1. ใบความรู้ ที่ 10
เรื่อง กฎเกณฑ์ เบืองต้ นเกียวกับการนับ
้ ่
ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ ที่ 10
1. กฎเกณฑ์ เบืองต้ นเกียวกับการนับ
้ ่
ในชีวตประจาวันเรามักจะพบปั ญหาเกี่ยวกับการนับจานวนวิธีท้ งหมดที่เหตุการณ์
ิ ั
อย่างใดอย่างหนึ่งจะเป็ นไปได้ หรื อจานวนวิธีในการจัดชุดของสิ่ งต่าง ๆ เช่น การจัดการแข่งขัน
กีฬา การจัดชุดเสื้ อผ้า การจัดชุดอาหาร เป็ นต้น การคานวณเพื่อหาคาตอบสาหรับปั ญหาประเภท
ต่าง ๆ ดังกล่าว จะทาได้ง่ายและสะดวกรวดเร็ วขึ้นถ้าเข้าใจกฎเกณฑ์บางข้อซึ่ งเรี ยกว่า หลักมูลฐาน
เกี่ยวกับการนับ
กฎข้ อที่ 1 ถ้าต้องการทางานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทาได้ n1 วิธี และในแต่ละ
วิธีที่เลือกทางานอย่างแรกนี้ มีวธีที่จะทางานที่สองได้ n2 วิธี จะทางานทั้งสองอย่างนี้
ิ
ได้ n1  n2 วิธี
่ ่
ตัวอย่างที่ 1 นายดามีเสื้ อ 2 ตัว สี ตางกัน และกางเกง 3 ตัว สี ตางกัน จงหาจานวนวิธี
ทั้งหมดที่นายดาสวมเสื้ อและกางเกงเป็ นชุดต่าง ๆ กัน
วิธีทา นายดามีวธีเลือกสวมเสื้ อได้ 2 วิธี
ิ
และเลือกสวมกางเกงได้ 3 วิธี
 นายดามีวธีสวมเสื้ อและกางเกงเป็ นชุดต่าง ๆ กันได้ 2  3 = 6 วิธี
ิ

2. หรื ออาจจะใช้แผนภาพต้นไม้ในการหาคาตอบได้ดงนี้
ั
เสื้อ กางเกง ผลลัพธ์
กๅ (ส1 , ก1)
ส1 ก2 (ส1 , ก2)
ก3 (ส1 , ก3)
กๅ (ส2 , ก1)
ส2 ก2 (ส2 , ก2)
ก3 (ส2 , ก3)
จากแผนภาพต้นไม้ จะได้วา ่
จานวนวิธีท้ งหมดที่นายดาเลือกสวมเสื้ อและกางเกงเป็ นชุดต่าง ๆ กันเท่ากับ 6 วิธี
ั
ตัวอย่างที่ 2 นายวัฒนาทาข้อสอบ 5 ข้อ แต่ละข้อมีตวเลือก 4 ตัวเลือก จงหาว่า
ั
นายวัฒนาจะมีวธีทาข้อสอบดังกล่าวได้ท้ งหมดกี่วธี
ิ ั ิ
วิธีทา นายวัฒนาเลือกทาข้อสอบได้ 5 วิธี
นายวัฒนาเลือกตัวเลือกในข้อสอบแต่ละข้อได้ 4 วิธี
 นายวัฒนามีวธีทาข้อสอบได้ท้ งหมด 5  4 = 20 วิธี
ิ ั
ตัวอย่างที่ 3 ถ้ามีถนนเชื่อมระหว่างเมือง ก. และเมือง ข. 4 สาย และถนนเชื่อมจากเมือง ค.
การเดินทางจากเมือง ก. ไปยังเมือง ค. โดยให้ผานเมือง ข. จะทาได้กี่วธี
่ ิ
วิธีทา การเดินทางจากเมือง ก. ไปยังเมือง ข. ทาได้ 4 ทาง
การเดินทางจากเมือง ข. ไปยังเมือง ค. ทาได้ 5 ทาง
ทางที่ 1 ทางที่ 1
ทางที่ 2
เมือง ก. ทางที่ 2 เมือง ข. ทางที่ 3 เมือง ค.
ทางที่ 3 ทางที่ 4
ทางที่ 4 ทางที่ 5
่
ดังนั้น การเดินทางจากเมือง ก. ไปยังเมือง ค. โดยให้ผานเมือง ข. จะทาได้ (4).(5) = 20 วิธี

3. ตัวอย่าง 4 ร้านค้าแห่งหนึ่ง ต้องการจัดโชว์เสื้ อกีฬาทุกขนากและทุกสี ถ้ามีเสื้ อ 3 ขนาด และแต่
ละขนาดมี 2 สี คือ สี ขาวกับสี แดง จะต้องจัดอย่างไร
วิธีทา ใช้แผนภาพต้นไม้ช่วยในการคิด ดังนี้
สมมติให้ S แทนเสื้ อขนาดเล็ก หรื อเบอร์ S
M แทนเสื้ อขนาดกลาง หรื อเบอร์ M
L แทนเสื้ อขนาดใหญ่ หรื อเบอร์ L
ข. แทนเสื้ อสี ขาว
ด. แทนเสื้ อสี แดง
การจัดเสื้อให้ ครบทุกขนากและทุกสี แสดงด้ วยแผนภาพต้ นไม้ ดังนี้
ข : เสื้ อเบอร์ S สี ขาว
S
ด : เสื้ อเบอร์ S สี แดง
ข : เสื้ อเบอร์ M สี ขาว
M
ด : เสื้ อเบอร์ M สี แดง
ข : เสื้ อเบอร์ L สี ขาว
L
ด : เสื้ อเบอร์ L สี แดง
จากแผนภาพ พบว่า จะต้องจัดเสื้ อแต่ละขนาดให้ครบทั้ง 2 สี ได้ 6 แบบ ซึ่ งเท่ากับผล
คูณของจานวนขนาดของเสื้ อ คูณด้วยจานวนสี ของเสื้ อ หรื อ เท่ากับ 3  2  6

4. แบบฝึ กทักษะที่ 10
เรื่อง กฎเกณฑ์ เบืองต้ นเกียวกับการนับ
้ ่
ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ ที่ 10
ชื่อ…………………………………………..ชั้ น………………..เลขที่…….
คาชี้แจง
1. ให้นกเรี ยนเติมคาตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้องสมบูรณ์
ั
ข้ อที่ คาถาม คาตอบ
1 มีเลขโดด 10 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 นาเลขโดด
เหล่านี้มาสร้างจานวนที่มีสองหลักได้กี่จานวน
2 จงหาจานวนวิธีท้ งหมดในการทาข้อสอบปรนัย 4 ตัวเลือก
ั
จานวน 10 ข้อ
3 มีนก 3 ตัว และต้นไม้ใหญ่ 4 ต้น จงหาจานวนวิธีที่นก 3
ตัว บินไปเกาะต้นไม้ 5 ต้นนี้
4 ห้องประชุมห้องหนึ่งมีประตูเข้า -ออก 8 ประตู ผูเ้ ข้าประชุม
แต่ละคนจะมีวธีเดินเข้า-ออกห้องประชุมแห่งนี้โดยออกไม่
ิ
ซ้ าประตูเดิมได้กี่วธี
ิ
5 ในการจับฉลากเพื่อหยิบรายชื่อนักเรี ยนที่มีอยู่ 100 คน เข้า
รับรางวัลที่ 1, 2 และ 3 ตามลาดับ จงหาจานวนวิธีที่จะ
เกิดขึ้นทั้งหมด

5. 2. มีถนนจากกรุ งเทพ ฯ ถึงลพบุรี 3 สาย และมีถนนจากลพบุรีถึงนครราชสี มา 4 สาย ถ้าจะขับ
รถยนต์ จากกรุ งเทพ ฯ ถึงนครราชสี มา โดยขับผ่านจังหวัดลพบุรี จะใช้เส้นทางที่ต่างกันได้
ทั้งหมดกี่เส้นทาง เขียนแผนภาพแสดงการเดินทางเพื่อประกอบคาตอบด้วย

6. เฉลยแบบฝึ กทักษะที่ 10
เรื่อง กฎเกณฑ์ เบืองต้ นเกียวกับการนับ
้ ่
ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ ที่ 10
ชื่อ…………………………………………..ชั้ น………………..เลขที่…….
คาชี้แจง
1. ให้นกเรี ยนเติมคาตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้องสมบูรณ์
ั
ข้ อที่ คาถาม คาตอบ
1 มีเลขโดด 10 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 นาเลขโดด 90 จานวน
เหล่านี้มาสร้างจานวนที่มีสองหลักได้กี่จานวน
2 จงหาจานวนวิธีท้ งหมดในการทาข้อสอบปรนัย 4 ตัวเลือก
ั 40 วิธี
จานวน 10 ข้อ
3 มีนก 3 ตัว และต้นไม้ใหญ่ 4 ต้น จงหาจานวนวิธีที่นก 3 25 วิธี
ตัว บินไปเกาะต้นไม้ 5 ต้นนี้
4 ห้องประชุมห้องหนึ่งมีประตูเข้า -ออก 8 ประตู ผูเ้ ข้าประชุม 56 วิธี
แต่ละคนจะมีวธีเดินเข้า-ออกห้องประชุมแห่งนี้โดยออกไม่
ิ
ซ้ าประตูเดิมได้กี่วธี
ิ
5 ในการจับฉลากเพื่อหยิบรายชื่อนักเรี ยนที่มีอยู่ 100 คน เข้า 30 วิธี
รับรางวัลที่ 1, 2 และ 3 ตามลาดับ จงหาจานวนวิธีที่จะ
เกิดขึ้นทั้งหมด

7. 2. มีถนนจากกรุ งเทพ ฯ ถึงลพบุรี 3 สาย และมีถนนจากลพบุรีถึงนครราชสี มา 4 สาย ถ้าจะขับ
รถยนต์ จากกรุ งเทพ ฯ ถึงนครราชสี มา โดยขับผ่านจังหวัดลพบุรี จะใช้เส้นทางที่ต่างกันได้
ทั้งหมดกี่เส้นทาง เขียนแผนภาพแสดงการเดินทางเพื่อประกอบคาตอบด้วย
วิธีทา เลือกเส้นทางจากกรุ งเทพ ฯ ถึง ลพบุรี ได้ 3 วิธี
เลือกเส้นทางจากลพบุรี ถึง นครราชสี มา ได้ 4 วิธี
 จะได้ท้งหมด 3  4  12 วิธี
ั
ดังนั้น ถ้าจะขับรถยนต์จากกรุ งเทพ ฯ ถึง นครราชสี มา โดยขับผ่านจังหวัดลพบุรี จะใช้
เส้นทางต่างกันได้ท้ งหมด 12 เส้นทาง
ั
แสดงแผนภาพการเดินทางได้ ดังนี้
น1
น 2
ล1 น3
น 4
น 1
น 2
กรุ งเทพ ฯ ล2 น 3
น4
น1
น2
ล3 น3
น 4
กาหนด ล : ลพบุรี และ น : นครราชสี มา