Materi

1. D I F E R E N S I A L A T A U T U R U N A N S U A T U
F U N G S I
PERTEMUAN 5

2. PEMBAHASAN
 Diferensial membahas tentang tingkat perubahan
suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil
dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan.
 Dengan diferensial dapat pula disidik kedudukan –
kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari
seperti titik maksimum, titik belok dan titik
minimumnya jika ada.

3. Pengertian Diferensial
 Turunan atau dalam matematika ekonomi lebih
dikenal dengan differensial merupakan suatu fungsi
yang menggunakan beberapa rumus yang diawali
dengan turunan pertamanya, yang digambarkan
dengan fungsi sebagai berikut :
y = f(x)
dy / dx = y’ = f’(x)

4. lanjutan
 Berdasarkan kaidah deferensi, dapat disimpulkan
bahwa turunan dari suatu fungsi berderajat “n”
adalah sebuah fungsi berderajat “n-1”. Dengan
perkataan lain, turunan dari fungsi berderajat 3
adalah sebuah fungsi berderajat 2, turunan dari
fungsi berderajat 2 adalah sebuah fungsi berderajat
1, turunan dari fungsi berderajat 1 adalah sebuah
fungsi berderajat 0 alias sebuah konstanta, dan
akhirnya turunan dari sebuah konstanta adalah 0.

5. Rumus-rumus differensial
 1. Turunan Fungsi
Jika c dan n adalah anggota bilangan real,
sebagaimana persamaan berikut :
y = cxn
dy / dx = c . n . x n-1
Contoh :
a. y = x5
dy / dx = 5 x 4
b. y = x
dy / dx = 1

6. lanjutan
 2. Turunan suatu konstanta
Jika suatu konstanta diturunkan maka sama dengan
nol (0).
y = c
dy / dx = 0
Contoh :
a. y = 4
dy/dx = 0
b. y = -5
dy/dx = 0

7. lanjutan
 3. Turunan suatu jumlah
Jika y = u + v dimana u = f(x) dan v = g (x) maka :
y = u + v
d (u + v) / dx = u’ + v’
Contoh :
a. y = x3 + x -1/2 + 3
dy / dx = 3x2 -1/2 x -3/2
b. y = 8x3 + 2x
dy / dx = 24x2 + 2

8. lanjutan
 4. Turunan suatu hasil kali
Jika y = u . v di mana u = f(x) dan v = g(x)
maka : dy / dx = f’(x) . g(x) + f(x) . g’(x)
atau u’v + uv’
Jadi: y = u . v
dy / dx = uv’ + vu’
Contoh :
y = (x + 2) (2u + 1)
y = 4x + 5

9. lanjutan
 5. Turunan hasil bagi
Jika y = f(x) / g(x)
maka dy / dx = (f’(x) . g(x) – f(x) . g’(x))/(g(x))2
atau y = u / v
dy / dx = vu’ – uv’ / v2
Contoh :
y = (2x2 + x) / (x3 + 3)
dy / dx = (x3 + 3)(4x + 1)-(2x2 + 1)(3x2) / (x3 +3)2
dy / dx = -2x4 – 2x3 + 12x +3 / (x3 + 32)2

10. lanjutan
 6. Turunan berantai
Jika y = (f(x))n maka dy / dx = n . (f(x))n-1 . f(x)
Contoh : y = (x2 + 3x + 1)3
f(x) = (x2 + 3x + 1) maka f’(x) = 2x + 3
dy / dx = (x2 + 3x + 1)3 . (2x + 3)
atau gunakan rumus berikut ini,
y = f(u)
dy / dx = dy / du . du / dx
Contoh : y = (x2 + 3)3
Misalnya, u = x2 + 3, maka
du / dx = 2x
y = u3
dy / du = 3u2
Jadi, dy / dx = 3u2(2x)
dy / dx = 3(x2 + 3)2(2x)

11. Rumus Turunan Lainnya
 Fungsi turunan juga dapat dikembangkan menjadi beberapa rumus yang lain
diantaranya sebagai berikut :
1. Fungsi Logaritma Biasa
a. y = log x
dy / dx = 1/x log e
b. y = log u
dy / dx = 1/u log e . du / dx
Catatan : 10 log e = 1/e log 10 = 1/ln10
Contoh :
y = log 8x
y = log 8 + log x
dy / dx = 0 + 1/x log e
= 1/x log e
c. d(log u) = 1/u log e du / dx
Contoh : y = 3 log (4x + 1)2
dy / dx = log 3 + 2 log (4x + 1)

12. lanjutan
2. Fungsi Logaritma Natural
a. y = ln x
dy / dx = 1/x ln e
Catatan : ln e = e log e = 1
Contoh :
y = ln x3
y = 3 ln x
dy / dx = 3 . 1/x ln e
dy / dx = 3/x
b. y = ln u
dy / dx = 1/x . du / dx
Contoh :
y = ln (4x-3)
dy / dx = 1/(4x-3) . 4
dy / dx = 4/(4x-3)

13. lanjutan
3. Fungsi Eksponen
Differensial log, jika diketahui y = xx maka fungsi
tersebut diubah terlebih dahulu dalam bentuk log.
ln y = x ln x
1/y . dy / dx + x. 1/x + ln x . 1
1/y . dy / dx = 1 + ln x
dy / dx = x x(1+ln x)
4. Turunan Pembagian Suatu Konstanta dengan Fungsi
Misalnya,
y = c / v , dimana v = h(x)
dy / dx = (-c . dv / dx)/v2

14. Turunan Kedua
Turunan kedua dari fungsi y = f(x) adalah turunan
dari turunan pertamanya yang dikonotasikan
sebagai berikut :
d2y / (dx)2 atau y”
Contoh :
Diketahui y = 2x5
y’ = 2 . 5x 5-1
= 10 x4
y” = 10 . 4x 4-1
= 40 x 3

15. U N I V E R S I T A S P A M U L A N G
TERIMA KASIH