Dokumen tersebut membahas tentang usaha, energi, dan momentum. Secara ringkas, usaha didefinisikan sebagai hasil kali gaya dan perpindahan, dan daya adalah usaha yang dilakukan per satuan waktu. Hukum kekekalan energi mekanik menyatakan bahwa perubahan energi kinetik ditambah perubahan energi potensial adalah nol untuk sistem konservatif. Hukum kekekalan momentum menyatakan bahwa momentum total suatu sistem tertutup tet

1. USAHA
dan
ENERGI

3. USAHA OLEH GAYA KONSTAN
F F
θ F cos θ
s
Usaha yang dilakukan oleh sebuah gaya didefinisikan
sebagai hasil kali komponen gaya pada arah pergeseran
dengan panjang pergeseran benda.
W ≡ ( F cosθ ) s (5.1)
W = F⋅s (5.2)

4. N
F
θ
f
mg
Usaha oleh gaya F : W = Fs cosθ
Usaha oleh gaya gesek f : W f = − fs cos(1800 ) = −1
Usaha oleh gaya normal N : WN = 0
Mengapa ?
Usaha oleh gaya berat mg : Wmg = 0
Usaha total : W = Fs cosθ − fs (5.3)

5. Usaha oleh Gaya yang Berubah
Fx
Luas = ∆A =Fx∆x
∆W = Fx∆x
Fx xf
W ≅ ∑ Fx ∆x
xi ∆x xf x xi
xf
Fx W = lim ∑ Fx ∆x
∆x→0 xi
xf
W = ∫x Fx dx (5.4)
i
Usaha
xi xf x

6. Usaha dan Energi Kinetik
Untuk massa tetap : Untuk percepatan tetap :
W = Fx s
Fx = max s = 1 (vi + v f )t
2
 v − vi  1 v f − vi
= m f
 t  2 (vi + v f )t
 ax =
  t
(5.5) W = 1 mv 2 − 1 mvi2
2 f 2
Energi kinetik adalah energi yang
(5.6) K ≡ 1 mv 2
2 terkait dengan gerak benda.
Teorema Usaha-Energi
(5.7) W = K f − K i = ∆K
Usaha yang dilakukan oleh suatu gaya untuk menggeser benda
adalah sama dengan perubahan energi kinetik benda tersebut.

7. Bagaimana jika gaya berubah terhadap posisi ?
xf xf dv dv dx dv
Wnet = ∫ (∑ Fx )dx = ∫ ma dx a= = =v
xi xi dt dx dt dx
xf dv xf
= ∫ mv dx = ∫ mv dv
xi dx xi
xf
= 1 mv 2 − 1 mvi2
2 f 2
W = ∫x Fx dx (5.4)
i
f
(5.8) W = ∫ F ⋅ ds
i
F = Fx i + Fy j + Fz k x f , y f ,z f
W =∫ ( Fx dx + Fy dy + Fz dz ) (5.9)
ds = dxi + dyj + dzk xi , yi , zi
Satuan :
SI newton ⋅ meter (N ⋅ m) joule (J)
1 J = 107 erg
cgs dyne ⋅ centimeter (dyne ⋅ cm) erg
Dimensi : [ML T ]
2 −2

8. DAYA
Energi yang ditransfer oleh suatu sistem per satuan waktu
∆W
(5.10) Prata −rata ≡
∆t
∆W dW
(5.10) P ≡ lim = dW ds
∆t →0 ∆t dt P= = F⋅ = F⋅v
dt dt
dW = F ⋅ ds
Satuan : watt (W)
1 W = 1 J/s = 1 kg ⋅ m 2 / s 3
1 kWh = (103 W )(3600 s) = 3.6 × 106 J

9. Gaya Konservatip
Gaya disebut konservatip apabila usaha yang dilakukan sebuah
partikel untuk memindahkannya dari satu tempat ke tempat lain
tidak bergantung pada lintasannya.
Q
1 WPQ(lintasan 1) = WPQ(lintasan 2)
P WPQ(lintasan 1) = - WQP(lintasan 2)
2 WPQ(lintasan 1) + WQP(lintasan 2) = 0
Q
1
Usaha total yang dilakukan oleh gaya
konservatip adalah nol apabila partikel
P bergerak sepanjang lintasan tertutup
2 dan kembali lagi ke posisinya semula
Contoh : Wg= - mg(yf - yi) Usaha oleh gaya gravitasi
Ws = 1 kxi2 − 1 kx 2
2 2 f Usaha oleh gaya pegas

10. Gaya Tak-Konservatip
Gaya disebut tak-konservatip apabila usaha yang dilakukan sebuah
partikel untuk memindahkannya dari satu tempat ke tempat lain
bergantung pada lintasannya.
A s
WAB(sepanjang d) ≠ WAB(sepanjang s)
B
d
Usaha oleh gaya gesek :
− fd < − fs
Energi Potensial
Untuk F konservatip :
xf
Wc = ∫x Fx dx = − ∆U = U i − U f
i
Usaha yang dilakukan oleh gaya konservatip sama dengan
minus perubahan energi potensial yang terkait denga gaya tersebut.
xf
∆U = U f − U i = − ∫x Fx dx
i

11. Hukum Kekekalan Energi Mekanik
F Gaya konservatip
Wc = − ∆U
Usaha oleh gaya konservatip :
Wc = ∆K
∆K = − ∆U
∆K + ∆U = ∆( K + U ) = 0 Hukum kekekalan energi mekanik
Ki + U i = K f + U f
Energi mekanik suatu sistem akan selalau konstanjika gaya
Ei = E f yang melakukan usaha padanya adalah gaya konservatip
E = K +U Perambahan (pengurangan) energi kinetik suatu sistem konservatip
adalah sama dengan pengurangan (penambahan) energi potensialnya
K i + ∑ U i = K f + ∑U f Untuk sistem dengan lebih dari satu gaya konservatip

12. Potensial Gravitasi di Dekat Permukaan Bumi
y
yf A WPAQ = WPA + WAQ = − mgh
Q
WPBQ = WPB + WBQ = − mgh
mg h
Wg = − mg ∑ ∆yn = − mgh
n
yi P B h = y f − yi
x
Wg = mgyi − mgy f
Usaha oleh medan gaya
gravitasi adalah konservatip
Energi Potensial Gravitasi : U g ≡ mgy Ug = 0 pada y = 0
Wg = U i − U f = − ∆U g
Hukum Kekekalan Energi Mekanik : 1
2 mvi2 + mgyi = 1 mv 2 + mgy f
2 f

13. Momentum Linear :
p x = mv x
(9-1) p ≡ mv p y = mv y (9-2)
p z = mv z
Laju perubahan momentum
dp
Hukum Newton II : F= (9-3)
dt
Bagaimanakah momentum benda yang terisolasi, yaitu tidak ada
gaya yang bekerja pada benda tersebut ?
(9-4) dp = Fdt
Impuls
tf
(9-5) ∆p = p f − p i = ∫t i
Fdt

14. Impuls :
tf Impuls suatu gaya F sama dengan
(9-6) I≡ ∫t i
Fdt = ∆p perubahan momentum benda.
Teorema Impuls-Momentum
F
Gaya rata-rata :
1 t
F ≡ ∫ Fdt
f
(9-7)
∆t t
t
i
ti tf
I = ∆p = F∆t (9-8)
Untuk F konstan :
I = ∆p = F∆t (9-9)

15. KEKEKALAN MOMENTUM LINIER
UNTUK SISTEM DUA PARTIKEL
p1 = m1v1 Hukum Newton III
dp dp
F12 = 1 F21 = 2 F12 = −F21
dt dt
F12 + F21 = 0
m1
dp1 dp 2 d
F12 + =0 (p1 + p 2 ) = 0
dt dt dt
F21
P = p1 + p 2 = konstan (9-10)
m2 Pix = Pfx Piy = Pfy Piz = Pfz
p2 = m2v2
Momentum partikel di dalam
p1 suatu sistem tertutup selalu tetap
P = p1 + p 2
Hukum kekekalan momentum
p2 m1v1i + m2 v 2 i = m1v1 f + m2 v 2 f (9-11)
p1i + p 2 i = p1 f + p 2 f (9-12)

16. TUMBUKAN
Interaksi antar partikel yang berlangsung
dalam selang waktu yang sangat singkat Gaya impulsiv
Diasumsikan jauh lebih besar
Kontak langsung
F12 F21 dari gaya luar yang ada
m1 m2
Hukum Newton III dp
F= (9-3)
F12 F12 = − F21
dt
p
Proses hamburan ∆p1 = ∫tt12F12 dt
+
++ ∆p1 = − ∆p 2
∆p 2 = ∫tt12F21dt
He4 F21 ∆p1 + ∆p 2 = 0
F ∆( p1 + p 2 ) = 0 P = p1 + p 2 = konstan
F12 Pada setiap tumbukan jumlah momentum sistem
sesaat sebelum tumbukan adalah sama dengan
t
jumlah momentumnya sesaat setelah tumbukan
F21
Hukum kekekalan momentum berlaku pada setiap tumbukan

17. Klasifikasi Tumbukan
Tumbukan Lenting Sempurna Berlaku hukum kekekalan momentum
dan kekekalan energi
Tumbukan Lenting Sebagian Energi mekanik berkurang
(tak berlaku hukum kekekalan energi mekanik)
Tumbukan Tak Lenting sama sekali Setelah tumbukan kedua partikel menyatu
Untuk tumbukan tak lenting sama sekali dalam satu dimensi
Sebelum tumbukan Setelah tumbukan
v2i v1i vf
m2 m1
m1 + m2
Hukum kekekalan momentum : m1v1i + m2 v2i = ( m1 + m2 )v f (9-13)
m1v1i + m2 v2i
vf = (9-14)
m1 + m2

18. Untuk tumbukan lenting sempurna dalam satu dimensi
Sebelum tumbukan Setelah tumbukan
v2i v1i
v2f v1f
m2 m1
m2 m1
Hukum kekekalan momentum :
 m − m2   2m2 
v1 f =  1
m +m  v1i + 
m +m 
 (9-20)
m1v1i + m2 v2i = m1v1 f + m2 v2 f (9-15)  1 2  1 2
1 m v2 2 2 2
+ 1 m2 v2i = 1 m1v1 f + 1 m2 v2 f
2 1 1i 2 2 2 (9-16)  2m1   m − m1 
v2 f =  v1i +  2
m +m   m + m  (9-21)

2 2 2 2
m1 ( v1i − v1 f ) = m2 ( v2 f − v2i )  1 2  1 2
m1 ( v1i − v1 f )( v1i + v1 f ) = m2 ( v2 f − v2i )( v2 f + v2i ) (9-17)
m1 ( v1i − v1 f ) = m2 ( v2 f − v2i ) (9-18)
v1i + v1 f = v2 f + v2i
v1i − v2i = −(v1 f − v2 f ) (9-19)

19. TUMBUKAN DALAM DUA DIMENSI
v1f sin θ
v1f
Sebelum tumbukan Setelah tumbukan v1f cos θ
m1
v1i θ
m1 φ
m2 v2f cos φ
m2
-v2f sin φ v2f
Komponen ke arah x : m1v1i = m1v1 f cosθ + m2 v2 f cosφ (9-24a)
0 = m1v1 f sin θ − m2 v2 f sin φ (9-24b)
Jika tumbukan lenting sempurna : 1 m v2 2 2
= 1 m1v1 f + 1 m2 v2 f
2 1 1i 2 2 (9-24a)

20. v v+∆v
( M + ∆m) v = M ( v + ∆v ) + ∆m( v − v e )
M∆v = v e ∆m
Untuk interval waktu yang sangat pendek :
Mdv = ve dm Massa bahan bakar
M+∆m M yang terbakar
dm = −dM
Pengurangan
ve Mdv = − v e dM massa roket
pi = ( M + ∆m) v
vf Mf dM
Kecepatan bahan bakar
v - ve ∫v i
dv = − v e ∫M i M
relatip terhadap roket ∆m  Mi 
v f − v i = v e ln 
M f 
 