This document discusses properties and operations of integer numbers. It defines integers as ordered pairs of natural numbers, and defines addition, subtraction, multiplication and division of integers. It proves several theorems about these operations, such as the addition of integers being well-defined regardless of the pairs used, and properties like commutativity and the existence of an identity element. It also classifies integers as positive, negative or zero based on the ordered pairs, and proves theorems about the results of operations between integers of different classes.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE
HUANCAVELICA
Docente Adscrito al Departamento Académico de
Ciencias y Humanidades
edgar.yalli@unh.edu.pe
http://www.unh.edu.pe/
Docente: Edgar YALLI HUAMAN
Facultad de Ciencias de la Educación
Matemática Computación e Informática

2. Se sabe que los números naturales son: ℕ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
SISTEMA DE LOS NUMEROS ENTEROS
Extensión de los números naturales
Si: 𝑎 ≥ 𝑏 ⟹ 𝑎 − 𝑏 ∈ ℕ
Si: 𝑎 < 𝑏 ⟹ 𝑎 − 𝑏 ∉ ℕ
Definición:
Sea 𝑓: ℕ × ℕ → ℤ , donde: ℤ = … , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
𝑎, 𝑏 → 𝑓 𝑎, 𝑏 = 𝑎 − 𝑏
7, 4 → 3
¿Determine los pares ordenados equivalentes a 7, 4 ?

3. SISTEMA DE LOS NUMEROS ENTEROS
Definición de Relación de equivalencia en los números enteros (ℤ):
El par ordenado de números naturas 𝑎, 𝑏 es equivalente al par 𝑐, 𝑑 y escribimos:
∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ2, ∀ 𝑐, 𝑑 ∈ ℕ2 / 𝑎, 𝑏 ≡ 𝑐, 𝑑 ⟺ 𝑎 + 𝑑 = 𝑏 + 𝑐
Ejemplo: 2 , 3 ≡ 3, 4 ⟺ 2 + 4 = 3 + 3
Teorema:
La relación 𝑎, 𝑏 ≡ 𝑐, 𝑑 es una relación de equivalencia, es decir goza de las siguientes propiedades:
Reflexiva: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ2
/ 𝑎, 𝑏 ≡ 𝑎, 𝑏
Simétrica: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ2, ∀ 𝑐, 𝑑 ∈ ℕ2 / 𝑎, 𝑏 ≡ 𝑐, 𝑑 ⟺ 𝑐, 𝑑 ≡ 𝑎, 𝑏
Transitiva: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ2, ∀ 𝑐, 𝑑 ∈ ℕ2, ∀ 𝑒, 𝑓 ∈ ℕ2 / 𝑎, 𝑏 ≡ 𝑐, 𝑑 ∧ 𝑐, 𝑑 ≡ 𝑒, 𝑓 ⟹ 𝑎, 𝑏 ≡ 𝑒, 𝑓

4. Definición:
Sea a y b números enteros, donde:
𝑎 = 𝑎1, 𝑎2 ∧ 𝑏 = 𝑏1, 𝑏2 ; 𝑎1, 𝑎2, 𝑏1, 𝑏2 ∈ 𝑁
𝒂 + 𝒃 = 𝒂𝟏, 𝒂𝟐 + 𝒃𝟏, 𝒃𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏, 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
Notación de adición de a y b en Z
𝟐, 𝟓 + 𝟑, 𝟏 = 𝟐 + 𝟑, 𝟓 + 𝟏 = 𝟓, 𝟔
-3 2 -1
ADICIÓN DE NUMEROS ENTEROS

5. ADICIÓN DE NUMEROS ENTEROS
Definición del cero entero: 0 = 𝑎1, 𝑎2 ; Si: 𝑎1 = 𝑎2
Definición del uno entero: 1 = 𝑛 + 1, 𝑛 ; Si: 𝑛𝜖𝑁
Definición del entero opuesto: Si 𝑎 = 𝑎1, 𝑎2 es un entero, su opuesto es − 𝑎 = 𝑎2, 𝑎1

6. I:TEOREMA (Adición de números enteros)
La suma (𝑎 + 𝑏) es independiente de los pares que se consideran para definirla. Es decir:
𝑎 = 𝑎1; 𝑎2 , 𝑎1
,
; 𝑎2
,
, 𝑎1
,,
; 𝑎2
,,
, …
𝑏 = 𝑏1; 𝑏2 , 𝑏1
,
; 𝑏2
,
, 𝑏1
,,
; 𝑏2
,,
, …
𝑎 + 𝑏 = 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏, 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 ≡ 𝒂𝟏
,
+ 𝒃𝟏
,
; 𝒂𝟐
,
+𝒃𝟐
,
II:TEOREMA (Adición de números enteros)
La adición de números enteros goza de las siguientes propiedades:
❖ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ; ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 𝑍
❖ 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 ; ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 𝑍
❖ ∃! 0 𝜖 𝑍 /𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎 , ∀𝑎 𝜖 𝑍
❖ ∀𝑎 𝜖 𝑍 ∃! (−𝑎) 𝜖 𝑍 / 𝑎 + −𝑎 = −𝑎 + 𝑎 = 0
❖ Si: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑐 → 𝑎 = 𝑐; ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 𝑍

7. Definición:
Sea a y b números enteros, donde:
𝑎 = 𝑎1, 𝑎2 ∧ 𝑏 = 𝑏1, 𝑏2 ; 𝑎1, 𝑎2, 𝑏1, 𝑏2 ∈ 𝑁
𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂𝟏; 𝒂𝟐 ∙ 𝒃𝟏; 𝒃𝟐 = 𝒂𝟏 ∙ 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 ∙ 𝒃𝟐 ; 𝒂𝟏 ∙ 𝒃𝟐 + 𝒂𝟐 ∙ 𝒃𝟏
Notación de multiplicación de a y b en Z
𝟐, 𝟓 ∙ 𝟑, 𝟏 = 𝟐 ∙ 𝟑 + 𝟓 ∙ 𝟏 ; 𝟐 ∙ 𝟏 + 𝟓 ∙ 𝟑 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟕
-3 2 -6
MULTIPLICACIÓN DE NUMEROS ENTEROS

8. I:TEOREMA (Multiplicación de números enteros)
La multiplicación de números enteros goza de las siguientes propiedades:
❖ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ; ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 𝑍
❖ 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 ; ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 𝑍
❖ ∀𝑎 𝜖 𝑍 ∃! 1𝜖 𝑍 / 𝑎 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑎 = 𝑎
❖ Si: 𝑎 ∙ 𝑐 = 𝑏 ∙ 𝑐 ∧ 𝑐 ≠ 0 → 𝑎 = 𝑏; ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 𝑍
❖ ൠ
𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐
𝑏 + 𝑐 ∙ 𝑎 = 𝑏 ∙ 𝑎 + 𝑐 ∙ 𝑎
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 𝑍

9. Definición:
Sean 𝑎 𝑦 𝑏 ∈ 𝑍, decimos que números: 𝒂 − 𝒃 = 𝒄 ⟺ ∃! 𝒄 ∈ 𝒁 / 𝒂 = 𝒃 + 𝒄
SUSTRACCIÓN DE NUMEROS ENTEROS
Ejemplos: 𝟓 − 𝟑 = 𝟐 ⟺ ∃! 𝟐 ∈ 𝒁 / 𝟓 = 𝟑 + 𝟐
𝟔 − 𝟏𝟎 = −𝟒 ⟺ ∃! − 𝟒 ∈ 𝒁 / 𝟔 = 𝟏𝟎 + (−𝟒)
I: TEOREMA.
𝑆𝑒𝑎𝑛: 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 𝑍
Si: 𝑎 = 𝑏 ∧ ∃ 𝑎 − 𝑏 ∧ ∃ 𝑏 − 𝑐 ⇒ 𝑎 − 𝑐 = 𝑏 − 𝑐
II: TEOREMA.
𝑆𝑒𝑎𝑛: 𝑎, 𝑏 𝜖 𝑍 ∧ ∃ 𝑎 − 𝑏 ⇒ 𝑎 − 𝑏 es única
III: TEOREMA.
𝑆𝑖 𝑎, 𝑏 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑢 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑎 − 𝑏 = 𝑐

10. Definición:
Sean 𝑎 𝑦 𝑏 ≠ 0 ∈ 𝑍, decimos que
DIVISIÓN DE NUMEROS ENTEROS
Ejemplos:
I: TEOREMA.
Si: 𝑎 = 𝑏 ∧ ∃
𝑎
𝑏
∧ ∃
𝑏
𝑐
, 𝑐 ≠ 0 ⇒
𝑎
𝑐
=
𝑏
𝑐
II: TEOREMA.
𝐸𝑙 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑦 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑐𝑜
𝒂
𝒃
= 𝒄 ⟺ ∃! 𝒄 ∈ 𝒁 / 𝒂 = 𝒃 ∙ 𝒄
𝟏𝟐
𝟒
= 𝟑 ⟺ ∃! 𝟑 ∈ 𝒁 / 𝟏𝟐 = 𝟑 ∙ 𝟒
III: TEOREMA.
Definición:
Sean 𝑎 𝑦 𝑏 ≠ 0 ∈ 𝑍 ∧
𝑎
𝑏
= 𝑐, 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:
ቊ
𝑎) 𝑆𝑖 𝑎 = 0 ⇒ 𝑐 = 0
𝑏) 𝑆𝑖 𝑎 ≠ 0 ⇒ 𝑐 ≠ 0

11. Definición:
Sea 𝑎 = 𝑎1, 𝑎2 un número entero, diremos que:
𝑎 = 𝑎1, 𝑎2 ∈ 𝑍0
+
; 𝑠𝑖: 𝑎1 ≥ 𝑎2
𝑎 = 𝑎1, 𝑎2 ∈ 𝑍0
−
; 𝑠𝑖: 𝑎1 ≤ 𝑎2
𝑎 = 𝑎1, 𝑎2 ∈ 𝑍+
; 𝑠𝑖: 𝑎1 > 𝑎2
𝑎 = 𝑎1, 𝑎2 ∈ 𝑍−; 𝑠𝑖: 𝑎1 < 𝑎2
NUMEROS ENTEROS (Z)
𝑎 = 𝑎1, 𝑎2 𝑦 𝑏 = 𝑏1, 𝑏2 son números
enteros, entonces se cumple:
I: TEOREMA.
a) 𝑎 ∈ 𝑍0
+
∧ 𝑏 ∈ 𝑍0
+
⇒ 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑍0
+
∧ 𝑎 ∙ 𝑏 ∈ 𝑍0
+
b) 𝑎 ∈ 𝑍0
−
∧ 𝑏 ∈ 𝑍0
−
⇒ 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑍0
−
∧ 𝑎 ∙ 𝑏 ∈ 𝑍0
+
c) 𝑎 ∈ 𝑍0
+
∧ 𝑏 ∈ 𝑍0
−
⇒ 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑍 ∧ 𝑎 ∙ 𝑏 ∈ 𝑍0
−
I:COROLARIO.
𝑎 = 𝑎1, 𝑎2 𝑦 𝑏 = 𝑏1, 𝑏2 son números
enteros, entonces se cumple:
a) 𝑎 ∈ 𝑍+ ∧ 𝑏 ∈ 𝑍+ ⇒ 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑍+ ∧ 𝑎 ∙ 𝑏 ∈ 𝑍+
b) 𝑎 ∈ 𝑍−
∧ 𝑏 ∈ 𝑍−
⇒ 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑍−
∧ 𝑎 ∙ 𝑏 ∈ 𝑍+
c) 𝑎 ∈ 𝑍+
∧ 𝑏 ∈ 𝑍−
⇒ 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑍 ∧ 𝑎 ∙ 𝑏 ∈ 𝑍−

12. Demostrar:
I. 𝒂 = −𝒂 ⇔ 𝒂 = 𝟎
II. − −𝒂 = 𝒂; ∀ 𝒂 ∈ 𝒁
III. − 𝒂 + 𝒃 = −𝒂 + (−𝒃)
IV. − 𝒂𝒃 = −𝒂 𝒃 = 𝒂 −𝒃
V. −𝒂)(−𝒃 = 𝒂𝒃
VI. 𝒂 ∙ 𝟎 = 𝟎, ∀ 𝒂 ∈ 𝒁
VII. 𝒂 ≠ 𝟎 ∧ 𝒃 ≠ 𝟎 ⇒ 𝒂𝒃 ≠ 𝟎
NUMEROS ENTEROS (Z)

13. Potenciación en los números enteros (Z)
PROPIEDADES.
Definición:
Sean 𝑎 ∈ 𝑍 𝑦 𝑛 ∈ 𝑁, la n-potencia de a, es el numero entero 𝑎𝑛
= 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 ×∙∙∙× 𝑎 × 𝑎, n factores a.
𝑎0
= 1 , si 𝑎 ≠ 0
00
es indeterminado.
Clausura:
Para 𝑎 ∈ 𝑍 𝑦 𝑛 ∈ 𝑁, se tiene que 𝑎𝑛
∈ 𝑍 siempre que 𝑎𝑛
no sea indeterminado.
Distributiva (por derecha respecto a la multiplicación):
Para 𝑎 𝑦 𝑏 ∈ 𝑍 𝑦 𝑛 ∈ 𝑁, se tienen:
(𝑎 × 𝑏)𝑛
= 𝑎𝑛
× 𝑏𝑛
(𝑎 ÷ 𝑏)𝑛= 𝑎𝑛 ÷ 𝑏𝑛, 𝑏 ≠ 0
Otras:
Para 𝑎 𝑒𝑛 𝑍, 𝑚 𝑦 𝑛 𝑒𝑛 𝑁, 𝑎𝑚
𝑥𝑎𝑛
= 𝑎𝑚+𝑛
Para 𝑎 𝑒𝑛 𝑍, 𝑚 𝑦 𝑛 𝑒𝑛 𝑁, con 𝑚 ≥ 𝑛 𝑎𝑚
÷ 𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛
Para 𝑎 𝑒𝑛 𝑍, 𝑚 𝑦 𝑛 𝑒𝑛 𝑁, (𝑎𝑚
)𝑛
= 𝑎𝑚𝑥𝑛
OBS: La potenciación no es distributiva respecto a
la adición y ni a la sustracción.
Para 𝑎 𝑦 𝑏 ∈ 𝑍 𝑦 𝑛 ∈ 𝑁, se tienen:
(𝑎 + 𝑏)𝑛
≠ 𝑎𝑛
+ 𝑏𝑛
(𝑎 − 𝑏)𝑛
≠ 𝑎𝑛
− 𝑏𝑛
La potenciación no es conmutativa ni asociativa,
la expresión 𝑎𝑛𝑚
𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑛𝑚

14. RELACION “MENOR QUE” DE NUMEROS ENTEROS (Z)
𝒂 ≮ 𝒂, ∀ 𝑎 ∈ 𝑍
I: TEOREMA.
Definición:
Sean 𝑎 𝑦 𝑏 ∈ 𝑍, decimos que:
𝑎 ≤ 𝑏 ⇔ ∃! 𝒄 ∈ 𝑍0
+
/𝒂 + 𝒄 = 𝒃
𝑎 < 𝑏 ⇔ ∃! 𝒄 ∈ 𝑍+
/𝒂 + 𝒄 = 𝒃
II: TEOREMA.
𝑎 = 𝑎1, 𝑎2 𝑦 𝑏 = 𝑏1, 𝑏2 son números
enteros, entonces se cumple:
𝑎 ≤ 𝑏 ⇔ 𝒂𝟏 + 𝒃𝟐 ≤ 𝒂𝟐 + 𝒃𝟏
I:COROLARIO.
𝑎 = 𝑎1, 𝑎2 𝑦 𝑏 = 𝑏1, 𝑏2 son números
enteros, entonces se cumple:
𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝒂𝟏 + 𝒃𝟐 < 𝒂𝟐 + 𝒃𝟏

15. 𝑎 = 𝑎1, 𝑎2 𝑦 𝑏 = 𝑏1, 𝑏2 son números
enteros, entonces se cumple:
1) 𝒂 ≤ 𝒂, ∀ 𝑎 ∈ 𝑍
2) 𝑆𝑖 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝑐 ⇒ 𝒂 ≤ 𝒄
3) 𝑆𝑖 𝑎 ∈ 𝑍 ∧ 𝒃 ∈ 𝑍 ⇒ 𝒂 ≤ 𝑏 ó 𝑏 ≤ 𝑎
4) 𝑆𝑖 𝑎 ≤ 𝑏 ⟺ −𝑎 ≥ −𝑏
5) 𝑆𝑖 𝑎 ≥ 0 ∧ 𝑏 ≥ 0 ⇒ 𝑎 + 𝑏 ≥ 0 ∧ 𝑎 ∙ 𝑏 ≥ 0
6) 𝑆𝑖 𝑎 ≤ 0 ∧ 𝑏 ≤ 0 ⇒ 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑍 ∧ 𝑎 ∙ 𝑏 ≥ 0
7) 𝑆𝑖 𝑎 ≥ 0 ∧ 𝑏 ≤ 0 ⇒ 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑍 ∧ 𝑎 ∙ 𝑏 ≤ 0
8) 𝑆𝑖 𝑎 ≤ 𝑏 ⟺ 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐
9) 𝑆𝑖 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑐 ≥ 0 ⟺ 𝑎 ∙ 𝑐 ≤ 𝑏 ∙ 𝑐
10)𝑆𝑖 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑐 ≤ 0 ⟺ 𝑎 ∙ 𝑐 ≥ 𝑏 ∙ 𝑐
Un número entero 𝑐 = 𝑐1, 𝑐2 es positivo o nulo (respectivo negativo o nulo) si y solo si 𝑐 ≥ 0
(respectivamente c = 0)
𝑖) 𝑐 ∈ 𝑍0
+
⟺ 𝑐 ≥ 0
𝑖𝑖) 𝑐 ∈ 𝑍0
−
⟺ 𝑐 ≤ 0
III: TEOREMAS.

16. CONTACTO
GRACIAS
Por su atención!
http://campus.unh.edu.pe/
edgar.yalli@unh.edu.pe
961833730
Av
.LosIncass/n,SantaAna–Huancavelica
EDGAR YALLI HUAMAN