PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS NEGERI MALANG TAHUN 2016 OFFERING B KELOMPOK 4

1. DISTRIBUSI
HIPERGEOMETRIK
Aprilia Lailatul Mubarokah ( 160311600204 )
Putri Dwi Erlina ( 160311604645 )
Raqqasyi Rahmatullah Musafir ( 160311604633 )
Raras Enggar Wijayanti ( 160311600244 )

2. Distribusi hipergeometrik adalah sisitem
distribusi probabilitas diskrit yang terdiri
dari sekelompok objek tertentu yang
dipilih tanpa terjadinya sebuah
pengembalian.

3. Sifat-sifat Percobaan
Hipergeometrik
1. Suatu sampel acak berukuran 𝑛 diambil
dari populasi yang berukuran 𝑁.
2. 𝑘 dari 𝑁 benda diklarifikasikan sebagai
sukses dan 𝑁 − 𝑘 benda diklarifikasikan
sebagai gagal.

4. Bila dalam populasi 𝑁 benda, 𝑘 benda diantaranya diberi label
“sukses” dan 𝑁 − 𝑘 benda lainnya diberi label “gagal”, maka
distribusi peluang bagi peubah acak hipergeomtrik 𝑋, yang
menyatakan banyaknya kesuksesan dalam sampel acak
berukuran 𝑛 adalah :
ℎ 𝑥; 𝑁, 𝑛, 𝑘 =
𝑘
𝑥
𝑁 − 𝑘
𝑛 − 𝑥
𝑁
𝑛
, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 0, 1, 2, . . . .. , 𝑘 𝑑𝑎𝑛 𝑘 ≤ 𝑛
Difinisi 5.3 Distribusi
Hipergeometrik

5. Contoh
Bila 5 kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu
bridge, berapa peluang diperoleh 3 kartu hati?
Jawab :
Dengan menggunakan distribusi geometrik untuk 𝑛 = 5, 𝑁 =
52, 𝑘 = 13, dan 𝑥 = 3 maka peluang memperoleh 3 kartu hati
adalah :
ℎ 3; 52, 5,13 =
13
3
39
2
52
5
= 0,0815

6. Perbedaan Antara Distribusi
Binomial Dan Distribusi
Hipergeometrik
Dalam distribusi binomial
diperlukan sifat pengulangan
yang saling bebas, dan
pengulangan tersebut harus
dikerjakan dengan
pengembalian (with
replacement).
Sedangkan untuk distribusi
hipergeometrik tidak diperlukan
sifat pengulangan yang saling
bebas dan dikerjakan tanpa
pengembalian (without
replacement).

7. Contoh
Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2
bola Merah, 2 bola Biru dan 1 bola Putih. Berapa
peluang:
a. Terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan
yang dilakukan secara acak dengan
pengembalian?
b. Terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan
yang dilakukan secara acak tanpa pengembalian?

8. Jawab :
Karena pengambilan sampel pada soal a dilakukan dengan
pengambilan berarti soal a diselesaikan dengan distribusi binomial :
𝑝 =
2
5
; 𝑞 =
3
5
; 𝑛 = 4; 𝑥 = 2
𝑏(2; 4,
2
5
) =
4
2
∙ 𝑝2
∙ 𝑞4−2
= 6 ∙
2
5
4
∙
3
5
2
= 0,3456
Karena pengambilan sampel pada soal b dilakukan tanpa
pengembalian berarti soal b diselesaikan dengan distribusi hipergeometrik :
𝑁 = 5; 𝑛 = 4; 𝑘 = 2; 𝑥 = 2
ℎ 2; 5, 4, 2 =
2
2
3
2
5
4
= 0,60

9. Penerapan Untuk
Distribusi Hipergeometrik
• Ditemukan dalam berbagai bidang, dan paling sering
digunakan dalam penarikan sampel penerimaan
barang, pengujian elektronik, jaminan mutu, dsb.
• Dalam banyak bidang ini, pengujian dilakukan
terhadap barang yang diuji yang pada akhirnya
barang uji tersebut menjadi rusak, sehingga tidak
dapat dikembalikan. Jadi, pengambilan sampel harus
dikerjakan tanpa pengembalian.

10. • Jumlah barang dagangan yang rusak dalam
sampel acak dari sejumlah besar kiriman.
• Jumlah orang-orang yang anda temui dalam
hidup anda dengan nama Fred.
• Jumlah penny yang terambil dari dalam kendi.
Pemakaian Distribusi
Hipergeometrik

11. TEOREMA 5.2
Rataan atau variansi bagi distribusi hipergeometrik
ℎ(𝑥; 𝑁, 𝑛, 𝑘) adalah:
𝝁 =
𝒏𝒌
𝑵
𝝈 𝟐
=
𝑵 − 𝒏
𝑵 − 𝟏
∙ 𝒏 ∙
𝒌
𝑵
𝟏 −
𝒌
𝑵
RATAAN DAN VARIANSI
DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

12. Contoh
Bila 5 kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge, berapa
peluang diperoleh 3 kartu hati? Cari dan taksirlah selang 𝜇 ± 2𝜎
Jawab :
Karena kasus tersebut merupakan suatu percobaan hipergeomtrik
dengan 𝑁 = 52, 𝑛 = 5, dan 𝑘 = 13, menurut Teorema 5.2 kita memperoleh:
𝜇 =
5 13
52
=
5
4
= 1,25
𝜎2
=
52 − 5
51
5
13
52
1 −
13
52
= 0,8640
Dengan mengakarkan 0,8640 kita memperoleh 𝜎 = 0,93. Maka selang
yang diminta adalah 1,25 ± 2 0,93 atau (−0,61 , 3,11).

13. Bila 𝑛 relatif cukup kecil dibandingkan dengan 𝑁, maka
peluang pada setiap pengambilan akan berubah kecil
sekali. Sehingga praktis dapat dikatakan bahwa kita
berhadapan dengan percobaan binomial, dan kita dapat
menghampiri distribusi hipergeometrik dengan
menggunakan distribusi binomial dengan 𝑝 = 𝑘 𝑁. Nilai
tengah dan variannya juga dapat dihampiri melalui
rumus:
𝝁 = 𝒏𝒑 =
𝒏𝒌
𝑵
𝝈 𝟐
= 𝒏𝒑𝒒 = 𝒏 ∙
𝒌
𝑵
𝟏 −
𝒌
𝑵
Bila kita bandingkan rumus hampiran itu dengan rumus yang ada
dalam Teorema 5.2 kita akan melihat bahwa rataannya sama,
sedangkan variannyaberbeda sebesar faktor koreksi
(𝑁 − 𝑛) 𝑁 − 1 yang dapat diabaikan bila 𝑛 relatif kecil
dibandingkan dengan 𝑁.

14. Definisi 5.4
Distribusi Hipergeometrik
Peubah Ganda
Bila suatu populasi berukuran 𝑁 disekat menjadi 𝑘 sel 𝐴1, 𝐴2, . . .. . , 𝐴 𝑘
masing-masing dengan 𝑎1, 𝑎2, . . . ., 𝑎 𝑘 unsur, maka distribusi peluang acak
𝑋1, 𝑋2, . . . .. , 𝑋 𝑘 yang menyatakan banyaknya unsur yang terambil dari sel-
sel 𝐴1, 𝐴2, . . . . ., 𝐴 𝑘 bila dari populasi itu diambil sampel acak berukran 𝑛
adalah
𝒇 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐, . . . . , 𝒙 𝒌; 𝒂 𝟏, 𝒂 𝟐, . . . . , 𝒂 𝒌, 𝑵, 𝒏 =
𝒂 𝟏
𝒙 𝟏
𝒂 𝟐
𝒙 𝟐
. . . .
𝒂 𝒌
𝒙 𝒌
𝑵
𝒏
Sedangkan dalam hal ini
𝒙𝒊 = 𝒏𝒌
𝒊=𝟏 dan 𝒂𝒊 = 𝑵𝒌
𝒊=𝟏

15. Contoh Soal
Seseorang hendak menanami halaman belakang dan depan
rumahnya dengan tanaman bunga. Dari sebuah kotak yang berisi 3
umbi Camalia, 4 umbi Monstera dan 3 umbi Gardena, ia mengambil
5 umbi secara acak untuk ditanam di halaman depan, sedangkan 5
umbi sisanya diatanam dia halaman belakang. Berapa peluang,
ketika musim berbunga tiba di halaman depan berbungan 1
Camalia, 2 Monstera, dan 2 Gardena?
Jawab :
Dengan menggunakan distribusi hipergeometrik dengan 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 2, 𝑥3 =
2, 𝑎1 = 3, 𝑎2 = 4, 𝑎3 = 3, 𝑁 = 10 dan 𝑛 = 5, kita memperoleh peluang yang
dinyatakan, yaitu :
𝑓 1, 2, 2;3,4, 3, 10, 5 =
3
1
4
2
3
2
10
5
=
3
14