1. The document demonstrates that the set of matrices M(m,n) forms a vector space. It checks various properties including: 2. Closure under addition: The sum of two m x n matrices results in another m x n matrix. 3. Associativity and commutativity of addition hold for matrix addition similarly to real number addition. 4. Closure under scalar multiplication: Scalar multiplication of a matrix results in another matrix of the same size, with the scalar multiplied to each element.

1. 1. Demostrar que el conjunto de matrices 𝓜 (𝒎,𝒏) es un espacio
vectorial.
Sean las matices X, Y, Z.
Y los escalares 𝜶, 𝜷 ∈ ℝ
Comprueba las siguientes propiedades:
a) Cerradura de la suma
b) Asociatividad de la suma
c) Ley conmutativa de la suma
d) Cerradura de la multiplicación por un escalar
Solución:
La verificación de que el conjunto de matrices ℳ (𝑚, 𝑛), satisface las mismas
propiedades con la suma de matrices y multiplicación escalar por un número real
es esencialmente idéntica a la de ℝ𝑛
con la suma de arreglos lineales y
multiplicación escalar por un número real y se deriva de las propiedades de los
números reales. (UnADM, s.f., p. 16)
Si 𝑋 = (𝑥𝑖𝑗), 𝑌 = (𝑦𝑖𝑗) y 𝑍 = (𝑧𝑖𝑗) son matrices de tamaño 𝑚 × 𝑛 arbitrarias y
𝛼, 𝛽 ∈ ℝ tenemos que:
Cerradura de la suma
El resultado de la suma de dos matrices 𝑚 × 𝑛 es otra matriz de m filas y n columnas
cuyos elementos pertenecen al campo de los números reales.

2. 𝑋 + 𝑌 ∈ ℳ𝑚×𝑛
La suma de dos matrices 𝑚 × 𝑛 es una matriz también 𝑚 × 𝑛 cuyio elemento (𝑖, 𝑗)
es la suma de dos elementos (𝑖, 𝑗) de las matrices que se están sumando:
(𝑥𝑖𝑗) + (𝑦𝑖𝑗) = (𝑥𝑖𝑗 + 𝑦𝑖𝑗)
Propiedad asociativa
Si X, Y y Z ∈ ℳ entonces:
(𝑋 + 𝑌) + 𝑍 = (𝑥𝑖𝑗 + 𝑦𝑖𝑗) + 𝑧𝑖𝑗
= (𝑥 + 𝑦)𝑖𝑗 + 𝑧𝑖𝑗
= (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝑖𝑗
= 𝑥𝑖𝑗 + (𝑦 + 𝑧)𝑖𝑗
= 𝑥𝑖𝑗 +(𝑦𝑖𝑗 + 𝑧𝑖𝑗)
= 𝑋 + (𝑌 + 𝑍)
Propiedad conmutativa
Si X y Y ∈ ℳ entonces:
𝑋 + 𝑌 = 𝑥𝑖𝑗 + 𝑦𝑖𝑗
= (𝑥 + 𝑦)𝑖𝑗
= (𝑦 + 𝑥)𝑖𝑗
= 𝑦𝑖𝑗 + 𝑥𝑖𝑗
= 𝑌 + 𝑋
Cerradura de la multiplicación por un escalar: El resultado es otra matriz de m
filas y n columnas cuyos elementos pertenecen al campo de los números reales.
𝑧 ∙ 𝑋 ∈ ℳ𝑚×𝑛
El producto de un escalar por una matriz 𝑚 × 𝑛 es también una matriz 𝑚 × 𝑛 cuyo
elemento (𝑖, 𝑗) de la matriz que se multiplica:
𝑧 ∙ (𝑥𝑖𝑗) = (𝑧 ∙ 𝑥𝑖𝑗)