tch

1. Åðºíõèé áîëîâñðîëûí 12 æèëèéí ñóðãóóëèéí
6 äуãааð àíãè
Áîëîâñðîë, соёл, øèíæëýõ óõààíû ÿàìíû
çºâøººð뺺ð õýâëýâ.
Анхны хэвлэл
Ñóðãóóëèéí íîìûí ñàíä îëãîâ.
Áîðëóóëàõûã õîðèãëîíî.
Óëààíáààòàð õîò
2015 îí
БАГШИЙН НОМ
МАТЕМАТИК VI
Д.Түвшинжаргал, Ж.Батболд, Д.Даваасүрэн, Э.Чойсүрэн,
Т.Батчимэг, Н.Баянбилэг, Н.Гэндэнсүрэн, Б.Равданжамц
Н.Цогзолмаа, Б.Энхболд, Д.Энхцэцэг, Б.Эрдэнэсувд, Б.Ариунтунгалаг

2. DDC
373.1
М-294
Багшийн ном: Åðºíõèé áîëîâñðîëûí 12 æèëèéí ñóðãóóëèéí 6 äóãààð àíãè
/Түвшинжаргал Д., áà áóñ; Ðåä. Ганцэцэг Ч., – ÓÁ. 2015. 144x
Ýíýõ¿¿ багшийн ном íü "Ìîíãîë Óëñûí Çîõèîã÷èéí ýðõ áîëîí ò¿¿íä õàìààðàõ
ýðõèéí òóõàé" õóóëèàð õàìãààëàãäñàí áºãººä Áîëîâñðîë, соёл, øèíæëýõ óõààíû
ÿàìíààñ áè÷ãýýð àâñàí çºâøººð뺺ñ áóñàä òîõèîëäîëä öàõèì áîëîí õýâëýìýë
õýëáýðýýð á¿òíýýð ýñõ¿ë õýñýã÷ëýí õóâèëàõ, õýâëýõ, àëèâàà õýëáýðýýð ìýäýýëëèéí
ñàíä îðóóëàõûã õîðèãëîíî.
Багшийн номын òàëààðõ àëèâàà ñàíàë, õ¿ñýëòээ textbook@mecs.gov.mn õàÿãààð ирүүлнэ
үү.
© Áîëîâñðîë, соёл, øèíæëýõ óõààíû ÿàì
ISBN 978-99962-74-49-7

3. 3
Гарчиг
I БҮЛЭГ. Удиртгал
1.1 Багшийн номын зорилго . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Суурь боловсролын математикийн сургалтын хөтөлбөрийн шинэчлэлийн талаар . . . . . . . . 5
1.3 Сургалтын хөтөлбөрийн агуулгын залгамж холбоо, хичээлийн цаг төлөвлөлт . . . . . . . . . . . 9
II БҮЛЭГ. СУРАХ БИЧГИЙГ ХЭРЭГЖҮҮЛЭХ АРГА ЗҮЙ
Сурах бичгийг ашиглах заавар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Асуудал шийдвэрлэх арга зүй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Ээлжит хичээлийн загвар. Сэдэв: Тэнхлэгийн тэгш хэм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Бүхэл тоон олонлог, зэрэг, язгуур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Хэллэг, олонлог . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Алгебрийн илэрхийлэл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Өнцөг (огтлолцсон шулууны хоорондох өнцөг, хамар ба босоо өнцөг, гүйцэд өнцөг) . . . . 31
2.5 Гурвалжин ба олон өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6 Өгөгдөл цуглуулах, дүрслэх . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7 Тоог жиших, тоймлох, хэмжих нэгжийг сонгох . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.8 Тэгшитгэл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.9 Олон өнцөгт . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.10 Тойрог ба дугуй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.11 Биетүүд, түүний шинж чанарыг тодорхойлох . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.12 Цаг, хугацаа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.13 Дунджууд ба далайц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.14 Энгийн бутархай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.15 Аравтын бутархай, Процент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.16 Функц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.17 Хэмжих, зурах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.18 Тэгш өнцөгтийн талбай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.19 Боломж тоолох . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.20 Магадлал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.21 Харьцаа, пропорц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.22 Дараалал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.23 Координатын хавтгай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.24 Хувиргалтууд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.25 Тэнцүү дүрсүүд, гурвалжны тэнцүүгийн шинж . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.25 Тэгш өнцөгт параллелепипедийн гадаргуун талбай, эзлэхүүн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
III БҮЛЭГ. Хавсралт
3.1. Нэгж хичээлийн үнэлгээний жишиг даалгавар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.2. Эцсийн үнэлгээний жишиг даалгавар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.3. Сургалтад ашиглагдах хэрэглэгдэхүүн, ажлын хуудасны загварууд . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.4. Математик нэр томьёоны тайлбар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.5. Нэмэлт эх сурвалж, ашиглах материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4. 4
Дэлхийн олон улс орон боловсролын чанарт ихээхэн анхаарал тавьж байна. Энэ нь нэг талаас
улс орны хөгжилд хувь хүний оруулах хувь нэмэр, нөгөө талаас хувь хүний хөгжилтэй холбоотой.
Боловсролын чанараа олон улсын хэмжээнд үнэлүүлэх (TIMSS, PISAзэрэг олон улсын үнэлгээний
төвийн шалгалтад оролцох) сонирхол өсөж байна. Математик бидний өдөр тутмын үйл ажиллагаа,
мэдээлэл боловсруулах, өрхийн санхүүгээ төлөвлөхөд чухал нөлөө үзүүлж байна. Эдгээр нь
тооцоолол хийх, дүрс, хэмжигдэхүүнтэй ажиллах, статистик өгөгдлийг задлан шинжлэх, үнэлэх,
дүгнэх, диаграмм, графикаар дүрслэх зэрэг математикийн чадварууд дээр тулгуурлаж байна.
Математикт суралцах явцад сурагчдын математик хэл, харилцаа, логик болон бүтээлчээр сэтгэн
бодох, танин мэдэх чадвар хөгжиж байдаг. Олон улсын хөгжлийн чиг хандлага болон Монгол
улсад гарч буй нийгэм, эдийн засгийн өөрчлөлтүүд нь математик боловсролын агуулгыг шинэчлэн
сайжруулахыг шаардаж байна.
Суурь боловсролын цөм хөтөлбөрийн зорилгыг:
Сурагч бүрийг сурах арга барил, амьдрах ухаан, шинжлэх ухааны суурь мэдлэг, чадвар, бие
даан бүтээлчээр суралцах чадвар эзэмших, үндэсний хэл, түүх соёлоо дээдлэн хөгжүүлэх,
ардчилсан, хүмүүнлэг үзэлтэй иргэн төлөвших боломж олгоход оршино.
гэж тодорхойлсон. Математикийн сургалтын хөтөлбөр ч мөн үүнд чиглэгдэж байна. Суурь
боловсролын судлагдахуун тус бүрээр эзэмших сурах арга барил гэдгийг математикийн
хичээлийн онцлогтой уялдуулан асуудал шийдвэрлэх арга барил гэж авч үзсэн болно.
1.1 Багшийн номын зорилго.
Багшийн ном нь сурах бичиг бусад нэмэлт материалыг ашиглан математик сургалтыг үр дүнтэй
явуулахад багшид онол, арга зүйн зөвлөгөө өгөх, тусламж, дэмжлэг үзүүлэх зорилготой. I бүлэгт
сургалтын хөтөлбөрийн шинэчлэлийн талаар, II бүлэгт ээлжит болон нэгж хичээлийн ерөнхий
арга зүйг оруулсан бөгөөд энэ нь зорилго (хүрэх үр дүн), зорилт (эзэмших мэдлэг, чадвар), үйл
ажиллагаа, анхаарах зүйлс, нэмэлт мэдээлэл, явцын үнэлгээний жишиг даалгавар, сурах бичгийн
даалгавруудын бодолт, тайлбар зэрэг үндсэн хэсгүүдээс тогтоно.
Арга зүйн хувьд хэт нарийвчилж төлөвлөөгүй сурах бичгийн дагуу зөвлөмжилсөн байдлаар
бичигдсэн бөгөөд тухайн хичээлийг хэрхэн заах арга зүй нь багш, сургууль, хамт олны хувьд
нээлттэй байна. Өөрөөр хэлбэл багшийн заах арга зүй нь түүний өөрийн туршлага, уламжлалт
болон бүтээлч, идэвхтэй сургалтын аргуудыг хэрэглэн хичээлээ үр дүнтэй зохион байгуулахад
чиглэгдэнэ.Нэгжболонээлжитхичээлийнявцынүнэлгээгоновчтойарга,хэлбэрээрзохионявуулах
нь математик сургалтын эцсийн үр дүнд чухал ач холбогдолтой. Иймд тухайн нэгж хичээлээр
дэвшүүлсэн суралцахуйн зорилт (эзэмших мэдлэг, чадвар)-уудыг мэдлэг ойлголт ба хэрэглээ,
асуудал шийдвэрлэх гэсэн хоёр түвшинд үнэлэх даалгавруудын санааг оруулж өглөө. Багш нар
өөрсдөө суралцахуйн зорилтыг үнэлэх даалгавар боловсруулах, мөн бүтээлч сэтгэхүйг хөгжүүлэх
даалгавруудыг сурагчдын нас, бие, сэтгэхүйд тохируулан ажиллуулах хэрэгтэй. Геометрийн
агуулгыг заах явцад сурагчид зурах, хэмжих, байгуулах, тооцоолох зэрэг үйл ажиллагаа, дадлага
ажлын явцад сурах арга барилд суралцан, мэдлэг, чадвар эзэмшинэ гэдгийг анхаарах нь зүйтэй.
III бүлэгт нэгж хичээлийн үнэлгээ, жилийн эцсийн үнэлгээний жишиг даалгавруудын санааг
оруулж өгөв. Эдгээр даалгаврын арга, хэлбэрийг сайжруулан тухайн багш, сургууль, хамт олон
өөрсдийн үнэлгээний даалгавраа боловсруулах боломжтой. Мөн номын эцэст багш нарын өргөн
хэрэглэдэг мэдээллийн сайтууд, хэрэглэх нэмэлт материалыг оруулж өглөө. Багш нар шууд
хичээлдээ хэрэглэх боломжтой ажлын хуудсууд нь багшийн ажлыг хөнгөвчилж, сурагчдын сурах
арга барилд эерэгээр нөлөөлдөг. Гэхдээ энд бүгдийг оруулах боломжгүй учраас, дээрх вэб сайтууд
болон өөрсдийн аргаар ажлын хуудсыг бэлтгэх нь чухал хэрэглэгдэхүүн болно.
I БҮЛЭГ. Удиртгал

5. 5
1.2 Суурь боловсролын математикийн сургалтын хөтөлбөрийн шинэчлэлийн талаар
А. Математикийн сургалтын хөтөлбөрийн зорилго, зорилтын шинэчлэл
Суурь боловсролын математикийн хөтөлбөрийн зорилгыг:
Сурагч нь тоо, хувьсагч, дүрс, хэмжигдэхүүн, өгөгдөлтэй ажиллах асуудлыг шийдвэрлэх арга
барилд суралцан, математикийн мэдлэг, чадвараа амьдрал, ахуйд хэрэглэснээр хэл, сэтгэлгээ,
танин мэдэх чадвараа хөгжүүлж, математикийг сонирхон судлах хүсэл, тэмүүлэлтэй болно.
гэж тодорхойлсон.
Математикийн сургалтын хөтөлбөрийн зорилт. Сурагч нь:
1) Математикийн нэр, томьёо, ойлголт, хууль, дүрэм, чанар, зүй тогтлыг танин мэдэх,
тэдгээрийн учир шалтгааныг ойлгох, үндэслэх чадвартай болно.
2) Математикийн мэдлэг, чадвараа хэрэглэн асуудлыг загварчлах, задлан шинжлэх, нэгтгэн
дүгнэх, математик арга, сэтгэлгээгээр асуудалд хандах, оновчтой арга, хувилбарыг
сонгож шийдвэрлэх арга барил эзэмшинэ.
3) Юмс, үзэгдлийн учир шалтгааныг эргэцүүлэн бодох, тайлбарлах, өөрийгөө илэрхийлэх,
эмх цэгцтэй, учир зүйтэй сэтгэн бодох үйл ажиллагаанд суралцана.
4) Математикт суралцахуйн ач холбогдлыг ойлгон, математикийг сонирхон судлах хүсэл,
тэмүүлэлтэй болно.
Асуудал шийдвэрлэх арга барилыг танин мэдэх үйл явцтай холбон VI-VII, VIII-IX ангиар
тодорхойлсон болно.
Асуудал шийдвэрлэх арга барил
Үе шат VI-VII анги VIII-IX анги
Асуудлыг
олж харах,
томьёолох
• Өдөр тутмын амьдрал дахь
математикийн асуудлыг олж
харах, ойлгох, өөрийн үгээр
болон зураг, схемээр томьёолох;
• Бодит амьдрал дахь математикийн
асуудлыг олж харах, ойлгох, математик
нэр томьёо, ойлголтоо ашиглан
томьёолох;
Асуудлыг
математик
загварт оруулах,
төлөвлөгөө
боловсруулах
• Шаардлагатай мэдээлэл
цуглуулах
• Өмнөх туршлагатайгаа
харьцуулах, жишээ олох;
• Таамаглал дэвшүүлэх;
• Асуудлыг математик загварт
оруулах;
• Төлөвлөгөө боловсруулах,
алгоритм хэрэглэх;
• Шаардлагатай мэдээлэл, статистик
тоо, баримт цуглуулах, хэрэгцээгүй
мэдээлэл байгаа эсэхийг тогтоох;
• Өмнөх туршлагатайгаа харьцуулах,
ижил төстэй болон эсрэг жишээ олох;
• Тодорхой үндэслэлтэй таамаглал
дэвшүүлэх;
• Асуудлыг математикийн аргаар
загварчлах;
• Хувилбарт төлөвлөгөө боловсруулах,
алгоритм зохиох;

6. 6
Төлөвлөгөөг
хэрэгжүүлэх
• Төлөвлөгөөний алхам бүрийг
гүйцэтгэх, хийж буй үйлдлээ
алдаагүй, үнэн зөв бичиж
тэмдэглэх;
• Тооцоолол хийх, боломжуудыг
тооцох, тухайн тохиолдлуудыг
шалгах;
• Диаграмм, график, байгуулалтыг
ойлгомжтой байдлаар өгсөн
нарийвчлалтай зурах, дүрслэх,
тайлбарлах;
• Төлөвлөгөөний алхам бүрийг гүй­
цэтгэх, хянах, хийж буй үйлдлээ
алдаагүй, үнэн зөв бичиж тэмдэглэх;
• Тооцоолол хийх, боломжуудыг
тооцох, үнэлэх, онцгой болон эсрэг
тохиолдлуудыг шалгах;
• Диаграмм, график, байгуулалтыг
тохи­
рох нарийвчлалыг сонгон, өөр­
төө болон бусдад ойлгомжтой байд­
лаар зурах, дүрслэх, үндэслэлтэй
тайлбарлах;
Дүгнэлт гаргах, үр
дүнг тайлбарлах
• Дүгнэлтээ математик тэмдэглэ­
гээ, нэр томьёо ашиглан
тайлбарлах;
• Дүгнэлтээ бусадтайгаа хэлэлцсэ­
ний үндсэн дээр сайжруулах;
• Асуудлыг шийдвэрлэх өөр арга
зам байгаа эсэхийг тодорхойлох;
• Шийдсэн асуудалтай холбоотой
өөр бодлого, асуудал дэвшүүлэх;
• Дүгнэлтээ математик нэр томьёо,
тэмдэглэгээ, ойлголтоо ашиглан
тодорхой үндэслэлтэй тайлбарлах;
• Дүгнэлт нь асуудалд бүрэн хариулт
өгч байгаа эсэхийг тооцох, дүгнэлтийг
бусадтайгаа хэлэлцсэний үндсэн дээр
сайжруулах;
• Асуудлыг шийдвэрлэх өөр арга зам
байгаа эсэхийг тодорхойлох;
• Шийдсэн асуудалтай холбоотой илүү
өргөн, ерөнхий эсвэл явцуу асуудлыг
дэвшүүлэх;
Асуудал шийдвэрлэх арга барилыг сурагчдын идэвхтэй үйл ажиллагаагаан дээр тулгуурлан
эзэмшүүлнэ.
Б. Сургалтын хөтөлбөрийн агуулгын шинэчлэл
Агуулгын хувьд Геометр ба Хэмжигдэхүүн, Магадлал, статистикийн агуулгын хүрээнд өдөр
тутмын амьдрал дахь математик хэрэглээтэй холбогдон нэлээд өөрчлөлт орсон. Тухайлбал,
дүрсийн хувиргалтууд, түгээмэл биетүүд, аяллын график, дэлхийн цагийн бүс, нийлмэл нэгжийг
хэрэглэх, тэнцүү завсраар бүлэглэсэн дискрет болон тасралтгүй өгөгдлийн моод бүлэг, медиан,
далайцыг олох, гистограмм, хуримтлагдсан давтамжийн график байгуулах, үр дүнг тайлбарлах,
корреляцийг ойлгох, тайлбарлах, статистик характеристик хэрэглэн түүврүүдийг харьцуулах,
дүгнэлт гаргах, туршилтын үр дүн буюу харьцангуй давтамжийг хэрэглэн магадлалыг үнэлэх,
дүгнэлт гаргах гэх мэт агуулгууд шинээр орсон.
Харин Тоо тоолол ба Алгебр агуулгын хүрээнд тоо, хэмжээг жиших, тоймлох, үнэлэх,
багцаалах, стандарт дүрсэд бичих, мөнгө, санхүү, процентийн өөрчлөлт оролцсон тооцоолол хийх,
харьцаа, пропорц, шууд ба урвуу пропорционал хамаарлыг ашиглан асуудал шийдвэрлэх арга
барил эзэмшүүлэхэд анхаарна. Мөн алгебрийн илэрхийлэл, тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш, дараалал,
функцийн талаар судлах бөгөөд ахлах ангид үргэлжлүүлэн, гүнзгийрүүлж судална. Математик
нэр, томьёоны хувьд олон улсад хэрэглэгддэг зарим нэр, томьёог хэрэглэх нь нэг талаас математик
дэлхий нийтийн хэл болдог, нөгөө талаас цаашид олон улсын үнэлгээний төвөөр боловсролын
чанараа үнэлүүлэх зорилготой холбогдон гарч ирсэн. Тухайлбал, “шулууны өнцгийн коэффициент”
гэдгийг “шулууны налалт” гэж ойлгох, “пиктограмм”, “гистограмм”, ”хуримтлагдсан давтамжийн
диаграмм”, “корреляц” гэх мэт шинэ нэр, томьёонуудыг ойлгон хэрэглэж чаддаг болоход анхаарна.
Мөн агуулгыг хэрэгжүүлэхдээ танин мэдэхүйн түвшин, үйл явцтай холбон, тухайлбал “танин
мэдэх” “ойлгох” “хэрэглэх” “асуудал шийдвэрлэх” гэсэн дарааллаар бичигдсэн болохыг анхаарах
хэрэгтэй.
Сургалтын төлөвлөгөөнд тусгасан цагийг агуулгаар хэрэгжүүлэхдээ сургалтын хөтөлбөрийн
агуулга анги дээшлэх тусам хэрхэн өргөсөн гүнзгийрч байгааг ойлгох нь чухал, өөрөөр хэлбэл
тодорхой агуулга нь анги тус бүрд давтагдан орж, өргөсөн гүнзгийрэх гэсэн ерөнхий бүтэцтэй
байгаа нь хөтөлбөрийн онцлог болно. Агуулгыг дахин судлах боломжийг бий болгох нь сурагчдад

7. 7
тухайн агуулгыг өөр өнцгөөс харах, мэдлэг, чадварыг гүн бат эзэмших боломжийг олгож буй давуу
талтай. Ялангуяа өдөр тутмын амьдралд өргөн хэрэглэгддэг тооцоолол хийх, тоо, хэмжээг жиших,
тоймлох, дүрс, биет, хэмжигдэхүүнтэй ажиллах, өгөгдөл, хүснэгт, диаграмм, графиктай ажиллах
гэх мэт чадваруудыг эзэмшүүлэхэд анхаарна. Дахин давтагдаж буй агуулгын хувьд анги дээшлэх
тутам агуулгын өргөсөл, гүнзгийрэл дээр төвлөрөн судлах бөгөөд даалгавар болон шийдвэрлэх
асуудлаар нь гүнзгийрүүлэх стратегийг барьж ажиллах нь чухал.
В. Арга зүй
Математикийн сургалтын хөтөлбөрийг хэрэгжүүлэхэд сургалтын арга зүй чухал нөлөө үзүүлэх
бөгөөд багшлахуй, суралцахуйн зарчмуудыг анхаарч ажиллах хэрэгтэй.
Багшлахуйн дараах зарчмуудыг хэрэгжүүлнэ. Үүнд:
- Асуудал шийдвэрлэх үйл явцад сурагчдын юмс үзэгдлийг ойлгох, танин мэдэх,
эргэцүүлэн бодох, эрэл хайгуул хийх, эмх цэгцтэй, учир зүйтэй сэтгэн бодох, юмс
үзэгдлийн учир шалтгааныг тайлбарлах, үндэслэх, дүгнэлт гаргах чадварыг хөгжүүлэх
- Математикийн хичээлийг, танин мэдэх, сэтгэн бодох асуудал шийдвэрлэх үйл
ажиллагаан дээр тулгуурлан явуулах
- Сурагчдын хүсэл, сонирхол, идэвх, оролцоог нэмэгдүүлэхийн тулд сургалтын идэвхтэй,
бүтээлч аргуудыг хэрэглэх
- Математикийг бодит ертөнц, ахуй амьдралтай холбох, бодит ертөнц дэх асуудлыг
загварчлах математикийн олон арга байдгийг ойлгуулах, сурагчдын мэдээлэл
харилцааны технологийг ашиглах чадварыг хөгжүүлэх
- Сурагчдын ялгаатай байдлыг харгалзан сургалтын арга, хэлбэрээ сонгох
- Явцын үнэлгээний жишиг даалгаварий тохиромжтой аргуудыг хэрэглэх
- Хэрэглэгдэхүүнийг оновчтой сонгох, гарын дор материал ашиглан хийх, цахим
хэрэглэгдэхүүн, интернэт, бусад эх сурвалжийг ашиглах
Суралцахуйн дараах зарчмуудыг хэрэгжүүлнэ. Үүнд:
- Сурагчдын өмнөх мэдлэг, чадвар дээр тулгуурлах
- Сурагчдын сонирхол, хэрэгцээнд тулгуурлах
- Сургалтын таатай орчин бүрдүүлэх, сурагчдад өөрийгөө илэрхийлэх боломж олгох
- Сурагчдын үйл ажиллагаан дээр тулгуурлах, бие даан ажиллах болон багаар ажиллах
чадварыг хөгжүүлэх
Идэвхтэй сургалт.
“Багшийн хийж байгаагаас сурагчийн хийж байгаа илүү чухал” Geoff Petty
Идэвхтэй сургалт гэдэг нь сурагчид хичээлийн үйл ажиллагаанд оролцох, сэтгэх, хөдлөх,
ярих, боловсруулах болон тухайн сэдвийн талаарх ойлголтоо хөгжүүлэх зэрэг янз бүрийн үйл
ажиллагаанд идэвхтэйгээр оролцохыг хэлнэ.
Суралцахуйн пирамид - Дундаж сурагчийн тогтоож үлдэх хувь
Лекц 5%
Унших: 10%
Харах: 20%
Тайлбарлан үзүүлэх: 30%
Хэлэлцэх: 50%
Дадлага ажлаар хийх: 75%
Бусдад заах: 90%

8. 8
Г. Орчин, хэрэглэгдэхүүн
Математик сургалтын үр дүнг нэмэгдүүлэхэд сургалтын орчин, нөхцөл, хэрэглэгдэхүүн чухал
үүрэг гүйцэтгэнэ. Сургалтын орчин, нөхцөлийн хувьд хот, хөдөө, аймгийн төв, сумын төв, улсын
болон хувийн хэвшлийн сургууль гэх мэт сургууль, орон нутгийн онцлогтой уялдан харилцан
адилгүй боловч, боломж, нөхцөлөө ашиглан сургалтын таатай орчинг бүрдүүлэх нь сурагчдын
ахиц, амжилтад эерэгээр нөлөөлнө. Хэрэглэгдэхүүний хувьд дараах зүйлсийг анхаарч ажиллах,
Үүнд:
- Хэмжих, зурах, байгуулалт хийх багаж, хэрэгсэл, шугам, гортиг, транспортир,
термометр, хэмжээстэй сав, аналог болон дижитал цаг гэх мэт материал ашиглах
- Их болон маш бага тоон дээр үйлдэл гүйцэтгэх, хариугаа шалгахад зарим үед тооны
машин ашиглах нь үр дүнтэй байдаг, гэхдээ тухайн ангийн агуулгатай холбогдон
ихэвчлэн VIII-IX ангид голлон хэрэглэнэ. Арифметикийн үйлдлүүдээс гадна ялангуяа
дунд ангид шинээр үзэж байгаа зэрэг дэвшүүлэх, квадрат язгуурыг олох, тоо, хэмжээг
өгсөн нарийвчлалаар тоймлох, процентийн өсөлт, бууралтыг олоход тооны машин
хэрэглэх.
- Багшийн цаг, завыг хэмнэсэн, хэрэглэхэд хялбар, бэлэн материал, сурагчийн ажлын
хуудас, математик сэтгэлгээг хөгжүүлэх тоглоомуудыг хэрэглэх
- Зарим тохиолдолд математикийн хичээлд компьютер болон проектор, дэлгэц ашиглан
сурагчдад процессийг үзүүлэх, тайлбарлах, график, диаграммыг харуулах
- Интернэт ашиглан тодорхой асуудлаар мэдээлэл, статистикийн тоо, баримт цуглуулах,
боловсруулах, график диаграммаар дүрслэх, математикийн түүхийг судлах гэх мэт олон
аргууд байж болно.
Д. Үнэлгээ.
Үнэлгээний зорилт:
I. Математикийн мэдлэг, ойлголт;
II. Математикийн мэдлэг, ойлголтоо хэрэглэх, асуудал шийдвэрлэх чадвар;
III. Өөрийгөө илэрхийлэх, сэтгэн бодох чадвар;
IV. Идэвх, оролцоо, сонирхол, хандлагыг үнэлнэ.
Үнэлгээний шалгуур:
Үнэлгээний зорилт Үнэлгээний шалгуур
I. Математикийн
мэдлэг, ойлголт
1. Математикийн нэр, томьёо, ойлголт
2. Чанар, хууль, дүрэм
3. Зүй тогтол, харилцан хамаарлын тухай ойлголт хэрэглээ
II. Математикийн
мэдлэг ойлголтын
хэрэглээ, асуудал
шийдвэрлэх чадвар
1. Математикийн мэдлэг, ойлголтоо сэдэв, хичээлд хэрэглэж буй байдал
2. Математикийн мэдлэг, ойлголтоо ахуй амьдралд хэрэглэж буй байдал
3. Асуудлыг ойлгон томьёолж буй байдал
4. Асуудал шийдвэрлэх оновчтой аргыг сонгон, төлөвлөж буй байдал
5. Төлөвлөгөөг хэрэгжүүлж, математик аргаа хэрэглэж буй байдал
6. Дүгнэлт гарган, үр дүнг үндэслэлтэй тайлбарлаж буй байдал
III. Өөрийгөө
илэрхийлэх, сэтгэн
бодох чадвар
1. Математик хэллэг, бичиглэл, тэмдэглэгээ ашиглан өөрийн санаа бодлоо
илэрхийлж буй байдал
2. Юмс, үзэгдлийн математик зүй тогтол, харилцан хамаарлыг илрүүлж буй
байдал
3. Асуудлыг өөр өнцгөөс харж, олон аргаар шийдвэрлэж буй байдал
4. Ангилах, харьцуулах, эрэмбэлэх, тухайн тохиолдлууд, онцгой болон эсрэг
тохиолдлыг олох, ерөнхий дүгнэлт гаргаж буй байдал

9. 9
IY. Идэвх оролцоо,
сонирхол, хандлага
1. Хичээлд оролцож буй байдал (багаар болон бие даан ажиллах чадвар)
2. Юмс үзэгдлийг сонирхон судалж, хандаж буй байдал
Сурагчдыг үнэлэхдээ дараах зүйлсийг анхаарах шаардлагатай. Үүнд:
- Юуны тулд үнэлэх вэ? (хүүхдийн хөгжлийг дэмжих, ахицыг тодорхойлох)
- Юуг үнэлэх вэ? (мэдлэг ойлголт, хэрэглээ, асуудал шийдвэрлэх чадвар, сэтгэлгээ,
хандлага)
- Яаж үнэлэх вэ? (үнэлгээний арга, хэлбэр, хэрэгслээ сонгох) гэдгээ тодорхойлох нь
чухал.
Үнэлгээний даалгаврыг боловсруулахдаа:
- Тухайн үнэлгээний даалгаврын тоо, танин мэдэхүйн түвшинг тогтоох, хэмжээсжүүлэх
- Даалгавруудыг боловсруулах
- Даалгавруудад харгалзах үнэлгээний шалгуур үзүүлэлт боловсруулах
- Түүнийгээ ашиглан сурагчдын мэдлэг, чадвар, хандлагыг үнэлэх, дүгнэх, хэрэглэх гэсэн
үе шатыг баримжаалж болно.
Даалгаврын төрөл нь сонгох, нөхөх, харгалзуулах гэх мэт тестийн аргуудаас гадна эсээ
бичих, график, диаграммаар илэрхийлэх, зураг, загвар зохиох гэх мэт олон төрөл байж
болно. Мөн дадлага ажил, асуулт, хариулт, ярилцлага, хэлэлцүүлэг хийх аргаар үнэлж болно.
Хичээлийн явцад сурагчдыг асуудал шийдвэрлэх үйл ажиллагаанд чиглүүлэх, сурагчдын мэдлэг,
чадвар, хандлагыг үнэлэхэд сурагчийн ажлын хуудас, багшийн ажиглалтын хуудас нь чухал
хэрэгсэл болно.
1.4 Суурь боловсролын математикийн хөтөлбөрийн агуулгын залгамж холбоо
VI анги VII анги VIII анги IX анги
Тоо
тоолол
Тоон
олонлог,
зэрэг,
язгуур
• Бүхэл тоог жиших, 4
үйлдэл
• Тооны хуваагдах
шинж, анхны тоо,
ХИЕХ, ХБЕХ
• Бүхэл тооны квадрат
зэрэг, квадрат язгуур
• Хэллэг, олонлог,
, Эйлер-Веннийн
диаграмм
• Бүхэл тооны 4
үйлдэл, модуль
• Тоог анхны тоон
үржигдэхүүнд
задлах, ХИЕХ,
ХБЕХ
• Бүхэл тооны куб
зэрэг, куб язгуур
• Натурал илтгэгчтэй
зэргийн чанар
a a a a
x y x y
× ÷
,
• {Q} 4 үйлдэл, жи­
ших, илэр­хийлэл,
1
3
0 3
= .( )
• a a
; 3 (язгуур
нь {Q} )
• b m N
m
, ∈ Олонлог,
үйлдлүүд
• Иррационал тоо
• Квадрат язгуур
агуулсан
илэрхийлэл
Алгебр
Тоог
жиших,
тоймлох
• Тооны орон анги,
олон оронтой тоог
тоймлох
• Аравтын бутар­хайг
жиших, эрэм­бэлэх,
тоймлох
• Хэмжээнүүдийг
эрэмбэлэх
• Олон оронтой
тоо, аравтын бу­
тархайг тоймлох
• Тоог тоймлох, тэм­
дэгтийн тоогоор
тоймлох
• Тооцооллын на­
рийвч­лалыг сонгох
• Дутагдалтай
ба илүүдэлтэй
ойролцоо утга
• Тооны стандарт
дүрс
Энгийн
ба
аравтын
бутархай,
процент
• Тэнцүү, засагдах,
холимог бутархай,
бутархайг хураах
• Энгийн ба аравтын
бутархайн жиших, 4
үйлдэл, процент
• Энгийн бутар­
хайн хураах,
жиших, 4 үйлдэл
• Аравтын болон
энгийн бутархай,
процентийн ха­
рил­цан хамаарал
• Процентийн
өсөлт, бууралт
• Процентийн
асуудал шийдвэр­
лэх (Хүү, хямдрал,
ашиг, алдагдал,
татвар, өрхийн
санхүү)
• Процентийн
өсөлт, бууралт,
асуу­дал шийдвэр­
лэх (ашиг ба
алдагдал, энгийн
ба нийлмэл хүү
тооцох), хольцын
бодлогууд

10. 10
Алгебр
Харьцаа
• Харьцаа, пропорц,
• Шууд пропорционал
хамаарал,
• Тоо, хэмжээг
харьцуулах
• Харьцаа, про­
порц,
• Шууд пропор­
ционал хамаарал,
• Тоо, хэмжээг
харьцуулах
• Харьцаануудыг
жиших,
• Тоо, хэмжээг
харьцуулах
• Масштаб
• Урвуу пропор­
ционал хамаарал
• Харьцааны хэрэг­
лээ,
• Шууд ба урвуу
пропорционал
хамаарлын
хэрэглээ
Илэрхийлэл,
тэгшитгэл
• Алгебрийн шугаман
илэрхийлэл
• Төсөөтэй гишүүдийг
эмхэтгэх
• Алгебрийн шугаман
илэрхийллийг
хувиргах,
хялбарчлах (тоогоор
үржүүлэх)
• Хялбар шугаман
тэгшитгэл
• Алгебрийн шуга­
ман илэрхийлэл
• Натурал илтгэгч­
тэй зэргийн
за­рим чанар
хэрэглэх
• Алгебрийн илэр­­­
хийллийг ху­вир­
гах, хялбарч­лах
(нэг гишүүн­тээр
үржүү­лэх)
• Шугаман
тэгшитгэл
• Алгеб­рийн бутар­
хай илэрхийлэл,
+;–(a±b)2
, a2
–b2
,
• Шугаман тэг­
шитгэл, түүний
систем, нэмэх ба
графикийн арга,
Нэг хувьсагчтай
шугаман тэнцэтгэл
биш, |x|=a,
|x–a|=0
• Олон гишүүнтийг
үржигдэхүүн
болгон задлах
• Квадрат тэг­шит­
гэлийг үржиг­
дэхүүн болгон
задлах аргаар
бодох
• Хялбар ирра­
ционал, илтгэгч
тэгшитгэл,
Дараалал,
функц,
график
• Бүхэл, бутархай
тоон дараалал
• Зүй тогтлыг олох
• Функц
• y=a, x=a, y=kx
график
• Ерөнхий
гишүүний дүрэм
• Арифметик прог­
рес­сийн ерөнхий
гишүүний томьёо
• y=kx, y=kx+b
шугаман функ­
цийн график
• Ерөнхий гишүүний
дүрэм, томьёо,
ариф­метик,
геометр прогресс;
• Шугаман функ­
цийн урвуу функц;
ax by c
+ = тэгшит­
гэлийн график,
шулууны налалт
• Тэгшитгэлийн
язгуурыг ойрол­
цоо­
гоор олох;
график,
• Зам, хурд, хугацаа
болон y ax
= 2
функцийн график
• Дарааллын ерөн­
хий гишүүний
томьёо
• Урвуу функц,
давхар функц
• y ax bx c y ax
= + + =
2 3
,
функц, график,
тэгшитгэлийн
язгуурыг ой­
ролцоогоор олох
• Квадрат тэгшит­
гэлийг бодох
графикийн арга
• Шулууны тэг­
шитгэлийг
y mx c
= + хэл­
бэрт шилжүүлэх,
шулууны налалт
Геометр
Дүрс,
биет,
чанар
• Цэг, шулуун, хэр­
чим, цацраг, өнцөг,
• Хурц, мохоо, тэгш,
180° –360°, хамар,
босоо, гүйцэд өнцөг
/ /, ⊥, × шулууны
хоо­рондох өнцөг,
чанар
• Гүдгэр олон өнцөгт,
дотоод өнцгийн
нийлбэр
• Огторгуйн биетүүд
(конус, бөмбөрцөг)
• Дүрсийн тэгш хэмт
чанар,
• Багаж, хэрэгсэл
ашиглан хэмжих,
зурах
• Дөрвөн өнцөг­
түүдийг ангилах
• / / шулууныг гурав
дахь шулуунаар
огтлоход үүссэн
өнцгүүд, чанар
• Гурвалжны га­
даад өнцгийн
чанар
• Огторгуйн биет,
тэдгээрийн
дэлгээс
• Геометрийн үнд­
сэн болон хялбар
байгуулалт
• Гурвалжныг
ӨТӨ, ТӨТ, ТТТ-
аар нь байгуулах
• Тойрог, нум, тэгш
өнцөгт, гур­вал­
жин байгуулах
• Олон өнцөгтийн
дотоод болон
гадаад өнцгүүдийн
нийлбэр
• Биетийн гурван
проекц
• Тэгш хэмийн
хавтгай
• Зөв олон өнцөгт
байгуулах
• Пифагорын теорем
• Тойрог ба шулуун,
тойрог ба өнцөг,
харилцан байршил
• Гурвалжныг гурван
элементээр нь
байгуулах
• Дүрс ба биетийн
тэгш хэмт чанар
• Өнцгүүдийг
тооцоолох
• Тойргийн тэгш
хэмт чанарууд
• Пифагорын
теорем, хурц
өнц­гийн тригоно­
метрийн харьцаа
• Векторын тэм­
дэглэгээ, үйлдэл
• Векторын урт

11. 11
Геометр
Байршил,
хөдөлгөөн
• Тэгш өнцөгт коор­
динатын систем,
цэгийн координат,
дүрс байгуулах
• Тэгш хэм, эргүүлэлт,
параллель зөөлт
• Тэнцүү дүрсүүд,
гурвалжны
тэнцүүгийн шинж
• Хэрчмийн
дундаж цэгийн
координат, дүрс
байгуулах
• Нэг төрлийн
дараалсан
хувиргалтууд
• Гомотетоор
хувиргах
• Төсөөтэй дүр­
сүүд, гурвалжны
төсөөгийн шинж
• Хоёр өөр төрлийн
дараалсан хувир­
галтууд
• Хэрчмийн урт
• Гомотетын чанар
• Чиглэлт өнцөг
• Хавтгай дээрх
хувиргалтууд
• Координатын
тэнх­лэгт пер­пен­­
ди­куляраар сунгах,
тэнх­лэг­ийн дагуу
налуулах
• Чиглэлт өнцөг,
түүний хэрэглээ
• Гурвалжны тэнцүү
болон төсөөгийн
шинж
Хэмжигдэхүүн
Урт,
хүнд,
эзлэхүүн
• Хэмжих нэгжүүдийг
хэрэглэх (урт, хүнд,
эзлэхүүн)
• Аналог ба дижитал
багаж
• Талбай, эзлэ­
хүүнийг хэмжих
нэгжүүд (га, мм2
,
см2
, м2,
мм3,
см3
,
м3
), уламжлалт
нэгжүүд
• Хэмжигдэхүүн
оролцсон төрөл
бүрийн агуул­
гатай асуудал
шийдвэрлэх
• Хэмжигдэхүүн
оролцсон төрөл
бүрийн агуул­
гатай асуудал
шийд­вэрлэх
Хугацаа
ба
мөнгө
•
• 12 ба 24 цагийн
систем, дэлхийн
цагийн бүс
• Зам, хугацааны
график
• Тогтмол ба дундаж
хурд
• км/цаг→м/сек
шилжүүлэх болон
Нийлмэл нэгж
• Дэлхийн цагийн
бүсийн хэрэглээ,
• Монгол цаг,
тоолол
• Мөнгө, валют
Талбай,
периметр,
эзлэхүүн
• Талбайн нэг­
жүү­
дийн хамаарал
• Тэгш өнцөгтүүдээс
тогтсон нийлмэл
дүрсийн периметр,
талбай
• Куб, тэгш өнцөгт
параллелепипедийн
гадаргуун талбай,
эзлэхүүн
• Гурвалжин,
парал­­лелеграмм,
трапецийн тал­
бай, нийлмэл
дүрсийн талбай
• L=2πr, S=πr2
, π
тоо, Тэгш өнцөгт
парал­лелепипед,
призм, суурь нь
зөв дөрвөн өн­
цөгт пира­мидын
Sгадаргуу
• Тойргийн урт,
ду­гуйн талбай,
хэрэглээ
• Призмийн
гадаргуун талбай,
эзлэхүүн
• Олон өнцөгтийн
периметр, талбай
• Тойрог, нумын
урт, дугуй,
секторын талбай
• Цилиндр, приз­
мийн V, Sгадаргуу
• Биетүүдийн
Sгадаргуу
Магадлал,
статистик
Өгөгдөл
цуглуулах,
бүртгэх
• Өгөгдөл цуглуулах,
бүртгэх
• Давтамжийн хүснэгт
• Өгөгдөл
• Хэмжигдэхүүний
нарийвчлал,
түүврийн хэмжээ
• Давтамжийн
хүснэгт
• Судалгааны
асуул­­га, түүврийн
хэмжээ, хэмжигдэ­
хүүний нарийвчлал
• Статистик
өгөгдлийг цуг­
луулах, бүртгэх
Өгөгдлийг
дүрслэх,
боловсруулах
• Моод, медиан, да­
лайц, арифметик
дундаж
• Бүлэглэсэн өгөгдөл,
моод бүлэг. Баганан
диаграмм, хялбар
ду­гуй диаграмм
байгуулах
• Шугаман график
унших, тайлбарлах
• Дискрет өгөгдлийн
давтамжийн
диаграмм
• Моод, медиан,
далайц, ариф­
метик дундаж
• Моод бүлэг
• Бүлэглэсэн
өгөгдөл
• Дугуй диаграмм,
• Шугаман график
байгуулах
• Тасралтгүй өгөгд­­
лийн дав­­там­жийн
диаграмм
• Статистик харак­
терис­тик­уудыг
сонгон, диаграмм
тайлбарлах
• Тасралтгүй болон
дискрет өгөгдлийн
давтамжийн
диаграмм
• Шугаман график
• Цэгэн диаграмм,
корреляц
• Гистограмм
• Цэгэн диаграмм,
түүний ханд­лагын
шулуун
• Хуримтлагдсан
давтамжийн
график
• Гистограмм

12. 12
Магадлал,
статистик
Үр
дүнг
тайлбарлах,
хэлэлцэх
• Баганан диаграм­
муудыг харьцуулах
• Баганан, дугуй
диаграммуудыг
харьцуулах
• Хоёр болон түүнээс
олон түүврийг
харьцуулах
• Статистик дүгнэлт
• Статистик ха­
рак­­­терис­тикуу­
дыг сонгож,
тооцоолох,
диаграмм,
• Корреляц
хамаарал
Магадлал
• Ажиглалт, туршилт,
боломж,
• Нийлбэр, үржвэрийн
зарчим
• Харьцангуй давтамж
• Ижил боломжтой
үр дүнд суурилсан
магадлал
• Тухайн нэг
үзэгдлийн бүх үр
дүнг бичих
• Ижил боломж­
той үр дүнд
суурилсан
магадлал
• Эсрэг үзэгдлийн
магадлал
• Нийлмэл үзэгд­
лийн бүх үр
дүнг бичих
• Туршилтын үр
дүнгээр магад­
лалыг тооцоолох,
үнэлэх
• Магадлалыг нэмэх
• Нийцгүй үзэгд­
лүүдийн магадлал
• Харьцангуй дав­
тамжийг хэрэглэх
• Үл хамаарах
үзэгд­лүүдийн
магад­лал
• Нийлмэл үзэгд­
лийн магадлал
• Харьцангуй дав­
тамжийг хэрэглэн
магадлалыг
үнэлэх
• Комбина­тори­
кийн хял­
бар асуу­
дал шийд­вэрлэх
6 дугаар ангийн математикийн хичээлийн агуулгын үлгэрчилсэн төлөвлөлт
Нэгж хичээл Цаг
Бүхэл тоон олонлог, зэрэг, язгуур 8
Хэллэг, олонлог 4
Алгебрийн илэрхийлэл 6
Өнцөг (огтлолцсон шулууны хоорондох өнцөг, хамар ба босоо өнцөг, гүйцэд өнцөг) 8
Гурвалжин ба олон өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэр 5
Өгөгдөл цуглуулах, дүрслэх 6
Тоог жиших, тоймлох, хэмжих нэгжийг сонгох 6
Тэгшитгэл 5
Олон өнцөгт 8
Тойрог ба дугуй, биет 6
Цаг, хугацаа 5
Дунджууд ба далайц 6
Энгийн бутархай 8
Аравтын бутархай, Процент 6
Функц 6
Хэмжих, зурах 5
Тэгш өнцөгтийн талбай 6
Боломж тоолох 5
Магадлал 6
Харьцаа, пропорц 8
Дараалал 5
Координатын хавтгай, Хувиргалтууд 8
Тэнцүү дүрсүүд, гурвалжны тэнцүүгийн шинж 6
Тэгш өнцөгт параллелепипедийн гадаргуун талбай, эзлэхүүн 8
Давтах 25
Дээрх цаг төлөвлөлт нь тухайн орон нутаг, сургууль, ангийн сурагчдын түвшинтэй холбогдон
өөрчлөгдөх бүрэн боломжтой, өөрөөр хэлбэл энэ нь зөвхөн багш нарт баримжаа болох зорилгоор
оруулж өгсөн болохыг анхаарна уу. Түүнээс гадна 7-9 дүгээр ангид гарч байгаа сургалтын
хөтөлбөрүүдийн агуулгын зөрөөтэй уялдан Геометр, хэмжигдэхүүн, Магадлал, статистикийн
зарим агуулгыг нөхөж заах төлөвлөлтийг багш нар өөрсдөө төлөвлөж оруулах шаардлагатай.

13. 13
II БҮЛЭГ. СУраХ БичГиЙГ ХЭрЭГЖҮҮЛЭХ арГа ЗҮЙ
СУраХ БичиГТЭЙ ХЭрХЭН аЖиЛЛаХ ВЭ?
Сэдэлжүүлэх даалгавар-Одоо хүртэлх сурсан зүйлээ хэрэглэн ахуй, амьдралын асуудлыг
ойлгох, ухаарах, шийдлийг олох аргыг эрж, хайх, тухайн асуудлаар ярилцах, дүгнэлт гаргах
үйл ажиллагаа явагдана.
Математикийн мэдлэг, чадвар эзэмших загвар бодлого. Эргэцүүлэн бодох, бодолтыг ойлгох,
тайлбарлах, бодолтыг гүйцээх, алдаа гаргаж болзошгүй зүйлүүдийг олж харах, өмнөх мэдлэг,
чадвараа хянах, шалгах, шинээр мэдлэг, чадвар эзэмших даалгаврууд байна.
Асуулт-Сурагчдыг эргэцүүлэн бодох, эрэл хайгуул хийх, санал бодлоо ярилцах, хэлэлцэх,
өмнөх мэдлэг, чадвараа сэргээн бататгах үйл ажиллагаа руу чиглүүлнэ.
Одоо
сануулах
Санамж, тайлбар-Өмнө нь үзсэн болон
тухайн сэдэв дээр шинээр орж ирж байгаа
математикийн нэр, томьёо, ойлголт, тэм-
дэг, тэмдэглэгээний талаар санамж, товч
тайлбарыг өгнө.
-Өмнө нь үзсэн болон ТОДОрХОЙЛОЛТ
Тодорхойлолт, дүрэм, чанар-Математикийн
хууль, дүрэм, чанар, тодорхойлолтыг бичнэ.
Даалгавар-Дараах төрлийн даалгаврууд байна. Үүнд:
- Математикийн мэдлэг, ойлголтыг шалгах даалгавар
- Сурсан зүйлээ математик болон ахуй амьдралд хэрэглэх даалгавар
- Сурсан зүйлээ хэрэглэн өөрийнхөө бодлыг тайлбарлах даалгавар
- Сурсан зүйлээ гүнзгийрүүлэх даалгавар
- Сонирхолтой бодлого
- Тооны машин хэрэглэх даалгавар
- Дараагийн сэдэвтэй холбогдох даалгавар
- Дадлага ажил.
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар
Математикийн мэдлэг, ойлголтоо хэрэглэн асуудал шийдвэрлэх үйл ажиллагаа явагдана.
• Өөрийгөө сорих-Бүлэг сэдвээр зайлшгүй эзэмшсэн байх чадварыг шалгах, өөрийгөө үнэлэх
даалгаврууд байна.
• Давтах-Энэ хэсэгт дараах төрлийн даалгаврууд байна. Үүнд:
- Бүлэг сэдвээр зайлшгүй эзэмшсэн байх чадварыг бататгах
- Ахуй амьдрал дахь хэрэглээтэй холбосон
- Математик сэтгэлгээг хөгжүүлэх сонирхолтой бодлого, даалгавар байж болно.
Хичээлийн явцад юуг анхаарах вэ?
• Багшийн болон найз нөхдийнхөө яриаг анхааралтай сонсох
• Эргэцүүлэн бодох
• Бусдын санаа бодлыг өөрийнхөө санаа бодолтой харьцуулах
• Ойлгохгүй зүйлээ найз нөхдөөсөө болон багшаасаа асуух
• Өөрийн санаа бодлоо илэрхийлэх, бусдад ойлгомжтой ярих, дүгнэлт гаргах

14. 14
аСУУДаЛ ШиЙДВЭрЛЭХ арГа ЗҮЙ.
Математикийн хичээлээр сурах арга барил, асуудал шийдвэрлэх чадвар эзэмшүүлэх нь чухал
бөгөөдэнэньсурагчдынбүтээлч,идэвхтэйүйлажиллагаандээртулгуурлана. Асуудалшийдвэрлэх
үйл ажиллагаа нь сурагчдад математикийн мэдлэг, чадвараа ахуй амьдралдаа хэрэглэх боломж
олгохоос гадна хичээлийн аль ч хэсэгт сургалтын ямар ч арга, хэлбэрээр явагдаж болно. Өөрөөр
хэлбэл энэ нь багш асуултуудаар сурагчдын үйл ажиллагааг чиглүүлж, тэдний эргэцүүлэн бодох,
эрэл хайгуул хийх, бүтээлч сэтгэлгээг хөгжүүлэх замаар мэдлэг, чадвар эзэмшин дүгнэлт гаргаж
буй бүх төрлийн үйл ажиллагаа юм.
Сурах бичгийн сэдэв бүрийн эхэнд сэдэлжүүлэх даалгавар, сэдвийн төгсгөлд асуудал
шийдвэрлэх цогц даалгавар оруулж өгсөн нь энэ арга зүйд суралцахад бага ч болов тус, нэмэр
болох байх. Багш эдгээр даалгавруудыг сурагч бүрээр ажиллуулахад анхаарахад хэрэгтэй. Гэхдээ
асуудал бүрийг заавал 4 үе шатаар төлөвлөх шаардлагагүй, энэ нь тухайн даалгаврын төрлөөс
хамаарч, ялгаатай байж болно. Жишээ нь математикийн бодлогыг бодоход бодох аргаа төлөвлөн,
хэрэгжүүлж, хариугаа шалгах гэсэн алхмын дагуу гүйцэтгэхэд хангалттай. Иймд багш нар хэзээ,
ямар арга хэлбэрээр, ямар асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэхээ өөрсдөө сонгон сургалтыг удирдан
чиглүүлнэ гэсэн үг.
Сурах бичгийн 120 дугаар нүүрэнд байгаа “Хэмжигдэхүүн хоорондын хамаарлыг тогтоох”
гэсэн сэдвийн сэдэлжүүлэх даалгаврыг жишээ болгон авъя.
Орон сууцны ажлын ба унтлагын өрөө зэрэгцэж байрлажээ.
Унтлагын өрөө ажлын өрөөнөөс 2 дахин өргөн. Ажлын өрөөнд
20м2
хулдаас битүү дэвссэн бол унтлагын өрөөнд хэдэн метр
квадрат хулдаас дэвсэх вэ?
Хамтарч ярилцаад дүгнэлт гаргаарай.
а. Унтлагын өрөөг зурагт үзүүлснээр 2 тэнцүү хуваасан гэж
үзвэл нэг хэсэгт дэвсэх хулдаасны хэмжээг олоорой.
б. Унтлагын өрөөнд дэвсэх хулдаасны хэмжээг олоорой.
в. Унтлагын өрөө ажлын өрөөнөөс 3 дахин, 4 дахин өргөн байсан бол дэвсэх хулдаасны
хэмжээг тус тус олоорой.
2x м
x м
I үе шат. асуудлыг ойлгох.
Сурагчидтай дараах асуултын дагуу ярилцана. Үүнд:
• Зургаар юуг харуулсан бэ?
• Унтлагын өрөө ажлын өрөөнөөс хэд дахин том бэ?
• Өрөөнүүдийн урт нь ижил үү? Ялгаатай юу? гэх мэт асуултуудаар ярилцаж, асуудлыг
ойлгон, олох зүйлээ тодорхойлно.
Олох зүйл: Унтлагын өрөөнд хэдэн метр квадрат хулдаас дэвсэх вэ?
II үе шат. асуудлаа загварчлах, төлөвлөх.
Дараах асуултуудаар ярилцаж, холбогдох зураг, дүрслэлээр харуулна.
• Өгсөн зургийг ашиглан орон сууцны план зургийг гаргаж болох уу? Яаж зурах вэ?
• Асуудлыг математикийн бодлого руу хэрхэн шилжүүлэх вэ? гэсэн асуултаар ярилцсаны
дараа сурагч бүр дэвтэртээ дараах зүйлийг зурж, бичнэ.
1. Орон сууцны план зургийг зурна.
2. План зурагт ямар дүрсүүд байгааг, эдгээр дүрсийн ямар хэмжээсүүд өгөгдсөн, юуг олох
вэ? гэдгийг математик нэр, томьёо, тэмдэглэгээ ашиглан бичнэ.

15. 15
Тэмдэглэгээ:
Унтлагын өрөөний талбай→S2
Ажлын өрөөний талбай→S1
Ажлын өрөөний өргөн→x
Унтлагын өрөөний өргөн →2x
Өгсөн асуудал нь “S2
тэгш өнцөгтийн талбайг олох” гэсэн математикийн бодлого руу шил­
жинэ. Энэ бодлогыг бодох аргаа сурах бичигт өгсөн алхмын дагуу математик хэл дээр загварчилъя:
а. S2
тэгш өнцөгтийг 2 тэнцүү хэсэгт хуваагаад нэг хэсэгт ногдох талбайг олно.
б. S2
тэгш өнцөгтийн талбайг олно.
в. S2
тэгш өнцөгтийн өргөн нь 3x, 4x байх тохиолдол тус бүрд талбайг нь олно.
Энэ нь бодлого бодох төлөвлөгөө юм. Энэ үе шат хамгийн чухал бөгөөд сурах бичигт үүнийг
бодох аргаа төлөвлөх гэж оруулсан байгаа.
III үе шат. Төлөвлөсөн аргаар бодох.
Бодолт:
а. S2
тэгш өнцөгтийг 2 тэнцүү хэсэгт хуваавал, нэг хэсэгт ногдох талбай нь S1
-тэй тэнцүү
буюу 20м2
болно.
б. S2
=2×20=40м2
в. Хэрэв өргөнийг 3 дахин ихэсгэвэл талбай нь S2
=3×20=60м2
, 4 дахин ихэсгэвэл
S2
=4×20=80м2
болно.
IV үе шат. Дүгнэлт гаргах.
Дараах асуултуудаар ярилцаж, сурагчдаар дүгнэлт гаргуулна.
• Тэгш өнцөгтийн аль нэг талыг 2, 3, 4, 5 дахин ихэсгэхэд түүний талбай хэд дахин ихсэх вэ?
• Тэгш өнцөгтийн аль нэг талыг 2, 3, 4, 5 дахин багасгахад түүний талбай хэд дахин багасах
вэ?
• Эдгээрээс ямар дүгнэлт хийж болох вэ?
Чээж бодлого: 6см×9см хэмжээтэй тэгш өнцөгтийн өргөнийг
а. 2 дахин, 3 дахин ихсэсгэхэд.
б. 2 дахин, 3 дахин багасгахад талбай нь тус тус хэд болох вэ?
Дүгнэлт:
Тэгш өнцөгтийн аль нэг талыг төд дахин ихэсгэхэд (багасгахад), түүний талбай нь мөн төд
дахин ихэснэ, (багасна).
Энэдүгнэлтийнцаадутганьүржүүлэхүйлдлийнгишүүд,үрдүнгийнхамаарлыгхаруулжбайна.
Асуудлыг дараах байдлаар математикийн асуудал болгон гүнзгийрүүлж болно:
Бодлого. 9см×6см хэмжээтэй тэгш өнцөгт өгчээ.
а. Урт, өргөн тус бүрийг 2 дахин ихэсгэхэд
б. Урт, өргөн тус бүрийг 3 дахин багасгахад
в. Уртыг 3 дахин багасгаад, өргөнийг 3 дахин ихэсгэхэд
г. Уртыг 2 дахин ихэсгээд, өргөнийг 3 дахин багасгахад тус тус талбай нь хэрхэн өөрчлөгдөх
вэ?
Дээрх арга зүйг сайжруулан багш нар, хамт олон өөрсдөө аль нэг сэдэв, суралцахуйн зорилтоор
шилдэг арга зүй, үйл ажиллагаа төлөвлөн явуулах бүрэн боломжтой.
S1
=20м2
S2
=?

16. 16
Эрэл хайгуулын аргаар асуудал шийдвэрлэх.
Бодлого: Ангийн 10 сурагч зуны амралтын дараа уулзалдаад бие биетэйгээ гар барилцжээ. Хэ­
рэв хүүхэд бүр бусадтайгаа зөвхөн 1 удаа гар барилцсан бол нийт хэдэн удаа гар барилт болсон бэ?
Бодолт: Энэ бодлогыг сурагчдад шууд бодоход хүндрэлтэй учраас эхлээд хялбараас нь эхлэн
3 хүүхэд, 4 хүүхэд, 5 хүүхэд хоорондоо хэдэн удаа гар барилцахыг олно. Бодолтыг ойлгомжтой
болгохын тулд зураг, схемээр харуулъя. Хүүхдийн тоог n гэж тэмдэглэе.
n=3 үед, 3 удаа гар барилцана. n=4 үед, 6 шулуун татаж болох бөгөөд 6 удаа гар барилцана.
1
3
4
2
n=5 үед, 10 шулуун татаж болох бөгөөд 10 удаа гар барилцана.
1
2
3
4
5
Энэ хүртэл багш, сурагчид хамтран ажиллах нь үр дүнтэй. Үүний дараа багш: “2 хүүхэд, 6
хүүхэд хоорондоо хэдэн удаа гар барилцах вэ?” гэсэн асуулт тавьж, сурагчдын хариултыг авна.
Үүний дараа дараах хүснэгтийг сурагчдад өгч, нөхүүлнэ.
Хүүхдийн тоо Гар барилтын тоо
1 0
2 1
3 3
4 6
5 10
6 15
Энэ хүснэгтээс ямар зүй тогтол харагдаж байна вэ? гэсэн асуудал дэвшүүлж, сурагчдыг
эргэцүүлэн бодох, эрэл хайгуул хийх үйл ажиллагаанд хөтөлнө.
Сурагчид янз бүрээр хариулж болно. Дараах хариултууд гарч болох юм. Үүнд:
“Гар барилтын тоо нь өмнөх гишүүнээсээ 1-ээр илүү тоогоор нэмэгдэж байна”
“Дарааллын гишүүд нь өмнөх гишүүнээсээ эхлээд 1-ээр, дараа нь 2-оор, дараа нь, 3-аар гэх
мэт нэмэгдэж байна”
Зарим авъяаслаг сурагч “
хүүхдийн тоо×хүүхдийн тооноос–1
2 ” гэсэн хариултыг өгч болох юм.
Гэхдээ энэ бодлогыг хэддүгээр ангийн сурагчдад өгч байна гэдгээс хамааран ялгаатай үр дүн
гарна гэдгийг анхаарах хэрэгтэй.
Энэ бүхний үр дүнд 10 хүүхэд хэдэн удаа гар барилцахыг олуулна.
9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 удаа гар барилцана.
Эцэст нь тухайн ангийн нийт хүүхдийг тоолж, хэдэн удаа гар барилцах вэ? гэдгийг олуулах
гэх мэт энэ даалгаврыг хөнгөнөөс хүнд рүү сурагчдаар эрэл, хайгуул хийлгэн бодуулах нь тэдний
бүтээлч сэтгэлгээг хөгжүүлэхэд нэг чухал алхам болно.
Эрэл хайгуулын аргаар асуудал шийдвэрлэхдээ:
1. Бодлогын өгүүлбэрийг ойлгох
2. Таамаглал дэвшүүлэх
3. Эрэл хайгуул хийх
4. Харилцан ярилцах
5. Дүгнэлт гаргах гэсэн үе шаттай сурагчдын үйл ажиллагааг зохион байгуулж болох юм.
1
2
3

17. 17
Ээлжит хичээлийн загвар: Сэдэв: Тэнхлэгийн тэгш хэм
Суралцахуйн зорилт ( хүрэх үр дүн): Хавтгайн цэг ба дүрсийг өгсөн шулууны хувьд тэгш хэмтэй
байгуулах, дүрсийн тэгш хэмийн тэнхлэгийг олох, зурах чадвартай болно. (80
мин)
Хичээлийн зорилго • Өгсөн дүрсийг координатын тэнхлэгүүдийн хувьд тэгш хэмтэй байгуулах,
үүссэн дүрсийн оройн цэгийн координатыг олох чадвартай болно. (40 мин)
Түлхүүр үг. • Координатын хавтгай, Ox, Oy тэнхлэг, цэгийн координат, тэгш хэмийн тэнх­
лэг, тэнхлэгийн тэгш хэм, параллель, перпендикуляр, дүрс, дүр
• Дээрх нэр, томьёо, үг хэллэгийг сэргээн сануулах байдлаар хичээлийн явцад
харилцан ярилцана. Дүр- энэ үг нь шинээр орж ирж байгаа.
Өмнөх мэдлэг
(5 мин)
• Тэнхлэгийн тэгш хэмтэй дүрсийг таних, хялбар дүрсүүдийн тэгш хэмийн
тэнхлэгийн тоог олох, өгсөн дүрсүүд тэгш хэмтэй эсэхийг мэддэг, коор­
динатын хавтгайд өгсөн коордианттай цэгтэй Ox, Oy тэнхлэгийн хувьд
тэгш хэмтэй цэгийг олж, чаддаг болсон байна.
• Өмнөх мэдлэгийг шалгах: 1-9 хүртэлх цифрийг дөрвөлжин шугамтай цаасан
дээр шрифтээр бичиж, цифр тус бүрийг тэгш хэмтэй дүрсээр илэрхийлэх
даалгавар өгнө. Багш эхний 3 дүрсийг зурж үзүүлнэ.
• Багш энэ даалгавраар явцын үнэлгээ хийнэ. Сурагчид зурж, дуусаад багшдаа
харуулна. Зурсан дүрсээ тэгш хэмтэй зурж чадсан эсэхээ яаж мэдэх вэ? гэсэн
асуулт асууж, сурагчдаар дүгнүүлнэ.
Төлөвлөгөө
Төлөвлөсөн
хугацаа
35 мин
Төлөвлөсөн ажлууд
(Үйл ажиллагаа)
Анхаарах зүйл
Сурах арга барил
Эхлэл- 5 мин
(Өмнөх мэдлэг,
чадварыг
бататгах)
Үйл ажиллагаа 1: Хичээлийн эхэнд багш дараах
зүйлсийг хийж сурагчдын анхаарал, сонирхлыг татаж,
өмнөх мэдлэг, чадварыг давтана:
Та нар тэгш хэмтэй ямар, ямар дүрсийг мэдэх вэ?
Тэгш хэмтэй гэдгийг нь яаж мэдэх вэ? гэсэн асуултаар
чиглүүлж, ярилцана. Үүний дараа сэдэлжүүлэх даалгавар
өгнө.
Дараах далбаа тус бүр хэдэн тэгш хэмийн тэнхлэгтэй
вэ? Эдгээр далбаанууд ямар улсынх болохыг мэдэх үү?
Үүний дараа өнөөдрийн хичээлийн зорилгыг хэлж болно.
Хэрэглэгдэхүүн:
Шугам, харандаа,
–8-аас +8 хүртэл
тэмдэглэсэн коорди­
натын хавтгайн загварыг
сурагч тус бүрд тараан
өгнө.

18. 18
Өрнөл–25 мин
(Шинэ мэдлэг,
чадвар эзэмших)
Үйл ажиллагаа 2: Координатын хавтгайд дүрс зурж,
Ox, Oy тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэйгээр байгуулах
Даалгавар 1: Сурах бичгийн 7-8 дугаар бодлогыг
бодуулж, өгсөн цэг ба хэрчмийг хэрхэн тэгш хэмтэйгээр
байгуулах аргыг эзэмшүүлнэ.
Даалгавар 2: A(-6,4), B(-6,7), C(-4,7) цэгүүдийг
координатын хавтгайд тэмдэглэж, гурвалжин үүсгээд:
а. Гурвалжныг Ох тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэйгээр
хувиргаж, гарсан дүрийг 1 гэж тэмдэглээрэй.
б. Гурвалжныг Оу тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэйгээр
хувиргаж, гарсан дүрийг 2 гэж тэмдэглээрэй.
в. Дээрх а ба б тохиолдол тус бүрд А цэгийн дүрийн
координатыг бичээрэй. Эндээс В ба С цэгийн дүрийн
координатыг шууд хэлж болох уу? Эдгээр цэгүүдийн
координат нь ямар хамааралтай байна вэ?
Дээрх даалгаврыг сурагчдад өгч, тэднийг ажиллах
явцад дүр гэдэг нь тэгш хэмийн хувиргалтаар үүссэн
дүрс юм гэсэн ойлголтыг өгч, дараах асуултуудаар
чиглүүлнэ:
АВС гурвалжин координатын хавтгайн хэддүгээр
мөчид орших вэ?
АВС гурвалжны 1 дүр координатын хавтгайн хэддүгээр
мөчид орших вэ?
АВС гурвалжны 2 дүр координатын хавтгайн
хэддүгээр мөчид орших вэ?
Даалгаврыг сурагч нэг бүрээр гүйцэтгүүлэх явцад
зарим дэмжлэг хэрэгтэй сурагчдад тусална.
Даалгавар 3. Мэдлэг, чадварыг бататган Сурах бичгийн
150 дугаар нүүрний 11а бодлогыг бодуулна. Харин
чадварлаг сурагчдад нэмэлт даалгавар өгнө.
Өгсөн Ацэгийг
шулууны хувьд тэгш
хэмтэй байгуулах
алгоритм:
1. Өгсөн цэгийг
дайруулан шулуунд
перпендикуляр татаж,
огтлолын цэгийг
тэмдэглэнэ. /М/
2. Перпендикуляр
шулуун дээр АМ=MA
байх цэг олно.
АВС гурвалжны хувьд
оройн цэг бүрийг дэс
дараалан тэнхлэгийн
тэгш хэмээр хувиргана
Байгуулалтыг нягт,
нямбай, зөв гүйцэтгэх
арга барил эзэмшүүлэх
нь чухал.
Нэмэлт даалгавар:
а. y=–1, x=3 шулуун байгуулах
б. (1,7), (–3,7), (–3,5) цэгүүд дээр оройтой гурвалжин байгуулах
в. Гурвалжныг y=–1 шулууны хувьд тэгш хэмтэй байгуулж, гарсан дүрийг 1 гэж
тэмдэглэх
г. Гурвалжныг x=3 шулууны хувьд тэгш хэмтэй байгуулж, гарсан дүрийг 2 гэж
тэмдэглэх
д. Дүр тус бүрийн оройн цэгийн координатыг олох
Төгсгөл-5 мин
Үйл ажиллагаа 3: Хичээлийн төгсгөл хэсэгт сурагчдаар
дүрсийг тэгш хэмтэйгээр хувиргах алхмуудыг томьёо­
луулна.
I алхам. Дүрсийн оройн цэг бүрийг тэгш хэмийн тэнх­
лэгийн хувьд тэгш хэмтэй хувиргаж, дүрийг тэмдэглэх
II алхам. Цэг тус бүрийн дүрийг хэрчмээр холбон дүрс
байгуулах
III алхам. Дүрс ба үүссэн дүр нь тэгш хэмтэй байгуу­
лагдсан эсэхийг шалгах
Дараагийн хичээлийн зорилгыг гаргах-өгсөн дүрсийг
координатын тэнхлэгүүдтэй параллель x=a, y=b шулуу­
ны хувьд тэгш хэмтэй хувиргах
Өөрийнхөө болон нөхдийнхөө ажилд үнэлгээ өгөх
Гэрийн даалгавар: Сурах бичгийн 9-14 дүгээр бодлого
Асуудал шийдвэрлэх 4
үе шатын II шат буюу
тэгш хэмийн хувиргалт
хийх алхмаа төлөвлөх
нь чухал.

19. 19
Нэмэлт мэдээлэл
Ялгавартай хандах –
Хоцрогдсон сурагчдад багш,
багийн гишүүд дэмжлэг,
туслалцаа үзүүлнэ.
Явцын үнэлгээний жишиг
даалгавар–
Даалгавруудыг координатын
хавтгайн загвар дээр байгуулж,
сурагчдаар өөрсдөөр нь
үнэлүүлнэ. Багш нэгтгэнэ.
Бусад хичээлийн хөтөлбөртэй
уялдуулах-
Эрүүл аюулгүй байдал-
Бусад эх сурвалж, нэмэлт
хэрэглэгдэхүүн-
https://www.khanacademy.org/
Видео хичээл үзүүлэх
Хичээлд хэрэглэх даалгавар,
түүний үр дүн гүйцэтгэл-
Үнэлэх аргууд- Хичээлийн эцэст
хэлэлцүүлгийн аргаар хичээлээ
дүгнэж болно.
Цагаан самбар ашиглах
Таж Махалын ордны тэгш хэмт чанар
Энэтхэгийн нийслэл Шинэ Дели хоттой зэргэлдээ
орших Агро хотод дэлхийн сая сая жуулчдыг соронзон
мэт татах Таж Махал цогцолбор сүндэрлэдэг. Энэ уран
барилга нь олон онцлогтой баригдсаны нэг нь тэгш
хэмт чанар бөгөөд ертөнцийн долоон гайхамшгийн нэг
болоход тодорхой хувь нэмэр оруулсан юм. Иймд тэгш
хэм нь гоо сайхан юм гэдгийг сурагчдад ойлгуулан өөр
тэдний мэдэх зүйлсийн талаар ярилцаарай.
Хичээлээ үнэлэх
Хичээлийн зорилго бодитой байж
чадсан уу?.......................................
Сурагчид өнөөдөр юу сурсан бэ?.
..........................................................
Сургалтын ерөнхий уур амьсгал,
байдал ямар байсан бэ? ................
.........................................................
Ялгавартайгаар төлөвлөсөн аж­
лууд үр дүнтэй байж чадсан уу? ..
..........................................................
Би цагаа барьж чадсан уу?
.........................................................
Би төлөвлөгөөндөө ямар өөрч­
лөлт оруулсан бэ? Яагаад? ...........
.........................................................
Үнэлгээний дүгнэлт:
Ямар хоёр зүйл амжилттай болсон бэ? (сургалтын үйл ажиллагаа,
заах арга зүй)
1:
2:
Ямар хоёр зүйл хичээлийг илүү үр дүнтэй болгох байсан бэ?
(сургалт заах аргатай хоёулантай нь холбоотой)
1:
2:
Энэ хичээлээс сурагчидтай холбоотой дараагийн хичээлд
хэрэгтэй юу сурч авсан бэ?
Жич: Багш бүр өөр, өөрийн гэсэн шилдэг арга зүйтэй байдаг бөгөөд ээлжит хичээлээ үр
дүнтэй явуулах уламжлалт болон бусад загварыг ашиглах бүрэн боломжтой гэдгийг энд онцолж
байна. Өөрөөр хэлбэл ээлжит хичээлийг заавал ийм загвараар төлөвлө гэсэн үг биш юм.

20. 20
2.1. Нэгж хичээлийн сэдэв: Бүхэл тоо, зэрэг, язгуур
Хүрэх үр дүн
Эерэг, сөрөг тооны ахуй амьдрал дахь хэрэгцээг ойлгох, бүхэл тооны үйлдлийг тоон шулуун, бусад
загвар ашиглан гүйцэтгэх; бүхэл тооны квадрат зэргийг олох, түүний урвуу үйлдлийг ойлгох,
квадрат язгуурыг олох; тооны хуваагдлын шинж хэрэглэн нэг ба хоёр оронтой тоонуудын ХИЕХ,
ХБЕХ-ийг хялбар аргаар олох, хэрэглэх;
Түлхүүр үг: бүхэл тоог жиших, бүхэл тооны 4 үйлдэл, тооны хуваагдах шинж, ХИЕХ, ХБЕХ,
квадрат зэрэг, квадрат язгуур
Хэрэглэгдэхүүн: Тоон шулууны загвар, термометр, цаг агаарын мэдээ, ажлын хуудас
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг,
чадвар
Одоо эзэмших мэдлэг,чадвар
• Тооны 2, 4, 5, 10, 25, 50,
100-д хуваагдах шинж
үржүүлэх, хуваах
• Бүхэл тоог жиших, тоон
шулуун дээр тэмдэглэх
• Тоонуудын ерөнхий
хуваагч, ерөнхий
хуваагдагчийг олох,
• Эерэг, сөрөг тоог ахуй амьдралд хэрэглэх, тоон шулуун хэрэглэн
бүхэл тоонуудыг жиших, нэмэх, хасах, хялбар бүхэл тоонуудыг
үржүүлэх, хуваах
• Тооны квадрат зэргийг олох, түүний урвуу үйлдлийг ойлгох, квадрат
язгуур нь –20-оос +20 хүртэлх бүхэл тоо байх тоог таних, чээжээр
олох, тэмдэглэгээ хэрэглэх
• 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100-д хуваагдах тооны шинжийг хэрэглэн
чээжээр тооцоолох,, ерөнхий хуваагч, ерөнхий хуваагдагч, анхны
тоог таних, нэг ба хоёр оронтой тоонуудын ХИЕХ болон ХБЕХ-ийг
чээжээр болон хялбар аргаар олох, хэрэглэх
Үйл ажиллагаа:
1. Бүхэл тоог тоон шулуун дээр тэмдэглэх, жиших
Эерэг, сөрөг тоог амьдрал ахуйд хэрэглэх жишээ гаргах:
- Далайн түвшин (0), далайн түвшнээс дээш (эерэг), далайн түвшнээс доош (сөрөг)
- Агаарын хэм, халуун хүйтэн, 0o
C (мөс хөлдөх) талаар харилцан ярилцана.
Тоон шулуун дээр бүхэл тоог тэмдэглэх, жиших, Жишээ нь:
а. -5, 3, –3, 0, 2, –1, 4, –8, 7
б. –5 ба 4, –3 ба –5, 0 ба –1, –3 ба 3 тоонуудыг жишиж, сурагчдаар дүгнэлт гаргуулна.
• Хоёр эерэг тоо, хоёр сөрөг тоо, эерэг ба сөрөг тоонуудын аль нь их вэ?
• Тоон шулуун дээр орших хоёр тооны аль нь их байдаг вэ? гэсэн асуултаар чиглүүлнэ.
2. Бүхэл тооны нэмэх, хасах үйлдэл.
Тоон шулуун дээр бүхэл тоог нэмэх, хасах үйлдлийг авч үзнэ.
а. Эерэг бүхэл тоонуудыг нэмэх, 2+5, 0+3 үйлдлийг тоон шулуун дээр зурж үзүүлэх
б. Сөрөг бүхэл тоон дээр эерэг бүхэл тоог нэмэх, –2+7 үйлдлийг тоон шулуун дээр зурж
үзүүлэх
в. Эерэг бүхэл тоон дээр сөрөг бүхэл тоог нэмэх, 7+(–10) үйлдлийг тоон шулуун дээр зурж
үзүүлэх
г. Сөрөг бүхэл тоонуудыг нэмэх, –3 + (–4), үйлдлийг тоон шулуун дээр зурж үзүүлэх
д. Эерэг, сөрөг тоонуудыг хасах, a b a b
− = + −
( ) байдгийг ойлгох, хэрэглэх, Жишээ нь,
3 8 3 8
− = + −
( ) , − − = − + −
6 2 6 2
( ) үйлдлийг тоон шулуун дээр зурж үзүүлэх

21. 21
Бүхэл тооны нэмэх, хасахыг асуудал шийдвэрлэхэд хэрэглэх
Бодлого 1: Агаарын хэм өглөө 9.00 цагт –8o
C байснаа өдөр +3o
C-аар дулаараад, орой үүнээс
–5o
C-аар хүйтэрсэн бол орой агаарын хэм ямар болсон бэ? гэсэн бодлогоор сэдэлжүүлж болно.
Сурах бичгийн сэдэлжүүлэх даалгаврыг авъя.
Өвөл нар жаргасны дараа 18 цагт агаарын температур −23o
C байснаа 18 цагаас 20
цагийн хооронд 3 хэм, 20-иос 22 цагийн хооронд 2 хэм, 22-оос 24 цагийн хооронд 4
хэм, 0 цагаас 2 цагийн хооронд дахин 2 хэм тус тус хүйтэрчээ. Агаарын температур:
а. 20 цагт хэдэн хэм болсон бэ? б. 22 цагт хэдэн хэм болсон бэ?
в. 24 цагт хэдэн хэм болсон бэ? г. 18 цагаас шөнийн 2 цаг хүртэл нийтдээ хэдэн
хэмээр хүйтэрсэн бэ?
Бодолт:
а. 20 цагт –23+(–3)=–26 хэм болсон.
б. 22 цагт –26+(–2)=–28 хэм болсон
в. 24цагт –28+(–4)=–32 хэм болсон.
г. 18 цагаас шөнийн 2 цаг хүртэл нийт –3+ (–2)+(–4)=–9 буюу 9 хэмээр хүйтэрсэн байна.
Сурах бичгийн жишээг авч үзье.
Æишээ 1.
д. +(–7)=4 (*) тэнцэтгэлийн дөрвөлжингийн оронд тохирох тоог олоорой.
Бодолт:
4 –7
11
Зургаас харвал: =11 байна. Өөрөөр хэлбэл:
11+(–7)=4, 11–7=4 эндээс ямар дүгнэлт
хийж болох вэ?
Ямар нэг тоон дээр –7-г нэмэхэд 4 гарсан байна. Иймд ногоон өнгөтэй шулуунаар нэгдүгээр
нэмэгдэхүүнийг (хасагдагч эерэг тоо байх нь тодорхой байна) тэмдэглэлээ. Хасагдагчаас 7-г
хасаад 4 гарсан байна.7-г хассан учир зүүн тийш сумаар зааж 7 нэгж зай, хариу нь 4 гарсан учир
баруун тийш сумаар зааж 4 нэгж зайг тэмдэглэв. Ингэхэд хасагдагч 11 байх нь зургаас харагдана.
=11байна. Эхний тоон илэрхийлэлд 11-ийг орлуулбал 11+ (–7) = 4 болно. Мөн 11–7 = 4 байх
тул эндээс 11–7 = 11+ (–7) дүгнэлт гаргуулж болно.
Дүгнэлт1. Тоон шулуун дээр өгсөн тоон дээр эерэг тоог нэмэхдээ тоон шулууны баруун гар
тийш өгсөн нэгжээр шилжинэ. Харин өгсөн тоон дуур сөрөг тоог нэмэхдээ тоон шулууны зүүн гар
тийш өгсөн нэгжээр шилжинэ. –5+7=2, –5+(–7)=–12
Дүгнэлт2. a тооноос b тоог хасна гэдэг нь a тоон дээр b тооны эсрэг тоог нэмсэнтэй тэнцүү
байна. Эдгээр дүгнэлтийг ашиглан тоон шулуун дээр бүхэл тоог нэмэх, хасах чадвар эзэмшүүлнэ.
3. Бүхэл тооны үржүүлэх, хуваах үйлдэл
Сурах бичгийн сэдэлжүүлэх бодлого болон Жишээ 4, 5 дээр агаарын температурын өөрчлөл-
тийг термометр болон тоон шулуун ашиглан олох бодлого авсан. Эдгээрийг ажиллах явцад дараах
дүгнэлтүүдийг сурагчдаар гаргуулна.
Дүгнэлт3. Хоёр эерэг тооны үржвэр эерэг, хоёр сөрөг тооны үржвэр эерэг, эерэг ба сөрөг
тооны үржвэр сөрөг тоо байна.
Жишээ нь, 3×5 = 15, –3×(–5) = 15, –3×5 = –15, 3×(–5) = –15
4. 4; 6 ба 8-д хуваагдах тооны шинж, ХÈÅХ, ХБÅХ олох
• 2, 3, 5, 9, 10, 100-д хуваагдах тооны шинжийг хэрэглэх, Жишээ нь:
• 1-100 хүртэлх тооны хүснэгтийг ашиглан дээрх тоонуудад хуваагддаг тоонуудыг чээжээр
олох, анхны тоонуудыг олох
• Дээрх тоонуудад хуваагдах тооны шинжийг өмнөх ангид үзсэнийг давтах, харьцуулах

22. 22
замаар харилцан ярилцаж, дүгнэлт гаргах,
• 4, 6, 8-д хуваагдах тооны шинжийг гаргах
• ХИЕХ болон ХБЕХ-ийг хялбар аргаар олох (чээжээр олох, тоочин бичих)
а. 24 ба 36 тоонуудын хуваагчдыг ольё.
24-ийн хуваагч 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 36-ийн хуваагч 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Эдгээрээс ерөнхий хуваагч нь:
1, 2, 3, 4, 6, 12 болно. Ерөнхий хуваагчдын хамгийн их нь 12 буюу ХИЕХ(24;36)=12
б. 6 ба 9-ийн хуваагдагчдыг олох
6-ийн хуваагдагч: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54 . . .
9-ийн хуваагдагч: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 . . .
Эдгээрээс ерөнхий хуваагдагч нь 18, 36, 54 . . .гэх мэт үргэлжилнэ. Ерөнхий хуваагчдын
хамгийн бага нь 18 буюу ХБЕХ(6;9)=18 гэж бичнэ.
в. 9×12 хэмжээтэй тэгш өнцөгтийг хамгийн их ирмэгтэй квадратад хэдэн тэнцүү хэсэгт
хувааж болох вэ?
• Тооны хуваагдах шинж, ХИЕХ, ХБЕХ-ийг хэрэглэн асуудал шийдвэрлэх
Бодлого 2. Сүлд модны чимэглэл хоёр төрлийн гэрэлтэй бөгөөд нэг гэрэл нь 8 секунд
болоод асдаг, нөгөө нь 12 секунд болоод асдаг бөгөөд яг одоо зэрэг ассан бол ахиад хэдэн
секундын дараа хоёулаа зэрэг асах вэ? Одоогоос эхлэн 30 минутын дотор хэдэн удаа зэрэг
асах вэ?
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Тэнцүү хуваах
а. 24 ширхэг сарнай, 42 ширхэг цахирмаа, 60 ширхэг сараана цэцгээр ижил баглаа бэлтгэх
хичнээн боломж байгаа вэ?
б. 45см ба 21см хэмжээтэй тэгш өнцөгт хэлбэртэй бялууг квадрат хэлбэртэй тэнцүү дүрсэд
хэчнээн янзаар хувааж болох вэ?
Бодолт:
а. 24-ийн хуваагчууд: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24
б. 42-ийн хуваагчууд: 1; 2; 3; 6; 7; 21; 42
в. 60-ийн хуваагчууд: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60
г. 24; 42 ба 60 тоонуудын ерөнхий хуваагч: 1; 2; 3; 6 болно. Иймд 1; 2; 3; 6 баглаа тус тус
бэлтгэж болно.
1 баглаа бэлтгэхэд: 24 ширхэг сарнай, 42 ширхэг цахирмаа, 60 ширхэг сараана цэцгүүдийг нэг
баглаа болгож болно.
2 баглаа бэлтгэхэд: 12 ширхэг сарнай, 21 ширхэг цахирмаа, 30 ширхэг сараана цэцгүүдийг нэг
баглаа болгож болно.
3 баглаа бэлтгэхэд: 8 ширхэг сарнай, 14 ширхэг цахирмаа, 20 ширхэг сараана цэцгүүдийг нэг
баглаа болгож болно.
6 баглаа бэлтгэхэд: 4 ширхэг сарнай, 7 ширхэг цахирмаа, 10 ширхэг сараана цэцгүүдийг нэг
баглаа болгож болно. Иймд дээрх цэцгүүдээр 6 төрлийн баглаа бэлтгэж болно.
5. Тооны квадрат зэрэг, квадрат язгуурыг олох
Сурах бичгийн сэдэлжүүлэх бодлогоор асуудал дэвшүүлж болно.
Бодолт:
1-10 хүртэлх тоонуудыг өөрийг нь өөрөөр нь үржүүлсэн үржвэр байна.
Тоог өөрийг нь өөрөөр үржүүлснийг a2
гэж бичээд “a тооны квадрат зэрэг” гэж уншина.
Талбайн нэгжийг м2
, см2
гэх мэт бичнэ. Харин квадрат язгуур олох талаар 25см2
талбайтай
квадратын талыг ол гэсэн Жишээ 13-ыг авч үзсэн. Шийд нь 25 5
= болно.
Дүгнэлт 4. Квадрат зэрэг нь 25-тай тэнцүү 5, –5 гэсэн хоёр тоо байх ба, эдгээр нь 25 тооны
квадрат язгуур юм. 25 Тооны квадрат язгуурыг 25 , − = −
25 5 гэж тэмдэглэнэ.

23. 23
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Азтай тоог олох
а. Хоёр оронтой дурын тоо сонгож аваад түүний цифрүүдийн квадратуудын нийлбэрийг олъё.
Жишээ нь, 15→12
+52
=26
б. Дараа нь гарсан тооны цифрүүдийн квадратуудын нийлбэрийг олъё. 26→22
+62
=40
в. Дээрх аргаар үргэлжлүүлбэл ямар үр дүнд хүрч байгааг ажиглаарай. Хэрэв энэ аргаар
үргэлжлүүлэхэд 1 гарч байвал энэ тоог “азтай тоо” гэж нэрлэе.
г. 1-20 хүртэлх натурал тоонууд дотор азтай тоонууд хэд байх вэ? Бүх боломжийг олоорой.
Бодолт: Жишээ нь 13 гэсэн тоог авъя. 13 → +
1 3
2 2
= 10 → +
1 0
2 2
= 1, 13 нь азтай тоо байна.
Мөн 19 гэсэн тоог авбал 19 → +
1 9
2 2
= 82 → +
8 2
2 2
= 68 → +
6 8
2 2
= 100 →1, 19 нь азтай тоо
байна. Бусад тоонуудыг сурагчдаар гаргуулж болно. Дурын 2 оронтой тоо авахад энэ процесс нь
тодорхой тооны дараа давтагддаг зүй тогтол байгааг гаргана.
Анхаарах зүйл. Бүхэл тооны 4 үйлдлийг сайтар ойлгох, ахуй амьдралд хэрэглэх, холбогдох
асуудал шийдвэрлэхэд анхаарна. Хялбар бүхэл тоонууд дээрх үйлдлийг зөвхөн тоон шулуун бусад
загвар ашиглан гаргуулахыг зорино. 7 дугаар ангид тооны модуль ашиглан дурын бүхэл тоонууд
дээр үйлдэл гүйцэтгэж чаддаг болно. 11–7 хасах үйлдлийг 11 + (–7) нэмэх үйлдэл рүү шилжүүлж
бодно. Өөрөөр хэлбэл а тооноос в тоог хасна гэдэг нь а тоон дээр в тооны эсрэг тоог нэмнэ гэдгийг
тоон шулуун ашиглан гүйцэтгэж чаддаг болох нь чухал.
Сурагчид –20-оос +20 хүртэлх тоонуудын квадрат зэргийг чээжээр олох чадвартай байх нь
чухал. Үүнийгээ ашиглан, урвуу үйлдлийг гүйцэтгэн квадрат язгуурыг олж чаддаг болно.
Нэмэлт мэдээлэл. Тоон шулууны баруун гар тийш шилжсэнийг эерэг тоогоор, зүүн гар тийш
шилжсэнийг сөрөг тоогоор тэмдэглэдэг. Мөн “5 хэм дулаан” гэхийг 5o
, “7 хэм хүйтэн” гэхийг –7o
гэж тэмдэглэдэг. Агаарын температур нь эерэг, сөрөг тооны хамгийн тохиромжтой жишээ боловч,
мөн орлого, зарлага, далайн түвшнээс дээш, доош гэх мэт бусад ахуй амьдралын жишээн дээр
тулгуурлан бүхэл тооны үйлдлүүдийг гүйцэтгэж болно. Тоог квадрат зэрэг дэвшүүлэх, квадрат
язгуур гаргах үйлдлүүд нь харилцан урвуу үйлдлүүд юм.
Жишээ нь −
( ) = =
18 324 18 324
2
2
, , тул 324 18 324 18
= − = −
, байна.
Даалгавруудын бодолт.
Хоёр галт тэрэг буудлаас гарч ижил урттай замаар тойрон явна. Yхний галт тэрэг тойрог
замыг 16 минутад, дараагийн галт тэрэг тойрог замыг 12 минутад тойрно. Хэрвээ өглөө 7
цагт хоёр галт тэрэг зогсоолоос нэгэн зэрэг хөдөлсөн бол дараагийн удаа хэдийд хоёр галт
тэрэг буудалд зэрэг ирэх вэ? Үдээс өмнө 7-12 цаг хүртэл хэдэн удаа буудалд зэрэг ирэх вэ?
Бодолт: а. 8-д хуваагддаг тоонууд: 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; 80; 88; 96; …
б.12-т хуваагддаг тоонууд: 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; …..
в.12 ба 8-ын ерөнхий хуваагдагчид:48; 72; 96;….
г. 12 ба 8-ын ХБЕХ 48. Иймд хоёр машин 48 минутын дараа буюу 7 цаг 48 минутад буудалд
зэрэг ирнэ.
Үржвэр нь 12 байх хос бүхэл тоонуудыг олоорой
Бодолт: 12-ын хуваагчдыг бичье. ± ± ± ± ± ±
1 2 3 4 6 12
; ; ; ; ; A ба B гэж хоёр өөр үсгээр
тэмдэглэсэн учраас үржигдэхүүнүүд ялгаатай гэж үзье.Үржвэр нь 12 байх бүхэл тоонуудыг
нэг бүлэгт хуваая. ( ; );( ; );( ; )
± ± ± ± ± ±
1 12 2 6 3 4 эндээс A = 1 байхад B = 12 , A = −1 байхад
B = −12 , A = 12 байхад B = 1 , A = −12 байхад B = −1 байх 4 боломжтой. Иймд нийт
4 3 12
× = хариутай.
1-20 хүртэлх тоонууд дотроос хоёр натурал тооны квадратуудын ялгавар хэлбэртэй
бичигддэг тоонуудыг олоорой.
Бодолт: 3= 2 1
2 2
− , 5= 3 2
2 2
− , 8= 3 1
2 2
− , 16=5 3
2 2
− , 9= 5 4
2 2
− , 7= 4 3
2 2
− , 15= 4 1
2 2
− ,
12= 4 2
2 2
− , 11=6 5
2 2
− , 20=6 4
2 2
− гэх мэт тоонууд байна.

24. 24
2.2. Нэгж хичээлийн сэдэв: Хэллэг, олонлог
Хүрэх үр дүн
Олонлог ба хэллэгийн талаар анхны ойлголттой болох, юмсыг тодорхой шинжээр нь бүлэглэх, олон-
логийн огтлолцол ба нэгдлийг Эйлер-Веннийн диаграммаар загварчлах чадвартай болно.
Түлхүүр үг: Хэллэг, олонлог, олонлогуудын огтлолцол ба нэгдэл
Хэрэглэгдэхүүн: Зурагт хуудас, Эйлер-Венийн диаграммын загвар
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг, чадвар Одоо эзэмших мэдлэг,чадвар
• Юмсыг шинж чанараар нь
ангилах
• Эйлер-Веннийн диаграмм
байгуулах
• Юмсыг шинж чанараар нь ангилахдаа математик хэллэг
хэрэглэх
• Математик хэллэг үүсгэхэд хэрэглэгддэг зарим чухал үгсийн
утгыг ойлгож, хэрэглэж сурах
• Олонлогуудын огтлолцол ба нэгдлийг олох, Эйлер-Веннийн
диаграммаар дүрслэх
Үйл ажиллагаа:
Þмсыг шинж чанараар нь ангилах.
Сурах бичгийн сэдэлжүүлэх бодлогоор асуудал дэвшүүлж, өмнөх мэдлэгийг сэргээн бататгаж
болно.
• Нийт 12 амьтан байна. Эдгээрийг усанд амьдардаг,
хуурай газарт амьдардаг, зэрлэг амьтан, шувуу, гэрийн
тэжээмэл амьтан, сүүн тэжээлтэн, туурайтан гэх мэтээр
ангилж болно.
• Усанд амьдардаг 4, хуурай газрын 9 гэж хоёр ангилж
болно.
• Зэрлэг амьтад 5, гэрийн тэжээмэл амьтан 7 гэж хоёр
ангилж болно.
• Туурайтан амьтан 3, туурайгүй амьтан 9 гэж ангилж болно.
• Гэрийн тэжээмэл амьтдыг ямар шинж чанараар нь ангилж болох вэ? Сүүн тэжээлтэн
амьтан хэд байна вэ? Халим, аварга загас хоёр юугаараа ялгаатай вэ? Тэмээн хяруул
гэрийн тэжээмэл амьтан мөн үү? Нэгэн зэрэг шувуу ба гэрийн тэжээмэл амьтдын ангилалд
орох амьтан хэд байна вэ? Сүүн тэжээлтэн боловч усанд амьдардаг амьтан хэд вэ? гэсэн
асуултуудыг сурагчдад тавьж сонирхлыг нь төрүүлж болно. Үүнийг өмнөх ангиуддаа
Эйлер-Веннийн диаграмм байгуулах чадвараа ашиглан зураглал үйлдэх замаар гүйцэтгэх
хэрэгтэй.
• Жишээ 15 дээр ажиллаж, эхний дараалалд гишүүн бүр өмнөхөөсөө 4-өөр их буюу 21,
хоёрдахь дараалалд гишүүн бүр өмнөхөөсөө дараалсан сондгой тоогоор их буюу 37-той
тэнцүү гэдгийг сурагчдаар гаргуулаад, сурах бичгийн асуултын дагуу ярилцана.
• Дасгал 1-ийн математик хэллэг үүсгэхэд байнга хэрэглэгддэг “ядаж хоёр”, “дурын хоёр”,
“аль ч хоёр”, “яг хоёр”, “хамгийн цөөндөө хоёр”, “хамгийн багадаа хоёр” гэсэн үгс ямар
утгыг илэрхийлж байгаа тухай ярилцана.
• Үүнтэй төстэй зүй тогтол олох жишээ сурагчдаар зохиолгож болно.
Нэмэлт мэдээлэл. Энэ нэгж хичээлээр юмсыг ангилах гол түлхүүр нь тэдгээрийн шинж чанар
гэдгийг сурагчдад ойлгуулах нь чухал. Шинж чанарыг үнэн буюу эсвэл худлыг нь нэгэн утгатай
тодорхойлох боломжтой хэллэгээр илэрхийлнэ. Математик хэллэг үүсгэхэд тухайн хэллэгийн гол
утга санааг илэрхийлдэг “хамгийн ихдээ”, “хамгийн олондоо”, “аливаа”, “ямагт”, “дор хаяж”,
“хамгийн цөөндөө”, “хамгийн ихдээ”, “хамгийн багадаа”, “ядаж”, “дурын” гэсэн үгс олонтаа

25. 25
хэрэглэгддэг.
Математикийн аливаа өгүүлбэрт хувьсагчийн хэрэглээний мужийг тодорхойлох зорилго бүхий
оршин байхын квантор ∃, дурын квантор ∀ гэсэн хоёр чухал тэмдэгт хэрэглэгддэг. Оршин байхын
квантор нь монгол хэлний “олдоно”, “оршин байна”, “дор хаяж”, “хамгийн цөөндөө”, “хамгийн
олондоо” гэсэн утгыг, дурын квантор нь “аливаа”, “дурын”, “аль ч” гэсэн утгыг илэрхийлэхэд
хэрэглэгддэг.
Ерөнхий шинж
чанартай ялгаатай
юмсын цуглуулгыг
олонлог гэж
нэрлэдэг.
A, B олонлогт нэгэн зэрэг
харьяалагддаг элементүүдийн
олонлогийг A, B олон-
логуудын огтлолцол гээд
A B
 гэж тэмдэглэдэг.
A, B олонлогуудын ядаж
нэгэнд нь харьяалагддаг
элементүүдийн олонлогийг A,
B олонлогуудын нэгдэл гээд
A B
 гэж тэмдэглэдэг.
Анхаарах зүйл. Сурагчид өмнөх ангиуддаа Эйлер-Веннийн диаграммын тухай ойлголттой
болсон учраас жишээ дасгал бүрд энэ чадвараа бататгахад анхаарах хэрэгтэй. Мөн олонлогийг
элементүүдийг нь тоочих, шинж чанарыг нь өгөх гэсэн ялгаатай хоёр өөр аргаар тодорхойлж
байгаад анхаарлаа хандуулаарай.
Дараачийн ангиудад олонлогийн талаар нарийвчлан судлах тул олонлогийн нэгдэл ба
огтлолцлын тэмдгийг хэрэглэхгүйгээр үгээр болон дүрсээр илэрхийлэх боломжийг ашиглаж
болно.
Явцын үнэлгээний жишиг даалгавар
Зорилго: Математик хэллэгийг ойлгох, олонлогийн нэгдэл, огтлолцлыг олох.
Мэдлэг ойлголт
1. Ижил утгатай хэллэгүүдийг зөв харгалзуулаарай. Үнэн хэллэгүүдийг ялгаж бичээд, ямар
учраас үнэн болохыг нь тайлбарлаарай.
Дурын дараалсан гурван бүхэл тоон дотор
хамгийн цөөндөө хоёр тэгш тоо байна.
Аливаа дараалсан гурван тооны үржвэр
тэгш биш байна.
Аливаа гурван тооны ядаж нэг нь тэгш тоо
байна.
Дурын дараалсан гурван тоон дотор
хамгийн цөөндөө хоёр сондгой тоо байна.
Дурын дараалсан гурван тооны үржвэр
сондгой байна.
Дурын гурван тоон дотроос хамгийн
цөөндөө нэг тэгш тоог олж болно.
Аливаа дараалсан гурван тоон дотор ядаж
хоёр сондгой тоо байна.
Аливаа дараалсан гурван бүхэл тооны ядаж
хоёр нь тэгш байна.
2. Дарааллуудад нэгэн зэрэг харьяалагдах хэдэн тоо байх вэ? Ядаж нэгэнд нь харьяалагдах
хэдэн тоо байх вэ?
a) 15, 20, 25, ...100 ба 15, 30, 45, ... 90;
б) 11, 19, 27, ...83 ба 3, 11, 15, ... 87;
3. Хичээлийн хэрэгслийн 10-аас цөөнгүй элементтэй олонлог зохиогоорой. Ангийн бүх
сурагчдын зохиосон олонлогуудын нэгдэл ба огтлолцлыг олоорой.
Хэрэглээ, асуудал шийдвэрлэх
4. Ангийн эмэгтэй ба эрэгтэй сурагчдын олонлог тус бүр хэдэн элементтэй вэ? Энэ хоёр
олонлогийн нэгдэл ямар олонлог үүсгэх вэ?
5. 6 дугаар ангийн сурагчдын олонлогийн аливаа элемент сургуулийн сурагчдын олонлогийн
элемент болож чадах уу? Сургуулийн сурагчдын олонлогт 14 настай сурагч хамгийн
цөөндөө, хамгийн олондоо хэд байх вэ?

26. 26
6. Олонлогуудын нэгдэл, огтлолцлыг олоорой.
12,
35,
3,
15,
31,
13,
2,
5,
32,
13,
33,
14,
7. Олонлогуудын нэгдэл, огтлолцлыг олоорой.
0.5,
3.5,
3,
1.6,
3.1,
1.3,
2,
5,
3.2,
1.3,
3.5,
1.4,
Даалгавруудын бодолт.
Дараах үгсээс ижил утгатайг нь ялгаж бичээд, ярилцаарай: “дор хаяж хоёр”, “аль ч хоёр”,
“хамгийн цөөндөө хоёр”, “яг хоёр”, “ядаж хоёр”, “хамгийн багадаа хоёр”, “дурын хоёр”
гэсэн үгүүд юугаараа төстэй, юугаараа ялгаатай вэ? Жишээ гаргаж тайлбарлаарай.
Бодолт: “хамгийн багадаа” ба “дор хаяж” гэсэн үгс ижил утгатай, “дурын хоёр” ба “аль ч хоёр”
гэсэн үгүүд ижил утгатай. Харин “хамгийн цөөндөө”, “хамгийн олондоо” гэсэн үгсийг юмсын
тоог илэрхийлэх хэллэгт хэрэглэдэг бол ба “хамгийн багадаа”, “хамгийн ихдээ ” гэсэн үгсийг
юмсын хэмжээг илэрхийлэх хэллэгт хэрэглэдэгийг сурагчдаар гаргуулна. Жишээлбэл, ямар нэгэн
хэмжигдэхүүний утга хамгийн багадаа 5 гэх нь зөв, харин хамгийн цөөндөө гэх нь буруу.
“Дор хаяж хоёр” гэсэн үг 2 буюу түүнээс их гэсэн утгатай бол “яг хоёр” гэсэн үг нь илүү ч үгүй
дутуу ч үгүй 2 гэсэн утгатай.“Дурын” ба “аливаа” гэсэн үгс ижил утгатайг жишээгээр тайлбарлана.
Цаашид эдгээр үгс математикийн бүх айг судлах явцад зайлшгүй хэрэгтэй болно.
Шар хайрцагт 5 харандаа үлдсэн бөгөөд өнгө мэдэгдэхгүй
бол цэгүүдийн оронд дээрх үгнүүдээс ямар үг нөхөж бичих
хэрэгтэй вэ?
а. Улаан өнгөтэй харандаа .......................2 байна.
б. Ногоон өнгөтэй харандаа ......................9 байна.
в. Хөх өнгөтэй харандаа хамгийн олондоо ..... байна.
г. Улаан ба хөх өнгөтэй харандаа.............. 10 байна.
Бодолт:
а. Улаан өнгөтэй харандаа хамгийн цөөндөө 2 байна.
б. Ногоон өнгөтэй харандаа хамгийн олондоо 9 байна. Учир нь хайрцагт 5 ногоон харандаа
байж болно.
в. Хөх өнгөтэй харандаа хамгийн олондоо 8 байна. Учир нь хайрцагт байгаа 5 харандаа
тавуулаа хөх өнгөтэй байхыг үгүйсгэхгүй.
г. Улаан ба хөх өнгөтэй харандаа хамгийн олондоо 10 байна. Учир нь хайрцагт байгаа 5
харандаа бүгд улаан эсвэл бүгд хөх өнгөтэй эсвэл улаан, хөх өнгө холилдсон байж болно.
U={усанд амьдардаг бүх амьтад}, H={хуурай газар амьдардаг бүх амьтад} бол U H
нь ямар амьтдын олонлог болох вэ? Энэ олонлогийн 3-аас цөөнгүй элементийг жагсааж
бичээрэй.
Бодолт:
Нэгэн зэрэг усанд амьдардаг, хуурай газар амьдардаг амьтдын олонлогт хоёр нутагтан буюу
мэлхий, бах, матар, усны үхэр зэрэг амьтад харьяалагдана.
Дурын хоёрыг нь авахад бие биеэ таньдаг гурван хүн олддог эсвэл дурын хоёрыг нь
авахад бие биеэ таньдаггүй гурван хүн олддог хүмүүсийн олонлог хамгийн цөөндөө хэдэн
гишүүнтэй байх вэ?

27. 27
Бодолт: Бодох аргаа төлөвлөх
I алхам. Хүмүүсийг цэгээр, танилын харьцааг өнгийн хэрчмээр илэрхийлж загварчлана. Хоёр
хүн танил бол хэрчим улаан өнгөтэй, танил биш бол хөх өнгөтэй гэвэл уг бодлого бүх тал нь
ижил өнгөтэй гурвалжин олддог цэг-хэрчмийн загвар хамгийн цөөндөө хэдэн цэгтэй байхыг
тодорхойлох бодлогод шилжиж байна.
Бие биеэ таньдаг 3 хүн Бие биеэ таньдаггүй 3 хүн
Иймээс цөөн цэгтэй загварууд дээр туршилт хийхээс эрэл хайгуулын ажил эхэлнэ. Жишээлбэл,
дараах загварууд байж болно.
II алхам. Өгөгдсөн шинж чанар бүхий олонлог хэдэн хүнтэй байж болох тухай таамаглал
дэвшүүлж 2, 3, 4, 5 тохиолдлуудад шалгана. Тохиолдол тус бүрд бодлогын нөхцөл биелэхгүй эсрэг
жишээ нэгийг л гаргахад хангалттай. Эсрэг жишээ нь бодлогын нөхцөлийн “эсвэл” гэсэн үгээр
холбогдсон хоёр шинж чанарын алийг нь ч хангах ёсгүй. Өмнө байгуулсан загваруудад энэхүү
шинж чанаруудын алийг нь ч хангахгүй байна.
III алхам. 6 хүнтэй туршилтын загваруудыг авч үзнэ. Загварыг ямар ч байдлаар байгуулахад
эсвэл бие биеээ таньдаг гурван хүн олдоод эсвэл бие биеэ таньдаггүй гурван хүн олдоод байгаа нь
анхаарал татаж байна.
IV алхам. Бодлогын нөхцөлийг хангах тоо 6 гэсэн шинэ таамаглал дэвшүүлнэ.
V алхам. 6 хүнтэй загварын дурын хүнтэй холбоотой 5 хүнийг авч үзэхэд дор хаяж гурав нь
ижил өнгөтэй. Эдгээрийг улаан өнгөтэй гэхэд зөрчил үүсэхгүй. Учир нь хөх өнгөтэй бол мөн
үүнтэй ижил сэтгэлгээгээр асуудлыг шийдэх боломжтой.
Одоо уг хүнтэй нэг ижил өнгөөр холбогдсон 3 хүн хоорондоо ямар өнгөөр холбогдсоноос
үл хамааран бүх талууд нь ижил өнгөтэй гурвалжин заавал олдоно. Хэрэв уг гурвалжин улаан
өнгөтэй бол бие биеэ таньдаг 3 хүн олдох ба хөх өнгөтэй бол бие биеэ танихгүй 3 хүн олдоно
гэсэн үг.
Асуудал шийдвэрлэх
Бат цүнхнээсээ 3 харандаа гаргаж ирэхэд ядаж нэг нь улаан, 4 харандаа гаргахад дор хаяж нэг
нь ногоон, 5 харандаа гаргаж ирэхэд яг гурав нь улаан өнгөтэй байв. Батын цүнхэнд хэдэн
улаан, хэдэн ногоон харандаа байсан бэ?
Бодолт: 3 харандааны ядаж нэг нь улаан, 4 харандааны дор хаяж хоёр нь ногоон өнгөтэй гэсэн
нөхцөлүүдээс дурын 4 харандаан дотор 1улаан, 2 ногоон харандаа ямагт гэсэн үг. 5 харандааны
яг гурав нь улаан өнгөтэй гэсэн нөхцөлийг тооцож үзвэл үлдсэн хоёр нь ногоон өнгөтэй гэсэн
дүгнэлт гарна. Иймээс Батын цүнхэнд 3 улаан, 2 ногоон харандаа байсан гэж үзэхэд бодлогын
нөхцөлийг хангаж байна.

28. 28
2.3. Нэгж хичээлийн сэдэв: Алгебрийн илэрхийлэл
Хүрэх үр дүн
Алгебрийн илэрхийлэл, томьёог ахуй амьдралын жишээн дээр тулгуурлан зохиох, бүхэл
коэф­
фициент­
тэй алгебрийн шугаман илэрхийллийг хувиргах, хялбарчлах, тоон утгыг
олох чадвартай болно.
Түлхүүр үг: алгебрийн илэрхийлэл, хувьсагч, төсөөтэй гишүүн, эмхэтгэх, хялбарчлах
Хэрэглэгдэхүүн: Ажлын хуудас, явцын үнэлгээний даалгавар
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг,
чадвар
Одоо эзэмших мэдлэг, чадвар
• Тэнцэтгэлийг үнэн байлгах
тоо, хэмжээг олох
• Тоон илэрхийллийн утгыг
олох
• Үйлдлийн гишүүдийн
хамаарал, үйлдлийн
чанарыг хэрэглэх
• Хувьсагч эсвэл тодорхойгүй тоог үсэг хэрэглэн бичих, үсэгт
илэрхийлэл гэсэн үгийн утгыг ойлгох, алгебрийн шугаман
илэрхийлэл зохиох, алгебрийн болон тоон илэрхийллийг
хялбарчлахад үйлдлийн дараалал нь ижил болохыг ойлгох
• Төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэх, хаалт дотор байгаа илэрхийллийг
тогтмол тоогоор үржүүлэх, ерөнхий үржигдэхүүнийг хаалтнаас
гаргах замаар алгебрийн шугаман илэрхийллийг хувиргах,
хялбарчлах, хувьсагчийн оронд тоон утга орлуулан илэрхийллийн
утгыг олох
Үйл ажиллагаа.
1. Үл мэдэгдэх тоог үсгээр тэмдэглэн алгебрийн илэрхийлэл зохиох
Бодлого 1. Үсэг нь тоог төлөөлж болно. Дараах өгүүлбэрүүдийг математик бичиглэлээр
бичүүлнэ.
Үгэн илэрхийлэл: Үсэгт илэрхийлэл:
Тоог 13-оор нэмэгдүүлэх x + 13
Тоог долоогоор үржүүлж зургааг нэмэх 7x + 6
Тооноос 60-аар бага тоо x – 60
Тооноос найм дахин их тоо 8x
Тоог аравт хуваах x ÷ 10
Тоог гурваар үржүүлснээс таваар бага тоо 3x – 5
Тоог найман тэнцүү хуваах x ÷ 8
Тоон дээр есийг нэмж таваар үржүүлэх 5(x + 9)
• Үсэг нь юмны тоон хэмжээг төлөөлж болно. Жишээ нь алимны үнэ a төг, тэгш өнцөгтийн
өргөний хэмжээ bсм гэх мэт. Төрөл бүрийн жишээнээс математик үг хэллэг хэрэглэн илэр­
хийлэл, гишүүд, хувьсагчдыг ялгах дасгал хийлгэж болно.
• Нэг гишүүнт, хоёр гишүүнт, гурван гишүүнт г.м гишүүдийн тоог хэлж сурах
• Гурвалжин, тэгш өнцөгтийн периметр талбайг олох илэрхийл зохиох
• Алгебрийн илэрхийллийг хялбарчлах үед хувьсагчийн оронд эхлээд үг хэрэглэх. Жишээ
нь, сагсанд 6 алим, 2 гадил ба 2 алим байв. Үүнийг 6b+2b+2a гэж бичиж болно.
2. Алгебрийн илэрхийллийг хялбарчлах
Алгебрийн илэрхийллийн үйлдлийн дараалал нь тоон илэрхийллийн үйлдлийн дараалалтай
ижил болохыг ойлгуулсны дараа хаалтнаас ерөнхий үржигдэхүүн гаргах дүрмийг тэгш өнцөгтийн
талбай ашиглан гаргаж болно.

29. 29
Бодлого 2. Дараах хоёр тэгш өнцөгтөөс бүтсэн дүрсийн талбайг хэрхэн олох вэ?
Бодолт: Тэгш өнцөгтийн нийт урт x+y, өргөн нь 3 тул талбай
нь 3(x+y)байна.
Нөгөө талаас тэгш өнцөгтийн талбай хоёр жижиг тэгш өнцөгтийн
талбайннийлбэртэйтэнцүү.Иймдталбайнь3x+3y байна.Нэгдүрсийн
талбай тул энэ илэрхийллүүд тэнцэх ёстой. Эндээс 3(x+y)=3x+3y
гэж гарна. Энэ бол гишүүнчлэн үржүүлэх дүрэм юм. Үүнийг урвуугаар 3x+3y=3(x+y) гэж
бичвэл ерөнхий үржигдэхүүн хаалтнаас гаргах дүрэм болно.
Бодлого 3. 2+3(x+1) илэрхийллийг хялбарчилъя. Эхлээд хаалтан доторх илэрхийллийг 3-аар
үржүүлж, дараа нь төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэнэ.
Төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэхэд сурагчид заримдаа 2+x=2x, x+y=xy гэх мэтээр бичиж,
алдаа гаргадаг.
Энэ нь алдаатай гэдгийг хувьсагчдын оронд утга орлуулан харуулж болно. Жишээ нь x=3 үед
эхний тэнцэтгэл 5=6 болж худал болох нь харагдана. Илэрхийллийг хялбарчилна гэдэг нь түүнийг
адилтгал тэнцүү илэрхийллээр нь солихыг хэлнэ. Адилтгал тэнцүү илэрхийллүүд хувьсагчдынхаа
дурын утганд тэнцүү утгатай байх ёстой.
Төсөөтэй гишүүдийг ялган таних, эмхэтгэх чадвар эзэмших ёстой. Үүний тулд уг гишүү­
дийн
үсгүүдийг бүгд ижил байгаа эсэхийг харьцуулж ажиглах, эерэг ба сөрөг тооны үйлд­
лүүдийг сайн
эзэмшсэн байх шаардлагатай.
Ер нь алгебрийн илэрхийлэл дэх төсөөтэй гишүүд нь ижил зүйлийг төлөөлж байдаг гэж ойлгож
болно. Жишээлбэл 2 3 5
x x x
+ = гэж бодох нь “2 хонин дээр 3 хонийг нэмбэл 5 хонь болдогтой”
ижил ойлголт юм. Хонины нас, зүс гэх мэт ялгаа сонин биш. Яваандаа хувьсагч нь тоо, хэмжээг
төлөөлж байгаа гэсэн хийсвэр ойлголт руу шилжих юм.
Бодлого 4. 2 3 1 2 3 3 3 5
+ + = + + = +
( )
x x x . Энэ илэрхийлэлд x = 3 тоог орлуулж 3 3 5
× +
тоон илэрхийлэл үүсгээд үйлдлийн дараалал баримтлан алгебрийн илэрхийллийн тоон утгыг
олох чадвар эзэмшинэ. 3 3 5 9 5 14
× + = + = . Сурагчид заримдаа 3 3 5 3 8 24
× + = × = гэсэн алдаа
гаргадгийг анхаарч ажиллана.
Илэрхийллийн утга олохдоо эхлээд илэрхийллийг хялбарчлаад, дараа нь утгыг орлуулж бодох
уу? эсвэл шууд утгыг орлуулж бодох уу? гэдгийг эхлээд төлөвлөх нь чухал. Хаалтан дотор олон
нэ­
мэгдэхүүн байхад сүүлийн нэмэгдэхүүнийг үржүүлэхгүй мартах алдааг сурагчид гаргадаг. Ийм
алдаа гаргасан жишээ үзүүлж, алдааг олуулбал сайн. Жишээ нь, 3 2 3 1 6 9 1
x y x y
+ +
( ) = + + гэх
мэт.
Хаалтнаас ерөнхий үржигдэхүүн гаргах
Илэрхийллийн нэмэгдэхүүн тус бүрийн коэффициентүүдийн ХИЕХ-ийг хаалтнаас гаргах,
хялбар тохиолдолд хувьсагчийг хаалтнаас гаргах, буцаагаад гишүүнчлэн үржүүлж шалгах гэх мэт
чадвар эзэмшүүлэхэд анхаарна.
Бодлого5. 24 18 36
x y
+ − = илэрхийллийн гишүүдийн коэффициентүүдийн ХИЕХ-
ийг ( , , )
24 18 36 6
= гэж олоод түүнийг хаалтнаас гаргавал 24 18 36 6 4 3 6
x y x y
+ − = + −
( )
бол­но. 6-аар хаалтыг гишүүнчлэн үржүүлж заавал шалгуулж байх хэрэгтэй:
6 4 3 6 6 4 6 3 6 6 24 18 36
x y x y x y
+ −
( ) = × + × + × − = + −
( ) . Цаашид сурагчид чадвартай болсны дараа
энэ бичиглэлийг хийлгүй чээжээр тооцооллыг хийлгэж болно.
Анхаарах зүйл.
6 дугаар ангид илэрхийллийг тогтмол тоогоор гишүүнчлэн үржүүлэх, тоон ерөнхий үржиг­
дэ­
хүүнийг хаалтнаас гаргах хэмжээнд л хөтөлбөрт тусгагдсан байгаа. Коэффициентүүд нь ихэвчлэн
бүхэл тоо, зарим тохиолдолд энгийн бутархай, аравтын бутархайг авч үзсэн байгаа. Бүхэл тоон
дээр 4 үйлдэл хийх, хасах үйлдлийг нэмэх үйлдэл рүү шилжүүлэх чадвар дээр суурилна. Хэт их
ажиллагаатай бодолт хийлгэхээс зайлсхийж, төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэх, гишүүнчлэн үржүүлэх,
ерөнхий үржигдэхүүнийг гаргах, алгебрийн илэрхийллийн хувьсагчийн оронд тоон утга орлуулан
утгыг олох зэрэг чадвар олгоход анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй.
y
x
3

30. 30
Явцын үнэлгээний жишиг даалгавар
Зорилго: Алгебрийн илэрхийллийг хялбарчлах, тоон утгыг олох
Мэдлэг, ойлголт
1. Төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгээрэй
а. 4 5 1
x x x
+ + + б. 2 7 8 13
x y x y
+ + + в. 4 6 8 9 2
2 2
x x x x
+ + + −
2. Хаалт задалж илэрхийллийг хялбарчлаарай
а. 5 7 4 9
x x
+
( )− +
( ) б. − −
( )+ −
( )
8 4 6 5
h h в. 8 2 6 3 7 2
a a
−
( )× −
( )+ −
( )× −
( )
3. Хаалтнаас ерөнхий үржигдэхүүн гаргаарай
а. mx my
+ б. 24 36
x y
+ в. 3 6 2
x x
+ .
4. Илэрхийллийн утгыг хялбар аргаар олоорой
а. 129 19 129 20
× −
( )+ × б. − × − × −
( )
87 45 87 46
Хэрэглээ, асуудал шийдвэрлэх
5. Дараах илэрхийллийн тоон утгыг x = 5 1
3
үед бодож олоорой.
а. 5 3 1
x −
( )+ б. 3 1
4
8 2 1
4
4
x x x
+
( )− −
( )+
6. a b
= − =
2 1
2
0 7
, . бол 3 1 2 3 4 1
a b b a a b
− +
( )− −
( )− − +
( )
( )
7. Тэгш өнцөгтийн урт a + 6 , өргөн нь 5 бол тэгш өнцөгтийн талбай ба периметрийг олох
илэрхийлэл бичээрэй. a = 2 үед талбай, периметрийг олоорой.

31. 31
2.4. Нэгж хичээлийн сэдэв: Өнцөг
Хүрэх үр дүн
Гүйцэд өнцгийг хэрэглэн тооцоолох; гурвалжны дотоод өнцгүүдийн нийлбэрийн чанарыг
хэрэглэн дөрвөн өнцөгт, олон өнцөгтийн дотоод өнцгүүдийн нийлбэрийг олох; шийдвэрлэх
чадвартай болно
Түлхүүр үг: Цэг, шулуун, хавтгай, хэрчим, цацраг, өнцөг, гүйцэд өнцөг
Хэрэглэгдэхүүн: Гурвалжин шугам, транспортир, дадлага ажлын хуудас
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг, чадвар Одоо эзэмших мэдлэг,чадвар
• Өнцгийг таних, тэмдэглэх, нэрлэх, хэмжих,
зурах,
• Олон өнцөгтийг таних, тэмдэглэх, нэрлэх,
өнцөг болон талыг хэмжих, зурах
• Гүйцэд өнцгийг (360°) хэрэглэн тооцоолох,
гурвалжны дотоод өнцгүүдийн нийлбэр 180°
байдгийг хэрэглэн гүдгэр 4, 5, 6 өнцөгтийн
дотоод өнцгүүдийн нийлбэрийг олох
Үйл ажиллагаа:
1. Öэг, шулуун, хэрчим, цацраг, өнцгийг зурах, тэмдэглэх.
Бага ангид үзсэн геометрийн дүрсүүдийг суурь боловсролын түвшинд VI ангиас эхлэн
тодорхойлж, чанарыг судалж эхэлнэ. Иймд VI ангид сурагчийн бүтээлч үйл ажиллагаанд
тулгуурлан геометрийн агуулгыг судлах бөгөөд үүнд чиглэсэн үйл ажиллагаа болон дадлага
ажлыг боловсрууллаа. Багш та эдгээрээс гаргах дүгнэлтэд анхааран чиглүүлэх үйл ажиллагаа,
дөхүүлэх асуултуудаа бэлтгэнэ биз ээ.
Зургийг ажиглаад юуг
цэг, шулуун, хавтгай,
хэрчим, цацраг, өнцөг
хэмээн төсөөлж болох
талаар ярилцаарай.
Хүснэгттэй танилцаад
“Бодит жишээ” баганыг
нөхөөрэй.
Математик VI сурах бичгийн 29 дүгээр нүүрэнд байгаа сэдэлжүүлэх зургаас геометрийн
үндсэн дүрс болох цэг, шулуун, хавтгай болон үүсмэл дүрс болох хэрчим, цацраг, өнцөг зэргийг
төсөөлөн ярилцаж болох юм. Мөн нэмэлтээр шулууны харилцан байршил, тойрог дугуй гэх
мэтийг ярилцаж болно. Багш та өөрөө энэ сэдвийн хүрээнд илүү оновчтой нэмэлт сэдэлжүүлэлт
бэлтгэж болно. Жишээлбэл хичээллэж байгаа анги танхим байж болох юм.
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Дүрс тоолоорой.
Өгөгдсөн цэгүүдийг дэвтэртээ зурж, үсгээр тэмдэглэж, нэрлээд, хос хосоор нь шулуунаар
холбоорой.
Үр дүнд нь ялгаатай хэдэн: а. шулуун
б. хэрчим
в. өнцөг
г. гурвалжин
д. дөрвөн өнцөгт байгааг олоорой.

32. 32
Сурагчдын хувьд өгсөн 6 цэгийн хувьд даалгаврыг гүйцэтгэх түвэгтэй байвал хялбаршуулсан
байдлаар бүх цэг нь ерөнхий байршилтай (аль ч гурван цэг нэг шулуун дээр оршихгүй) байх 4, 5
эсвэл 6 цэг дээр тоолж үзээд тоолох дадал эзэмшүүлж болно.
а. Өгсөн 2 цэгийг дайрсан шулууныг нэг цэгээс гарсан шулуун гэж нэрлэвэл тухайн нэг цэгээс
5 шулуун татагдах тул 6 цэгээс нийт 30 болно. Харин энд AB шулуун бүр A цэгээс гарсан
бас B цэгээс гарсан гэж 2 удаа тоологдсон учир нийт шулууны тоо 15 болов. Бас өгсөн 3
цэг нэг шулуун дээр орших бөгөөд энэ шулууныг нийт шулууны тоон дотор 3 өөр шулуун
гэж тоолсон байгаа. Иймд өгсөн цэгүүдийг тэмдэглэж нэрлээд, хос хосоор нь шулуунаар
холбоход 13 шулуун зурагдана.
б. AB хэрчим тоолох нь AB шулуун тоолохтой яг адил ба ялгаа нь гэвэл нэг шулуун дээр
орших 3 цэгээр 3 хэрчим тодорхойлогдоно. Иймд нийт хэрчмийн тоо нь шулууны нийт
тооноос 2-оор их буюу 15 байна.
в. Өгсөн цэгүүдийг холбосон үр дүнгээс тухайн цэг бүр дээр оройтой өнцгийг тоолохдоо
дотор нь 1 өнцөг байх өнцөг, дотор нь 2 өнцөг байх гэх мэт ялгаатайгаар тоолно.
2. Өнцгийг таних, хэмжих.
Бага ангид өнцгийн тухай судлаж, өнцгийг ангилан транспортироор хэмжиж сурсан. VI ангид
эдгээр мэдлэг, чадварыг бататган давтаж, 180o
- 360o
хэмжээтэй өнцгийг таних, хэмжих болон
гүйцэд өнцөг гэсэн ойлголттой шинээр танилцана.
Тэмээ
Адуу
Үхэр
Хонь
Ямаа
2013 оны жилийн эцсийн байдлаар Монгол
улсын малын тоо 45144280 байжээ.
Таван хошуу малын тоог дугуй диаграммаар
үзүүлсэн бол диаграмм ашиглан гүйцэтгээрэй.
а. Дугуйн төв дээр оройтой, өнгөөр ялган
зурсан өнцгүүдийг тэмдэглэж, ангилаарай.
б. Өнцөг тус бүрийн хэмжээг транспортир
ашиглан хэмжиж, олоорой.
в. Өнцгүүдийн нийлбэрийг олоорой.
Сурах бичгийн 30 дугаар нүүрэнд байгаа сэдэлжүүлэх бичвэр, зурагт монгол улсын нийт малын
тоог 5 төрлөөр нь 5 өнгөөр ялган дүрсэлжээ. Өнгөөр ялгасан өнцөг бүрийг хэмжиж, тэдгээрийн
нийлбэрийг олох өгсөн алхмуудыг алдаагүй гүйцэтгэсэн сурагчдын хувьд 3600
гэсэн үр дүнд
хүрнэ. Эндээс нийт малын тоог 360-д хуваахад 1o
-т харгалзах малын тоо тодорхойлогдох бөгөөд
өнгө бүрд харгалзах өнцгөөр үржүүлбэл 5 хошуу малын тоо тус бүрийг тооцоолох боломжтой
болох юм. Гэхдээ өгсөн алхмын дагуу гүйцэтгэх явцад 180o
-360o
хэмжээтэй өнцгийг хэрхэн
хэмжих тухай асуудал сурагчдад тулгарах болно. Тулгарсан энэхүү асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх
талаар 7 дугаар бодлого болон жишээгээр дэлгэрэнгүй харуулсан болно.
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Өнцөг тоолох
Өгсөн цэгүүдийг хос хосоор нь холбож, өгсөн цэг дээр оройтой хэдэн өнцөг зурж болох вэ?
Үүссэн өнцгүүдийг ангилаарай.
Хамгийн их ба хамгийн бага өнцгийн хэмжээг олоорой.

33. 33
Хэдэн өнцөг үүсэхийг тоолох нь өмнөх асуудал шийдвэрлэхтэй адил юм. Гол анхаарах асуу-
дал нь сурагч нүдэн баримжаагаар аль цэгүүдийг холбоход үүсэх өнцөг хамгийн их, хамгийн бага
хэмжээтэй байхыг таамаглах чадвар юм. Энэхүү таамаглалаа өнцгүүдийг хэмжиж баталгаажуулна.
3. Гурвалжны дотоод өнцгийн нийлбэрийг олох.
Бага ангид гурвалжны бүх дотоод өнцгийн нийлбэр 180o
байхыг хэмжиж нэмэх, зүсэж зүйх
аргаар шалгаж байсан бол энэ ангид үйл ажиллагаагаар үндэслэх юм.
Сурагч самбарт зурагдсан дурын АВС гурвалжны өнцгүүдийн дагуу уяа барьж эргэснээр
тэдгээр өнцгүүдийн нийлбэрийг хэрхэн олж байгааг зурагт үзүүлжээ.
I алхам
Дурын ABC гурвалжин
зурна. Уяаг А ба С цэг
дээр барина.
II алхам
С цэг дээр дарж,
А цэгээс В цэгт
уяаг шилжүүлнэ.
III алхам
В цэг дээр дарж,
С цэгээс А цэгт
уяаг шилжүүлнэ.
IV алхам
А цэг дээр дарж,
В цэгээс С цэгт уяаг
шилжүүлнэ.
Самбарт гурвалжин зураад түүний хувьд энэ ангийн сурах бичигт байгаа уяа ашиглан гур-
валжны дотоод өнцгүүдийн нийлбэрийг хэмжих үйл ажиллагааг заагдсан алхмын дагуу аль болох
олон сурагчдаар гүйцэтгүүлэхийг зориорой. Энэхүү үйл ажиллагааг алхмын дагуу зөв гүйцэтгэсэн
хүүхэд бүр анх самбар руу харж байсан бол төгсгөлд нь эсрэг тал руу буюу ангийнхаа сурагчдын
зүг харж зогсоно. Өөрөөр хэлбэл гурвалжны гурван өнцөг бүрийг хэмжиж, өнцөг бүрийн дагуух
гурван эргүүлэлтийн үр дүнд сурагч 180o
өнцгөөр эргэсэн гэсэн үг. Багш та сурагчдыг уяагаар
өнцөг хэмжин эргэх хөдөлгөөнийг зөв гүйцэтгэж байгаа эсэхэд болон алхмуудын дэс дарааллыг
зөв сонгож байгаад анхаарал хандуулах хэрэгтэй.
Эндээс дараах дүгнэлтийг сурагчдаар гаргуулж ойлгуулах юм.
а. Гурвалжны бүх дотоод өнцгийн нийлбэр 180o
байна.
б. Энэхүү чанар нь гурвалжны том жижиг, хэлбэрээс хамаарахгүй.
Шаардлагатай тохиолдолд дөхүүлэх асуултуудаар чиглүүлж болно.
Жишээ нь, сурагчдын зурж, өнцгүүдийн нийлбэрийг нь энэ алхмаар хэмжсэн зөв, адил хажуут,
элдэв талт болон тэгш өнцөгт, мохоо өнцөгт, хурц өнцөгт гурвалжныг сануулна.
4 болон 5 дугаар ангид судалсан гурвалжны дотоод өнцгүүдийг транспортироор хэмжиж
нэмэх, цаасан гурвалжны өнцгүүдийг хайчлаад эвлүүлж, дэлгэмэл өнцөг үүсгэх аргуудыг сэргээн
сануулж, нэмэлт сэдэлжүүлэлт болгон сурагчдаар давтан хийлгэж болно.
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
A
B C
D
Гурвалжнаар хучих
Зурагт үзүүлсэн ABCD дөрвөн өнцөгтийн AD тал дээр E цэг
сонгож, ABE гурвалжин үүсгэнэ. 6 ширхэг АВЕ гурвалжин ашиглан
ABCD дөрвөн өнцөгтийг хучихын тулд Е цэгийг хаана авах ёстойг
тогтоогоорой.

34. 34
Энэхүү асуудал шийдвэрлэх даалгаврын хүрэх үр дүн нь “Гурвалжны бүх дотоод өнцгийн
нийлбэр 180o
байна” гэсэн дүгнэлтийг ашиглан параллелограммыг гурвалжинд хуваах, улмаар
хавтгайг гурвалжнаар бүрэх бодлогын шийдэлд хүрэх юм. Сурагчид одоо эзэмшсэн мэдлэг чадвар
дээрээ тулгуурлан энэ асуудлыг бүрэн шийдвэрлэх чадвартай болсон.
Асуудал шийдвэрлэх даалгаврыг гүйцэтгэхдээ:
- ABE гурвалжны дотоод өнцгүүдийг E цэг дээр үүсгэх
- BE талыг ерөнхий байх ёстой гэдгийг анхаарах
гэсэн 2 зарчим баримтлан параллелограммыг гурвалжинд хуваана. Үр дүнг зурагт харуулав.
Энэхүү зургаас харгалзан тэнцүү урттай хэрчим, өнцгүүдийг тэмдэглээд харахад E цэг нь A
цэгийн талаас AD талыг 3 хуваасны 1 дээр байх цэг болох нь илэрхий харагдана.
Энэ асуудал шийдвэрлэх даалгавраас дүгнэлт болгон шулуунууд параллель байх болон
өнцгүүд хоорондоо тэнцүү болохыг харж болох ба эдгээр нь параллель шулуунуудыг гурав дахь
шулуунаар огтлоход үүсэх өнцгүүд тэнцүү байх гэх мэт 7 дугаар ангид судлах агуулгын сэдэл
болж болох юм.
4. Гүдгэр 4, 5, 6 өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэрийг олох.
Гурвалжны дотоод өнцгийн нийлбэр 180o
байхыг ашиглан гүдгэр олон өнцөгтийн дотоод
өнцгийн нийлбэрийг тооцоолох боломж бүрдсэн тул уг сэдвээр сурагчдын үйл ажиллагаагаар
гүдгэр 4, 5, 6 өнцөгтийн бүх дотоод өнцгийн нийлбэрийг олж, хялбар асуудал шийдвэрлэхэд
хэрэглэнэ.
Сурах бичгийн 36 дугаар нүүрэнд байгаа Жишээгээр гүдгэр 4, 5, 6 өнцөгтийг нэг оройгоос
гарсан диагоналиудаар нь үл огтлолцох хэдэн гурвалжинд хувааж болохыг харуулахыг зорив. Энэ
бодлогын үр дүнд тулгуурлан сурах бичигт байгаа асуултын дагуу сурагчидтайгаа ярилцаж:
- Аливаа гүдгэр олон өнцөгтийг нэг оройгоос гарсан диагоналиудаар нь үл огтлолцох
гурвалжнуудад хувааж болно.
- Аливаа гүдгэр олон өнцөгтийн бүх дотоод өнцгийн нийлбэр нь нэг оройгоос гарсан
диагоналиудаар нь үүссэн үл огтлолцох гурвалжнуудын бүх дотоод өнцгийн
нийлбэртэй тэнцүү байна.
гэсэн 2 дүгнэлт гаргах юм. Эндээс гүдгэр 4, 5, 6 өнцөгтийн бүх дотоод өнцгийн нийлбэр нь хэд
байхыг хялбархан тооцоолон гаргаж болно.
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
а. б. в.
Хамгийн цөөн хуваалт
Зурагт өгсөн гүдгэр олон өнцөгтийн бүх дотоод өнцгийн нийлбэрийг хамгийн цөөн хуваалтаар
хэрхэн хялбар тооцоолох вэ?
Энэхүү асуудал шийдвэрлэх даалгаврын үр дүнд өгсөн олон өнцөгт бүрийг нэг оройгоос нь
хамгийн цөөн диагонал татаж гурвалжин, гүдгэр 4, 5, 6 өнцөгтүүдэд хувааж, бүх дотоод өнцгийн

35. 35
нийлбэрийг нь тооцоолох дадал, чадвар эзэмшүүлэх юм.
а. 1 диагональ татахад 4 ба 5 өнцөгт үүсэж байна.
б. 1 диагональ татахад 4 ба 6 өнцөгт үүсэж байна.
в. 1 диагональ татахад хоёр 6 өнцөгт үүсэж байна.
Анхаарах зүйл. Сурах бичигт зай талбайн хэмжээ хязгаарлагдмал байгаа тул дасгал бодлогын
хэлбэр бүрийг оруулж, танилцуулахад анхаарсан бөгөөд багш та хичээлийн цаг дээр өөрөө
боловсруулсан эсвэл ийм төрлийн бодлого бүхий ном, сонинг ашиглан, бусад хэлбэрийн бодлого
дасгалаар баяжуулах зайлшгүй шаардлагатай юм.
Нэмэлт мэдээлэл. Геометрийн үндсэн дүрс тул цэг, шулуун, хавтгайг тодорхойлдоггүй билээ.
Харин бусад дүрсүүд нь эдгээрээр бүрэн тодорхойлогддог. Эдгээр тодорхойлолтыг сурах бичигт
санамж байдлаар өгсөн болно. Сурах бичигт өгсөн даалгавруудад өнцгийг олоорой гэсэн даалгавар
олонтаа тааралдах бөгөөд энэ нь тухайн өнцгийн хэмжээг олоорой гэсэн даалгавар гэж ойлгохыг
сурагчдад тайлбарлаж өгнө үү. Хэдийгээр өнцөг нь дүрс болохоор өнцгийн хэмжээг олоорой гэх
нь зөв боловч сурах бичигт өнцөг гэдэг дүрс ярих үедээ байнга нэрлэж бичсэн бөгөөд өнцгийн
хэмжээг ярих үедээ өнцөг олоорой хэмээн товчлон бичсэн болно.
Тодорхойлолт: Ерөнхий эхлэлтэй хоёр цацрагийн хоорондох хавтгайн хэсгийг өнцөг гэнэ.
Өнцгийн тодорхойлолт ёсоор 2 өнцөг тодорхойлогддог болохыг жишээгээр үзүүлсэн бөгөөд
нэг нь нөгөө өнцгийнхөө 360o
хүртэлх гүйцээлт өнцөг болно.
Зарим сурагчдад диаграммаас 180o
-360o
хэмжээтэй өнцгийг хэмжих асуудлыг өөрийн
хэмжээнд шийдсэн байж болох юм. Энэ үед жишээ болон 7 дугаар бодлого бодохоосоо өмнө
тэр сурагчийн шийдлийг ангиараа харилцан ярилцана уу. Нийт сурагчид 7 дугаар бодлого болон
жишээ бодлоготой танилцсаны дараа тулгарсан асуудал түвэгтэй биш болох бөгөөд энэ сэдвийн
зорилго болсон 2 ойлголтоо өөрсдөө нэрлэж таниад, хэмжиж чаддаг болох юм. Гүйцэд өнцгийн
тодорхойлолтыг сурах бичигт санамж байдлаар өгсөн болно.
Тодорхойлолт: Бүх талын урт нь тэнцүү, бүх өнцөг нь тэнцүү олон өнцөгтийг зөв олон өнцөгт
гэнэ.
Зөв олон өнцөгтийн энэхүү тодорхойлолтыг сурагчид маань одоогоор мэдэхгүй тул зөв олон
өнцөгтийн дотоод өнцгийн хэмжээг шууд тооцоолон хэлэх боломжгүй гэдгийг анхаарна уу.
Харин зөв гурвалжнаар жишээ авч төсөөлүүлэн зөв олон өнцөгтийн дотоод өнцгүүд тэнцүү
байх шинжийг ярилцаж болох юм. Иймд өгсөн зургаас талын урт, өнцгийн хэмжээг хэмжиж
ярилцах аргаар зөв олон өнцөгтийн дотоод өнцгийн хэмжээг гаргах ба үүнийг сурах бичигт
санамж байдлаар өгсөн болно.
Бүх талын урт нь тэнцүү боловч бүх дотоод өнцгүүд нь тэнцүү байдаггүй гүдгэр 4, 5, 6 өнцөгт
байж болдог бөгөөд энэ нь зөв олон өнцөгт биш гэдгийг анхааруулах ёстой.
Даалгавруудын тайлбар:
Өгсөн зураг дээр цэг, шулуун, хэрчим, цацраг, өнцгийг тэмдэглэж нэрлэх, ялгах дадал,
чадвар эзэмшүүлэх зорилготой бодлогууд юм.
Өгсөн нөхцөлөөр шулуун, цэг, хэрчим, цацраг, өнцөг зурж, тэмдэглэх чадварыг эзэмшүүлэхэд
зорьсон бодлого.
AB шулуун дээр C цэгийг A ба B цэгүүдийн дунд байх 1 боломж, гадна нь байх 2 боломж
нийт 3 янзаар тэмдэглэх боломжтой. Нэг шулуун дээр орших 3 цэгээр 3 хэрчим үүсэх ба урт
хэрчим нь 2 богино хэрчмийн уртуудын нийлбэртэй тэнцүү байх чанарыг ойлгож хэрэглэх
чадварыг эзэмшүүлэхэд зорьсон бодлого.
Өгсөн зургаас нийт хэдэн цэг, хэрчим, цацраг, өнцөг болон гурвалжин дөрвөн өнцөгт тоолох
дадал, чадвар эзэмшүүлэхэд анхаарсан бодлогууд юм. Ийм тоололтыг тодорхой чанар,

36. 36
зүй тогтол дээр тулгуурлан тоолно. Жишээлбэл хэрчим тоолохдоо эхлээд дээр нь нэг ч
тэмдэглэгдсэн цэг байхгүй хэрчим, дараа нь дээр нь нэг тэмдэглэгдсэн цэг байх хэрчим гэх
мэт зүй тогтлоор тоолбол бүх тоололтонд хэрчим бүр нэг удаа тоологдох болно.
Өгсөн зураг дээр өнцгийг тэмдэглэж нэрлэх, ялгах дадал, чадвар эзэмшүүлэх зорилготой
бодлогууд юм.
Сэдвийн эхэнд өгсөн дугуй диаграммаас өнцөг хэмжих, заасан өнгөнд харгалзах малын
тоог олох асуудлыг хэрхэн ойлгосныг шалгах бататгахад зорьсон бодлого. Бодолтыг бодох
алхам өгсөн тул хүндрэл багатай байна байх.
Гурвалжны бүх хэлбэрийг харуулсан өгсөн зураг дээр талын урт болон өнцгийг тэмдэглэж
нэрлэх, хэмжих, ялгах дадал, чадвар эзэмшүүлэх зорилготой бодлогууд юм.
Өмнөх хоёр бодлогын үр дүнг сурагч бүрийн хувьд нэгтгэн дүгнэх байдлаар:
Зөв гурвалжны дотоод өнцгүүд нь тэнцүү байна.
Адил хажуут 2 гурвалжны суурь дахь 2 өнцөг тэнцүү байна.
Тэгш өнцөгт гурвалжны 2 хурц өнцгийн нийлбэр 90o
байна.
Дурын гурвалжинд бүх дотоод өнцөг нь хурц байж болно.
Дурын гурвалжны нэг өнцөг нь 90o
байж болно.
Дурын гурвалжинд нэг өнцөг нь мохоо байж болно. гэсэн математик дүгнэлтүүдийг
сурагчдаар гаргуулна. Харин эдгээр дүгнэлттэй холбогдох гурвалжны дотоод өнцгийн хэмжээ
ямар байж болохыг санамж байдлаар өгсөн болно.
Зурагт өгсөн гурвалжны мэдэгдэхгүй байгаа өнцгийн хэмжээг “Гурвалжны бүх дотоод
өнцгийн нийлбэр 180o
байна” гэсэн дүгнэлтийг ашиглан тооцоолж олно. Энд зарим
гурвалжны хувьд гадаад өнцөг болон дотоод өнцгийн босоо өнцөг, солбисон өнцөг зэргийг
өгсөн байгаа бөгөөд одоохондоо гурвалжны гадаад өнцөг, солбисон өнцөг гэх мэт тухайлан
нэрлэх шаардлагагүй юм. Учир нь хөтөлбөрт дурдсанаар эдгээр өнцгүүдийг 7 дугаар ангид
тухайлан судлах болно.
Дотоод өнцгүүд нь өгсөн нөхцөл хангах гурвалжныг зурж дүрслэх эсвэл заавал
дүрслэхгүйгээр гурвалжны мэдэгдэхгүй байгаа өнцгийн хэмжээг “Гурвалжны бүх дотоод
өнцгийн нийлбэр 1800
байна” гэсэн дүгнэлтийг ашиглан тооцоолж олно.
Зөв 4, 5, 6 өнцөгтийг харуулсан зураг дээр талын урт болон өнцгийг тэмдэглэж нэрлэх,
хэмжих, ялгах дадал, чадвар эзэмшүүлэх зорилготой бодлого юм.
Бүх талын урт нь тэнцүү боловч бүх дотоод өнцгүүд нь тэнцүү байдаггүй гүдгэр 4, 5, 6
өнцөгтийн жишээ бөгөөд эдгээр гүдгэр олон өнцөгтийн талын урт болон өнцгийг тэмдэглэж
нэрлэх, хэмжих үйл ажиллагааг хийснээр:
“Ãүдгэр олон өнцөгтийн бүх талын урт тэнцүү гэдгээс зөв олон өнцөгт гэж дүгнэж
болохгүй юм байна”,
“Ãүдгэр олон өнцөгтийн бүх талын урт тэнцүү гэдгээс дотоод өнцгүүдийн хэмжээг нь
тодорхойлох боломжгүй юм байна”
гэсэн дүгнэлтүүдийг сурагчдаар гаргуулна.
“Гүдгэр 4, 5, 6 өнцөгтийн бүх дотоод өнцгийн нийлбэр нь харгалзан 360o
, 540o
, 720o
байна”
гэж дээр гаргасан дүгнэлтээс харилцан ярилцаж, тооцоолох замаар асуултуудад хялбар
хариулах боломжтой. Багш та сурагчдын гаргасан дүгнэлтэд тохирох зураг дүрслэлийг
байнга хийж, шалгах ёстойгоо бүү мартаарай.
Зургаар өгсөн гүдгэр олон өнцөгтийн мэдэгдэхгүй байгаа өнцгийг “Гурвалжны бүх дотоод
өнцгийн нийлбэр 180o
байна” болон “Гүдгэр 4, 5, 6 өнцөгтийн бүх дотоод өнцгийн нийлбэр
нь харгалзан 360o
, 540o
, 720o
байна” гэсэн дүгнэлтүүдийг ашиглан тооцоолно. Энд зарим
гүдгэр олон өнцөгтийн хувьд гадаад өнцөг болон дотоод өнцгийн босоо өнцөг, солбисон
өнцөг зэргийг өгсөн байгаа бөгөөд одоохондоо олон өнцөгтийн гадаад өнцөг, солбисон
өнцөг гэх мэт тухайлан нэрлэх шаардлагагүй юм.
Дотоод өнцгүүд нь өгсөн нөхцөл хангах гүдгэр 4, 5, 6 өнцөгтийг зурж дүрслэх эсвэл заавал
дүрслэхгүйгээр мэдэгдэхгүй байгаа өнцгийн хэмжээг “Гүдгэр 4, 5, 6 өнцөгтийн бүх дотоод
өнцгийн нийлбэр нь харгалзан 360o
, 540o
, 720o
байна” гэсэн дүгнэлтийг ашиглан тооцоолох
бодлогууд юм.

37. 37
2.5. Нэгж хичээлийн сэдэв: Хоёр шулуууны харилцан байршил,
хамар ба босоо өнцөг
Хүрэх үр дүн
Параллель, перпендикуляр шулуун, огтлолцсон хоёр шулууны хоорондох өнцгийн чанарыг
мэдэх, хэрэглэх, хамар ба босоо өнцгийн чанар хэрэглэн тооцоолох чадвартай болно.
Түлхүүр үг: параллель –(//), перпендикуляр-(⊥) шулуунууд, хамар ба босоо өнцгүүд
Хэрэглэгдэхүүн: Гурвалжин шугам, транспортир, явцын үнэлгээний даалгавар
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг, чадвар Одоо эзэмших мэдлэг, чадвар
• Харилцан перпендикуляр, парал­
лель шулуунууд, өнцгийг таних,
шинжийг мэдэх, зурах, ангилах
• Перпендикуляр, параллель, огтлолцсон шулуунуудын
хоорондох өнцгийн чанарыг мэдэх, хэрэглэх
• Хамар өнцгүүдийн нийлбэр (180o
), гүйцэд өнцгийг (360o
)
хэрэглэн тооцоолох
Үйл ажиллагаа:
1. Параллель, огтлолцсон, перпендикуляр шулуунуудыг дүрслэх
Бодлого 1. a, b хоёр саваагаар дараах шулуунуудыг дүрсэлж үзүүлээд ярилцаарай.
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
b
Дээрх зурагт өгсөн a, b шулуунуудын харилцан байршлын талаар ярилцаад хоёр шулуун
гурван янзаар харилцан байршилд байдаг гэдгийг тогтооно.
Параллель гэдгийг цаашид бичилгүй // - тэмдэглэгээгээр, перпендикуляр гэдгийг ⊥- тэмдэг­
лэгээгээр тус тус тэмдэглэж бичнэ гэдгийг сануулна.
Анги доторх болон эргэн тойрноос нь сурагчдаар параллель, перпендикуляр шулуунуудыг
олуулж хооронд нь ярилцуулаарай.
2. Хамар ба босоо өнцгүүдийн талаар ойлгох, хэрэглэх
Бодлого 1. I алхам. ∠ABC өнцгийг сурагчдаар нэрлүүлээд түүний градусын хэмжээг ярилцана.
II алхам. B цэгээс BD цацраг татья. Уг өнцөг хэдэн өнцөгт хуваагдаж байна вэ?
A B C A B C
D

38. 38
Эдгээр өнцгүүдийг хамар өнцөг гэж нэрлэдэг, эдгээрийн нийлбэр 180o
-тай тэнцүү гэдгийг
транспортир хэрэглүүлэн хэмжүүлээд сурагчдаар гаргуулна.
III алхам. ∠ABD юмуу ∠DBC-ийн аль нэгийнх нь хэмжээг өгөөд нөгөө өнцгийн хэмжээг
олуулах бодлого бодуулна.
Бодлого 2. Өгсөн өнцгүүдээс хамар өнцгүүдийг олуулж, ярилцана.
1
2
3
4
1
2
4
2
3
4
2
3
4
Энэ бодлогоос ∠2=∠4 ба дараагийн жишээнүүдээс ∠1=∠3 гэдэг нь ∠1+∠=180o
,
∠1+∠4=180o
бол ∠2=∠4 гэж гарч байгааг сурагчидтай ярилцаж гаргана. ∠2=∠4 , ∠1, ∠3 нь
босоо өнцгүүд юм.
Явцын үнэлгээний жишиг даалгавар
Зорилго: Огтлолцсон шулуунуудаар үүсэх өнцөг, хамар ба босоо өнцгийг олох
1. x-ийн утгыг ол.
C
D
B
22xo
38xo
А. 30 Б. 1.5 В. 60 Г. 90
2. Дараах зургаас x-ийн утгыг ол.
30o
x
А. 60o
Б. 35o
В. 30o
Г. 45o
3. x-ийн утгыг олоорой.
20o
7x–15o
А. 90o
Б. 35o
В. 60o
Г. 45o
5. x-ийн утгыг олоорой.
2x+6
96
А. 60o
Б. 45o
В. 100o
Г. 25o
6. y-ийн утгыг олоорой.
(9y+7)o
(2y+98)o
А. 20o
Б. 45o
В. 13o
Г. 124o
7. y-ийн утгыг олоорой.
(11y–36)o
63o
А. 99o
Б. 44o
В. 11o
Г. 22o
8. q-ийн утгыг олоорой.
4q–46o 6o
А. 90o
Б. 45o
В. 11o
Г. 12o
9. q-ийн утгыг олоорой.
15q+18
3q
А. 30o
Б. 5o
В. утгагүйo
Г. 18o
10. y-ийн утгыг олоорой.
5y
5y
2y
O
А. 7o
Б. 15o
В. 12o
Г. 18o

39. 39
2.6. Нэгж хичээлийн сэдэв: Өгөгдөл цуглуулах, дүрслэх
Хүрэх үр дүн
Өгөгдөл цуглуулах арга, түүврийн хэмжээг сонгох, хүснэгт зохиох, хэрэглэх; баганан,
дугуй диаграмм, пиктограмм, шугаман график байгуулан өгөгдлийг шинжлэх; дискрет
ба тасралтгүй өгөгдлийг таних, ялгааг мэдэх, эдгээрийг хүснэгт, диаграмм, графикаар
дүрслэх; хоёр түүврийг харьцуулах, дугуй диаграммуудыг харьцуулах, дүгнэлт гаргах,
асуудал шийдвэрлэх чадвартай болно.
Түлхүүр үг: Өгөгдөл цуглуулах, бүртгэл, давтамж, хүснэгт, баганан диаграмм, шугаман
график, дугуй диаграмм, пиктограмм, түлхүүр.
Хэрэглэгдэхүүн: Статистик тоо баримт, диаграммууд, тэнцүү хуваасан тойргууд
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг, чадвар Одоо эзэмших мэдлэг, чадвар
• Өгөгдөл, мэдээллийг олж цуглуулах, өгөгдөл,
мэдээлэл, диаграммд тохирох хүснэгт,
диаграмм, график байгуулах; хуваарь нь
ялгаатай байх үеийн дүрслэлийг харьцуулах,
тайлбарлах
• Өгөгдлүүдийн моод, далайц, медиан,
арифметик дунджийг олох;
• Өгөгдөл цуглуулах, бүртгэх аргаа сонгох
• Тэнцүү завсраар бүлэглэсэн дискрет
өгөгдлийн давтамжийн хүснэгт зохиох,
хэрэглэх
• Өгөгдлийг диаграммаар дүрслэх, тайлбарлах
(баганан диаграмм, дугуй диаграмм, пиктог-
рамм, бүлэглэсэн дискрет өгөгдлүүдийн
давтамжийн хүснэгт)
Үйл ажиллагаа:
1. Өгөгдөл цуглуулах, бүртгэх.
Өгөгдөл цуглуулах, бүртгэх талаар бага ангид анхан шатны ойлголттой болсон, энэ чадварыг
сэргээн бататгана. Сурах бичгийн сэдэлжүүлэх бодлогыг авч үзье.
“Наполеон” бялууны боодол дээр “жин 110 грамм” гэсэн бичээс байв. Нэг
ажилтан 30 бялууг электрон жингээр жинлэж үзэхэд граммаар:
113, 110, 109, 108, 110, 111, 110, 109, 111,110, 112, 108, 111, 109, 110, 111,
111, 109, 110, 110, 113, 109, 111, 108, 110, 111, 109, 112, 107, 110 байв.
Эдгээр өгөгдлүүдийг хэрхэн хялбар аргаар бүртгэж болох вэ?
Наполеон бялууны жишээн дээр граммаар өгөгдсөн тоонуудыг хэн нэг (багш эсвэл сурагч)
нь уншиж өгөх ба бусад нь хүснэгтийн нүдэнд тохируулан нэг зураасаар тэмдэглэнэ гэдгийг
тайлбарлаарай. Бодлогын төгсгөлд |||| || тэмдгүүдийг бүртгэлийн цорын ганц арга гэж үзэж болох-
гүй. гэх мэт тавтуудаар багцлах боломжтой тэмдэглээнүүд байж болохыг сануулаарай. Хэн
нэг нь уншиж өгч, бусад нь бүртгэл хийх нь тохиромжтой арга юм. Сурах бичгийн Жишээ 1-д
өгсөн мэдээллийг хүснэгт болон гурван өөр төрлийн диаграммаар дүрсэлж үзүүлсэн, эдгээрийг
сурагчдаар тайлбарлуулж, ярилцана. Бүртгэл хийж, давтамжийн хүснэгт байгуулахыг сурагчид
цаашид бусад хичээл болон дараагийн ангиудад үргэлжлүүлэн хэрэглэнэ.
2. Диаграмм унших, тайлбарлах.
Сурах бичгийн сэдэлжүүлэх даалгаварт өгсөн диаграммуудаас тариалсан талбайн хэмжээ,
түүний өсөлт, шувууны идэшний хэмжээ, далайнуудын хэмжээний талаар мэдэж болох боловч
хаанахын тариан талбай ба ургац болох, аль шувуу хэдий хугацаанд ямар хэмжээтэй жимсийг
иддэг юм уу нөөцөлдөг юм уу, далайн усны хэмжээ юу, талбайн хэмжээ юу, ямар эх үүсвэрээс
мэдээллийг авсан зэрэг нь тодорхой байвал бүрэн ойлгогдохоор байна гэсэн дүгнэлтийг сурагчдаар

40. 40
хийлгэхийг зорино. Өгсөн диаграммуудыг ойлгоход ямар хүндрэл гарч байна, ямар мэдээлэл дутуу
байгааг сурагчидтай хамтран ярилцана.
2006 2007 2008
138.6
114.9
205.8
392.9
366.3
432.5
2009 2010 2011
500
400
300
200
100
0
Тариалсан талбай (мян.га) Хураан авсан ургац (мян.тн)
ҮÐ ТАÐИА
Алим
Гадил
Усан
үзэм
Жүрж
Гадаад их далайнууд
50%
25%
21%
4%
Атлантын далай
Энэтхэгийн далай
Хойт мөсөн далай
Номхон далай
Зурагт үзүүлсэн гурван төрлийн диаграм-
мыг уншиж асуултад хариулаарай.
а. Диаграмм тус бүрээс ямар мэдээлэл
авч болохоор байна вэ?
б. Уншиж ойлгоход ямар бэрхшээл байна
вэ?
в. Аль диаграммд ямар мэдээлэл дутуу
байна вэ? (Эхний диаграммаас 1,
пиктограммаас 2, дугуй диаграммаас 1
алдааг олно уу.)
г. Диаграмм зурахдаа анхаарвал зохих,
орхиж болохгүй зүйлсийг ярилцаж,
дүгнэлт хийгээрэй.
htpp://www.unen.mn/content/9339.shtml?alias=local&name=politics
Баганан
диаграмм
Пиктограмм
Дугуй
диаграмм
Диаграммын нэр (юуг харуулсан ) Байхгүй Байхгүй Байна
Тэнхлэгийн утга (аль тэнхлэг нь юуг илэрхийлж
байгаа)
Байхгүй Байхгүй Байна
Түлхүүр (нэг дүрс ямар утгатай) Байхгүй
Эх сурвалж (мэдээллийг хаанаас авсан)
Вэб сайтын нэр
байна.
Байхгүй
(энэ хүснэгтийг сурагчдаар хийлгэхгүй, зөвхөн ярилцахад ашиглана).
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Цаг агаарын мэдээ
Телевиз, радио, интернэтээс маргаашийн агаарын температурын урьдчилсан мэдээг аваарай.
Цаг 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00
Агаарын
температур
а. Хүснэгтийг нөхөөрэй.
б. Тохиромжтой диаграммаар дүрслээрэй.
Асуудал шийдвэрлэх арга зүй.
• асуудлыг олж харах, ойлгох, өөрийн үгээр томьёолох.
Цаг агаарын мэдээгээр хүснэгт хийх хэрэгцээ яагаад гарсан бэ? гэдэгт хариулт олоорой.
Жишээ нь дэлхийн цаг агаарын дулаарлыг судлах зорилгоор эсвэл ургацын байдалд
шинжилгээхийхзорилгоорэсвэлбүрзөвхөнхувцсаатохируулжөмсөхийнтулдмаргаашийн
цаг агаарын мэдээгээр график байгуулах гэтэл өгөгдөл нь байхгүй гэсэн бэрхшээл тулгарна.
Энэ өгөгдлийг өөрсдөө цуглуулж чадахгүй. Тэгвэл яах вэ? гэсэн асуудал үүснэ.
• асуудлыг математик аргаар загварчлах, төлөвлөх.
Цаг агаарын мэдээг хаанаас авахаа ярилцана. Цаг уурын станцаас, эсвэл радио, телевиз,
интернэтээс авах боломжтой гэсэн дүгнэлтэд хүрч, манай нөхцөлд аль нь хамгийн хямд,
хялбар аргаар, богино хугацаанд олж болохыг хэлэлцэж, төлөвлөнө. Хэрэв урьдчилсан
мэдээ олдохгүй бол өчигдрийн ажиглалтын мэдээ байсан ч болно гэдгээ ярилцана.

41. 41
• Төлөвлөгөөг хэрэгжүүлэх.
Төлөвлөсөн аргаар өгөгдөл цуглуулна. Энэ нь хэдийгээр цаг хугацаа нэлээд зарцуулах
боловч өгөөж нь өндөр байх болно. Тохиромжтой гэж сонгосон график, диаграммаар
харуулна.Өгөгдлийнмоод,медиан,арифметикдунджийголжболно.Агаарынтемпературыг
дүрслэхэд шугаман график илүү тохиромжтой байдаг.
• Дүгнэлт гаргах, шалгах, гарсан үр дүнг математик нэр, томьёо, ойлголтоо ашиглан
тайлбарлах.
Маргаашийн цаг агаарын байдалтай ажил, хичээл, хувцаслалтаа яаж тохируулахаа ярил­
цана. Мөн цаг уураас ямар ажил, мэргэжлийн хүмүүс хамгийн их хамааралтай байдгийг
ярил­
цаж, тэдэнд ямар санамж, сануулга өгөхийг төлөвлөнө. Энэ үед сурагчид мэдээллийг
хэрхэн, хаанаас цуглуулж байгаа, график, диаграмм зурж байгаа, хүснэгтийг хэрэглэж
байгаа, дүгнэлт хийж байгаа зэрэг гол зүйлүүд дээр л багш анхаарал хандуулна. “Маргааш
тэнгэр яаж аашлах”-аас хичээлийн зорилго хамаарахгүй.
VI ангид сурагчид дугуй диаграммыг уншиж тайлбарлах, хялбар загвар өгсөн үед байгуулах
чадвартай болно. Дугуйг 10, 24, 36 тэнцүү хэсэгт хуваасан бэлэн загвар дээр тэдгээрийн хуваагч
байх тоонуудаас тогтох давтамжууд бүхий өгөгдлөөр диаграмм байгуулах бодлогууд бодуулах
юм. Загваруудыг хүүхдийн тоогоор олшруулж хичээл дээр ашиглуулбал үр дүнтэй.
Гортиггүйгээр тойрог зурах, баримжаагаар тэнцүү секторт хуваахыг дэмжиж, тойргийг 3-6
тэнцүү хэсэгт хуваах тохиолдолд диаграммын бэлэн загвар өгөхгүй байж болно.
VI ангид шугаман диаграммыг зөвхөн уншиж, тайлбарлах хэмжээнд судална. (дааалгавар 19)
Диаграмм нь ямар шаардлагыг хангасан байхыг сурагчдаар өөрсдөөр олуулахыг эрхэмлэх,
үүнийтулддарааххүснэгтэдхаруулсныдагуухоёрдиаграммыгхарьцууланүзүүлж,тайлбарлуулах,
дүгнэлт гаргуулахад анхаарна.
Сайн диаграмм Муу диаграмм
Алдаагүй Алдаатай
Цэвэр, үзэмжтэй, өнгөний зөв хослолтой,
дүрсүүдээ эгц зөв зурсан
Тааруухан, жигд биш будсан, хайш яйш зурсан
Хүний анхаарал татахаар Хэт эрээн мяраан
Богино хугацаанд ойлгогдохуйц Ойлгоход хүндрэлтэй
Ахуй амьдрал дахь төрөл бүрийн асуудал шийдвэрлэхэд анхаарч ажиллана. Жишээ нь: анги,
сургууль, сум, дүүргийн хүмүүсийн ажил, амьдралтай холбоотой хүснэгтэн мэдээлэл өгч, зарим
өгөгдлөөр нь шинэ хүснэгт зохиолгох, өөр зарим өгөгдлөөр нь баганан диаграмм, зарим өгөгдлөөр
нь дугуй диаграмм, пиктограмм, шугаман диаграмм байгуулах гэх мэт даалгавар өгч болно.

42. 42
Анхаарах зүйл.
Өгөгдлийг дүрслэх хүснэгт, пиктограмм, баганан ба дугуй диаграммын аргыг бага ангид
судалсан. Энэ дөрвөн аргын аль нэгээр өгсөн байхад бусад хэлбэрээр дүрслэн харуулах чадварыг
энэ ангид эзэмшүүлнэ.
Харин тухайн өгөгдлийг аль диаграммаар дүрслэх нь тохиромжтой талаар сурах бичгийн
даалгавар бүр дээр сонголт хийх шаардлага гарч байгаа. Энд ягштал дүрэм баримтлахгүй,
сурагчдын үйл ажиллагаа, тэдний санал, бодол дээр тулгуурлан ямар диаграммаар дүрслэхээ
сонгоно.
Өгөгдлийг дүрсэлж байгаа диаграммын нэр, пиктограммын таних тэмдэг буюу түлхүүр
(пиктограмммын нэг дүрс хэдийн тоог төлөөлж байгаа), баганан диаграммын тэнхлэгийн (ординат,
абсцисс) утга юуг зааж байгаа, өгөгдлийн эх үүсвэр (ном, судалгааны материалаас авсан бол
зохиогч, нэр, хуудасны дугаар, эсвэл интернэт хаяг, өөрөө цуглуулсан, зохиомол эсэх зэрэг)-ийг
заавал бичиж, нягт нямбай хандах арга барилыг энэ ангиас бүрэн төлөвшүүлэх хэрэгтэй. VI ангид
пиктограмм байгуулах аргыг бүрэн эзэмшсэн байна. Тиймээс үүнд багш анхаарлаа хандуулаарай.
Сурагчдыг эхнээс нь хүснэгт, диаграммтай ажиллах арга барилд сурган, багаж, хэрэгсэл
ашиглан зурж, шугамыг нь жигд татах, өнгийг зөв хослуулан будаж, цэвэр бичих, үндсэн мэдээллээ
тодруулж бичих зэргээр нягт нямбай ханддаг болгоход анхаараарай.
Багш томьёо, тодорхойлолт, чанарыг бичүүлэх, түүнийгээ амаар шалгах гэж цаг алдахгүй,
зөв­
хөн сурагч өөрөө хийж, гүйцэтгэж, өөртөө болон орчиндоо ашиглаж, хэрэглэж, тайлбарлан
таниулж чаддаг байхыг л чухалд үзнэ.
Хүүхдүүд өөрсдөө бүртгэж болох өгөгдлүүдийн жагсаалтыг жилийн эхэнд гаргаж өгөөд,
түүнийгээ баяжуулан байнга (алиныг өдөр бүр, долоо хоног бүр, сар бүр, жил­
дээ нэг удаа)
хөтлөхийг зөвлөж, тусалж болно. Зарим өгөгдөл эмзэг эсвэл бусдад харуу­
лах шаард­
лагагүй байж
болох боловч заавал хөтөлж байх хэрэгтэй. Жишээ нь: Өндөр, жин, гэр сургууль хоёрын хоорондох
зай, энэ хооронд явахдаа зарцуулдаг хугацаа, унших хурд, тооцоолох хурд, чадвар, гадаад хэлний
түвшин, спортын амжилтууд, авьяасын хөгжил, хувийн болоод өрхийн төсөв, олсон зарцуулсан
мөнгө, хичээл хийсэн тоглосон хугацаа, үр дүнтэй өнгөрүүлсэн хугацаа, унтаж амарсан хугацаа,
өвчлөлийн байдал, идсэн уусан хоол, ундны хэмжээ, өргөсөн ачаа туухайны жин, суниалтын тоо,
өмсдөг хувцасны хэмжээ, аав ээжтэйгээ чин сэтгэлээсээ ярьсан хугацаа, сэдэв, хандлага, сонирхол
гэх мэт байж болно.
Нэмэлт мэдээлэл.
Аливаа юмсын тоо, хэмжээг зургаар харуулах, их багыг харьцуулах, эзлэх хувийг тодорхойлох
зорилгоор диаграммыг ашигладаг. VI ангийн сурагчдын хувьд хялбар диаграммуудыг унших,
байгуулах, тайлбарлах чадвар эзэмших нь чухал.
1. Баганан диаграмм.
Өгөгдөл доторх тоонуудын хэмжээг харьцуулан харахад баганан диаграмм хэрэглэдэг. Баганан
диаграммын олон хувилбар байдаг. Багана нь босоо, хэвтээ байж болохоос гадна хоёр хэмжээст,
гурван хэмжээстэйгээр дүрсэлж болно.
35
30
25
20
15
10
5
0
Үхэр Хонь Ямаа Адуу Тэмээ
Энд баганан диаграммыг 2 байдлаар зурж үзүүлсэн.
а. Хэвтээ тэнхлэг дээр малын төрлийг, босоо тэнхлэг дээр малын тоог авсан.
б. Хэвтээ тэнхлэг дээр малын тоог, босоо тэнхлэг дээр малын төрлийг авсан байна.
Сурагчид аль алинаар нь байгуулж сурсан байх нь чухал.
0 10 20 30 40
Үхэр
Хонь
Ямаа
Адуу
Тэмээ
а. б.

43. 43
Энэ диаграммаар өгөгдлийн гишүүдийн утгын зөрөөг хялбар харах боломжтойгоос гадна
өөр өөр өгөгдлийн утгыг ч жишихэд тохиромжтой. Үүний тулд харьцуулсан баганан диаграмм
байгуулдаг.
2. Хүснэгт.
Баганан диаграммаас харахад үхэр 22, хонь 30, ямаа 26, адуу 14, тэмээ 8 буюу нийт 100 толгой
мал байна. Үүнийг хүснэгтэд бичье.
Малын төрөл Үхэр Хонь Ямаа Адуу Тэмээ
Матын тоо 22 30 26 14 8
3. Пиктограмм.
Пиктограмм нь өгөгдлийг тооны оронд дүрсээр, зургаар харуулдаг диаграмм юм. Дүрс
нь хүний харааны ойг ашиглахуйц, текстийг бодвол ойлгомжтой, сонирхол татахаар байдаг.
Зурсан пиктограммд нэр, пиктограммын түлхүүр, өгөгдлийн эх үүсвэр заавал байх хэрэгтэй.
Пиктограммыг өөрөөр пиктограф, эсвэл зүгээр л пикто, заримдаа дүрсэн диаграмм гэх мэтээр
нэрлэдэг.
Дээрх хүснэгтэд байгаа өгөгдлийн 4 толгой малыг █ гэж тэмдэглэвэл:
Малын
төрөл
Үхэр Хонь Ямаа Адуу Тэмээ
Матын тоо 22 30 26 14 8
Пиктограмм █ █ █ █ █ ▌ █ █ █ █ █ █ █ ▌ █ █ █ █ █ █ ▌ █ █ █ ▌ █ █
▌нь 2 толгой малыг тэмдэглэж байна. Зарим өгөгдлүүдийг дүрслэхдээ пиктограммыг ашиглах нь
сурагчдад илүү ойлгомжтой байдаг.
4. Дугуй диаграмм.
Бүхэл юмыг бүрдүүлж буй хэсэг тус бүрийн харьцааг харуулахад илүү тохиромжтой. Баганан
диаграмм, хүснэгт, пиктограммаар илэрхийлсэн өгөгдлөө дугуй диаграммаар дүрсэлье.
14%
26%
30%
22%
8%
Дээрх жишээний бүх малын тоог 100% гэж үзвэл нийт малын 26% нь ямаа,
14% нь адуу, 8% нь тэмээ, 22% нь үхэр, 30% нь хонь байна. Дугуй диаграммаар
илэрхийлэхдээ процентоор илэрхийлэхэд хялбар байх тоотой жишээг сонгох нь
зүйтэй.
Дугуй диаграммыг байгуулах үндсэн хоёр арга байна.
а. Нийт дугуйг 100% гэж үзэх, өөрөөр хэлбэл дугуйг 100 тэнцүү хуваасны хэсгээр илэрхийлэх,
дугуйн хэсгүүд нь хялбар энгийн бутархайгаар илэрхийлэгдэж байвал байгуулахад хялбар
байдаг.
б. VI ангид гүйцэд өнцгийн талаар ойлголттой болсон учир дугуйн нийт өнцгийн хэмжээг
360o
гэж үзэн, диаграммын секторт ногдох өнцгийг олж, хялбар тохиолдолд бэлэн загвар
ашиглан байгуулахад анхаарна. Энд байгуулах өнцгүүд нь 360o
-ын хуваагч байх тохиолдолд
л авч үзнэ. Жишээ нь, 45o
, 60o
, 30o
, 90o
, 120o
, 180o
гэх мэт өнцгүүдийг ихэвчлэн сонгож авна.
Эдгээр өнцгүүдийг байгуулахад хялбар байдаг.

44. 44
Ямаа:
Хонь:
Үхэр:
Тэмээ:
Адуу: 25
250
360 36
7
250
360 10
32
250
360 46
130
250
360 187
5
0 0
0 0
0 0
0 0
× =
× =
× =
× =
6
6
250
360 81
0 0
× =
25
250
360 36
7
250
360 10
32
250
360 46
130
250
360 187
5
0 0
0 0
0 0
0 0
× =
× =
× =
× =
6
6
250
360 81
0 0
× =
25
250
360 36
7
250
360 10
32
250
360 46
130
250
360 187
5
0 0
0 0
0 0
0 0
× =
× =
× =
× =
6
6
250
360 81
0 0
× =
25
250
360 36
7
250
360 10
32
250
360 46
130
250
360 187
5
0 0
0 0
0 0
0 0
× =
× =
× =
× =
6
6
250
360 81
0 0
× =
25
250
360 36
7
250
360 10
32
250
360 46
130
250
360 187
5
0 0
0 0
0 0
0 0
× =
× =
× =
× =
6
6
250
360 81
0 0
× =
Жишээ: Сумын хэмжээгээр оны эцэст 250.0 мянган толгой мал тоолуулав. Үүнд: Адуу
25.0 мянга, тэмээ 7.0 мянга, үхэр 32.0 мянга, хонь 130.0 мянга, ямаа 56.0 мянга тоологдов.
Малын тоог дугуй диаграммаар дүрслэн үзүүлье.
102
ã. Аãааðыí хýм 10°-аас дооø байãаа саðóóдыã олооðой.
д. 3 ба 9 саð, 2 ба 5 саðыí аãааðыí хýмèйí çөðөөã олооðой.
Өөð ÷ олоí асóóлтыã сóðаã÷èд çохèоæ, т¿¿íд бóсад сóðаã÷èд хаðèóлт өã÷ болíо.
Аñóóëòàä õàðèóëààðàé.
1. Ýдãýýð өдð¿¿дèйí аãааðыí хýмèйí
дóíдæèйã олооðой.
2. Ямаð ãаðаãóóдад аãааðыí хýм èæèл
áàéíà âý?
3. Аãааðыí хýм¿¿дèйí мåдèаí, моод,
далайöыã олооðой.
4. Лхаãâа ãаðаãèйí аãааðыí хýм
дýýðх өдð¿¿дèйí аãааðыí хýмèйí
äóíäæààñ яìàð çºðººòýé áàéíà âý?
1. Өãөãдл¿¿дýýð ãðафèк байãóóлааðай.
2. Өãөãдл¿¿дèй аðèфмåтèк дóíдаæ,
мåдèаí, моод, далайöыã олооðой.
3. 12.2�C-ààñ äýýø àãààðыí õýìòýé
саðóóдыí тоо íèйт саðóóдыí тооíы
õýäýí ïðоöåíò âý?
Äèаãðамм, ãðафèк байãóóлах аðãыí талааð íýмýлт ýх сóðâалæ [1]-д тодоðхой бèй.
1. Гðафèк дýýð долоо хоíоãèйí өдð¿¿дèйí аãааðыí хýмèйã ¿ç¿¿лсýí байíа.
2. Бодлоãыí өãөãдлèйã дооð ¿ç¿¿лýâ.
НэМэлт дААлгАВАР:
Аãààðыí õýì (C°)
Гаðаã
Бÿмба
Баасаí
П¿ðýâ
Лхаãâа
Ìÿãмаð
Äаâаа
0 5 10 15 20 25 30 35
Саðóóд Саðыí дóíдаæ тåмпåðатóð
IV саð 4.8�Ñ
V саð 12.2�Ñ
VI саð 17.8�Ñ
VII саð 18.4�Ñ
VIII саð 17.6�Ñ
IX саð 15.2�Ñ
бàãøèä зîðèóëñàí ìэäээëэë:
Äóãóé äèàãðàììыã áàéãóóëàõыí òóëä óã ìýäýýëýë äóãóéí яìàð õýñýã (ñåêòоð)-èéã
ýçлýхèйã тодоðхойлох ¸стой.
Жèøээ: Сóмыí хýмæýýãýýð оíы ýöýст 250.0 мÿíãаí толãой мал тоолóóлаâ. Ү¿íд:
Адóó 25.0 мÿíãа, тýмýý 7.0 мÿíãа, ¿хýð 32.0 мÿíãа, хоíü 130.0 мÿíãа, ÿмаа 56.0 мÿíãа
тоолоãдоâ. Ìалыí тооã дóãóй дèаãðамааð д¿ðслýí ¿ç¿¿лüå.
Адóó: 25
250
× 360� = 36�
Òýмýý: 7
250
× 360� ≈ 10�
Үхýð: 32
250
× 360� ≈ 46�
Хоíü: 130
250
× 360� ≈ 187�
Ямаа: 56
250
× 360� ≈ 81�
Äóãóéã 36�, 10�, 46�, 187�, 81�-ыí ºíö㺺ð
хóâааíа. Òðаíспоðтèð аøèãлаíа.
187�
81�
46�
36�
10�
Хоíü
Ямаа
Үхýð
Адóó
Òýмýý
5. Øугаман граôик.
Сурах бичгийн бодлогыг авч үзье.
Диаграмм ашиглан асуултад хариулаарай.
Цаг
Улаанбаатар. 2015.08.16
Агаарын
температур
(
o
C)
08:00
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
09:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00
а. Графикаар юуг дүрсэлсэн бэ?
б. Тухайн өдрийн 9, 11 , 16, 19 цагуудад агаарын температур хэдэн хэм байсан бэ?
г. Энэ өдөр хэдэн цагуудад агаарын температур 21°C байсан бэ?
д. Графикт дүрсэлснээр хэдэн цагт хамгийн халуун, хамгийн сэрүүн байсан бэ?
Агаарын температур нь тасралтгүй хэмжигдэхүүн бөгөөд дээрх графикаар тухайн цагуудад
хэдэн хэм байсныг үзүүлжээ. Шугаман графикийг байгуулахдаа өгсөн утгуудыг цэгээр тэмдэглэн
эдгээр цэгүүдээ шулуунаар холбоно. VI ангийн сурагчдын хувьд шугаман графикийг унших,
тайлбарлах чадвар эзэмшүүлэхэд анхаарна.
Даалгавруудын бодолт, заавар.
Бодлого хэдий хялбар боловч 15-29кг жинтэй хоньд ижил үнэтэй, 20-24 кг жинтэй хоньд
өмнөхөөс өөр боловч хоорондоо ижил үнэтэй гэх мэт 25-29 кг, 30-34 кг, 35-39 кг, 39-40 кг
завсруудад үнэ нь өссөөр 41 кг дээш жинтэй бүх хонь хамгийн өндөр үнэтэй байгаа нь
өгөгдлийг бүлэглэх хэрэгцээ үүсэж байгааг харуулна. Ухагдахуун бүр дээр ийм хэрэгцээ
хаана, яаж үүсч байгааг харуулсан жишээг цагийг нь олж өгөхөд багш анхаарлаа хандуулна.

45. 45
Машины ачаа 4, 2, 3, 5, 1 өндөртэй байсныг тэгшилж хураасны дараа ямар өндөртэй болох
вэ?
Бодолт:
I арга. (4+2+3+5+1)÷5=15÷5=3 өндөртэй болно. Энэ бол арифметик дунджийн хэрэглээ
байлаа.
II арга. Эхний баганаас 1 хайрцаг авч, хоёр дахь багана дээр, дөрөв дэх баганаас 2 хайрцаг
авч сүүлийн багана дээр хураахад бүгд 3, 3 хайрцаг давхарлагдах болно.
(4, 2, 3, 5, 1)→(3, 3, 3, 3, 3).
Харин энэ бол арифметик дунджийг олох өөр нэгэн арга юм.
Дугуй диаграммыг Тэмүүлэн 3, 8, 5, 2
дарааллаар, Дөлгөөн 5, 2, 8, 3 дарааллаар
буджээ. Дугуй тус бүрийн тэнцүү хэсгүүдэд
харгалзах өнцгийн хэмжээг олоорой.
Сурагчдаар хэмжилт хийлгэж олуулна.
8
5
2 3
Тэмүүлэн
8
5
2
3
Дөлгөөн
Бодлогын өгүүлбэрийг дараах байдлаар өөрчлөн бодуулж болно.
Дугуй диаграммыг Тэмүүлэн 3, 8, 5, 2 дарааллаар, Дөлгөөн 5, 2, 8, 3 дарааллаар харгалзан
хөх, хүрэн, саарал, шар өнгийн секторууд ашиглан зуржээ. Хоёр диаграммыг давхарлан тавихад
давхцах ижил өнгүүд дугуйн хэдний хэдэн хэсгийг эзлэх вэ?
Хоёр диаграммыг “хойд” зүгээс нар зөв тойруулан байгуулсан нь харагдаж байна.
Цэнхэр секторүүдийн давхцал тойргийн 3
18
хэсгийг,
Бор секторүүдийн давхцал тойргийн 2
18
хэсгийг,
Саарал секторүүдийн давхцал тойргийн 5
18
хэсгийг,
Шар секторүүдийн давхцал тойргийн
2
18
хэсгийг тус тус эзэлж байгаа болохоор ижил
өнгүүдийн давхцал дугуйн 3
18
2
18
5
18
2
18
12
18
2
3
+ + + = = хэсгийг эзэлж байна.
Давхарлан тавихад давхцах ижил өнгүүдийн эзлэх хамгийн их, хамгийн бага боломжит
утгуудыг олуулбал сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлэх хүндэвтэр бодлого болно. Багш нар бодлого
бүрийг өргөтгөж, гүнзгийрүүлж болно, ингэснээр сурагчид нэг асуудлыг олон талаас нь харж
шийдвэрлэх арга барилд суралцана.

46. 46
2.7. Нэгж хичээлийн сэдэв: Тооны орон анги, тоог жиших, тоймлох
Хүрэх үр дүн:
Аравтын бутархайн орон ангийг нэрлэх, олон оронтой тоо болон аравтын бутархайг
жиших, эрэмбэлэх, тоймлох, урт, масс, эзлэхүүний нэгжийг шилжүүлэх чадвартай болно.
Түлхүүр үг: тооны стандарт бичлэг, өсөх ба буурах эрэмбэ, тоог тоймлох, багцаалах
Хэрэглэгдэхүүн: Тоон шулууны загвар, статистик тоо баримт, явцын үнэлгээний даалгавар
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг, чадвар Одоо эзэмших мэдлэг, чадвар
• Олон оронтой тоог жиших,
тоймлох
• Тоог 10, 100, 1000-аар
үржүүлэх, хуваах
• Аравтын бутархайг жиших
• Аравтын бутархайг бүхлээр
болон аравны, зууны хэсгээр
тоймлох
• Тооны стандарт бичлэг дэх цифрийн байршлын утгыг
тайлбарлах, бүхэл тоо ба аравтын бутархайг 0.1, 0.01, 0.001-
ээр үржүүлэх, хуваах
• Урт, хүнд, багтаамжийн хэмжээнүүдийг ижил нэгжид шил-
жүүлэх замаар аравтын бутархайг жиших, эрэмбэлэх
• Олон оронтой тоог 10, 100, 1000, 10000-таар тоймлох, аравтын
бутархайг бүхлээр болон аравны, зууны, мянганы хэсгээр
тоймлох
Үйл ажиллагаа.
1. Тоог жиших.
Сэдэлжүүлэх бодлогоор аравтын бутархайн орон ангийг нэрлэх, аравтын бутархай зохиох,
жиших, эрэмбэлэх чадварыг сэргээн бататгаж болно.
Тоон картуудыг ашиглан асуултад хариулаарай.
0 1 3 5 .
- Бутархай хэсэг нь 1 оронтой (2 оронтой) хамгийн бага аравтын бутархай зохиогоорой.
103.5 (10.35)
- Бутархай хэсэг нь 1 оронтой (2 оронтой) хамгийн их аравтын бутархай зохиогоорой.
530.1 (53.01)
- Бутархай хэсэг нь 3 оронтой хэчнээн янзын бутархай зохиож болох вэ? Үүссэн хамгийн их ба
хамгийн бага бутархайнуудын ялгаврыг олоорой.
- 1.035, 1.053, 1.305, 1.503, гэх мэт 2 бүхэл, 3 бүхэл, 5 бүхэлтэй тус бүр 4 нийт 16 бутархай,
мөн 0.135, 0.153, 0.315, 0.351, 0.513, 0.531 гэсэн 6 бутархай нийт 22 бутархай зохиож болно.
Эдгээрийн хамгийн их нь 5.301 хамгийн бага нь 0.135, ялгавар нь 5.301–0.315=4.986 болно.
- 35.01 бутархайг орон ангийн хүснэгтэд байрлуулж, тайлбарлаарай.
Бүхэл хэсэг Бутархай хэсэг
Аравтын орон Нэгжийн орон . Аравны хэсэг Зууны хэсэг Мянганы хэсэг
3 5 . 0 1 0
Сурах бичгийн Жишээ 1 ба 2-оор бүхэл тоо болон аравтын бутархайг 10, 100, 1000-аар
үржүүлэх, хуваах, 0.1, 0.01, 0.001-ээр үржүүлж, хуваахын харилцан хамаарлыг гаргаж, дүгнэлт
хийлгэж болно. Мөн литр ба миллитр, сантиметр ба метр, дициметр, миллиметрийн хоорондын
хамаарлыг сурагчдаар гаргуулж, өмнөх мэдлэгийг бататгана.
Бүхэл тоо болон аравтын бутархайг 0.1, 0.01, 0.001-ээр үржүүлэхэд нэгжийн орон зүүн тийш
харгалзан 1, 2, 3 орноор шилжинэ (өөрөөр хэлбэл өгсөн тоо 10, 100, 1000 дахин багасна), харин
0.1, 0.01, 0.001-эд хуваахад нэгжийн орон баруун тийш 1, 2 , 3 орноор шилжинэ (өөрөөр хэлбэл

47. 47
өгсөн тоо 10, 100, 1000 дахин ихэснэ). Сурах бичгийн Жишээ 2-оор авч үзье.
Бүхэл тоо болон аравтын бутархайг 0.1, 0.01, 0.001-ээр үржүүлэх буюу хуваахад орон хэрхэн
шилжиж байна вэ? Дүгнэлт хийгээрэй.
Бодолт: 546.7×0.1=54.6 546.7×0.01=5.467 546.7×0.001=0.5467
0.328×0.1=3.28 0.328×0.01=32.8 0.328×0.001=328
6, 3 гэсэн цифрүүд ямар орон руу шилжсэн байна вэ?
Мөн дараах асуултуудаар ярилцаж, сурагчдаар дүгнэлт гаргуулж болно.
• Их нэгжийг бага нэгж рүү хэрхэн шилжүүлэх вэ?
• Бага нэгжийг их нэгж рүү хэрхэн шилжүүлэх вэ? Хүндийн хэмжээн дээр жишээ гарган ярилцаарай.
Жишээ нь, 1.5 кг, 850 г, 0.04 т хэмжээнүүдийг ижил нэгж рүү шилжүүлэн жиших даалгавар өгч, дүгнэлт
гаргуулж болно. (эхлээд граммаар илэрхийлэх, дараа нь тонноор илэрхийлэх гэх мэт)
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Уртын харайлт
Эрэгтэйчүүдийн уртын харайлтын төрөлд оролцож, олимпийн наадамд эхний 8
байр эзэлсэн тамирчдын амжилтыг хүснэгтээр өгчээ.
а. 1-5 дугаар байрыг ямар улсууд эзэлсэн бэ?
б. Эдгээр 8 тамирчин дунджаар ямар амжилт үзүүлсэн бэ? Дундаж хэмжээг аравны хэсгээр
тоймлоорой.
в. Эдгээрээс хамгийн хол ба хамгийн ойр зайд харайсан тамирчдын амжилтын зөрөөг олж,
харьцуулаарай.
Бодолт.
а. 8.308, 8.258, 8.254, 8.217, 8.034
б. Нийлбэр нь 64.997м, арифметик дундаж нь 8.124625, хариугаа аравны хэсгээр тоймловол
8.1 м буюу эдгээр 8 тамирчин дунджаар 8.1м харайсан байна.
в. 8.308–7.935=0.373м≈0.4 м, эдгээр тамирчдын харайлтын зөрөө нь 0.4м буюу 40см-ийн
зөрөөтэй харайсан байна.
2. Тоог тоймлох.
Сэдэлжүүлэх даалгаврыг авч үзье.
Өгсөн мэдээллийг ашиглан асуултад хариулаарай.
Мал тооллогын 2014 оны эцсийн дүнгээр манай улсын нийт
малын тоо 52.0 саяд хүрсэн байна. Малын тоог 5 төрлөөр нь авч
үзвэл адуу 2995754, үхэр 3413851, тэмээ 349299, хонь 23214783,
ямаа 22008896 байна. www.1212.mn
• 52.0 сая гэдэг нь ойролцоо утга уу, жинхэнэ утга уу?
Таван хошуу малын тоог 10, 100, 1000-аар тоймлож, шалгаарай.
• Адууны тоог 10000-аар, 100000-аар тоймловол хэд болох вэ?
Бодох алхмаа төлөвлөх:
I алхам. Өгөгдлийг
хүснэгтэд оруулан, ангилна.
II алхам. Өгөгдөл тус
бүрийг 10, 100, 1000-аар
тоймлон хүснэгтийг нөхнө.
III алхам. Малын нийт тоог
хүснэгт ашиглан олно.
IV алхам. Олсон нийлбэрээ
52.0 сая гэсэн тоотой
харьцуулж, дүгнэлт хийнэ.
Асуудал шийдвэрлэхийн төлөвлөх үе шатны алхмын дагуу сурагчдыг ажиллуулж, хүснэгтийг
нөхүүлэн, дүгнэлт гаргуулж болно. Жишээ нь, өгөгдлүүдийг 1000-таар тоймлон нийлбэрийг олбол:
2996000+3414000+349000+23215000+22009000=51983000 буюу саяар тоймловол 52 сая болж

48. 48
байна. Иймд 52 сая гэдэг нь ойролцоо утга болж байна. Тоо, хэмжээний утгыг тоймлож үйлдлийг
гүйцэтгэн илэрхийллийн утгыг багцаалж, ойролцоогоор олж болно. Үүнийг сурах бичгийн 50
дугаар нүүрний Жишээ 4-өөр тайлбарласан.
Мөн тоон шулуун ашиглан бүхэл тоо болон аравтын бутархайг тоймлож болохыг Жишээ
5. б. -ээр харуулсан.
4.581
4.581
4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
4.5 4.51 4.52 4.53 4.54 4.55 4.56 4.57 4.58 4.59 4.6
а. 5 сурагчийн уртын харайлтын хэмжээг
тоймлон хүснэгтийг нөхөж, дүгнэлт
хийгээрэй.
б. 4.581 бутархайг тоон шулуун ашиглан
хэрхэнтоймложболохыгтайлбарлаарай.
А Б В Г Д
Харайлтын (м) хэмжээ 4.81 4.08 4.1 4.093 4.581
Зууны хэсгээр тоймлох 4.58
Аравны хэсгээр тоймлох 4.6
Бүхлээр тоймлох 5
Бодолт:
Тооншулуундээрээсхарахад4.581тоо4.6-дойрбайна,өөрөөрхэлбэлөгсөнтоогаравныхэсгээр
тоймлоход 4.6 гарна. Үүнтэй ижил аргаар тоон шулуун дээр тэмдэглэснийг харахад 4.581 тоо 4.58
тоонд ойр байна, иймд өгсөн тоог зууны хэсгээр тоймлоход 4.58 гарна. Хэрэв 4.581 тоог бүхлээр
тоймловол5гарахбаэнэньтооншулуундээрээсхарагдана.Бусадтоонуудыгсурагчдаартоймлуулна.
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
100 метрийн гүйлт
Олимпийн наадмын 100 метрийн гүйл-
тэд оролцсон 3 тамирчны тогтоосон
амжилт (хугацааг секундын зууны
хэсгээр тоймлон)-ыг хүснэгтээр өгчээ.
тоймлохын өмнө бутархай хэсэг нь 3
оронтой ямар тоонууд байж болох вэ?
Үзүүлсэн амжилт
Хамгийн бага ба
хамгийн их утга
USA 10.78
TTO 10.94
CIV 11.00
Бодолт:
Хүснэгтийг сурагчдаар нөхүүлж, дүгнэлт гаргуулна. Өгсөн тоонууд нь зууны хэсгээр тойм-
лосон утга гэдгийг анхаарна. Хариу: 10.775-10.784, 10.935-10.944, 10.995-11.004
Анхаарах зүйл.
Энэ нэгж хичээлийн хувьд өмнөх ангид үзсэн тоог жиших, эрэмбэлэх, тоймлох талаарх мэдлэг,
ойлголтыг сэргээн бататгаж, бодлого, дасгалуудаар өргөсгөн, гүнзгийрүүлэх, ахуй амьдралын
хэрэглээтэй холбоотой асуудал шийдвэрлэж чаддаг болгох нь чухал. Тухайлбал, бүхэл тоо болон
аравтын бутархайг 10, 100, 1000-аар үржүүлэх, хуваах, 0.1, 0.01, 0.001-ээр үржүүлж, хуваахын
харилцан хамаарлыг гаргах, түүнийг хэрэглэн хэмжигдэхүүний нэгж шилжүүлэх, бүхэл тоог
10000-т, 100000-т аар гэх мэт 10-ын зэрэгтүүдээр тоймлох, аравтын бутархайг тоймлох чадвар
эзэмшүүлэхэд анхаарна.
Нэмэлт мэдээлэл.
Тоог тоймлох дүрэм:
Хэрэв тоймлох гэж буй орны арын цифр 5-тай тэнцүү буюу их байвал тоймлох орны нэгжийг
1-ээр нэмэгдүүлэн, арын цифрүүдийг 0-ээр солино. Үүнийг тоог ихэсгэж тоймлох гэнэ.
Хэрэв тоймлох орны арын цифр 5-аас бага байвал, тоймлох орны нэгжийг хэвээр үлдээж,

49. 49
арын цифрүүдийг 0-ээр солино. Үүнийг тоог багасгаж тоймлох гэнэ.
Тоон илэрхийллийн утгыг ойролцоогоор олох хоёр арга байна.
I арга. Өгсөн тоонуудыг тоймлоод, дараа нь үйлдлийг гүйцэтгэх.
II арга. Үйлдлийг гүйцэтгээд, гарсан хариугаа гарсан хариугаа тохиромжтой нарийвчлалаар
тоймлох.
Жишээ нь, 73 ×197 үржвэрийн гишүүн тус бүрийг 10-таар тоймлоод үйлдлийг гүйцэт­
гэвэл: 70×200=14000, харин үйлдлийг гүйцэтгээд гарсан хариуг 1000-таар тоймловол
73×197=14381≈14000 болно. Яаж тоймлохоо бодлогын нөхцөлд тохируулан өөрсдөө сонгоно.
Явцын үнэлгээний жишиг даалгавар
Зорилго: Тооны орон ангийн талаарх ойлголтоо хэрэглэх, аравтын бутархайг тоон шулуун
дээр тэмдэглэх, аравтын бутархайг жиших, тоймлох.
Мэдлэг, ойлголт
1. Тоон картууд өгч аравтын бутархай үүсгэх, Жишээ нь, тоон картуудыг ашиглан хэчнээн янзын
аравтын бутархай үүсгэж болох вэ?
1 2 3 4 .
2. Тоон шулуун дээрх ? тэмдгийн оронд тохирох тоонуудыг олж:
а. Аравны хэсгээр б. Зууны хэсгээр в. Бүхлээр тус тус тоймлоорой.
3.1 3.2
? ? ?
2.42 2.5
? ? ?
3 4
? ?
Хэрэглээ, асуудал шийдвэрлэх
3. а.
Тоог өгсөн тоогоор үржүүлэх, хуваах (Тэгш өнцөгтийн зүүн дээд булангаас эхлэн цагийн
зүүний дагуу үйлдлийг гүйцэтгүүлж болно)
4.8
×1000
÷ 100
×0.001
÷ 0.01
×10
×0.1
б. Өгсөн тооны оронд өөр тоонууд орлуулж бодох
в. Өгсөн тоо болон хариу нь ямар хамааралтай байгаа талаар дүгнэлт гаргах
4. Сурагчдаар бодлого зохиолгох, Жишээ нь, Ангийн 10 эмэгтэй сурагчийн өндрийн хэмжээг
хүснэгтээр өгөв. Өгөгдлөөр бодлого зохиогоорой.
135 см 1.41 м 132 см 143 см 1.33 м
1.38 м 1.35 м 1.4 м 134 см 131 см
(Өндрөөр нь эрэмбэлэх, дундаж өндрийг олох, хамгийн өндөр ба хамгийн намхан сурагчийн
өндрийн зөрөөг олох гэх мэт бодлого зохиож болно).

50. 50
2.8. Нэгж хичээлийн сэдэв: Тэгшитгэл
Хүрэх үр дүн:
Бүхэл коэффициенттой хялбар шугаман тэгшитгэл зохиох, бодох алхмаа төлөвлөх,
тэнцэтгэлийн үндсэн чанарыг ойлгох, хэрэглэх, үр дүнг шалгах чадвартай болно.
Түлхүүр үг: Үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн, тэнцэтгэл, тэгшитгэл, шугаман тэгшитгэл
Хэрэглэгдэхүүн: Ажлын хуудас, явцын үнэлгээний даалгавар
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг, чадвар Одоо эзэмших мэдлэг, чадвар
• Алгебрийн илэрхийлэл, тэнцэтгэл гэсэн үгийн утгыг ойлгох
• Төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэх, хаалтан дахь илэрхийллийг
тогтмол тоогоор үржүүлэх, ерөнхий үржигдэхүүнийг
хаалтнаас гаргах замаар алгебрийн шугаман илэрхийллийг
хувиргах, хялбарчлах
• Алгебрийн илэрхийллийн тоон утгыг олох
• Тэгшитгэл гэсэн үгийн утгыг ойлгох
• Бүхэл тоон коэффициенттэй
(хувьсагчтай хэсэг нь тэнцэтгэлийн
тэмдгийн нэг талд нь, нөгөө талд нь
сул гишүүн байх) хялбар шугаман
тэгшитгэлийг зохиох, бодох
Үйл ажиллагаа:
1. Тэгшитгэл гэсэн үгийн утгыг ойлгох, тэгшитгэл зохиох, бодох.
Сурах бичгийн сэдэлжүүлэх бодлого, жишээ, дасгалаар асуудал дэвшүүлэн шийдвэрлүүлэх
замаар өмнөх мэдлэгийг сэргээн бататган, тэгшитгэлийн талаарх ойлголтыг өгч, тэгшитгэлийг
бодно гэдэг нь тэгшитгэл дэх мэдэгдэхгүй хэмжигдэхүүнийг олох үйл ажиллагаа юм гэсэн
дүгнэлтийг сурагчдаар хийлгэнэ.
Багш энэ нэгж хичээлийг заахдаа янз бүрийн бодлогоор сэдэлжүүлж болно. Сурах бичигт ямар
хэлбэрийн бодлогоор асуудал дэвшүүлэн сэдэлжүүлж болох, мөн x+b=c, ax=c (энд a, b, c-бүхэл
тоо) хэлбэрийн бүхэл коэффициенттэй хялбар шугаман тэгшитгэлийн шийдийг жинлүүртэй
бодлогоор асуудал дэвшүүлэн тэнцэтгэлийн чанарыг ашиглан олж болох нэг хувилбарыг санал
болгосон. Энэ хувилбарын гол санааг танилцуулъя.
Жишээ 1. Жинлүүрийн нэг талд тус бүр нь 2кг жинтэй гурван жижиг биет, 1кг жинтэй нэг
бөөрөнхий биет, жин нь мэдэгдэхгүй нэг том дөрвөлжин биет, харин нөгөө талд нь тус бүр нь 3кг
жинтэй хоёр гурвалжин биет, 2кг жинтэй хоёр жижиг дөрвөлжин биет, тус бүр нь 1кг жинтэй хоёр
бөөрөнхий биет тавихад жинлүүр тэнцвэрийн байдалд байсан бол дараах асуултад хариулаарай.
• Том хайрцагны жинг хэрхэн олох вэ?
Бодолт.
Асуудлыг дараах байдлаар шийдвэрлэж болох юм.
I.
Өгсөн нөхцөлийн талаар сурагчидтай ярилцана. Энэ шатанд сурагчдын алгебрийн
илэрхийлэл, тэнцэтгэл, түүний чанарын талаарх өмнөх мэдлэгийг сэргээх, сурагчдаар дэвшүүлсэн
асуудлыг шийдвэрлэх боломжийн талаар эрэл хайгуул хийлгэхэд (туршилт хийлгэж болно) багш
голчлон анхаарна. Ярилцлагын зорилго нь шийдэх асуудлаа ойлгох, хэрхэн шийдэх арга замыг
тодруулахад оршино.
II.
Асуудлыг шийдвэрлэх төлөвлөгөө. Ярилцлагын явцад сурагчид дараах дүгнэлтэд хүрсэн
байх ёстой. Үүнд:
• Жинлүүр тэнцвэртэй байна гэдэг нь түүний хоёр тал дахь биетүүдийн жин тэнцүү байна
гэсэн үг юм.
• Иймд жинлүүрийн хоёр талаас ижил жинтэй биетүүд авбал үлдэх хэсгүүдийн жин мөн
ижил байх учраас тэнцвэрийн байдал алдагдахгүй.
• Жинлүүрийн нэг талд жин нь мэдэгдэхгүй том хайрцаг л үлдсэн байхаар хоёр талаас нь
ижил жинтэй биетүүдийг авбал том хайрцагны жин жинлүүрийн нөгөө талд нь үлдэх
биетүүдийн жингийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

51. 51
III. Төлөвлөгөөг хэрэгжүүлэх. Энэ шатанд багш дээрх төлөвлөгөөг хэрэгжүүлэх ямар арга
зам байж болох талаар сурагчидтай ярилцаж, тэдний саналыг сайтар сонсох нь зүйтэй юм. Энэ
нь сурагчдад асуудлыг шийдвэрлэх математик арга барил төлөвших сайн талтай. Энэ удаад багш
том хайрцагны жинг олох алгебрийн арга руу сурагчдыг чиглүүлэх хэрэгтэй. Сурагчдад том
хайрцагны мэдэгдэхгүй байгаа жинг ямар нэг дүрсээр эсвэл үсгээр тэмдэглэхийг санал болгоно.
Дараа нь дээрх төлөвлөгөөний дагуу том хайрцагны жинг олуулж, зөв олсон эсэхийг шалгуулна.
Энэ асуудлыг шийдэх явцад сурагчид тэгшитгэл, хувьсагч, үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн зэрэг
ойлголтууд болон тэгшитгэлийг бодох үйл ажиллагааны талаар анхны төсөөлөлтэй болсон байхаас
гадна x+7=12 нь нэг хувьсагчтай хялбар шугаман тэгшитгэл гэдгийг таньдаг, ийм хэлбэрийн
тэгшитгэлийг алгебрийн аргаар боддог болсон байх ёстой.
Сурах бичигт жишээ 2-4-ийн бодолтыг хийсэн байгаа хэдий ч багш аль болохоор бодолтын
учрыг сурагчдаар өөрсдөөр нь олуулах, бодуулахыг эрмэлзэх хэрэгтэй. Жишээ 1-4-өөр ax+b=c
хэлбэрийн хувьсагч нь тэнцүүгийн тэмдгийн нэг талдаа байх бүхэл коэффициенттэй хялбар
шугаман тэгшитгэлийг бодох аргыг өгсөн байгаа. Энэ нэгж хичээлийн төгсгөлд сурагчдаар
ax+b=c хэлбэрийн шугаман тэгшитгэлийн шийдийг олохдоо урвуу үйлдлийг хэрхэн ашиглаж
байгаа талаар дүгнэлт хийлгэхэд анхаарах хэрэгтэй.
2. Өгсөн мэдээллийг ашиглан тэгшитгэл зохиох, бодох.
Энэ хичээлийн нэг гол зорилго нь сурагчдад шугаман тэгшитгэл бодох чадвараа ашиглан ахуй,
амьдралын янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэдэг арга барил төлөвшүүлэх явдал юм. Энэ утгаар
сурах бичигт математик загвар нь хувьсагч нь тэнцэтгэлийн тэмдгийн нэг талдаа байх шугаман
тэгшитгэл байдаг практик агуулгатай бодлогуудыг оруулж өгсөн. Багш сурагчидтай хамтран
эдгээр бодлогоос ядаж нэгийг нь асуудал шийдвэрлэх алхмуудын дагуу бодохыг зөвлөж байна.
Эцэст нь тэмдэглэхэд сурагчдын ялгаатай байдлыг харгалзан математикт сонирхолтой, ам-
жилттай сурдаг сурагчдад зориулан цөөн тооны хүндэвтэр болон зарим нэг талаар асуудал
шийдвэрлэх хандлагатай бодлого оруулж өгсөн.
Ноолуурын хэмжээг тооцоолох
Тоо, толгой
Нэг ямааны ноолуурын гарц
(граммаар)
Самнасан ноолуур
(граммаар)
Шүдлэн ямаа ∆−180
Эм ямаа +50 ∆
Эр ямаа +10 ∆+200
Бүгд 270 84400
Хүснэгтийг гүйцээж, нөхөөрэй.
Тайлбар:
1. а. Өгсөн мэдээлэл дээр ярилцах
б. Шүдлэн ямааны тоог x гэж тэмдэглэвэл 3x+60=270 болно. Эндээс x =270. Иймд 70
шүдлэн ямаа, 120 эм ямаа, 80 эр ямаатай байжээ.
в. Эм ямааны ноолуурын гарцыг x гэж тэмдэглээд 270x+3400=84400 тэгшитгэл зохиож
болно. Эндээс x =300. Иймд шүдлэн ямаа, эм ямаа, эр ямааны ноолуурын гарц харгалзан
120г, 300г, 500г байжээ.
Сурагчдаар төстэй бодлого зохиолгон ярилцуулж болно.
Нэг жилд ням гараг хамгийн олондоо хэдэн удаа таарч болох вэ?
Эхлээд бодох аргын талаар ярилцах,
365=52×7+1,366=52×7+2
гэдгээс сурагчдаар өөрсдөөр нь дүгнэлт хийлгэнэ.

52. 52
Нэмэлт мэдээлэл, анхаарах зүйл:
Энэ нэгж хичээлээр тэгшитгэл гэсэн ухагдахуун болон тэгшитгэл бодох гэсэн ойлголт
шинээр орж байгаа тул багш шинэ мэдлэгийг сурагчдын өмнөх мэдлэг туршлагыг харгалзан
бодит амьдралын жишээ бодлогоор дамжуулан өгөхийг эрмэлзэх хэрэгтэй. Сурагчид энэ сэдвийг
7 дугаар ангид үргэлжлүүлэн судлах учраас энэ удаад “үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн агуулсан
тэнцэтгэлийг тэгшитгэл гэнэ. Үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг олохыг тэгшитгэл бодох гэнэ” гэсэн
байдлаар шинэ ухагдахуун, ойлголтоо өгөхөөр төлөвлөсөн.
• Хялбар бодлого дасгал гүйцэтгэх замаар сурагчдад тэгшитгэл ба алгебрийн илэрхийлэл
гэсэн ойлголтуудын ялгааг таниулахад анхаарна.
• Энд үл мэдэгдэгч нь зөвхөн нэг талдаа байх, ax=b, ax+b=c, a(x+b)=c хэлбэрийн бүхэл
коэффициенттэй нэг хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлүүдийг л бодно.
• Тэгшитгэлийг тэнцэтгэлийн чанарууд ашиглан бодохоос гадна бага ангид үзсэн арифме­
тикийн аргуудаар бодох тухай давтана. Жишээ нь 6÷x=2 тэгшитгэлийг x=6÷ 2, x=3 гэж
боддогийг сэргээн сануулна.
• Тэгшитгэл олон үсэгтэй, ө.х олон үл мэдэгдэгчтэй байж болох тухай үзүүлж болно. Жишээ
нь: “Хуралд эрэгтэй эмэгтэй нийт 100 хүн оролцжээ. Хэдэн эрэгтэй хэдэн эмэгтэй оролцсон
бэ?.” гэсэн бодлого x+y=100 тэгшитгэлийн бүх натурал тоон шийдүүдийг олох бодлогод
шилждэг ба бүх шийдийг нь яаж олох тухай тайлбарлаад, ийм тэгшитгэлүүдийн тухай
дээших ангиудад үзнэ гэдгийг дурьдаж болох юм.
• Дараах байдлаар тэгшитгэлийг үгээр болон үсэг тэмдэгт ашиглан бичүүлэх нь тэгшитгэл
зохиож сурах алхам болно.
Үгээр Үсэг ба тэмдэгтээр
Хасах аравтай тэнцүү тоо x=–10
Өгсөн тоон дээр хоёрыг нэмбэл найм гарна x+2=8
Өгсөн тоо ба долоогийн ялгавар хасах гуравтай тэнцүү x–7=–3
Өгсөн тоог хоёроор үржүүлж нэгийг хасвал арван долоо гарна 2x–1=17
Арван хоёр нь өгсөн тоо ба гурвын үржвэртэй тэнцүү 12=3x
Өгсөн тооны хагас нь хорьтой тэнцүү x×½=20 эсвэл ½x=20
Өгсөн тоог хоёр дахин авч хасаад гурвыг нэмбэл уг тоо өөрөө гарна x=2x+(–3)
• Тэгшитгэл зохиож өгүүлбэртэй бодлого бодохдоо асуудал шийдвэрлэх үе шатын дагуу
ажил­
лаж болно. Тухайлбал:
1. Асуудлыг ойлгох. Мэдэгдэж байгаа болоод мэдэгдэхгүй байгаа зүйлсийг ялгах
2. Төлөвлөх. Математик хэлээр илэрхийлэх. Шийдэх аргаа төлөвлөх. Ө.х. тэгшитгэл зохиох,
түүнийгээ яаж бодохоо төлөвлөнө.
3. Төлөвлөгөөг хэрэгжүүлэх. Тэгшитгэлээ бодох.
4. Дүгнэлт, шалгах, сайжруулах. Хариуг шалгах.
Явцын үнэлгээний жишиг даалгавар
Зорилго: Хялбар шугаман тэгшитгэл зохиох, бодох.
Мэдлэг, ойлголт
1. Санасан тоог 3-аар үржиж, 7-г нэмэхэд 37 гарчээ. Санасан тоог олоорой.
2. 3(2x+5)=27 тэгшитгэлийг бодоорой.
? 50
×3 ×2
–5
3. Үйлдлийг гүйцэтгэж тохирох тоог олоорой.

53. 53
Хэрэглээ, асуудал шийдвэрлэх
4. а. Дараах дүрсийн талбайг олох илэрхийлэл бичээрэй.
б. x=2 үед дүрсийн талбайг олоорой.
в. Энэ дүрсийн талбай 42см.кв-тай тэнцүү бол x=?
x
2см
1см
3см
5см
5. Нэг нь нөгөөгөөсөө 2 дахин их хурдтай хоёр машин хоорондоо 180км зайтай хоёр хотоос
нэгэн зэрэг угталцан гарч 3 цаг яваад зөржээ.
а. Машин тус бүрийн хурдыг олоорой.
б. Хэдэн цагийн дараа тэдний хоорондох зай 60км болох вэ?
6. Загварын дагуу бодлого зохиож бодоорой.
а.
Нэг бүрийн үнэ /төг./ Тоо, хэмжээ Нийт үнэ /төг./
Нимгэн дэвтэр 700 ∆
Запас бал 500 ∆+2
Харандаа 300 ∆–2
Бүгд 4500
б.
Тоо, ширхэг Нэг бүрийн үнэ/төг. Нийт үнэ /төг.
Харандаа 3 ∆
Үзгэн бал 5 ∆+500
Бүгд 6500
Сэтгэлгээг хөгжүүлэх
7*. Өгсөн мэдээллийг ашиглан хүснэгтийг нөхөөрэй. Ижил дүрс ижил тоо байна.
а.
9
8
12
б. 25
30
21
= ____
= ____
= ____

54. 54
2.9. Нэгж хичээлийн сэдэв: Олон өнцөгт.
Хүрэх үр дүн:
Гурвалжин, дөрвөн өнцөгт, олон өнцөгтийн тал, өнцгийн чанаруудыг тогтоох, дүрсүүдийг ял-
гаатай болон ижил төстэй шинж чанаруудаар нь ангилах, асуудал шийдвэрлэх чадвартай болно.
Түлхүүр үг: Гурвалжин, квадрат, тэгш өнцөгт, параллелограмм, ромбо, траïец, тэгш өнцөгт
гурвалжин, катет, гипотенуз
Хэрэглэгдэхүүн: 9 цэгийн геосамбар, сэтгэхүй хөгжүүлэх даалгавар, Бинго, Долоодой, “Би хэн
бэ?” тоглоомын заавар
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг, чадвар Одоо эзэмших мэдлэг, чадвар
• Гурвалжыг тал ба өнцгөөр нь ангилах,
дөрвөн өнцөгтийг хялбар шинжүүдээр
нь ангилах
• Гурвалжин, дөрвөн өнцөгт, 5, 6, 8 талтай зөв олон
өнцөгтүүдийн тал, өнцгийн чанаруудыг тогтоох, хялбар
асуудал шийдвэрлэх
Үйл ажиллагаа:
1. Гурвалжны тэнцэтгэл бишийг ойлгох, хэрэглэх
Дараах бодлогуудаар сэдэлжүүлж болно.
1. Сурах бичгийн бодлого.
Нэгэн харамч хаан газар хүсэж ирсэн иргэддээ 10, 20, 40
алд урттай тал бүхий гурвалжин хэлбэртэй газар авахыг
зөвшөөрдөг байжээ.
Иргэдийн авах газрыг 10мм, 20мм, 40мм талуудтай гурвалжнаар төсөөлөн зурж үзье.
10мм 20мм
40мм
10мм
20мм
40мм
1
0
м
м
2
0
м
м
40мм
а. Яагаад гурвалжин үүсэхгүй байна вэ?
б. Гурвалжин үүсгэхийн тулд талууд ямар хамааралтай байх хэрэгтэй вэ?
Яагаад гурвалжны талуудыг дээрх
хэмжээгээр өгсөн бол?
2. Улаанбаатар хотоос Эрдэнэт хот руу аль замаар явбал
богино зам туулах вэ?
3. Сурагчдад ялгаатай урт бүхий савхууд өгнө. Уг савхуудаар
гурвалжин дүрс үүсгэх даалгавар өгнө. Савхнууд нь
гурвалжин дүрс үүсгэх, үүсгэхгүй байхаар гурвалуудыг
сонгоно. Гурвалжин үүсгэсний дараа зарим нь яагаад гурвалжин үүсгэж болохгүй байгаа
талаар ярилцана.
Дадлага ажил: ABC гурвалжны AB=5см, BC=6см бол АС талын
хамгийн их ба хамгийн бага бүхэл утгыг олоорой.
I алхам: 5 см ба 6 см урттай хоёр савх бэлтгэж, хөдлөх боломжтойгоор
холбоорой.
Эрдэнэт
Дархан
Улаанбаатар
6см
5см
B
A C

55. 55
II алхам: Шугамын тэгтэй А цэгийг давхцуулан зурагт
үзүүлснээр байрлуулаарай.
III алхам: В цэгийг шугамын чиглэлд шилжүүлэхэд 11см,
С цэгийг шугамын дагуу шилжүүлэхэд 1см болоход гурвалжин
шулуун шугам болж байна.
IV алхам: Эндээс гурвалжны АС тал нь АВ+BC-аас бага, BC-AB-
аас их утга авах нь харагдаж байна. Иймд АС хамгийн их бүхэл утга
10см, хамгийн бага утга 2см байна.
Баталгаа: Гурвалжны тэнцэтгэл бишийн баталгааг сурагчдаар
хийлгэж болно.
A
B
C
a b
n H m
c
a>n
b>m
a+b>n+m=c
2. Гурвалжин ба дөрвөн өнцөгтийн шинж чанарыг ойлгох, хэрэглэх
Бинго тоглоом:
Зорилго: Дөрвөн өнцөгт, гурвалжинтай холбоотой өмнөх мэдлэгийг сэргээх, явцын үнэлгээ
хийх, сэдэлжүүлэх.
3×3 хүснэгт өгч, дотор нь гурвалжин, дөрвөн өнцөгтүүд, олон өнцөгт гэх мэт янз бүрийн
геометрийн дүрсүүдээс есөн ширхэгийг зуруулна.
Багш сурагчдаас дүрсүүдийн шинж чанарыг асууж, уг шинж
чанарыг хангасан дүрсүүдийг сурагчид олж, дарах замаар бүх дүрсээ
олж дууссан сурагч “бинго” гэж хэлээд, гараа өргөнө.
Хүснэгтийн тоог нэмэх, дүрсийг нэмэх замаар сурагчдын ялгаатай
байдал, цаг хугацааг харгалзан тооцож үзнэ.
Багшийн асуух асуулт:
• Бүх тал нь тэнцүү дүрс, эсрэг талууд нь хос, хосоороо параллель
дүрс, гурван оройтой дүрс, бүх өнцөг нь тэгш дүрс, оройгүй дүрс,
тэгш хэмийн нэг тэнхлэгтэй ... гэх мэт дүрсийн шинж чанарыг
асууж ярилцана.
Энэ нь сурагчдыг дүрсийн шинж чанарын талаарх ойлголтоо бататгах, сэргээх, сэдэлжүүлэх
ач холбогдолтой.
Анхаарах зүйл.
Өмнө нь бага ангид дүрсүүдийг нэрлэх, дүрсийн тал, орой, өнцөг зэрэг зарим хялбар шинж
чанарыг судалсан тул түүнийг нь сэргээн сануулахыг анхаарах хэрэгтэй. “Бинго” тоглох даалгавар
нь зарим шинж чанарыг нь сэргээж байгаа ба түүн дээр нэмэн сурагчтайгаа ярилцах, хэлэлцүүлэг
хийх аргуудыг ашиглаж болно.
Сурагчдад хийх, бодох, хоорондоо санал солилцох цаг, боломж олгохдоо анхаарч ажиллана.
Дадлага ажил (Дүрсийн шинж чанар)
Янз бүрийн хэлбэр хэмжээ бүхий дөрвөн өнцөгт дүрсүүдийг сурагчдад өгнө.
Каррол, Веннийн диаграммыг дүрсийн янз бүрийн шинж чанараар ангилж болохоор өгнө.
Карролын диаграмм гэдэг нь дүрсийг хоёр буюу түүнээс дээш шинжээр нь хүснэгтэд ангилж,
ялгаж бичих арга юм.
Ашиглах материал: Гурвалжны тэнцэтгэл бишийг гаргах дадлага ажилд дараах сайтыг
ашиглаж болно. http://www.mathopenref.com/triangleinequality.html
3: Сурагчдыг сэдэлжүүлэх, өмнөх мэдлэгийг сэргээх, сэтгэхүйг хөгжүүлэх зорилгоор мэддэг
6см
?см
5см
B
A C
6см
5см
B
A C
6см
5см
B
A C

56. 56
гурвалжин, дөрвөн өнцөгт үүсгэх энэ дадлага ажлыг хийлгээрэй. Нийлбэр нь:
1. 10 оноо байх хоёр дүрсээр гурвалжин үүсгээрэй.
2. 9 оноо байх хоёр дүрсээр гурвалжин үүсгээрэй.
3. 10 оноо байх хоёр дүрсээр трапец үүсгээрэй.
4. 12 оноо байх гурван дүрсээр трапец үүсгээрэй.
5. 16 оноо байх гурван дүрсээр квадрат үүсгээрэй.
6. 15 оноо байх гурван дүрсээр параллелограмм үүсгээрэй.
7. 14 оноо байх дөрвөн дүрсээр квадрат үүсгээрэй.
8. 18 оноо байх дөрвөн дүрсээр тэгш өнцөгт үүсгээрэй.
9. 20 оноо байх дөрвөн дүрсээр квадрат үүсгээрэй.
10. 25 оноо байх таван дүрсээр параллелограмм үүсгээрэй.
11. 25 оноо байх таван дүрсээр трапец үүсгээрэй.
12. 25 оноо байх таван дүрсээр тэгш өнцөгт үүсгээрэй.
Зарим хариу:
4. Сурагчдын бүтээлч сэтгэхүйг хөгжүүлэх
“Долоодой” тоглоом ашиглан дараах дүрсүүдийг эвлүүлж болно.
Бодлого. Есөн цэгийн геосамбар дээр дөрвөн цэг тэмдэглэж, холбох замаар боломжит бүх
ялгаатай дөрвөн өнцөгтүүд үүсгээрэй.
а.Үүссэн дөрвөн өнцөгтийг гүдгэр ба гүдгэр бишээр нь ялгаарай.
б. Дөрвөн өнцөгтүүдийн талбайг тооцоолоорой.
Энэ даалгаврыг дөрвөн өнцөгт хичээлд сэдэлжүүлэлтээр ашиглаж болно. Энэ даалгаварыг
хийлгэх явцдаа багш дүрс, түүний ангилал (хотгор, гүдгэр, зөв, зөв биш ... гэх мэт), талбай,
периметр зэрэг ойлголтуудыг сурагчдаар гаргуулах, хамтран бүтээх боломжтой сурагчдын
бүтээлч сэтгэхүйг хөгжүүлэхэд ач холбогдолтой даалгавар болно.
Сурагчдын ялгаатай байдлыг харгалзаж үзэх:
Мөн энэ даалгавар нь сурагчдын ялгаатай байдалд тохирсон даалгавар бөгөөд сурагчид өөр
өөрийн мэддэг дөрвөн өнцөгтийг зурах, нэрлэх, шинж
чанарыг нь гаргах боломжтой.
Жишээлбэл: Зарим сурагчид зурагт үзүүлсэн хялбар
дөрвөн өнцөгтүүд болох квадрат, тэгш өнцөгт дүрсийн
зурах, талбайг олж болох юм.
Мөн зарим сурагчид зөв биш, гүдгэр
биш дүрсүүдийг зурах, талбайг нь тооцоолж
болно.
3 оноо 7 оноо
4 оноо
2 оноо 6 оноо
8 оноо
5 оноо

57. 57
Хариу: Ялгаатай дөрвөн өнцөгтүүд
б. Дөрвөн өнцөгтүүдийн талбайг тооцохдоо нэг талтай квадратыг нэгж квадрат гэж үзээд
тооцоолол хийлгээрэй.
Анхаарах зүйл.
Багш та сурагч бүрээр дадлага ажлыг нэг бүрчлэн хийлгэхэд чиглэн туслаж ажиллаарай.
Дадлага ажлыг сурагчид хийх явцдаа геометрийн өмнөх мэдлэгээ сэргээх, багаж хэрэглэгдэхүүн
хэрэглэж, сурах арга барилд суралцах, идэвхтэй үйл ажиллагаа хийх тул сонирхолтой байна.
- Зарим дадлага ажлыг хосоор нь хамтран гүйцэтгүүлж болно.
- Дадлага ажил гүйцэтгэхэд цаг их алдана гэж битгий орхиорой.
- Мөн дадлага ажил хийх явцад сурагчдад ойлгомжгүй, хийж чадахгүй хүндрэл тохиолдож
байвал багш та самбарт зарим алхмыг нь хийх, асуултаар чиглүүлэх, сэргээн сануулах
мэтээр удирдан ажиллана.
- Дадлага ажлын үр дүнд бид юу олж нээв, ямар дүгнэлт хийж болох талаар үргэлж
сурагчидтайгаа ярилцаж байгаарай. Үр дүнд томьёо, тодорхойлолт, теором, чанар гэх мэт
чухал ойлголтуудыг эзэмшинэ.
Даалгавруудын бодолт.
ABCD трапецийнхувьдAB =9см,BC=6см,CD=8см,AD=12см
байв.
AC диагоналийн авч болох бүхэл тоон утгуудыг олоорой.
Бодолт: Гурвалжны тэнцэтгэл биш ёсоор:
АВС гурвалжны хувьд АС талын авч болох утгууд: 3<AC<15, мөн АС нь диагональ учир АВ
талаас их байна. Иймд 9<AB<15 болно.
ADC гурвалжны хувьд AC талын авч болох утгууд: 4<АС<20 байна. Эндээс хоёр гурвалжны
хувьд зэрэг биелэх 9<АС<15 бүхэл тоонууд нь хариу болно.
Хариу: 10, 11, 12, 13, 14
Гурвалжны гурван тал натурал тоогоор илэрхийлэгдэх ба тэдний нийлбэр нь 10см бол
хэчнээн ялгаатай гурвалжин байхыг олоорой.
Бодолт: Гурвалжны тэнцэтгэл бишийг хангахаар нийлбэр нь 10 байх гуравтуудыг олох. Хариу
(4,4,2); (3,4,3). Энэ бодлогыг нийлбэр нь 15, 20 байх гэх мэт хүндрүүлж сурагчдын ялгаатай
байдалд тохируулан өөрчилж болно.
Явцын үнэлгээний жишиг даалгавар
1. Дүрсийн шинж чанар, нэр, дүрслэлийг сурагчид хэрхэн ойлгож байгааг “би хэн вэ?”
тоглоомыг ашиглаж үнэлгээ хийж болно.
а. Хүснэгтийг тараан өгч дүрслэл болон нэрийг бичүүлэн авч, дүгнэж болно.

58. 58
б. Сурагчид хосоороо ажиллаж, нэг дүрсийн шинж чанарыг асууж нөгөө сурагч хариулах
аргаар бие биеэ үнлэж болно.
2. “Би хэн бэ” тоглоомын өөр нэг хувилбар.
Наадаг цаас ашиглан цаас бүр дээр нэг дүрс зурна. Өөрт нь ямар дүрс ногдож байгааг
харагдуулахгүйгээр багийн ахлагч дүрсийг сурагч нэг бүрийн духанд нь наана. Сурагч өөр
дээр нь наасан дүрсийг ямар дүрс болохыг тогтоох зорилгоор ангийхнаасаа асуулт асууна.
Бусад сурагчид асуултад “тийм”, “үгүй” гэсэн хоёр хариулт өгнө. Асуулт хэр оновчтой
тавьж байгаа, бу­
сад сурагчид зөв хариулж байгаа эсэхийг багш хөндлөнгөөс ажиглан явцын
үнэлгээ хийж болно. Дараах хүснэгтийг багийн дунд тарааж өгнө.
Шинж чанар Дүрс Нэр
Би дөрвөн талтай.
Эсрэг орших нэг хос тал нь параллель.
Би хэн вэ?
Би дөрвөн талтай.
Би тэнцүү өнцөггүй, тэнцүү талгүй.
Тэгш хэмийн тэнхлэггүй.
Би хэн вэ?
Би дөрвөн талтай.
Миний эсрэг талууд параллель.
Бүх дөрвөн тал тэнцүү.
Би дөрвөн тэгш өнцөгттэй.
Би хэн вэ?
Би гурван талтай.
Миний нэг өнцөг 90о
.
Миний хоёр талын урт тэнцүү.
Миний хоёр өнцөг тэнцүү
Би хэн вэ?
Би дөрвөн талтай.
Миний эсрэг талууд параллель ба тэнцүү урттай.
Би тэгш өнцөггүй.
Би хэн вэ?
Би дөрвөн талтай.
Миний эсрэг талууд параллель.
Бүх дөрвөн тал тэнцүү.
Би тэгш өнцөггүй.
Би хэн вэ?
Би гурван талтай.
Миний бүх талууд тэнцүү биш урттай.
Миний нэг өнцөг тэгш
Би хэн вэ?
Би дөрвөн талтай.
Миний зэрэгцээ орших талууд тэнцүү.
Би параллель талгүй.
Би тэгш хэмийн нэг тэнхлэгтэй.
Би хэн вэ?
Би дөрвөн талтай.
Миний эсрэг талууд параллель ба тэнцүү
Би дөрвөн тэгш өнцөгтэй.
Миний зэрэгцээ орших талууд тэнцүү биш.
Би хэн вэ?

59. 59
2.10. Нэгж хичээлийн сэдэв: Тэгш өнцөгт гурвалжин, тойрог дугуй
Хүрэх үр дүн
Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг таних, нэрлэх, тэгш өнцөгт гурвалжныг зурах, гортиг
ашиглан тойрог, дугуй байгуулах, элементүүдийг нэрлэх чадвартай болно.
Түлхүүр үг: Катет, гипотенуз, тойрог, дугуй, төв, радиус, диаметр, хөвч
Хэрэглэгдэхүүн: Дадлага ажлын заавар, гортиг, шугам
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг, чадвар Одоо эзэмших мэдлэг, чадвар
• Гурвалжныг өнцөг ба талаар нь ангилах,
нэрлэх
• Тойрог, дугуйн талаар төсөөлөлтэй болох
• Гурвалжны тэнцэтгэл бишийг ойлгох,
хэрэглэх
• Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг таних, нэрлэх,
тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн зарим
чанарыг гаргах
• Гортиг ашиглан тойрог, дугуй байгуулах,
элементүүдийг нэрлэх, тойрог ашиглан хээ
зурах, будах
Үйл ажиллагаа:
1. Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг таних, нэрлэх
Сурах бичгийн дадлага ажлыг сурагчдаар гүйцэтгүүлэх явцад тэгш өнцөгт гурвалжны катет,
гипотенузын уртыг жишүүлнэ.
Дадлага ажил: Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын уртыг жиших
а. Хуудас цаасан дээр тэгш өнцөгт
гурвалжин зураад, хайчилна.
б. Зурагт үзүүлснээр хоёр талыг нь
эсрэг орших тал дээр нугалж,
тэмдэглэнэ.
А B
C
K А B
C
K M
Заавар, санамж: Өмнөх ангиудад үзсэн гурвалжны ангиллыг сануулж, сурагчид гурвалжин
шугам ашиглан дурын байрлалтай болон дурын хэмжээтэй тэгш өнцөгт гурвалжин зурж
тэмдэглэнэ. Энэхүү дадлага ажлыг ангиараа гүйцэтгэхэд олон янзын байрлал болон хэмжээтэй
тэгш өнцөгт гурвалжнууд зурж, тэдгээр дээр нугалаас гүйцэтгэсэн байгаа. Иймд хүүхэд бүрийн
нугалаас дээр АМ<AB ба ВÊ<AB тэнцэтгэл биш биелж байна гэдгийг онцлон шалгуулах хэрэгтэй.
Хүүхэд бүрийн нугалаасыг ажиглаад, нэгтгэн дүгнэвэл:
“Тэгш өнцөгт гурвалжны аль ч хурц өнцгийн эсрэг орших тал нь тэгш өнцгийн эсрэг орших
талаас ямагт богино байдаг” гэсэн дүгнэлтэд хүрнэ.
Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын оноосон нэрийг катет ба гипотенуз гэж танилцуулсны дараа
“Тэгш өнцөгт гурвалжны êатет бүр нь ямагт гиïотенузээс богино байна” гэсэн дүгнэлт
гаргуулна.
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Энэхүү асуудал шийдвэрлэх даалгаврын хүрэх үр дүн нь бидний сайн мэддэг “Тэгш өнцөгт
гурвалжны 300
-ийн эсрэг орших êатет нь гиïотенузын хагастай тэнцүү байна” гэсэн чанарын
урвуу бодлого нь буюу “Тэгш өнцөгт гурвалжны êатет нь гиïотенузын хагастай тэнцүү бол энэ
êатетын эсрэг орших өнцөг нь 30o
байна” гэсэн дүгнэлт гаргуулах бодлого юм.

60. 60
Гипотенуз ба катетын харьцаа
I. Хурц өнцөг нь 30о
байх тэгш өнцөгт гурвалжин өгөгджээ.
Өгсөн гурвалжныг их катетын хувьд тэгш хэмтэй хувиргаарай.
а. Үүссэн том гурвалжны хэлбэрийг тодорхойлоорой.
б. Өгсөн тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба бага катетын харьцааг тодорхойлоорой.
в. Энэ харьцаа өгсөн гурвалжны гипотенуз болон катетын уртаас хамаарах уу?
II. Бага катет нь гипотенузынхаа хагастай тэнцүү байх тэгш өнцөгт гурвалжин өгөгджээ.
Өгсөн гурвалжныг урт катетын хувьд тэгш хэмтэй хувиргаарай.
а. Үүссэн том гурвалжны хэлбэрийг тодорхойлоорой.
б. Өгсөн тэгш өнцөгт гурвалжны өнцгүүдийг тодорхойлоорой.
в. Өгсөн тэгш өнцөгт гурвалжны өнцгүүд нь гипотенуз болон катетын уртаас хамаарах уу?
Дээрх бодлогыг сурагчид эзэмшсэн мэдлэг чадвар дээрээ тулгуурлан шийдвэрлэх бүрэн
чадвартай болсон ба сурагчдаар асуудал шийдвэрлэх даалгаврыг гүйцэтгүүлээд дүгнэлт болгон
томьёолуулахад анхаарна.
I а. алхмын үр дүнд өмнөх даалгаваруудаар гаргасан дүгнэлт ёсоор адил хажуут гурвалжин
үүсэх ба орой дахь өнцөг нь 30o
+30o
=60o
байх тул энэ нь зөв гурвалжин болно.
Иймд дараах алхмуудын дагуу гарах дүгнэлт нь сурагчдад ойлгомжтой.
II а. алхмын үр дүнд өмнөх бодлого ёсоор адил хажуут гурвалжин үүсэх ба хажуу тал нь
суурьтай тэнцүү байх тул энэ нь мөн зөв гурвалжин болно.
Иймд дараах алхмуудын дагуу гарах дүгнэлт нь сурагчдад ойлгомжтой.
2. Тойрог ба дугуйг таних, хэрэглэх.
Бага ангид тойрог, дугуйн төсөөлөлтэй болсон бөгөөд VI ангийн хувьд өргөтгөн хавтгайн
цэгүүдийн олонлог гэсэн тодорхойлолт орж байна. Үүнийг анхааран үйл ажиллагаа болон дадлага
ажлыг боловсрууллаа. Багш та эдгээрээс гарах дүгнэлтэд анхааран чиглүүлэх үйл ажиллагаа,
дөхүүлэх асуултуудаа бэлтгэнэ биз ээ.
Монгол Улсад циркийн урлаг
1939 оноос үүсчээ.
Олон улсын стандартаар
циркийн манежны диаметр нь
13м байдаг.
Сурах бичгийн сэдэлжүүлэх зураг, мэдээлэл болон асуултын дагуу (багш та өөрөө энэ сэдвийн
хүрээнд илүү оновчтой сэдэлжүүлэлт, зураг, мэдээлэл болон нэмэлт асуулт бэлдэж болно)
ярилцсаны үр дүнд тойрог, дугуй, тойргийн төв болон төвөөс ижил зайд орших цэгүүд, хоорондын
зай нь хамгийн урт байх 2 цэг гэсэн үг хэллэг болоод үндсэн нэршлүүдтэй танилцана.
Нэмэлт сэдэлжүүлэлтийн жишээ:
• Аргамжаатай адуу идээшилж хоноход гадас дээр төвтэй дугуй хэсгийн өвсийг идэж чадна.
• Тойрог хэлбэрийн услалтын систем бүхий тариан талбайн жишээ гаргах гэх мэт.

61. 61
Дадлага ажил: Өгсөн цэгээс ижил зайд орших цэгүүдийг олох
а. Хавтгайд О цэг тэмдэглэнэ.
б. Шугам ашиглан О цэгийн хоёр талд тус бүр 2см зайд орших 2 цэг
тэмдэглэнэ.
в. Өмнөх алхмын дагуу а. 8 б. 16 в. 32 цэг тэмдэглэнэ.
г. Ингэж тэмдэглэгдэх цэгийн тоог олшруулсаар ямар үр дүнд хүрэх талаар дүгнэлт гаргана.
О
Дадлага ажлын зорилго: Алхмын дагуу гүйцэтгэснээр:
- Хавтгайд нэг цэгээс өгсөн ижил зайд орших цэгүүдийг тэмдэглэж сурна.
- Цэгийн тоог ойрхон зайд олныг тэмдэглэхэд ямар муруй дүрслэгдэхийг гаргана.
- Хавтгайн цэгийн геометр байр гэсэн ойлголтын төсөөлөлтэй болно.
Заавар, санамж: Сурагч энэ дадлага ажлыг гүйцэтгэх явцад:
- Өгсөн заавар, алхмыг ойлгож байгаа эсэх
- Харандаагаар цэгүүдийг нэгэн жигд зөв тэмдэглэж байгаа эсэх
- 2 цэгийн хоорондох зайг шугамаар алдаагүй зөв хэмжиж байгаа эсэх
- Мэдэгдэж буй зүй тогтол, дүрмийн дагуу нэг үйлдлийг олон удаа давтан гүйцэтгэхдээ
алдаа гаргаж байгаа эсэх зэрэгт багш та анхаарч, шаардлагатай зөвлөгөө өгнө үү. Энэ бүх
үйл ажиллагаа нь геометр байгуулалт, дүрсийг өгсөн нөхцөлөөр нь зургаар дүрслэх зэрэг
геометрт суралцах сурах арга барил болохыг анхаарна уу.
Эдгээр үйл ажиллагааны дараа тойрог ба дугуй, тэдгээрийн элементүүдийн тодорхойлолтыг
гаргаж ирэх боломж бүрдэж байна. Багш та сурах бичгийн сэдэлжүүлэлт, дадлага ажлаас гадна
өөрийн боловсруулсан сэдэлжүүлэлт, дадлага ажил болоод асуултыг ашиглаж байвал нэн сайн
бөгөөд гол зорилго нь сурагчдыг үнэлэхэд бус өөрсдөөр нь тухайн сэдвийн онцлог шинжийг
гаргуулахад өөрийн үйл ажиллагааг анхаарч, чиглүүлж байх явдал чухал юм.
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Хээ бүтээх
Тойрог ашиглан хээ үүсгэв. Хээ үүсгэх
байгуулалтын эхний алхмуудыг ажиглаарай.
Өгсөн хээг үргэлжлүүлэн зурж,
өнгөөр ялган будаарай.
Тойрог дугуйг байгуулах чадвар эзэмшсэн сурагчдын хувьд:
- Тодорхой зүй тогтлоор тойрог, дугуй байгуулах, будах, хээ үүсгэх.
- Өгсөн хээг ямар зүй тогтлоор тойрог дугуй зурж, будан үүсгэсэн болохыг тогтоон хээ
үүсгэх гэсэн 2 үндсэн асуудал шийдвэрлэх чадвартай болсон байна.
Багш та ийм тойрог ба түүний хэсгүүдээр зурагдах хээ олж сургалтад ашиглавал сурагчдад
сонирхолтой бас үр дүнтэй.
Даалгавруудын тайлбар, бодолт.
Дээрх дадлага ажлын үр дүнгээс хүүхэд бүр АМ+ВÊ>АВ гэсэн тэнцэтгэл биш биелэхийг
шалгах боломжтой болно. Учир нь АВ хэрчим дээр АМ ба ВÊ хэрчмүүд орших бөгөөд тус
бүрийг нь өөр өнгөөр ялган зурвал 2 өнгө давхарлан зурагдах хэсэг буюу тэдний ерөнхий
хэрчим нь ÊМ хэрчим болно.

62. 62
Эндээс “Тэгш өнцөгт гурвалжны 2 êатетын нийлбэр гиïотенузээс урт байна” гэсэн дүгнэлт
гаргаж болно. Энэ нь тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд гурвалжны тэнцэтгэл биш биелдэг болохыг
харуулж байна.
39 дүгээр бодлогын зурагт өгсөн 3 гурвалжны болон өөрсдөө дураар янз бүрээр зурсан
тэгш өнцөгт гурвалжны талын урт, өнцгийг хэмжүүлээд тэгш өнцөгт гурвалжны байрлал,
хэлбэр янз бүр байх тухай ярилцах, мөн их өнцгийн эсрэг их тал, бага өнцгийн эсрэг бага
тал оршино гэсэн дүгнэлтийг сурагчдаар гаргуулна. Үүний дараагаар “êатетууд нь тэнцүү
буюу адил хажуут тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгүүд ялгаатай хэмжээтэй байж
болох уу?” гэсэн асуулт асууж хэрэв эдгээр өнцгүүд ялгаатай хэмжээтэй бол харгалзан
тэдгээрийн эсрэг орших катетууд ялгаатай урттай болж өгсөн нөхцөлтэй зөрчилдөх тул хурц
өнцгүүд тэнцүү хэмжээтэй байна гэсэн хариултыг сурагчдаар гаргуулахад үйл ажиллагаа
болон дөхүүлэх асуултаа чиглүүлнэ. Энэ бүгдийг нэгтгэвэл “Адил хажуут тэгш өнцөгт
гурвалжны êатетууд нь тэнцүү урттай байна. Адил хажуут тэгш өнцөгт гурвалжны
хурц өнцгүүд нь 45o
байна.” гэсэн дүгнэлтэд хүрнэ.
Яг ийм шийдэл, аргачлалыг бусад хэлбэрийн гурвалжнууд дээр ч хэрэглэх боломжтой.
Нугалаас гүйцэтгээд гарсан үр дүнг харж дүгнэлт гаргах болон дүгнэлтээ математик хэлээр
илэрхийлэх, нотлох үндэслэх чадварууд эзэмшүүлж, дараах дүгнэлтүүдийг гаргуулна.
а. Íугалаасаар давхцаж байгаа хэрчмүүд тэнцүү урттай байна.
б. Íугалаасаар давхцаж байгаа өнцгүүд тэнцүү хэмжээтэй байна.
Эдгээр бодлогуудаас:
“Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгүүд нь тэнцүү байвал уг гурвалжин нь адил хажуут тэгш
өнцөгт гурвалжин байна.”
“Тэгш өнцөгт адил хажуут гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос гарсан өндөр нь гиïотенузын
дундаж цэгийг дайрна.”
“Тэгш өнцөгт адил хажуут гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос гарсан өндөр нь тэгш өнцгийг
хагаслан хуваана.” зэрэг дүгнэлтүүд гаргуулахыг зорих хэрэгтэй.
Өмнөх ангид эзэмшсэн тэгш хэмийн хувиргалт хийх чадвар дээр тулгуурлан тэгш өнцөгт
гурвалжныг гурван талын хувьд тус тус тэгш хэмтэйгээр хувиргана.
Сурагч бүр тэгш хэмийн хувиргалтыг гүйцэтгээд, гарсан үр дүнгийн талаар ярилцана.
“Êатетуудын хувьд тэгш хэмээр хувиргасан бол өгсөн гурвалжин болон хувиргалтаар
үүссэн дүр гурвалжнууд нь хамтдаа адил хажуут гурвалжин, гиïотенузын хувьд тэгш хэмээр
хувиргасан бол дөрвөн өнцөгт үүсэх ба адил хажуут тэгш өнцөгт гурвалжныг тэгш хэмээр
хувиргасан бол êвадрат үүснэ” гэсэн дүгнэлт гаргахад багш та өөрийн үйл ажиллагаа, дөхүүлэх
асуулт, зөвлөмжөө чиглүүлнэ үү.
Дээрх бодлогуудыг асуудал шийдвэрлэх үе шатын дагуу гүйцэтгэж болно.
Тойрог, дугуй сэдвийн дасгал даалгавар нь тойрог дугуй, тэдгээрийн элементийг таних,
тэмдэглэх нэрлэх хөнгөн дасгалаас эхлээд байгуулалт хийх, тойрог дугуй ашиглан хээ дүрс үүсгэх
хүртэл өргөссөн болно.
Жишээ бодлогоор, өгсөн радиустай тойрог байгуулах үндсэн алхмуудтай танилцаж байгаа
бөгөөд геометрийн зурах байгуулах ажлын үндсэн багажууд болох хуваарьтай шугам, гортиг
хэрэглэх дадал, чадвар эзэмших юм.

63. 63
Тойрог байгуулах үндсэн алхмуудыг ашиглан өгсөн радиустай, өгсөн диаметртэй тойрог
байгуулах дадал, чадвар эзэмшүүлэх зорилготой юм. Харин тойрог болоод уг тойргоор
хүрээлэгдсэн дугуйг ялган таних, дүрслэхэд анхаарна уу.
Зураг дүрслэлээс тойргийн радиус ба диаметрийг өгсөн нөхцөлөөс тооцоолон олох чадвар
буюу зураг унших гэсэн геометрт суралцах нэг чадварыг эзэмшүүлэхэд зорьсон бодлого.
Өгсөн нөхцөлөөр тойрог, дугуй байгуулах дадал, чадвар эзэмшүүлэхэд анхаарсан дасгалууд
юм.
Сурах бичигт зай талбайн хэмжээ хязгаарлагдмал байгаа тул дасгал бодлогын хэлбэр бүрийг
оруулж, танилцуулахад анхаарсан бөгөөд багш та хичээлийн цаг дээр өөрөө боловсруулсан эсвэл
ийм төрлийн бодлого бүхий ном, сонинг ашиглан, хэлбэр бүрийн бодлого дасгалаар баяжуулах
зайлшгүй шаардлагатай юм.
Анхаарах зүйл.
Энэ нэгж хичээлээр дадлага ажил хийх, бодлого бодох явцад сурагчдыг тэгш өнцөгт
гурвалжин, тойрог, дугуй зурах арга барил эзэмшүүлэхэд анхаарна. Эдгээр чадварууд нь цаашид
7-9 дүгээр ангид геометрийн шинэ мэдлэг, ойлголт эзэмшихэд суурь болох юм. Геометрийн
хичээлд хэрэглэгдэх багаж, хэрэгслийг сурагчид тогтмол авч явах шаардлагатай.
Нэмэлт мэдээлэл
VI ангид сурагчид тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг ялгаж таних, нэрлэх, тэгш өнцөгт
гурвалжныг ангилах болон өгсөн нөхцөлөөр зурж, тал өнцгийг тэмдэглэж нэрлэх чадвар эзэмшинэ.
Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай, тал өнцгийн хамаарал зэрэг ойлголтуудыг дараагийн ангиудад
өргөсгөсөн байдлаар тухай бүрд нь судална гэдгийг анхаарна уу.
Тодорхойлолт: Хавтгайн өгсөн цэгээс өгсөн зайд орших хавтгайн бүх цэгийн олонлогийг
тойрог гэнэ.
Тодорхойлолт: Хавтгайн өгсөн цэгээс өгсөн зайнаас хэтрэхгүй зайд орших хавтгайн бүх
цэгийн олонлогийг дугуй гэнэ.
Энэ ангийн сурагчид тойрог ба дугуйг таних, тодорхойлолтыг гаргах, тойргийн төв, радиус,
диаметр,хөвчнумгэсэнэлементүүдтэйтанилцажтойрогдугуйгөгсөннөхцөлөөрзурж,элементийг
тэмдэглэж нэрлэх чадвар эзэмшинэ. Тойргийн урт, дугуйн талбай болон төв өнцөг, багтсан өнцөг
зэрэг ойлголтуудыг дараагийн ангиудад өргөсгөн судлана.
Тойрог ба дугуйг таних, хэрэглэх сэдвийн хүрээнд сурагчдаар тойрог ба дугуйн ижил шинж
чанар болоод ялгаатай шинж чанарыг ойлгуулахад анхаарах ёстой.
Жишээлбэл тойрог ба дугуйн хувьд:
- төв, радиус, диаметр гэсэн элементүүдтэй байх нь ижил чанар байна.
- тойрог нь дугуйг хүрээлдэг дүрс, дугуй бол хавтгайн нэг хэсэг болсон дүрс болохоор
тойрогт талбай гэж байхгүй, дугуйд талбай гэж байдаг нь ялгаатай чанар нь юм.
Тойрог ба дугуйн хэрэглээ нь: Өгсөн нөхцөл, зүй тогтлоор тойрог дугуй зурж будах замаар хээ
зурах, дүрслэх юм.

64. 64
2.11. Ээлжит хичээлийн сэдэв: Биетүүд, түүний шинж чанарыг
тодорхойлох
Хүрэх үр дүн:
Биетүүдийг (призм, пирамид, цилиндр, конус, бөмбөрцөг) таних, зурах, ижил төстэй болон
ялгаатай шинжээр нь ангилах, талс, ирмэг, оройн тоог нь олж харьцуулах, дүгнэлт хийх.
Түлхүүр үг: Призм, пирамид, цилиндр, конус, бөмбөрцөг, бөмбөлөг
Хэрэглэгдэхүүн: Дадлага ажлын заавар, биетүүдийн загвар, изометр цаас
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг, чадвар Одоо эзэмших мэдлэг, чадвар
• Бөмбөрцөг, олон өнцөгт призм, цилиндр,
пирамид, конусыг таних, зурах,
• Биетийг дэлгээсээр нь таних, биетийн
дэлгээсийг хийх,
• Призм, пирамидын орой, ирмэг, талсын тоог олох,
цилиндр, конус, бөмбөрцгийг таних, нэрлэх, зурах,
эдгээр биетүүдийн шинж чанарыг нь мэдэх
Үйл ажиллагаа.
1. Биетүүдийг нэрлэх, ирмэг, орой, талсын тоог олох
Геометрийн 3 хэмжээст биетүүдийг бага ангид таних, заримыг нь зурах, дэлгээсийг нь хийж
чаддаг болсон. Сурах бичгийн даалгавар ажиллуулж, мэдлэг чадварыг бататгана.
Биетүүдийн нэр, ирмэг, орой, талсын тоог олж, цэг ба -ийн оронд нөхөж бичээрэй.
Куб
Орой
Ирмэг
Талс
...
Орой
Ирмэг
Талс 6
...
Орой
Ирмэг 9
Талс
Пирамид
Орой
Ирмэг
Талс
Конус
Орой 1
Ирмэг 0
Талс 2
...
Орой
Ирмэг 0
Талс
Бөмбөрцөг
Орой 0
Ирмэг 0
Талс 0
2. Биетүүдийг ижил болон ялгаатай шинжээр нь хүснэгтэд ангилж бичих
Сурах бичгийн даалгавар ажиллах явцад бага ангид үзсэн мэдлэгийг сэргээн бататгана.
Тохирох биетийн нэрийг хүснэгтэд бичээд, зураарай.
Шинж чанар Суурь нь гурвалжин Суурь нь квадрат Суурь нь зөв 5 өнцөгт
Хажуу талс нь гурвалжин
Хажуу талс нь тэгш өнцөгт
Жишээ нь, суурь нь квадрат, хажуу талс нь гурвалжин байх биет нь дөрвөлжин пирамид юм.
Дээрх хүснэгт нь биетийг хоёр үндсэн шинжээр нь ангилах Карролын арга юм.
Мөн конус, цилиндрийн хувьд ижил болон ялгаатай шинжийг нь сурагчдаар гаргуулна.
Эдгээр нь ирмэггүй, оройгүй гэдгээрээ ижил байж болох юм, харин цилиндр дээд, доод 2
суурьтай, пирамид 1 суурьтай, цилиндрийн хажуу талс нь тэгш өнцөгт, пирамидын хажуу талс нь
дугуйн хэсэг гэх мэт шинжүүдээрээ ялгаатай байна.
Бөмбөлөг болон бөмбөрцгийн тодорхойлолт өгөөгүй боловч, сурагчидтай ярилцах замаар
эдгээрийн шинж чанаруудыг гаргуулж, анхны ойлголтыг өгнө.

65. 65
3. Сурагчдын огторгуйн төсөөлөл, сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлэх
Сурах бичгийн даалгавруудыг ажиллах явцад сурагчдын орон зайн төсөөлөл, сэтгэн бодох
чадварыг хөгжүүлнэ.
Хүү 6 ширхэг кубийг хооронд нь нийлүүлж биетийн загвар
хийжээ. Тэрээр загварын хажуу талсуудыг цэнхэр өнгөөр будаж,
кубийн дээд, доод суурийн талсуудыг будалгүй үлдээсэн байна.
а. Загварт зөвхөн 2 талс нь будагдсан хэдэн куб байх вэ?
б. Гурван талс нь будагдсан хэдэн куб байх вэ?
в. Хэрэв кубийн ирмэг 6см бол загварын будсан хэсгийн
гадаргуун талбайг олоорой.
5×5×5 хэмжээтэй кубийн гадна талсуудыг цэнхэр өнгөөр будаж,
зурагт үзүүлсний дагуу тэнцүү хэсгүүдэд хуваажээ. Нийт хэдэн
ширхэг шоо үүссэн бэ?
а. Зөвхөн нэг талс нь будагдсан жижиг шоо хэд байх вэ?
б. Зөвхөн 2 талс нь будагдсан жижиг шоо хэд байх вэ?
в. Гурван талс нь будагдсан жижиг шоо хэд байх вэ? гэдгийг тус тус
олоорой.
Бодолт: 58*. а. Зөвхөн 2 талс нь будагдсан 4 куб байна. б. Гурван талс нь будагдсан 2 куб
байна. в. Загварын будсан хэсэг нь нийт 14 талсаас тогтож байна, нэг талс буюу квадратын талбай
36см2
учир, нийт талсуудын талбай 14×36=504см2
болно.
Бодолт: 59*. 125 ширхэг жижиг шоо үүснэ. а. Зөвхөн нэг талс нь будагдсан хэсэг нь
3×3× буюу 54 ширхэг, 6 талс бүр дээр 9 ширхэг байна. б. Зөвхөн 2 талс нь будагдсан
3×12=36 ширхэг байна. 12 ирмэг тус бүр дээр 3 байна. в. Гурван талс нь будагдсан 8
орой дээр орших 8 шоо байна. Огт будагдаагүй 3×3×3=27 шоо байна. Эдгээрийг нэмбэл
54+36+8+27=125 байна.
Октаэдрыг дэлгээсээр нь бүтээх даалгаврын өөр нэг дэлгээсийг үзүүллээ.
Зөв олон талст бүтээх
Өгсөн дэлгээсийг ашиглан
дараах биетийг (октаэдр)
бүтээгээрэй. (Бүх ирмэгүүд
нь тэнцүү, бүх талсууд нь зөв
гурвалжин байна). Энэ биетийн
бусад дэлгээсийг олж зураарай.
Биетийг дэлгээсээр нь бүтээх явцдаа түүний шинж чанаруудыг ойлгож, мэдлэгээ бататгах
боломжтой. Дадлага ажлын зааврыг багш тусад нь өгч болно. Үүнд дэлгээсээ илүү гарган
хайчилж, наах зай үлдээхийг сурагчдад анхааруулна. Сурагчдаар одтаэдрын бусад дэлгээсийг
зуруулж болно. Мөн дараах асуултын дагуу сурагчдаар дүгнэлт гаруулж болно.
- Октаэдр хэдэн ирмэг, хэдэн орой, хэдэн талстай вэ?
- Талсууд нь ямар дүрс вэ?

66. 66
2.12. Нэгж хичээлийн сэдэв: Хугацаа
Хүрэх үр дүн
Урт, хүнд, хугацааг хэмжих багаж, хэрэгслийн хуваарь унших, хуваалтыг тайлбарлах;
нэгж шилжүүлэх агуулгатай асуудал шийдвэрлэх, хариуг тохиромжтой аргаар тоймлох
чадвартай болно.
Түлхүүр үг: 12 цагийн систем, 24 цагийн систем, цагийн хуваарь, дэлхийн цагийн бүс
Хэрэглэгдэхүүн: Дэлхийн цагийн бүсийн зураг
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг, чадвар Одоо эзэмших мэдлэг, чадвар
• Дэлхийн цагийн ялгаатай бүс дэх
цаг хугацааг мэдэх, үргэлжлэх
хугацааг тооцоолоход цагийн
хуваарь, цаг тооны бичгийг
хэрэглэх;
• Хугацааг хэмжих, хугацааны нэгжүүдийн хамаарлыг мэдэх,
12 ба 24 цагийн систем, цагийн хуваарийг ойлгох, тайлбар-
лах, хэрэглэх, үйл явдлын үргэлжлэх болон завсарлах хугацааг
тооцоолох,дэлхийнцагийнбүсийгхэрэглэх,асуудалшийдвэрлэх
• Аналог ба дижитал хэмжих багажийн хуваарийг ойлгох,
унших, хэрэглэх
Үйл ажиллагаа.
1. Хугацааг хэмжих, хугацааны нэгжүүдийн хамаарлыг мэдэх
Сурах бичгийн сэдэлжүүлэх:
“Агар зандан мод нь
Арван хоёр салаатай
Арван хоёр салаа нь
Ãурван зуун жаран таван боргоцойтой
Боргоцой бүр нь 24 самартай” Тэр юу вэ?
1жил = … сар
1сар = … өдөр
1өдөр = … цаг
1цаг = … минут
1минут = … секунд
гэсэн оньсогоор өмнөх мэдлэгийг сэргээн бататгах үйл ажиллагаа явуулж болно.
Хариулт: жил, сар, өдөр, цаг
2. 12 ба 24 цагийн систем, цагийн хуваарийг ойлгох, тайлбарлах, хэрэглэх, үйл явдлын
үргэлжлэх болон завсарлах хугацааг тооцоолох
Бага ангид 12 ба 24 цагийн систем, цагийн хуваарийн талаар ойлголттой болсон. VI ангид 12
цагийн системд өгсөн цагийг 24 цагийн системд шилжүүлэх, 24 цагийн системд өгсөн цагийг
12 цагийн системд шилжүүлэх, үйл явдлын үргэлжлэх болон завсарлах хугацааг тооцоолох,
цагийн хүснэгтийн дутууг гүйцээх зэрэг өмнөх мэдлэг, чадварыг бататган, төрөл бүрийн асуудал
шийдвэрлэхэд анхаарна.
Сурах бичгийн Жишээ 5.-аар 12 ба 24 цагийн системийн тухай ойлголтоо бататгана.
а. Эдгээр цагууд хэдэн цагийг зааж байна вэ?
б. Ижил цаг зааж байгаа цагууд байна уу? Тайлбарлаарай.
в. Аналог болон дижитал цаг юугаараа ялгаатай вэ? Ярилцаарай.
Зурагт аналог болон дижитал цаг өгчээ. Зураг ашиглан асуултад хариулаарай.

67. 67
Бодолт:
• Цагуудыг ангилах
• Адил цаг зааж байгаа цаг байгаа эсэхийг тогтоох
• Яагаад адил гэж үзэж байна учрыг нь тайлбарлах.
• Аналог (механик) цаг нь 12 цагийн системд цагийг дүрсэлдэг. Харин дижитал цаг нь 24
цагийн системд цагийг дүрслэх боломжтой. Жишээ нь, аналог цаг дээрх 1 цаг 45 минут нь
24 цагийн системийн 13 цаг 45 минутыг зааж байна. Харин дижитал цаг дээрх 23 цаг 45
минут нь 24 цагийн системд цагийг дүрсэлж байна.
• Эдгээр цагаас хоёр цаг нь ижил (04:30) цаг зааж байна.
• 12 цагийн системд өгсөн цагийг 24 цагийн системд хэрхэн шилжүүлэх вэ?
• 24 цагийн системд өгсөн цагийг 12 цагийн системд хэрхэн шилжүүлэх вэ? Жишээ гаргаж,
тайлбарлаарай.
Дүгнэлт.
Аналог цаг 12 цагийн системд, дижитал цаг 24 цагийн системд бүтээгдсэн юм байна.
12 цагийн системийг 24 цагийн системд шилжүүлэхдээ өгсөн цаг дээр 12-ыг нэмнэ, харин
урвуугаар 24 цагийн системд өгсөн цагийг 12 цагийн системд шилжүүлэхдээ 12-ыг хасна.
Жишээ нь, 12 цагийн системд өгсөн оройн 5 цаг нь 24 цагийн системд 17 цаг болно.
3. Дэлхийн цагийн бүсийг ойлгох, хэрэглэх.
Сурах бичгийн сэдэлжүүлэх бодлогоор асуудал дэвшүүлэн шийдвэрлүүлэх замаар дэлхийн
цагийн бүсийн талаарх ойлголтоо бататгаж болох юм.
Цагийн бүсийг Англи
улсын Гринвичийн
одон орны оргилоос
эхлэн тоолдог. Монгол
улсын нийслэлийн цаг
Гринвичийн цагаас 8
цагаар түрүүлж байдаг.
Шинэ жилийг дараах улсуудаас аль нь хамгийн түрүүнд тэмдэглэдэг
вэ? Эдгээр улсуудыг шинэ он угтах дарааллаар нь дараалуулан
бичээрэй.
Монгол Ямайка Англи
Шинэ Зеланд Мадагаскар Бразил
Асуултын дагуу гүйцэтгээрэй.
а. Эдгээр улс тус бүр цагийн хэддүгээр бүсэд орших вэ?
б. Дэлхийн цагийн бүсийн зурагт эдгээр улсууд ямар дарааллаар
байрлах вэ?
Бодолт:
а. Дэлхийн цагийн бүсийн зургийг ашиглан дээрх улсуудыг цагийн хэддүгээр бүсэд оршиж
байна вэ? гэдгийг олъё.
Монгол улс 6-8 дугаар цагийн бүсэд, Ямайка нь цагийн 20 дугаар бүс буюу Гринвичийн
цагаас баруун зүгт -5 дугаар бүсэд оршдог.
Англи улс нь цагийн бүсийн голдоч дээр буюу 0 цагийн бүсэд оршдог.
Шинэ Зеланд цагийн 12 дугаар бүсэд, Бразил 21-23 буюу -2-5 дугаар бүсэд байна.
б. Иймд шинэ оныг эхлээд Англид, дараа нь Монгол, дараа нь Шинэ Зеланд, Ямайка, Бразил
гэсэн дарааллаар угтана.
анхаарах зүйл.
Өмнөх ангиудад цагийн хуваарийг уншдаг, ойлгодог, үргэлжлэх хугацааг олж чаддаг болсон.
Эдгээрчадварыгбататганахуйамьдралдахьбодитмэдээлэлдээртулгуурланасуудалшийдвэрлэхэд
анхаарна. Орон нутгийн галт тэрэгний хуваарь, онгоцны нислэгийн хуваарь гэх мэт бодит жишээ
ашиглан асуудал шийдвэрлэх нь чухал.

68. 68
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Утсаар ярих
Гэр бүлийнхэн шинэ жилээ хамт угтахын тулд утсаар ярих болжээ. Гэвч энэ гэр бүлийн өвөө,
эмээ нь Улаанбаатарт, охин нь Нью-Éоркт, хүү нь Лондонд, аав, ээж хоёр нь Японд амьдардаг
бол тэдний утсаар ярих тохиромжтой цагууд нь хэдээс хэдийн хооронд байж болох вэ?
Улаанбаатарын цагаар шөнийн 12 цаг болж байхад эдгээр хотуудад тухайн орон нутгийн цагаар
хэдэн цаг болж байх вэ? Цагийг олж, бичээрэй.
Эмээ, өвөө
24:00
Хүү
04:00
Охин
12:00
Аав, ээж
01:00
Бодолт:
Эхлээд эдгээр хотууд цагийн хэддүгээр бүсэд оршихыг олно.
Улаанбаатар хот цагийн 8 дугаар бүсэд, Нью-Иорк 20 дугаар бүсэд,Лондон 0 дүгээр бүс, Япон
9 дүгээр бүсэд оршиж байна. Иймд Улаанбаатарт шөнийн 12 цаг болж байхад Токиод шөнийн 1
цаг, Англид үүрийн 4 цаг, Нью-Иорк-т өдрийн 12 цаг болж байна. Иймд Улаанбаатарын цагаар
шөнийн 12 цагаас 13 цагийн хооронд ярьвал тохиромжтой байна.
Нэмэлт мэдээлэл.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ad/Standard_time_zones_of_the_world.png
Энэ сайт руу орж, дэлхийн цагийн бүсийн илүү дэлгэрэнгүй зургийг татаж авч болно.
Дэлхий тэнхлэгээ 24 цагт нэг удаа эргэхэд түүний гадарга дээрх цэг бүр 15°-ийн шилжилт
хийдэг. Энэ нь уртрагаар 15°-ийн ялгаатай цэгүүд хугацааны хувьд нэг цагийн ялгаатай байна
гэсэн үг. Дэлхийн газар нутгийг 24 цагаар уртрагийн дагуу хувааж, улс бүрийн цагийг өөр улстай
харьцуулах аргыг цагийн бүс гэнэ. Цагийн бүс нь Английн Гринвичийн одон орон судлалын төвөөс
эхлэн зүүн зүгт (газрын зургийг урдаас нь харж байгаа тохиолдолд баруун гар тийш) тоологддог.
Зэргэлдээ орших цагийн бүс тус бүр нэг цагийн зөрөөтэй байдаг. Зүүн гар талд орших цагийн бүс
нь 1 цагаар хоцорч, баруун гар талд орши х цагийн бүс нь 1 цагаар түрүүлж байдаг. Монгол улсын
нийслэл Улаанбаатар хот Гринвичийн цагаас 8 цагаар түрүүлж цагаа тоолдог.
Даалгавруудын бодолт.
Улаанбаатар-Замын-Үүд чиглэлийн галт тэрэгний хуваарийг хүснэгтээр өгчээ. Асуултын
дагуу ярилцаарай. Галт тэрэг:
Зогсолттой өртөө Ирэх цаг Явах цаг
Улаанбаатар --:-- 17:20
Багахангай 19:33 19:35
Чойр 21:45 22:05
Сайншанд 01:45 02:20
Замын-Үүд 07:07 --:--
http://www.ubtz.mn/
а. Улаанбаатараас Багахангай хүртэл ямар хугацаа зарцуулах вэ?
б. Багахангай, Чойр, Сайншанд хотуудад ямар хугацаагаар зогсолт хийх вэ?
в. Улаанбаатараас Чойр хүртэл, Улаанбаатараас Замын-Үүд хүртэл явахад тус бүр ямар
хугацаа зарцуулах вэ?
Бодолт:
а. Улаанбаатараас Багахангай хүртэл 19.33–17.20=2 цаг 13 мин зарцуулсан.
б. Багахангайд 2мин, Чойрт 20мин, Сайншандад 35 минут зогсолт хийж байна.
в. Улаанбаатараас Чойр хүртэл 21.45–17.20=4 цаг 25 минут, Улаанбаатараас Замын-Үүд
хүртэл 07.07–17.20=13 цаг 47 минут зарцуулж байна.

69. 69
Дэлхийн цагийн бүсийн зургийг ашиглан асуултад хариулаарай.
а. Монгол улс цагийн хэддүгээр бүсэд оршдог вэ?
б. Улаанбаатарт 15 цаг болж байхад Лондонд орон нутгийн цагаар хэдэн цаг болж байх вэ?
в. Лондонд 23 цаг болж байхад Улаанбаатарт орон нутгийн цагаар хэдэн цаг болж байх вэ?
г. Улаанбаатарт шөнийн 12 цаг болж байхад Ховдод орон нутгийн цагаар хэдэн цаг болж
байх вэ?
д. Хамгийн олон улс орон багтсан цагийн бүс нь аль вэ?
Бодолт:
67. а. Монгол улс 6, 7, 8 дугаар бүсэд оршино.
б. Улаанбаатарт 15 цаг болж байхад Лондонд 15–8=7 өглөөний 7 цаг болж байна.
в. Лондонд 23 цаг болж байхад Улаанбаатарт өглөөний 7 цаг болж байна.
г. Улаанбаатарт шөнийн 12 цаг болж байхад Ховдод Улаанбаатарын цагаар шөнийн 11
цаг болж байна.
д. Дэлхийн цагийн бүсийн зураг ашиглан хамгийн олон улс багтсан цагийн бүсүүдийг
олж болно.
Лондонд өглөөний 10:00 цаг болж байна. Дараах хотуудад тухайн орон нутгийн цагаар
хэдэн цаг болж байгааг олж, бичээрэй.
чиКаГО ПариС ТОКиО УЛааНБааТар
Бодолт:
70. Эхлээд дээрх хотууд цагийн хэддүгээр бүсэд оршиж байгааг олно.
Чикаго 19 дүгээр бүсэд, Парис 0 дугаар бүс буюу голдоч дээр, Токио 9 дүгээр бүсэд,
Улаанбаатар 8 дугаар бүсэд оршиж байна. Иймд Парист өглөөний 10 цаг, Улаанбаатарт
оройн 18 цаг, Токиод оройн 19 цаг, Чикагод өглөөний 5 цаг тус тус болж байна.
Явцын үнэлгээний жишиг даалгавар
1. 10а; 10б чиглэлийн автобусны явах цагийн хувааарь өгөгджээ. Цагийн хуваарийг ашиглан
хүснэгтийн дутууг гүйцээгээрэй.
Чиглэл
Буудал
10a 10б 10a 10б 10a
Сургууль 09:00 09:10 09:20 09:30 09:40
Сургалтын төв 09:10 09:20 09:40
Эмнэлэг 09:15 09:35 09:55
Хүүхдийн ордон 09:20 09:25 09:40 09:45
Дэлгүүр 09:30 09:35 10:10
Хүүхдийн ордон 09:40 09:45 10:00 10:05 10:20
Эмнэлэг 09:45 10:05 10:15 10:25
Сургалтын төв 09:50 09:55 10:30
Сургууль 10:00 10:05 10:20 10:25 10:40
а. 10а автобус хэдэн минутын зайтай явж байна вэ?
б. 10б автобус хэдэн минутын зайтай явж байна вэ?
в. 10а болон 10б автобуснууд хэдэн минутын зайтай явж байна вэ?
г. Сургуулиас дэлгүүр хүртэл 10а автобус ямар хугацаа зарцуулах вэ?
д. Хүүхдийн ордонд 9.30-д дугуйлантай. Хүүхдийн ордонд очихын тулд хэдэн цагт
сургуулиас гарч автобусны буудалд очих вэ?
е. 10 цаг 2 мин гэхэд эмнэлэг дээр очсон байхын тулд хэдэн цагт хөдлөх ямар чиглэлийн
автобусанд сууж болох вэ?

70. 70
2.13. Нэгж хичээлийн сэдэв: Дунджууд ба далайц.
Хүрэх үр дүн:
График, диаграммаа математик нэр, томьёо, ойлголтоо ашиглан тайлбарлах; моод, медиан,
далайц, арифметик дундаж хэрэглэн хоёр хялбар түүврийг харьцуулах, дүгнэлт гаргах,
асуудал шийдвэрлэх чадвартай болно.
Түлхүүр үг: моод, медиан, арифметик дундаж, моод бүлэг, далайц
Хэрэглэгдэхүүн: график, диаграмм
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг,
чадвар
Одоо эзэмших мэдлэг, чадвар
• Тодорхой нөхцөлөөр
түүвэрлэсэн өгөгдлүүдийн
моод, далайц, медиан,
арифметик дунджийг
олох;
• Моод (бүлэглэсэн өгөгдлүүдийн моод бүлгийг олох), медиан
далайцыг олох
• Давтамжийн хүснэгт ашиглан арифметик дунджийг олох
• Хялбар статистик мэдээлэл, диаграмм, графикт тулгуурлан дүгнэлт
хийх
• Хоёр түүврийг далайц, моод, медиан, арифметик дунджаар нь
харьцуулах
Үйл ажиллагаа:
1. Дунджууд ба далайцыг олох.
Сурах бичгийн бодлогыг авч үзье.
Тус бүр нь 10га, 12га, 4га хэмжээтэй гурван талбайгаас
төмс хураажээ. Талбай тус бүрийн нэг га-аас хураан
авсан ургацын дундаж хэмжээ 18ц, 18.5ц, 23.5ц байв.
Бүх талбайн нэг га-аас авсан ургацын дундаж хэмжээг
яаж олох вэ?
а.Нэг сурагч нэг га-аас авсан ургацын дунджийг
18 18 5 23 5
3
20
+ + =
. . центнер гэж олжээ. Түүний алдааг
олж, ярилцаарай. б.Гурван талбайгаас хураасан нийт ургацын хэмжээг олоорой.
в. Гурван талбайн нийт хэмжээг олоорой.
г. Нийт ургацын хэмжээг бүх талбайн хэмжээнд хуваасан харьцааг олоорой. Энэ харьцаа
юуг илэрхийлэх вэ?
а. Сурагчийн гаргасан алдаа нь арифметик дунджийг олохдоо өөр өөр хэмжээтэй талбайгаас
хурааж авсан ургацыг 3-т хуваасан байна.
б. Гурван талбайгаас хурааж авсан нийт ургацын хэмжээ нь 60ц байна.
в. Нийт талбайн хэмжээ нь 26га байна.
г. Арифметик дундаж нь 60
26
2 4
13
= ц буюу энэ нь 1 га-гаас авсан дундаж ургац болно.
Сурах бичгийн Жишээ 1-ээр дундаж хурдыг олохдоо нийт явсан замыг нийт хугацаанд нь
хувааж олно гэсэн ойлголтыг сурагчдад өгнө. Мөн сурах бичгийн 1-6 дугаар даалгаврыг гүйцэтгэх
явцад ахуй амьдралд хэрэглэгддэг олон төрлийн бодлогуудыг бодож, дунджууд болон далайцыг
олох чадварыг бататгаж болно.
2. Моод бүлгийг олох.
Зарим өгөгдлүүдийг бүртгэхдээ өгөгдлүүдээ тэнцүү завсарт бүлэглэн тэр завсар дахь
давтамжийн тоогоор хүснэгтэд ангилж бичдэг. Сурах бичгийн Жишээ 4-ийг авч үзье.

71. 71
Хот хоорондын автобус буудалд ирэх цагаасаа хоцорсон хугацааг минутаар бүртгэж бүлэглэгдсэн
давтамжийн хүснэгтийг байгуулжээ.
Бүлэг I II III IV V
Хоцорсон минут 1 – 4 5 – 8 9 – 12 13 – 16 17 – 20
Давтамж 19 12 8 3 4
Энэ жишээнд (1–4) минут хоцорсон бүлгийн давтамж хамгийн
их байна. Иймд моод бүлэг нь (1–4) буюу I бүлэг байна.
Хамгийн их давтамжтай
бүлгийг моод бүлэг гэнэ.
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Хоёр тамирчин өгсөн даалгаврыг тус бүр 10 удаа гүйцэтгэн өрсөлджээ. Хүснэгтэд тамирчин
тус бүрийн оноог үзүүлэв.
I II III IV V VI VII VIII IX X
Тамирчин А 30 34 32 29 31 28 40 20 39 20
Тамирчин Б 30 34 36 20 33 29 40 30 20 31
а. Тамирчин тус бүрийн авсан онооны арифметик дундаж, медиан, моод болон далайцыг
олж, дүгнэлт хийгээрэй.
б. Хүснэгтийг нөхөж гүйцээгээрэй.
Оноо 20 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40
Тамирчин А
Тамирчин Б
в. Давтамжийн хүснэгтээс тамирчин тус бүрийн онооны моод бүлгийг олж, дүгнэлт
хийгээрэй.
г. Шүүгчид Б тамирчныг энэ тэмцээнд түрүүлсэн гэжээ. Яагаад ийм шийдвэр гаргасан байж
болох вэ? Ярилцаарай.
Бодолт:
а. А тамирчны арифметик дундаж нь 30.3, медиан нь 30.5, моод нь 20, далайц нь 20 байна.
Б тамирчны арифметик дундаж нь 30.3, медиан нь 30.5, моод нь 20 ба 30, далайц нь 20
байна. Зөвхөн моодоороо ялгаатай байна.
б. Бүлэглэсэн өгөгдлийн давтамжийн хүснэгтийг нөхье.
Оноо 20-25 26-30 31-35 36-40
Тамирчин А 2 3 3 2
Тамирчин Б 2 3 3 2
в. А ба Б тамирчны моод бүлэг нь хоёулаа ижил 26-30, 31-35 завсарт байна.
г. Дээрх 2 тамирчны дунджууд ба далайц нь ижил байна, харин Б тамирчны моод нь 20 ба 30
гэсэн байгаа нь ялгаатай, өөрөөр хэлбэл Б тамирчны моод нь их байгаа учир шүүгчид энэ
тамирчныг сонгосон байна.
3. Баганан болон дугуй диаграммуудыг харьцуулах.
Баганан болон дугуй диаграммуудыг дунджууд болон далайцаар нь харьцуулан тайлбарлах,
дүгнэлт гаргах чадвар эзэмшүүлэх нь чухал. Сурах бичгийн бодлогыг авч үзье.

72. 72
6а анги 40 сурагчтай, 6б анги 36 сурагчтай. Сурагчдаас уншсан номын тооны талаар
судалгаа авчээ. Судалгааны үр дүнг дугуй диаграммаар харуулав.
6 ном уншсан
5 ном уншсан
4 ном уншсан
3 ном уншсан
Уншсан номын тоо
6а 6б
а. Дугуй диаграмм ашиглан хүснэгтийг нөхөөрэй.
б. Анги тус бүрийн сурагчдын уншсан номын тооны дундаж, медиан, моодыг олоорой.
Бодолт: а. Дугуй диаграммыг уншиж ойлгон, хүснэгтийг нөхөж болно.
Уншсан
номын тоо
6а 6б
Өнцгийн
хэмжээ
Сурагчийн тоо
Өнцгийн
хэмжээ
Сурагчийн тоо
3 45o
5 30o
3
4 45o
5 60o
6
5 180o
20 90o
9
6 90o
10 180o
18
б. 6а ангийн сурагчдын уншсан номын тооны арифметик дундаж нь 4.875, медиан нь 5, моод
нь 5, далайц нь 3 байна.
6б ангийн сурагчдын уншсан номын тооны арифметик дундаж нь 5.16, медиан нь
( )
.
5 6
2
5 5
+
= , моод нь 6, далайц нь 3 байна.
Хоёр ангийн сурагчдаас 10 оноотой ижил тестээр математикийн шалгалт авчээ. Шалгалтын
дүнг баганан диаграммаар дүрслэв.
а. Анги тус бүр хэдэн
сурагчтай вэ?
б. Хамгийн өндөр ба
хамгийн бага оноотой
сурагчид аль ангид
байна вэ?
в. Анги тус бүрийн
моод оноог олж,
жишээрэй.
г. Анги тус бүрийн
онооны далайцыг
олж, харьцуулаарай.
д. Аль анги илүү амжилт үзүүлсэн бэ? Дүгнэлт гаргаарай.
Бодолт:
а. 6а анги 28 сурагчтай, 6б анги 30 сурагчтай.
б. Хамгийн өндөр (6-7 оноо), хамгийн бага оноо (1 оноо)-г авсан сурагчид 6б ангид байна.
в. 6а ангийн моод нь 2 оноо, 6б ангийн моод 6 ба 1 оноо байна.
г. 6а ангийн далайц нь 3 оноо, 6б ангийн далайц нь 6 оноо байна.
д. Аль анги илүү амжилт үзүүлснийг олохын тулд анги тус бүрийн онооны арифметик
дунджийг олж, дүгнэлт гаргана.
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
6а. Шалгалтын дүн
Оноо
Давтамж
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
6б. Шалгалтын дүн
Оноо
Давтамж

73. 73
Зээрэнцэг шидэх
Зээрэнцэг шидэлтийн хоёр тамирчин 10 удаагийн шидэлтээр сорилтод оржээ. Тэдний шидэл-
тийн дүнг хүснэгтэд метрээр үзүүлэв.
I II III IV V VI VII VIII IX X
А тамирчны шидэлт (м) 31 35 32 33 35 36 31 35 36 34
Б тамирчны шидэлт (м) 32 30 38 37 32 34 36 38 34 32
а. Тамирчин тус бүрийн үзүүлэлтийн дунджууд ба далайцыг олоорой.
б. Аль тамирчин илүү амжилт үзүүлсэн бэ? Хариултаа тайлбарлаарай.
Бодолт: а. А тамирчны арифметик дундаж 33.8, медиан 34.5, моод 35, далайц нь 5.
б. Б тамирчны арифметик дундаж 34.3, медиан 34, моод 32, далайц нь 8. Аль тамирчныг
оролцуулсан бэ? гэдэг нь нээлттэй бодлого юм. Өөрөөр хэлбэл олон хариутай байж болно.
Сурагчдаар хэлэлцүүлж, шийдвэрлүүлж болно.
Анхаарах зүйл.
Бага ангид үзсэн мэдлэг, чадварыг VI ангид сэргээн бататгаж, шинээр моод бүлгийг олох,
баганан диаграммуудыг тайлбарлах чадвар эзэмшүүлэхэд анхаарна.
Нэмэлт мэдээлэл.
Моод нь хамгийн их давтагдсан тоон утга, далайц нь хамгийн их ба хамгийн бага тоон утгын
зөрөөг илэрхийлдэг бөгөөд моод нь хамгийн их дэлгэрсэн, нийтлэг байдлыг илэрхийлдэг бол
далайц нь тоон утгууд хэр их ялгаатай байгааг харуулдаг. Ер нь энэ 4 хэмжигдэхүүний арифметик
дундаж, медиан, моод нь хоорондоо их ойрхон, мөн далайц нь бага байх тутам тухайн процесс
буюу туршилтын үр дүн үнэн байх магадлалтай болдог.
Амьдрал, ахуй, хүний олон төрлийн үйл ажиллагааны явцад төрөл бүрийн асуудлыг
шийдвэрлэх, туршилтын үр дүнг хооронд нь харьцуулах шаардлага гарч ирдэг.
Бодлого 1: Сурагчдад гэртээ зоосон мөнгийг 50 удаа орхиод сүлдээрээ буусан тоог бичиж
ирэх даалгавар өгөв. 10 сурагчийн туршилтын үр дүнг авъя.
24, 29, 32, 26, 33, 27, 29, 34, 25, 21
а. Арифметик дунджийг ольё.
24+29+32+26+33+27+29+34+25+21=280, 280÷10=28 буюу зоосыг 50 удаа
орхиход дунджаар 28 удаа сүлдээр буусан байна.
б. Медианыг ольё. Үүний тулд өгөгдлийг өсөх дарааллаар бичье.
21; 24; 25; 26; 27; 29; 29; 32; 33; 34
Эдгээр 10 тооны дунд талын 2 тоо нь 27 ба 29 байна. Энэ 2 тооны арифметик дундаж нь 28
буюу медиан болно.
в. Моодыг олбол: 29 гэсэн тоо 2 удаа, бусад нь 1 удаа давтагдсан тул моод нь 29 болно.
г. Далайцыг олбол: Өгөгдлийн хамгийн их тооноос хамгийн бага тоог хасан 34–21=13
байна. Эдгээр 4 хэмжигдэхүүнийг хооронд нь харьцуулж, туршилтын үр дүнг гаргаж
болно. Жишээ нь, энэ бодлогын хувьд арифметик дундаж ба медиан нь ижилхэн 28-тай
тэнцүү, моод нь 29 байгаа нь дундажтайгаа ойролцоо боловч олон давтагдаагүй байна.
Мөн далайц нь нэлээд их зөрөөтэй байгаагаас харахад хангалттай сайн туршилт болж
чадаагүйг харуулж байна. Арифметик дундаж, медиан, моодыг нийтэд нь дунджууд гэдэг.
Зарим өгөгдлүүдийг завсруудад бүлэглэж, давтамжийн хүснэгтэд бүртгэдэг. Завсруудаа
сонгохдоо судалгааны үр дүнд юу илрүүлэхийг зорьж байгаатай холбогдон сонгодог. Суурь
боловсролын түвшинд тэнцүү завсарт бүлэглэсэн өгөгдлүүдийг судална. Ямар завсарт
хуваахаа бодлогын нөхцөл, өгөгдлүүд, ямар төрлийн асуудал шийдвэрлэх гэж байгаатай
холбож, өөрсдөө сонгоно. Бүлэглэсэн өгөгдлүүдийн хамгийн их давтамжтай бүлгийг моод
бүлэг гэнэ.

74. 74
2.14. Нэгж сэдвийн нэр: Энгийн бутархай
Хүрэх үр дүн
Энгийн бутархайг хураах, жиших, нэмэх, хасах, үржүүлэх, энгийн бутархайг натурал
тоонд хуваах, нэг тоог нөгөө тооны хэсгээр илэрхийлэх чадвартай болно.
Түлхүүр үг: Бутархайн үндсэн чанар, жиших, энгийн бутархайн 4 үйлдэл
Хэрэглэгдэхүүн: Тоон шулууны загвар, тоон картууд
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн
мэдлэг, чадвар
Одоо эзэмших мэдлэг, чадвар
• Бутархайн
үндсэн чанарыг
ойлгох, энгийн
бутархайнуудыг
нэмэх, хасах;
• 2, 4, 5, 10, 100-ны
хэсгийг процентоор
илэрхийлэх, хэсэг,
процентийн үндсэн
бодлогуудыг бодох
• Энгийн бутархайн үндсэн чанарыг хэрэглэн бутархайг хураах, тэнцүү
бутархайнуудыг таних, засагдах бутархайг холимог бутархай, холимог
бутархайг засагдах бутархай болгох, төгсгөлөг аравтын бутархайг энгийн
бутархайгаар илэрхийлэх
• Хуваах үйлдэл ашиглан энгийн бутархайг аравтын бутархайгаар
илэрхийлэх, энгийн бутархайнуудыг ижил хуваарьтай болгох эсвэл
аравтын бутархайгаар илэрхийлэх замаар жиших, тоон шулуун дээр
тэмдэглэх
• Энгийн бутархайнуудыг нэмэх, хасах, үржүүлэх, энгийн бутархайг
натурал тоонд хуваах, өгсөн тооны тодорхой хэсэгт ногдох тоог олох,
тооны тодорхой хэсэгт ногдох тоогоор нь өгсөн тоог олох
Үйл ажиллагаа:
1. Энгийн бутархайг хураах
• Бутархайн хуваарь нь бүхлийг хэдэн тэнцүү хэсэгт хувааж буйг илэрхийлдэг , хүртвэр нь
энэ хэсгийн хэдийг ашиглаж байгааг заадаг гэдгийг сурагчид мэдэж байгаа эсэхийг нягтлах,
Жишээ нь, 4
7
-бутархайн 7 нь 7 тэнцүү хэсэгт хуваах, 4 нь үүнийхээ 4-ийг нь авах гэсэн үг.
• Дугуй болон тэгш өнцөгт дүрсийг тэнцүү хэсгүүдэд хуваах замаар тэнцүү бутархайнууд
үүсгэх, Жишээ нь, дугуйг 2, 4, 8 тэнцүү хэсэгт хуваах замаар 1
2
, 2
4
, 4
8
бутархайнууд
тэнцүү гэдгийг мэдэх.
• Бутархайг хураах, Жишээ нь, 9
15
, 6
10
, 12
20
, 30
50
бутархайнуудыг хураая, 9
15
9 3
15 3
3
5
= ÷
÷
=
гэх мэт эдгээр бутархайн хүртвэр, хуваарийг харгалзан 3, 2, 5, 10-т хуваахад 3
5
гарч байна.
Иймд эдгээр нь тэнцүү бутархайнууд болно.
• Засагдах бутархай болон холимог бутархайг харилцан шилжүүлэх, Жишээ нь, холимог
бутархайг засагдах бутархайд шилжүүлэхэд 2 1
3
= 2 3 1
3
× + = 7
3
, буцаагаад засагдах
бутархайг холимог бутархайд шилжүүлэхэд 7-г 3-т хуваахад 2 ногдоод 1 үлдэх буюу үүнийг
7
3
=2 1
3
гэдгийг сэргээн бататгана.
Бодлого 1. Засагдах бутархайг холимог бутархай руу шилжүүлэх
12
7
26
15
72
28
87
15
152
76
405
200
375
150
654
234
, , , , , , ,
Бодлого 2. Холимог бутархайг засагдах бутархай руу шилжүүлэх
12
5
3 2
15
6 7
8
15 1
2
315
8
, , , ,

75. 75
• Аравтын бутархайг энгийн бутархайд шилжүүлэх, Жишээ нь, 2 4 2 4
10
2 4 2
10 2
2 2
5
. = = ÷
÷
= ,
0 36 36
100
36 4
100 4
9
25
. = = ÷
÷
= болно. Аравтын бутархайг 10, 100 гэх мэт хуваарьтай энгийн
бутархайд шилжүүлж, гарсан бутархайг хураана.
2. Энгийн бутархайг жиших
• Тоон шулуун дээр энгийн бутархайнуудыг тэмдэглэн жиших, Жишээ нь, 4
5
, 9
10
, 3
5
, 3
10
бутархайнуудыг тоон шулуун дээр тэмдэглэн жишнэ.
• Зураг, дүрс ашиглан ижил биш хуваарьтай энгийн бутархайнуудыг жиших, Жишээ нь, хоёр
тэнцүү тэгш өнцөгтийн нэгийг нь 8 тэнцүү, нөгөөг нь 10 тэнцүү хэсэгт хуваан, 5
8
, 7
10
хэсгүүдийг будаж, талбайгаар нь жишиж болно.
• Ижил бус хуваарьтай бутархайнуудыг ижил хуваарьтай бутархай болгох замаар жиших,
Жишээнь, 5
6
, 7
9
бутархайнуудынхуваарьболох6ба9-ийнХБЕХ-ийгольё.Энэнь18болно,
иймд 5
6
5 3
6 3
15
18
= ×
×
= , 7
9
7 2
9 2
14
18
= ×
×
= буюу 15
18
14
18
болно. Хэд хэдэн бутархайнуудын
хувьд мөн адил, Жишээ нь, 2
3
, 11
15
, 4
5
, 1
2
бутархайнуудыг ижил хуваарьтай болгон өсөх,
буурах эрэмбээр байр­луулж болно.
• Тооны машин хэрэглэн энгийн бутархайг аравтын бутархайгаар илэрхийлэх,
Жишээ нь, 3
8
, 13
40
, 2
5
, 11
25
гэх мэт төгсгөлөг аравтын бутархайгаар илэрхийлэгдэх
бутархайнуудыг сонгож авна.
• 3
8
=0.375, 13
40
=0.325, 2
5
0 4
= . , 11
25
0 44
= . аравтын бутархайнуудыг буурах эрэмбээр
байрлуул­бал: 0 44 0 4 0 375
. . .
0.325 болно.
• Зарим энгийн бутархайг 10, 100, 1000 гэх мэт хуваарьтай энгийн бутархайд шил­
жүүлс­
ний
дараа аравтын бутархайгаар илэрхийлэхэд хялбар байдаг. Жишээ нь:
1
8
1 125
8 125
125
1000
0 125
= ×
×
= =
. , 3
5
3 20
5 20
60
100
= ×
×
=
=0.60= 0.6
3. Энгийн бутархайн нэмэх, хасах
• Ижил бус хуваарьтай энгийн бутархайнуудыг нэмэх, хасах, Жишээ нь:
а. 3
5
7
10
3 2
5 2
7
10
6 7
10
13
10
1 3
10
+ = ×
×
+ = + = = , б. 1
6
3
8
1 4
6 4
3 3
8 3
4
24
9
24
13
24
+ = ×
×
= ×
×
= + = ,
в. 5
18
1
24
5 4
18 4
1 3
24 3
20
72
3
72
17
72
− = ×
×
− ×
×
= − =
• Холимог бутархайнуудыг нэмэх, хасах, Жишээ нь:
а. 2 4
15
+ 3 1
12
2 4 4
15 4
3 1 5
12 5
2 16
60
3 5
60
5 21
60
5 7
20
= ×
×
+ ×
×
= + = =
,
б. 4 6
7
+ 17
8
4 6 8
7 8
17 7
8 7
4 48
56
149
56
5 97
56
5 97
56
= ×
×
+ ×
×
= + = = +
=5+1 41
56
=6 41
56
,
в. 5 1
4
– 15
9
5 1 9
4 9
15 4
9 4
5 9
36
120
36
4 45
36
120
36
= ×
×
− ×
×
= − = −
= 3
25
36
г. 2–1 5
6
= 1 6
6
– 1 5
6
1
6
=

76. 76
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
12:00 13:00
30минут
11:00
Аялагч
Аялагчдын баг үдээс өмнө
11цагт баазаас гараад 30минут
явж байтал тэдний нэг нь бааз-
даа луужингаа орхисноо гэнэт
санажээ. Ингээд тэр аялагч
буцаж, луужингаа аваад шууд эргэж, 13цагт нөхдөө гүйцжээ. Тэрээр яг хэдэн цагт бааздаа
буцаж очсон бэ?
Бодолт:
Аялагч 11.30-аас 13цаг хүртэл яг 1цаг 30минут явсан байна. Бусад аялагчид энэ замыг 2цаг
30минутад явах байсан. 2цаг 30минут гэдэг нь 30минутаар явсан замыг 5 дахин авсан гэсэн үг.
Иймд 1цаг 30мин буюу 90мин÷5=18 минут болно.
Иймд аялагч 11цаг30мин+18минут=11цаг 48 минутад бааздаа очсон байна
4. Энгийн бутархайн үржүүлэх, хуваах
Өмнөх ангид үзсэн зүйлээ сэргээн бататгана.
• Энгийн бутархайнуудыг натурал тоогоор үржүүлэх, Жишээ нь:
а. 1
2
× 4 Яаж үржүүлэх вэ? Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Зургаар үзүүлж болно, мөн үржүүлэх
үйлдлийг нэмэх үйлдлээр илэрхийлж болно.
1
2
× 4 = 1
2
1
2
+ + 1
2
1
2
+ = 4
2
1 4
2
4 2 2
= × = ÷ =
б. 2
3
×9= 2
3
2
3
+ + 2
3
2
3
+…+
= 2 9
3
18
3
18 3 6
× = = ÷ =
9ш
в. 1 1
3
×6= 4
3
× 6= 4 6
3
× = 24
3
= 24÷3=8
• Өгсөн тооны тодорхой хэсэгт ногдох тоог олох
Бодлого 1. Автобусанд нийт 45 зорчигч байсны 1
3
нь хүүхэд байв. Хэдэн хүүхэд байсан бэ?
Бодолт: 3 хүн тутмын 1 нь хүүхэд гэсэн үг учраас 45÷3=15, 15×1=15 хүүхэд байсан. Өөрөөр
хэлбэл 45× 1
3
1 45
3
15
1
= × = = 15 болно.
• Энгийн бутархайг натурал тоонд хуваах, Жишээ нь:
1
2
2
÷ = Үйлдлийг зургаар дүрсэлж болно. Зургаас харахад 1
2
2 1
4
÷ = байна.
Мөн 1
2
2 1
2
2
1
1
2
1
2
1
4
÷ = ÷ = × = болно.
• Өгсөн тооны тодорхой хэсэгт ногдох тоогоор нь өгсөн тоог олох
Бодлого 3: Ангийн сурагчдын 2
3
нь буюу 24 нь эмэгтэй сурагч байсан бол анги нийт
хэдэн сурагчтай вэ?
Бодолт: 2
3
нь 24 гэдгээс 1
3
нь 12 болно. Нийт сурагчдыг олохдоо 3-аар үржүүлнэ. Өөрөөр
хэлбэл 24 2
3
24
1
2
3
24
1
3
2
24 3
1 2
36
÷ = ÷ = × = ×
×
= болно.
Хэсгийн үндсэн бодлогуудыг сурах бичгийн Жишээ 7-гоор авч үзсэн.

77. 77
Бодлого тус бүрийн бодолтыг харьцуулан ярилцаж, дүгнэлт гаргаарай.
Өгсөн тооны хэсэгт ногдох тоог
олох
Хэсэгт ногдох тоогоор уг тоог
олох
Өгсөн тоо нь анхны тооны
ямар хэсэг болохыг олох
Ангийн 42 сурагчийн
3
7
нь
математикийн дугуйланд суралц-
даг байв. Математикийн дугуй-
ланд хэдэн сурагч суралцдаг вэ?
Ангийн 18 сурагч математикийн
дугуйланд суралцдаг байв. Энэ
нь ангийн нийт сурагчдын
3
7
бол ангийн нийт сурагчийн тоог
олоорой.
Анги 42 сурагчтай. Энэ ангийн 18
сурагч математикийн дугуйланд
суралцдаг байв. Математикийн
дугуйланд суралцдаг хүүхдийн
тоо ангийн нийт сурагчийн хэд-
ний хэдэн хэсэг болох вэ?
?
42
3
7
18
?
3
7
18
42
?
42÷7 ×3=18 18÷3 ×7=42 18 42 18
42
3
7
÷ = =
Сурах бичгийн Жишээ 6-аар энгийн бутархайн үржүүлэх дүрмийг авч үзсэн.
1г будгаар 4
5
дм2
хавтанг буддаг бол 1
5
г будгаар хэдэн дм2
талбайг будах вэ?
Зургийг ажиглан тооцоолж олоод тайлбарлаарай.
0 1г 0 1г
1
5
Зургаас харахад 1
5
г будгаар
4
25
дм2
хавтан будна.
4
5
1
5
4 1
5 5
4
25
× = ×
×
=
4
5
1дм2
1дм2
× 1
5
Бодолт: 1г будгаар 4
5
дм2
хавтан
1
5
г будгаар x(дм2
)хавтан будна. Үүнийг ашиглан пропорц зохиож бодвол x = × =
4
5
1
5
4
25
гэдэг нь зургаас харагдаж байна.
Энгийн бутархайг натурал тоонд хуваах үйлдлийг сурах бичгийн жишээ, даалгавруудаар авч
үзнэ.
Анхаарах зүйл.
V ангид сурагчид зарим тэнцүү бутархайнуудыг таних, хялбар бутархайнуудыг хураах
чадвартай болсон байна. Иймд VI ангид бутархайг хурааж үл хураагдах бутархайд шилжүүлэхийн
зэрэгцээ холимог бутархайнуудыг зураг дүрс, засагдах бутархайгаар илэрхийлэх, засагдах
бутархайг холимог бутархайгаар илэрхийлэх, төгсгөлөг аравтын бутархайг энгийн бутархайд
шилжүүлэхэд анхаарна. Энгийн бутархайг хураахдаа хүртвэр ба хуваарийн ХИЕХ тоог олоод
түүнд хувааж хураах, мөн өөр өөр хуваарьтай бутархайнуудын хуваариудын ХБЕХ-ыг олох замаар
ижил хуваарьтай болгож жишнэ. Тоон шулуун дээр энгийн бутархайг зөв тэмдэглэж сурах нь
чухал, үүний тулд тоон шулууны нэгж хэрчмийг тохиромжтой байдлаар сонгон авч, хэрчмийн
хоёр үзүүрт харгалзах тоог тэмдэглэхэд анхаарна. Тоон шулуун дээр байрлаж байгаа хоёр тооны
баруун талд орших тоо нь их байдгийг сурагчдаар гаргуулна.
Ижил хуваарьтай болон нэг нь нөгөөгийнхөө хуваагч нь болдог хуваарьтай хялбар энгийн
бутархайнуудыг V ангид жишиж сурсан. Иймд VI ангид бутархайнуудыг жишихдээ ХБЕХ-ийг
чээжээр болон хялбар аргаар олох замаар ижил хуваарьт оруулахад анхаарна. Ихэвчлэн бутархайн
хуваарь нь нэг ба хоёр оронтой байх тохиолдолд авч үзнэ. 4-5 дугаар ангид ижил болон ижил
биш хуваарьтай энгийн бутархайнуудыг нэмж, хасах ойлголттой болсон, үүнийг бататгаад энгийн
бутархайг энгийн бутархайгаар үржүүлэх, энгийн бутархайг натурал тоонд хуваах дүрмийг
шинээр судлахад анхаарна.

78. 78
2.15. Нэгж сэдвийн нэр: Аравтын бутархай, процент
Хүрэх үр дүн
Аравтын бутархайн үйлдэл гүйцэтгэх, энгийн, аравтын бутархай, процентийн харилцан
хамаарлыг ойлгох, чээж тооцоолол хийх, тэдгээрийг харилцан шилжүүлэх, процентийн
бодлогууд бодох чадвартай болно.
Түлхүүр үг: Процент, энгийн бутархай, аравтын бутархай
Хэрэглэгдэхүүн: Тоон шулууны загвар, тоон картууд
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн
мэдлэг, чадвар
Одоо эзэмших мэдлэг, чадвар
• Аравтын бутар­
хайг нэмэх, хасах,
үржүүлэх, хуваах,
• Үйлдлийн гишүү­
дийн хамаарал,
үйлдлийн чанарыг
хэрэглэх
• Өгсөн тооны
процентийг олох,
хялбар асуудал
шийдвэрлэх
• Бүхэл ба бутархай хэсгийн орны тоо нь ялгаатай аравтын бутархайнуудыг
нэмэх, хасах, аравтын бутархайг нэг ба хоёр оронтой тоогоор болон
аравтын бутархайгаар үржүүлэх, хуваах
• Аравтын бутархай оролцсон тооцоололд үйлдлийн дараалал, үйлдлийн
чанарыг хэрэглэх, үйлдлийн дүнг урвуу үйлдлээр шалгах
• Тоо, хэмжээний зууны нэг хэсэг нь процент гэдгийг хэрэглэх, дүрс, тоо,
хэмжээний хэсгийг энгийн бутархай, процент, аравтын бутархайгаар
илэрхийлэх
• Тоо, хэмжээний өгсөн процентод ногдох тоог олох, бага тоог их тооны
хэсэг эсвэл процентоор илэрхийлэх, асуудал шийдвэрлэх
Үйл ажиллагаа:
1. Процент. Процентийн талаарх өмнөх мэдлэгийг сэргээн бататгана.
Бодлого 1. Нийт хэсгийн хэдэн процентийг:
а. Улаан өнгө
б. Ногоон өнгө
в. Цэнхэр өнгө
г. Шар өнгө эзлэх вэ? гэдгийг сурагчдаар гаргуулна.
Мөн улаан өнгөтэй хэсэг нь шар өнгөтэй хэсгийн хэдэн процент
болох вэ?
Хөх өнгөтэй хэсэг нь шар өнгөтэй хэсгийн хэдэн процент болох
вэ? гэх мэт асуулт зохиолгож бодлогын хувилбарыг ихэсгэж болно.
2. Аравтын бутархай, энгийн бутархай, процентийн хамаарлыг ойлгуулах
Дараах 4 хэлбэрийн дасгал ажиллуулна.
Бодлого 2.
а. Аравтын бутархайг процентоор илэрхийлээрэй.
0.15, 0.024, 0.16, 1.2, 1.75, 2.25, 3.5
б. Энгийн бутархайг процентоор илэрхийлээрэй.
18
20 100
15
25
220
300 100
= = = = =
% %
%
350
500
3
4
= =
% %
%
5
8
=

79. 79
в. Процентийг энгийн бутархайгаар илэрхийлээрэй.
25% 75% 25% 0.5% 20% 15% 150%
г. Процентийг аравтын бутархайгаар илэрхийлээрэй
20% 75% 105% 15% 5% 0.5% 3.5%
3. Процентийн үндсэн бодлогуудыг таних, бодох мэдлэг, чадвараа бататгах, асуудал
шийдвэрлэх.
Бодлого 3. (Процентийн I хэлбэрийн бодлого) Цэцэгээ 10 настайдаа 36кг байв. 2 жилийн
дараа жин нь 30%-аар өсөв. 12 настай Цэцэгээгийн жин хэд болсон бэ?
Бодох арга 1:
36кг нь 100% бол 30%-д хэдэн кг ноогдох вэ? (36÷100)×30=10.8кг (нэмэгдсэн жин)
12 настай Цэцэгээгийн жинг ольё. 36+10.8=46.8кг (Цэцэгээгийн жин)
Бодох арга 2:
12 настай Цэцэгээгийн жинг ольё.
36 кг нь 100% бол 130% нь хэдэн кг болох вэ?
(36÷100)×30=46.8 кг (Цэцэгээгийн жин)
Бодлого 4. (Процентийн II хэлбэрийн бодлого) Сургуульд 360 охин суралцдаг. Хэрэв хөвгүүд
нь бүх сурагчийн 52% бол сургуульд
а. Хэчнээн хөвгүүн суралцдаг вэ?
б. Тус сургуульд хэчнээн сурагч суралцдаг вэ?
Бодох арга:
Хөвгүүд нь 52% бол охид нь хэдэн процент болохыг олно. 100–52=48% (охид)
а. 48% нь 360 бол хичнээн хөвгүүд суралцдагийг олно. (360÷48)×52=390 (хөвгүүд)
б. Нийт сурагчдын тоог олно. 360+390=750 (нийт сурагчдын тоо)
Бодлого 5. (Процентийн III хэлбэрийн бодлого) Худалдагч Бямба, Ням гарагт нийт 75 сав алим
худалдав. Бямба гарагт 45 сав алим худалдав. Ням гарагт бямба гаригаас хэдэн %-оор бага
алим зарсан бэ? Ням гарагт хэдэн сав алим зарсан бэ?
Бодох арга:
I алхам. Нийт алимны хэдэн процентыг бямба гаригт худалдсан бэ? (45÷75)×100=60%
II алхам. Ням гарагт бямба гаригаас хэдэн %-оор бага алим зарсан бэ? 100–60=40% (ням
гаригт зарсан нь) 60–40=20% (зөрөө)
III алхам. Ням гарагт хэдэн сав алим зарсан бэ? 75–45=30 сав (бямба гарагт)
Өөрөөр: (45÷60)×40=30 сав (бямба гарагт) болно.
Анхаарах зүйл.
• Аравтын бутархайн нэмэх хасах үйлдлийг бүхлийн цэгийн харалдаа цэгийг бичиж, бүхэл
тооны адил үйлдэл гүйцэтгэх
• Аравтын бутархайн үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэхдээ бүхэл тооны адил үржүүлээд
үржвэрийн бутархай хэсгийн орны тоо нь үржигдэхүүн тус бүрийн бутархай хэсгийн орны
тооны нийлбэртэй тэнцүү байна
• Аравтын бутархайг аравтын бутархайд хуваахдаа хуваагчийг бүхэл тоо болтол бүхэл
хэсгийн орныг баруун гар тийш шилжүүлэх бөгөөд хуваагдагчийн бүхэл хэсгийг мөн
төчнөөн орноор баруун гар тийш шилжүүлж аравтын бутархайг бүхэл тоонд хуваахын
адил хуваана гэдгийг тус тус анхаарна.
Процентийн хувьд:
• Процентийн III хэлбэрийн бодлогыг бодохдоо өгсөн тооны харьцааг бутархайгаар
дүрслээд дараа нь процент руу тус тус шилжүүлбэл хялбар байдгийг анхаарна.

80. 80
Явцын үнэлгээний жишиг даалгавар.
Мэдлэг, ойлголт
1. Тэнцүү бутархайг олох, бутархайг хураах “Бинго” тоглоом тоглуулж болно.
Өгсөн бутархайнуудтай тэнцүү нэг, нэг
бутархайнуудыг багш хэлэхэд, сурагчид түүнтэй
тэнцүү бутархайг хариултын хуудаснаас олж дарна.
Жишээ нь, 20
100
-тай тэнцүү бутархайг олоорой гэхэд
хариу нь 1
5
- болно.
2. Процент болон энгийн, аравтын бутархайн хоорондын хамаарлыг хүснэгтийг нөхүүлэн
сурагчдын ойлголтыг шалгаж болно.
Процент 50% 10% 4% 100%
Энгийн бутархай
1
5
3
4
7
10
Аравтын бутархай 0.05 0.8
3. Тоо, хэмжээнүүдийн өгсөн процентод ногдох тоог диаграмм ашиглан олуулж болно. Хүүхэд
бүрд ялгаатай тоо, хэмжээ өгч ажиллуулна.
Хэрэглээ, асуудал шийдвэрлэх
4. Мөн ямар нэг тооны өгсөн процентоор нь уг тоонуудыг хүснэгт нөхүүлэн олуулж болно.
100% 50% 10% 20% 5% 15% 25% 30%
1кг
16г
50м
4см
1
5
2
3
3
4
3
5
3
8
5
7
1
4
2
9
2
7
5
9
4
7
4
11
6
7
1
6
1
8
6
11

81. 81
2.16. Нэгж хичээлийн сэдэв: Ôункц
Хүрэх үр дүн:
Функцийг харгалзаагаар дүрслэх, харгалзуулах дүрмийг үгээр эсвэл үсэг, тэмдэгт
хэрэглэн тодорхойлох; координатын тэнхлэгүүдтэй параллель шулууны тэгшитгэл бичих,
шулууныг байгуулах, координатын эхийг дайрсан шулуун өгөгдсөн үед тэгшитгэлийг
олох чадвартай болно.
Түлхүүр үг: Функц, хүснэгт, харгалзаа, шулуун, шулууны тэгшитгэл
Хэрэглэгдэхүүн: Явцын үнэлгээний даалгавар, нэмэлт даалгавар
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг, чадвар Одоо эзэмших мэдлэг, чадвар
• Координатын хавтгайд
өгсөн цэгийн координатыг
олох, координатаар нь
цэгийг байгуулах
• Хөдөлж буй биетийн “зам-
хугацааны” графикийг
унших
• Хялбар функцийг харгалзаагаар дүрслэх, харгалзуулах
дүрмийг үгээр эсвэл үсэг, тэмдэгт хэрэглэн тодорхойлох
• y нь x-ээр илэрхийлэгдсэн шугаман тэгшитгэлийг үнэн
байлгах (x, y) хосуудыг олох,
• Координатын тэнхлэгүүдтэй параллель шулууны тэгшитгэл
бичих, шулууныг байгуулах, координатын эхийг дайрсан
шулуун өгөгдсөн үед тэгшитгэлийг олох
Үйл ажиллагаа.
1. Хялбар ôункцийг харгалзаагаар дүрслэх, харгалзуулах дүрмийг үгээр эсвэл үсэг, тэмдэгт
хэрэглэн тодорхойлох
Сэдэлжүүлэх бодлого, жишээ, дасгалаар асуудал дэвшүүлэн шийдвэрлүүлэх замаар өмнөх
мэдлэгийг сэргээн бататгаж, функц, түүнийг тэмдэглэх, дүрслэх талаарх ойлголтыг өгнө. Багш
сурагчдын туршлага, сонирхол, өөрийн боломж, туршлага дээр суурилан функцийн талаарх
ойлголтыг янз бүрийн бодлогоор сэдэлжүүлж болно.
Сурахбичигтсурагчдынтуршлагыгхаргалзанямарнэгтүүхийэдийгболовсруулжбүтээгдэхүүн
болгож гаргадаг машин эсвэл сурагчдын өдөр тутам хэрэглэдэг тооны машины ажиллах зарчмыг
харьцуулах замаар функц гэсэн ойлголтыг хялбаршуулан өгч болох нэг хувилбарыг санал болгож
байна.
Асуудал шийдвэрлэх.
Алимны шүүс үйлдвэрлэдэг, гурил үйлдвэрлэдэг
машин гэх мэт бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг машинууд,
тооны машины ажиллах горимын ижил төстэй болон
ялгаатай байдлын талаар харьцуулан ярилцаж, дүгнэлт
хийгээрэй.
Асуудлыг дараах байдлаар шийдвэрлэж болох юм.
Сурагчидтай хамтран ярилцана. Ярилцлагын явцад бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг машин
бүр бүтээгдэхүүн хийх түүхий эд, гаргаж буй бүтээгдэхүүн, түүхий эдээ бүтээгдэхүүн болгон
хувиргадаг үйлдлээрээ ялгаатай байна, харин түүхий эдийг оролт, түүхий эдийг бүтээгдэхүүн
болгож хувиргадаг үйлдэл/дүрмийг “машин”, бүтээгдэхүүнийг гаралт гэж бодвол бүтээгдэхүүн
хийдэг ямар ч машины ажиллах горимыг дараах схемээр дүрсэлж болохоор байна гэсэн дүгнэлтэд

82. 82
сурагчид хүрнэ:
Оролт  Машин  Гаралт
Энэ дүгнэлт дээр үндэслэн дараах хялбаршуулсан тодорхойлолтыг өгч болно:
Оролт ба гаралт нь тоо байх, оролт дээр хийх үйлдэл нь арифметик үйлдэл байдаг машиныг
функцэн машин эсвэл функц гэнэ:
100  +50  150
Сурах бичигт функцийн оролт, гаралт, үйлдэл/дүрмийн аль нэг хоёр нь өгсөн байхад нөгөө
хоёрыг нь олох, өгсөн функцийг хүснэгт, харгалзаагаар дүрслэх, харгалзаа буюу хүснэгтээр нь
функцийг олох зэрэг бодлого, дасгалуудыг оруулж өгсөн.
2. Øулууны тэгшитгэл бичих
Сэдэлжүүлэх бодлого, жишээ, дасгалаар асуудал дэвшүүлэн шийдвэрлүүлэх замаар өмнөх
мэдлэгийг сэргээн бататгаж, шулууны тэгшитгэлийн талаарх ойлголтыг өгнө. Багш шинэ
ойлголтыг янз бүрийн бодлогоор сэдэлжүүлж болно. Сурах бичигт
Зам-хугацааны график
Асуудал шийдвэрлэх. Машины “Зам-хугацааны” график өгөгджээ. График ашиглан
машины явсан замыг олох алгебрийн тэнцэтгэл зохиож, ярилцаарай.
гэсэн бодлогоор асуудал дэвшүүлж сурагчидтай хамтран ярилцах замаар зам хугацааны график
ашиглан машины явсан замыг олох, алгебрийн тэнцэтгэл зохиож, улмаар машины явсан замыг
олох тэгшитгэл бичих гэсэн ойлголтыг өгсөн. Асуудлыг шийдсэн арга зүйг сурах бичигт өгсөн.
Энэ арга зүйгээр координатын эхийг дайрсан дурын шулуун өгсөн үед тэгшитгэлийг нь бичиж
болохыг жишээ 1-ээр үзүүлсэн.
Координатын аль нэг тэнхлэгтэй параллель шулууны тэгшитгэлийг бичих, ийм шулууныг
тэгшитгэлээр нь байгуулах, шулуун тэгшитгэлээрээ өгсөн үед өгсөн цэгүүд уг шулуун дээр орших
эсэхийг тогтоох зэрэг чадвар эзэмших бодлого дасгалуудыг оруулж өгсөн.
3. Øинэ мэдлэгээ асуудал шийдвэрлэхэд хэрэглэх
Сурагчдад эзэмшсэн мэдлэгээ ахуй амьдралтай холбоотой асуудал шийдвэрлэх арга барил
төлөвшүүлэх зорилгоор сурагчдын ялгаатай байдлыг харгалзан асуудал шийдвэрлэх, бүтээх
хэлбэрийн бодлогууд оруулж өгсөн. Ийм бодлогуудыг багш аль болохоор сурагчидтай хамтарч
гүйцэтгэхийг эрмэлзэх хэрэгтэй.
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Зам-хугацааны график
а. Суудлын машинуудын “зам-хугацааны” график өгөгджээ.
Графикт тохируулан бодлого зохиож, ярилцаарай.
б. Төстэй бодлого зохиож, бодоорой.
0 2
40
80
120
4 6 8 10
160
200
(цаг)
(êм)

83. 83
Бодолт: Багш сурагчдадаа дараах асуултуудын дагуу ярилцах замаар асуудлыг шийдвэрлэж
болно.
• Аль машин, нөгөөгөөсөө хэдэн цагийн түрүүнд гарсан бэ? Түрүүлж гарсан машиныг I
машин гэе.
• I машин 2цаг, 4цаг, 10цагт тус бүр хэдэн километр зам явсан бэ?
• II машин гарснаасаа хойш 2цаг, 4цагийн дараа тус бүр хэдэн километр зам явсан бэ?
• Машин тус бүр гарснаас хойш хэдэн цагийн дараа ижил зам явсан бэ? Үүнийг график
дээрээс хэрхэн олох вэ? (Графикуудын огтлолцлын цэг буюу I машин 4 цаг, II машин 2цаг
явахад тус бүр ижил 80км зам явсан)
• I машины явсан замыг хэрхэн олох вэ? Машины хурд нь тогтмол байх уу? Хурд нь хэдтэй
тэнцүү вэ? Замыг томьёогоор илэрхийлж болох уу? гэх мэт асуултуудаар дөхүүлж ярилцан,
дүгнэлт гаргана. Энэ даалгавраар сурагчдын график ойлгох, унших, тайлбарлах чадварыг
хөгжүүлэхэд анхаарна.
Нэмэлт мэдээлэл, анхаарах зүйл.
Энэ нэгж хичээлээр функц, шулууны тэгшитгэл гэсэн ойлголт шинээр орж байгаа тул багш
шинэ мэдлэгийг сурагчдын өмнөх мэдлэг туршлагыг харгалзан ахуй амьдралын жишээ бодлогоор
дамжуулан өгөхийг эрмэлзэх хэрэгтэй. Сурагчид энэ сэдвийг 7 дугаар ангид үргэлжлүүлэн судлах
учраас энэ удаад “Оролт ба гаралт нь тоо байх, оролт дээр хийх үйлдэл нь арифметик үйлдэл байдаг
машиныг функцэн машин эсвэл функц гэнэ”, “Өгсөн шулуун дээр орших цэг бүрийн координатад
байх ерөнхий хамаарал/зүй тогтлыг илэрхийлсэн тэнцэтгэлийг тухайн шулууны тэгшитгэл гэнэ”
гэсэн байдлаар шинэ ухагдахуун, ойлголтоо өгөхөөр төлөвлөсөн.
y=f(x) функц бол түүхий эдийг (x-ийн утгууд) боловсруулж (f), бүтээгдэхүүн (y) гаргадаг
машин мэтээр төсөөлөл өгөхөөс гадна, хоёр олонлогийг харгалзуулах дүрэм буюу хоёр
олонлогийн, хоёр үйл явцын хамаарлын дүрэм гэдэг утгаар нь тайлбарлаж өгөх хэрэгтэй. Тэгэхдээ
энэ дүрмээр нэг олонлогийн элемент бүрд нөгөө олонлогийн яг нэг элемент харгалзуулах
ёстой гэдгийг онцгой анхаарна. Энэ бол 6 дугаар ангийн сурагчдын хувьд цоо шинэ ойлголт
бөгөөд суурь ойлголтыг зөв өгөх нь чухал юм.
Шулууны тэгшитгэлийг бичих гэсэн зорилтын хүрээнд сурагчид дараах чадвартай болсон
байхыг анхаарах. Үүнд:
• Координатын эхийг дайрсан болон координатын аль нэг тэнхлэгтэй параллель шулуун
өгсөн үед тэгшитгэлийг нь бичих
• Координатын аль нэг тэнхлэгтэй параллель шулууныг тэгшитгэлээр нь байгуулах, таних
• Шулуун тэгшитгэлээрээ өгсөн үед өгсөн цэг тухайн шулуун дээр орших эсэхийг тогтоох
зэрэг чадвартай болсон байна.
Явцын үнэлгээний жишиг даалгавар
Зорилго: Функцийн талаарх ойлголтоо хэрэглэх, шулууны тэгшитгэл бичих.
Мэдлэг, ойлголт
1. Гаралтыг олоорой. 2. Оролтыг олоорой.
13  –7  ×5  ÷15  ? ?  ×7  +12  ×5  130
3. Үйлдлийг олж, нөхөөрэй.
20  –5  ?  ÷9  5
4. Оролтод өгсөн тоонуудыг оруулж, өгсөн функцийг хүснэгт, харгалзааны диаграмаар
гүйцээж дүрслээрэй.
 ×6  +5 
Оролт Гаралт
6
3
–10
–4
6
3
–10
–4




Оролт Гаралт

84. 84
5. Функцийг олж, хүснэгтийг гүйцээж нөхөөрэй
Оролт Гаралт
1 8
2 11
3
17
5
6 23
Хэрэглээ, асуудал шийдвэрлэх
6. Координатын хавтгайд:
а. x=–3 б. x=0 в. y=–1 г. y=5 тэгшитгэлтэй шулууныг зураарай.
7. Шулууны тэгшитгэлийг олоорой.
0
2
2
4
4
6
6
8
8
–8 –6 –4 –2
–8
–6
–4
–2
0
2
2
4
4
6
6
8
8
–8 –6 –4 –2
–8
–6
–4
–2
8. Шулуун өгөгджээ. M N L
−
( ) −
( ) −
( )÷ − ÷
2 1 2 3 1 2 5 5 3
, , , , , ? цэгүүд энэ шулуун дээр орших уу?
0
2
2
4
4
6
6
8
8
–8 –6 –4 –2
–8
–6
–4
–2
9. 12000л усны багтаамжтай усан санг усаар дүүргэх болжээ. Усан санг дүүргэхэд зарцуулсан
хугацааны график ашиглан дараах асуултанд хариулаарай.
а. Графикийн тэгшитгэлийг олоорой.
б. 2 цагийн дараа усан сан хэдэн литр устай болсон байх вэ?
в. Хэдэн цагийн дараа усан сан дүүрэх вэ?
0
2400
4800
7200
9600
12000
1 2 3 4 5 (цаг)
(л)

85. 85
2.17. Нэгж хичээлийн сэдэв: Хэмжих, зурах
Хүрэх үр дүн
Шугам, гортиг, транспортир ашиглан хэрчим, өнцөг, дүрсийг хэмжих, зурах арга барил
эзэмшинэ.
Түлхүүр үг: Транспортир, гурвалжин шугам
Хэрэглэгдэхүүн: Геосамбар
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг, чадвар Одоо эзэмших мэдлэг, чадвар
• Харилцан перпендикуляр,
параллель шулуунууд, өнцгийг
таних, шинжийг мэдэх, зурах,
ангилах,
• Хэрчмийг миллиметрийн нарийвчлалтай хэмжих, зурах
• Хурц, мохоо, тэгш өнцөг болон 180o
-аас их хэмжээтэй
өнцгүүдийг градусаар хэмжих, байгуулах
• Харилцан параллель, перпендикуляр шулуунууд байгуулах
• Гурвалжныг түүний хоёр тал, хоорондох өнцөг (ТӨТ), нэг тал,
түүнд налсан хоёр өнцөг (ӨТӨ)-өөр зурах
• Квадрат, тэгш өнцөгт, зөв гурвалжин зурах. зөв олон өнцөгтийг
тал ба өнцгөөр нь зурах
Үйл ажиллагаа:
Сурагчдаар өнцөг, параллель, перпендикуляр шулуун, гурвалжин, дөрөв, олон өнцөгтийг
зурж сургах үйл ажиллагааг хийлгэхдээ тэдний сонирхлыг татах нь чухал. Жишээлбэл: Гацуур,
машин, байшин гэх мэт зүйлийн тал, өнцгийн хэмжээг өгөх. Уг зүйлийг дэвтэртээ өгсөн
хэмжээгээр алдаагүй хэрхэн зурах вэ? гэсэн асуудал дэвшүүлээрэй. Уг асуудлыг шийдвэрлэхэд
тулгарч байгаа үйл ажиллагаа нь энэ нэгж хичээлийг судалснаар шийдвэрлэж болохыг
ухааруулна.
2см
0.5см
3.5см
3см
4.5см
7.5см
1.5см
4см
2.5см
120o
60o
5см
6см
6см
6см
6см
6см
6см
5см 5см
2см
2см
45o
45o
120o
120o
2см
8см
4см
8см
36o
72o

86. 86
Анхаарах зүйл.
• Байгуулалт хийхэд транспортир, хуваарьтай шугам, гортиг, харандаа зэрэг багаж
ашиглагдах тул эдгээр багаж хэрэгслийг тогтмол авч явах, аюулгүй хэрэглэх тал дээр багш
та аюулгүй ажиллагааны зааварчилгааг өгөөрэй.
• Сурагчид таны төлөвлөснөөс өөр аргаар зурж, байгуулж болно, тэр үед нь өөрийнхөө
байгуулсан аргаар заавал хий гэхээс илүүтэйгээр сурагчийн үйлдлийг дэмжиж ажиллахыг
хичээгээрэй.
• Байгуулалтуудыг дадлага ажлаар өгсөн бөгөөд дадлага ажил тус бүрийг гүйцэтгүүлэхэд
сайтар анхаарах шаадлагатай. Учир нь дадлага ажил хийх явцдаа сурагчид идэвхтэйгээр
мэдлэг чадвар эзэмших нэг хэлбэр болдог.
Даалгавруудын тайлбар.
Хэрчмүүдийн уртыг олоорой. A B C D
а.AB, BC б.AB+BC в.CD–BC г.BC+CD
3-р дасгал дээр AD хэрчмийн уртыг хэмжүүлнэ. AB, BC, CD хэрчмүүдийн уртыг тус тус
хэмжүүлнэ. AB, BC, CD хэрчмүүдийн уртын нийлбэр нь AD хэрчмийн урттай тэнцүүг олуулна.
Эндээс аливаа хэрчмийг хуваахад хуваагдсан хэсгүүдийн уртын нийлбэр нь уг хэрчмийн урттай
тэнцүү гэсэн дүгнэлтийг гаргуулна.
Сурагчдын гаргасан алдааг олоорой.
а. Аль сурагч буруу зурсан бэ? б. 3см урттай хэрчим аль нь буруу дүрсэлсэн бэ?
А Б
Миллиметрийн
нарийвчлалтай
зурах, хэмжихэд
үзэг, харандааны
үзүүрийг тооцож,
алдаа бага гаргах.
А
Б
В
6 дугаар дасгалаар нь сурагчид болоод насанд хүрсэн хүмүүс мөн адил түгээмэл гаргадаг
алдааг оруулсан бөгөөд уг дасгал дээр сурагчдаар алдаатай үйлдлийг олуулах яагаад алдаатай гэж
бодож байгаа талаар ярилцах, дүгнэлт хийх ач холбогдолтой.
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Бялууг хэрхэн хуваах вэ?
Бялууг ангийн 30 сурагчид тэнцүү хуваахын тулд хэдэн градусын өнцөг
үүсгэж хуваахыг тооцоолж, транспортир ашиглан уг өнцгийг олоорой.
Нийт сурагчийн 20 нь эмэгтэй бол эрэгтэй, эмэгтэй сурагчдад ногдох
бялууны өнцгийг зураарай.
Бодолт: Энэ хэсэгт бялууг хэрхэн хуваах вэ? гэсэн асуудал шийдвэрлэх бодлого дээр ярилцана.
Эндээс хурц, 180o
-аас их өнцөг зурах хэрэгцээг гаргана. Уг асуудлыг шийдвэрлэхдээ гүйцэд
өнцгийн талаарх ойлголтыг сэргээн бататгана. Магадгүй, сурагчид өөрөөр тооцоолж болохыг
анхаараарай.
Нэмэлт мэдээлэл.
Өнцөг:
Өнцөг байгуулах үйл ажиллагаа энэ хэсэгт чухал юм. Мөн өнцгийг хуваах замаар өнцгүүд
байгуулахад хуваагдлаар үүссэн өнцгүүдийн нийлбэр нь уг өнцгийн хэмжээтэй тэнцүү байхыг
тогтоолгоорой.

87. 87
O
B
D
C
A
∠AOC= ...
∠COD= ...
∠DOB= ...
∠AOB= ...
Өнцгүүдийг хэмжиж, эдгээрийн хамаарлыг тогтооно.
Эндээс ∠AOC, ∠COD, ∠DOB өнцгүүдийн нийлбэр өнцгийг зурахдаа эдгээрээс бүгдийг
зурахаас илүүтэйгээр ∠AOC+∠COD+∠DOB-тэй тэнцүү нэг өнцөг байгуулах.
Параллель, перпендикуляр шулуун: 4 дүгээр ангид гурвалжин шугам ашиглан параллель,
перпендикуляр шулуун байгуулж сурсан бөгөөд энэ ангид транспортир, шулуун шугамын
тусламжтай байгуулж байгаагаар ялгаатай.
Үзсэн дөрвөн өнцөгтүүдийг нь зуруулах даалгавар өгч хийлгээрэй. Энэ нь өмнөх мэдлэгээ
сэргээх явцын үнэлгээ болох болно.
Гурвалжныг өгсөн тал, өнцгөөр нь зурах: Гурвалжныг зурахдаа түүний ангилал болон өмнө
үзсэн зарим шинж чанарыг сэргээнэ.
Гурвалжин дүрсээс тогтсон гацуур модоор сэдэлжүүлж, гурвалжин зурах асуудал
дэвшүүлээрэй.
Олон өнцөгт: Дадлага ажил 8-д цогц асуудал хөндөж байгаа бөгөөд өмнөх ангид судалсан
план зурагтай холбогдож байгаа болно. Энэ асуудлыг дараагийн дадлага ажлуудаар шийдвэрлэж
байгаа болно.
Энэ нэгж хичээлийг судласнаар транспортир, хуваарьтай шугам, гортигийн тусламжтайгаар
тал, өнцөг нь мэдэгдэж байгаа янз бүрийн дүрс, дүрсээс бүтсэн нийлмэл дүрсийг зурах чадвартай
болно.
Байгуулалтын залгамж холбоо: (Суурь боловсролын түвшинд судлах агуулга анги тус
бүрээр)
Суурь боловсролын хүрээнд геометр байгуулалтыг чухалчлан авч үзэж байна. Үүнд:
6 дугаар анги: Хуваарьтай шугам, трансфортир ашиглан дараах байгуулалтуудыг хийх.
• Хэрчмийг миллиметрийн нарийвчлалтай хэмжих, зурах
• Хурц, мохоо, тэгш өнцөг, 180o
-аас их өнцгүүдийг градусаар хэмжих, байгуулах
• Харилцан параллель, перпендикуляр шулуунууд байгуулах
• Гурвалжныг түүний хоёр тал, хоорондох өнцөг (ТӨТ), нэг тал, түүнд налсан хоёр өнцөг
(ӨТӨ)-өөр байгуулах
• Квадрат, тэгш өнцөгт, зөв гурвалжин байгуулах
• Зөв олон өнцөгтийг тал ба өнцгөөр нь байгуулах
7 дугаар анги: Хуваарьгүй шугам, гортиг ашиглан дараах байгуулалтуудыг хийх.
Геометрийн үндсэн байгуулалт:
• Хэрчмийг таллан хуваах, хэрчмийн дундаж цэгийн дайруулан перпендикуляр шулуун
байгуулах
• Өгсөн өнцөгтэй тэнцүү өнцөг байгуулах
• Өнцгийн биссектрисс байгуулах
Тойрог, нум, гурвалжин байгуулах
• Тойрог, тойргийн нум байгуулах
• Гурвалжныг гурван талаар нь байгуулах
• Гурвалжныгхоёрталхоорондохөнцөг,хоёрөнцөгхоорондохталааргурвалжныгбайгуулах
• Тэгш өнцөгт гурвалжныг нэг катет, гипетонузаар нь байгуулах

88. 88
2.18. Нэгж хичээлийн сэдэв: Тэгш өнцөгтийн периметр ба талбай
Хүрэх үр дүн
Тэгш өнцөгтийн периметр ба талбайг олох томьёог хэрэглэн мэдэгдэхгүй байгаа хэмжээг
олох, нийлмэл дүрсийн периметр болон талбайг олох, хэмжигдэхүүн хоорондын шууд
хамаарлыг ойлгон, асуудал шийдвэрлэх чадвартай болно.
Түлхүүр үг: м2
, нэгж шилжүүлэх, талбай, периметр
Хэрэглэгдэхүүн: 7×7, 10×10, 9×12 хэмжээтэй хүснэгт
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг, чадвар Одоо эзэмших мэдлэг, чадвар
• Дүрсийн периметрийг
олох, уртыг хэмжих нэгж
шилжүүлэх
• Талбайг тооцоолж олох,
талбайн нэгжүүдийг ойлгох
• Талбайг хэмжих нэгжүүдийг шилжүүлэх, талбайн нэгжүүд дээр
үйлдэл гүйцэтгэх
• Тэгш өнцөгтийн периметр ба талбайг олох томьёог гаргах,
хэрэглэх, тэгш өнцөгтүүдээс бүтсэн нийлмэл дүрсийн талбай,
периметрийг тооцоолох
• Нэг ба хоёр хэмжээст хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаар-
лыг ойлгох, асуудал шийдвэрлэхэд хэрэглэх
Үйл ажиллагаа:
1. Талбайг хэмжих нэгж шилжүүлэх, үйлдэл гүйцэтгэх.
Давтах, бататгах хичээл учир сурах бичгийн асуудал дэвшүүлсэн сэдэлжүүлэх бодлогоор ямар
учраас хэмжих нэгжүүдийг хооронд нь шилжүүлдэг талаар сэргээн сануулж болно. Мөн асуудал
шийдвэрлэх төлөвлөгөөг өөрөөр зохиолгож болохыг анхаараарай. Сурагчдын буруу хариултыг
үгүйсгэхгүйгээр илүү хялбар дөхүүлэх асуултаар хөтлөөрэй.
а. Нэг дэвтрийн цаасны хэмжээг олох үйлдэл нь тодорхой хэмжээ бүхий
талбай × тоо хэмжээ = талбайн хэмжээ гарч байгааг сурагчдаар гаргуулна.
б. Талбайн хэмжээг талбайн хэмжээнд хуваах үйлдэл гүйцэтгэхдээ заавал ижил нэгжид
шилжүүлэх шаардлагатай болдгийг сурагчдаар гаргуулах, ойлгуулахад анхаарах хэрэгтэй.
Бодлого 1. 10см2
хэмжээтэй цаасыг 10мм2
хэмжээтэй цааснууд болгон хуваавал хэдэн хэсэг
болох вэ?
Бодолт: I алхам. 1см талтай квадрат зуруулаад талбайг олно.
II алхам. 10мм талтай квадрат зуруулаад талбайг олно.
III алхам. Эдгээр нь тэнцүү байгааг сурагчид өөрсдөө хялбархан харах тул нэгжийг шилжүүлэх
дүрмийг сурагчдаар гаргуулах, түүнийгээ ашиглан дүгнэлт хийнэ.
Мөн талбайн хэмжээг тоо хэмжээнд хуваах талаар ярилцаж болно.
Бодлого 2. 10дм2
хэмжээтэй цаасыг 10 хэсэг болгон хуваавал нэг хэсэгт хэдэн дециметр
квадрат талбай ногдох вэ? гэх мэт
Даалгаврын тайлбар.
Зурагт өгсөн талбайнуудын нийлбэрийг олж, м2
-аар
илэрхийлээрэй.
Хэмжих нэгжүүд дээр үйлдэл гүйцэтгэхдээ заавал ижил нэгж рүү шилжүүлэх ёстой гэдэгт
сурагчдын анхаарлыг хандуулна. Мөн ийм төрлийн бодлого зохиолгож дэлгэрүүлэн бодуулж
болно.
120дм2
12м2
120см2

89. 89
Хэмжигдэхүүнийг тоогоор үржүүлэх, хэмжигдэхүүнд хуваах, тоо хэмжээнд хуваах нь ямар
ялгаатай байгаа талаар ярилцаарай.
Энэ бодлогыг асуудал шийдвэрлэх алхмын дагуу төлөвлөгөө гарган бодож болно.
Ногоон ба цэнхэр өнгөтэй квадратуудыг зурагт үзүүлснээр давхарлажээ.
Цэнхэр квадратын талбай 3см2
бол ногоон квадратын талбайг олоорой.
Бодолт: 3см2
÷2=1.5см2
2. Тэгш өнцөгтийн периметрийг олох томьёо гаргах, хэрэглэх.
Сэдэлжүүлэх бодлогын тэгш өнцөгт бүрийн периметрийг олно. Үсэгт илэрхийллийн талаар
ойлголттой болсон тул тэгш өнцөгтийн урт ба өргөн гэдэг ойлголтыг тэгш өнцөгтийн талууд гэсэн
ойлголтоор өргөжүүлэх хэрэгтэй.
Сэдэлжүүлэх даалгавар.
Бодлого 1. Гэр бүлийн 27см×20см хэмжээтэй зургийг жаазанд хийхээр болжээ. Жааз хийх
материалын өргөн нь 3.5 см ба зургийн ирмэг нь жаазны дотор хүрээтэй яг нийлж байхаар хийхийн
тулд хэдэн сантиметр материал авах вэ?
а. Жаазны урт нь зургийн уртаас хэдэн сантиметрээр урт вэ?, Өргөн нь хэд байх вэ? гэх мэт
асуултуудаар дөхүүлэх боломжтой. Урт=27см+3.5см+3.5см=34см, өргөн=27см
б. Шаардагдах материалын уртыг олох нь жаазны периметрийг олох бодлого руу шилжиж
байгааг сурагчид ойлгоод өмнө мэддэг байсан периметр олох томьёогоо ашиглан жаазны
периметрийг олох боломжтой.
Хэрчмийн урт нь хуваагдсан хэсгүүдийнхээ уртын нийлбэртэй тэнцүү байдаг чанарыг
ашиглан төрөл бүрийн доголтой дүрсийн периметрийг олох боломжтой. Мэдэгдэхгүй
байгаа хэмжээсүүдийг ямар үед олох шаардлагагүй, ямар үед олох шаардлагатай байгааг
сурагчдаас асууж ярилцана.
Савхнууд бүхэл тоон урттай байгаа. Иймд хэрэв квадрат үүсгэж болдог гэвэл периметр 4-т
хуваагдах ёстой. Гэтэл саваануудын нийлбэр 50см тул квадрат хийх боломжгүй.
3. Тэгш өнцөгтийн талбайг олох томьёо гаргах, хэрэглэх.
Талбайг олох томьёог сурагчид V ангид үзсэн тул энд сэргээн бататгах зорилгоор сэдэлжүүлэх
даалгаврыг оруулсан.
б. 6см талтай квадратыг хуваагаад буцааж эвлүүлэх бүрд талбай нь ямагт 36 см2
байгаа гэдэгт
сурагчдын анхаарлыг хандуулаарай. Эвлүүлэхдээ зөвхөн тэгш өнцөгт болгоно.
в. Хүснэгтийг нөхөж дуусгаад урт ба өргөний үржвэр 36 гарч байгааг сурагчид өөрсдөө дүгнэх
нь чухал. Эндээс талбайг олох томьёог гаргах боломжтой болно. V ангид тэгш өнцөгтийн талбайг
үгээр томьёолж байсан бол VI ангид S=a×b гэсэн үсгээр томьёолж байгаагаараа ялгаатай.
Даалгаврын тайлбар.
Доголтой дүрсийн хувьд талбайг олох
арга нь адил (том тэгш өнцөгтөөс
4 квадратын талбайг хасах) байгаа
боловч периметрийг олох арга нь
өөр байгааг сурагчдад анхааруулна.
Асуултуудаар дөхүүлж болно.
а. Өгсөн дүрсийн периметрийг олох-
доо 5×7 тэгш өнцөгтийн периметр дээр хэдийг нэмэх вэ?
б. Өгсөн дүрсийн периметрийг олохдоо 6×5 тэгш өнцөгтийн периметрийг олоход хан-
галттай байгааг сурагчдаар гаргуулна.
7м
5м
1м
1м
4м
1м
3м
а. б.

90. 90
в. Төлөвлөгөөг хэд хэдэн хувилбараар гаргуулаарай.
Хувилбар: 1. Дүрсийг зурагт үзүүлснээр тэгш өнцөгтүүдэд хуваана.
2. Мэдэгдэхгүй байгаа хэмжээнүүдийг олно.
3. Тус бүрийн талбайг олно
4. Нийт талбайг олно.
Сурагчдыг багуудад хуваагаад өгсөн дүрсүүдийг зуруулж болно.
Дараа нь багуудын зурсан зургуудыг сольж өгөөд периметрийг олуулж болно.
Асуудлыг илүү өргөсгөхийн тулд 40 дүгээр бодлогод байгаатай төстэй буюу тэгш өнцөгтийн
булангаас тэгш өнцөгт ухаж авсан, эсвэл талын дундаас тэгш өнцөгт ухаж авсан байхаар ялгаатай
зуруулж болно.
Квадратыг гурван тэгш өнцөгтөд хуваав. Тэдгээрийн нэг нь 5×11, нөгөө нь 4×6 хэмжээтэй
бол гурав дахь тэгш өнцөгтийн хэмжээг олоорой.
Бодолт: Дараах асуултуудаар чиглүүлж болно.
• Гурван тэгш өнцөгтийг ямар байдлаар эвлүүлбэл тэгш өнцөгт үүсэх боломжтой вэ?
• Эсвэл тэгш өнцөгтийг гурван тэгш өнцөгтөд ямар байдлаар хувааж болох вэ?
Эндээс сурагчид хоёр босоо шулуунаар, хоёр хэвтээ шулуунаар, нэг босоо нэг хэвтээ шулуу-
наар гэсэн 3 аргаар хувааж болохыг харна.
• Дээрх бодлогод аль хуваалт тохирч байна вэ? гэх мэт.
Дидактик тоглоом
Давхардуулахгүйгээр зураарай.
Хэрэглэгдэхүүн: 7×7, 10×10, 9×12 хэмжээтэй хүснэгтүүд.
Дүрэм: Өгсөн хэмжээтэй тэгш өнцөгтүүдийг нэг хүснэгтэд давхардуулахгүйгээр зурж
өнгөөр будна.
а. 7×7 хүснэгтэд 1 .P=12н, S=9н.кв 2 . P=18н, S=14н.кв
3 . P=16н, S=15н.кв
б. 10×10 хүснэгтэд 1 . P=18н, S=14н.кв 2 . P=16н, S=15н.кв
3 . P=24н, S=20н.кв 4 . P=26н, S=30н.кв
в. 9×12 хүснэгтэд 1 . P=20н, S=16н.кв 2 . P=24н, S=35н.кв
3 . P=28н, S=49н.кв
Сурагчдыг баг болгон хуваана. Эхлээд тэгш өнцөгт бүрийн талбайг олж тохирох хүснэгтэд
багтах эсэхийг тодорхойлно. Үүний дараа периметрийн томьёог сануулж хүснэгтэд багтаахын
тулд периметр ямар байх ёстойг тооцоолох хэрэгтэй.
Нэмэлт: 10×11 хүснэгтэд 1. P=16, S=15; 2. P=18, S=18; 3. P= 24, S=20; 4. P=26, S=30
10×16 хүснэгтэд 1. P=16, S=16; 2. P=22, S=28; 3. P= 26, S=30; 4. P=30, S=50
4. Хэмжигдэхүүн хоорондын хамаарлыг тогтоох.
Сурах бичгийн сэдэлжүүлэх бодлогоор тэгш өнцөгтийн тал ба талбайн хамаарлыг тогтоож
болно. Үүнийг багшийн номын 2 дугаар бүлгийн Асуудал шийдвэрлэх арга зүй хэсэгт тусгасныг
харна уу.
Бодлого: 8м×12м хэмжээтэй тэгш өнцөгт хэлбэртэй байшингийн суурь өгчээ. Дараах
асуултын дагуу ярилцаарай.
Бодолт:
1. Байшингийн суурийн талбай ямар байхаар зурсан бэ? 8м×12м=96м2
2. 8м-ийг хэд дахин ихэсгэхэд урт нь 10м болох вэ? (Энд яагаад 2м-ээр нэмэгдүүлэх үйлдэл
ашиглаж болохгүй тухай заавал ярилцаарай). 10м×8м=1.25
3. Талбай хэд дахин ихсэх вэ? Талбай 1.25 дахин ихэснэ
4. Талбайг хэвээр үлдээх ёстой бол өргөнийг хэрхэн өөрчлөх вэ?
Өргөнийг 1.25 дахин багасгана.
7см
5см
3см
19см
4
см
8
см

91. 91
5. Шинэ зургийн өргөн ямар байх вэ? Өргөн=12м÷1.25=9.6м
6. Шинэ бодлого зохиолгоорой.
Дааалгаврын тайлбар.
Хэдэн ширхэг квадратыг нийлүүлж:
а. 2 дахин их талтай квадрат
б. 3 дахин их талтай квадрат тус тус үүсгэх вэ?
Тайлбар: “2 дахин их талтай квадрат үүсгэхэд периметр нь хэрхэн өөрчлөгдөх вэ?” гэсэн
асуулт тавьж болно. Сурагчдын буруу хариултыг үгүйсгэхгүйгээр шалгаж үзээд өөрсдийн
зөв эсэхийг нягталж үзэхийг санал болгох нь чухал.
Энэ бодлогыг асуудал шийдвэрлэх арга зүйгээр шийдвэрлэж болно. Дахин ямар асуулт
гаргаж болохыг ярилцаад шийдвэрлэнэ.
Тэгш өнцөгтийн талууд нь бүхэл тоогоор илэрхийлэгддэг бөгөөд
периметр 28см. Энэ тэгш өнцөгтийн дотор нэг оройгоос гарсан хоёр
талын нэг талаас нь 2см, нөгөө талаас 7см зайтай цэг тэмдэглэв
(зураг хараарай). Тэгш өнцөгтийн талууд ямар байж болох вэ?
Тайлбар: Цэгийг хаана ч авсан адил байгааг туршуулж ойлгуулаарай.
Анхаарах зүйл.
Энэ хичээл нь шууд болон урвуу пропорционал хамаарал ойлголтын угтвар болж байгааг
анхаарч талбай нь талуудаасаа шууд, талууд нь хоорондоо урвуу хамаарч байгааг ойлгох, өөрийн
үгээр тайлбарлаж сурахад нь чиглүүлнэ.
Явцын үнэлгээний жишиг даалгавар.
1. 5см2
-ийг мм2
нэгжид шилжүүлэхдээ хэдээр үржүүлэх вэ?
2. Тэнцүү хэмжээнүүдийг харгалзуулаарай.
0.02 м2
2000 мм2
200 см2
20 см2
2 дм2
0.2 дм2
3. Үйлдлийг гүйцэтгээрэй.
6 см × 2 см 6 см2
× 2 6 см × 2 6 см × 2 дм
6 см ÷ 2 см 6 см2
÷ 2 6 см2
÷ 2 см2
6 см2
÷ 2 см
4. Цэгийн оронд тохирох үгийг нөхөөрэй.
Уртыг олохдоо ... хуваагаад ... хасна. Өргөнийг олохдоо ... уртад хуваана.
5. Периметр нь 16 байх бүхэл талуудтай ямар ямар тэгш өнцөгт байх вэ? Тус бүрийнх нь
талбайг олоорой. (Энд хэдэн хариулт олсноо харгалзан үзээрэй)
6. 3см талтай 3 ижилхэн квадратыг залгаж тэгш өнцөгт үүсгэв. Периметр нь хэд болох вэ? Яг
ийм 4 ижилхэн квадратыг уртааш нь залгавал периметр нь хэд болох
вэ? 3 ижил квадратыг догол үүсгэн залгавал үүссэн дүрсийн периметр
нь хэд болох вэ?
7. Дүрсийн талбайг олоорой.
7см
2
см

92. 92
2.19. Нэгж хичээлийн сэдэв: Боломж тоолох
Хүрэх үр дүн
Боломж тоолох, нийлбэр, үржвэрийн зарчмыг ахуй амьдралын жишээн дээр хэрэглэх, үр
дүнг шалгах, тайлбарлах чадвартай болно.
Түлхүүр үг: Үржвэрийн зарчим, нийлбэрийн зарчим
Хэрэглэгдхүүн: Явцын үнэлгээний даалгавар
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг, чадвар Одоо эзэмших мэдлэг,чадвар
• Бүх боломжийг тоочин бичих, хүснэгт
болон модны арга ашиглан боломж тоолох
• Туршилтын үр дүнг бүртгэх
• Үржвэрийн зарчим ашиглан боломж тоолох
• Нийлбэрийн зарчим ашиглан боломж тоолох
• Хялбар тохиолдолд үржвэрийн зарчим ба нийлбэр-
ийн зарчмыг хослуулан хэрэглэж боломж тоолох
Үйл ажиллагаа:
1. Боломж тоолох, үржвэрийн зарчмын аргын мөн чанарыг ойлгох.
Сурах бичгийн сэдэлжүүлэх бодлогоор асуудал дэвшүүлэн, модны аргаар боломж тоолох
чадварыг сэргээн бататгана.
Дөрвөн найз цуглараад хоёр хоёроороо зургаа
авахуулахаар шийджээ.
• Хэдэн удаа зураг авах хэрэгтэй вэ?
• Хэрэв найзуудын тоо хоёр, гурав, тав, зургаа байсан
бол хэдэн янзын зураг гарах вэ?
• Хоёр найз хэдэн янзаар зургаа авахуулж болох тухай ярилцана. Найзууд байраа солиход
ялгаатай гэж үзэж болох уу?
• Гурван найз хэдэн янзаар зургаа авахуулж болох тухай ярилцана.
• Дөрвөн найзын тохиолдолд хэдэн боломж гарах вэ? Энэ төрлийн бодлогыг бодох хялбар
арга байж болох уу?
• Модны аргаар бодоход ямар учраас
боломжуудын тоог үржүүлдэг вэ? гэсэн
асуулт тавьж хэлэлцүүлнэ.
• Жишээ 1 ба Жишээ 2-ын бодолтыг
хэлэлцэнэ.
• Ямар учраас үржвэрийн зарчим гэсэн нэрийг хэрэглэдэг вэ?
• Боломж тоолох ямар төрлийн бодлогод үржвэрийн зарчмыг хэрэглэж болох вэ?
2. Боломж тоолох, нийлбэрийн зарчмын аргын мөн чанарыг ойлгох.
Сурах бичгийн Жишээ 3-аар асуудал дэвшүүлэн, модны аргаар боломж тоолох чадварыг
сэргээн бататгана.
A
B
C
B
C
D
A

93. 93
Зураг дээр P-ээс Q-д хүрэх
хэчнээн ялгаатай зам байх вэ?
Бодолт: P-ээс Q-д хүрэхийн
тулд дээд, доод гэсэн хоёр салаа
замын аль нэгээр явах боломжтой. Дээд замаар явахад A-аар дайрах учраас 2
ялгаатай зам, доод замаар явахад B-ээр дайрах учраас 6 ялгаатай зам байна.
Одоо A, B-г дайрсан бүх замуудын тоог нэмбэл нийт 2+6=8 ялгаатай зам
гарна.
Энд үзэгдлүү-
дийн илрэх
боломжуудын
тоог нэмж
байна. Үүнийг
нийлбэрийн
зарчим гэнэ.
Энд үзэгдлүү-
P
A
B
D
E G Q
• P-ээс B-ээр дайран Q-д хүрэх ялгаатай замын тоо ямар учраас 6-тай тэнцүү вэ? Энд
боломж тоолох ямар аргыг хэрэглэсэн бэ?
• А-аар дайрсан ба В-ээр дайрсан замуудын тоог ямар учраас нэмэх хэрэгтэй вэ?
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Гүдгэр олон өнцөгт
Гүдгэр 5, 6, 8, 10 өнцөгт тус бүр хэчнээн
диагональтай вэ?
Бодолт: Бодох аргаа дараах алхмаар төлөвлөе.
I алхам. Орой бүрээс хэдэн диагонал гарах вэ? Оройн тооноос 3-аар цөөн диагональ гарна.
II алхам. Орой бүрээс гарах диагоналийн тоог оройн тоогоор үржүүлбэл ямар тоо гарах вэ?
Диагоналийн тооноос хоёр дахин их тоо гарна.
III алхам. Өмнө гарсан тоонд диагонал бүр хэдэн удаа давхардаж тоологдсон бэ? Хоёр удаа
давхардаж тоологдоно. Иймээс оройн тоо 5, 6, 8, 10 байх тохиолдол тус бүрд диагоналийн
тоо (5×2)÷2=5, (6×3)÷2=9, (8×5)÷2=20, (10×7):2=35 гарна.
IV алхам. Диагоналийн тоог олох өөр ямар аргууд байж болох вэ? Бүх хэрчмийн тооноос
талын тоог хасаж болно. Оройн тоо 5, 6, 8, 10 байх тохиолдол тус бүрд бүх хэрчмийн
тоо (5×4)÷2=10, (6×5)÷2=15, (8×7)÷2=28, (10×9)÷2=45 болох ба үүнээс талын
тоог хасвал 10–5=5, 15–6=9, 28–8=20, 45–10=35 гарч байгаа нь өмнөх аргаар бодсон
хариутай тохирч байна.
V алхам. Энд үржвэрийн зарчим хэзээ хэрэглэсэн бэ? Нийлбэрийн зарчим хэрэглэгдсэн үү?
гэдгийг ярилцана.
Анхаарах зүйл.
Сурагчид боломж тоолохдоо үржвэрийн зарчим ба нийлбэрийн зарчмын ялгааг төдийлөн
ухаарч ойлгохгүй, хэрэглэхдээ будилдаг тал бий. Иймд зам тоолох бодлогод төвлөрч ялгааг
мэдрүүлэхийг хичээх хэрэгтэй. Зам бүрийн дагуух аргын тоог үржүүлж, салаалсан зам бүрд
гарсан аргын тоог нэмнэ.
Нэмэлт мэдээлэл.
Үржвэрийн зарчим нь үнэн хэрэгтээ Деêарт үржвэрийн чадал нь үржвэрт оролцож буй
олонлогуудын чадлын үржвэртэй тэнцүү гэсэн теорем юм. Харин нийлбэрийн зарчим нь
үл огтлолцох олонлогуудын нэгдлийн чадал нь нийлбэрт оролцож буй олонлогуудын чадлын
нийлбэртэй тэнцүү гэсэн теорем юм.

94. 94
Даалгавруудын бодолт.
Дэлгүүрт 5 төрлийн аяга, 3 төрлийн дийз, 4 төрлийн халбага зарж байв. Аяга, дийз,
халбага гэсэн цайны иж бүрдлийг хэдэн янзаар худалдан авах боломжтой вэ?
Бодолт:
Үржвэрийн зарчмаар 5×3×4=60 янзаар худалдан авч болно.
Бүх цифр нь сондгой гурван оронтой тоо хэчнээн байх вэ?
Бодолт: Үржвэрийн зарчмаар 5×5×5=125.
Бүх цифр нь тэгш гурван оронтой тоо хэчнээн байх вэ?
Бодолт:
Үржвэрийн зарчмаар 4×5×5=100. Эхний цифр 0 байж болохгүйг тооцов.
Шатрын хөлөг дээр цагаан ба хар тэргийг бие биеэ идэхгүйгээр хэдэн янзаар байрлуулж
болох вэ?
Бодолт:
Үржвэрийн зарчмаар 64×49=3136.
2×2 хэмжээтэй хүснэгтийн нүд бүрийг хар цагаан өнгөний аль нэгээр будаж болно. Энэ
туршилтад хэчнээн ялгаатай үзэгдэл илэрч болох вэ?
Бодолт:
Үржвэрийн зарчмаар 2×2×2×2=16.
Урт богино хоёр савхыг гурван өнгө ашиглан хэдэн янзаар будаж болох вэ?
Бодолт:
Үржвэрийн зарчмаар 3×3=9.
1, 2, 3, 4 гэсэн цифрүүдээр дараах нөхцөлийг хангах хоёр оронтой тоо хэдийг зохиож болох
вэ?
а. Цифр давтагдаж болно б. цифр давтагдахгүй
в. цифр давтагдахгүй, сондгой цифрээр төгссөн.
Бодолт:
Үржвэрийн зарчмаар a. 4×4×4×4=256, б. 4×3×2×1=24, в. 3×2×1×2=12.
3 охин, 2 хөвгүүн нэг эгнээнд хэдэн янзаар жагсаж болох вэ? Хэрэв хоёр охины дунд ядаж
нэг хөвгүүн байх ёстой хэдэн янзаар жагсах боломжтой вэ?
Бодолт:
Үржвэрийн зарчмаар 5×4×3×2×1=120, хоёр охины дунд нэг хөвгүүн зогсоно гэвэл 3 охины
байраа сэлгэх 1×2×3 боломж, хоёр хөвгүүний байраа сэлгэх 1×2=2 боломж гарах ба нийтдээ
үржвэрийн зарчмаар 12 боломж байна.
1, 2, 3, 4 гэсэн цифрүүдээр бүх цифр нь ялгаатай, дараах нөхцөлийг хангах гурван оронтой
тоо хэдийг зохиож болох вэ?
а. 4-өөр төгссөн б. 4-өөр төгсөөгүй.
Бодолт:
Үржвэрийн зарчмаар a. 3×2×1×1=6, б. 1×2×3×3=18.
Сам, үзэг, түлхүүр гурвыг хоёр халаасандаа хэдэн янзаар хийж болох вэ?

95. 95
Бодолт:
Баруун ба зүүн халаасанд самыг хийх 2 арга, үзгийг хийх 2 арга, түлхүүрийг хийх 2 арга байх
ба иймд үржвэрийн зарчмаар нийт 2×2×2=8 арга байна.
Дэлгүүрт 5 төрлийн аяга, 3 төрлийн дийз, 4 төрлийн халбага зарж байв. Өөр нэртэй хоёр
цайны хэрэгслийг хэдэн янзаар худалдан авах боломжтой вэ?
Бодолт:
Аяга ба дийз, аяга ба халбага, дийз ба халбага гэсэн хослолууд авч болно гэсэн үг. Үржвэрийн
зарчмаар аяга ба дийз авах 5×3=15 боломж, аяга ба халбага авах 5×4=20 боломж, дийз ба халбага
авах 3×4=12 боломж байна. Эцэст нь нийлбэрийн зарчмаар 15+20+12=47 боломж байна.
Цифрүүдийн нийлбэр нь 4-тэй тэнцүү гурван оронтой тоо хэд байдаг вэ?
Бодолт:
Бүх боломжийг жагсаавал 400, 310, 130, 301, 103, 202, 220, 211, 121, 112 гэсэн 10 боломж
байна. Энэ жишээ нь зарим тохиолдолд боломж тоолох аргыг эрж хайснаас бүх боломжийг
жагсааж бичих нь амар байдгийг харуулж байна.
Ядаж хоёр цифр нь ижил гурван оронтой тоо хэд байх вэ?
Бодолт:
Ийм тоо aab, aba, baa, aaa гэсэн 4 янзын хэлбэртэй байж болно. Энд а, b нь ялгаатай цифрүүд.
aab, aba, baa хэлбэрийн тоонууд тус бүр үржвэрийн дүрмээр 81 байна. аaa хэлбэрийн тоо 9 байна.
Иймээс нийлбэрийн зарчмаар 81+81+81+9=252.
Яг гурван цифр нь ижил дөрвөн оронтой тоо хэд байх вэ?
Бодолт:
Ийм тоо aaab, aaba, abaa, baaa гэсэн 4 янзын хэлбэртэй байж болно. Энд а, b нь ялгаатай
цифрүүд. aaab, aaba, abaa, baaa хэлбэрийн тоонууд тус бүр үржвэрийн дүрмээр 81 байна. Иймээс
нийлбэрийн зарчмаар 81+81+81+81=324.
4-өөс олонгүй оронтой бүх цифр нь сондгой тоо хэд байдаг вэ?
Бодолт:
Үржвэрийн зарчмаар нэг оронтой 5, хоёр оронтой 25, гурван орнтой 125, дөрвөн оронтой 625
учраас нийлбэрийн зарчмаар 5+25+125+625=780 байна.
Хуралд оролцсон төлөөлөгч бүр бусад төлөөлөгчтэй гар барьжээ. Нийт 36 удаа гар барилцсан
бол хуралд хэдэн төлөөлөгч оролцсон бэ? Хэрэв 10 төлөөлөгч хуралд оролцсон бол хэдэн
удаа гар барих вэ?
Бодолт:
Төлөөлөгчийн тоог x гэвэл гар барилтын тоо x(x–1)÷2=36 болох ба x(x–1)=72 болно. Энэ
нөхцөлийг хангах натурал тоо зөвхөн x=8 байна. 10 төлөөлөгч оролцсон бол 10(10–1)÷2=45 гар
барина.
Нэгэн улс 7 хоттой. Аль ч хоёр хот агаарын замаар холбогдсон бол энэ улс хэдэн агаарын
замтай вэ?
Бодолт:
Өмнөх бодлогын адилаар 7(7–1)÷2=21.

96. 96
Нийт хэдэн хэрчим байна вэ?
а. б. в.
Бодолт:
а. 2+1=3 хэрчим. б. 3+2+1=6 хэрчим. в. 4+3+2+1=10 хэрчим байна.
Нийт хэдэн тэгш өнцөгт байна вэ?
а. б.
Бодолт:
Үржвэрийн зарчмаар а. 3×3= 9 тэгш өнцөгт. б. 6×3=18 тэгш өнцөгт байна.
Нийт хэдэн гурвалжин байна вэ?
а. б. в. г.
Бодолт:
а. 3 гурвалжин. б. 3+2+1=6 гурвалжин. в. 3+3=6 гурвалжин. г. 6+6=12 гурвалжин байна.
Явцын үнэлгээний жишиг даалгавар
Боломж тоолох нэгж хичээлээр эзэмших суралцахуйн зорилтыг үнэлэхэд санаа авч болох
даалгавруудыг орууллаа.
1. Модны арга, үржвэрийн зарчим, нийлбэрийн зарчим гэсэн гурван аргаар хоёр оронтой
тоонууд хэд байхыг олоорой.
2. Модны арга, үржвэрийн зарчим, нийлбэрийн зарчим гэсэн гурван аргаар хоёр оронтой
тэгш тоонууд хэд байхыг олоорой.
3. Гурван сурагчийг нэг эгнээнд хэчнээн янзаар жагсааж болох вэ?
4. 4 хүүхэд тойргоор шатар тоглов. Нийт хэдэн тоглолт болсон бэ?
5. 5-аар төгссөн, 3-т хуваагддаг 200-аас бага хэдэн тоо байх вэ?
6. 5 гэсэн цифр ядаж нэгийг агуулсан 100-аас бага хэчнээн тоо байх вэ?
7. 20 сурагчаас хоёр жижүүрийг хэдэн янзаар томилж болох вэ? Хэрэв 5 сурагч, 6 сурагч, 8
сурагч, 10 сурагч байсан бол ямар үр дүн гарах вэ?
8. Анги 15 эмэгтэй, 15 сурагчтай бол а) 2 эмэгтэй сурагчийг; б) 2 эрэгтэй сурагчийг; в)
эрэгтэй ба эмэгтэй сурагчийг хэдэн янзаар жижүүрээр томилж болох вэ?
9. A-аас С хүрэх бүх боломжит замын тоог олоорой.

97. 97
2.20. Нэгж хичээлийн сэдэв: Магадлал
Хүрэх үр дүн
Магадлалын талаар ойлголттой болох, ахуй амьдралтай холбох; магадлалын хэмжээс нь 0
ба 1-ийн хооронд байж болохыг ойлгох, тайлбарлах; ижил боломжтой үр дүнд суурилсан
үзэгдлийн магадлалыг олох; тухайн нэг үзэгдлийн хувьд гарч болох бүх үр дүнг олох,
тоочин бичих замаар юмсын зүй тогтол, учир шалтгааныг олох чадвартай болно.
Түлхүүр үг: Туршилт, үзэгдэл, гарцаагүй үзэгдэл, боломжгүй үзэгдэл, үзэгдлийн магадлал
Хэрэглэгдэхүүн: Зоосон мөнгө, шоо, тоон хүрд, ээрүүл, шагай
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг, чадвар Одоо эзэмших мэдлэг, чадвар
• Хялбар тохиолдолд үржвэрийн
зарчим ба нийлбэрийн зарчмыг
хослуулан хэрэглэж, боломж тоолох
• Туршилтын үр дүнг бүртгэх
• Энгийн бутархайг аравтын
бутархай ба процентоор
илэрхийлж тоон шулуун дээр
тэмдэглэх
• Гарцаагүй ба боломжгүй үзэгдлүүдийг ялгаж таних
чадвартай болох
• Зарим хялбар үзэгдлийн магадлалыг тоон шулуун дээр
тэмдэглэх
• Зарим хялбар үзэгдлүүдийн магадлалыг харьцуулах
• Ижил боломжтой үзэгдлүүдийн магадлал тэнцүү болохыг
ойлгож, хялбар туршилтын үр дүнгийн магадлалыг
тооцоолох
• Үзэгдлийн магадлалыг тоон шулуун дээр тэмдэглэх
Үйл ажиллагаа:
Үзэгдлийн илрэх боломжийг тоон үзүүлэлтээр илэрхийлэхийг ойлгох.
Сурах бичгийн сэдэлжүүлэх бодлогоор асуудал дэвшүүлж, өмнөх
мэдлэгийг сэргээн бататгаж болно.
• Нэг ширхэг зоосон мөнгө орхиход хэдэн янзын үзэгдэл илрэх тухай
ярилцана.
• Зоос тоогоор буух ба сүлдээр буух үзэгдлүүд ямар учраас ижил
боломжтой талаар ярилцана.
• Спортын ямар тэмцээнд, ямар тохиолдолд зоос орхиж шоддог талаар
ярилцана.
• Нэгэнт үзэгдлүүдийн илрэх боломж тэнцүү бол илрэх боломжийг
нь ямар тоогоор илэрхийлэх нь тохиромжтой вэ? гэсэн асуулт тавьж
хэлэлцүүлнэ.
• Жишээ 1 ба жишээ 2-ийг сурагчдаар бодуулна.
Сурагчидтай хамтарч хэлэлцэх асуултууд:
а.Зоос орхиход аль талаараа буухыг нь урьдчилан мэдэх боломжтой юу?
б.Зоосыг орхиодаль нэг талаараа буухад нь гаднаас нөлөөлөх боломжтой юу?
в. Зоос болон шоо ямар онцлог хэлбэртэй вэ? Бусад биетээс юугаараа ялгаатай вэ?
г. Шоог орхиход аль нүдээрээ буухыг нь урьдчилан мэдэх боломжтой юу?
д. Шоог орхиод аль нэг нүдээрээ буухад нь гаднаас нөлөөлөх боломжтой юу?
е. Зөв шоо ба зөв биш шоо ямар ялгаатай вэ?
Эдгээр асуултуудаар ярилцсаны дараа дараах зураглалыг сурагчдад өгнө.
Зоос хаяхад
сүлд буух,
тоо буух
үзэгдлүүдийн
илрэх боломж
тэнцүү
учраас эдгээр
үзэгдлүүдийн
магадлал тэнцүү
байна.

98. 98
0 1
Боломжгүй
үзэгдэл
Боломж
багатай
Тэгш
боломжтой
Боломж
ихтэй
Гарцаагүй
үзэгдэл
0 1
Нар баруу-
наас гарах
Шагай орхиход бод буух
Зоос хаяхад
тоо буух
Нар зүүнээс
гарах
Шагай орхиход бог буух
Дээрх зураглалыг сурагчдаар тайлбарлуулж, харилцан ярилцана.
Шагай авах
Уутанд байгаа 40 шагайнаас таамгаар нэгийг авахад ногоон шагай гарч ирэх магадлал 3
10
бол
хэдэн ногоон шагай байсан бэ?
Бодолт:
Уутанд байсан 40 шагайнаас таамгаар нэгийг авахад илрэх бүх боломжийн тоо 40 байна.
Ногоон шагай гарч ирэх үзэгдлийн магадлал
3
40
гэж өгсөн учраас сонгодог магадлалын томьёонд
орлуулбал
3
10
=ногоон шагайны тоо
40
болох ба эндээс ногоон шагайны тоо 12 байжээ гэсэн
дүгнэлт гарч байна.
Анхаарах зүйл.
Тоон хүрдийг бэлтгэхдээ сурагчид төвөгшөөдөг тал бий. Иймд хатуу цаасаар бэлтгэсэн зөв
олон өнцөгтийн голд харандаа буюу үзэг хатгаад, үзэгнийхээ үзүүрт бичгийн хавчаар мэтийн
чөлөөтэй эргэхээр зүйл хийж эргүүлж болдог.
Явцын үнэлгээний жишиг даалгавар
Магадлал нэгж хичээлээр эзэмших суралцахуйн зорилтыг үнэлэхэд санаа авч болох
даалгавруудыг орууллаа.
1. Дараах үзэгдлүүдийн аль нь гарцаагүй үзэгдэл вэ?
Лхагва гарагийн маргааш өдөр пүрэв гараг байх, үүл гарсан бол бороо орох, тэгш гадаргуутай
ширээн дээр зоосон мөнгө хаяхад сүлд эсвэл тоогоор тусах, өөд нь шидсэн чулуу буцаж газарт
унах, биеийн тамирын хичээл дээр ангийн ирц бүрэн байх.
2. Дараах үзэгдлүүдийн аль нь боломжгүй үзэгдэл вэ?

99. 99
Пүрэв гарагийн маргааш өдөр даваа гараг байх, үүл гарсан бол бороо орох, тэгш гадаргуутай
ширээн дээр зоосон мөнгө хаяхад хажуу ирмэгээрээ унах, элсэн дээр шагай орхиход онх буух,
хөх ба ногоон өнгөтэй харандаатай цүнхнээс таамгаар нэг харандаа гаргаж ирэхэд улаан өнгөтэй
харандаа гарч ирэх.
3. Уутанд 2 улаан, 5 шар, 3 ногоон бөмбөг байв.
Таамгаар нэг бөмбөг гаргаж ирэхэд тэр нь улаан, шар, ногоон бөмбөг байх үзэгдлүүдийн
магадлалыг олоорой. Олсон магадлалаа аравтын бутархай ба процентоор илэрхийлж тоон шулуун
дээр тэмдэглээрэй.
4. 10 талтай ээрүүл эргүүлэхэд хэсэг хугацааны дараа аль нэг талаараа тогтоно.
а) анхны тоогоор тогтох б) тэгш тоогоор тогтох в) 4-д хуваагдах тоогоор тогтох үзэгдлийн
магадлалыг тус тус олоорой. Олсон магадлалаа аравтын бутархай ба процентоор илэрхийлж тоон
шулуун дээр тэмдэглээрэй.
5. Шоо орхиход 3-аас их нүдтэй талаараа буух, 3-аас бага нүдтэй талаараа буух үзэгдлүүдийн
магадлалыг олоорой. Олсон магадлалаа аравтын бутархай ба процентоор илэрхийлж тоон шулуун
дээр тэмдэглээрэй.
Даалгавруудын бодолт.
“МАГАДЛАЛ” гэсэн үгийн үсгүүдээс таамгаар нэгийг сонгоход:
а. Эгшиг үсэг таарах магадлалыг олоорой;
б. Гийгүүлэгч үсэг таарах магадлалыг олоорой;
в. Олсон магадлалуудаа аравтын бутархай ба процентоор илэрхийлж тоон шулуун дээр
тэмдэглээрэй.
Бодолт:
а. Эгшиг үсэг таарах магадлал 0.375, б. Гийгүүлэгч үсэг таарах магадлал 0.625 байна.
УлаанцааснууддээрХ,Ү,С,Л,Э,Н,цагаанцааснууддээрБ,И,Л,Г,Ү,Ү,Нүсгүүдбичигджээ.
Санамсаргүйгээр нэг цаас сонгон авахад:
а. Л үсэгтэй байх;
б. Улаан өнгөтэй байх,
в. Улаан өнгөтэй бөгөөд Л үсэгтэй байх;
г. Цагаан өнгөтэй бөгөөд Ү үсэгтэй байх үзэгдэл тус бүрийн магадлалыг олж тоон шулуун
дээр тэмдэглээрэй.
Бодолт:
Бүх үсгийн тоо 13. а. Л үсэгтэй байх магадлал 2/13. б. Улаан өнгөтэй байх магадлал 6/13. в.
Улаан өнгөтэй бөгөөд Л үсэгтэй байх магадлал 1/13. г. цагаан өнгөтэй бөгөөд Л үсэгтэй байх
магадлал 2/13.
Тус бүр нь 5, 50, 100 сугалаатай гурван хайрцагт харгалзан 1, 11, 21 хонжвортой сугалаа
байгаа нь мэдэгдэж байв. Аль хайрцагнаас нь сугалаа авбал ашигтай вэ?
Бодолт:
Нэг сугалаа авахад хонжвортой сугалаа таарах магадлал I хайрцагны хувьд 1/5=0.2, II
хайрцагны хувьд 11/50=0.22, III хайрцагны хувьд 21/100=0.21 байх учраас II хайрцагнаас
хонжвортой сугалаа гарч ирэх магадлал их байна.

100. 100
Алимаа, Үзмээ хоёр 5 удаа зоос орхиход 4 удаад нь сүлдээрээ буув. Алимаа: дараагийн удаа
орхиход тоогоороо буух магадлал илүү гэв. Үзмээ: үгүй ээ, тийм биш гэжээ. Хэнийх нь зөв
бэ? Яагаад?
Бодолт:
Зоос болон шоо орхих туршилтад ямар үр дүн гарах нь өмнөх туршилтын үр дүнгээс
хамаарахгүй. Иймээс Үзмээгийн зөв.
7, 8, 9, 0 гэсэн цифрүүдээр хоёр оронтой тоо хэдийг зохиож болох вэ?
Бодолт:
Эхний цифрийг сонгох 3 боломж, хоёр дахь цифрийг сонгох 4 боломж байх учраас үржвэрийн
зарчмаар 3×4=12 тоо зохиож болно.
5, 6, 7, 8, 9 гэсэн цифрүүдээр цифр давтагдахгүй хоёр оронтой тоо хэдийг зохиож болох вэ?
Бодолт:
Эхний цифрийг сонгох 5 боломж, хоёр дахь цифрийг сонгох 4 боломжтой учраас үржвэрийн
зарчмаар 5×4=20 тоо зохиож болно.
11 гишүүнтэй хөл бөмбөгийн багт багийн ахлагч ба түүний орлогчийг хэчнээн янзаар
сонгож болох вэ?
Бодолт:
Ахлагчийг сонгох 11 боломж, орлогчийг сонгох 10 боломж байх учраас үржвэрийн зарчмаар
11×10=110 ялгаатай сонголт хийх боломжтой.
Яг хоёр цифр нь ижил гурван оронтой тоо хэд байх вэ?
Бодолт:
Ийм тоо aab, aba, baa гэсэн хэлбэртэй байна. Энд a,b нь ялгаатай цифрүүд. aab, aba, baa
хэлбэрийн тоонууд тус бүр 81 байна. Иймээс нийлбэрийн дүрмээр нийт 81+81+81=243 тоо байна.
1, 2, 3, 4, 5 цифрүүдээр ядаж хоёр цифр нь ижил гурван оронтой тоо хэдийг зохиож болох
вэ?
Бодолт:
Ийм тоо aab, aba, baa, aaa гэсэн хэлбэртэй байна. Энд a,b нь ялгаатай цифрүүд. aab, aba, baa
хэлбэрийн тоонууд тус бүр 20 байх ба aaa хэлбэрийн тоо 5 байна. Иймээс нийлбэрийн дүрмээр
нийт 20+20+20+5=65 тоо байна.
а. НАÐ б. НАÐС гэсэн үгийг хэдэн янзаар уншиж болох вэ?
Н Н А Ð С
А А А Ð С
Ð Ð Ð Ð С
С
а. б.
Бодолт:
Энд нийлбэрийн дүрэм хэрэглэгдэнэ. Үсэг тус бүрийн байранд уг үсэг рүү ирэх замын тоог
бичье:

101. 101
а. 1
1 1
1 2 1 Иймээс 1+2+1=4 аргаар уншиж болно.
б. 1 1 1 1
2 3 4
5 9 14. Иймээс 14 аргаар уншиж болно.
1×5 хөлгийн A нүдэнд байгаа даамыг 1 эсвэл 2 нүдээр зөвхөн баруун тийш нүүлгэн E нүд
рүү хэдэн ялгаатай аргаар шилжүүлж болох вэ?
A B C D E
Бодолт:
Нүд бүрд уг нүд рүү очих ялгаатай замын тоог бичье.
A B C D E
1 2 3 4
Бүх цифрүүд нь тэгш, эсвэл сондгой байх, цифр давтагдахгүй 3 оронтой тоо хэдэн ширхэг
байх вэ?
Бодолт:
Цифрүүд нь ттт, ссс хэлбэрийн тоо тус бүр харгалзан үржвэрийн зарчмаар 4х4х3=48ба
5×4×3=60 байна. Иймээс бодлогын нөхцөлийг хангах тоо нийлбэрийн зарчмаар 108 байна.
5-д хуваагддаг гурван оронтой тоо хэд байх вэ?
Бодолт:
5-д хуваагддаг тоо 5-аар эсвэл 0-ээр төгсөнө. Ийм тоо үржвэрийн зарчмаар 9×10×2=180
байна.
Таамгаар гурван оронтой тоо сонгоход яг хоёр цифр нь тэгш тоо таарах магадлал ямар
байх вэ?
Бодолт:
Ийм тоо ттс, тст, стт хэлбэртэй байх ба хэлбэр тус бүрд хэдэн тоо байгааг олбол үржвэрийн
зарчмаар харгалзан 4×4×5=80, 4×5×4=80, 5×5×4=100 байна. Иймээс нийлбэрийн зарчмаар
бодлогын нөхцөлийг хангах нийт 80+80+100=260 тоо байна.

102. 102
2.21. Нэгж хичээлийн сэдэв: Харьцаа ба пропорц
Хүрэх үр дүн
Тоо, хэмжээг өгсөн харьцаагаар хоёр ба гурван хэсэгт хуваах, харьцааг хялбар хэлбэрт
бичих, харьцаа, пропорц, шууд пропорционал хамаарал оролцсон асуудал шийдвэрлэх
чадвартай болно.
Түлхүүр үг: Харьцаа, пропорц, пропорцын үндсэн чанар, шууд пропорционал хамаарал,
пропорционалийн коэффициент
Хэрэглэгдэхүүн: Яцын үнэлгээний даалгавар
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг, чадвар Одоо эзэмших мэдлэг, чадвар
• Харьцаа, пропорцыг ойлгох
• Тоо, хэмжээг өгсөн харьцаагаар
хоёр хэсэгт хуваах
• Пропорцын аль нэг гишүүнийг
олох
• Харьцааг ойлгох, тэмдэглэх, тоо, хэмжээг өгсөн харьцаагаар
хоёр ба гурван хэсэгт хуваах
• Тоо, хэмжээг харьцуулах, жишихэд процентийг хэрэглэх
• Пропорцын чанар, түүнийг асуудал шийдвэрлэхэд хэрэглэх
• Шууд пропорционал хамаарлыг ойлгох, таних, харьцаа,
шууд пропорционал хамаарал оролцсон хялбар асуудал
шийдвэрлэх
Үйл ажиллагаа.
1. Харьцааг ойлгох, харьцаа зохиох.
Сурах бичгийн сэдэлжүүлэх бодлогоор асуудал дэвшүүлж, өмнөх мэдлэгийг сэргээн бататгаж
болно.
6×9 хэмжээтэй тэгш өнцөгтийн хэсгүүдийг улаан, шар,
цэнхэр, ногоон өнгөөр буджээ.
Эдгээр өнгөөр ямар, ямар харьцаа зохиож болох вэ?
• Боломжит бүх харьцааг зохиогоорой.
• Улаан өнгөтэй хэсэг нь шар өнгөтэй хэсгийн хэдэн
процент болох вэ?
• Улаан ба шар өнгөтэй хэсгийн харьцаа нь 6:25
• Ногоон ба цэнхэр өнгөтэй хэсгийн харьцаа нь 5:18
• Цэнхэр ба ногоон өнгөтэй хэсгийн харьцаа нь 18:5
• Шар өнгөтэй хэсгийг нийт хэсэгт харьцуулсан харьцаа нь 25:54
• Цэнхэр өнгөтэй хэсгийг нийт хэсэгт харьцуулсан харьцаа нь 18:54 болохыг сурагчдаар
гаргуулж болно. Мөн зургийг ашиглан өөр ямар харьцаа зохиож болох вэ? гэдгийг
гаргуулна.
• Улаан өнгөтэй хэсэг нь шар өнгөтэй хэсгийн хэдэн процент болох вэ? гэдгийг сурах
бичгийн дагуу бодолт хийж олно. Өөрөөр хэлбэл харьцаагаа процентоор илэрхийлэхдээ
100 хуваарьтай энгийн бутархайгаар илэрхийлэх нь чухал, хэрэв болохгүй бол энгийн
бутархайг аравтын бутархай руу шилжүүлэх дүрмээр хүртвэрийг хуваарьт хувааж, гарсан
тоог процентоор илэрхийлж болно. Гэхдээ VI ангид төгсгөлөг, үегүй аравтын бутархайн
жишээн дээр авч үзнэ гэдгийг анхаарах хэрэгтэй.
Харьцааны талаарх ойлголтыг шалгах, бататгах зорилгоор сурах бичгийн 1 дүгээр бодлогыг
ашиглан дүрсийг өгсөн харьцаагаар будуулах нь сурагчдад сонирхолтой үйл ажиллагаа болж
чадах байх.

103. 103
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Сагсан бөмбөгийн шидэлт
Хүснэгтээр зургаан хүүхдийн сагсан бөмбөгийн шидэлтийг харуулжээ.
Агар Бат Билгүүн Марал Туяа Энхжин
Бөмбөг оруулсан тоо 7 5 7 5 3 5
Нийт шидэлтийн тоо 12 6 18 9 4 12
а. Хүүхэд тус бүрийн бөмбөг оруулсан тоог нийт шидэлтийн тоонд харьцуулсан харьцааг
бичээрэй.
б. Харьцаа тус бүрийг энгийн бутархайгаар илэрхийлж өсөх эрэмбээр бичээрэй.
в. Ижилхэн амжилт үзүүлсэн хүүхэд байна уу?
г. Хэн хамгийн амжилттай шидсэн бэ?
Бодолт:
а. 7:12, 5:6, 7:18, 5:9, 3:4, 5:12
б. 7
12
21
36
5
6
30
36
7
18
14
36
5
9
20
36
3
4
27
36
2
12
15
36
= = = = = =
, , , , , буюу өсөх эрэмбээр бичвэл:
14
36
15
36
20
36
21
36
27
36
30
36
, , , , , болно.
в. Тэнцүү бутархай үүсээгүй учир ижилхэн амжилт үзүүлсэн хүүхэд байхгүй.
г. Хамгийн амжилттай шидсэн нь 30
36
5
6
= буюу Бат байна.
2. Пропорцын үндсэн чанарыг хэрэглэх.
Сурах бичгийн сэдэлжүүлэх бодлогыг авч үзье.
Тарьсан мод ямар өндөртэй болсныг ажиглан асуултад
хариулаарай.
а. Хугацаа нь ямар харьцаатай байсан бэ?
б. Модны өндрийн харьцаа нь хугацааны харьцаатай тэнцүү
байсан гэж үзвэл мод тарьснаас 2 жилийн дараа ямар
өндөртэй байсан бэ?
5 жилийн
дараа
2 жилийн
дараа
6
м
?
м
Бодолт:
а. Зургаас харахад хугацааны хамаарал нь 5:2 = 2.5 байна.
б. Модны 2 жилийн дараах өндрийг x гэвэл 5:2 = 6:x пропорцыг бодно. x=2.4м өндөр
байсан байна.
Сурах бичгийн Жишээ 3, 4-ийг ашиглан пропорц зохиох, харьцааг хялбар хэлбэрт бичих
чадварыг эзэмшүүлнэ.
Пропорцын үндсэн чанарыг тоон жишээн дээр сурагчдаар гаргуулж болно.

104. 104
асуудал шийдвэрлэх даалгавар
Нарийн боов хийх
Нарийн боов хийх орцыг ашиглан тооцоолж олоорой.
Орц
Гурил 420г
Цөцгийн тос 220г
Элсэн чихэр 30г
Өндөг 3ш
а. Хэрэв гурилыг 1050г хэмжээтэй авбал цөц-
гийн тос ямар хэмжээтэй орох вэ?
б. Хэрэв 2ш өндөг байсан бол элсэн чихэр ямар
хэмжээтэй орох вэ?
в. Элсэн чихрийг 120г хэмжээтэй авбал цөцгийн
тос ямар хэмжээтэй орох вэ?
г. Өндөг 5ш байсан бол гурилыг ямар хэмжээтэй авах вэ?
1050:420=220:x
×2.5
×2.5
Гурил ба цөцгийн тос
Бодолт:
а. Гурилын хэмжээ 1050г:420г = 2.5 дахин ихэсч байгаа учраас бусад орц нь мөн адил 2.5
дахин нэмэгдэх буюу цөцгийн тос 220×2.5=550г болно.
б. Өндөгний хэмжээ 2ш:3ш= 2
3
буюу элсэн чихэр нь мөн адил анхны орцны 2
3
-той тэнцүү
болж, 2
3
×30= 60
3
=20г болно. в. Цөцгийн тос 880 г орно. г. 700 г гурил орно.
Энэ даалгаврыг асуудал шийдвэрлэх үе шатын дагуу сурагчдын идэвхтэй үйл ажиллагаа
болгон явуулаарай.
3. Øууд пропорционал хамаарлыг ойлгох.
Сурах бичгийн сэдэлжүүлэх бодлогоор асуудал дэвшүүлэн шийдвэрлэх замаар шууд пропор-
ционал хамаарлын талаарх ойлголтыг өгч, пропорционалийн коэффициент нь тогтмол тоо байх
юм байна гэсэн санааг сурагчдаар гаргуулж болно.
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Фото зургийн харьцааг олох
Билгүүн өөрийн авсан фото зургаа 6см×9см, 12см×18см
хэмжээтэй угаалгажээ.
а. Зураг тус бүрийн урт ба өргөний хэмжээний харьцааг олж,
хялбар хэлбэрт бичээрэй.
б. Энэ харьцаагаар зургийг томсгон өргөнийг 16см-ээр угаалгавал
урт нь ямар хэмжээтэй болох вэ? Урт ба өргөн нь ямар хамааралтай байна вэ? Хүснэгтийг
нөхөөрэй.
Жамьянмядаг цэцгийн талаар болон фото зургийн хэмжээ ямар ямар стандарт хэмжээтэй
байдаг талаар сурагчидтай ярилцаж, тэдний сонирхлыг төрүүлнэ. Үүний дараа дээрх асуултын
дагуу хүснэгтийг нөхөж, сурагчдаар дүгнэлт гаргуулах нь чухал. Тохиолдол тус бүрд зургийн
уртыг өргөнд хуваахад 1.5 гарах буюу 3:2 харьцаатай байна.
Зурагны хэмжээ Урт Өргөн Урт ба өргөний харьцаа Пропорционалийн коэффициент
6×9 9см 6см 9:6=3:2
1.5
= ×
Урт Өргөн
12×18 18см 12см 18:12=3:2
16× ? ? 16см 24:16=3:2

105. 105
Анхаарах зүйл.
Энэ нэгж хичээлийн хувьд шууд пропорционал хамаарал гэсэн ухагдахуун шинээр орж байгаа
бөгөөд боломжтой бол шууд пропорционал хамаарлын томьёо гаргаж, гол нь сурагчид өөрийн
үгээр болон хүснэгт, схемээр тайлбарлах, шууд пропорционал хамаарлын талаарх ойлголтоо
хэрэглэх, холбогдох хялбар асуудал шийдвэрлэхэд анхаарна.
Нэмэлт мэдээлэл.
Харьцаа гэдэг нь аливаа зүйлийн хэмжээг ямар жишгээр авахыг илэрхийлдэг бөгөөд харьцааг
a:b эсвэл
a
b
гэж тэмдэглэнэ. Мөн a:b харьцаа нь а тоог b тоонд хуваасантай тэнцүү. Аливаа
процентийг харьцаагаар илэрхийлж болдог, мөн урвуугаар харьцааг процент руу шилжүүлж
болно. Сурах бичгийн жишээг авъя.
Жишээ 5. Спорт зааланд 18 охин 12 хүү хичээллэж байсан. Хөвгүүдийн тоог охидын тоонд
харьцуулсан харьцааг олж хялбар хэлбэрт бичээрэй.
Бодолт: 12 18 12
18
12 6
18 6
2
3
2 3
: :
= = ÷
÷
= =
Сурах бичгийн жишээн дээр авч үзэхэд охид ба хөвгүүдийн тооны харьцааг 3:2 эсвэл 2:3
гэсэн хоёр янзаар бичиж болно, гэхдээ эдгээр харьцаанууд ялгаатай , тухайлбал, хөвгүүдийн
тоог охидын тоонд харьцуулсан харьцаа нь 2:3 болох бөгөөд үүнийг хөвгүүдийн тоо нь
охидын тооны 2
3
хэсэгтэй тэнцүү, мөн 2 хөвгүүн тутамд 3 охин ногдоно гэх мэт олон
янзаар тайлбарлаж болно. Энэ нь ангийн хөвгүүдийн хэсгийг охидын хэсэгт харьцуулсан
харьцаа бөгөөд хэрэв хэсгийг нийтэд нь харьцуулсан байдлаар бичвэл 12:30=2:5 буюу
хөвгүүд нь ангийн нийт сурагчдын 2
5
хэсэгтэй тэнцүү байна. Үүнийг процентоор илэр-
хийлбэл 2
5
40
100
40
= = % буюу хөвгүүд нь ангийн нийт сурагчдын 40%-ийг эзэлж байна.
Аравтын бутархай, энгийн бутархай, процент, харьцааны эквивалент чанарыг ахуй амьдралд
өргөн хэрэглэдэг. Пропорцын үндсэн чанарыг хэрэглэн асуудал шийдвэрлэх үйл ажиллагааг бусад
хичээлүүдтэй холбон тайлбарлаж болно.
Пропорцын нэг гишүүнийг олох
Жишээ1. 28 24
25
n
= тэгшитгэлийгбодъё.Пропорцынүндсэнчанарёсоорn×24=28×25→n=
= 28 25
24
4 7 25
4 6
× = × ×
×
= 175
6
29 1
6
= болно.
Жишээ 2. 750мл уусмалын 20% нь ямар хэмжээтэй байх вэ?
750мл→100%
xмл→20% гэсэн үг бөгөөд үүнийг ашиглан пропорц зохиовол: 750
100 20
= x болно.
Эндээс x = ×
750 20
100
байна. Мөн өөрөөр 1% нь хэдэн мл болохыг олбол: 750×100=7.5мл,
7.5×20=150мл болно.
Шууд пропорционал хамаарлын хувьд хоёр хэмжигдэхүүний харьцаа буюу ногдвор нь тогтмол
бөгөөд k
y
x
= томьёогоор илэрхийлэгддэг, x төд дахин өсөхөд y мөн дагаад төд дахин өсдөг, харин
урвуу пропорционал хамаарлын хувьд хоёр хэмжигдэхүүний үржвэр нь тогтмол бөгөөд xy k
= , x
төд дахин өсөж байхад y нь төд дахин буурч байдаг.
Даалгавруудын бодолт.
2014 онд улсын нийт малын тоо өмнөх оноос 6.8 саяар нэмэгдэж 52 сая болжээ. а. 2013,
2014 оны малын тоог харьцаагаар хэрхэн илэрхийлэх вэ? б. 2014 онд малын тоо хэдэн
процентоор нэмэгдсэн бэ? Хариуг тоймлож олоорой.

106. 106
Бодолт: Бодох аргаа төлөвлөе.
I алхам. Өмнөх оны малын тоог олох, 52–6.8=45.2 сая
II алхам. Хоёр оны малын тоог харьцуулах, харьцааг бүхэл тоогоор илэрхийлэх
45.2:52= 45 2
10
52 45 1
5
52 226
5
1
52
113
5 26
113
130
113 130
:
÷ = ÷ = × =
×
= =
III алхам. 6.8 сая нь өмнөх оны малын тоо буюу 45.2 саяын хэдэн процент вэ? гэдгийг
ойролцоогоор олох, Үүний тулд 6.8-ыг бүхлээр, 45.2-ыг 10 -аар тоймловол 6.8≈7, 45.2≈50 болно.
Иймд 7
50
14
100
14
= = % буюу ойролцоогоор 14% нэмэгдсэн байна.
Тэгш өнцөгтийн урт ба өргөн 5:8 харьцаатай бол:
а. Урт 64см бол өргөн ямар урттай байх вэ?
б. Өргөн 55см бол урт ямар хэмжээтэй байх вэ?
в. Өргөн нь уртынхаа ямар хэсэг, хэдэн процент болох вэ?
Бодолт. а. Урт 64см бол 64÷8=8, 8×5=40см
б. Өргөн нь 5см бол 55:5=11, 11×8=88см болно.
в. Урт ба өргөн нь 5:8 учир, 5/8= 125/1000= 12.5%, урт нь өргөнийхөө 12.5% болж байна.
Аав хүү хоёрын одоогийн насны харьцаа 7:2 бөгөөд хүү нь 12 настай бол 10, 20, 30 жилийн
дараа тэдний насны харьцаа ямар болох вэ?
Бодолт: Хүү 12 настай учир, 12÷2=6, 6×7=42 буюу аав нь 42 настай. 10 жилийн дараа
52:22=26:11, 20 жилийн дараа 62:32=31:16, 30 жилийн дараа 72:42=12:7 харьцаатай болно.
Явцын үнэлгээний жишиг даалгавар
Харьцаа, пропорц нэгж хичээлээр эзэмших суралцахуйн зорилтыг үнэлэхэд санаа авч болох
даалгавруудыг орууллаа.
1. а. Дүрсийн будсан хэсгийг будаагүй хэсэгт харьцуулсан харьцааг олж, хялбар хэлбэрт
бичих.
б. 5×7 хэмжээтэй тэгш өнцөгт зурж, 5:2 харьцаагаар будаарай. (Сурагчид энэ харьцаагаар янз
бүрийн дүрстэй будаж болно)
2. Харьцаануудыг хялбар хэлбэрт бичээрэй.
9:6 4:8 9:12 15:12 100:125 1.4:2 5:1.8 1.3:1.95 48:66:120
3. Тэнцүү харьцаануудыг олоорой.
15:35, 2:3, 21:35, 3:7, 22:33, 1:3, 27:36, 3:5, 15:45, 3:4
4. 480 000 төгрөгийг дараах харьцаагаар хуваагаарай.
а. 1:2 1:3 2:3 1:5 3:5 5:7
б. 1:2:3 1:4:5 1:5:6 2:3:19 5:9:10

107. 107
2.22. Нэгж хичээлийн сэдэв: Тоон дараалал
Хүрэх үр дүн
Тоон болон дүрсэн дарааллын гишүүдийн зүй тогтлыг олж, өөрийн үгээр тайлбарлах,
дарааллыг үргэлжлүүлэх чадвартай болно.
Түлхүүр үг: тоон дараалал, дүрсэн дараалал, гишүүн, зүй тогтол
Хэрэглэгдэхүүн: Тарсиа томьёогоор ажлын хуудас бэлтгэх, www.tarsia.com
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг,
чадвар
Одоо эзэмших мэдлэг, чадвар
• Юмсын зүй тогтол,
хамаарлыг олох,
үргэлжлүүлэх, хялбар
таавар таах;
• Дарааллын гишүүдийн зүй тогтлыг олох, үргэлжлүүлэх, бутархай
болон бүхэл тоон дараалал байгуулах
• Дүрсүүдийн дараалал зохиох, дүрсүүдийн хялбар дарааллын зүй
тогтлыг олох, үргэлжлүүлэх
Үйл ажиллагаа:
1. Тоон дарааллын гишүүдийг байгуулах.
Сурах бичгийн жишээ, даалгавруудыг ажиллах явцад дарааллын өгсөн дугаартай гишүүнийг
олох; хялбар дарааллын зүй тогтлыг олох чадвар эзэмшүүлнэ.
Тоглоом: Дараагийнх нь хэд вэ? Миний дүрэм юу вэ? тоглоомууд тоглох аргачлал:
• Сурагчдад жижиг цагаан самбар эсвэл дэвтрийн хуудасны дөрөвний нэгтэй тэнцүү 3-4
ширхэг цаас өгсөн байна.
а. Самбарт 1 3 5 7 тоонууд бичнэ. Дараагийн тоо нь хэд вэ? гэж асууна. Сурагчид цагаан
самбар эсвэл цаасан дээрээ хариултаа бичээд өргөн харуулна. Багш нэг сурагчийг сонгон
олсон дүрмийг нь хэлүүлнэ.
б. Самбарт 1 3 6 10 тоонууд бичиж дараагийн тоог асууна
в. Самбарт 1 2 4 7 11 дараалал бичээд дараагийн тоог асууна.
г. Самбарт 1 1 2 3 5 тоонууд бичиж дараагийн тоо хэд вэ? гэж асууна гэх мэт хялбар дараал­
луудыг урьдчилан бэлтгэж, сурагчдаар дараагийн тоог чээжээр хэлүүлэх ба дүрмийг
гаргуулна.
• Сурагчид нэг нэгээрээ эсвэл багаар хуваагдан өөрсдийн дүрмээр дараалал зохиож,
бусдаасаа дараагийн тоо ба олох дүрмийг асууна.
• Хэрэв дараагийн тоог буруу олбол “бүгд сондгой тоонууд байна!”, “өмнөх гишүүнээсээ
хэдээр нэмэгдэж байна вэ?” гэх мэт дөхүүлэх асуултаар чиглүүлнэ.
в. Дарааллын дараагийн гишүүд (16 ба 22) ба дүрмийг сурагчид шууд олж чадна. Өөрөөр
хэлбэл нэмэгдэж байгаа тоо нь 1-ээр ихсэж байна..
г. Фибоначчийн дарааллын хувьд өөр дүрэмтэй тул сурагчид зөв хариу олохгүй байвал багш
өөрөө нэг гишүүн нэмж бичээд асуултаа давтаж болно. Сурагчид өөр өөр дүрэм олсон бол
тус бүрийг нухацтай хэлэлцэж, дарааллын гишүүд уг дүрмээр гарч байгаа эсэхийг шалгаж
үзвэл сайн. Заримдаа сурагчид өгсөн дараалалд тохирох өөр дүрэм олчих нь ч бий. Тэгвэл
түүнд “энэ сайн дүрэм байна, тэхдээ миний санаанд ороогүй юм байна” гэж сурагчдыг
урамшуулж болно. Ер нь “зөв” эсвэл “буруу” гэж үнэлэхээс зайлсхийх нь дээр.

108. 108
2. Дүрсүүдийн дараалал зохиох, дүрсүүдийн хялбар дарааллын зүй тогтлыг олох,
үргэлжлүүлэх
Дүрсүүдийн дарааллын зүй тогтлыг олж, түүнийг үргэлжлүүлэх, дүрсийг бүрдүүлж буй
элементүүдийн тоон дараалал нь тодорхой зүй тогтолтой байдаг нь сурагчдад тоон дарааллыг
амьдрал практиктай холбон ойлгоход нь тус болно.
Бодлого 1. Чүдэнзээр хийсэн дүрс дөрвөн квадратаас тогтож байна.
а. 50 квадратаас тогтох дүрсэд хэчнээн чүдэнз орох вэ?
б.100 ширхэг чүдэнзээр хэдэн квадратаас тогтох дүрс хийж
болох вэ?
Бодлого 2. “Дүрст тоо”-ны хамгийн энгийн жишээ болох “гурвалжин тоо”-н дарааллыг авч
үзье. Дараах зургийг өгөөд хүснэгт нөхүүлнэ. 1, 3, 6, 10 тоонуудыг “гурвалжин тоо” гэнэ
1 цэг 3 цэг 6 цэг 10 цэг 15 цэг
Дугаар 1 2 3 4 5 9
Цэгийн тоо 1 3 6 10
9 дэх зургийн цэгийн тоог дүрсийг зуралгүйгээр олох даалгавар өгнө.
Зүй тогтол олж ажиглах, нотлох: Нэг дэх дүрс нь 1 цэг, хоёр дахь дүрс нь 1+2=3 цэг, гурав
дахь дүрс нь 1+2+2=6 цэг, дөрөв дэх дүрс нь 1+2+3+4=10 гэсэн зүй тогтолтой байна. Энэ
зүй тогтлоор ес дэх дүрс нь 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 цэгээс тогтож байна. Зүй тогтлыг
үгээр болон математик бичиглэл хоёулангаар нь илэрхийлэх нь чухал.
Нэмэлт мэдээлэл.
Энэ сэдвийг судалснаар бүхэл тоон дарааллын
эхний хэдэн (Ихэвчлэн шугаман дараалалтай
ажиллах бөгөөд эхний 4-5 гишүүн өгнө. Эхний
гурвангишүүнөгөхньхангалтгүйбайдаг.Сурагчид
өөр өөр зүй тогтол олоод байж магадгүй. Гишүүн
өгөгдсөнөөрдараагийнхэдхэдэнгишүүнийгбичих,
тэр гишүүдийг хэрхэн олсон дүрмээ тайлбарлах
чадвар эзэмшинэ.
Илүү ерөнхий ойлголт боловч, дарааллын
гишүүд өмнөх гишүүдээсээ хамаарах хамаарлыг
зүй тогтол гэж тайлбарлав. Дээр дурдсан үйл
ажиллагааг (тоглоом) хичээлийн эхэнд бие халаалт
болгож явуулж болох юм. Дарааллыг яагаад
“шугаман” гэж нэрлэснийг цэгэн график байгуулж тайлбарлаж болно. Жишээ нь, 2, 4, 6, 8, ...
дарааллын график шулууны дагуу байрлах цэгүүд байна. Шугаман дарааллын дурын дугаартай
гишүүн олох, эсвэл ямар нэгэн тоо дарааллын гишүүн болох эсэхийг шийдэх даалгавар төвөгтэй
биш тул ийм төрлийн бодлого бодуулах нь зүйтэй. Хэдэн удаа ижил тоогоор нэмэгдүүлэхэд уг
гишүүн гарахыг олоход хялбар шугаман тэгшитгэл бодох шаардлагатай.
2
4
6
8
10
1 2 3 4 5 Дугаар
Гишүүн

109. 109
Даалгавруудын бодолт.
Тоон дарааллууд өгөв.
Зүй тогтлыг тодорхойлоорой.
Дараагийн хоёр гишүүнийг олоорой.
10-р гишүүнийг олоорой.
а. 12 15 18 21 б. 3 9 15 21 в. 9 18 27 36
г. 46 42 38 34 д. 200 185 170 155 е. 3 12 48 192
ж. 1 4 16 64 з. 1024 512 256 128 и. 12 15 14 17
Бодолт:
а. 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39 - 3-аар нэмэгдэж байна.
б. 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57- 6-аар нэмэгдэж байна.
в. 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90- 9-өөр нэмэгдэж байна.
г. 46, 42, 38, 34, 30, 26, 22, 18, 14, 10 -4-өөр багасч байна.
д. 200, 185, 170, 155, 140, 125, 110, 95, 80, 75 – 15-аар багасаж байна.
е. 3, 12, 48, 192, 768, 3072 – өмнөх гишүүнээсээ 4 дахин ихэсч байна.
ж. 1, 4, 16, 64, 256, 1024- өмнөх гишүүнээсээ 4 дахин ихэсч байна.
з. 1024, 512, 256, 128, 64, 32 -2 дахин багасч байна.
Явцын үнэлгээний жишиг даалгавар
1. Дарааллын зүй тогтлыг олж, дараагийн хоёр гишүүнийг олоорой
а. –2, 1, 4, 7, ... б. –3, –7, –11, –15, ... в. 2, 3, 5, 7, ...
2. Дарааллын дараагийн хоёр гишүүнийг бичээрэй 1 5 13 25 …
3. Дарааллын 100-р гишүүнийг олоорой 3 7 11 15 …
4. а. Дүрсэн дарааллын дараагийн дүрсийг зураарай.
б. Дараах хүснэгтийг гүйцээж нөхөөрэй.
Дүрсийн дугаар 1 2 3 4 5 10 20
Шар өнгөтэй квадратын тоо 1 2
Хөх өнгөтэй квадратын тоо 0 1
в. Шар өнгөтэй квадратын тоо дүрсийн дугаартай ямар хамааралтай байна вэ?
г. Хөх өнгөтэй квадратын тооны дараалал ямар зүй тогтолтой байна вэ?
д. Энэ дүрсэн дараалалд 100 хөх өнгөтэй квадрат агуулсан дүрс байгаа юу?

110. 110
2.23. Ээлжит хичээлийн сэдэв: Тэгш, өнцөгт координатын хавтгай
Хүрэх үр дүн
Тэгш өнцөгт координатын хавтгайд өгсөн координаттай цэгүүдээр хялбар дүрс байгуулах
чадвартай болно.
Түлхүүр үг: Координатын тэнхлэг, Ox, Oy, абсцисс, ординат, мөч, тэгш хэм
Хэрэглэгдэхүүн: Координатын хавтгайн загвар
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг, чадвар Одоо эзэмших мэдлэг, чадвар
• Тэгш өнцөгт координатын хавтгайд
өгсөн координаттай цэг тэмдэглэх,
цэгийн координатыг унших
• Тэгш өнцөгт координатын хавтгай дахь цэгийн
координатыг унших, бичих, өгсөн координаттай
цэгийг тэмдэглэх, хялбар дүрс байгуулах
• Координатын эх болон тэнхлэгүүдийн хувьд өгсөн
координаттай цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийг олох
Үйл ажиллагаа.
1. Êоординатын хавтгайд өгсөн координаттай цэг тэмдэглэх.
Сурах бичгийн сэдэлжүүлэх бодлогоор сурагчдын өмнөх мэдлэгийг бататган, шалгаж болно. 5
дугаар ангид координатын хавтгайд бүхэл координатттай цэг тэмдэглэж чаддаг болсон.
“Эрхий мэргэн” тоглоомыг хоёр тоглогч тоглоно.
а. Зурагт өгсөн координатын хавтгайн зангилааны цэг дээр долоон
нарыг бие биедээ харуулалгүй дурын байрлалд зурна.
б. Нарны байршлыг хэлэхдээ нарны байрлаж буй цэгийн
координатаар хэлнэ. Жишээлбэл: A(3,–2) координаттай цэгт нэг
нар байрлаж байна.
в. Тоглогч бүр нөгөө тоглогчийн нарны байршлыг ээлжлэн таах ба
нөгөө тоглогч оносон эсэхийг тэмдэглэнэ. Түрүүлж долоон нарыг
оносон тоглогч “Эрхий мэргэн” харваач болно.
0 1
1
2
2
3
3
–3 –2 –1
–3
–2
–1
Санамж: “Эрхий мэргэн” тоглоомд тэгш өнцөгт координатын хавтгайг сонгохдоо –3, 3-аас
хэтрэхгүй тоонуудыг авах нь чухал, их тоо авбал боломж нь олон гарах учраас хугацаа их орно.
Зөвхөн бүхэл тоон координаттай цэгүүдийг тэмдэглэнэ.
Сурах бичигт өгсөн зааврын дагуу сурагчдыг ажиллуулж, тоглоомын явцад сурагчдын
координатын хавтгайд цэг тэмдэглэх, өгсөн координаттай цэгийг тэмдэглэх чадварын явцын
үнэлгээг хийж болно.
Координатын Ox, Oy перпендикуляр тэнхлэгүүд координатын
хавтгайг хэдэн хэсэгт хувааж байна вэ? Эдгээр хэсгүүдийг юу
гэж нэрлэдэг вэ?
Координатын хавтгайн:
I мөчид орших цэгийн координат (+,+)
II мөчид орших цэгийн координат (–,+)
III мөчид орших цэгийн координат (–,–)
IVмөчид орших цэгийн координат (+,–) тэмдэгтэй байна.
Координатын хавтгайг I мөчөөс эхлэн цагийн зүүний эсрэг дугаарлана.
Францын математикч
Ðене Декарт
(1596-1650) цэгийн
байрлал тогтоох коорди-
натын аргыг анх нээсэн
учир координатын
хавтгайг түүний
нэрээр Декартын
координатын хавтгай
гэж нэрлэсэн байна.
0
–x
–y
x
y
I мөч
II мөч
III мөч IV мөч

111. 111
Дээрх дүгнэлтийг сурагчдаар гаргуулахдаа Жишээ 1 дээр ажиллаж болно.
2. Êоординатын эх, координатын тэнхлэгүүдийн хувьд тэгш хэмтэй цэгүүдийг олох,
дүгнэлт гаргах
Өмнөх ангид үзсэн мэдлэг, чадварыг сэргээн бататгана.
Бодлого 1. Координатын хавтгайд дараах цогц бодлогыг бодуулна.
а. I мөчид оршиж байгаа цэгүүдийг нэрлүүлнэ.
б. II мөчид оршиж байгаа цэгүүдийг нэрлүүлнэ.
в. III мөчид оршиж байгаа цэгүүдийг нэрлүүлнэ.
г. IV мөчид оршиж байгаа цэгүүдийг нэрлүүлнэ.
д. Ox тэнхлэг дээр оршиж байгаа цэгүүдийг нэрлүүлнэ.
е. Oy тэнхлэг дээр оршиж байгаа цэгүүдийг нэрлүүлнэ.
ж. Ox тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэй цэгүүдийг нэрлүүлнэ.
з. Oy тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэй цэгүүдийг нэрлүүлнэ.
и. Координатын эхийн хувьд тэгш хэмтэй цэгүүдийг нэрлүүлнэ.
Анхаарах зүйл.
6-9 дүгээр ангид тэгш өнцөгт координатын хавтгай дээр ажиллахдаа ихэвчлэн бүхэл
координаттай цэгүүдийг сонгож авна. 4 дүгээр ангид тэгш өнцөгт координатын хавтгайн 1
дүгээр мөчид, 5 дугаар ангид 4 мөчид бүхэл координаттай цэг тэмдэглэж, тэмдэглэсэн цэгийн
координатыг уншиж чаддаг болсон. Энэ чадварыг 6 дугаар ангид бататгахаас гадна координатын
хавтгайд тэгш хэмтэй цэгүүдийг олох, өгсөн координаттай цэгүүдээр хялбар дүрс байгуулах
чадвар эзэмшүүлэх нь чухал. Мөн A(x,y) координаттай А цэгийн эхний координат (x) -ыг абсцисс,
хоёр дахь координат (y)-ыг ординат гэж нэрлэдгийг сурагчдад сануулах нь зүйтэй.
Даалгавруудын бодолт, заавар.
Координатын хавтгай дээр дараах цэгүүдийг тэмдэглээрэй.
O(0, 0), A(0,–1), B(3,0), C(–5,5), D(–4,–6), E(4,3), F(5,5), G(4,–6), H(–4,–3)
а. Эдгээр цэгийг холбож гурвалжин, дөрвөн өнцөгт үүсгээрэй.
б. Ox, Oy тэнхлэгүүдийн хувьд тэгш хэмтэй цэгүүдийг олж бичээрэй.
Заавар: Өгсөн 9 цэгийг координатын хавтгай дээр тэмдэглээд координатын хавтгайн хэддүгээр
мөчид ямар цэгүүд оршиж байгааг сурагчдаар нэрлүүлж болно, энэ асуултыг цэг тэмдэглэхээс
өмнө ч бас асууж болно.
а. Эдгээр 9 цэгийг холбож, гурвалжин, 4 өнцөгт үүсгэх олон боломжтой учир, зөвхөн тухайн
сурагчийн үүсгэсэн гурвалжин, 4 өнцөгтийг авч үзнэ. Энэ нь яаж үүсгэх нь сурагчдад нээлттэй,
олон хариутай бодлого юм. Гол нь сурагчид 9 цэгээ зөв тэмдэглэсэн байх нь чухал.
б. Oy тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэй цэгүүд нь D ба G, C ба F цэгүүд, харин координатын
эхийн хувьд тэгш хэмтэй цэгүүд нь E ба H цэгүүд байна.
A(–2,2), B(–2,–2), C(2,–2), D(2,2) цэгүүдийг координатын хавтгайд тэмдэглэж,
A→B→C→D дарааллаар (ABCD) холбон, үүссэн дүрсийн тэгш хэмийн тэнхлэгийн тоог
олоорой.
Бодолт:
Эдгээр цэгүүдийг координатын хавтгай дээр тэмдэглэж, өгсөн дарааллаар холбоход ABCD
квадрат үүсэх ба квадрат нь тэгш хэмийн 4 тэнхлэгтэй.
0
1
1
2
2
4
4
x
–4
–4
–2
–2
–1
–1
y
B
M
T
D
A
N
K
C
W
L

112. 112
2.24. Нэгж хичээлийн сэдэв: Хувиргалтууд
Хүрэх үр дүн
Дүрсийн тэгш хэмт чанарыг ялгаж тодорхойлох, тайлбарлах; дүрсийн тэгш хэмийн
тэнхлэг (төв)-ийг таних, зурах, эргэлтийн тэгш хэмийн эрэмбийг олох, тэгш хэмийн хоёр
тэнхлэгтэй дүрсийг гүйцээж зурах; тэгш хэм, эргүүлэлт, параллель зөөлтөөр дүрсийг
хувиргах, хувиргалтыг таних чадвартай болно.
Түлхүүр үг: Дүрс, дүр, тэгш хэмийн тэнхлэг, тэгш хэмийн төв, тэнхлэгийн болон төвийн тэгш
хэмтэй дүрс, хувиргалт, дүрсийн эргэлтийн тэгш хэмийн эрэмбэ
Хэрэглэгдэхүүн: Координатын хавтгайн загвар, геосамбар
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг, чадвар Одоо эзэмших мэдлэг, чадвар
• Тэгш хэмийн тэнхлэгийг
тодорхойлох, зурах
• Дүрсийг хялбар тохиолдолд
тэгш хэм, параллель зөөлт, эр-
гүүлэлтээр хувиргах, хувир-
галтын дараах дүрийг таних
• Хавтгайн цэг ба дүрсийг хувиргах:
– Өгсөн шулууны хувьд тэгш хэмтэй байгуулах
– Өгсөн цэг дээр төвтэй цагийн зүүний дагуу болон эсрэг
чиглэлд 90o
, 180o
, 270o
-аар эргүүлэх
– Параллель зөөлтөөр шилжүүлэх
• Дүрсийн эргэлтийн тэгш хэмийн эрэмбийг олох
Агуулгын залгамж холбоо.
анги VI анги VII анги VIII анги IX анги
Эзэмших
мэдлэг, чадвар
- Тэнхлэгийн тэгш
хэм,
- Төвийн тэгш хэм
- Параллель зөөлт
- Эргүүлэлтээр
цэг, хэрчим,
дүрсүүдийг
зөвхөн нэг удаа
хувиргана.
- Тэнхлэгийн тэгш
хэм
- Төвийн тэгш хэм
- Параллель зөөлт
- Эргүүлэлтээр цэг,
хэрчим, дүрсүү-
дийг зөвхөн нэг
төрлийн хувир-
галтаар хоёр удаа
хувиргана.
- Тэнхлэгийн тэгш
хэм
- Төвийн тэгш хэм
- Параллель зөөлт
- Эргүүлэлтээр цэг,
хэрчим , дүрсүү-
дийг хоёр өөр
төрлийн хувир-
галтаар дараа-
луулан хувиргана.
Дүрсийн орой, талын
дундаж цэг дээр нь
дүрсийг эргүүлэх,
дүрсийг гомотетоор
хувиргах, дүрсийг
координатын
тэнхлэгийн дагуу
сунгах, шулууны
дагуу налуулах
хувиргалтуудыг
хийнэ.
Үйл ажиллагаа.
1. Дүрсийг тэнхлэгийн тэгш хэмээр хувиргах.
Сурах бичгийн сэдэлжүүлэх даалгавраар ярилцаж болно.
Зургуудын ижил болон ялгаатай
шинж нь юу вэ? Эдгээр нь тэгш
хэмийн тэнхлэгтэй юу?
Жишээ нь, зураг дээрх цэцэг нь тэнхлэгийн тэгш хэмтэй дүрс байна, тэгш хэмийн 3 тэнхлэгтэй
байна. Зааныг яг голоор нь тэнхлэг татаж нугалахад бас давхцаж байна. Иймд фото зураг нь
тэнхлэгийн тэгш хэмтэй байна, харин хос загасны зураг нь тэгш хэмтэй дүрс биш байна, гэх мэт
ярилцаж болно.

113. 113
Дадлага ажил (цаасан нугалаас хийх) болон сурах бичгийн 6-9 дүгээр даалгавруудаар цэг ба
хэрчмийг тэнхлэгийн тэгш хэмээр хувиргах чадваруудыг бататгана.
Дүрсийн тэгш хэмийн тэнхлэгийг зурах, өгсөн шулуун тэгш хэмийн тэнхлэг мөн эсэхийг
шалгах чадвар эзэмшүүлнэ.
Бодлого 1. Зурагт өгсөн шулуун тэгш хэмийн тэнхлэг болж чадах уу?
Бодолт:
Өгсөн дүрсийн оройн цэгүүдээс шулуунд перпендикуляр татаад шулууны нөгөө талд ижил
зайд тэмдэглэгдсэн цэг оройн цэгтэй уг шулууны хувьд тэгш хэмтэй байж чадах уу? гэдгийг
ойлгуулах нь чухал.
Цэг, хэрчмийг тэгш хэмээр хувиргах арга барил эзэмшсэн сурагч дүрсийг хувиргаж чадна.
Сурах бичгийн дадлага ажил нь энэ чадварыг эзэмшүүлэхэд чиглэнэ.
Дадлага ажил: Өгсөн гурвалжныг шулууны хувьд тэгш хэмээр хувиргах
ABC гурвалжныг a шулууны хувьд тэгш хэмтэй хувиргаарай.
а. Дэвтэртээ дурын ABC гурвалжин, a шулууныг зурна.
б. A,B,C цэгүүдийг а шулууны хувьд тэгш хэмтэй хувиргаж, харгалзах
цэгүүдийг A1
, B1
, C1
гэж тэмдэглэнэ.
в. A1
, B1
, C1
цэгүүдийг хэрчмээр холбож, гурвалжин зурна.
a
C
B
A
Санамж: Гурвалжны оройн цэгүүдийг дөрвөлжин шугамтай дэвтрийн цаасан дээр
байгуулж, оройн цэгүүдийг зангилааны цэгүүд дээр авах нь сурагчдад байгуулахад хялбар байна.
Сурах бичгийн 10, 11 дүгээр даалгавруудыг гүйцэтгэх явцад өгсөн дүрсүүдийг өгсөн шулуун
болон координатын тэнхлэгүүдийн хувьд тэгш хэмтэй байгуулах чадвар эзэмшинэ.
Даалгавруудын бодолт.
ABCD дөрвөн өнцөгт AC шулууны хувьд тэгш хэмтэй болно.
а. Уг дөрвөн өнцөгтийн AB=1см бол AD талын уртыг олоорой.
б. ABC өнцөг 60o
-тай тэнцүү бол ADC өнцгийн хэмжээг олоорой.
Бодолт:
Дүрсийн тэгш хэмийн тэнхлэг нь AC талыг дайрсан шулуун байх тул үлдсэн B ба D цэгүүд нь
энэ шулууны хувьд тэгш хэмтэй буюу BO=OD, BD⊥AC байна. (О нь AC ба BD-ийн огтлолцлын
цэг). Иймд 4 өнцөгтийн диагоналиуд нь перпендикуляр байна. Үүссэн ABO, ADO гурвалжнууд
тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд эдгээрийн катетууд нь тэнцүү тул гипотенуз нь тэнцүү байна.
а. AB=AD=1см
б. Гурвалжны ТТТ гурван талын шинжээр ABC ба ADC гурвалжнууд тэнцэх бөгөөд ABC ба
ADC өнцгүүд тэнцүү байна.

114. 114
2. Төвийн тэгш хэмээр хувиргах.
Сурах бичгийн 151 дүгээр нүүрний Жишээ 3-ыг ашиглан өгсөн цэгүүдийг координатын эхийн
хувьд хэрхэн тэгш хэмтэй хувиргахыг авч үзэж болно.
Координатын хавтгайд A(3,2), B(1,4), C(–1,4) цэгүүдийг
тэмдэглэж, координатын эхийн хувьд тэгш хэмтэй хувиргаарай.
Бодолт:
а. A цэгийг координатын эхтэй холбосон шулуун татаж, энэ
шулуун дээр AO хэрчимтэй тэнцүү A1
O хэрчим авъя. A ба
A1
-ийг координатын эхийн хувьд тэгш хэмтэй цэгүүд гэнэ.
A(3,2)→A1
(–3,–2)
б. B→B1
, C→C1
цэгүүдийг дээрх аргаар байгуулж, координатыг
олно. B(1,4)→B1
(–1,–4), C(–1,4)→C1
(1,–4)
A, B, C цэгийн координат яаж өөрчлөгдсөн бэ?
0
2 6
x
–6 –4 –2
–2
y
4
2
A1
(–3, –2)
A(3, 2)
Координатын эхийн
хувьд тэгш хэмтэй
цэгүүдийн координат нь
эсрэг тэмдэгтэй байна.
Эндээс координатын эхийн хувьд тэгш хэмтэй цэгүүдийн координат нь ямар хамааралтай
байдаг байдаг талаар сурагчдаар дүгнэлт гаргуулах нь чухал.
Сурах бичгийн дадлага ажлуудаар өгсөн цэг, хэрчим, дүрсийг цэгийн хувьд тэгш хэмтэй
хувиргах чадвар, дадал эзэмшүүлэхэд анхаарна.
Сурах бичгийн 152 дугаар нүүрний Жишээ 4-өөр төвийн тэгш хэмтэй дүрсийн талаар
параллелограмм дээр тулгуурлан судалсан.
ABC гурвалжин O цэгийн хувьд PQR гурвалжинтай тэгш хэмтэй.
а. Хэрэв AC=8, RP=6, BC=6 бол QR, AB, QP зайг олоорой.
б. ABC өнцөг ямар өнцөгтэй тэнцүү вэ?
в. Хэрэв OC=1, харин AC, QP хэрчмийн дундаж харгалзан M,N цэг бол AO,NC ба AP
хэрчмийн уртуудыг олоорой.
Бодолт:
ABC гурвалжин О цэгийн хувьд PQR гурвалжинтай тэгш хэмтэй тул эдгээр нь тэнцүү
гурвалжин болно.
3. Эргүүлэлтээр хувиргах.
Сурах бичгийн жишээ, даалгавруудыг ажиллуулах явцад сурагчидтай харилцан ярилцаж,
асуудал шийдвэрлэх замаар үйл ажиллагаа явуулна.
Зурагт өгсөн дүрсүүд
ямар чиглэлээр, хэдэн
градусын эргүүлэл-
тээр нэг нь нөгөө
дүрсдээ шилжсэн бэ?
Хариултаа тайлбар-
лаарай.
Бодолт:
Зурагт өгсөн дүрс нь нэг нь нөгөөдөө эргүүлэлтээр шилжсэн 4 дүрс байна. Жишээ нь, Цэнхэр
өнгөтэй дүрсийг цагийн зүүний дагуу 90o
-аар эргүүлэхэд ногоон өнгөтэй дүрс, 180o
-аар эргүүлэхэд
хөх өнгөтэй дүрс, 270o
-аар эргүүлэхэд шар өнгөтэй дүрсэд шилжиж байна. Бусад тохиолдлыг
сурагчдаар тайлбарлуулж болно.
0
1
1
2 3
3
4
5
5
6
6
x
–6
–6
–5 –4
–4
–3 –2
–2
–1
y
4
2
Эргэлтийн
төв
O цэгийг эргүүлэлтийн
төв гэнэ. Уг хоёр дүрс
нэг нь нөгөөдөө цагийн
зүүний дагуу (эсрэг)
90o
-аар шилжсэн байна. 90o
-ийг
эргэлтийн өнцөг гэж нэрлэдэг.

115. 115
4. Параллель зөөлтөөр хувиргах.
Сурах бичгийн Жишээ, даалгавруудыг ажиллуулах явцад мэдлэг чадварыг бататгана.
0
1
1
2 3
3
4
5
5
6
6
x
–6
–6
–5
–5
–4
–4
–3
–3
–2
–2
–1
y
4
2 2
1
0
1
1
2 3
3
4
5
5
6
6
x
–6
–6
–5
–5
–4
–4
–3
–3
–2
–2
–1
y
4
2 2
1
а. б.
0
1
1
2 3
3
4
5
5
6
6
x
–6
–6
–5
–5
–4
–4
–3
–3
–2
–2
–1
y
4
2
в.
1
2
Бодолт.
(1) Гурвалжны нэг оройг авъя. (1) гурвалжны тэгш өнцгийн оройг Ox тэнхлэгийн дагуу
зүүн гар тийш 3 нэгжээр, дараа нь Oy тэнхлэгийн дагуу доош нь 1 нэгжээр шилжүүлэхэд (2)
Гурвалжны тэгш өнцгийн орой дээр очиж байна. Бусад оройнууд ямар шилжилт хийснийг
сурагчдаас асууна. Энэ хувиргалтыг (-3, 1) чиглэлийн параллель зөөлт гэнэ.
5. Эргэлтийн тэгш хэмийн эрэмбийг олох.
Сурах бичгийн дадлага ажлыг сурагчдаар хийлгэсний дараа Жишээ 6-г сурагчидтай хамтран
ярилцана.
1 удаа
давхацлаа.
2 удаа
давхацлаа.
3 удаа
давхацлаа.
4 удаа
давхацлаа.
Өгсөн дүрсийн эргэлтийн эрэмбийг олоорой.
Бодолт: Эргэлтийн эрэмбэ нь 4 байна. Зургаар харуулъя.
Эргэлтийн
төв
Эргэлтийн тэгш хэмийн 1, 2, 3, 4 эрэмбэтэй дүрсүүдийг орчин тойрноос олуулж болно.
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Хувиргалтуудыг тодорхойлох
Зурагт ямар төрлийн
хувиргалтуудыг дүрсэлсэн бэ?
Дараах хувиргалтуудыг тодорхойлж
бичээрэй.
а. Т1
→Т3
б. Т2
→Т3
в. Т3
→Т4
г. Т2
→Т4
д. Т1
дүрсийн эргэлтийн тэгш
хэмийн эрэмбийг олоорой.
O
T1
T3
T2
T4

116. 116
Нэгж хичээлийн эцэст сурагчдын мэдлэг, чадварыг нэгтгэн дүгнэх зорилгоор дээрх асуудал
шийдвэрлэх даалгаврыг гүйцэтгүүлэх нь маш чухал.
Бодолт:
Эхлээд зурагт ямар, ямар төрлийн хувиргалтууд байгааг сурагчдаар олуулна. Дараа нь өгсөн
дарааллын дагуу бодолт хийлгэнэ.
а. Т1
→Т3
-т хэрхэн шилжсэнийг харвал эхлээд Т1
дүрсийг цагийн зүүний дагуу 90o
эргүү­лээд,
дараа нь параллель зөөлтөөр шилжүүлсэн байна гэдгийг танихад хангалттай. Сурагчид
өөр хариулт өгч болно. Энд яг хааш нь хэдэн нэгжээр шилжүүлснийг тодорхойлох шаард­
лагагүй,VI ангийн сурагчдад хүндрэлтэй гэдгийг анхаарна. Хоёр өөр төрлийн хувиргалтаар
дүрсийг дараалуулан хувиргах хувиргалтыг VIII ангид гүнзгийрүүлэн судлана.
б. Т2
→Т3
-т хэрхэн шилжсэнийг ажиглан дүрсийн оройн цэгүүд нь координатын эхийн хувьд
тэгш хэмтэй байна гэсэн дүгнэлтийг сурагчдаар гаргуулж, шалгуулна.
в. Т3
→Т4
-т хэрхэн шилжсэнийг ажиглан, эдгээр дүрсийн оройн цэгүүд Ox тэнхлэгийн хувьд
тэгш хэмтэй байгааг сурагчдаар гаргуулж, шалгуулна.
г. Т2
→Т4
-т хэрхэн шилжсэнийг ажиглан, эдгээр дүрсийн оройн цэгүүд Oy тэнхлэгийн хувьд
тэгш хэмтэй байгааг сурагчдаар гаргуулж, шалгуулна.
д. Т1
дүрсийн эргэлтийн тэгш хэмийн эрэмбийг олохын тулд цагийн зүүний дагуу 360o
-аар эр­
гүүлэхэд хэдэн удаа өөр дээрээ давхцаж байгааг олно. Эргэлтийн эрэмбэ нь 4 байна. Үүнийг
сурагчдаар шалгуулж болно. Тодорхой дүрс хайчилж үзүүлбэл илүү ойлгомжтой болно.
Анхаарах зүйл.
Энэ ангид тэгш хэмийн хувиргалтыг хийхэд илүү анхаарна. Өмнөх ангид зөвхөн тэнхлэгийн
тэгш хэмийн хувиргалтыг хялбар тохиолдолд судалсан. Харин VI ангид тэгш хэмийн тэнхлэг
нь өгсөн дүрсийн нэг оройг дайрсан, эсвэл дүрсийн аль нэг талтай нь параллель зэрэг хялбар
тохиолдлуудыг давтан судлаад бусад ерөнхий тохиолдлуудыг авч үзнэ. VI ангид төвийн тэгш
хэмийн хувиргалт шинээр орж байгаа. Ихэвчлэн координатын эхийн хувьд тэгш хэмтэй хувиргах
хувиргалтуудыг судална. Харин координатын эхийн хувьд тэгш хэмтэй хувиргахад үүссэн
цэгүүдийн координат ямар хамааралтай болохыг сурагчдаар гаргуулах нь чухал. Энэ чанарыг
ойлгосон сурагч хувиргалт хийхгүйгээр өгсөн цэгүүд тэгш хэмтэй эсэхийг тодорхойлж чадна.
Параллель зөөлтийн хувьд сурагчид дүрсийн аль орой хэдэн нэгжээр хаашаа шилжсэнийг
тодорхойлон тайлбарлаж чаддаг байх нь чухал. Дүрсийг параллель зөөлтөөр хувиргахад
үүссэн дүрийн оройн бүх цэгүүдийн координат нь ижил шилжилт хийж байгааг ажиглуулна.
VI ангид дүрсийг эргүүлэлтээр хувиргах нь чухал биш, харин хувиргалтын дараах дүрсийг
таньж, ямар цэгт төвтэй, хэдэн градусаар хаашаа эргүүлснийг тайлбарлаж чаддаг байх нь чухал.
Нэмэлт мэдээлэл.
Хавтгай дахь зай, өнцөг, параллель чанар хадгалагдах хувиргалтуудыг хөдөлгөөн гэж
нэрлэнэ. Хөдөлгөөнөөр дүрсийн хэлбэр, хэмжээ өөрчлөгдөхгүй. Хавтгай дээрх дүрсийн зөвхөн
байрлал өөрчлөгдөнө. Тэнхлэгийн тэгш хэм, төвийн тэгш хэм, эргүүлэлт, параллель зөөлтүүд нь
хөдөлгөөний хэлбэрүүд юм.
Параллель зөөлт.
Тэгш өнцөгт координатын системд (x, y) координаттай цэг бүрийг (x+a, y+b) цэгт шилжүүлэх
хувиргалтыг параллель зөөлт гэнэ. Энд a,b нь тогтмол тоо. Өгсөн координаттай цэг Ox тэнхлэгийн
дагуу баруун гар тийш шилжихийг эерэг тоогоор, зүүн гар тийш шилжихийг сөрөг тоогоор, Oy
тэнхлэгийн дагуу дээш шилжихийг эерэг тоогоор, доош шилжихийг сөрөг тоогоор тэмдэглэдэг.
Эргүүлэлт.
Хавтгай дээрх нэг цэгийг төв гэж нэрлэн бэхлээд өгсөн өнцгөөр цагийн зүүний дагуу, цагийн
зүүний эсрэг эргүүлэх хувиргалт юм. Өгсөн цэгийг эргүүлэлтийн төв гэж нэрлэдэг. 6-9 дүгээр ангид
цагийн зүүний эсрэг болон дагуу чиглэлд зөвхөн 90o
, 180o
, 270o
градусаар эргүүлэх тохиолдлыг
судална. 6 дугаар ангид ихэвчлэн координатын эх дээр төвтэй болон өгсөн дүрсийн аль нэг орой
дээр төвтэй хялбар тохиолдолд судална.

117. 117
Эргүүлэлтээр дүрсийн оройн цэг бүр ижил өнцгөөр шилжинэ.
Тэнхлэгийн тэгш хэм.
Хэрэв a шулуун AA1
хэрчмийн дунджийг дайрах ба түүнд перпендикуляр
байвал A, A1
цэгүүдийг a шулууны хувьд тэгш хэмтэй гэнэ.
a шулууны хувьд тэгш хэмтэй хэдэн ч цэг байгуулж болно. Үүнийг тэнх­
лэгийн тэгш хэмийн хувиргалт гэх ба a-г тэгш хэмийн тэнхлэг гэнэ.
Хувиргалт хийсний дараа шугамын дагуу нугалаад давхцаж байвал тэгш
хэмтэй дүрсүүд гэдгийг сурагчдад тайлбарлаж өгнө. Мөн толин ойлт юмуу нууран дахь тусгалыг
ашиглан тайлбарлана.
Төвийн тэгш хэм.
Хэрэв AA1
хэрчим O цэгээр хагаслан хуваагдаж байвал (AO=OA1
) эдгээр
цэгүүдийг O цэгийн хувьд тэгш хэмтэй гэнэ.
O цэгийн хувьд тэгш хэмтэй хэдэн ч цэг байгуулж болно. Үүнийг төвийн тэгш хэмийн
хувиргалт гэх ба O-г тэгш хэмийн төв гэдэг.
Тэнхлэгийн болон төвийн тэгш хэмийн тодорхойлолтыг сурагчдад ойлголмжтой, энгийн
байд­
лаар тодорхойлж орууллаа. Эдгээр тодорхойлолтуудыг сурагчид хувиргалт хийх явцдаа
ажиглаад өөрсдөө гаргаж ирэх нь чухал тул шууд хэлж өгөх шаардлагагүй. Харин хувиргалт
хийх алхам буюу алгоритм хамгийн чухал.
Эргэлтийн тэгш хэмийн эрэмбэ.
Дүрс эхний байрлалаас бүтэн 360о
эргээд анхны байрлалдаа ирэхдээ өөр дээрээ хэдэн удаа
давхцаж байгааг эргэлтийн эрэмбэ гэнэ.
Явцын үнэлгээний жишиг даалгавар
Өртөөний аялал.
Зорилго: Сурагчдыг дөрвөн багт хуваагаад өртөөчилж хувиргалт хийлгэнэ.
Ширээ засалт: Ангид дөрвөн өнцөгт хэлбэртэй ширээнүүдийг нийлүүлж засаад ширээн дээр
өртөөнүүдийн нэрийг байрлуулна.
Өртөөнүүдийн нэр: Тэнхлэгийн тэгш хэм, төвийн тэгш хэм, параллель зөөлт, эргүүлэлт
Зохион байгуулалт: Өртөөг хариуцсан нэг нэг сурагч байна. Сурагчид өртөөнүүдэд ээлжээр
очиж хувиргалтуудыг дамжиж гүйцэтгэнэ. Сурагч өртөөн дээр очоод:
а. өгсөн хавтгайд хувиргалтыг харандаагаар зурж гүйцэтгэнэ.
б. Хайчилсан геометрийн дүрсүүдийг цэг, шулууны хувьд болон координатын хавтгай,
ширээний тавцан дээр зөөж, эргүүлэх г.м хөдөлгөөнүүдийг хийнэ. Энэ өртөөг дамжиж өнгөрөх
визийг өртөөний дарга өгнө.
0
1
1
2 3
3
4
5
5
6
6
x
–6
–6
–5
–5
–4
–4
–3
–3
–2 –1
y
4
C
2
–2
0
1
1
2 3
3
4
5
5
6
6
x
–6
–6
–5
–5
–4
–4
–3
–3
–2
–2
–1
y
4
2
0
1
1
2 3
3
4
5
5
6
6
x
–6
–6
–5
–5
–4
–4
–3
–3
–2
–2
–1
y
4
2
а. б. в.
B
C
A
AO=OA1
A1
O
a
A M1
C
O
C1
B
B1

118. 118
2.25. Нэгж хичээлийн сэдэв: Тэнцүү дүрс, гурвалжны тэнцүүгийн шинж
Хүрэх үр дүн
Тэнцүү дүрсүүдийг таних, ялгах, гурвалжны тэнцүүгийн шинжүүрийг таних, бичих,
тооцоолол хийх болон хялбар асуудал шийдвэрлэх чадвартай болно.
Түлхүүр үг: Тэнцүү дүрс, харгалзах тал, харгалзах өнцөг, шинжүүр
Хэрэглэгдэхүүн: Шугам, гортиг, дадлага ажлын заавар
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг, чадвар Одоо эзэмших мэдлэг, чадвар
• Дүрсийг таниж, тэмдэглэж, нэрлэж, хэмжиж, зурж,
• Тэнхлэгийн болон төвийн тэгш хэм, параллель
зөөлт, эргүүлэлт хувиргалтуудаар дүрсийг хувиргаж,
дүрийг байгуулж, таниж, тэмдэглэж, нэрлэж,
• Тэгш хэм, эргүүлэлт, параллель зөөлт
хувиргалтуудаар дүрсүүд тэнцүү дүрсэд
шилждэг болохыг мэдэх
• Гурвалжны тэнцүүгийн шинжийг таних,
ангилах, хэрэглэх
Үйл ажиллагаа.
1. Тэнцүү дүрсийг таних, ялгах.
Бага ангид болон VI ангид судалсан тэнхлэгийн болон төвийн тэгш хэм, параллель зөөлт,
эргүүлэлт хувиргалтуудаар дүрсийг хувиргах, дүрийг байгуулах чадвар, дадал, сурагчийн бүтээлч
үйл ажиллагаанд тулгуурлан геометрийн 2 дүрс тэнцүү байх тухай ойлголттой танилцан, хялбар
асуудал шийдвэрлэхэд хэрэглэх бөгөөд үүнд чиглэсэн сэдэлжүүлэлт, үйл ажиллагаа болон дадлага
ажил, даалгавар боловсрууллаа.
Шар, цэнхэр 6 өнцөгтийг дүрсүүдэд
хуваасныг үзүүлжээ.
Эдгээр дүрс холилдсон байсныг сурагч
дараах байдлаар эвлүүлэв.
Сурах бичгийн 157 дугаар нүүрэнд байгаа сэдэлжүүлэлт, асуултаар 2 дүрсийн тэнцүү байх
тухай ярилцуулж, тодорхой үр дүнд хүргэхийг зорив. Энэхүү сэдэлжүүлэх зураг, текст болон
сурах бичигт байгаа асуултын дагуу сурагчидтайгаа ярилцахдаа:
- Өгсөн 2 дүрс ижил байх, адилхан байх, төстэй байх гэх мэт олон нэршил дундаас тэнцүү байх
гэсэн нэршилд хүрэх.
- Бие биенийхээ байранд яг таарч байгаа 2 дүрсийн тал болон өнцгүүд тэнцүү байна гэсэн
үндсэн 2 дүгнэлтэд хүрэх явдал юм. Багш та дөхүүлэх асуулт, үйл ажиллагаагаар энэ үр дүнд
чиглүүлэн хөтлөх хэрэгтэй.
Дадлага ажил: Хэрчим ба өнцгийн дүр
а. АВС өнцөг зурна.
б. Энэ өнцгийг тэгш хэм, параллель зөөлт, эргүүлэлтээр тус тус хувиргаж, дүрийг зурна.
в. Шугам, транспортироор хэмжиж, доорх дүгнэлт үнэн болохыг тогтооно.
Тэнхлэгийн болон төвийн тэгш хэм, параллель зөөлт, эргүүлэлтээр:
I. Хэрчмийн дүр нь түүнтэй тэнцүү урттай хэрчим байна.
II. Өнцгийн дүр нь түүнтэй тэнцүү хэмжээтэй өнцөг байна.

119. 119
Дадлага ажлын зорилго: Тэнхлэгийн болон төвийн тэгш хэм, параллель зөөлт, эргүүлэлт
хувиргалтуудаар хэрчмийн урт ба өнцгийн хэмжээ хадгалагддаг онцлог шинжийг тогтоох, улмаар
эдгээр хувиргалтуудаар дүрсийг хувиргахад үүсэх дүр нь өгсөн дүрстэй тэнцүү харгалзах тал
өнцөгтэй учир тэнцүү дүрсүүд байхыг тогтооно.
Заавар, санамж: Сурагч бүр нь ABC өнцгийг тэнхлэгийн болон төвийн тэгш хэм, параллель
зөөлт, эргүүлэлт хувиргалтуудаар хувиргах ба аль болох бусдаасаа ялгаатай хувиргалтууд
сонгосон байхаар зохион явуулбал тохиромжтой. Жишээлбэл тэгш хэмийн тэнхлэг болон төвийг
ялгаатай байдлаар сонгох, параллель зөөлтийн чиглэл ялгаатай байх, эргүүлэлтийн төв болон
өнцөг ялгаатай байх гэх мэт. Хүүхэд бүрийн хувиргалтын дүр өнцөг ба өгсөн өнцгийн харгалзах
тал өнцгийг хэмжиж харьцуулаад нэгтгэн дүгнэвэл:
Тэнхлэгийн болон төвийн тэгш хэм, параллель зөөлт, эргүүлэлт хувиргалтуудаар:
“Хэрчмийн дүр нь түүнтэй тэнцүү урттай хэрчим байна”
“Өнцгийн дүр нь түүнтэй тэнцүү хэмжээтэй өнцөг байна”
гэсэн дүгнэлтэд хүрнэ.
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Нийлмэл дүрсийг хувиргах
l
D
B
Өгсөн дүрсийг тэнцүү дүрсүүдийн чанар ашиглан:
а. l шулууны хувьд тэгш хэмтэй
б. В цэгийн хувьд тэгш хэмтэй
в. (-2;4) чиглэлийн параллель зөөлтөөр
г. D цэг дээр төвтэй 180о
эргүүлэлтээр
тус тус хувиргаарай.
Эдгээр хувиргалтыг өмнөх сэдвээр хангалттай олон дасгал ажилласан билээ.
Энэ асуудал шийдвэрлэх даалгаврын хувьд:
- дүр нь өгсөн дүрстэй тэнцүү дүрс байна
- өгсөн дүрс 3 дүрсээс тогтох ба дүр нь мөн эдгээртэй харгалзан тэнцүү 3 дүрсээс тогтоно
гэсэн чанаруудыг ашиглах нь даалгаврыг гүйцэтгэхэд илүү хялбар болгож байгааг харуулах
зорилготой юм.
2. Гурвалжны тэнцүүгийн шинжүүрийг таних, хэрэглэх.
Өмнө үзсэн тэнцүү дүрсүүд дотроос хамгийн их хэрэглээтэй бас тухайлсан тэнцүүгийн
шинжүүртэйтул2гурвалжнытэнцүүбайхыгбиедаасансэдэвболгонавчүзэжбайна.Энэангийнхан
2 гурвалжин тэнцүү байх тухай ойлголт, гурвалжны тэнцүүгийн шинжүүртэй танилцаж, хялбар
асуудал шийдвэрлэхэд хэрэглэх бөгөөд үүнд чиглэсэн сэдэлжүүлэлт, үйл ажиллагаа болон дадлага
ажил, даалгавар боловсрууллаа.
Дадлага ажил: Тэнцүү гурвалжны чанар
а. АВС гурвалжин зурж
I. О цэгийн хувьд тэгш хэмтэй II. l шулууны хувьд тэгш хэмтэй
III. (5;2) чиглэлийн параллель зөөлтөөр IV. О цэгт төвтэй 180о
эргүүлэлтээр
тус тус хувиргаж, дүрийг зурж тэмдэглэнэ.
б. Өгсөн гурвалжин нь дүр гурвалжинтайгаа тэнцүү байхыг тохиолдол тус бүрд шугам
болон транспортироор хэмжиж харуулна.

120. 120
Дадлага ажлын зорилго: Тэнхлэгийн болон төвийн тэгш хэм, параллель зөөлт, эргүүлэлт
хувиргалтуудаар гурвалжны дүр нь өөртэй нь тэнцүү гурвалжин байна гэсэн онцлог шинжийг
тогтооно.
Заавар, санамж: Сурагч бүр нь янз бүрийн хэлбэртэй, байрлалтай ABC гурвалжин зураад
тэнхлэгийн болон төвийн тэгш хэм, параллель зөөлт, эргүүлэлт хувиргалтуудаар хувиргана. ABC
гурвалжин болон түүний дүр гурвалжны харгалзах тал болон өнцгийг нэрлэх, хэмжих, хооронд нь
жиших үйл ажиллагаа хийж үр дүнг бичиж тэмдэглэнэ.
Сурах бичгийн 159 дүгээр нүүрэнд байгаа жишээ бодлогоор хоёр гурвалжны тэнцүүгийн
шинжүүрийг томьёолон батлахыг зорив. Баталгааг
“Өгсөн гурван нөхцөл биелж байхаар хоёр гурвалжны хувьд нэг нь нөгөөгийнхөө эсвэл
тэнхлэгийн болон төвийн тэгш хэм, эсвэл ïараллель зөөлт, эсвэл эргүүлэлтийн дүр нь болдог
байх аль нэг хувиргалт олддог бол энэ 2 гурвалжин тэнцүү байна” гэсэн чанар дээр тулгуурлан
гүйцэтгэв. Энэхүү чанарыг болон тохиолдол бүрд баталгааг хэрхэн хийж, шинжүүрийг томьёолон
тэмдэглэснийг сурагчидтайгаа хамтран сайтар ярилцаж, шаардлагатай бол тайлбарлаж өгнө үү.
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Тэгш өнцөгт АВС ба DEF гурвалжнууд тэнцүү байх шинжүүр нь
1. Нэг хурц өнцөг, нэг тал (ӨТ) 2. Хоёр тал (ТТ) байхыг шалгаж тогтоогоорой.
Тэгш өнцөгт гурвалжны тэнцүүгийн шинжүүр
Энэхүү асуудал шийдвэрлэх даалгаврын үр дүнд гурвалжны тэнцүүгийн шинжүүр нь тэгш
өнцөгт гурвалжнуудын хувьд ямар онцлогтой байхыг тогтоож, түүнийг таних, хэрэглэх, тооцоолох
дадал, чадвар эзэмших юм.
Өгсөн 2 тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд нэг өнцөг нь 90o
гэж мэдэгдэж байна.
Харин өгсөн 2 тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд
а. 2 катет нь харгалзан тэнцүү: бол тэдгээрийн хооронд орших өнцөг нь 900
тул гурвалжин
тэнцүүгийн ТӨТ шинжүүрээр тэнцүү байна.
б. катет ба гипотенуз нь харгалзан тэнцүү: бол эдгээрийн хоорондох хурц өнцгүүд хар-
галзан тэнцүү байна. Учир нь тэнцүү катетуудыг, тэнцүү гипотенузуудыг мөн тэгш өнц-
гүүдийг давхцуулж болох параллель зөөлт олдоно. Иймд гурвалжны тэнцүүгийн ТӨТ
шинжүүрээр тэнцүү байна.
в. 1 хурц өнцөг, 1 катет нь харгалзан тэнцүү: бол энэ талд налсан нэг өнцөг нь 900
тул
гурвалжин тэнцүүгийн ӨТӨ шинжүүрээр тэнцүү байна.
г. 1 хурц өнцөг, гипотенуз нь харгалзан тэнцүү: бол нөгөө хурц өнцөг нь мөн тэнцүү болох
тул гурвалжин тэнцүүгийн ӨТӨ шинжүүрээр тэнцүү байна.
Энд дурдсанаас өөр тохиолдол байхгүй гэдгийг шалгаарай. Энэ 4 тохиолдлоос эхний 2
тохиолдлыг нь ТТ шинжүүр, сүүлийн 2 тохиолдлыг нь ӨТ шинжүүр гэж нэрлэж болохоор байна.
Нэмэлт мэдээлэл.
Тодорхойлолт: Харгалзах талууд нь тэнцүү урттай, харгалзах өнцгүүд нь тэнцүү байх 2
дүрсийг тэнцүү дүрсүүд гээд харгалзах оройгоор нэрлэж тэмдэглэнэ.
Энэ ангийн сурагч нь нэг нь нөгөөгийнхөө тэнхлэгийн болон төвийн тэгш хэм, параллель
зөөлт, эргүүлэлт хувиргалтуудын дүр болох өгсөн 2 дүрс тэнцүү байна гэдгийг ойлгох ба тэнцүү

121. 121
дүрсүүдийг ялгаж таних, нэрлэх, тэмдэглэх болон өгсөн нөхцөлөөр зурж, тал өнцгийг тэмдэглэж
нэрлэх чадвар эзэмшинэ.
Тэнцүү гурвалжнуудыг тухайлан авч үзэж, тэнцүүгийн шинжүүртэй нь танилцах, хэрэглэх
дараагийн сэдэвт байгаа тул энэ сэдэвт аль болох тэнцүү гурвалжин аваагүй болохыг анхаарна
уу. Сурагчдад тэнцүү дүрсүүдийг харгалзах оройгоор нь хэрхэн тэмдэглэж нэрлэдэг тухай сурах
бичигт санамж байдлаар бичсэнийг жишээгээр тайлбарлаж өгнө үү.
Энэ ангийн хувьд цөм хөтөлбөрт шинээр орж байгаа геометрийн гол сэдвүүдийн нэг нь
гурвалжны тэнцүүгийн шинжүүр юм. Дараагийн ангиудад гурвалжны төсөөтэй шинжүүр болон
эдгээрийг ашигласан олон асуудал шийдвэрлэж, шинэ мэдлэг бүтээх үйл ажиллагаанууд орж ирэх
тул энэ сэдвийг бүрэн судалж, эзэмшихэд нь сурагчдад онцгой анхааран тусална уу.
Хоёр гурвалжны тэнцүү чанар: АВС ба MNK гурвалжнууд
тэнцүү гэдгээс:
I. Харгалзах өнцгүүд нь тэнцүү:
ABC= MNK, BCA= NKA, CAB= KMN
II.харгалзах талууд нь тэнцүү:
AB=MN, BC=NK, CA=KM нөхцөлүүд зэрэг биелнэ.
Хоёр дүрс тэнцүү байх тодорхойлолт болон дээр гүйцэтгэсэн
дадлага ажлын үр дүнгээс:
2 гурвалжин тэнцүү байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь дээрх 6 нөхцөл зэрэг биелж
байх явдал болох нь харагдаж байна.
Харин гурвалжны тэнцүүгийн шинжүүр гэдэг нь энэхүү 6 нөхцөлөөс хамгийн цөөндөө хэдэн
нөхцөл нь биелж байхад уг 2 гурвалжныг тэнцүү гэж хэлж болох тухай, өөрөөр хэлбэл хамгийн
цөөндөө хэдэн нөхцөл биелдэг гэдгээс бусад нөхцөлүүд биелдэг нь мөрдөн гардаг чанар юм. Иймд
39 дүгээр бодлогоор 2 нөхцөл биелж байхад бусад нөхцөлүүд биелэх боломжгүй буюу өгсөн 2
гурвалжин тэнцүү биш байхыг сурагчдаар гаргуулахыг зорьсон болно.
тал тал талын шинжүүр (ТТТ). Нэг гурвалжны гурван тал нь нөгөө
гурвалжны гурван талтай харгалзан тэнцүү бол энэ хоёр гурвалжин тэнцүү
байна.
өнцөг тал өнцгийн шинжүүр (ӨТӨ). Нэг гурвалжны тал, түүнд налсан
хоёр өнцөг нь нөгөө гурвалжны тал, түүнд налсан хоёр өнцөгтэй харгалзан
тэнцүү бол энэ хоёр гурвалжин тэнцүү байна.
өнцөг тал өнцгийн шинжүүр (ӨТӨ). Нэг гурвалжны тал, түүнд налсан
хоёр өнцөг нь нөгөө гурвалжны тал, түүнд налсан хоёр өнцөгтэй харгалзан
тэнцүү бол энэ хоёр гурвалжин тэнцүү байна.
Тал өнцөг талын шинжүүр (ТӨТ). Нэг гурвалжны хоёр тал, хоорондох
өнцөг нь нөгөө гурвалжны хоёр тал, хоорондох өнцөгтэй харгалзан тэнцүү
бол энэ хоёр гурвалжин тэнцүү байна.
A
B
C
K M
N

122. 122
Даалгавруудын тайлбар, бодолт.
Энэ сэдвийн дасгал даалгавар нь тэнцүү дүрсүүдийг таних, тэмдэглэх нэрлэх хөнгөн дасгалаас
эхлээд өгсөн 2 дүрс ямар хувиргалтуудын дүр болохын хувьд тэнцүү дүрсүүд болохыг тогтоох,
хялбар асуудал шийдвэрлэхэд ашиглах гэсэн байдлаар өргөсөж байна. Мөн тэнцүү гурвалжнуудыг
таних, тэмдэглэх, нэрлэх хөнгөн дасгалаас эхлээд өгсөн 2 гурвалжин ямар шинжүүрээр тэнцүү
болохыг тогтоох, мэдэгдэхгүй байгаа талын урт болон өнцгийг олох, хялбар асуудал шийдвэрлэхэд
хэрэглэх гэсэн байдлаар өргөсөж байна.
Өгсөн дүрсийг өгсөн хувиргалтаар хувиргаарай. Дүр нь анх өгөгдсөн дүрстэйгээ тэнцүү
эсэхийг шугам, транспортир ашиглан шалгаарай.
Төлөвлөх
а.Өгсөн дүрсийг тэмдэглэж,
нэрлэнэ.
б.Дүрсийг хувиргаж, дүрийг
тэмдэглэж, нэрлэнэ.
в.Дүрс ба дүрийн харгалзах
талуудын уртыг хэмжиж,
жишнэ.
г. Дүрс ба дүрийн харгалзах
өнцгүүдийг хэмжиж, жишнэ.
I. l шулууны хувьд тэгш хэм II. O цэгийн хувьд тэгш хэм
III. (-3;-2) чиглэлийн
параллель зөөлт
IV. О цэгт төвтэй, цагийн зүүний
дагуу 270o
-ийн эргүүлэлт
O
l
O
Тайлбар: Өгсөн дүрсийг өгсөн хувиргалтаар хувиргахад түүнтэй тэнцүү дүрс үүсэхийг
тогтоох өмнөх дадлага ажлыг бататгаж, тэнцүү дүрсүүдийг тэмдэглэж нэрлэх дадал, чадвар
эзэмшүүлэх зорилготой бодлого юм.
Аль дүрс нь өгсөн дүрсийн нэрлэсэн хувиргалтын дүр болохыг тогтоохдоо уг хувиргалтын
онцлог шинжээс гадна өгсөн дүрс дүртэйгээ тэнцүү байдаг чанарыг ашиглана.
Өгсөн 2 гурвалжны хувьд тус 2 нөхцөл биелж байхад тэнцүү байж чадахгүй гэдгийг
харуулахад зорьсон бодлого юм.
Зурагт өгсөн 2 гурвалжин ямар шинжүүрээр тэнцүү болохыг тогтоох, нэрлэх, тэмдэглэх,
мэдэгдэхгүй байгаа тал болон өнцгийг олох чадвар, дадал эзэмшүүлэхэд зорьсон бодлогууд
юм.
Өгсөн 2 гурвалжин өгсөн шинжүүрээр тэнцүү байхын тулд шаардлагатай элементийг олж
нэрлэх, ямар шинжүүрээр тэнцүү болохыг тогтоох буюу гурвалжны тэнцүүгийн шинжүүр
хэрэглэх чадвар, дадал эзэмшүүлэхэд зорьсон бодлого юм.
Өгсөн нөхцөлөөр зураглал үйлдэх, тэнцүү гурвалжнуудыг нэрлэж тэмдэглэх чадвар, дадал
эзэмшүүлэхэд зорьсон бодлого юм.
Нийлмэл дүрсээс гурвалжны тэнцүүгийн шинжүүр ашиглан тэнцүү гурвалжнуудыг олж,
нэрлэх, тэмдэглэх чадвар, дадал эзэмшүүлэхэд зорьсон бодлого юм.
Гурвалжны тэнцүүгийн тухай ойлголт болон шинжүүрийг таних, хэрэглэх чадвар, дадал
эзэмшүүлэхэд зорьсон бодлого юм.
Нийлмэл дүрсээс олон өнцөгтийн чанар болоод гурвалжны тэнцүүгийн шинжүүр ашиглан
тэнцүү гурвалжнуудыг олж, нэрлэх, тэмдэглэх чадвар, дадал эзэмшүүлэхэд зорьсон бодлого
юм.

123. 123
2.26. Нэгж хичээлийн сэдэв: Куб ба тэгш өнцөгт параллелепипед
Хүрэх үр дүн
Куб ба ТӨП-ийн хэмжээнүүдийг дэлгээсийн тусламтайгаар олох, эзлэхүүний нэгжийг
ойлгосноор хэмжээг ижил нэгжид шилжүүлэн гадаргуун талбай ба эзлэхүүнийг олох,
хоёр ба гурван хэмжээст хэмжигдэхүүний ялгааг ойлгох, томьёо хэрэглэн мэдэгдэхгүй
байгаа хэмжээг олох, зарим хялбар нийлмэл дүрсийн эзлэхүүн ба гадаргуун талбайг
олох, гадаргуун талбай ба эзлэхүүний талаарх ойлголтоо ашиглан асуудал шийдвэрлэх
чадвартай болно.
Түлхүүр үг: м3
, см3
, дэлгээс, гадаргуун талбай, эзлэхүүн
Хэрэглэгдэхүүн: Куб, тэгш өнцөгт параллелепипедийн дэлгээс, ажлын хуудас
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг, чадвар Одоо эзэмших мэдлэг, чадвар
• Кубийн эзлэхүүнийг олох,
ТӨП-ийн эзлэхүүнийг
тооцоолж олох
• Куб, тэгш өнцөгт паралле­
ле­
пипедийн дэлгээсийг таних,
зурах
• Куб, ТӨП-ийн дэлгээсийг зурах, хэрэглэх, гадаргуун
талбайг олох
• Тэгш өнцөгт параллелепипедийн эзлэхүүнийг олох
томьёог гаргах, хэрэглэх
Үйл ажиллагаа.
1. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн гадаргуун талбайг тооцоолох.
Сурах бичгийн асуудал дэвшүүлсэн бодлогоор болон өөр бодлогоор сэдэлжүүлж болно. Зарим
хялбар хайрцгийг задалж дэлгээс хийх сургалтыг дэмжих бас нэг сайн арга болно.
Куб болон төп-ийн дэлгээсийн талаар ярилцаарай. Дараах асуултуудаар ярилцана.
- Зарим хөрш талаараа нийлсэн 6 квадрат бүр кубийн дэлгээс болж чадах уу?
- Бүтэн кубийг яаж зүсвэл дэлгээс гарах боломжтой вэ? Хэдэн удаа зүсч байна вэ?
а. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн талс бүр тэгш өнцөгт байгааг сануулна.
б. Тэнцүү талсуудыг нэрлүүлнэ. Эндээс сурагчид талсууд хос хосоороо тэнцүү байгааг
ойлгоно.
в. Талс бүрд орох дүрсийн тоог олох нь тэгш өнцөгтийн талбайг олох бодлого руу шилжиж
байгааг сануулна. Тэгш өнцөгтийн талбайг олох томьёог талс бүрийн хувьд бичүүлж
болно. Шаардлагатай бол нэгж талбай нь 1см2
талтай квадрат байхаар төсөөлүүлж болно.
г. Нийт талбайг олохдоо өмнөх алхамд бичсэн тэгш өнцөгтийн талбайнуудыг нэмнэ. Эндээс
гадаргуун талбайг олох томьёог гаргаж болно.
Жишээ бодлогыг бодсоноор гадаргуун талбайг олох томьёог сурагчид өөрсдөө гаргах
боломжтой.
Параллелепипедийнирмэгийнуртыголохтомьёог53дугаардасгалаарсэдэлжүүлэнсурагчдаар
гаргуулна.

124. 124
Даалгаврын тайлбар.
Зурагт аль параллелепипедийн дэлгээс өгсөн байна вэ?
1 2 3 4
Тайлбар. Бодлогыг бодохын өмнө дараах асуултаар идэвхжүүлээрэй.
“Аль параллепипедийн гадаргуун талбай нь илүү их байх вэ?, Аль нь хамгийн бага талбайтай
вэ?”
Сурагчдын буруу хариултыг үгүйсгэхгүйгээр шалгаж үзээд, зөв бурууг тогтооно.
Хэмжээсүүд нь куб руу дөхсөн параллелепипедийн гадаргуун талбай нь хамгийн бага байдаг
тухай ярилцаарай.
, , дугаар бодлогыг асуудал шийдвэрлэх арга зүйгээр шийдвэрлэж болно.
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Өрөөний шал 4м×5м хэмжээтэй, өндөр 2м 70см байв. Цонхны хэмжээ 1м 60см×2м, харин
хаалганы өндөр 2м 20см, өргөн нь 1м хэмжээтэй. 60см өргөнтэй ханын цаас нэг боодол нь
10м урт байдаг бол хэдэн боодол цаасаар өрөөг цааслах вэ?
Дараах байдлаар төлөвлөж болно:
1. Өгөгдөлд байгаа бүх хэмжээсийг нэг ижил нэгжид шилжүүлнэ.
2м 70см=2.7м, 1м 60см=1.6м, 2м 20см=2.2м, 60см=0.6м
2. Ханын талбай ямар болох вэ? (4м×2.7м+5м×2.7м)×2=48.6м2
3. Цонх ба хаалганы талбай ямар болох вэ? 1.6м×2 м=3.2м2
, 2.2м×1м=2.2м2
,
4. Цааслах талбай хэд болох вэ? 48.6-3.2-2.2=43.2м2
5. Нэг боодол цаас ямар талбайтай вэ? 0.6м×10м=6м2
6. Хэдэн боодол цаас хэрэгтэй вэ? 43.2м2
÷6 м2
=7.2 (боодол)
7. Шалаа хэрхэн будах талаар ярилцаж, дүгнэнэ.
Сурах бичгийн 163 дугаар нүүрэнд байгаа асуудал шийдвэрлэх даалгаврыг (Илгээмжийн
хайрцаг) асуудал шийдвэрлэх арга зүй хэрэглэн шийдвэрлэж болно.
Кубийн боломжит бүх дэлгээсийн зургийг орууллаа. Дэлгээс бүрийг хэдэн зүсэлтээр үүсгэх
боломжтой байгааг ярилцаарай.

125. 125
2. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн эзлэхүүнийг олох.
- Тэгш өнцөгт параллелепипедийн эзлэхүүн гэдэг нь юуг хэлэх вэ?
- Ямар кубийг нэгж куб гэж нэрлэх вэ? гэх мэт асуултаар ярилцаж болно.
Сурах бичгийн асуудал дэвшүүлсэн бодлогын хувьд эхлээд өгсөн нөхцөлөөр өрөхөд тэгш
өнцөгт параллелепипед хэлбэртэй болох тухай ярилцаарай. Энэхүү параллелепипедийн урт,
өргөн, өндрийн хэмжээг олж болно.
а. Энэ алхамд суурийн талбайг олж байгааг сурагчид өөрсдөө олж харах нь чухал. Үүнийг
“Доод давхарт өрсөн хайрцагны тоо юуг илэрхийлэх вэ?” гэх мэт асуултаар дөхүүлж болно.
б. Энэ алхамд гол нь давхар бүрд ижил тооны хайрцаг өрсөн байгааг ойлгох нь чухал. Энэ нь
дахиад суурийн талбайтай тэнцүү тоотой байгаа гэдэгт сурагчдын анхаарлыг хандуулна.
в. Энэ алхамд сурагчид нийт хайрцгийн тоог олохдоо суурийн талбайг өндрөөр үржүүлж
олно. Энд суурийн талбай өөрөө урт ба өргөний үржвэр байгааг сануулаарай.
г. Чихрийн хэмжээг олно.
Эзлэхүүн нь нэг давхарт өрөх нэгж кубийн тоог хэдэн давхар болгон өрснөөр үржүүлсэнтэй
тэнцэж байгааг сурагчид өөрсдөө олж харах нь чухал.
Анхаарах зүйл.
Параллелепипедийн эзлэхүүнийг олох томьёог гаргасны дараа хоёр хэмжээст болон гурван
хэмжээст хэмжигдэхүүний талаар ярилцаарай. Гурван хэмжээс нь заавал ижил нэгжид шилжсэн
байдаг талаар жишээ гарган ярилцаарай. Жишээ нь 2 дм урттай, 2 см өргөнтэй, 3 см өндөртэй
параллелепипедийн эзлэхүүнийг олж болно.
V=урт×өргөн×өндөртомьёогашиглахдаасуурийнталбай×өндөр,хажууталсын талбай×урт,
нүүрний талбай×өргөн гэх мэт байдлаар ашиглаж болохыг заавал сануулаарай.
Сэдэлжүүлэх санаа.
Эзлэхүүн тогтмол байхад ямар хэмжээстэй тэгш өнцөгт параллелепипедийн гадаргуун талбай
хамгийн их байдаг тухай ярилцаж болно. Сурагчид туршилт хийх бүрдээ гадаргуун талбайг нь
олж харьцуулна. Тохиолдол бүрд нь эзлэхүүнийг нь ямар хэмжээсүүдийн тусламжтайгаар олж
байгаа ярилцаарай.
Даалгаврын тайлбар.
г. бодлогыг бодохдоо суурийн талбайг өндрөөр үржүүлэх аргыг ашиглаарай.
, , . Эдгээр бодлогыг асуудал шийдвэрлэх арга зүйг ашиглан шийдвэрлээрэй.
Бодлогыг бодуулахдаа сурагчдын ялгаатай байдлыг харгалзан үзээрэй. Зарим сурагчид
биетүүдээ параллелепипедүүд болгон хуваагаад нийлбэрийг олж болно. L хэлбэрийн биет
нь тэгш өнцөгт параллелепипедүүдээс тогтох биетүүдийн хамгийн хялбар нь юм.
Нийт 6 амьтны зураг байх ёстой. Дэлгээсийг нь зуруулаад амьтдыг байрлуулж болно.
Загасны эсрэг талд могой, цох, заан, муур байхгүй. Иймд шувуу байна.
Голын зургийн хувьд загасны хоёр хөрш нь могой, цох хоёр байгаа.
Могой нь доод талд байгаа тул муурны эсрэг талд могой байна.
Зааны эсрэг талд цох, муурын эсрэг талд могой, загасны эсрэг талд шувуу байгаа.
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
30см×10см×5см хэмжээтэй тоосгонуудыг 150см ирмэгтэй куб хэлбэртэй өржээ. Хэдэн
ширхэг тоосго өрсөн бэ?
30
Тоосго өрсөн нь

126. 126
Дараах байдлаар төлөвлөж болно:
1. Суурийг өрөхдөө уртааш нь болон өргөөшөө хэдэн тоосго орсон байхаар өрөх вэ?
Куб хэлбэртэй өрөх тул тоосгонуудыг хааш нь ч харуулж өрөхөд ижил үр дүн гарна гэдгийг
сурагчдад ойлгуулах хэрэгтэй.
150см÷30см=5 ширхэг, 150см÷10см=15 ширхэг
2. Суурийг өрөхөд хэдэн тоосго хэрэгтэй вэ? 1×5=75 ширхэг
3. Дээшээ хэд давхарлах вэ? 150см÷5см=30 ширхэг
4. Хэдэн тоосго хэрэгтэй вэ? 75×30=2250 ширхэг тоосго
Эзлэхүүн олохтой ижил аргаар олж байгааг дахин сануулах нь чухал.
Явцын үнэлгээний жишиг даалгавар.
1. Гадаргуун талбайг ямар нэгжээр хэмжих вэ?, Эзлэхүүнийг ямар нэгжээр хэмжих вэ?
2. Параллелепипедийн нэг ирмэг хэдэн талсын тал болох вэ?
3. Параллелепипедийн талс нь ямар дүрс байх вэ?
4. Ямар талсуудыг эсрэг орших талсууд гэх вэ?
5. Оройнуудыг үсгээр тэмдэглээрэй.
а. Тэнцүү талсуудыг бичээрэй.
б. Тэнцүү ирмэгүүдийг бичээрэй.
6. Эзлэхүүнийг хэрхэн олох вэ?
7. 1см, 2см, 3см ирмэгүүдтэй тэгш өнцөгт параллелепипедийн эзлэхүүнийг олоорой.
8. Хоёр параллелепипедийн эзлэхүүнүүд тэнцүү байв. Хэмжээсүүд нь тэнцүү байх уу?
9. Усан сангийн суурийн талууд нь 10м ба 30м, өндөр нь 2м байв. Хана ба шалыг хавтангаар
бүрэхэд хэдэн м2
хавтан хэрэгтэй вэ?
10. Дараах оюуны зураглалыг гүйцээгээрэй.
Дадлага ажлын хуудас
Зорилго: Тэгш өнцөгт параллелепипедийн дэлгээс хийн гүйцэд гадаргуун талбай, эзлэхүүн
олох.
Ажиллах заавар: Хүснэгтэд ТӨП-ийн урт, өргөн, өндрийг бичнэ. Томьёоны дагуу ТӨП-ийн
гүйцэд гадаргуун талбайг олно.
Гүйцэд гадаргуун талбай =
2bc+2ac+2ab
8см 20см
30
см
Нүүр Ар тал
Хажуу
талс
Хажуу
талс
Дээд
суурь
Доод
суурь
Өндөр (c) Урт (b) Өргөн (a)
2bc (Нүүр
болон ар
тал)
2aс (Хажуу
талсууд)
2ab (Дээд
ба доод
суурь)
Гүйцэд
гадаргуун
талбай
Эзлэхүүн

127. 127
III БҮЛЭГ. ХаВСраЛТ
3.1. Нэгж хичээлийн үнэлгээний жишиг даалгавар
Сэдэв: Хувиргалт
1. Өгсөн дүрс хэдэн тэгш хэмийн тэнхлэгтэй вэ?
A. 4 Б. 8 В. 2 Г. 0
2. Өгсөн дүрсийн эргэлтийн тэгш хэмийн эрэмбийн тоог олоорой.
А. 2 Б. 3 В. 4 Г. 6
3. Координатын эхийн хувьд тэгш хэмтэй дүрс аль нь вэ?
A. Б. В. Г.
4. Өгсөн хувиргалт ямар хувиргалт вэ?
А. Төвийн тэгш хэм
Б. Параллель зөөлт
В. Тэнхлэгийн тэгш хэм
Г. Эргүүлэлт
5. Өгсөн хувиргалт ямар хувиргалт вэ? ABC гурвалжны оройн цэгүүдийн дүр нь тус бүр ямар
координаттай байх вэ?
0
1
1
2 3
3
4
5
5
6
6
x
–6
–6
–5
–5
–4
–4
–3
–3
–2 –1
y
4
2
–2
7
7
–7
–7
A(5,6)
C(3,4)
B(7,3)
А. Төвийн тэгш хэм
Б. Параллель зөөлт
В. Тэнхлэгийн тэгш хэм
Г. Эргүүлэлт
6. Өгсөн хувиргалт ямар хувиргалт вэ? ABC гурвалжны оройн цэгүүдийн дүр нь тус бүр ямар
координаттай байх вэ?
0
1
1
2 3
3
4
5
5
6
6
x
–6 –5 –4 –3 –2 –1
y
4
2
7
7
–7
A
A1
C1
M
B
C
8
B1
А. Төвийн тэгш хэм
Б. Параллель зөөлт
В. Тэнхлэгийн тэгш хэм
Г. Эргүүлэлт

128. 128
7. Өгсөн хувиргалт ямар хувиргалт вэ?
ABC гурвалжин ямар чиглэлд, хэдэн нэгжээр шилжсэн бэ?
0
1
2
3
3
x
–3 –2
–2
–1
y
2
1
–1
A
C
B
4
A1
C1
B1
А. төвийн тэгш хэм
Б. параллель зөөлт
В. тэнхлэгийн тэгш хэм
Г. эргүүлэлт
8. Өгсөн хувиргалт ямар хувиргалт вэ?
ABCO 4 өнцөгтийн оройн цэгүүдийн дүр нь тус бүр ямар координаттай байх вэ?
O
1
2
3
3
x
–3
–3
–2
–2
–1
y
2
1
–1
4
A1
C1
B1
A
C
B
А. төвийн тэгш хэм
Б. параллель зөөлт
В. тэнхлэгийн тэгш хэм
Г. эргүүлэлт
9. Өгсөн хувиргалтын эргүүлэлтийн төв ба өнцгийг олоорой.
O
1
2
3
3
x
–3
–3
–2
–2
–1
y
2
1
–1
4
A1
A1
A
C
B
C
B1
C1
D1
А. цагийн зүүний дагуу 90o
Б. цагийн зүүний дагуу 180o
В. цагийн зүүний дагуу 270o
Г. цагийн зүүний эсрэг 90o
10. Өгсөн хувиргалтын эргүүлэлтийн төв ба өнцгийг олоорой.
O
2
3
3
x
–3
–3
–2
–2
–1
y
1
–1 A1
C1
A
C
B
C
D1
A1 B1
А. цагийн зүүний дагуу 90o
Б. цагийн зүүний дагуу 180o
В. цагийн зүүний дагуу 270o
Г. цагийн зүүний эсрэг 90o
11. О цэгт төвтэй 360o
-ийн эргүүлэлтээр хувирсан дүрс аль нь вэ?
O O O O
А. Б. В.

129. 129
3.2. Эцсийн үнэлгээний жишиг даалгавар.
Тоо тоолол, алгебр (86 оноо)
1. Дэлхийн хамгийн хүйтэн газрыг 1983 оын 6 сарын 21-нд Àнтаðêтèд тèвд −89°C, 2010 оны 8
сарын 10-нд мºн Àнтаðêтèд тèвд −93°C, 1838 оны 1 сарын 15-нд ÎÕÓ-ын ßêóтад −60°C, 1892
оны 2 ñаðд мºн ßêóтын Îймÿêон õотод −69°C хүрснийг тус тус бүртгэжээ. Эдгээр тоонуудыг:
а. Өсөх эрэмбээр бичээрэй. [2 оноо]
б. Дээрх тоонуудын хамгийн их ба хамгийн бага хоёр тооны зөрөөг олоорой. [2 оноо]
2. а. –5-аас 5 хүртэлх бүхэл тоонуудын квадрат зэргийг олж, нийлбэрийг олоорой. [2 оноо]
б. 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
− + − + − + − + −
илэрхийллийн утгыг
олоорой. [ 2 оноо]
3. а. Өгсөн тоонуудаас 4, 6, 8-д хуваагдах тоонуудыг ялгаж бичээрэй. [4 оноо]
12342, 561024, 78544, 253332, 446460, 99225588, 12345678
б. Өгсөн тоонуудын ХИЕХ, ХБЕХ-ийг олоорой. [4 оноо]
45 ба 75, 77 ба 99, 64 ба 72 , 14 ба 15, 23 ба 29
4. Өгсөн хэмжээнүүдийг буурах эрэмбээр бичээрэй. [4 оноо]
546 мм, 4.3 см, 5 дм, 0.55 м, 0.0045 км
5. Үйлдлийг гүйцэтгээрэй.
а. 3.42÷0.57×9.5–6.6 [3 оноо] б. 5 1
6
3 5
6
4 1
9
2 5
6
+ × −
( ) [3 оноо]
6. Өгсөн тоонуудыг зууны хэсгээр тоймлож, нийлбэрийг олоорой.
45.0592, 36.245, 0.348, 23.444, 0.9026 [3 оноо]
7. а. Өгсөн тооны процентуудыг олоорой. [5 оноо]
б. Процент тус бүрийг энгийн болон аравтын бутархайгаар илэрхийлээрэй. [5 оноо]
16% = … 50% = … 20% = …
5% = … 1% = …
15% = …
30% =…
10% = …
300
8. Квадратуудын талбайн харьцааг олоорой. [4 оноо]
9. а. Харьцаануудыг хялбар хэлбэрт бичээрэй.
18:15, 48:16, 64:72, 2.5:3.5 [4 оноо]
б. Пропорцын мэдэгдэхгүй байгаа тоог олоорой.
x:12=60: 72, 65:x=4 : 6, 12.5:3=x:4 [4 оноо]

130. 130
10. Зураг дээрх заалтыг харахад машины шатахууны 1
4
нь дүүрэн байна.
Машин нийт 80 литр шатахуун нөөцлөх боломжтой бол:
а. Машинд хэдэн литр шатахуун үлдсэн бэ? [2 оноо]
б. Шатахууны савыг дүүргэхийн тулд хэдэн литр шатахуун
нэмэх хэрэгтэй вэ? [1 оноо]
в. Эдгээрээр ямар, ямар харьцаа зохиож болох вэ? [2 оноо]
11. Ангийн сурагчдын 3
4
нь 33 бол анги хэдэн сурагчтай вэ? Тэгшитгэл зохиож бодоорой. Хэрэв
ангид 6 сурагч нэмж ирсэн бол ангийн сурагчдын 4
5
хэдэн сурагч болох вэ? [4 оноо]
12. Илэрхийллийг хялбарчилж, утгыг олоорой. [4 оноо]
а. –4x+7x–11x+5, x=–3 б. 2(5x–9)–3(–2x+5), x=–4
13. Хэрэв 3 эм заан нийлээд 18м урттай бол:
а. 6 эм заан
б. 15 эм заан
в. 22 эм заан нийлээд ямар урттай болох вэ?
г. Хэрэв эм заан болон зааны тугалын урт нь 2:1 харьцаатай бол 5 зааны тугал нийлээд ямар
урттай болох вэ? [4 оноо]
14. 3-т хуваахад 1 үлдэгдэл өгдөг тоонуудаар дараалал зохиожээ.
а. Дарааллын зүй тогтлыг олоорой. [2 оноо]
б. Энэ дарааллын 10 дугаар гишүүнийг олоорой. [2 оноо]
15. Чүдэнзээр дараах дүрсүүдийг эвлүүлжээ.
а. Энэ дарааллын 5 дугаар дүрс нь хэдэн квадратаас тогтох вэ? [2 оноо]
б. 5 дугаар дүрс хэдэн чүдэнзнээс тогтох вэ? [4 оноо]
16. а. Хүснэгтийг нөхөж, y=2x функцийн график байгуулаарай. [4 оноо]
x -4 -6 2
y 4 -2 0
б. y-ийг x-д харьцуулсан харьцаа хэдтэй тэнцүү вэ? [2 оноо]
в. Өгсөн шулуун дээр A(–5, –10), B(–8, 16), C(10, 20) цэгүүд орших уу? [2 оноо]

131. 131
Даалгавруудын ангилал, үнэлгээний шалгуур үзүүлэлт
Даалгаврын
дугаар
Даалгавар тус бүрийн үнэлгээний шалгуур үзүүлэлт
Танин мэдэхүйн
түвшин
Оноо
№1 Бүхэл тоог жиших, зөрөөг олох Хэрэглээ 4
№2 Бүхэл тооны квадрат зэрэг, квадрат язгуурыг олох Хэрэглээ 4
№3
а. 4,6,8-д хуваагдах тооны шинж Хэрэглээ 4
б. ХИЕХ, ХБЕХ олох Мэдлэг, ойлголт 4
№4 Аравтын бутархайг эрэмбэлж бичих Хэрэглээ 4
№5
а. Аравтын бутархайн үйлдэл гүйцэтгэх Мэдлэг, ойлголт 3
б. Энгийн бутархайн үйлдэл гүйцэтгэх 3
№6 Аравтын бутархайг тоймлох Мэдлэг, ойлголт 3
№7
а. Өгсөн тооны процентуудыг олох Хэрэглээ 5
б. Энгийн бутархай, аравтын бутархай, процентийг
харилцан шилжүүлэх
Хэрэглээ 5
№8 Харьцаа зохиох Хэрэглээ 4
№9 а. Харьцааг хялбар хэлбэрт бичих Мэдлэг, ойлголт 4
б. Пропорцын үндсэн чанар Хэрэглээ 4
№10
Тооны хэсгийг олох, хэсгээр нь тоог олох, харьцаагаар
илэрхийлэх
Асуудал
шийдвэрлэх
5
№11 Хялбар шугаман тэгшитгэл зохиох, бодох,
Асуудал
шийдвэрлэх
4
№12
Алгебрийн шугаман илэрхийллийг хялбарчлах, утгыг
олох
Мэдлэг, ойлголт 4
№13 Харьцаа зохиох
Асуудал
шийдвэрлэх
4
№14
а. Дарааллын зүй тогтол олох Мэдлэг, ойлголт 2
б. Дарааллыг үргэлжлүүлэх Мэдлэг, ойлголт 2
№15 а. Дүрсэн дарааллын зүй тогтлыг олох
Хэрэглээ
2
б. Дүрсэн дарааллыг үргэлжлүүлэх 4
№16
а. Функцийн график байгуулах Хэрэглээ 4
б. Шууд пропорционал хамаарлын коэффициентийг
олох
Мэдлэг, ойлголт 2
в. Өгсөн цэгүүд шулуун дээр орших, эсэхийг тогтоох Хэрэглээ 2
Мэдлэг, ойлголт 27 оноо /31%/, Хэрэглээ 46 оноо /54%/, 13 оноо /15%/
Геометр, хэмжигдэхүүн (80 оноо)
1. а. Огтлолцсон хоёр шулууны хооронд үүссэн өнцгүүдийн нэг нь 55o
бол бусад өнцгүүдийг
олоорой. [3 оноо]
б. Хамар өнцгүүдийн нэг нь нөгөөгөөсөө 4 дахин их бол эдгээр өнцгүүдийг олоорой.
[3 оноо]
в. Дөрвөн өнцөгтийн өнцгүүд нь 5 : 6 : 9 : 4 харьцаатай бол өнцөг тус бүрийг олоорой.
[3 оноо]
г. Гүйцэд өнцгийг 2:5:8 харьцаатай хэсгүүдэд хуваасан бол хэсэг тус бүрд харгалзах өнцгийг
олоорой. [3 оноо]
2. а. 30o
-ын хурц өнцөгтэй, энэ өнцгийн эсрэг орших катет нь 2 см байх тэгш өнцөгт гурвалжин
зураарай. [3 оноо]
б. Зурсан гурвалжны гипотенузыг хэмжиж олоод, гипотенузыг 30o
-ын эсрэг орших катетад
харьцуулсан харьцааг олоорой. [2 оноо]

132. 132
3. а. 9 цэгийн самбар дээр гүдгэр 5 өнцөгтийг хэдэн янзаар зурж болох вэ? [4 оноо]
б. Гүдгэр 5 өнцөгт хэчнээн диагональтай вэ? [2 оноо]
в. Гүдгэр 5 өнцөгтийн 2 өнцөг нь 75o
, 105o
бөгөөд бусад гурван өнцгийн харьцаа нь 2:3:4 бол
эдгээр өнцгүүдийг олоорой. [4 оноо]
4. 4см радиустай хоёр тойргийн огтлолцолд 1см радиустай тойрог багтжээ Тойргуудыг зурж,
эхний хоёр тойргийн төвүүдийн хоорондох зайг олоорой. [3 оноо]
5. Зөв гурвалжин пирамид зурж, хэчнээн талс, ирмэг, оройгоос тогтож байгааг үсгээр тэмдэглэж
бичээрэй. [5 оноо]
6. Өгсөн дүрсүүдийг ажиглаад аль дүрс нь дараах хариултуудад тохирохыг харгалзуулж бичээрэй.
[8 оноо]
1. Тэгш хэмийн 3 тэнхлэгтэй.
2. Тэгш хэмийн тэнхлэггүй.
3. Тэгш хэмийн 4 тэнхлэгтэй.
4. Эргэлтийн тэгш хэмийн эрэмбэ нь 3.
5. Эргэлтийн тэгш хэмийн эрэмбэ нь 2, гэхдээ тэгш хэмийн тэнхлэггүй.
6. Тэгш хэмийн 1 тэнхлэгтэй.
7. Эргэлтийн эрэмбэ нь 4, гэхдээ тэгш хэмийн тэнхлэггүй.
8. Тэгш хэмийн 2 тэнхлэгтэй.
A Б В
Г
В
Д
Е
Ж З
http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=3970
7. Зөв 5 өнцөгт зураарай. [4 оноо]
8. Тэгш өнцөгт координатын хавтгайд А(–5,1), B(–3,4), C(–1,2) цэгүүдийг тэмдэглэж, ABC
гурвалжин зураарай.
а. ABC гурвалжин координатын хавтгайн хэддүгээр мөчид орших вэ? [2 оноо]
б. ABC гурвалжныг Ox тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэй хувиргаж, үүссэн дүрийг A1
B1
C1
гэж
тэмдэглээрэй. A1
, B1
, C1
цэг тус бүрийн координатыг олоорой. [3 оноо]
в. ABC гурвалжныг координатын эхийн хувьд тэгш хэмтэй хувиргаж, үүссэн дүрийг A2
B2
C2
гэж тэмдэглээрэй. A2
, B2
, C2
цэг тус бүрийн координатыг олоорой. [4 оноо]
г. ABC гурвалжныг (6, –5) чиглэлд буюу баруун гар тийш нь 6 нэгж, доош нь 5 нэгжээр
параллель зөөхөд үүсэх дүрийг А3
В3
С3
гэж тэмдэглэе. А3
, В3
, С3
цэг тус бүрийн координатыг
олоорой. [4 оноо]
9. 5×5 хэмжээтэй квадрат 1-ийг хааш нь ямар өнцгөөр эргүүлэхэд квадрат 2 үүсэх вэ? Квадрат
2-ын үлдсэн дөрвөлжнүүдийг будаарай. [4 оноо]
Квадрат 1. Квадрат 2.

133. 133
10. Зураг дээрээс тэнцүү гурвалж­
нуудыг олж, нэрлэж бичээрэй. [4 оноо]
11. а. Дүрсийн талбай болон периметрийг олоорой. [5 оноо]
1.5м
0.9м
1
м
0.3
м
б. 3см талтай кубийн ирмэгийг 2 дахин ихэсгэхэд эзлэхүүн нь хэд дахин ихсэх вэ?
[3 оноо]
в. 5см, 6см, 8см ирмэгүүдтэй тэгш өнцөгт параллелепипепийн эзлэхүүн болон га­
дар­
гуугийн
талбайг олоорой. [5 оноо]
Магадлал, статистик (60 оноо)
1. Дараах өгөгдлийг баганан диаграммаар дүрслээрэй. [5 оноо]
Сурагчдын дуртай өнгө:
Өнгө Давтамжийн тоо
Улаан 7
Хөх 5
Шар 0
Ягаан 3
Ногоон 1
2. Баганан диаграммыг ашиглан асуултад хариулаарай.
10
8
6
4
2
0
0
Номын тоо
Давтамж
1 2 3 4 5 6
а. Нэг ч ном уншаагүй хэдэн сурагч байсан бэ? [1 оноо]
б. 4 буюу түүнээс дээш ном уншсан хэдэн сурагч байсан бэ? [2 оноо]
в. Судалгаанд хэдэн сурагч хамрагдсан бэ? [2 оноо]

134. 134
3. 7 хоногийн агаарын температур өгөгджээ.
Өдөр Даваа Мягмар Лхагва Пүрэв Баасан Бямба Ням
Co
11 15 19 18 20 15 21
а. 7 хоногийн дундаж температурыг олоорой.
б. Моод в. Медиан г. Далайцыг тус тус олоорой. [5 оноо]
4. Шугаман график ашиглан асуултад хариулаарай.
Нэг сурагчийн 8 долоо хоногийн турш авсан шалгалтын
оноо
7 хоног
авсан
оноо
30
25
20
15
10
5
0
1 2 3 4 5 6 7 8
а. 4 дэх 7 хоногт хэдэн оноо авсан бэ? [1 оноо]
б. Аль 7 хоногт хамгийн өндөр оноо авсан бэ? [1 оноо]
в. Аль 7 хоногуудад ижил, хэдэн оноо авсан бэ? [3 оноо]
5. Пиктограммыг ашиглан асуултад хариулаарай.
Марал
Түлхүүр:
Түлхүүр:
= 2 алим
Бат
Билгүүн
Туяа
а. Маралд хэдэн алим байсан бэ? [1 оноо]
б. Бат, Туяа хоёр нийлээд хэдэн алимтай байсан бэ? [2 оноо]
в. Бүгд нийлээд хэдэн алимтай байсан бэ? [1 оноо]

135. 135
6. Дараах мэдээллийг пиктограммаар дүрсэлж үзүүлээрэй. Түлхүүрээ өөрсдөө сонгоно.
Шувууны аж ахуйн нэр Өдөрт үйлдвэрлэдэг өндөгний тоо /хайрцгаар/
А фирм 15
Б фирм 11
В фирм 9
Г фирм 14
Д фирм 4
Е фирм 8
[5 оноо]
7. Дараах өгөгдлийг дугуй диаграмммаар дүрслээрэй.
Ангийн сурагчдын дуртай спорт Давтамжийн тоо
Ширээний теннис 7
Тэшүүр 3
Сагсан бөмбөг 12
Усан сэлэлт 5
Гар бөмбөг 9
Бүгд 36
[6 оноо]
8. Дугуй диаграммыг ашиглан асуултад хариулаарай.
а. Ундаануудыг хамгийн дуртайгаас эхлэн эрэмбэлж бичээрэй.
[2 оноо]
б. Судалгаанд оролцсон 72 хүнээс 16 нь жимсний шүүсэнд дуртай
гэж хариул­
сан бол дугуй диаграммын энэ хэсэгт харгалзах өнцгийг
олоорой. [3 оноо]
9. а. 4, 5, 6, 0 цифрүүдээр цифр давтагдахгүй 3
оронтой тоо хэдийг зохиож болох вэ? [3 оноо]
б. 6а, 6б, 6в, 6г, 6д ангиуд сагсан бөмбөгийн тэмцээн зохиожээ. Хэрэв анги тус хоорондоо
зөвхөн 1 удаа тоглох бол нийт хэдэн тоглолт болох вэ? [3 оноо]
10. Хоёр шоог зэрэг орхих туршилт хийжээ.
Туршилтын бүх үр дүн буюу “бууж болох нүднүүдийн нийлбэр”
ямар байхыг зурагт үзүүлжээ.
а. Нийт боломжийн тоог олоорой. [2 оноо]
б. Нийлбэр нь 7 байх хэдэн боломж байх вэ? [3 оноо]
в. Нийлбэр нь 5, 9 байх боломжийн тоо ижил үү? Ижил
боломжтой нийлбэрүүдийг олоорой. [3 оноо]
г. Нийлбэр нь 7 буух үзэгдлийн магадлалыг олоорой. [3 оноо]
д. Нийлбэр нь 4 байх, нийлбэр нь 12 байх үзэгдлүүдийн
магадлалыг олж, жишээрэй. 3 оноо]
Дуртай ундаа
Кола
Тараг
Жимсний шүүс
Цэвэр ус
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

136. 136
3.3. Сургалтанд ашиглагдах хэрэглэгдэхүүн, ажлын хуудас.
9 цэгийн геосамбар. Нэр ___________________________

137. 137
16 цэгийн геосамбар. Нэр ___________________________

138. 138
Тоон шулууны загвар.
0
–10 1
–9 2
–8 3
–7 4
–6 5
–5 6 7 8 9 10
–4 –3 –2 –1
0
–10 1
–9 2
–8 3
–7 4
–6 5
–5 6 7 8 9 10
–4 –3 –2 –1
0
–10 1
–9 2
–8 3
–7 4
–6 5
–5 6 7 8 9 10
–4 –3 –2 –1
0
–10 1
–9 2
–8 3
–7 4
–6 5
–5 6 7 8 9 10
–4 –3 –2 –1
0
–10 1
–9 2
–8 3
–7 4
–6 5
–5 6 7 8 9 10
–4 –3 –2 –1

139. 139
Изометр цаас.
124
гЕОСАМбАР
9 ЦэгИЙН САМбАР
Дадлага ажлын хуудас.
Зорилго: Зөв олон өнцөгтийн дотоод өнцгүүдийн нийлбэрийг олох
Олон өнцөгтийн
нэр
Өнцгийн тоо
Үүсгэсэн
гурвалжны тоо
Дотоод өнцгүүдийн
нийлбэр
Нэг дотоод
өнцгийн хэмжээ
Заавар: Хүснэгтийг нөхөөрэй.
а. Олон өнцөгт тус бүрийг гурвалжинд хуваана.
б. Үүсгэсэн гурвалжны тоогоор олон өнцөгтийн дотоод өнцгүүдийн нийлбэрийг олно.
в. Олон өнцөгт тус бүрийн дотоод өнцгийн нийлбэрийг өнцгийн тоонд хувааж нэг дотоод
өнцгийн хэмжээг олно.

140. 140
123
0
−1
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9 0
−1
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
0
−1
−1
1
2
3
4
5
6
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5 6
−2
−3
−4
−5
−6 0
−1
−1
1
2
3
4
5
6
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5 6
−2
−3
−4
−5
−6
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5 6 7 8
−1 −1
−2 −2
−3 −3
−4 −4
−5
−6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
−11
−12
−13
−14
−15
−16
123
тООН ШУлУУН бА тэгШ ӨНЦӨгт КООРдИНАтЫН ХАВтгАЙ
0
−1
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9 0
−1
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
0
−1
−1
1
2
3
4
5
6
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5 6
−2
−3
−4
−5
−6 0
−1
−1
1
2
3
4
5
6
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5 6
−2
−3
−4
−5
−6
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5 6 7 8
−1 −1
−2 −2
−3 −3
−4 −4
−5
−6
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5 6 7 8
−1 −1
−2 −2
−3 −3
−4 −4
−5
−6
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5 6 7 8
−1 −1
−2 −2
−3 −3
−4 −4
−5
−6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
−11
−12
−13
−14
−15
−16
Координатын хавтгайн загвар.

141. 141
Ажлын хуудас.
Зорилго: ХИЕХ, ХБЕХ олох Нэр: ……………………………..
Бодлого 1: Өгсөн тоонуудын ХИЕХ-ийг олоорой. Бодох алхам:
I алхам. Өгсөн хоёр тоо тус бүрийн бүх хуваагчуудыг олж бичнэ.
II алхам. Хоёулангийнх нь ерөнхий хуваагчуудыг гадуур нь дугуйлж тэмдэглэнэ.
III алхам. Эдгээрээс хамгийн ихийг нь ХИЕХ гэсэн хэсэгт бичнэ.
а.
Өгсөн
тоонууд
Хуваагчууд ХИЕХ
24
16
б.
Өгсөн
тоонууд
Хуваагчууд ХИЕХ
36
27
в.
Өгсөн
тоонууд
Хуваагчууд ХИЕХ
15
16
г.
Өгсөн
тоонууд
Хуваагчууд ХИЕХ
90
80
Бодлого 2. Өгсөн тоонуудын ХБЕХ-ийг олоорой. Бодох алхам:
I алхам. Өгсөн хоёр тоо тус бүрийн эхний 8 хуваагдагчийг олж бичнэ.
II алхам. Хоёулангийнх нь ерөнхий хуваагдагчуудыг гадуур нь дугуйлж тэмдэглэнэ.
III алхам. Эдгээрээс хамгийн багыг нь ХБЕХ гэсэн хэсэгт бичнэ.
а.
Өгсөн
тоонууд
Хуваагдагч ХБЕХ
7
8
б.
Өгсөн
тоонууд
Хуваагдагч ХБЕХ
6
9
в.
Өгсөн
тоонууд
Хуваагдагч ХБЕХ
18
24
г.
Өгсөн
тоонууд
Хуваагдагч ХБЕХ
19
21

142. 142
3.4. Нэр, томьёоны тайлбар
ТОО ТООЛОЛ, АЛГЕБР
Тоог тоймлох - Бодлогын зорилго, нөхцөлд тохируулан тоо хэмжээг ойролцоогоор авах арга, тоог
орны нэгжээр тоймлох, тэмдэгтийн тоогоор тоймлох аргууд байдаг.
Тэмдэгтийн тоогоор тоймлох - Тооны их орны нэгжээс эхлэн тэмдэгтийг тоолон тоймлох арга.
Харьцааны хялбар хэлбэр - Харьцааг түүнтэй тэнцүү үл хураагдах бутархайд шилжүүлэхийг
хэлнэ.
Шулууны налалт - Бид шулууны өнцгийн коэффициент гэж ярьж заншсан ба энэ нь шулууны Ох
тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй үүсгэх өнцгийн тангенстай тэнцүү. Шулууны тэгшитгэл y=kx+b
хэлбэртэй өгсөн үед k-г налалт гэнэ.
Тэгшитгэлийн шийдийг ойролцоогоор олох - Тэгшитгэлийн шийд бүхэл тоо биш үед түүнийг
0.1, 0.01 гэх мэт өгсөн нарийвчлалтайгаар тоймлон олохыг хэлнэ.
Шугаман дараалал - Дарааллын гишүүд өмнөх гишүүнээс тогтмол тоогоор нэмэгдэх, хасагдах
дараалал буюу арифметик прогресс.
ГЕОМЕТР, ХЭМЖИГДЭХҮҮН
Тэнхлэгийн тэгш хэм - MM1
, ⊥ l, MN=NM1
, N=MM1
l, M≠M1
байхаар М цэгийг М1
цэгт буулгах
хувиргалт.
Төвийн тэгш хэм - О цэгт өгсөн үед ММ1
шулуун О цэгийг дайрах бөгөөд О цэг нь М ба М1
цэгүүдийн дундаж болж байхаар М цэгийг М1
цэгт буулгах хувиргалт.
Эргүүлэлт - Хавтгай дээр О цэг, эргэлтийн чиглэл, эргүүлэлтийн өнцөг ϕ өгсөн байг. Хавтгайн
дурын М цэг бүрийг OM=OM1
, ∠MOM1
= ϕ, OM, вектороос OM
1
вектор руу чиглэсэн өнцөг нь
эргүүлэлтийн чиглэлтэй давхдаг байхаар М1
цэгт буулгасан хувиргалт.
Параллель зөөлт - Өгсөн а векторын хувьд М цэгийг М1
цэгт MM= а байхаар буулгах хувиргалт.
Хөдөлгөөн - Тэнхлэгийн болон төвийн тэгш хэм, эргүүлэлт, параллель зөөлтийг хэлнэ.
Хөдөлгөөний чанар - Хөдөлгөөнөөр хэрчмийн урт, өнцөг, параллель чанар хадгалагддаг бөгөөд
өгсөн дүрс ба дүр нь тэнцүү дүрсүүд байна.
Гомотет - Төв гэж нэрлэгдэх O цэгийн хувьд хавтгайн А цэгийг ОА1
=k×OA байхаар А1
цэгт
шилжүүлэх хувиргалт.
Жигд томсгох хувиргалт - 1-ээс их, эерэг коэффициенттэй гомотет.
Жигд багасгах хувиргалт - 0k1 коэффициенттэй гомотет.
Гомотетын чанар - Өнцөг, параллель чанар хадгалагдана, хувиргалтаар өгсөн дүрстэй төсөөтэй
дүрс үүснэ.
Чиглэлт өнцөг - Хойд зүгээс цагийн зүүний дагуу явах чиглэл хүртэлх өнцгийг хойд зүгтэй
үүсгэх өнцөг.
Биетийн проекц - Биетийг эгц дээрээс нь, хажуугаас нь, нүүрнээс нь харж зурсан хавтгай дээрх
дүрслэл.
Тэгш хэмийн хавтгай - Биетийг тэнцүү хэсэгт хуваах хавтгайн хувьд хуваагдсан хэсгүүд нь уг
хавтгайн хувьд тэгш хэмтэй байдаг хавтгай.
Дүрсийг сунгах - (x, y) координаттай цэгийг (ax, y) координаттай цэгт шилжүүлэх хувиргалт.
|а|1 үед Ox тэнхлэгийн дагуу a коэффициенттэй сунгалт, (x, y) координаттай цэгийг (x, by)
координаттай цэгт шилжүүлэх хувиргалтыг |b|1 үед Oy тэнхлэгийн дагуу b коэффициенттэй
сунгалт гэнэ.
Дүрсийг трансвекцээр хувиргах - Дүрсийг цэг бүр нь трансвекцийн шулуунаас уг цэг хүртэлх
зайг трансвекцийн коэффициентээр үржүүлсэнтэй тэнцүү зайд өгсөн чиглэлд буулгах хувиргал.
Трансвекц хувиргалтыг чиглэл, шулуун, коэффициент гурваар тодорхойлдог.
Дэлхийн цагийн бүс - Дэлхийн бөмбөрцгийг өргөргийн дагуу хуваасан 24 цагийн бүс. Цагийн
бүсийг Английн Лондон хотоос эхлэн зүүн зүгт тоолдог.

143. 143
Нийлмэл нэгж - Үндсэн нэгжүүдээр үүссэн нэгж.
Нийлмэл дүрс - Хоёр буюу хэд хэдэн үндсэн дүрсүүдээр үүссэн дүрс.
Нийлмэл биет - Хоёр буюу хэд хэдэн үндсэн биетүүдээр үүссэн биет.
МАГАДЛАЛ, СТАТИСТИК
Үржвэрийн зарчим - Туршилтад бие, биеэс үл хамаарах үзэгдлүүд илэрдэг тохиолдолд үзэгдэл
тус бүрийн илрэх боломжуудын үржвэрээр нийт боломжийг тооцоолох арга.
Нийлбэрийн зарчим - Туршилтад илрэх үзэгдлүүд үл огтлолцох олонлогуудад хуваагдсан тохиол­
долд үзэгдэл тус бүрийн илрэх боломжуудын нийлбэрээр нийт боломжийг тооцоолох арга.
Туршилт - Ижил нөхцөлд олон дахин давтан хийж болох аливаа үйлдэл
Эгэл үзэгдэл - Туршилтын нэг үр дүн.
Үзэгдэл - Эгэл үзэгдлүүдийн дурын олонлог.
Үзэгдэл илрэх - Үзэгдлийн үр дүн илрэх үйл явц. Мөн өөрөөр үзэгдэл явагдах гэж хэлдэг.
Нийцгүй үзэгдлүүд - Нэгэн зэрэг илрэх боломжгүй үзэгдлүүд.
Нийцтэй үзэгдлүүд - Нэгэн зэрэг илрэх боломжтой үзэгдлүүд.
Үл хамаарах үзэгдлүүд - Нэг нь нөгөөгийнхөө илрэх эсэхэд нөлөөлөхгүй үзэгдлүүд.
Модны схем - Нэгэн зэрэг эсвэл дэс дараалан илрэх үзэгдлүүд бүхий нийлмэл туршилтад илрэх
бүх боломжит үзэгдлүүдийн магадлалын холбоог дүрсэлсэн диаграмм.
Анхдагч эх үүсвэр - Өөрөө цуглуулсан мэдээлэл.
Хоёрдогч эх үүсвэр - Бусдын цуглуулсан мэдээллийг хоёрдогч эх үүсвэр гэнэ. Хоёрдогч эх, үүсвэр
нь ном, сонин, сэтгүүл, радио, телевиз, интернэт бусад эх сурвалжаас авсан мэдээлэл байж
болно.
Давтамжийн хүснэгт - Өгөгдлийн давтамжийн тоог бүртгэх хүснэгт.
Харьцангуй давтамж - Үзэгдлийн илрэх давтамжийг туршилтын тоонд харьцуулсан харьцааг
хэлнэ.
Түүврийн хэмжээ - Судалгаанд хамрагдах хэмжигдэхүүний тоо хэмжээ.
Дунджууд - Моод, медиан, арифметик дундаж.
Статистик характеристикууд - Моод, медиан, далайц, арифметик дундаж, хамгийн их ба
хамгийн бага утга, бусад үзүүлэлтүүд.
Бүлэглэсэн өгөгдөл - Өгөгдлийг завсруудад хувааж, завсар тус бүр дээр гаргасан давтамжийн
тоо.
Моод бүлэг - Бүлэглэсэн өгөгдлийн хамгийн их давтамжтай бүлэг.
Баганан диаграмм, дугуй диаграмм, шугаман график - Өгөгдлийг зургаар харуулах хэлбэрүүд.
Дискрет болон тасралтгүй өгөгдөл
-
Өгөгдлийн авч болох утгууд дараалал үүсгэж байвал
дискрет, тоон завсар үүсгэж байвал тасралтгүй өгөгдөл гэнэ.
Дискрет өгөгдлийн давтамж - Дискрет өгөгдлийг бүртгэхдээ 2-4, 5-7 гэх мэтээр завсруудад
хуваана.
Тасралтгүй өгөгдлийн давтамж - Тасралтгүй өгөгдлийг бүртгэхдээ [2,5[, [5,7[ гэх мэтээр
завсруудад хуваана.
Статистик диаграммууд - Баганан диаграмм, дугуй диаграмм, шугаман график болон бусад
диаграммууд.
Гистограмм - Завсрын урттай тэнцүү өргөнтэй, давтамжийн нягттай адил өндөртэй багана бүхий
баганан диаграмм.
Цэгэн диаграмм - Харилцан хамааралтай байж болох хоёр өгөгдлийн утгуудын нэгийг абсцисс,
нөгөөг ординат болгон тэгш өнцөгт координатын хавтгайд цэгээр дүрсэлсэн хэлбэр.
Хандлагын шулуун - Цэгэн диаграммд дүрслэгдсэн цэгүүдийн ихэнх нь ямар нэг шулууны
орчимд байрласан байвал тэр шулууныг хандлагын шулуун гэнэ.
Корреляц хамаарал - Хандлагын шулууны өнцгийн коэффициентийн тэмдэг.
Хуримтлагдсан давтамж - Өмнөх давтамжуудын нийлбэр.
Статистик дүгнэлт - Хоёр өгөгдлийг статистик характеристикуудаар, статистик диаграм­
муу­
даар
харьцуулсан дүгнэлт.

144. 144
3.5. Нэмэлт эх сурвалж, ашигласан материалын жагсаалт
Математик VI: Ерөнхий боловсролын 12 жилийн сургуулийн 6 дугаар ангийн сурах бичиг.
/ Түвшинжаргал Д. ба бус;/ Улаанбаатар 2014
A problem Solving Approach to Mathematics. 10th Edition. PEARSON Education.
Пүрэвдорж Д. Математикийн Англи-Монгол нэр томьёо, үг хэллэгийн лавлах толь. 2014 он
Дараах веб сайтууд, материалуудыг багш нар сургалтад ашиглаж болно.
- https://www.tes.co.uk/
279 улс орон, газар нутгийг хамарсан 3.6 сая гаруй хэрэглэгчидтэй багш нарын хамгийн том
интернэт сүлжээ
- http://www.cie.org.uk/
Кембриджийн Олон улсын Үнэлгээний байгууллага
- https://mn.khanacademy.org/
Багш, сурагч, эцэг эх, бүх хүмүүст зориулсан нээлттэй видео хичээл (англи, монгол хэлээр)
- http://www.senteacher.org/print/mathematics/
Сургалтын хэрэглэгдэхүүн, ажлын хуудасны загварууд
- http://www.worksheetworks.com/
Хэрэглэгч өөрөө хэрэгцээндээ тохируулан ажлын хуудас бэлтгэх интерактив сайт
- http://www.mathworksheets4kids.com/
Хүндрэлийн түвшингээрээ ялгаатай, шууд татаж авах ажлын хуудаснууд, pdf
- http://schools.amsi.org.au/times-modules/
Багшид зориулсан зөвлөмж
- http://www.chd.moh.mn/images/pdf/sma/uzuulelt/uzuulelt%202013%20on.pdf, www.1212.mn
Монгол улстай холбоотой статистик тоо баримтууд, диаграммууд
- www.mathsisfun.com/games/towerofhanoi.html
Ханойн цамхагийн интерактив үзүүлэнгүүд
- http://www.slideshare.net/Riju_Rocks/math-bertsekas-tsitsiklisintroductiontoprobability
Магадлал, статистикийн сэдэвтэй бодлого дасгалууд
- www.nco.mn
Статистик тоо баримтууд
- www.mathsisfun.com/games/towerofhanoi.html
http://royallib.com/read/dyudeni_genri/pyatsot_dvadtsat_golovolomok.html#0
Сэтгэхүй хөгжүүлэх бодлогууд
- http://tarsia.com
TARSIA программаар эвлүүлдэг картууд бэлтгэх
- http://www.mymaths.co.uk
Багш, сурагч, эцэг эхчүүдэд зориулсан математикийн хичээл, гэрийн даалгавар, давтлагын
даалгаврууд, математик тоглоом.
“Математикийн Цаг” сонин, VI-IX анги
• “Өөрийн үнэлгээний дэвтэр” VI анги, VII анги, VIII анги, IX анги
• “Явцын үнэлгээний дэвтэр” VI анги, VII анги, VIII анги, IX анги
• “Математикийн ажлын дэвтэр” VI анги, VII анги, VIII анги, IX анги