3. USAHA OLEH GAYA KONSTAN
F F
F cos q
q
s
Usaha yang dilakukan oleh sebuah gaya didefinisikan
sebagai hasil kali komponen gaya pada arah pergeseran
dengan panjang pergeseran benda.
s
F
W )
cos
( q
(5.1)
s
F
W (5.2)
4. F
q
mg
N
f
fs
Wf
1
)
180
cos( 0
Usaha oleh gaya F : q
cos
Fs
W
Usaha oleh gaya gesek f :
Usaha oleh gaya normal N : 0
N
W
Usaha oleh gaya berat mg : 0
mg
W
Mengapa ?
Usaha total : fs
Fs
W
q
cos (5.3)
5. Usaha oleh Gaya yang Berubah
Fx
x
Dx
Fx
x
Fx
Luas = DA =FxDx
DW = FxDx
D
f
i
x
x
x x
F
W
xi xf
xi xf
Usaha
f
i
x
x xdx
F
W
D
D
f
i
x
x
x
x
x
F
W lim
0
(5.4)
6. Usaha dan Energi Kinetik
s
F
W x
Untuk massa tetap :
Fx = max t
v
v
s f
i )
(
2
1
t
v
v
a
i
f
x
Untuk percepatan tetap :
t
v
v
t
v
v
m f
i
i
f
)
(
2
1
2
2
1
2
2
1
i
f mv
mv
W
2
2
1
mv
K
Energi kinetik adalah energi yang
terkait dengan gerak benda.
Teorema Usaha-Energi
K
K
K
W i
f D
Usaha yang dilakukan oleh suatu gaya untuk menggeser benda
adalah sama dengan perubahan energi kinetik benda tersebut.
(5.5)
(5.6)
(5.7)
7.
f
i
d
W s
F
Bagaimana jika gaya berubah terhadap posisi ?
f
i
x
x
x
net dx
F
W )
(
f
i
x
x
dx
ma
dt
dv
a
dt
dx
dx
dv
dx
dv
v
f
i
x
x
dx
dx
dv
mv
f
i
x
x
dv
mv
2
2
1
2
2
1
i
f mv
mv
(5.4)
f
i
x
x xdx
F
W
(5.8)
k
j
i
F z
y
x F
F
F
k
j
i
s dz
dy
dx
d
f
f
f
i
i
i
z
y
x
z
y
x
z
y
x dz
F
dy
F
dx
F
W
,
,
,
,
)
( (5.9)
Satuan :
SI m)
(N
meter
newton
joule (J)
cgs cm)
(dyne
centimeter
dyne
erg
1 J = 107 erg
Dimensi :
2
2
T
ML
8. s
F d
dW
DAYA
Energi yang ditransfer oleh suatu sistem per satuan waktu
t
W
P rata
rata
D
D
dt
dW
t
W
P
t
D
D
D
lim
0
dt
d
dt
dW
P
s
F
v
F
(5.10)
(5.10)
Satuan : watt (W)
1 W = 1 J/s 3
2
/
m
kg
1 s
s)
3600
)(
W
(10
kWh
1 3
J
10
3.6 6
9. Gaya Konservatip
P
Q
1
2
Gaya disebut konservatip apabila usaha yang dilakukan sebuah
partikel untuk memindahkannya dari satu tempat ke tempat lain
tidak bergantung pada lintasannya.
WPQ(lintasan 1) = WPQ(lintasan 2)
P
Q
1
2
WPQ(lintasan 1)
P
= - WQP(lintasan 2)
WPQ(lintasan 1) + WQP(lintasan 2) = 0
Usaha total yang dilakukan oleh gaya
konservatip adalah nol apabila partikel
bergerak sepanjang lintasan tertutup
dan kembali lagi ke posisinya semula
Contoh : Wg= - mg(yf - yi)
2
2
1
2
2
1
f
i
s kx
kx
W
Usaha oleh gaya gravitasi
Usaha oleh gaya pegas
10. Gaya Tak-Konservatip
Gaya disebut tak-konservatip apabila usaha yang dilakukan sebuah
partikel untuk memindahkannya dari satu tempat ke tempat lain
bergantung pada lintasannya.
A
d
B
s
WAB(sepanjang d) WAB(sepanjang s)
Usaha oleh gaya gesek :
fs
fd
D
f
i
x
x f
i
x
c U
U
U
dx
F
W
Untuk F konservatip :
Usaha yang dilakukan oleh gaya konservatip sama dengan
minus perubahan energi potensial yang terkait denga gaya tersebut.
D
f
i
x
x x
i
f dx
F
U
U
U
Energi Potensial
11. Hukum Kekekalan Energi Mekanik
F Gaya konservatip
K
Wc D
Usaha oleh gaya konservatip :
U
Wc D
U
K D
D
0
)
(
D
D
D U
K
U
K Hukum kekekalan energi mekanik
f
f
i
i U
K
U
K
Ei = Ef
U
K
E
Energi mekanik suatu sistem akan selalau konstanjika gaya
yang melakukan usaha padanya adalah gaya konservatip
Perambahan (pengurangan) energi kinetik suatu sistem konservatip
adalah sama dengan pengurangan (penambahan) energi potensialnya
f
f
i
i U
K
U
K Untuk sistem dengan lebih dari satu gaya konservatip
12. Potensial Gravitasi di Dekat Permukaan Bumi
B
A Q
yf
P
yi
y
x
mg h
mgh
BQ
PB
PBQ W
W
W
AQ
PA
PAQ W
W
W
mgh
D
n
n
g y
mg
W mgh
i
f y
y
h
f
i
g mgy
mgy
W
Usaha oleh medan gaya
gravitasi adalah konservatip
Energi Potensial Gravitasi : mgy
Ug Ug = 0 pada y = 0
g
f
i
g U
U
U
W D
Hukum Kekekalan Energi Mekanik : f
f
i
i mgy
mv
mgy
mv
2
2
1
2
2
1
13. v
p m
(9-1)
x
x mv
p
y
y mv
p
z
z mv
p
(9-2)
Hukum Newton II :
dt
dp
F (9-3)
Laju perubahan momentum
Bagaimanakah momentum benda yang terisolasi, yaitu tidak ada
gaya yang bekerja pada benda tersebut ?
dt
d F
p
(9-4) Impuls
Momentum Linear :
D
f
i
t
t
i
f dt
F
p
p
p
(9-5)
14. Impuls :
p
F
I D
f
i
t
t
dt
(9-6)
Impuls suatu gaya F sama dengan
perubahan momentum benda.
Teorema Impuls-Momentum
F
t
ti tf
D
f
i
t
t
dt
t
F
F
1
(9-7)
Gaya rata-rata :
Untuk F konstan :
t
D
D
F
p
I (9-9)
t
D
D
F
p
I (9-8)
15. KEKEKALAN MOMENTUM LINIER
UNTUK SISTEM DUA PARTIKEL
m1
p1 = m1v1
m2 p2 = m2v2
p1
p2
F21
F12
dt
d 1
12
p
F
dt
d 2
21
p
F
0
21
12
F
F
21
12 F
F
Hukum Newton III
0
2
1
dt
d
dt
d p
p
0
)
( 2
1
p
p
dt
d
konstan
2
1
p
p
P (9-10)
fx
ix P
P fy
iy P
P fz
iz P
P
2
1 p
p
P
Momentum partikel di dalam
suatu sistem tertutup selalu tetap
Hukum kekekalan momentum
f
f
i
i m
m
m
m 2
2
1
1
2
2
1
1 v
v
v
v
(9-11)
(9-12)
f
f
i
i 2
1
2
1 p
p
p
p
16. TUMBUKAN
+
++
F12
F21
p
He4
F12 F21
m1 m2
Interaksi antar partikel yang berlangsung
dalam selang waktu yang sangat singkat
Gaya impulsiv
Diasumsikan jauh lebih besar
dari gaya luar yang ada
Kontak langsung
Proses hamburan
F
t
F12
F21
D 2
1
21
2
t
t dt
F
p
dt
dp
F (9-3)
D 2
1
12
1
t
t dt
F
p
21
12 F
F
Hukum Newton III
2
1 p
p D
D
0
2
1
D
D p
p
0
)
( 2
1
D p
p konstan
2
1
p
p
P
Pada setiap tumbukan jumlah momentum sistem
sesaat sebelum tumbukan adalah sama dengan
jumlah momentumnya sesaat setelah tumbukan
Hukum kekekalan momentum berlaku pada setiap tumbukan
17. Klasifikasi Tumbukan
Tumbukan Lenting Sempurna Berlaku hukum kekekalan momentum
dan kekekalan energi
Tumbukan Lenting Sebagian Energi mekanik berkurang
(tak berlaku hukum kekekalan energi mekanik)
Tumbukan Tak Lenting sama sekali Setelah tumbukan kedua partikel menyatu
v1i
v2i
m1
m2
Sebelum tumbukan
vf
m1 + m2
Setelah tumbukan
Hukum kekekalan momentum :
Untuk tumbukan tak lenting sama sekali dalam satu dimensi
f
i
i v
m
m
v
m
v
m )
( 2
1
2
2
1
1
(9-13)
2
1
2
2
1
1
m
m
v
m
v
m
v i
i
f
(9-14)
18. Untuk tumbukan lenting sempurna dalam satu dimensi
v1i
v2i
m1
m2
Sebelum tumbukan
v1f
m1
Setelah tumbukan
m2
v2f
Hukum kekekalan momentum :
f
f
i
i v
m
v
m
v
m
v
m 2
2
1
1
2
2
1
1
(9-15)
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
f
f
i
i v
m
v
m
v
m
v
m
(9-16)
)
(
)
( 2
2
2
2
2
2
1
2
1
1 i
f
f
i v
v
m
v
v
m
)
)(
(
)
)(
( 2
2
2
2
2
1
1
1
1
1 i
f
i
f
f
i
f
i v
v
v
v
m
v
v
v
v
m
(9-17)
)
(
)
( 2
2
2
1
1
1 i
f
f
i v
v
m
v
v
m
(9-18)
i
f
f
i v
v
v
v 2
2
1
1
)
( 2
1
2
1 f
f
i
i v
v
v
v
(9-19)
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2
m
m
m
m
v
m
m
m
v i
f
(9-21)
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
m
m
m
v
m
m
m
m
v i
f (9-20)
19. TUMBUKAN DALAM DUA DIMENSI
v1i
m1
m2
Sebelum tumbukan Setelah tumbukan
v1f
v2f
m1
m2
q
f
v1f sin q
v1f cos q
v2f cos f
-v2f sin f
Komponen ke arah x : f
q cos
cos 2
2
1
1
1
1 f
f
i v
m
v
m
v
m
(9-24a)
f
q sin
sin
0 2
2
1
1 f
f v
m
v
m
(9-24b)
Jika tumbukan lenting sempurna : 2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
f
f
i v
m
v
m
v
m
(9-24a)
20. v
M+Dm
v
p )
( m
M
i D
M
v+Dv
Dm
ve
Kecepatan bahan bakar
relatip terhadap roket
v - ve
)
(
)
(
)
( e
m
M
m
M v
v
v
v
v
D
D
D
m
M eD
D v
v
Untuk interval waktu yang sangat pendek :
dm
v
Mdv e
dM
dm
Massa bahan bakar
yang terbakar
Pengurangan
massa roket
dM
Md e
v
v
f
i
f
i
M
M
e
M
dM
d
v
v
v
v
f
i
e
i
f
M
M
ln
v
v
v
