε κάποιο χωράφι έχει συνιστώσες
ταχύτηταςVx = 4,5 m/s καιVy = 3,2 m/sτη στιγμή ι, = 10,0 s. Γιατο
χρονικό διάστημα από το ι, = 10,0 s έως ιz = 20,0 s η μέση επιτά­
χυνση του σκύλου έχει μέτρο 0,55 m/s' και κατεύθυνση 52,0 ο από
τον άξονα + χ προς την αντίθετη φορά της κίνησης των δεικτών
του ρολογιού. Τη στιγμή ι = 20,0 s, a) ποιες είναι οι συνιστώσεςχ
καιy της ταχύτητας του σκύλου; b) Ποιο είναι το μέτρο και η κα­
τεύθυνση της ταχύτηταςτου σκύλου;
3-5 Οι συντεταγμένες ενός πουλιού που πετά στο επίπεδο xy
δίνονται ως συναρτήσεις του χρόνου από τις σχέσεις χ =2,0 m ­
αι και y = βι', όπου α = 3,6 m/s και β = 2,8 m/s'. a) Υπολογί­
στε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του πουλιού
συναρτήσει του χρόνου. b) Υπολογίστε το μέτρο και την κατεύ­
θυνση της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του πουλιού τη στιγμή
ι = 3,0 s.
*3-6 Ένα μοτοποδήλατο κινείται στο επίπεδοχy με επιτάχυνση α
= αι'ί + βιj, όπου α = 1,2 m/s' καιβ = 3,5 m/s'. a) Υποθέτοντας
ότι το μοτοποδήλατο είναι σε ηρεμία στην αρχή των αξόνων τη
στιγμή ι = Ο, βρείτε τις εκφράσεις για την ταχύτητα και τα διανύ­
σματα θέσης συναρτήσει του χρόνου. b) Σχεδιάστε τη διαδρομή
του μοτοποδηλάτου. c) Βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση ταχύ­
τητας τη στιγμή ι = 3,0 s.

2. 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
Εδάφιο 3-3
Κίνηση βλημάτων
3-7 Βιβλίο φυσικής γλιστρά και ξεφεύγει από οριζόντιο τραπέ­
ζι με ταχύτητα 3,6 m/s. Κτυπά το πάτωμα μετά από 0,500 s. Να
βρείτε a) το ύψος της επιφάνειας του τραπεζιού από το πάτωμα·
b) την οριζόντια απόσταση από την ακμή του τραπεζιού ως το ση­
μείο που το βιβλίο κτυπά το πάτωμα· c) την οριζόντια και κατα­
κόρυφη συνιστώσατης ταχύτητας του βιβλίου και το μέτρο και την
κατεύθυνση της ταχύτητάς του ακριβώς πριν φθάσει στο πάτωμα.
3-8 Μια μπάλα τένις κυλά και πέφτει από την επιφάνεια τρα­
πεζιού που είναι 1,00 m πάνω από το πάτωμα και κτυπάτο πάτω­
μα σε σημείο που απέχει 2,20 m οριζόντια απόσταση από την ακ­
μή τουτραπεζιού. a) Να βρείτε τοχρόνοπτήσης. b) Να βρείτε το
μέτρο της αρχικής ταχύτητας. c) Να βρείτε το μέτρο και την κα­
τεύθυνση της ταχύτητας της μπάλας ακριβώς πριν κτυπήσει το πά­
τωμα. Σχεδιάστε ένα διάγραμμα υπό κλίμακα.
3-9 Ένας σκοπευτής ρίχνει με όπλο διαμετρήματος 0,22 οριζό­
ντια εναντίον στόχου. Η σφαίρα έχει ταχύτητα εξόδου από την
κάννη 275 m/s. a) Πόσο πέφτει η σφαίρακατάτη διάρκεια της ο­
λικής πτήσης της εάν ο στόχος είναι 50 m μακριά; b) Σχεδιάστε έ­
να διάγραμμα της κατακόρυφης πτώσης της σφαίρας συναρτήσει
της απόστασης απότο στόχο.
3-10 Ρίψη βόμβας. Έναστρατιωτικόαεροπλάνο σε κανο­
νική εκπαιδεmική αποστολή πετά οριζοντίως με ταχύτητα 100 m/s
και κατά λάθος αφήνει βόμβα (ευτυχώς χωρίς γόμωση) σε ύψος
2000 m. a) Πόσοςχρόνος απαιτείται ώστε η βόμβα να φτάσει στη
Γη; b) Πόσο μακριά πηγαίνει οριζόντια, ενώ πέφτει; c) Να βρείτε
την οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητάς της ακρι­
βώς πριν κτυπήσει τη Γη. d) Αν η ταχύτητατου αεροπλάνου παρα­
μένει σταθερή, πού είναιτο αεροπλάνο ότανη βόμβα κτυπά τη Γη;
3-11 Ο Jose Canseco ρίχνει τη μπάλα του μπέιζμπολ υπό γωνία
53,1 ο ως προς τον ορίζοντα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα 45,0
m/s. a) Ποιες στιγμές είναι η μπάλα 25,0 m ψηλότερα από το ση­
μείο που ρίχτηκε; b) Υπολογίστε την οριζόντια και την κατακόρυ­
φη συνιστώσα τηςταχύτητας της μπάλας για την κάθε μία από τις
στιγμές που υπολογίστηκαν στο (a). c) Πόσο είναι το μέτρο και η
κατεύθυνση της ταχύτητας όταν επιστρέφει στο επίπεδο από το ο­
ποίο είχε ριχτεί;
3-12 Ο John Elway ρίχνει τη μπάλα του ράγκμπι με αρχική κα­
τακόρυφη συνιστώσαταχύτητας προς τα επάνω 18,0 m/s και ορι­
ζόντια συνιστώσα 25,0m/s. Πόσος χρόνος απαιτείται ώστε η μπά­
λα να φτάσει στουψηλότερο σημείο της τροχιάς της; b) Πόσο ψη­
λά είναι αmό το σημείο; c) Πόσος χρόνος (μετά το ρίξιμο) απαι­
τείται ώστε η μπάλα να φτάσει στο αρχικό της επίπεδο; Πώς συ­
γκρίνεταιαυτό με το χρόνο που υπολογίστηκε στο (a); d) Σε ποια
οριζόντια απόσταση έφτασε η μπάλακατάτη διάρκεια αυτού του
χρόνου;
3-13 Ένα πιστόλι φωτοβολίδων δίνει στη φωτοβολίδα αρχική
ταχύτητα 240 m/s. a) Εάν η φωτοβολίδα βάλλεται υπό γωνία 55 ο
προς τα πάνω ως προς τον ορίζονταστην πεδιάδα της Θεσσαλίας,
πόσο είναι το οριζόντιο βεληνεκές της; b) Εάν η φωτοβολίδα βάλ­
λεται υπό την ίδια γωνία στο επίπεδο της θάλασσας της Γαλήνης
στο φεγγάρι όπου g = 1,6 m/s', πόσο είναι το οριζόντιο βεληνεκές
της;
3-14 Μια μπάλα μπέιζμπολπου χτυnήθηκε από το ρόπαλοπαί­
κτη αφήνει το ρόπαλο υπό γωνία 30ο πάνω από τον ορίζοντα και
πιάνεταιαπότονεξωτερικό παίκτη 122 m απότην εστία (το μέρος
που στέκεται ο παίκτης με το ρόπαλο). Υποθέστε ότι το ύψος του
σημείου στο οποίο χτυπήθηκε είναιτο ίδιο με το ύψος του σημείου
που πιάστηκε. a) Ποια ήταν η αρχική ταχύτητα της μπάλας;
b) Πόσο ψηλά έφτασε απότο σημείο που χτυπήθηκε απότο ρόπα­
λο;
ΣΧΗΜΑ 3-26
3-15 Ένας άντρας στέκεται στη σκεπή κτιρίου το οποίο είναι
30,0 m ψηλό και ρίχνει μια πέτρα με ταχύτητα που έχει μέτρο 60,0
m/s και υπό γωνία 33,0ο πάνω από τον ορίζοντα. Υπολογίστε a)
Το μέγιστο ύψος που έφτασε η πέτρα πάνω από τη σκεπή· b) το
μέτρο της ταχύτητας της πέτρας ακριβώς πριν κτυπήσειτο έδαφος
c) την ιροζόντια απόσταση από τη βάση του κτιρίου ως το σημείο
που η πέτρα κτυπά το έδαφος.
3-16 Όπλοτου αμερικανικού εμφυλίου πολέμου που ονομαζό­
ταν Δικτάτωρ εκτόξευε τα βλήματα βάρους 90,7 kg σε μέγιστη α­
πόσταση 4345 m, όταν το βλήμα βαλλόταν υπό γωνία 45 ο πάνω α­
πό τον ορίζοντα. a) Πόσο ήταν το μέτρο της ταχύτητας του βλήμα­
τος (καθώς άφηνε το σωλήνα του όπλου;) b) Σε ποιο μέγιστο ύψος
από την επιφάνειατου εδάφους έφθανε το βλήμα;
3-17 Σε λούνα-παρκ κερδίζετε μια παραγεμισμένη καμηλο­
πάρδαλη εάν ρίξετε ένα κέρμα μέσα σε ένα μικρό πιάτο. Το πιάτο
είναι σε ράφι πιο ψηλά από το σημείο που ρίχνετε το κέρμα και σε
οριζόντια απόσταση 2,1 m από το σημείο ρίψης (Σχ. 3-26). Εάν
ρίξετε το κέρμα με ταχύτητα 6,4 m/s και γωνία 60ο πάνω από τον
ορίζοντα, το κέρμα πέφτει στο πιάτο. a) Πόσο είναι το ύψος του
ραφιού πάνω από το επίπεδο του σημείου που αφήνει το χέρι σας
το κέρμα; b) Ποια είναι η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας
του κέρματος ακριβώς πριν πέσει στο πιάτο;
3-18 Υποθέστε ότι η αρχική γωνία α0 στο Σχ. 3-16 είναι 58,0°
και η απόσταση d είναι 5,00 m. Πού θα συναντηθούν το βέλος και
ο πίθηκος εάν το μέτρο της αρχικής ταχύτητας του βέλους είναι
a) 22,0 m/s; b) 14,0 m/s; c) Τι θα συμβεί εάν το μέτρο της αρχι­
κής ταχύτητας του βέλους είναι 6,0 m/s; Σχεδιάστε την τροχιά σε
κάθε περίπτωση.
Εδάφιο 3-4
Ομαλή κυκλική κίνηση
3-19 Η Γη έχει ακτίνα 6,38 χ 10' m και περιστρέφεται μια φο­
ρά περί τον άξονά της σε 24 h. Πόση είναι η ακτινική επιτάχυνση
ενός αντικειμένου στον ισημερινό της Γης σε m/s';
3-20 Η ακτίνα της τροχιάς της Γης περί τον Ήλιο (υποτίθεται
κυκλική τροχιά) είναι 1,49 χ 10" m, και η Γη διανύει αυτή την
τροχιά σε 365 μέρες. a) Ποιο είναι το μέτρο της τροχιακής ταχύτη­
τας της Γης σε m/s; b) Ποια είναι η ακτινική επιτάχυνση της Γης
προς τον Ήλιο σε m/s';
3-21 Ο μεγάλος κατακόρυφος τροχός λούνα-παρκ ακτίνας 14,0
m γυρίζειγύρωαπό οριζόντιο άξονα που διέρχεται απότο κέντρο
του (Σχ. 3-27). Η γραμμική ταχύτητα του επιβάτη στο άκρο έχει
σταθερό μέτρο ίσο προς 9,00m/s. a) Ποιο είναι το μέτρο και η κα­
τεύθυνση της επιτάχυνσης του επιβάτη καθώς περνά από το κατώ-

3. ΣΧΗΜΑ 3-27
τατο σημείο της κυκλικής τροχιάς; b) Πόσο χρόνο χρειάζεται ο
τροχός για να κάνει μια περιστροφή;
3-22 Έναμοντέλοτης έλικας ελικοπτέρου έχει τέσσερα πτερύ­
για, καθένα 3,20 m μήκους (από τον κεντρικό άξονα ως την άκρη
του πτερυγίου). Το μοντέλο αυτό περιστρέφεται σε αεροσήραγγα
με 1500 reν/min. a) Ποια είναι η γραμμική ταχύτητα της άκρης
του πτερυγίου σε m/s; b) Ποια είναι η ακτινική επιτάχυνση της ά­
κρης του πτερυγίου εκφρασμένη σε πολλαπλάσια της επιτάχυνσης
της βαρύτητας, g;
Εδάφιο 3-5
Σχετική ταχύτητα
3-23 Ένας πιλότος αεροπλάνου επιθυμείνα πετάξειπρος βορ­
ρά. Άνεμος ταχύτητας 80,0 km/h φυσά προς τα δυτικά. a) Εάν η
ταχύτητα πτήσεως του αεροπλάνου (η ταχύτητά του ως προς ακί­
νητο ή κινούμενο αέρα) είναι 290,0 km/h, προς ποια κατεύθυνση
πρέπει να κατευθυνθεί ο πιλότος; b) Ποια είναι η ταχύτητα του
αεροπλάνου ως προς το έδαφος; Σχεδιάστε το διανυσματικό διά­
γραμμα.
3-24 Ένας επιβάτης πάνω σε πλοίο το οποίο ταξιδεύει προς α­
νατολάς με ταχύτητα 26,0 knots (κόμβων) ως προς τη Γη, παρατη­
ρεί ότι ο καπνός από τα φουγάρα του πλοίου σχηματίζει γωνία
20° μετονάξονα τουπλοίου (Σχ. 3-28). Ο άνεμος πνέει από νότο
προς βορρά. Υποθέστε ότι ο καπνός μόλις εγκαταλείπει τα φου­
γάρα αποκτάταχύτητα (ως προς τη Γη) ίση με την ταχύτητα του α­
νέμου. Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας του ανέμου σε κόμβους.
(Ένας κόμβος είναι μονάδα ταχύτητας χρησιμοποιούμενη από
τους ναmικούς 1 κόμβος = 1,852 km/h).
79
3-25 Ποτάμι ρέει προς βορρά με ταχύτητα 2,4 m/s. Άνθρωπος
διασχίζει με βάρκα το ποτάμι· η ταχύτητά του ως προς το νερό εί­
ναι 3,5 m/s προς ανατολάς. Το ποτάμι έχει πλάτος 1000 m. a)
Ποια είναι η ταχύτητά του ως προς την όχθη; b) Πόσος χρόνος α­
παιτείται για να διασχίσει το ποτάμι; c) Πόσο θα έχει μετατοπι­
στεί κατά τη διεύθυνση βορρά-νότου από το σημείο εκκίνησης ό­
ταν φτάσει στην αντίπερα όχθη;
3-26 a) Σε ποια ακριβώς κατεύθυνση πρέπει να διευθύνεται η
βάρκα στην Άσκηση 3-25, για να φθάσει σε σημείο ακριβώς στην
απέναντι όχθη ανατολικά από το σημείο εκκίνησης; b) Ποια είναι
η ταχύτητα της βάρκας ως προς τη Γη; c) Πόσος χρόνος απαιτείται
για να διασχίσειτο ποτάμι;
ΣΧΗΜΑ 3-28
Εδάφιο 3-6
υ = 26.0 κόμβοι
___...
Τροχιές μπάλας μπέιζμπολ: Μια ειδική
μελέτη προσομοίωσης με υπολογιστή
3-27 Χρησιμοποιήστε τον αλγόριθμο του Εδ. 3-6 σε υπολογι­
στή. Υποθέστε ότι το αντικείμενο είναι μπάλα μπέιζμπολ με m =
0,145 kg, r = 0,0366 m και C = 0,5. Υπό ποια γωνία πρέπει να χτυ­
πηθεί ή να ριχτεί η μπάλα ώστε να μεγιστοποιηθεί το βεληνεκές;
Υποθέστε ότιότιυο = 50 m/s.
3-28 Ο Βο Jackson έριξε τη μπάλατου μπέιζμπολ σε απόσταση
90 m από το αριστερό άκρο στο σημείο του τέρματος. Υποθέτο­
ντας θ = 40° , με ποια ταχύτητα έριξε τη μπάλα; Είναι αυτό ένα
καλό ρεκόρ ρίψης της μπάλας;
3-29 Στο τέννις, 160 km/h είναι μια πολύ καλή ταχύτητα για
σέρβις. Πόσο γρήγορα κινείται η μπάλα όταν περνά την οριακή
γραμμή στο απέναντι τμήμα του γηπέδου (24 m απόσταση); Υπο­
θέστε ότι m = 0,055 kg, r = 0,031 m, C = 0,75.
3-30 Να εκτιμήσετε τη μέγιστη απόσταση που μπορεί ένας άν­
θρωπος να ρίξει μια μπάλα πινγκ-πονγκ. Μια μπάλα πινγκ-πονγκ
έχει ι· = 0,019 m και m = 0,0024 kg. Γιατί η μπάλα μπέιζμπολ μπο­
ρεί να ριχτεί πολύ μακρύτερα από μια μπάλα πινγκ-πονγκ;
Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Α ______________________
3-31 Οι συντεταγμένες σωματίου που κινείται στο επίπεδο xy
δίνονται ως συναρτήσεις του χρόνου από τις σχέσειςχ = at καιy =
19,0 m -βt', όπουα = 1,40 m/s, καιβ = 0,800 m/s'. a) Ποια είναι η
απόσταση του σωματίου από την αρχή τη στιγμή ι = 2,00 s; b)
Ποια είναι η ταχύτητα του σωματίου (μέτρο και κατεύθυνση) τη
στιγμή ι = 2,00s; c) Ποια είναι η επιτάχυνση του σωματίου (μέτρο
και κατεύθυνση) τη στιγμή ι = 2,00 s; d) Ποιες στιγμές η ταχύτητα
του σωματίου είναι κάθετη προς την επιτάχυνσή του; e) Ποιες
στιγμές η ταχύτητα του σωματίου είναι κάθετη προςτο διάνυσμα
θέσης; f) Ποιες είναι οι θέσεις του σωματίου αυτές τις χρονικές
στιγμές; g) Ποια είναι η ελάχιστη απόσταση του σωματίου από την
αρχή; Ποιες στιγμές συμβαίνει αυτό το ελάχιστο; h) Σχεδιάστε την
τροχιά του σωματίου.
*3-32 Ένα ελαττωματικό μοντέλο πυραύλου κινείται στο επίπε­
δοxy ενός συστήματος συντεταγμένων του οποίου η θετική κατεύ­
θυνσηy είναι κατακόρυφη προς τα επάνω. Η επιτάχυνση του πυ­
ραύλου έχει συνιστώσες που δίνονται από αχ = αι' και ay = β - γι,
όπου α = 2,50 m!s', β = 12,0 m/s' και γ = 2,00 m/sΌ Όταν ι = Ο ο
πύραυλος είναι στην αρχή των συντεταγμένων και έχει αρχική τα­
χύτητα Vo = Voxi + Voyj με Vox = 2,00 m/s και υοy = 6,00 m/s.

4. 80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
α) Υπολογίστε τα διανύσματα της ταχύτητας και θέσης συναρτή­
σει του χρόνου. b) Ποιο είναι το μέγιστο ύψος που φθάνει ο πύ­
ραυλος; c) Ποια είναι η οριζόντια μετατόπιση τουπυραύλου όταν
επιστρέφει στοy = Ο;
*3-33 Ένα πουλί πετά στο επίπεδο xy με διάνυσμα ταχύτητας
που δίνεται από υ = (α -βt')i + γιj, όπου α = 2,1 m/s,β = 3,6 m/s'
και γ = 5,0 m/s' και όπου η θετική κατεύθυνση y είναι κατακόρυ­
φα προς τα επάνω. Όταν ι = Ο το πουλί είναι στην αρχή των συ­
ντεταγμένων. a) Υπολογίστε τα διανύσματα θέσης και επιτάχυν­
σης του πουλιού συναρτήσει του χρόνου. b) Ποιο είναι το ύψος
του πουλιού (συντεταγμένη y) καθώς πετά πάνω από τοχ = Ο για
πρώτη φορά μετάαπότη στιγμή ι = Ο;
3-34 Ένας παίκτης κλωτσάτη μπάλαυπόγωνία 40,0° πάνω α­
πό την οριζόντια διεύθυνση και με αρχική ταχύτητα 14,0 m/s.
Ένας δεύτερος παίκτης που στέκεται σε απόσταση 30,0 m απότον
πρώτο (στην κατεύθυνση του κτυπήματος) αρχίζει να τρέχει τη
στιγμή του κτυπήματος για να συναντήσει τη μπάλα. Πόσο γρήγο­
ρα πρέπει να τρέξει για να φθάσει τη μπάλαπριν φτάσει στο έδα­
φος;
3-35 Στην κατάσβεση πυρκαγιών στα δάση, αεροπλάνα βοη­
θούν τους πυροσβέστες εδάφους ρίχνοντας νερό στις φωτιές.
Ένας πιλότος προπονείται ρίχνοντας ένα μπετόνι κόκκινης βα­
φής, προσπαθώντας να κτυπήσει το στόχο στο έδαφος. Εάν το αε­
ροπλάνο πετά με οριζόντια πορεία 70,0 m πάνω από το έδαφος
και με ταχύτητα 54,0 m/s, σε ποια οριζόντια απόσταση απότο στό­
χο πρέπει ο πιλότος να απελευθερώσει το μπετόνι;
3-36 Ένα κορίτσι ρίχνει ένα μπαλόνι γεμάτο νερό υπό γωνία
50,0 ο ως προς το έδαφος με ταχύτητα 12,0 m/s. Ένα αυτοκίνητο
προχωρά προς το κορίτσι με σταθερή ταχύτητα 8,00 m/s (Σχ.
3-29). Εάντο μπαλόνι χτυπά το αυτοκίνητο, πόσο μακριά πρέπει
να είναι το αυτοκίνητο όταν ρίχνεται το μπαλόνι;
/
-;--.ι;:-.1
--L.__j
υ = 8,00 m/s
�
ΣΧΗΜΑ 3-29
3-37 Το μακρύτερο κτύπημα στο μπέιζμπολ. Σύμ­
φωνα με το βιβλίο των παγκοσμίων ρεκόρ Guinnes, η μακρύτερη ο­
ριζόντια απόσταση που διήνησε μπάλα του μπέιζμπολ και έχει κα­
ταμετρηθεί, οφείλεται στο χτύπημα της μπάλας από τον Roy
<<Dizzy>> Carlyle σε παιγνίδι χαμηλής κατηγορίας. Η απόσταση έ­
φθασε τα 188 m, και η μπάλα χτύπησε το έδαφος εκτός γηπέδου. a)
Υποθέτοντας ότι η αρχική ταχύτητα της μπάλας σχημάτισε γωνία
45 ο πάνω από την οριζόντια διεύθυνση και παραμελώντας την α­
ντίσταση του αέρα, ποιο ήταν το αρχικό μέτρο της ταχύτητας της
μπάλας εάν χτυπήθηκε σε ένα σημείο 0,9 m πάνωαπό το έδαφος;
Υποθέστε ότι το έδαφος είναι τελείως επίπεδο. b) Πόσο πιο πάνω
από φράκτη ύψους 3,0 m που βρίσκεται 116 m από την εστία (ση-
μείο που χτυπήθηκε η μπάλα) θα περάσει η μπάλα;
3-38 Μπάλα του μπέιζμπολ ρίχνεται υπό γωνία 60ο πάνω από
την οριζόντια διεύθυνση και κτυπά σε κτίριο 36,0 m μακριά σε ση­
μείο που είναι 15,0 m πάνω από το σημείο που ρίχνεται. a) Βρείτε
το μέτρο της αρχικής ταχύτητας της μπάλας (ταχύτητα με την ο­
ποία ρίχτηκε). b) Βρείτε το μέτρο καιτην κατεύθυνση της ταχύτη­
τας της μπάλας ακριβώς πριν κτυπήσει το κτίριο.
3-39 Ένα αεροπλάνο βουτά υπό γωνία 40,9ο κάτω από την ο­
ριζόντια διεύθυνση και ρίχνει ταχυδρομικό σάκο από ύψος 900 m.
Ο σάκος κτυπά στο έδαφος 6,00 s μετάτο ρίξιμό του. a) Ποια εί­
ναι η ταχύτητα του αεροπλάνου; b) Πόσο μακριά ταξιδεύει οριζό­
ντια κατά τη διάρκεια της πτώσης του; c) Πόση είναι η οριζόντια
και η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητάς του ακριβώς πριν
κτυπήσει το έδαφος;
I14,00 m/s
1 .-Ε----71
4,0 m/s
ΣΧΗΜΑ 3-30
3-40 Χιονομπάλακυλάαπότην οροφή αποθήκης που έχει κλί­
ση, προς τα κάτω, γωνίας 40ο (Σχ. 3-30). Το χείλος της οροφής εί­
ναι 14,0 m πάνω από το έδαφος και η χιονομπάλα έχει ταχύτητα
7,0 m/s καθώς αφήνει την οροφή. a) Πόσο μακριά από την πλευρά
της οροφής κτυπά η χιονομπάλα το έδαφος, εάν δεν συναντήσει
τίποτα άλλο κατά την πτώση της; b) Ένας άνδρας ύψους 1,9 m
στέκεται 4,0 m από την αποθήκη. Θα χτυπηθεί από τη χιονομπά­
λα;
3-41 Μπάλα του μπέιζμπολ που ρίχνεται από παίκτη του κέ­
ντρου του γηπέδου προς την εστία φθάνει σε μέγιστο ύψος 24,4 m
πάνω από το σημείο (επίπεδο) από το οποίο ρίχτηκε. Η μπάλα ρί­
χτηκε υπό γωνία 40,0ο προς τα πάνω απότην οριζόντια διεύθυνση
και πιάστηκε από έναν εσωτερικό παίκτη. a) Πόσο μακριά ταξι­
δεύει οριζόντια; b) Για πόσο χρόνο είναι στον αέρα; c) Πόσο εί­
ναιτο μέτρο της ταχύτητάς της ακριβώς πριν πιαστεί;
3-42 Αιώρα τσίρκου. Ένανέο νούμερο τσίρκου είναιτο ε­
ξής: η aξιαγάπητη Mary Belle αιωρείται σε αιώρα, εκτοξεύει το
σώματης υπόγωνία53 ο, και υποτίθεται πιάνεταιαπότον Joe Bob,
του οποίου τα χέρια είναι σε σημείο 6,1 m πάνω και 8,2 m οριζό­
ντια από το σημείο εκτίναξής της (Σχ. 3-31). a) Ποια αρχική ταχύ­
τητα υ0 πρέπει να έχει η Mary Belle ώστε μόλις που φθάνει τον Joe
Bob; b) Γιατηναρχική ταχύτητα που υπολογίστηκε στο (a), ποιο εί­
ναι το μέτρο και η κατεύθυνση της ταχύτητάς της όταν αυτή φθάνει
τον Joe Bob; c) Τη βραδιά της πρώτης παράστασης, ο Joe Bob τη
χάνει τελείως καθώς περνά πέρα απ' αυτόν. Πόσο μακριάταξιδεύ­
ει οριζοντίως η Mary Belle από το αρχικό σημείο εκτίναξης, πριν
να προσγειωθείστο δίχτυ ασφαλείας που είναι 8,6 m κάτω από ση­
μείο εκκίνησής της;

5. �6,lm
'
8,2 m8,6 mαπό το δίχτυ
ΣΧΗΜΑ 3-31
t
3-43 Φυσικός, καθηγητής πανεπιστημίου, κάνει επικίνδυνα α­
κροβατικά στον ελεύθερο χρόνο του. Το πιο πρόσφατο νούμερά
του ήταν να προσπαθήσει να πηδήξει ένα ποτάμι οδηγώντας μοτο­
ποδήλατο (Σχ. 3-32). Η ράμπα aπογείωσης είχε κλίση 53,0°, το
ποτάμιήταν 40,0 m πλατύ και η απέναντι όχθη ήταν 15,0 m κάτω
απότο απώτατο σημείο της ράμπας. Το ίδιο το ποτάμι ήταν 100 m
κάτωαπότη ράμπα. Ποιο θα έπρεπε να είναιτο μέτρο της ταχύτη­
τάς του στην κορυφή της ράμπας ώστε μόλις που να φθάσει στην
άκρη της απέναντι όχθης;
-
ΣΧΗΜΑ 3-32
"Ι
4:0m��
3-44 Γυναίκα κασκαντέρ πηδά από ελικόπτερο 30,0 m απότο έ­
δαφοςτο ελικόπτερο κινείται με σταθερή ταχύτητα της οποίας οι
συνιστώσες είναι 10,0 m/s προς τα επάνω και 20,0 m/s οριζόντια
προς ανατολάς. Σε ποιο σημείο στο έδαφος (σχετικά με τη θέσητου
ελικοπτέρου όταν αυτή πηδάει) πρέπει να τοποθετηθούν τα αφρώ­
δη στρώματαπου θα ανακόψουντην πρόσκρουσή της στο έδαφος;
3-45 Παίκτηςτου μπάσκετ σε μια προσπάθεια layup, δέχεται έ­
να φάουλ καιπέφτει στο έδαφος. Κερδίζει δύο ελεύθερες βολές.
Το κέντρο του καλαθιού είναι σε οριζόντια απόσταση 4,21 m από
το σημείοτου φάουλ και σε ύψος 3,05 m πάνω από το δάπεδο (Σχ.
3-33). Στην πρώτη προσπάθεια ελεύθερης βολής ρίχνει τη μπάλα
υπόγωνία 35 ο πάνω από την οριζόντια διεύθυνση και με ταχύτητα
υο = 4,88 m/s. Η μπάλα ρίχνεται από ύψος 1,83 m πάνω από το δά­
πεδο.Αυτή η βολή αποτυγχάνει άσχημα. a) Ποιο είναι το μέγιστο
ύψοςπου φθάνει η μπάλα; b) Σε τι οριζόντια απόσταση στο πάτω­
μα,απότο σημείο ελεύθερης βολής κτυπά η μπάλα το δάπεδο; Για
τη δεύτερη ελεύθερη βολή η μπάλα περνά από το κέντρο του κα­
λαθιού. Σε αυτή τη δεύτερη βολή ο παίκτης ρίχνει πάλι τη μπάλα
35ο πάνω από τηνοριζόντια διεύθυνση και από ύψος 1,83 m πάνω
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 81
από το δάπεδο. c) Τι αρχική ταχύτητα έδωσε ο παίκτης στη μπάλα
στη δεύτερη προσπάθεια; d) Για τη δεύτερη προσπάθεια, ποιο εί­
ναιτο μέγιστο ύψοςπου έφθασε η μπάλα; Σε αυτότο σημείο, πόσο
μακριά είναι η μπάλα από το καλάθι κατά την οριζόντια διεύθυν­
ση;
3-46 Πέτρα ρίχνεται από την οροφή κτιρίου με ταχύτητα υ0 και
υπό γωνία θπάνω από την οριζόντια διεύθυνση. Τοκτίριο έχει ύ­
ψος h. Υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητας της πέτρας ακριβώς
ΣΧΗΜΑ 3-33
πριν κτυπήσει το έδαφος και δείξτε ότι αυτή η ταχύτητα είναι ανε­
ξάρτητη του θ.
3-47 Αποδείξτε ότι βλήμα βαλλόμενο υπό γωνία αο έχει το ίδιο
βεληνεκές με βλήμα που βάλλεται με την ίδιαταχύτηταυπό γωνία
(90° - αο).
3-48 Σε ταινία περιπέτειας, ο ήρωας πρόκειται να ρίξει χειρο­
βομβίδα από το αυτοκίνητό του, το οποίο πηγαίνει με 70,0 km/h,
προς το αυτοκίνητο του εχθρού του, το οποίο πηγαίνει με 110,0
km/h. Το αυτοκίνητοτου εχθρού είναι 14,6 m μπροστά από τον ή­
ρωα όταν ρίχνει τη χειροβομβίδα. Εάν ο ήρωας ρίχνει τη χειρο­
βομβίδα έτσιώστε η σχετική ως προς τον ίδιο αρχική της ταχύτητα
σχηματίζει γωνία 45ο πάνω από τον ορίζοντα, ποιο πρέπει να εί­
ναι το μέτρο της ταχύτητας; Τα αυτοκίνητα ταξιδεύουν προς την ί­
δια κατεύθυνση σε επίπεδο δρόμο. Βρείτε το μέτρο αυτής της τα­
χύτητας ως προςτον ήρωα και ως προς τη Γη.
3-49 Πέτρα δεμένη σε σχοινί κινείται στο επίπεδοxy· οι συντε­
ταγμένες της συναρτήσειτου χρόνου δίνονται από τις σχέσεις
χ = R cos ωt, y = R sin ωt.
όπουR και ω σταθερές. a) Δείξτε ότι η απόσταση της πέτρας από
την αρχή των συντεταγμένων είναι σταθερή και ίση προς R, δηλα­
δή, ότι η τροχιά της είναι κύκλοςακτίναςR. b) Δείξτε ότι για κά­
θε σημείο η ταχύτητα της πέτρας είναι κάθετη προς το διάνυσμα
θέσης. c) Δείξτε ότι η επιτάχυνση της πέτρας έχει πάντοτε αντίθε­
τη φορά από τη φορά του διανύσματος θέσης και έχει μέτρο ω'R.
d) Δείξτε ότι το μέτροτης ταχύτητας της πέτρας είναι σταθερό και
ίσο προς ωR. e) Συνδυάστε τα αποτελέσματα των (c) και (d) για
να δείξετε ότι η επιτάχυνση της πέτρας έχει σταθερό μέτρο υΊR.
3-50 Όταν η ταχύτητα ενός τρένου είναι 12,0 m/s προς ανατο­
λάς, οι σταγόνες της βροχής που πέφτουν κατακόρυφα ως προς τη
Γη κάνουν ίχνη σταπαράθυρατου τρένου που είναι κεκλιμένα κα­
τά 30° ως προς την κατακόρυφο. a) Ποια είναι η οριζόντια συνι­
στώσα της ταχύτητας μιας σταγόνας ως προς τη Γη; Ως προς το

6. 82 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
τρένο; b) Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας της σταγόνας ως
προςτη Γη; Ωςπροςτο τρένο;
3-51 Πιλότος αεροπλάνου καθορίζει με πυξίδα πορεία (κατεύ­
θυνση ατράκτου) ακριβώς δυτικά με ταχύτητα (ως προς τον αέρα)
220 km!h. Μετά από πτήση 0,500 h βρίσκεται πάνω από πόλη που
είναι 150 km δυτικά και 40 km νότια από το σημείο εκκίνησης. a)
Βρείτε την ταχύτητα του ανέμου (μέτρο και κατεύθυνση). b) Εάν
η ταχύτητατου ανέμου είναι 120 km!h προς νότο, προς ποια κατεύ-
θυνση πρέπει να θέσει ο πιλότος την πορεία του για να πάει ακρι­
βώς δυτικά; Πάρτε την ίδια ταχύτητα αέρος, 220 km!h.
3-52 Μια μηχανοκίνητη βάρκα ταξιδεύει με 18,0 km!h ως προς
τη Γη με κατεύθυνση 37,0° βόρεια της ανατολής. Εάν η ταχύτητα
της βάρκας που οφείλεται στον άνεμο είναι 3,20 km!h προς ανατο­
λάς και εκείνη που οφείλεται στο θαλάσσιο ρεύμα είναι 6,40 km!h
προς νότο, ποιο είναιτο μέτρο και η κατεύθυνση της ταχύτητας της
βάρκας που οφείλεται στη δική της κινητήρια δύναμη;
Π Ι Ο Σ Υ Ν Θ Ε Τ Α ΙΙ Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Α ______________
3-53 Όπλο βάλλει ένα μεγάλο αριθμό βλημάτων προς τα επά­
νω, με γωνίες ως προς την κατακόρυφο από Ο μέχρι 1 ο. Υποθέστε
ότι η αρχικήταχύτητα όλωντων βλημάτων είναι 200 m/s και αγνοή­
στε την αντίσταση του αέρα. a) Μέσα σε τι ακτίνα από το σημείο
βολής θα προσγειωθούν τα βλήματα; b) Εάν υπάρχουν 1000 βλή­
ματα και πέφτουν σχηματίζοντας ομογενή κατανομή εντός κύκλου
με ακτίνα αυτή που υπολογίστηκε στο (a), ποια είναι η πιθανότητα
ότι τουλάχιστον ένα βλήμα θα πέσει στο κεφάλι του ανθρώπου που
εκτελείτη βολή; Υποθέστε ότι το κεφάλι του έχει ακτίνα 10 cm. c)
Η αντίσταση του αέρα έχει διάφορα αποτελέσματα. Επιβραδύνει
τα ανερχόμενα βλήματα, ελαττώνει την οριζόντια συνιστώσα της
ταχύτητας και περιορίζει την ταχύτητα με την οποίαπέφτουν. Ποιο
από αυτά τα φαινόμενα τείνει να κάνει την ακτίνα μεγαλύτερη από
εκείνη που υπολογίστηκε στο (a) μέρος; και ποιο τείνει να την κά­
νει μικρότερη; Τινομίζετε ότι θα είναιτο συνολικό αποτέλεσματης
αντίστασηςτου αέρα; (το αποτέλεσμα της αντίστασης του αέρα σε
μια συνιστώσα ταχύτητας αυξάνει καθώς το μέτρο της συνιστώσας
αυξάνει).
3-54 Άνθρωπος βρίσκεται πάνω σε πλατφόρμα που ταξιδεύει
με ταχύτητα σταθερού μέτρου 9,10 m/s (Σχ. 3-34). Επιθυμεί να ρί­
ξει μια μπάλα μέσα από έναν ακίνητο δακτύλιο (στο έδαφος) που
βρίσκεται 4,90 m πάνω από το ύψος των χεριών του κατά τέτοιο
τρόπο ώστε η μπάλα να κινείται οριζόντιακαθώς θα περνά μέσα α­
πό το δακτύλιο του οποίου το επίπεδο είναι κατακόρυφο. Ρίχνει τη
_f_ _ _ _ _ _
4,90 m
_11: υ = 9,10 m/s
ΣΧΗΜΑ 3-34
μπάλα με ταχύτητα 13,4 m/s ως προςτον εαυτό του. a) Ποια πρέ­
πει να είναι η κατακόρυφη συνιστώσα της αρχικής ταχύτητας της
μπάλας; b) Σε πόσα δευτερόλεπτα μετά το ρίξιμο της η μπάλα θα
περάσει μέσα από το δακτύλιο; c) Σε ποια οριζόντια απόσταση
(πριν) από το δακτύλιο πρέπει να εκσφενδονίσει τη μπάλα;
3-55 Σε ένα βλήμα δίνεται αρχική ταχύτητα υπό γωνία φ πάνω
από την επιφάνεια κεκλιμένου επιπέδου μέτρου υο. Το κεκλιμένο
επίπεδο έχει γωνίακλίσηςθ ως προς την οριζόντια διεύθυνση (Σχ.
θ
ΣΧΗΜΑ 3-35
3-35). a) Υπολογίστε την απόσταση, μετρούμενη κατά μήκος του
κεκλιμένου επιπέδου, απότο σημείο βολής μέχριτο σημείο όπου το
βλήμα κτυπά το κεκλιμένο επίπεδο. Η απάντησή σας να δοθεί συ­
ναρτήσει των υ0, g, θ και φ. b) Ποια γωνία φ δίνει τη μέγιστη από­
σταση, μετρούμενη κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου; (Σημείω­
ση: Ίσως να ενδιαφέρεστε για τους τρεις διαφορετικούς τρόπους
λύσεως που παρουσιάζονται από τον I.R. Lapidus στο American
Journal ofPhysics Vol. 51 (1983), σελ. 806 και 847. Για μια ολοκλη­
ρωμένη μελέτη αυτού και μερικών παρομοίων προβλημάτων, δείτε
επίσης και το άρθρο του Η.Α. Buckmaster στο Amer. Jour. of
Phys., Vol. 53 (1985), σελ. 638-641.)
3-56 Αναφερθείτε στο πρόβλημα 3-55. a) Τοξότης σε έδαφος
με σταθερή κλίση προς τα πάνω 30,0ο σκοπεύειστόχο 50,0 m κατά
μήκος του κεκλιμένου επιπέδου πιο πάνω. Το βέλος στο τόξο και
το σημάδι στοκέντροτου στόχου, είναιτο καθένα 1,50 m πάνω από
το έδαφος. Η αρχική ταχύτητα του βέλους αμέσως μετά τη φυγή
του από το τόξο έχει μέτρο 32,0 m/s. Με ποια γωνία πάνω από την
οριζόντια διεύθυνση πρέπει να σημαδέψει το τόξο για να κτυπήσει
το κέντροτου στόχου; Εάν υπάρχουν δύο τέτοιες γωνίες, υπολογί­
στε τη μικρότερη από τις δύο. Ίσως πρέπει να λύσετε την εξίσωση
για τη γωνία με τη μέθοδο της Αριθμητικής Ανάλυσης των διαδοχι­
κών προσεγγίσεων. Πώς συγκρίνεται αυτή η γωνία προς εκείνη
που απαιτείται όταν το έδαφος είναι οριζόντιο; b) Επαναλάβετε
το παραπάνω για έδαφοςκλίσης 30,0ο προς τα κάτω.
3-57 Αντικείμενο κινείται σε κύκλο ακτίνας R = 3,00 m με τα­
χύτητα σταθερού μέτρου υ = 6,00 m/s. Έστω υι το διάνυσματης τα­
χύτητας τη στιγμή ιι και Vz το διάνυσμα της ταχύτητας τη στιγμή ιz.
Θεωρείστε ότι Δυ = vz - υι και Δι = ιz - ιι. Θυμηθείτε ότι αav =
Δυ/Δι. Για Δι = 0,5 s, 0,1 s και 0,05 s, υπολογίστε το μέτρο (με τέσ­
σερα σημαντικά ψηφία) και την κατεύθυνση (ως προς την υι ) της
μέσης επιτάχυνσης αav· Συγκρίνετε τα αποτελέσματά σας με τη γε­
νική έκφραση για τη στιγμιαία α στην ομαλή κυκλική κίνηση που
βρέθηκε στο σχετικό εδάφιο.