1. Turunan merupakan konsep penting dalam kalkulus yang menggambarkan laju perubahan suatu fungsi. Terdapat berbagai aturan untuk mencari turunan fungsi-fungsi dasar seperti polinomial, trigonometri, eksponensial, dan logaritma. Turunan tingkat tinggi dapat dicari dengan menurunkan turunan sebelumnya.

1. 1
4. TURUNAN

2. 2
4.1 Konsep Turunan
 4.1.1 Turunan di satu titik
 Definisi 4.1 Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang I yang memuat c. Turunan pertama fungsi
f di titik c, ditulis
didefinisikan sebagai bila limit ini ada.
 Arti geometris: Perhatikan gambar disamping
 Kemiringan tali busur PQ adalah :
 Jika x  c , maka tali busur PQ akan
berubah menjadi garis singgung di ttk P
dgn kemiringan
c
x
c
f
x
f
c
f
c
x 



)
(
)
(
lim
)
(
'
P(c,f (c))
Q
f(x)
x
y
c
x
c
f
x
f
mPQ



)
(
)
(
(c)
f
c
x
f(c)
f(x)
m '
c
x





lim
)
(
' c
f

3. 3
 Jadi, arti geometris dari adalah kemiringan garis singgung
kurva f di titik (c,f(c)).
 Sedangkan arti fisis dari adalah laju perubahan nilai fungsi
f(x) terhadap peubah x.
 Notasi Lain :
 Contoh Diketahui , tentukan
 Jawab :
)
(
'
,
)
(
c
y
dx
c
df
x
x
f
1
)
( 
9
1
3
1
lim
3
3
3
lim
3
3
1
1
lim
3
3
lim
3
3
3
3
3
















 x
)
x(x
x
x
x
x
)
f(
f(x)
)
f'(
x
x
x
x
)
(
' c
f
)
(
' c
f
)
3
(
'
f

4. 4
4.1.2 Turunan Sepihak
 Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
 Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
bila limit ini ada.
 Fungsi f dikatakan mempunyai turunan ( diferensiabel ) di c atau,
ada jika
sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.
c
x
c
f
x
f
c
f
c
x 

 


)
(
)
(
lim
)
(
'
c
x
f(c)
f(x)
(c)
f
c
x
'


 

 lim
)
(
' c
f
)
(
)
(
)
(
'
dan
)
(
)
( '
'
_
'
'
c
f
c
f
c
f
c
f
c
f 

 



5. 5
Contoh : Diketahui









1
,
2
1
1
,
3
)
(
2
x
x
x
x
x
x
f
Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1
Jika ya, tentukan
Jawab :
a.
1
1
)
1
(
lim
1
lim
1
)
1
2
1
(
3
lim
1
)
1
(
)
(
lim
)
1
(
1
2
1
2
1
1
'




















 
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
f
x
x
x
x
b.
1
)
1
2
1
(
2
1
lim
1
)
1
(
)
(
lim
)
1
(
1
1
'










 
x
x
x
f
x
f
f
x
x
1
)
1
)(
1
(
1
lim
2
1
2
2
lim
1
1









 x
x
x
x
x
x
x
Jadi, f diferensiabel di x=1. .
1
)
1
(
maka
,
1
)
1
(
)
1
( '
'
'


 
 f
f
f
)
1
(
'
f

6. 6
 Teorema 4.1 Jika f diferensiabel di c f kontinu di c.
 Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah bahwa
 Perhatikan bahwa
 Maka
 Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c, maka
belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.
)
(
)
(
lim c
f
x
f
c
x


c
x
c
x
c
x
c
f
x
f
c
f
x
f 




 ,
)
.(
)
(
)
(
)
(
)
(













)
(
)
(
)
(
)
(
lim
)
(
lim c
x
c
x
c
f
x
f
c
f
x
f
c
x
c
x
)
(
lim
.
)
(
)
(
lim
)
(
lim c
x
c
x
c
f
x
f
c
f
c
x
c
x
c
x








0
).
(
'
)
( c
f
c
f 

= f(c). Terbukti.

7. 7
4.2 Aturan Pencarian Turunan
 Fungsi Turunan Pertama
 Definisi 4.3 Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan
pertama dari f, ditulis , didefinisikan sebagai
 atau jika h=t-x
bila limitnya ada.
 Notasi lain ,bentuk dikenal
sebagai notasi Leibniz.







x
x
t
x
f
t
f
x
f
x
t
,
)
(
)
(
lim
)
(
'







x
h
x
f
h
x
f
x
f
h
,
)
(
)
(
lim
)
(
'
0
)
(
,
,
)
(
,
,
' x
f
D
y
D
dx
x
df
dx
dy
y x
x
dx
dy
)
(
' x
f

8. 8
 Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk
mencari turunan sebagai berikut :
 1. Jika f (x)=k, maka
 2.
 3.
 4.
 5. dengan g(x) 0.
  R
r
x
x
r
dx
x
d r
r


 
,
0
;
1
  (x)
g
(x)
f
dx
g(x)
f(x)
d '
'



  )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( '
'
x
g
x
f
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
d


 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
'
'
)
(
)
(
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
dx
d x
g
x
f


Contoh Tentukan fungsi turunan pertama dari
1
3
)
( 2



x
x
x
f
Jawab:
.
)
1
(
1
6
)
1
(
2
6
1
)
1
(
)
3
(
2
)
1
.(
1
)
(
' 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f



0
)
(
' 
x
f

9.  Carilah turunan nya
1.
2.
3. jari-jari sebuah semangka bulat tumbuh dg
laju tetap sebesar 2 cm/minggu. Ketebalan
kulitnya selalu sepersepuluh jari-jarinya.
Seberapa cepat isi kulit berkembang pada
akhir minggu kelima? Anggap jari-jari
semula nol
9
  
1
2
7 3
5
2
2



 x
y x
x
3
2
5
2
2
2





x
x
y
x
x

10. 10
 4.3 Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus

Turunan fungsi trigonometri yang lain :
 1. 2.
 3. 4.
 Contoh: Tentukan dari
x
x
f
x
x
f cos
)
(
'
sin
)
( 


x
x
f
x
x
f sin
)
(
'
cos
)
( 



  x
dx
x
d 2
sec
tan

  x
dx
x
d 2
csc
cot


  x
x
dx
x
d
tan
sec
sec

  x
x
dx
x
d
cot
csc
csc


x
x
x
f sin
)
( 2

)
(
' x
f

11. 11
4.4 Aturan Rantai
 Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dan ada ,
maka
 Jika y = f (u ) , u = g(v), dan v = h(x) maka :
 Contoh: Jika
Tentukan
Jawab:
dx
du
du
dy
dx
dy

dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy

du
dy
dx
du
1
;
1
2
;
3 2
2




 x
v
v
u
u
y
dx
dy
x
x
x
v
x
u
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
4
).
1
)
1
(
2
(
6
4
.
)
1
2
(
6
2
.
2
.
6 2







)
1
(
24 2

 x
x

12. Carilah turunan dari
1.
2.
3.
12
 
1
4
2
2
60


 x
x
y
 
7
2
5
1
3


x
y
 
 
 
x
2
cos
sin

13. 4.5 Notasi leibniz
 Notasi lain ,bentuk
dikenal
sebagai notasi Leibniz.
13
)
(
,
,
)
(
,
,
' x
f
D
y
D
dx
x
df
dx
dy
y x
x
dx
dy

14. 1. Cari
2. Cari
14
x
y
jika
dx
dy
x
x 7
3
2
3



 
1
2
3
cos 
 x
y
jika
dx
dy

15. 15
4.5 Turunan Tingkat Tinggi
 Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).
 Turunan pertama
 Turunan kedua
 Turunan ketiga
 Turunan ke-n
 Contoh : Tentukan dari
 Jawab : , maka
 
f x
df x
dx
'( ) 
 
2
2
)
(
"
dx
x
f
d
x
f 
 
3
3
)
(
'
"
dx
x
f
d
x
f 
   
n
n
n
dx
x
f
d
x
f 
)
(
 
)
(
)
( )
1
(
)
(
x
f
dx
d
x
f n
n 

x
x
y sin
4 3


x
x
y cos
12
' 2

 x
x
y sin
24
'
' 

'
'
y

16. 16
4.6 Turunan Fungsi Implisit
 Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) maka
y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak
bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda.
 Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi implisit dari x. Untuk
menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan
anggap y fungsi dari x.
 Contoh:Tentukan y’ dari bentuk implisit Sin(xy) = x2 + 1
 Jawab: Dx (Sinxy) = Dx(x2 + 1)
Cos(xy) Dx(xy) = 2x
Cos(xy) (y + x ) = 2x
Maka
)
(
)
(
2
'
xy
xCos
xy
yCos
x
y


'
y