Gerak melingkar memiliki kecepatan konstan tetapi percepatan berubah-ubah karena arah gerak selalu berubah. Percepatan yang muncul disebut percepatan centripetal yang besarnya sama dengan v^2/R dan mengarah ke pusat lingkaran.

1. KINEMATIKA
Senin 5 Maret 2012
Oleh
Suryani Dyah Astuti

2. MEKANIKA
KINEMATIKA DINAMIKA
Studi Gerak Benda Studi Gerak Benda
tanpa meninjau penyebab meninjau penyebab (Gaya)
Besaran yg terkait
posisi, perpindahan, jarak, massa, berat, gaya,
kecepatan, laju, percepatan, momentum linear, impuls,
perlajuan, waktu momentum sudut,
kecepatan sudut

3. KECEPATAN
 Kecepatan Rerata
x
x lintasan
x 2
Vrat = slop garis penghubung x1 dan x2.
x
1
t1 t2 t
t
 x Rerata Pergeseran
v rat  v  v  
t selang waktu

4. KECEPATAN
 Kecepatan Sesaat
x shg v(t2) = slop garis pada lintasan di titik t2.
x
x 2
x
x
v lim v  lim t
t 0 t 0
1
t1 t2 t
t
dx
v Turunan waktu dari Perpindahan/ Pergeseran
dt

5. Posisi dan Perpindahan :
x x t
 dx   v dt x  x0   v dt
x0 x0 t0
x0 = posisi (nilai x) saat t0
t
Pergeseran (perpindah an)  x  x0   v dt
t0

6. Contoh :
Zarah bergerak mengikuti persamaan : x  5t 2  1
a. hitung kecepatan rerata antara 2s dan 3s
b. hitung kecepatan sesaat pada 2s
Solusi :
a) pada t0 = 2 s x0 = 5(2)2 + 1 = 21m
pada t = 3 s x = 5(3)2 + 1 = 46m
 x 46  21
v    25 m s
t 32
b)
vt  
dx d 2

dt dt
 
5t  1  10t
v2  10.2  20 m s

7. PERCEPATAN
 PERCEPATAN RERATA
 v Rerata kecepatan
a rat a  a  
t selang waktu
 PERCEPATAN SESAAT
dv
a
dt
turunan waktu dari kecepatan

8. Mendapatkan kecepatan :
v t t
v dv   a dt v  vo   a dt
0
t0 t0

9. Perubahan kecepatan :
t
v  vo   a dt   ai dti
t0
i
kontinu diskret

10. Menentukan posisi dari percepatan:
dv d  dx  d 2 x  dx 
a    v dv  a dt    a dx
dt dt  dt  dt  dt 
Sehingga hubungan v, a dan x :
v x 1 v2 2 x
v v dv  x a dx 2
 1 v0
2
  a dx
0 0 x0
2 2 x
atau v  v0  2 a dx
x0

11. Vektor kecepatan dan percepatan
 dx  dv
ˆ
vu ˆ
au
dt dt
 
ˆ
Arah v dan a sama atau berlawanan dengan arah u
dx dv
bergantung atau  atau "  "
dt dt
arah v sama dengan a gerak dipercepat
arah a berlawanan dengan v gerak diperlambat

12. Contoh :
Benda bergerak searah sb-X dg percepatan
a =(4x – 2) m/s2
Jika vo= 10 m/s pada saat xo = 0 m,
cari hubungan v & x.
Jawab :
x
v 2  v0  2 a dx
2
x
0
x
2 x
0
 2

 10  2 4x  2  dx  100 2 2x  2x
0
v  4 x 2  4 x  100

13. GERAK dng PERCEPATAN KONSTAN
  t    t 
v  vo   a dt r  ro   v dt
t0 t0
Kasus a = konstan :
t     
t a dt  a t  to  v  vo  a t  to 
0
r  t   Arah v0 dan a boleh beda, akibatnya arah
r dr   vo  a t  to dt v tidak sama dengan a, tetapi selalu pd
o
to
bidang yang dibentuk v0 dan a.
    Beda dengan gerak lurus :
1 a t  t 2
r  r  vo t  to   2 o arah v dan a selalu sama atau berlawanan

14. Gerak Jatuh Bebas
ay   g y
v y  v 0  gt
y
1 t
y  y0  v0 y t  g t2 v
2
t
y
a
ay =  g
t

15. Contoh soal:
Seorang pilot helicopter
menjatuhkan logam dari
ketinggian 1000 m.
Berapa lama logam 1000 m
tersebut berada di udara
dan berapa kecepatannya
saat mencapai tanah?
(abaikan hambatan udara)

16. Jawab:
1 2
y  y 0  v 0y t gt 1000 m
2
1 2
y  y0  gt
2 y
y=0

17. Lanjutan:
1 2
y  y0 - gt
2
2 y0 2  1000 m
t  2
 14.3 s
g 9.81 m s y0 = 1000 m
2 2
v y - v 0 y  2 a( y - y 0 )
v y   2 gy 0 y
 140 m / s
y=0

18. Soal :
 Alice and Bill are standing at the top of a cliff of height
H. Both throw a ball with initial speed v0, Alice straight
down and Bill straight up. The speed of the balls when
up.
they hit the ground are vA and vB respectively. Which
of the following is true:
(a) vA < vB (b) vA = vB (c) vA > vB
Alice v0 Bill
v0
H
vA vB

19. Gerak Lengkung
   s
r  r   r v

 r
r  
v  r r
t
 
  r  dr
v lim v  lim t v
dt
t  0 t  0
dx dy dz
Dengan komponen-2 : vx  vy  vz 
dt dt dt
Laju (besar kecepatan) : v  vx  v 2  v z
2
y
2

20. Gerak proyektil

ˆ
g  u y g a = g = percepatan gravitasi

ˆ ˆ
vo  u x vox  u y voy
vox  vo cos voy  vo sin 
 = sudut tembak
vx  vox v y  voy  gt x  voxt y  voy t  1 gt 2
2
g
y x 2  x tan
2vo cos2 
2

21. GERAK MELINGKAR
Ciri gerak melingkar :
 Jejari R, konstan
y
 Kelajuan v = |v|, konstan
v
v
(x,y)
R
x

22. Koordinat Polar :
 Panjang busur s terkait dengan sudut:
s = R, dengan  adalah sudut angular.
y
 satuan  adalah radian.
v
 Untuk satu putaran penuh: (x,y)
2R = Rc R s

 c = 2 x
memiliki periode 2.
1 putaran penuh = 2radian
2radian

23.  Dlm coordinat kartesan, kecepatan v = dx/dt.
 x = vt
 Dlm koordinat polar, kecepatan angular
(sudut) d/dt = .
  = t
  memiliki satuan radians/second. y
Perpindahan s = vt. v
karena s = R = Rt, maka: R
s
t
x
v = R

24. Periode dan Frekuensi
 1 revolution = 2 radians
 frekuensi (f) = revolutions / second (a)
 Kecepatan angular () = radians / second (b)
 Dg kombinasi (a) dan (b)
v
  = 2 f
R
 period (T) = seconds / revolution s
 Shg T = 1 / f = 2/

 = 2 / T = 2f

25. Vector satuan koordinat polar
^ ^
“vector satuan koordinat polar” r and  :
^
 r points in radial direction
^
  points in tangential direction ^

^
r
y
R
j 
x
i

26. Acceleration dalam gerak melingkar:
 Meskipun kelajuan adalah konstan,namun v
v
kecepatan tidaklah konstan karena arah
v1
gerak selalu berubah shg mengharuskan
berubah: v2
adanya percepatan!
 tinjau percepatan rata-rata selama t v2
aav = v / t
v
R v1
t

27. Besar Percepatan:
 Percepaatan ini disebut Percepatan
Centripetal, yang besarnya :
v R
v
v Similar triangles: 
v R
v1
v2
But R = vt for small t
v2
v vt v v 2
R v1 So:  
v R t R
R
v2
a
R

28. Percepatan Centripetal
 Besar : a = v2 / R

^
Arah :- r (toward center of circle)
R
a


29. Derivation:
We know that v2 and v = R
a
R
Substituting for v we find that:
  R 2
a
R
a = 2R

30. Uniform Circular Motion
 A fighter pilot flying in a circular turn will pass out if the
centripetal acceleration he experiences is more than
about 9 times the acceleration of gravity g. If his F18 is
moving with a speed of 300 m/s, what is the approximate
diameter of the tightest turn this pilot can make and
survive to tell about it ?

31. Solution
m2
v2 90000 2
a  9g v2 s
R 
R 9 g 9  9.81 m
s2
10000
R m  1000 m D  2 R  2000 m
9.81
2km

32. Example: Propeller Tip
 The propeller on a stunt plane spins with
frequency f = 3500 rpm. The length of each
propeller blade is L = 80cm. What
centripetal acceleration does a point at the
tip of a propeller blade feel?
what is a here? f
L

33. Example:
 First calculate the angular velocity of the
propeller:
rot 1 min rad rad
1 rpm  1 x x 2  0 .105  0 .105 s -1
min 60 s rot s
so 3500 rpm means  = 367 s-1
Now calculate the acceleration.
 a = 2R = (367s-1)2 x (0.8m) = 1.1 x 105 m/s2
= 11,000 g
^
direction of a points at the propeller hub (-r ).
r

34. Example: Newton & the Moon
 What is the acceleration of the Moon due to
its motion around the Earth?
 What we know (Newton knew this also):
 T = 27.3 days = 2.36 x 106 s (period ~ 1 month)
 R = 3.84 x 108 m (distance to moon)
 RE = 6.35 x 106 m (radius of earth)
R RE

35. Moon...
 Calculate angular velocity:
1 rot 1 day rad
x x 2  2 .66 x10 6 s -1
27 .3 day 86400 s rot
So  = 2.66 x 10-6 s-1.
Now calculate the acceleration.
a = 2R = 0.00272 m/s2 = 0.000278 g
^
direction of a points at the center of the Earth (-r ).
r

36. Moon...
 So we find that amoon / g = 0.000278
 Newton noticed that RE2 / R2 =
0.000273
amoon g
R RE

37. Centripetal Acceleration
 The Space Shuttle is in Low Earth Orbit (LEO) about
300 km above the surface. The period of the orbit is
about 91 min. What is the acceleration of an
astronaut in the Shuttle in the reference frame of the
Earth? (The radius of the Earth is 6.4 x 106 m.)

38. Centripetal Acceleration
 First calculate the angular frequency :
1 rot 1 min rad
 x x 2  0.00115 s -1
91 min 60 s rot
 Realize that: RO
RO = RE + 300 km
= 6.4 x 106 m + 0.3 x 106 m 300 km
= 6.7 x 106 m
RE

39. Centripetal Acceleration
 Now calculate the acceleration:
a = 2R
a = (0.00115 s-1)2 x 6.7 x 106 m
a = 8.9 m/s2