1. บทที่ 4
เสนขนาน (18 ชั่วโมง)
4.1 เสนขนานและมุมภายใน (4 ชั่วโมง)
4.2 เสนขนานและมุมแยง (4 ชั่วโมง)
4.3 เสนขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน (4 ชั่วโมง)
4.4 เสนขนานและรูปสามเหลี่ยม (6 ชั่วโมง)
นักเรียนเคยเรียนรูเกี่ยวกับเสนขนานและสมบัติบางประการของเสนขนานมาแลว ในบทนี้จะ
เพิ่มเติมความรูเกี่ยวกับสมบัติของเสนขนานและการนําสมบัติเหลานั้นไปใชในการใหเหตุผลเกี่ยวกับขนาด
ของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งสามารถนําไปใชในการใหเหตุผลอยางตอเนื่องเกี่ยวกับเงื่อนไขของ
ความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – มุม – ดาน
ลักษณะการนําเสนอสาระในแตละหัวขอ จะมีกิจกรรมสํารวจที่เกี่ยวของกับสมบัติของเสนขนานซึ่ง
เปนทั้งทฤษฎีบทและบทกลับของทฤษฎีบทเหลานั้น ครูควรใหนักเรียนไดสรางขอความคาดการณจากผล
การสํารวจแลวเขียนขอสรุปเปนทฤษฎีบท พรอมทั้งทําความเขาใจเกี่ยวกับขอความที่มีคําวา “ก็ตอเมื่อ” ใน
ทฤษฎีบทดวย
สําหรับแบบฝกหัดในบทนี้ตองการฝกใหนักเรียนรูจักใหเหตุผลบางเพียงเพื่อเปนพื้นฐานในการ
พิสูจนในชั้นตอไป ถึงแมวาโจทยแบบฝกหัดบางขอจะเปนการคํานวณหาขนาดของมุมตาง ๆ ครูก็อาจนํา
โจทยเหลานั้นมาใหนักเรียนไดบอกเหตุผลและเรียนรูรวมกันในชั้นเรียนดวย การเขียนคําอธิบายหรือการ
ใหรายละเอียดในการบอกเหตุผลใหอยูในดุลพินิจของครู สําหรับตัวอยางการอางเหตุผลที่นําเสนอใน
หนังสือเรียนจะอางโดยใชขอความที่เปนทฤษฎีบท หรือสมบัติที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว ซึ่งเปนการอาง
เหตุผลที่นิยมใชกันโดยทั่วไป อีกทั้งเพื่อใหนักเรียนคุนเคยและจดจําขอความนั้น ๆ ได
ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป
1. บอกสมบัติของเสนขนาน และบอกเงื่อนไขที่ทําใหเสนตรงสองเสนขนานกัน
2. ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – มุม – ดาน เทากันทุกประการ
3. ใชสมบัติเกี่ยวกับเสนขนานและความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมในการ
ใหเหตุผลและแกปญหาได

2. 63
แนวทางในการจัดการเรียนรู
4.1 เสนขนานและมุมภายใน (4 ชั่วโมง)
จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ
1. บอกบทนิยามของเสนขนานได
2. บอกไดวา ถาเสนตรงสองเสนขนานกัน แลวระยะหางระหวางเสนตรงคูนั้นจะเทากันเสมอ
3. บอกไดวา ถาเสนตรงสองเสนมีระยะหางระหวางเสนตรงเทากันเสมอ แลวเสนตรงคูนั้นจะ
ขนานกัน
4. บอกไดวา มุมคูใดเปนมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด เมื่อกําหนดใหเสนตรง
เสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง
5. บอกไดวา เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ ขนาด
ของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดรวมกันเทากับ 180 องศา และนําสมบัตินี้
ไปใชได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูใหนักเรียนยกตัวอยางสิ่งตาง ๆ ในสิ่งแวดลอมรอบตัวที่มีลักษณะของเสนขนานบนระนาบ
เดียวกัน เพื่อนําเขาสูบทนิยามของการขนานกันของเสนตรง ครูควรชี้แจงใหนักเรียนเห็นวา บทนิยาม
ดังกลาวนี้สามารถนําไปใชกับการขนานกันของสวนของเสนตรงและรังสี เมื่อสวนของเสนตรงและรังสีนั้น
เปนสวนหนึ่งของเสนตรงที่ขนานกัน
2. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน เพื่อใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดเกี่ยวกับระยะหาง
ระหวางเสนขนาน ครูอาจทบทวนความรูและทําความเขาใจเพิ่มเติมกับนักเรียนใน 2 ประเด็น ดังนี้
1) ระยะหางระหวางจุดจุดหนึ่งกับเสนตรงจะหมายถึง ความยาวของสวนของเสนตรงที่
ลากจากจุดนั้นไปตั้งฉากกับเสนตรง ดังรูป
จากรูป PQ ตั้งฉากกับ AB จะได PQ คือระยะหางระหวางจุด P กับ AB
P
A Q B

3. 64
2) เมื่อกลาวถึงระยะหางระหวางเสนขนานที่กลาววา มีระยะหางระหวางเสนตรง
เทากันเสมอนั้น ในการตรวจสอบการเทากันของระยะหางของเสนขนานนี้
ในทางปฏิบัติ จะวัดหาระยะหางจากจุดที่แตกตางกันอยางนอยสองจุดบนเสนตรง
เสนหนึ่งไปยังเสนตรงอีกเสนหนึ่งก็เปนการเพียงพอแลว ทั้งนี้เนื่องจากมีเสนตรงเพียง
เสนเดียวเทานั้นที่ลากผานจุดสองจุดที่กําหนดใหได
3. สําหรับกิจกรรม “เสนตรงคูใดขนานกัน” เปนกิจกรรมที่ทําใหนักเรียนเกิดความตระหนักวา
ในการตรวจสอบวาเสนตรงคูใดขนานกันหรือไม ถาใชบทนิยามของเสนขนานโดยตรงหรือพิจารณาจาก
ระยะหางระหางเสนตรงทั้งสองนั้นอาจไมสะดวก จึงใชกิจกรรมนี้นําเขาสูการตรวจสอบโดยใชวิธีการอื่น
เชน ตรวจสอบจาก ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดของเสนตรงสองเสนที่
กําหนดใหนั้น
4. ในกิจกรรม “ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด” สําหรับ
กิจกรรมขอ 3 ตองการใหนักเรียนสรางขอความคาดการณจากกิจกรรมขอ 1 และขอ 2 เพื่อใหไดผลสรุป
เกี่ยวกับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด กิจกรรมนี้ไดเชื่อมโยงสมบัติของ
เสนขนานที่เปนประโยคเงื่อนไข “ถา…แลว…” สองประโยคเปนทฤษฎีบทที่ใชคําวา “ก็ตอเมื่อ”
ซึ่งความรูในสวนนี้ เคยกลาวไวแลวในสาระการเรียนรูเพิ่มเติม ม.1 เลม 2 เรื่องการเตรียมความพรอมใน
การใหเหตุผล จึงอาจมีนักเรียนบางคนไมไดเรียนเนื้อหานี้มากอน ครูจึงตองใหความรูเพิ่มเติมกับนักเรียน
กลุมนี้และอาจทบทวนความรูกับกลุมนักเรียนที่เคยรูจักคํานี้มาแลว
ดังนั้นในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ครูจะตองใหนักเรียนเขาใจความหมายของ
ทฤษฎีบทและบทกลับของทฤษฎีบทนั้น พรอมทั้งชี้ใหเห็นวา เมื่อพบขอความที่ตองพิสูจนมีคําวา
“ก็ตอเมื่อ” เชื่อมขอความอยู เราจะตองแยกขอความนั้นเปนประโยคเงื่อนไขสองประโยคแลวพิสูจนวา
ทั้งสองประโยคเปนจริง จึงจะถือวาเปนการพิสูจนขอความที่มีคําวา “ก็ตอเมื่อ” ซึ่งขอความเหลานี้มักเปน
ทฤษฎีบทที่มีบทกลับ เชน
ทฤษฎีบทที่กลาววา “เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่งเสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ
ขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดรวมกันเทากับ 180 องศา”
5. หลังจากนักเรียนไดเรียนตัวอยางที่ 4 แลว ครูควรสรุปใหนักเรียนเห็นวาการขนานกันของ
เสนตรงมีสมบัติถายทอด เมื่อมีเสนตรงสามเสนขนานกันก็จะไมใชสัญลักษณ เชน AB // CD // EF แต
จะใชขอความวา AB, CD และ EF ขนานกัน
6. สําหรับแบบฝกหัด 4.1 มีโจทยบางขอไดเชื่อมโยงความรูโดยใชสมการมาชวยหาขนาดของ
มุมที่เกี่ยวกับเสนขนาน ครูควรประเมินโดยการสังเกตวา นักเรียนสามารถเชื่อมโยงความรูดังกลาวนี้ได
หรือไม

4. 65
4.2 เสนขนานและมุมแยง (4 ชั่วโมง)
จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ
1. บอกไดวามุมคูใดเปนมุมแยง เมื่อกําหนดใหเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง
2. บอกไดวาเมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ มุมแยงมี
ขนาดเทากัน และนําสมบัตินี้ไปใชได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ในหัวขอนี้ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นการเชื่อมโยงสาระวา การพิจารณาหรือตรวจสอบวาเสน
ตรงสองเสนขนานกันหรือไม นอกจากจะใชความรูเกี่ยวกับเสนขนานและขนาดของมุมภายในที่อยูบนขาง
เดียวกันของเสนตัด มาตรวจสอบแลวยังสามารถใชสมบัติของมุมแยงมาตรวจสอบได ดังกิจกรรมที่เสนอ
ไวในหัวขอนี้
2. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน เพื่อใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดเกี่ยวกับลักษณะของ
มุมแยงและขนาดของมุมแยง ครูควรกลาวถึงในประเด็นตอไปนี้
1) มุมแยงที่เกิดจากเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง อาจเกิดจากเสนตรงที่ขนานกัน
หรือไมขนานกันก็ได
2) มุมแยงที่มีขนาดเทากันจะตองเกิดจากเสนตรงที่ขนานกันเทานั้น ดังนั้นเมื่อกลาวถึง
มุมแยงทั่ว ๆ ไป จะสรุปวามีขนาดเทากันไมได
3) การอางดวยสมบัติของมุมแยง ควรเขียนขอความของสมบัตินั้นใหสมบูรณ ไมควร
เขียนอางวา “เพราะเปนมุมแยง” หรือเขียนวา “มุมแยงยอมมีขนาดเทากัน”
4) การพิสูจนทฤษฎีบทที่กลาววา “เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้น
ขนานกัน ก็ตอเมื่อ มุมแยงมีขนาดเทากัน” จะตองรูวาประโยคนี้คือประโยคเงื่อนไข
“ถา…แลว…” สองประโยคไดแก
(1) ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน
(2) ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยงมีขนาดเทากัน แลว
เสนตรงคูนั้นขนานกัน

5. 66
ความรูเพิ่มเติมสําหรับครู
มุมแยงที่กลาวถึงในบทเรียนเปนมุมแยงภายใน (alternate interior angles)
ในทางคณิตศาสตรกําหนดมุมแยง เปนดังนี้
กําหนดให EF เปนเสนตัด AB และ CD ดังรูป
∧
2 และ
∧
8 เปนมุมแยงภายนอก (alternate exterior angles)
∧
1 และ
∧
7 เปนมุมแยงภายนอก
∧
3 และ
∧
5 เปนมุมแยงภายใน
∧
4 และ
∧
6 เปนมุมแยงภายใน
เนื่องจาก ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน จึงทําใหได
∧
1 =
∧
3 ,
∧
2 =
∧
4 ,
∧
5 =
∧
7 และ
∧
6 =
∧
8
ดังนั้นสมบัติตาง ๆ ของเสนขนานที่เกี่ยวกับมุมแยงภายใน จึงยังคงเปนจริงสําหรับมุมแยงภายนอก
ดวย หนังสือหลายเลมเมื่อกลาวถึงสมบัติตาง ๆ ของเสนขนานเกี่ยวกับมุมแยง จึงไมระบุวาเปนมุมแยง
ภายในหรือมุมแยงภายนอก
1
8
A
B
DC
2
43
7
56
E
F

6. 67
4.3 เสนขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน (4 ชั่วโมง)
จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ
1. บอกไดวา มุมคูใดเปนมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัด เมื่อ
กําหนดใหเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง
2. บอกไดวา เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน และนํา
สมบัตินี้ไปใชได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ในการดําเนินกิจกรรมการเรียนการสอนในหัวขอนี้ ก็ทําเชนเดียวกันกับหัวขอ 4.2 นักเรียน
จะตองเกิดความคิดรวบยอดวา ในการตรวจสอบวาเสนตรงสองเสนขนานกันหรือไมนั้น นอกจากจะ
ตรวจสอบโดยใชผลบวกของขนาดของมุมภายในหรือพิจารณาขนาดของมุมแยงแลว ยังสามารถตรวจสอบ
ไดอีกวิธีหนึ่งโดยใชความสัมพันธของขนาดของมุมภายนอกและมุมภายใน ตามกิจกรรมที่เสนอไวใน
หัวขอนี้
2. การพิสูจนทฤษฎีบท “ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุม
ภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัด มีขนาดเทากัน” วิธีพิสูจนที่นําเสนอในหนังสือเรียนใช
สมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับมุมแยง ครูอาจแนะนําใหนักเรียนพิสูจนโดยใชสมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับ
ผลบวกของขนาดมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด เพื่อใหเห็นความหลากหลายของวิธีการพิสูจน
ก็ได ดังการพิสูจนตอไปนี้
กําหนดให AB // CD มี EF เปนเสนตัด
ตองการพิสูจนวา
∧
1 =
∧
5 ,
∧
2 =
∧
6 ,
∧
7 =
∧
3 และ
∧
8 =
∧
4
1
8
A B
DC
2
43
7
5 6
E
F

7. 68
พิสูจน AB // CD (กําหนดให)
∧
5 +
∧
3 = 180o
(ขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของ
เสนตัดเสนขนาน รวมกันเทากับ 180o
)
∧
1 +
∧
3 = 180o
(ขนาดของมุมตรง)
∧
1 +
∧
3 =
∧
5 +
∧
3 (สมบัติของการเทากัน)
ดังนั้น
∧
1 =
∧
5 (นํา
∧
3 มาลบทั้งสองขางของสมการ)
การพิสูจนวา
∧
2 =
∧
6 ,
∧
7 =
∧
3 และ
∧
8 =
∧
4 อาจใหนักเรียนลองพิสูจนโดยใชสมบัติ
ดังตัวอยางขางตนก็ได
ในทํานองเดียวกันการพิสูจนทฤษฎีบท “ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุม
ภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน”
วิธีพิสูจนที่นําเสนอไวในหนังสือเรียน ใชสมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยู
บนขางเดียวกันของเสนตัด ครูอาจแนะนําใหนักเรียนพิสูจนโดยใชสมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับมุมแยง
ดังการพิสูจนตอไปนี้
กําหนดให EF ตัด AB และ CD ทําให EXA
∧
= XYC
∧
ตองการพิสูจนวา AB // CD
พิสูจน เนื่องจาก EXA
∧
= YXB
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมี
ขนาดเทากัน)
และ EXA
∧
= XYC
∧
(กําหนดให)
จะได YXB
∧
= XYC
∧
(สมบัติของการเทากัน)
เนื่องจาก YXB
∧
และ XYC
∧
เปนมุมแยงที่มีขนาดเทากัน
ดังนั้น AB // CD (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให
มุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนาน
กัน)
A B
DC
Y
X
E
F

8. 69
1
3
2
2 3 1
4.4 เสนขนานและรูปสามเหลี่ยม (6 ชั่วโมง)
จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ
1. บอกไดวา ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา และ
นําสมบัตินี้ไปใชได
2. บอกไดวา ถาตอดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาด
เทากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไมใชมุมประชิดของมุมภายนอกนั้น และนําสมบัตินี้
ไปใชได
3. บอกไดวา รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ มุม – มุม – ดาน
เทากันทุกประการและนําสมบัตินี้ไปใชได
4. ใชสมบัติเกี่ยวกับเสนขนานและความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมในการใหเหตุผล
และแกปญหาได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูอาจจัดกิจกรรมเพื่อทบทวนวา “ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกัน
เทากับ 180 องศา” ดวยการใหนักเรียนสังเกตผลจากการลงมือปฏิบัติ เชน การใหนักเรียนเขียน
รูปสามเหลี่ยม กลุมละ 3 – 4 รูป วัดขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมแตละรูป แลวหา
ผลรวมโดยบันทึกผลในตาราง
ขนาดของมุม (องศา)
รูปสามเหลี่ยม ∧
1
∧
2
∧
3
ผลรวมของขนาดของมุมทั้งสาม
(องศา)
ครูอาจแนะใหนักเรียนตัดหรือฉีกมุมทั้งสามของกระดาษรูปสามเหลี่ยม เพื่อแสดงผลบวก
ของขนาดของมุมทั้งสามมุม ดังรูป
3
1 2

9. 70
1 2
3
1 23
นอกจากนี้แลว ครูอาจแนะใหนักเรียนทํากิจกรรม “หมุนดินสอแลวไดอะไร” หนา
172 – 177 หนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 1 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 2 ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544 พิมพครั้งที่ 1
ขอคนพบหรือผลสรุปจากการสํารวจตัวอยางหลาย ๆ ตัวอยางเปนการใหเหตุผลแบบอุปนัย
ผลสรุปที่ไดนี้อาจเปนจริงทุกกรณีหรือไมก็ได เพื่อเปนการยืนยันวา ผลสรุปนี้เปนจริง จึงตองใชการให
เหตุผลแบบนิรนัย ซึ่งแสดงไดโดยการพิสูจน
สมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่วา “ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกัน
เทากับ 180 องศา” สามารถนําไปใชพิสูจนเกี่ยวกับความสัมพันธของขนาดของมุมภายนอกและมุมภายใน
ของรูปสามเหลี่ยม” และที่สําคัญคือนําไปใชในการพิสูจนวา “รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกัน
แบบ มุม – มุม – ดาน จะเทากันทุกประการ”
2. ในการดําเนินกิจกรรมการเรียนการสอนในหัวขอนี้ ครูอาจชี้ใหนักเรียนเห็นการเชื่อมโยง
ความรูในการนําสมบัติของเสนขนานมาใชในการพิสูจน ซึ่งทําใหไดทฤษฎีบทใหม ๆ ตอเนื่องกัน
ดังแผนภูมิตอไปนี้
สมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับมุมแยง
สมบัติเกี่ยวกับผลบวกของขนาด
ของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม
สมบัติเกี่ยวกับขนาดของมุมภายนอก
และมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม
สมบัติเกี่ยวกับความเทากันทุกประการ
ของรูปสามเหลี่ยมแบบ ม.ม.ด.
ทําใหไดความคิดรวบยอดวาความสัมพันธ
แบบ ม.ด.ม. มีความสัมพันธแบบ ม.ม.ด. ดวย

10. 71
3. สําหรับกิจกรรม “x และ y มีคาเทาไร” มีเจตนาใหเปนแบบฝกหัดระคนที่นําความรูทั้งหมด
มาใชในการแกปญหา ครูอาจใหนักเรียนชวยกันทําเปนกลุมยอยและสุมใหนักเรียนออกมานําเสนอหนา
ชั้นเรียนและใหบอกเหตุผลในการคิดคํานวณดวย
4. สําหรับกิจกรรม “หาไดหรือไม” นอกจากจะมีเจตนาใหนักเรียนไดฝกทักษะการคํานวณ
โดยใชสมบัติตาง ๆ ที่เรียนรูมาแลว ยังมีเจตนาใหนักเรียนเห็นรูปที่มีความสวยงามคลายรูปดาวหาแฉก และ
สามารถเขียนรูปจากการลากเสนตอเนื่องกันไดในครั้งเดียว (ไมตองยกดินสอขึ้น)
5. สําหรับแบบฝกหัด 4.4 ขอ 8 หลังจากนักเรียนไดพิสูจนแลว ครูอาจใหนักเรียนพิสูจนวา
“ขนาดของมุมภายนอกของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ รวมกันเทากับ 360 องศา”
6. ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 4.4 เพื่อใหเห็นวา สมบัติเกี่ยวกับผลบวกของขนาด
ของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม สามารถนํามาใชหาสูตรผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป n เหลี่ยม
เมื่อ n แทนจํานวนเต็มบวก และเมื่อนักเรียนไดทํากิจกรรมนี้แลว ครูอาจใหนักเรียนวิเคราะหตอวาผลบวก
ของขนาดของมุมภายนอกของรูป n เหลี่ยมเทากับเทาไร
7. สําหรับกิจกรรม “เฉลว” มีเจตนาเชื่อมโยงความรูทางคณิตศาสตรกับงานจักสานซึ่งเปน
ภูมิปญญาทองถิ่น ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวาที่จริงแลวงานจักสานลวนมีความเกี่ยวของกับสมบัติทาง
เรขาคณิต ผูจักสานประดิษฐงานโดยใชความรูเกี่ยวกับขนาดของมุม ความยาวของดาน ตลอดจนใช
เสนขนานมาประดิษฐเปนลวดลายที่สวยงาม เชน ทําฝาชีครอบอาหาร ทําหมวก ตะกรา ฯลฯ ซึ่ง
ความรูทางดานเรขาคณิตนี้ ผูจักสานเรียนรูมาจากบรรพบุรุษที่ไดสั่งสอนกันตอ ๆ มา อาจ ไมไดเรียนรู
เชิงทฤษฎีโดยตรง นอกจากนี้ครูอาจสนทนาและใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางสิ่งตาง ๆ ที่ใชประโยชนจาก
เสนขนาน เชน การสรางรั้วสนามที่ทําใหลูกกรงอยูในแนวขนานกัน การตัดถนนหรือทําขอบสนามให
ขนานกัน การทําขอบประตูหรือหนาตางใหขนานกัน เพื่อใหดูสวยงามและปดเปดไดสะดวก

11. 72
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม
คําตอบกิจกรรม “เสนตรงคูใดขนานกัน”
1. ขนานกัน เพราะมีระยะหางซึ่งวัดจากจุดที่แตกตางกัน 2 จุดยาวเทากัน
2. ไมขนานกัน เพราะมีระยะหางซึ่งวัดจากจุดที่แตกตางกัน 2 จุดยาวไมเทากัน
3. ไมขนานกัน เพราะมีระยะหางซึ่งวัดจากจุดที่แตกตางกัน 2 จุดยาวไมเทากัน
4. ไมขนานกัน เพราะมีระยะหางซึ่งวัดจากจุดที่แตกตางกัน 2 จุดยาวไมเทากัน
คําตอบกิจกรรม “มุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด”
1. FEA
∧
และ EFC
∧
FEB
∧
และ EFD
∧
2. YXM
∧
และ XYP
∧
YXN
∧
และ XYQ
∧
คําตอบกิจกรรม “ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด”
1.
1) ไมเทากับ 180o
2) ไมเทากับ 180o
2.
1) เทากับ 180o
2) เทากับ 180o
3.
1) ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดเสนตรงคูหนึ่งที่ไมขนานกัน
ไมเทากับ 180o
2) ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดเสนตรงคูหนึ่งที่ขนานกัน
เทากับ 180o
คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.1
1.
1) ขนานกัน เพราะ 117 + 63 = 180o
2) ไมขนานกัน เพราะ 112 + 58 ≠ 180o
3) ไมขนานกัน เพราะ 90 + 80 ≠ 180o
4) ขนานกัน เพราะ 90 + 90 = 180o

12. 73
2.
1) x = 79 2) x = 88
3) x = 60 4) x = 61
3.
1)
FDC
∧
= 148o
2)
FDC
∧
= 50o
4. CDA
∧
= 127o
และ DCB
∧
= 109o
5.
เนื่องจาก PL // MN และมี AB เปนเสนตัด (กําหนดให)
LKM
∧
+ NMK
∧
= 180o
(ขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของ
เสนตัดเสนขนาน รวมกันเทากับ 180o
)
P
B
N
L
A
M
K
A B
FE D
C 32o
D
130o
CA B
FE

13. 74
NMB
∧
+ NMK
∧
= 180o
(ขนาดของมุมตรง)
จะได NMB
∧
+ NMK
∧
= LKM
∧
+ NMK
∧
(สมบัติของการเทากัน)
ดังนั้น NMB
∧
= LKM
∧
(นํา NMK
∧
มาลบทั้งสองขาง
ของสมการ)
6. x = 90 และ y = 90
7. ขนานกัน เพราะ ถาขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดเสนตรงคูหนึ่ง รวมกัน
เทากับ 180o
แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน
คําตอบกิจกรรม “สํารวจมุมแยง”
1.
1) FEA
∧
และ EFD
∧
FEB
∧
และ EFC
∧
2) FEA
∧
และ EFD
∧
FEB
∧
และ EFC
∧
2.
1) FEA
∧
และ EFD
∧
FEB
∧
และ EFC
∧
2) FEA
∧
และ EFD
∧
FEB
∧
และ EFC
∧
คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.2 ก
1. BAF
∧
= NBA
∧
เพราะ BN // FM มี AB เปนเสนตัด จะไดมุมแยงมีขนาดเทากัน
2. AEM
∧
= KAE
∧
เพราะ EM // KY มี NB เปนเสนตัด จะไดมุมแยงมีขนาดเทากัน
3. EBO
∧
= 126o
4. ECA
∧
= 131o
5. EDC
∧
= 40o

14. 75
6.
เนื่องจาก AB // CD (กําหนดให)
จะได CBA
∧
= DCB
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)
เนื่องจาก BC //DE (กําหนดให)
จะได DCB
∧
= EDC
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)
ดังนั้น CBA
∧
= EDC
∧
(สมบัติของการเทากัน)
7.
เนื่องจาก PQ // RS (กําหนดให)
จะได CAP
∧
= SBA
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)
SBA
∧
= CBR
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม
มีขนาดเทากัน)
ดังนั้น CAP
∧
= CBR
∧
(สมบัติของการเทากัน)
A
B
CD
E
R
B C
Q S
P
A

15. 76
8.
เนื่องจาก AD // CF (ดานตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน ยอม
ขนานกัน)
จะได EAD
∧
= EBF
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)
AE = BE (E เปนจุดกึ่งกลางของ AB)
DEA
∧
= FEB
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม
มีขนาดเทากัน)
จะได ∆ AED ≅ ∆ FEB
∧
(ม.ด.ม.)
ดังนั้น DE = FE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
9.
เนื่องจาก AE // HB (กําหนดให)
จะได FAE
∧
= GBH
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)
AF = BG (กําหนดให)
เนื่องจาก FE // HG (กําหนดให)
CD
F
E BA
E
F
G
H
BA

16. 77
จะได GFE
∧
= FGH
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)
EFA
∧
+ GFE
∧
= 180o
(ขนาดของมุมตรง)
HGB
∧
+ FGH
∧
= 180o
(ขนาดของมุมตรง)
EFA
∧
+ GFE
∧
= HGB
∧
+ FGH
∧
(สมบัติของการเทากัน)
ดังนั้น EFA
∧
= HGB
∧
(สมบัติของการเทากัน โดยนํา GFE
∧
และ
FGH
∧
ที่มีขนาดเทากันมาลบทั้งสองขางของ
สมการ)
จะได ∆ AFE ≅ ∆ BGH (ม.ด.ม.โดยมี FAE
∧
= GBH
∧
, AF = BG,
EFA
∧
= HGB
∧
)
ดังนั้น FE = GH (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.2 ข
1.
1) AE // BC 2) AD// BM
3) SR // PQ 4) ไมมีสวนของเสนตรงคูใดขนานกันเลย
2. x = 98 และ y = 60
3.
เนื่องจาก AO = BO (กําหนดให CD แบงครึ่ง AB ที่จุด O)
DOA
∧
= COB
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม
มีขนาดเทากัน)
DO = CO (กําหนดให AB แบงครึ่ง CD ที่จุด O)
DA
C B
O

17. 78
ดังนั้น ∆ AOD ≅ ∆ BOC (ด.ม.ด.)
จะได ODA
∧
= OCB
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
นั่นคือ AD// BC (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่งทําให
มุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้น
ขนานกัน)
4.
เนื่องจาก BAC
∧
= DBE
∧
(กําหนดให)
EBA
∧
+ DBE
∧
= 180o
(ขนาดของมุมตรง)
จะได EBA
∧
+ BAC
∧
= 180o
(สมบัติของการเทากัน โดยแทน DBE
∧
ดวย
BAC
∧
)
เนื่องจาก EBA
∧
และ BAC
∧
เปนมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด AB
ซึ่งตัด AC และ BE
ดังนั้น AC// BE (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให
ขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของ
เสนตัดรวมกันเทากับ 180o
แลวเสนตรงคูนั้น
ขนานกัน)
ในทํานองเดียวกันจะพิสูจนไดวา BC// DE
คําตอบกิจกรรม “สํารวจมุมภายนอกและมุมภายใน”
1.
1) PRA
∧
และ PSC
∧
SRA
∧
และ QSC
∧
PRB
∧
และ PSD
∧
SRB
∧
และ QSD
∧
A B D
E
C

18. 79
2) PRA
∧
และ PSC
∧
SRA
∧
และ QSC
∧
PRB
∧
และ PSD
∧
SRB
∧
และ QSD
∧
2.
1) และ 2)
PEA
∧
และ PFC
∧
QEA
∧
และ QFC
∧
QEB
∧
และ QFD
∧
PEB
∧
และ PFD
∧
คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.3 ก
1. QPA
∧
= SRP
∧
และ SRB
∧
= QPR
∧
เพราะวา ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู
ตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน
2. TSN
∧
= MSQ
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน)
TSN
∧
= KTS
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)
TSN
∧
= PTL
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู
ตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน)
3. DYX
∧
= 52o
4. DCE
∧
= 128o
5. BAD
∧
= DCB
∧
= 47o
CBA
∧
= CDA
∧
= 133o
6. x = 65

19. 80
7.
เนื่องจาก AB // CD (กําหนดให)
จะได CAB
∧
= ECD
∧
(เสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน
ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน)
AC = CE (กําหนดให)
เนื่องจาก CB // ED (กําหนดให)
จะได BCA
∧
= DEC
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขาง
เดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน)
ดังนั้น ∆ ABC ≅ ∆ CDE (ม.ด.ม.)
คําตอบแบบฝกหัด 4.3 ข
1.
1) DF // CB เพราะ DAE
∧
เปนมุมภายนอกและ CBA
∧
เปนมุมภายในที่อยูตรงขามบน
ขางเดียวกันของเสนตัด BE มีขนาดเทากัน
2) AB // MN เพราะ CNM
∧
เปนมุมภายนอกและ CBA
∧
เปนมุมภายในที่อยูตรงขามบนขาง
เดียวกันของเสนตัด BC มีขนาดเทากัน
3) AB // CD เพราะ ABP
∧
เปนมุมภายนอกและ CDB
∧
เปนมุมภายในที่อยูตรงขามบน
ขางเดียวกันของเสนตัด PD มีขนาดเทากับ 44o
เทากัน
4) MN // PQ
เนื่องจาก QDA
∧
+ 50 = 180 (ขนาดของมุมตรง)
จะได QDA
∧
= 180 – 50
= 130o
เนื่องจาก NBA
∧
= 130o
(กําหนดให)
DB
A C E

20. 81
ดังนั้น NBA
∧
= QDA
∧
= 130o
(สมบัติของการเทากัน)
นั่นคือ MN // PQ (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่งทําให
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขาง
เดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลวเสนตรง
คูนั้นขนานกัน)
QR // NP เพราะ FEQ
∧
= DCN
∧
= 96o
(ใหเหตุผลในทํานองเดียวกันกับขางตน)
2. ECD
∧
= 98o
3.
เนื่องจาก YM // QR (กําหนดให)
จะได MAP
∧
= RQP
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน
ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน)
MYX
∧
= RQP
∧
(กําหนดให)
จะได MAP
∧
= MYX
∧
(สมบัติของการเทากัน)
ดังนั้น YX // QP (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน
ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลว
เสนตรงคูนั้นขนานกัน)
Y
Q R
M
P
X
A

21. 82
4.
เนื่องจาก ∆ ABC และ ∆ DEF เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว
จะได CAB
∧
= ACB
∧
(มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มีขนาด
เทากัน)
และ FDE
∧
= DFE
∧
(มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มีขนาด
เทากัน)
CAB
∧
= DFE
∧
(กําหนดให)
ดังนั้น CAB
∧
= FDE
∧
และ ACB
∧
= DFE
∧
(สมบัติของการเทากัน)
นั่นคือ AB// DE และBC// EF (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน
ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลว
เสนตรงคูนั้นขนานกัน)
คําตอบกิจกรรม “x และ y มีคาเทาไร”
1. x = 48
2. x = 75 และ y = 15
3. x = 130 และ y = 110
4. x = 54 และ y = 78
5. x = 107
6. x = 56 และ y = 68
7. x = 25 และ y = 10
แนวคิด
เนื่องจาก 2x + y + 120 = 180
2x + y = 60
y = 60 – 2x
A D C F
E
B

22. 83
เนื่องจาก 2x – y + 140 = 180
จะได 2x – (60 – 2x) + 140 = 180 (แทน y ดวย 60 – 2x)
2x – 60 + 2x + 140 = 180
4x = 100
x = 25
จะได y = 60 – (2 × 25)
= 10
8. x = 15 และ y = 57.5
แนวคิด
เนื่องจาก 3x + 25 = x + 55
2x = 30
x = 15
เนื่องจาก (x + 55) + (2y – 5) = 180
15 + 55 + 2y – 5 = 180 (แทน x ดวย 15)
2y + 65 = 180
2y = 115
y = 57.5
9. x = 8 และ y = 12
แนวคิด
เนื่องจาก (5x + y) + (5x – y) + 100 = 180
10x + 100 = 180
10x = 80
x = 8
เนื่องจาก 100 + (5x + y) + (2x + y) = 180
100 + (5 × 8) + (2 × 8) + 2y = 180 (แทน x ดวย 8)
100 + 40 + 16 + 2y = 180
2y = 24
y = 12

23. 84
10. x = 12 และ y = 28
แนวคิด
เนื่องจาก HEA
∧
= CGH
∧
= 48o
จะได 2x + 2y = 32 + 48
= 80
เนื่องจาก 5y – 8 + 48 = 180
5y = 140
y = 28
จะได 2x + (2 × 28) = 80
2x = 24
x = 12
คําตอบกิจกรรม “หาไดหรือไม”
m = 26 r = 36
n = 50 s = 72
p = 86 t = 118
q = 22 u = 44
คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.4
1.
1. DCE
∧
, XCA
∧
, EDC
∧
, YDB
∧
และ EBA
∧
2. BAE
∧
= 68o
2. PQ // AD
เนื่องจาก PAB
∧
= 32 + 28 (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม
เทากับผลบวกของขนาดของมุมภายใน
ที่ไมใชมุมประชิดของมุมภายนอกนั้น)
= 60o
PAB
∧
+ PAD
∧
= 180o
(ขนาดของมุมตรง)

24. 85
จะได PAD
∧
= 180 – 60 (แทน PAB
∧
ดวย 60)
= 120o
ดังนั้น PQ // AD (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน
ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลว
เสนตรงคูนั้นขนานกัน)
3.
สราง ลาก BD
เนื่องจาก
∧
1 +
∧
2 +
∧
3 = 180o
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูป
สามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180o
)
∧
4 +
∧
5+
∧
6 = 180o
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูป
สามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180o
)
จะได
∧
1 +
∧
2 +
∧
3+
∧
4 +
∧
5+
∧
6 = 180+ 180 (สมบัติของการเทากัน)
หรือ
∧
1 + (
∧
2 +
∧
5) +
∧
4 + (
∧
3+
∧
6 ) = 360o
ดังนั้น DAB
∧
+ CDA
∧
+ BCD
∧
+ ABC
∧
= 360o
(สมบัติของการเทากัน)
นั่นคือ ขนาดของมุมภายในทั้งสี่มุมของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ รวมกัน เทากับ
360 องศา
4.
เนื่องจาก
∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว
5
2
1
3 6
4
A
B
C
D
A FE
B C

25. 86
ดังนั้น CBA
∧
= BCA
∧
(มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาด
เทากัน)
เนื่องจาก EF // BC (กําหนดให)
จะได EAB
∧
= CBA
∧
และ FAC
∧
= BCA
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกัน
และมีเสนตัด แลวมุมแยง
มีขนาดเทากัน)
ดังนั้น EAB
∧
= FAC
∧
(สมบัติของการเทากัน)
5.
เนื่องจาก AB = EF (กําหนดให)
CG // DH มี AE เปนเสนตัด (กําหนดให)
จะได FBG
∧
= BFH
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว
มุมแยงมีขนาดเทากัน)
FBG
∧
= CBA
∧
และ BFH
∧
= DFE
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลว
มุมตรงขามมีขนาดเทากัน)
ดังนั้น CBA
∧
= DFE
∧
(สมบัติของการเทากัน)
BC = FD (กําหนดให)
จะได ∆ ABC ≅ ∆ EFD (ด.ม.ด.)
ดังนั้น BAC
∧
= FED
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
นั่นคือ AC // ED (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให
มุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้น
ขนานกัน)
F E
DG
BA
C
H

26. 87
6.
สราง ลาก BD
เนื่องจาก AB// CD มี BD เปนเสนตัด (สมบัติของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน)
จะได DBA
∧
= BDC
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว
มุมแยงมีขนาดเทากัน)
เนื่องจาก AD// BC มี BD เปนเสนตัด (สมบัติรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน)
จะได BDA
∧
= DBC
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว
มุมแยงมีขนาดเทากัน)
BD = DB (เปนดานรวม)
ดังนั้น ∆ ABD ≅ ∆ CDB (ม.ด.ม.)
นั่นคือ
∧
A =
∧
C (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
ในทํานองเดียวกัน ถาลาก AC จะพิสูจนไดวา
∧
B =
∧
D
7.
เนื่องจาก ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (กําหนดให)
จะได CBA
∧
= CAB
∧
(มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาด
เทากัน)
CE // AB (กําหนดให)
จะได DCE
∧
= CBA
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขาม
บนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน)
B
D
A
C
E
D
A
B C

27. 88
และ CAB
∧
= ACE
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)
จะได CAB
∧
= DCE
∧
(สมบัติของการเทากัน โดยตางก็มีขนาดเทากับ
CBA
∧
)
ดังนั้น ACE
∧
= DCE
∧
(สมบัติของการเทากัน โดยตางก็มีขนาดเทากับ
CAB
∧
)
นั่นคือ CE แบงครึ่ง DCA
∧
8.
เนื่องจาก
∧
1 +
∧
4 =
∧
2 +
∧
5 =
∧
3+
∧
6 = 180o
(ขนาดของมุมตรง)
∧
1 +
∧
4 +
∧
2 +
∧
5+
∧
3+
∧
6 = 180 + 180 + 180 (สมบัติของการเทากัน)
= 540o
แต
∧
1 +
∧
2 +
∧
3 = 180o
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ
รูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180o
)
จะได
∧
4 +
∧
5+
∧
6 = 540 – 180 (สมบัติของการเทากัน)
= 360o
ดังนั้น ขนาดของมุมภายนอกของ ∆ ABC รวมกันเทากับ 360o
9.
C
B
A
3
6
2
5
14
E
B
D
C
F
A

28. 89
เนื่องจาก
∧
A +
∧
B+
∧
C = 180o
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม
รวมกันเทากับ 180o
)
และ
∧
D+
∧
E+
∧
F = 180o
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม
รวมกันเทากับ 180o
)
จะได
∧
A +
∧
B+
∧
C+
∧
D+
∧
E+
∧
F = 180 + 180
= 360o
(สมบัติของการเทากัน)
ดังนั้น ขนาดของมุมภายในที่จุดยอดทั้งหกมุมของรูปดาวหกแฉกใด ๆ รวมกัน
เทากับ 360o
10.
เนื่องจาก ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มี BC เปนฐาน
จะได
∧
1 =
∧
2 (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มีขนาด
เทากัน)
เนื่องจาก BC// ED (กําหนดให)
จะได
∧
1 =
∧
3 และ
∧
2 =
∧
4 (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)
ดังนั้น
∧
3 =
∧
4 (สมบัติของการเทากัน)
∧
3 +
∧
5 =
∧
4 +
∧
6 = 180o
(ขนาดของมุมตรง)
จะได
∧
5 =
∧
6 (สมบัติของการเทากัน)
EG = DF (กําหนดให)
GAE
∧
= FAD
∧
(กําหนดให)
ดังนั้น ∆ AEG = ∆ ADF (ม.ม.ด.)
นั่นคือ AE = AD (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
1
A
DE 5 6
B C
FG
2
43

29. 90
คําตอบกิจกรรม “เฉลว”
พิจารณามุมภายในและมุมภายนอกของ ∆ BDF
จะได
∧
1 =
∧
B+
∧
D (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเทากับ
ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไมใชมุมประชิด
ของมุมภายนอกนั้น)
พิจารณามุมภายในและมุมภายนอกของ ∆ CEG
จะได
∧
2 =
∧
C+
∧
E
เนื่องจาก
∧
A +
∧
1 +
∧
2 = 180o
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ
รูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180o
)
นั่นคือ
∧
A +
∧
B+
∧
D +
∧
C +
∧
E = 180o
(สมบัติของการเทากันโดยแทน
∧
1 ดวย
∧
B+
∧
D และแทน
∧
2 ดวย
∧
C +
∧
E)
หรือ
∧
A +
∧
B+
∧
C +
∧
D +
∧
E = 180o
E
D C
B
A
F G1 2

30. 91
กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

31. 92
กิจกรรมเสนอแนะ 4.4
กิจกรรมนี้มีจุดประสงคใหนักเรียนสามารถนําสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่วา “ขนาดของ
มุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา” ไปใชสรางขอความ
คาดการณเกี่ยวกับผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยม
1. จงหาผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมตอไปนี้
1) รูปสี่เหลี่ยม
2) รูปหาเหลี่ยม
3) รูปหกเหลี่ยม
2. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมในขอ 1 เกี่ยวของกับผลบวกของขนาดของ
มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมหรือไม อยางไร
3. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยม เกี่ยวของกับจํานวนเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยม
หรือไม อยางไร
4. จงหาสูตรการหาผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป n เหลี่ยม
คําตอบกิจกรรมเสนอแนะ 4.4
1.
1) 360 องศา
2) 540 องศา
3) 720 องศา
2.
1) เกี่ยวของกัน คือ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมเทากับสองเทาของผลบวก
ของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม
2) เกี่ยวของกัน คือ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหาเหลี่ยมเทากับสามเทาของ
ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม
3) เกี่ยวของกัน คือ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหกเหลี่ยมเทากับสี่เทาของ
ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม

32. 93
3. เกี่ยวของกัน คือ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมเทากับ
จํานวนเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมลบดวย 2 แลวคูณดวยผลบวกของขนาดของมุมภายในของ
รูปสามเหลี่ยม
4. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป n เหลี่ยม เทากับ 180(n – 2) องศา