1. Punto 2
Costo
di una soluzione di base
e condizioni di ottimalita

2. Condizione di ottimalita di una
soluzione di base ammissibile
Il sistema Ax=b, x≥0, A∈Rmxn (m<n) ha n-m gradi di liberta ⇒
Posso fissare arbitrariamente il valore di n-m componenti xN = xN
e determinare l unico valore delle restanti xB che sia ammissibile
per il valore assegnato alle xN, risolvendo il sistema:
x B = A -1 (b - A N x N )
B
Se la soluzione x=[xB,xN] ≥0, allora e ammissbile.
Analizziamone il costo, cx, avendo espresso x in forma
parametrica rispetto alle componenti xN:
cx = c Bx B + c N x N = c BA −1 (b − A N x N ) + c N x N
B
= c BA −1b − c BA −1A N x N + c N x N
B B
= c BA −1b + (cN − c BA −1A N )x N
B B
Nelle soluzioni di base si ha xN=0 quindi il costo cx si riduce a cB AB-1b. Tale
soluzione e ottima nel problema di minimo se per tutti gli indici j ∈ N vale la
_
condizione cj = cj - cB AB-1Aj ≥0, per cui incrementare da 0 a 1 il valore di una
generica componente j fuori base modifica il costo di un valore δ positivo.
Questa e la spiegazione algebrica, possiamo darne un interpretazione geometrica?

3. Interpretazione geometrica del costo ridotto
_
di una variabile fuori base cj = cj - cBAB-1Aj
Ridefinisco il vettore colonna Aj secondo la base corrente B:
le coordinate di Aj secondo B sono la soluzione del sistema ABw=Aj che ha come
unica soluzione w=AB-1Aj. La componente i-esima di w esprime il contributo del i-
esimo vettore di base, Ai nel generare Aj.
min{cx: Ax=b, x≥0} ⇔ determinare la combinazione conica di costo minimo dei
vettori colonna della matrice A per esprimere b.
La soluzione di base B equivale a generare b coi soli vettori colonne di AB, usando
come moltiplicatori della combinazione conica l unica possibile soluzione AB-1b.
Dato cB (vettore dei costi delle variabili in base) l espressione cBAB-1Aj quantifica il
costo di utilizzo di un vettore pari a Aj attraverso le colonne di B, mentre cj esprime il
costo dell utilizzo diretto del vettore Aj.
La base corrente e ottima ⇔ nessun altro vettore Aj, j∈N risulta + conveniente ⇔
_
cj>cBAB-1Aj ⇔ cj>0
CONDIZIONI DI OTTIMO (min) = _
NON-NEGATIVITA del VETTORE dei COSTI RIDOTTI c

4. esempio
• Prendiamo la base B={1,2,4} che
corrisponde al vertice c del politopo, di
coordinate x=[4,3,0,6,0] e costo cx=-27
• E ottima? Calcoliamo il vettore dei costi
ridotti: c - cBAB-1A
• Calcolo della matrice inversa AB-1

5. Un metodo per il calcolo di AB-1
A1A2A4 I3 Operazione
elementare
100 100 a3=a3-3a1 100 100 a2=½a2 100 100
021 010 ⇒ 021 010 ⇒ 01½ 0½0
320 001 020 -301 020 -301
a3=a3-2a2 100 1 0 0 a3= -a3 100 1 00 a2=a2-½a3
⇒ 01½ 0½ 0 ⇒ 01½ 0½0
00-1 -3-11 001 311
100 1 0 0 ex. verifica ABAB-1 = I
010 -3/2 0 ½
001 3 1 -1
I AB-1

6. cBAB-1 = [-3 -5 0] 1 0 0 = [9/2 0 -5/2]
-3/2 0 ½
3 1 -1
Calcolo c3 - cBAB-1A3 = 0 - [9/2 0 -5/2] [100]T = -9/2<0
Calcolo c5 - cBAB-1A5 = 0 - [9/2 0 -5/2] [001]T = 5/2>0
Il valore della soluzione migliorerebbe aumentando il valore della
variabile x3, da 0 a un valore positivo
Verifica: il vettore A3 si puo generare come combinazione
lineare dei vettori della base B={1,2,4} come A1-3/2A2+3A4
(ha coordinate 1,-3/2,3=AB-1A3 secondo la base B)
con costo cB[1,-3/2,3]T= -3+15/2 > c3=0 (0 e il costo di A3)
Ex. Verifica che le variabili in base hanno costo ridotto nullo.
Perche ?

7. Incrementando x3 mi muovo lungo d
sullo spigolo di x5=0,
Aumentando x3 decrescono x4 e x1.
10 x1=0
8
a1: x1 ≤ 4 (x3=0)
6
a2: x2 ≤ 6 (x4=0)
c
4
d
2 a3: 3x1+2 x2 ≤ 18 (x5=0)
x2=0
0
1 2 4 5 6 8

8. esercizio
Considera il sistema
6x1 +4x2 +x3 = 24
3x1 -2x2 +x4= 6
xi≥0 ∀ i
Disegna la regione ammissibile P nello spazio di x1 e x2,
enumera le basi ammissibili e calcola le coordinate dei
vertici di P associati.
Testa l ottimalita della base B={1,2} per il problema min
-2x1+x2-x4: x ∈ P calcolando il vettore dei costi ridotti

9. Punto 2
Test di ottimalita della soluzione di base corrente
Punto 4 e calcolo del passo lungo la direzione di miglioramento
TEST: c - cBAB-1A ≥0? ⇒ STOP (ottimo)
⇓ NO SI
∃ j∈N: cj- cBAB-1Aj<0
facendo crescere xj da 0 a un valore positivo ε, le variabili in base
variano rispettivamente di ε AB-1Aj.
La soluzione resta ammissibile fintanto che
xB - εAB-1Aj ≥ 0, i.e. AB-1b - εAB-1Aj ≥ 0
Solo le componenti i∈B per cui AB-1Aj ei ≥ 0 sono critiche
(ei e il versore di proiezione sulle i-esima componente)
perche diminuiscono al crescere di xj (lungo la direzione di spostamento ci
stiamo avvicinando al rispettivo vincolo su cui le xi si annullano)
Il massimo valore di ε e dato da
Max ε: ε ≤ AB-1b ei /AB-1Ajei per le AB-1Aj ei ≥ 0

10. Criterio del minimo rapporto
per determinare l indice
della variabile uscente dalla base
La prima componente che si annulla (indice i*)
esce di base al posto di xj.
i* = argmin {(AB-1bei /AB-1Ajei) t.c. AB-1Ajei>0}
La nuova base e data da B = B{i*}∪{j}

11. Esempio
sia B={1,2,4} la base corrente corrispondente al vertice in
figura d di coordinate x= [4,3,0,6,0],
entra in base x3 (j=3) per il test sui costi ridotti: chi esce?
Calcolo AB-1Aj=[1,-3/2,3]
all aumentare di x3 diminuiscono le variabili in base che
hanno componente >0 nel generare A3.
Se ⇑ x3 allora ⇓ x1 e ⇓ x4, mentre ⇑ x2 .
Restano immutate le altre variabili fuori base (x5=0)
perche la direzione d e aderente agli altri n-m-1 vincoli
attivi nella soluzione di base corrente, mentre mi
allontano dal vincolo su cui x3=0

12. 1 0 0 4 4
ricordo AB-1 = -3/2 0 ½
b= 12 3
x=
3 1 -1 18 0
6
• A3 e il vettore [1,0,0]T. 0
• AB-1 A3 = [ 1, -3/2, 3 ]T
• x1 ha valore 4 (x1 = AB-1be1 = 4)
Rapporto 4 / 1 = 4
• x4 ha valore 6 ( x2 = AB-1be3 = 6)
Rapporto 6 / 3 = 2
Il minimo si verifica per x4 che sara la prima ad annullarsi
procedendo lungo d, dopo un passo di lunghezza 2

13. max c x = - min –c x
10 x2
8
a 2: x 2 ≤ 6
6 (x4=0)
x1=0
4 a 1: x 1 ≤ 4
d (x3=0)
2 a3: 3x1+2 x2 ≤ 18
(x5=0)
x2=0
0
1 2 4 5 6 8
x1

14. Punto 3
spostamento = miglioramento?
Vado da x=[xB=AB-1b,xN=0]T al punto
x = x + ε[-AB-1Aj,0..1..0]T quindi mi sposto
da x di un passo ε lungo la direzione
d= [-AB-1Aj,0..1..0]
Th: d e di miglioramento per un problema di
minimo (cd<0)
Dim. cd = cB [-AB-1Aj] + cNej = cj - cB AB-1Aj <0
per hp la variabile xj ha costo ridotto <0

15. Passaggio al vertice adiacente
La nuova soluzione di base avra B={1,2,3}
Le coordinate del nuove vertice sono
calcolabili come x = x + ε d, con d=[-AB-1Aj,
0..1..0]
4 -1 2
3 2 3/2 6
0 1 2
x 6 + ε . d -3 = 0
0 0 0

16. Casi speciali (1): Ottimo non limitato
• Non c e limite allo spostamento che si puo effettuare lungo la
direzione di miglioramento d: spostandosi lungo d non ci si avvicina
ad alcun altro vincolo
• Tutti gli elementi di AB-1Aj sono ≤0 ⇒ step ε = +∞ in quanto minimo di un
insieme vuoto
• P e un poliedro non limitato, combinazione convessa dei suoi
vertici V + combinazione conica dei suoi raggi estremi R.
• La funzione obiettivo c ha prodotto scalare <0 con almeno uno dei
raggi estremi r (per un problema di minimo). Scegliendo d=r si ha
una direzione di miglioramento (cd<0) illimitata (r∈R)
L algoritmo riconosce la condizione AB-1Aj ≤0
(spostandosi lungo la direzione prescelta le variabili in base crescono)
e termina con label OTTIMO ILLIMITATO

17. La regione ammissibile In evidenza in rosso
e un poliedro a7 i raggi estremi
illimitato v1 che concorronno
r2
x2 alla definizione
In evidenza in giallo la del poliedro P
10 a2 combinazione convessa
dei vertici v1..v5
8 Cono delle direzioni
v2 di miglioramento
Cono delle
a3
c direzioni
6
di spostamento
v3 illimitato
a1
4
d v4
a8 r1
2 v5 a6
0 x1
1 2 4 5 6 8

18. Casi speciali (2): degenerazione
• Si ha quando ci sono variabili in base a valore 0
• Geometricamente significa che sul vertice corrente sono attivi
piu degli n-m vincoli necessari a definirlo univocamente. Allo
stesso punto sono associate piu basi ammissibili.
• L algoritmo puo ciclare selezionando sottoinsiemi diversi di
colonne corrispondenti alle diverse basi associate al punto.
• Se una variabile in base ha valore 0 nel punto corrente si
candida ad essere selezionata secondo il criterio del minimo
rapporto come variabile uscente, ma il passo associato alla
direzione di spostamento e 0.

19. Giunti in v da w, sono evidenziate possibili direzioni
lungo cui si compie un passo nullo, prima di
poter procedere lungo d
10 x2
Per evitare di ciclare
regola anticiclo di Bland
8 Tra le variabili entranti
con costo ridotto <0
a1
scegli quella a indice minore
6 a2
a7 a8
La degenerazione resta un fattore
a6 negativo di una istanza, che inficia
4 la performance dell algoritmo.
d
v Spesso si verifica nel punto di
ottimo: lo raggiungo facilmente
2 a3 ma non riesco a certificarlo
Ci aiutera la DUALITA
0 w
1 2 4 5 6 8
x1

20. Punto 1 Determinazione
di una soluzione di base
ammissibile inizale
• Problema ausiliario Π:
Moltiplico opportunamente i vincoli affinche sia b≥0
Introduco m variabili artificiali y1,..,ym
e una nuova funzione costo con vettore dei coefficienti χ:
χx=0 ∀x, χy=M ∀y.
definisco il problema Π
min χT [x,y] : Ax + I y = b, x,y ≥0
di cui y^i =bi ∀i=1..m, e x^=0 e una soluzione di base
ammissibile. Risolvo Π con il simplesso, a partire da [y^,x^]
Se l ottimo [y*,x*] di Π ha valore 0 (y*=0) il sottovettore x*(Π)
e una soluzione di base ammissibile per P.
Altrimenti il problema NON ha soluzione

21. Porta P in forma standard e Risolvi il problema ausiliario Π
If feasible (Π) then k:=0, xk:=x(Π), x*:=xk. Bk:=B(xk), Nk:={1..n}Bk
else break Inizializzazione
Repeat:
Calcola
ABk-1 inversa della matrice di base
xk=[xBk,xN]=[ABk-1b,0]
_ soluzione di base
_ ck = [c – cBkABk-1A] vettore dei costi ridotti
If (ck ≥0) then x*:=xk, return (x*) test di ottimalita
_ break
jIN := ArgMin j∈Nk {cki} ∃ ! un indice j∈N con ckj <0
_ prendo l indice del minimo ckj
Calcola ABk-1 AjIN =[aijIN]
_
coordinate del vettore Aj secondo Bk
if (aijIN ≤0 ∀ i) then return (problema-illimitato),
break _ _ test di illimitatezza
iOUT:= ArgMin i∈Bk {ABk-1bi/ aijIN | aijIN >0} criterio del minimo rapporto,
_ variabile uscente
ε := (ABk-1biOUT/ aiOUT,jIN )
_
passo lungo la direzione
x := x + ε [- aijIN,ejIN] ejIN e il versore della coordinata jin
Bk+1:=Bk∪{jIN}{iOUT}, Nk+1:={1..n}Bk+1 aggiorna la base coi nuovi indici