แบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ 2010 คณิตศาสตร์ 2010

2. เซต
เซตจํากัด คือ เซตที่สามารถระบุจํานวนสมาชิกได
เซตอนันต คือ เซตที่มีจํานวนสมาชิกมากมาย
เซตวาง คือ เซตที่ไมมีสมาชิก หรือมีจํานวนสมาชิกเปนศูนย เขียนแทนดวย φ หรือ { }
ตัวอยางที่ 1 ให A เปนเซตจํากัด และ B เปนเซตอนันต ขอความใดตอไปนี้เปนเท็จ
1) มีเซตจํากัดที่เปนสับเซตของ A
2) มีเซตจํากัดที่เปนสับเซตของ B
*3) มีเซตอนันตที่เปนสับเซตของ A
4) มีเซตอนันตที่เปนสับเซตของ B
จํานวนสมาชิกของเซตจํากัด
ให n(A) แทนจํานวนสมาชิกของเซต A
1. n(U) = n(A) + n(A′)
2. n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A I B)
3. n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A I B) - n(A I C) - n(B I C) + n(A I B I C)
4. n(A - B) = n(A) - n(A I B)
คณิตศาสตร (2)_______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

3. ตัวอยางที่ 2 ถากําหนดจํานวนสมาชิกของเซตตางๆ ตามตารางตอไปนี้
เซต AUB AUC BUC AUBUC AIBIC
จํานวนสมาชิก 25 27 26 30 7
แลวจํานวนสมาชิกของ (A I B) U C เทากับขอใดตอไปนี้
*1) 23 2) 24 3) 25 4) 26
ตัวอยางที่ 3 นักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 46 คน แตละคนมีเสื้อสีเหลืองหรือเสื้อสีฟาอยางนอยสีละหนึ่งตัว ถา
นักเรียน 39 คนมีเสื้อสีเหลือง และ 19 คนมีเสื้อสีฟา แลวนักเรียนกลุมนี้ที่มทั้งเสื้อสีเหลืองและเสื้อ
ี
สีฟามีจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้
1) 9 2) 10 3) 11 *4) 12
ตัวอยางที่ 4 นักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 50 คน มี 32 คน ไมชอบเลนกีฬาและไมชอบฟงเพลง ถามี 6 คน ชอบฟง
เพลงแตไมชอบเลนกีฬา และมี 1 คน ชอบเลนกีฬาแตไมชอบฟงเพลง แลวนักเรียนในกลุมนี้ที่ชอบ
เลนกีฬาและชอบฟงเพลงมีจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้
*1) 11 คน 2) 12 คน 3) 17 คน 4) 18 คน
ตัวอยางที่ 5 กําหนดให A และ B เปนเซต ซึ่ง n(A U B) = 88 และ n[(A - B) U (B - A)] = 76
ถา n(A) = 45 แลว n(B) เทากับขอใดตอไปนี้
1) 45 2) 48 3) 53 *4) 55
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _______________________________ คณิตศาสตร (3)

4. ตัวอยางที่ 6 ในการสอบถามพอบานจํานวน 300 คน พบวามีคนที่ไมดื่มทั้งชาและกาแฟ 100 คน มีคนที่ดื่มชา
100 คน และมีคนที่ด่มกาแฟ 150 คน พอบานที่ดื่มทั้งชาและกาแฟมีจํานวนเทาใด (ตอบ 50 คน)
ื
สับเซต
บทนิยาม เซต A เปนสับเซตของเซต B ก็ตอเมื่อสมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกของเซต B และ
เขียนเปนสัญลักษณ คือ A ⊂ B
ตัวอยางที่ 7 ให A = {1, 2} และ B = {1, 2, 3, 4, 5} เนื่องจากสมาชิกของเซต A ทุกตัวเปนสมาชิกของ
เซต B ดังนั้น A ⊂ B
เพาเวอรเซต
บทนิยาม เพาเวอรเซตของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกเปนสับเซตทั้งหมดของเซต A เขียนแทนดวย P(A)
ตัวอยางที่ 8 ให A = {1, 2, 3} จะไดสับเซตทั้งหมดของ A ไดแก
φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
P(A) = {φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
สมบัติของสับเซตและเพาเวอรเซต
1. φ เปนสับเซตของเซตทุกเซต
2. φ เปนสมาชิกของเพาเวอรเซตเสมอ
3. A ⊂ A
4. A ∈ P(A)
5. ถา A ⊂ B แลว P(A) ⊂ P(B)
6. จํานวนสับเซตของเซต A ทั้งหมดเทากับ 2n(A)
7. จํานวนสมาชิกของ P(A) ทั้งหมดเทากับ 2n(A)
คณิตศาสตร (4)_______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

5. การดําเนินการทางเซต
1. ยูเนียน เซต A ยูเนียนกับเซต B คือ เซตที่มีสมาชิกเปนสมาชิกของเซต A หรือเซต B เขียนแทนดวย
AUB
2. อินเตอรเซกชัน เซต A อินเตอรเซกชันกับเซต B คือ เซตที่มีสมาชิกเปนสมาชิกของเซต A และเซต B
เขียนแทนดวย A I B
3. ผลตาง ผลตางของ A และ B คือ เซตที่มีสมาชิกในเซต A แตไมเปนสมาชิกในเซต B เขียนแทนดวย
A-B
4. คอมพลีเมนต ถา A เปนเซตเซตใดในเอกภพสัมพันธ U แลว คอมพลีเมนตของเซต A คือ เซตที่มี
สมาชิกเปนสมาชิกของ U แตไมเปนสมาชิกของ A เขียนแทนดวย A′
ตัวอยางที่ 9 กําหนดให U = {1, 2, 3, ..., 10}
A = {1, 2, 4, 8}
B = {2, 4, 6, 10}
จะได A U B = {1, 2, 4, 6, 8, 10}
AIB = {2, 4}
A-B = {1, 8}
B-A = {6, 10}
A′ = {3, 5, 6, 7, 9, 10}
และ B′ = {1, 3, 5, 7, 8, 9}
ตัวอยางที่ 10 ถา A - B = {2, 4, 6}, B - A = {0, 1, 3} และ A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} แลว
A I B เปนสับเซตในขอใดตอไปนี้
1) {0, 1, 4, 5, 6, 7} 2) {1, 2, 4, 5, 6, 8}
*3) {0, 1, 3, 5, 7, 8} 4) {0, 2, 4, 5, 6, 8}
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _______________________________ คณิตศาสตร (5)

6. การใหเหตุผล
การใหเหตุผลทางคณิตศาสตรที่สําคัญมีอยู 2 วิธี ไดแก
1. การใหเหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning)
หมายถึง วิธีการสรุปผลในการคนหาความจริง จากการสังเกตหรือการทดลองหลายๆ ครั้งจากกรณี
ยอยแลวนํามาสรุปเปนความรูแบบทั่วไป
2. การใหเหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning)
หมายถึง วิธีการสรุปขอเท็จจริงโดยการนําความรูพื้นฐาน ความเชื่อ ขอตกลง หรือบทนิยาม ซึ่งเปนสิ่ง
ที่รูมากอนและยอมรับวาเปนจริง เพื่อหาเหตุผลนําไปสูขอสรุป
ตัวอยางที่ 1 จงพิจารณาการใหเหตุผลตอไปนี้เปนการใหเหตุผลแบบอุปนัยหรือนิรนัย
1) เหตุ 1. นัทชอบทานไอศกรีม
2. แนทชอบทานไอศกรีม
ผล เด็กทุกคนชอบทานไอศกรีม
2) เหตุ 1. เด็กทุกคนชอบทานไอศกรีม
2. แนทเปนเด็ก
ผล แนทชอบทานไอศกรีม
ตัวอยางที่ 2 จงหาคา a จากแบบรูปของจํานวนที่กําหนดให
1, 4, 9, 16, 25, a
2, 4, 8, 16, 32, a
ความสมเหตุสมผล
สวนประกอบของการใหเหตุผล
การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร
1. a เปนสมาชิกของ A 2. a ไมเปนสมาชิกของ A
คณิตศาสตร (6)_______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

7. 3. สมาชิกทุกตัวของ A เปนสมาชิกของ B 4. ไมมีสมาชิกตัวใดใน A เปนสมาชิกของ B
5. สมาชิกบางตัวของ A เปนสมาชิกของ B 6. สมาชิกบางตัวของ A ไมเปนสมาชิกของ B
ตัวอยางที่ 3 กําหนดเหตุใหดังตอไปนี้
เหตุ ก. ทุกจังหวัดที่อยูไกลจากกรุงเทพมหานครเปนจังหวัดที่มีอากาศดี
ข. เชียงใหมเปนจังหวัดที่มีอากาศไมดี
ขอสรุปในขอใดตอไปนี้สมเหตุสมผล
*1) เชียงใหมเปนจังหวัดที่อยูไมไกลจากกรุงเทพมหานคร
2) นราธิวาสเปนจังหวัดที่อยูไมไกลจากกรุงเทพมหานคร
3) เชียงใหมเปนจังหวัดที่อยูไกลจากกรุงเทพมหานคร
4) นราธิวาสเปนจังหวัดที่อยูไกลจากกรุงเทพมหานคร
ตัวอยางที่ 4 จงพิจารณาขอความตอไปนี้
1. คนตีกอลฟทุกคนเปนคนสายตาดี
2. คนที่ตีกอลฟไดไกลกวา 300 หลา บางคน เปนคนสายตาดี
3. ธงชัยตีกอลฟเกงแตตีไดไมไกลกวา 300 หลา
แผนภาพในขอใดตอไปนี้ มีความเปนไปไดที่จะสอดคลองกับขอความทั้งสามขางตน เมื่อจุดแทนธงชัย
1) 2) *3) 4)
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _______________________________ คณิตศาสตร (7)

8. ตัวอยางที่ 5 จากแบบรูปตอไปนี้
7 14 21 77
1 2 4 2 4 8 3 6 12 ... a b c
โดยการใหเหตุผลแบบอุปนัย 2a - b + c มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) 11 2) 22 3) 33 *4) 44
ตัวอยางที่ 6 พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. นักกีฬาทุกคนมีสุขภาพดี
ข. คนที่มีสุขภาพดีบางคนเปนคนดี
ค. ภราดรเปนนักกีฬา และเปนคนดี
แผนภาพในขอใดตอไปนี้ มีความเปนไปไดที่จะสอดคลองกับขอความทั้งสามขอขางตน เมื่อจุดแทนภราดร
1) 2)
3) *4)
ตัวอยางที่ 7 เหตุ 1. ไมมีคนขยันคนใดเปนคนตกงาน
2. มีคนตกงานที่เปนคนใชเงินเกง
3. มีคนขยันที่ไมเปนคนใชเงินเกง
ผล ในขอใดตอไปนี้ที่เปนการสรุปผลจากเหตุขางตนที่เปนไปอยางสมเหตุสมผล
1) มีคนขยันที่เปนคนใชเงินเกง *2) มีคนใชเงินเกงที่เปนคนตกงาน
3) มีคนใชเงินเกงที่เปนคนขยัน 4) มีคนตกงานที่เปนคนขยัน
คณิตศาสตร (8)_______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

9. ระบบจํานวนจริง
แผนผังแสดงความสัมพันธของระบบจํานวน
จํานวนเชิงซอน
จํานวนจริง (R) จํานวนจินตภาพ
จํานวนอตรรกยะ (Q′) จํานวนตรรกยะ (Q)
จํานวนตรรกยะ (I′) ที่ไมใชจํานวนเต็ม จํานวนเต็ม (I)
จํานวนเต็มลบ (I-) จํานวนเต็มบวก (I+) (จํานวนนับ) (N)
จํานวนเต็มศูนย (I0)
จํานวนอตรรกยะ หมายถึง จํานวนที่ไมสามารถเขียนใหอยูในรูปเศษสวนของจํานวนเต็ม หรือทศนิยม
ซ้ําได เชน 2 , 5 , - 3 , π, 2.17254... เปนตน
จํานวนตรรกยะ หมายถึง จํานวนที่สามารถเขียนในรูปเศษสวนของจํานวนเต็มได
ตัวอยางที่ 1 พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. มีจํานวนตรรกยะที่นอยที่สุดที่มากกวา 0
ข. มีจํานวนอตรรกยะที่นอยที่สุดที่มากกวา 0
ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง
1) ก. ถูก และ ข. ผิด 2) ก. และ ข. ถูก 3) ก. ผิด และ ข. ถูก *4) ก. และ ข. ผิด
ตัวอยางที่ 2 กําหนดใหคาประมาณที่ถูกตองถึงทศนิยมตําแหนงที่ 3 ของ 3 และ 5 คือ 1.732 และ
2.236 ตามลําดับ พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. 2.235 + 1.731 ≤ 5 + 3 ≤ 2.237 + 1.733
ข. 2.235 - 1.731 ≤ 5 - 3 ≤ 2.237 - 1.733
ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง
*1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _______________________________ คณิตศาสตร (9)

10. สมบัติของจํานวนจริง
1. สมบัติการเทากันของจํานวนจริง
กําหนดให a, b, c ∈ R
1) สมบัติการสะทอน
a=a
2) สมบัติการสมมาตร
ถา a = b แลว b = a
3) สมบัติการถายทอด
ถา a = b และ b = c แลว a = c
4) สมบัติการบวกดวยจํานวนที่เทากัน
ถา a = b แลว a + c = b + c
5) สมบัติการคูณดวยจํานวนที่เทากัน
ถา a = b แลว a + c = b + c
2. สมบัติของจํานวนจริงเกี่ยวกับพีชคณิต
กําหนดให a, b, c ∈ R
สมบัติ สมบัติของการบวก สมบัติของการคูณ
สมบัติปด a+b∈R a⋅b ∈ R
สมบัติการสลับที่ a+b=b+a a⋅b = b⋅a
สมบัติการเปลี่ยนกลุม a + (b + c) = (a + b) + c a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c
สมบัติการมีเอกลักษณ มี 0 เปนเอกลักษณการบวก มี 1 เปนเอกลักษณการคูณ
ซึ่ง 0 + a = a = a + 0 ซึ่ง 1 ⋅ a = a = a ⋅ 1
สมบัติการมีอินเวอรส สําหรับจํานวนจริง a สําหรับจํานวนจริง a ที่ a ≠ 0
มีจํานวนจริง -a จะมี a-1 ที่ a ⋅ a-1 = a-1 ⋅ a = 1
ที่ (-a) + a = 0 = a + (-a)
สมบัติการแจกแจง a(b + c) = ab + ac
ตัวอยางที่ 3 ให a และ b เปนจํานวนตรรกยะที่แตกตางกัน
c และ d เปนจํานวนอตรรกยะที่แตกตางกัน
พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. a - b เปนจํานวนตรรกยะ
ข. c - d เปนจํานวนอตรรกยะ
ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง
1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด
คณิตศาสตร (10)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

11. ตัวอยางที่ 4 พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. สมบัติการมีอินเวอรสการบวกของจํานวนจริง b ที่ b + a = 0 = a + b
ข. สมบัติการมีอินเวอรสการคูณของจํานวนจริงกลาววา สําหรับจํานวนจริง a จะมีจานวนจริง b
ํ
ที่ ba = 1 = ab
ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง
1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด
ทบทวนสูตร
1. กําลังสองสมบูรณ
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
2. กําลังสามสมบูรณ
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3a2b - b3
3. ผลตางกําลังสอง
a2 - b2 = (a - b)(a + b)
4. ผลตางกําลังสาม
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
จากสมการพหุนามกําลังสอง
ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b และ c เปนคาคงที่, a ≠ 0
b2
จะได x = -b ± 2a - 4ac
ถา b2 - 4ac > 0 แลว x จะมี 2 คําตอบ
ถา b2 - 4ac = 0 แลว x จะมี 1 คําตอบ
ถา b2 - 4ac < 0 แลว x จะไมมีคําตอบที่เปนจํานวนจริง
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (11)

12. สมบัติของอสมการ ให a, b และ c เปนจํานวนจริง
1. สมบัตการถายทอด
ิ
ถา a > b และ b > c แลว a > c
2. สมบัติการบวกดวยจํานวนจริงที่เทากัน
ถา a > b แลว a + c > b + c
3. สมบัติการคูณดวยจํานวนที่เทากัน
ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc
ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc
4. ให a และ b เปนจํานวนจริง
จาก a < x < b
จะได a < x และ x < b
ชวงของจํานวนจริง ให a และ b เปนจํานวนจริง และ a < b
1. (a, b) = {x|a < x < b}
เสนจํานวน คือ a b
2. [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b}
เสนจํานวน คือ a b
3. (a, b] = {x|a < x ≤ b}
เสนจํานวน คือ a b
4. [a, b) = {x|a ≤ x < b}
เสนจํานวน คือ a b
5. (-∞, a) = {x|x < a}
เสนจํานวน คือ a
6. [a, ∞) = {x|x ≥ a}
เสนจํานวน คือ a
ตัวอยางที่ 5 ตองการลอมรั้วรอบที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผาซึ่งมีพื้นที่ 65 ตารางวา โดยดานยาวของที่ดินยาวกวาสองเทาของ
ดานกวางอยู 3 วา จะตองใชรั้วที่มีความยาวเทากับขอใดตอไปนี้
1) 30 วา *2) 36 วา 3) 42 วา 4) 48 วา
คณิตศาสตร (12)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

13. ตัวอยางที่ 6 เมื่อเขียนกราฟของ y = ax2 + bx + c โดยที่ a ≠ 0 เพื่อหาคําตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0
กราฟในขอใดตอไปนี้แสดงวาสมการไมมีคําตอบที่เปนจํานวนจริง
y y
5 5
1)
0 x 2)
0 x
-5 5 -5 5
-5 -5
y y
5 5
3) x *4)
0 x
-5 0 5 -5 5
-5 -5
ตัวอยางที่ 7 แมคานําเมล็ดมะมวงหิมพานต 1 กิโลกรัม ถั่วลิสง 3 กิโลกรัม และเมล็ดฟกทอง 4 กิโลกรัม มาผสมกัน
แลวแบงใสถุง ถุงละ 100 กรัม ถาแมคาซื้อเมล็ดมะมวงหิมพานต ถั่วลิสง และเมล็ดฟกทองมาในราคา
กิโลกรัมละ 250 บาท 50 บาท และ 100 บาท ตามลําดับ แลวแมคาจะตองขายเมล็ดพืชผสมถุงละ
100 กรัมนี้ ในราคาเทากับขอใดตอไปนี้จึงจะไดกําไร 20% เมื่อขายหมด
1) 10 บาท *2) 12 บาท 3) 14 บาท 4) 16 บาท
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (13)

14. ตัวอยางที่ 8 เซตคําตอบของอสมการ -1 ≤ 2+ x ≤1 คือเซตในขอใดตอไปนี้
1- 2
1) [ 2 - 1, 1] 2) [ 2 - 1, 2] *3) [3 - 2 2 , 1] 4) [3 - 2 2 , 2]
คาสัมบูรณ
บทนิยาม ให a เปนจํานวนจริง
 a เมื่อ a ≥ 0
|a| = 

-a เมื่อ a < 0

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับคาสัมบูรณ
1. |x| = a ก็ตอเมื่อ x = a หรือ x = -a
2. ให a เปนจํานวนจริงบวก
|x| < a ก็ตอเมื่อ -a < x < a
|x| ≤ a ก็ตอเมื่อ -a ≤ x ≤ a
|x| > a ก็ตอเมื่อ x < -a หรือ x > a
|x| ≥ a ก็ตอเมื่อ x ≤ -a หรือ x ≥ a
ตัวอยางที่ 9 พิจารณาสมการ |x - 7| = 6 ขอสรุปใดตอไปนี้เปนเท็จ
1) คําตอบหนึ่งของสมการมีคาระหวาง 10 และ 15
2) ผลบวกของคําตอบทั้งหมดของสมการมีคาเทากับ 14
*3) สมการนี้มีคําตอบมากกวา 2 คําตอบ
4) ในบรรดาคําตอบทั้งหมดของสมการ คําตอบที่มีคานอยที่สุดมีคานอยกวา 3
คณิตศาสตร (14)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

15.  
  2 2  
ตัวอยางที่ 10 จํานวนสมาชิกของเซต  xx = 
 a + |1| - |a|- 1   เมื่อ a เปนจํานวนจริงซึ่งไมเทากับ 0 
a 

 a 
 
  
   
เทากับขอใดตอไปนี้
1) 1 *2) 2
3) 3 4) มากกวาหรือเทากับ 4
ตัวอยางที่ 11 ผลบวกของคําตอบทุกคําตอบของสมการ x3 - 2x = |x| เทากับขอใดตอไปนี้
1) 0 2) 3 *3) 3 - 1 4) 3 +1
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (15)

16. ความสัมพันธและฟงกชัน
ผลคูณคารทีเชียน กําหนดให A และ B เปนเซตใดๆ
ผลคูณคารทีเชียนของ A และ B คือ A × B = {(a, b)|a ∈ A และ b ∈ B}
เชน ให A = {1, 2} และ B = {a, b, c}
จะได A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}
B × A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}
สมบัติของผลคูณคารทีเชียน ให A, B และ C เปนเซตใดๆ
1. A × φ = φ × A = φ
2. A × B ≠ B × A
3. n(A × B) = n(A) × n(B)
4. A × (B U C) = (A × B) U (A × C)
(B U C) × A = (B × A) U (C × A)
5. A × (B I C) = (A × B) I (A × C)
(B I C) × A = (B × A) I (C × A)
ตัวอยางที่ 1 กําหนดให A = {1, 2} และ B = {a, b} คูอันดับในขอใดตอไปนี้เปนสมาชิกของผลคูณคารทีเชียน A × B
*1) (2, b) 2) (b, a) 3) (a, 1) 4) (1, 2)
ความสัมพันธ คือ เซตของคูอันดับที่เกี่ยวของกันตามเงื่อนไขที่กําหนดและเปนสับเซตของผลคูณคารทีเชียน
กําหนดให A และ B เปนเซตใดๆ
r เปนความสัมพันธจาก A ไป B เขียนแทนดวย r ⊂ A × B
r เปนความสัมพันธใน A เขียนแทนดวย r ⊂ A × A
*จํานวนความสัมพันธทั้งหมดจาก A ไป B เทากับ 2n(A)×n(B)
คณิตศาสตร (16)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

17. ตัวอยางที่ 2 กําหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {1, 2, 3, ... , 11, 12}
 
S = (a, b) ∈ A × B b = 2a + a 
2
 
จํานวนสมาชิกของเซต S เทากับขอใดตอไปนี้
1) 1 *2) 2 3) 3 4) 4
ตัวอยางที่ 3 ถา A = {1, 2, 3, 4} และ r = {(m, n) ∈ A × A | m ≤ n} แลวจํานวนสมาชิกในความสัมพันธ r
เทากับขอใดตอไปนี้
1) 8 *2) 10 3) 12 4) 16
โดเมนของ r เขียนแทนดวย Dr คือ เซตของสมาชิกตัวหนาของคูอันดับทั้งหมดใน r สัญลักษณ คือ
Dr = {x|(x, y) ∈ r}
เรนจของ r เขียนแทนดวย Rr คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคูอันดับทั้งหมดใน r สัญลักษณ คือ
Rr = {y|(x, y) ∈ r}
เชน จาก r = {(-2, 4), (-1, 1), (1, 1)}
จะได Dr = {-2, -1, 1}
และ Rr = {1, 4}
การหาโดเมนและเรนจของความสมพันธของ r ⊂ R × R
1. โดเมน หาโดยจัดรูปสมการเปน y ในรูปของ x และพิจารณาวา x สามารถเปนจํานวนจริงใดไดบาง
ที่สามารถหาคา y ที่เปนจํานวนจริงได
2. เรนจ หาโดยจัดรูปสมการเปน x ในรูปของ y และพิจารณาวา y สามารถเปนจํานวนจริงใดไดบาง
ฟงกชัน คือ ความสัมพันธที่คอนดับทุกๆ ตัวในความสัมพันธ ถาสมาชิกตัวหนาของคูอันดับสองคูเทากัน
ูั
แลวสมาชิกตัวหลังของทั้งสองคูอันดับตองเทากันดวย
นั่นคือ r เปนฟงกชันก็ตอเมื่อ ถา (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r แลว y = z
r ไมเปนฟงกชันก็ตอเมื่อ มี (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r ซึ่ง y ≠ z
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (17)

18. การตรวจสอบฟงกชัน
1. กรณี r เขียนแบบแจกแจงสมาชิก
ถามีสมาชิกตัวหนาของคูอันดับ ซึ่งเปนสมาชิกใน r จับคูกับสมาชิกตัวหลังของคูอันดับมากกวา 1 ตัว
ขึ้นไป r ไมเปนฟงกชัน
เชน r1 = {(a, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 4)}
จะได r1 ไมเปนฟงกชัน เพราะ b จับคูกับ 2 และ 3
r2 = {(p, 2), (q, 4), (r, 6)}
จะได r2 เปนฟงกชัน เพราะสมาชิกตัวหนาของคูอันดับทุกตัวจับคูกับสมาชิกตัวหลังเพียงตัวเดียว
เทานั้น
2. กรณี r วาดเปนรูปกราฟ
ใหลากเสนตรงตั้งฉากกับแกน x ถามีกรณีที่เสนตรงที่ลากตั้งฉากกับแกน x ตัดกับกราฟของ r เกินเกิน
1 จุดขึ้นไป r ไมเปนฟงกชัน
y r1
เชน เนื่องจากมีกรณีท่เสนตรงที่ตั้งฉากกับแกน x ตัดกับกราฟ r
ี
เกิน 1 จุด
ดังนั้น r1 ไมเปนฟงกชัน
x
y
เนื่องจากไมมีกรณีที่เสนตรงที่ตั้งฉากกับแกน x ตัดกับกราฟ
r เกิน 1 จุด
ดังนั้น r2 เปนฟงกชัน
x
r2
ตัวอยางที่ 4 จํานวนในขอใดตอไปนี้เปนสมาชิกของโดเมนของฟงกชัน f = (x, y)|y = 2 x + 2x - 1
x + 3x + 2 x 2 - 1
1) -2 2) -1 *3) 0 4) 1
คณิตศาสตร (18)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

19. ตัวอยางที่ 5 ให A = {1, 99} ความสัมพันธใน A ในขอใดไมเปนฟงกชัน
1) เทากับ 2) ไมเทากับ *3) หารลงตัว 4) หารไมลงตัว
ตัวอยางที่ 6 จากความสัมพันธ r ที่แสดงดวยกราฟดังรูป
y
3
2
1
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-2
-3
ขอใดตอไปนี้ถกตอง
ู
1) r เปนฟงกชันเพราะ (1, 1), (2, 2) และ (3, 3) อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน
2) r เปนฟงกชันเพราะมีจํานวนจุดเปนจํานวนจํากัด
*3) r ไมเปนฟงกชันเพราะมีจุด (3, 3) และ (3, -1) อยูบนกราฟ
4) r ไมเปนฟงกชันเพราะมีจด (1, 1) และ (-1, 1) อยูบนกราฟ
ุ
ฟงกชันประเภทตางๆ
ฟงกชันเชิงเสน (Linear Function) คือ ฟงกชันที่อยูในรูป f(x) = ax + b เมื่อ a, b ∈ R
ฟงกชันคงที่ (Constant Function) คือ ฟงกชันเชิงเสนที่มี a = 0 กราฟของฟงกชันจะเปนเสนตรง
ขนานกับแกน X
ฟงกชันกําลังสอง (Quadratic Function) คือ ฟงกชันที่อยูในรูป f(x) = ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c ∈ R
และ a ≠ 0
ถา a > 0 กราฟหงาย มีจุดวกกลับเปนจุดต่ําสุดของฟงกชัน และถา a < 0 กราฟคว่ํา มีจุดวกกลับเปน
จุดสูงสุดของฟงกชัน
 b 
ถารูปทั่วไปของสมการ คือ f(x) = ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c ∈ R จุดวกกลับอยูที่  -2a , f  -b   หรือ
  
 2a 
 

 b
-2a , 4ac - b2 


 4a  
ถารูปทั่วไปของสมการ คือ f(x) = a(x - h)2 + k เมื่อ a, k ∈ R และ a ≠ 0 จุดวกกลับอยูที่ (h, k)
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (19)

20. การแกสมการโดยใชกราฟ
1. ในกรณีที่กราฟไมตัดแกน x จะไมมีคําตอบของสมการที่เปนจํานวนจริง
2. กราฟของ y = a(x + c)2 เมื่อ c > 0 จะตัดแกน x ที่จุด (-c, 0) สมการมีคําตอบเดียว คือ x = -c
กราฟของ y = a(x - c)2 เมื่อ c > 0 จะตัดแกน x ที่จุด (c, 0) สมการมีคําตอบเดียว คือ x = c
2
3. นอกเหนือจากนี้กราฟตัดแกน x สองจุด โดยพิจารณาจากการแกสมการ หรือสูตร x = -b ± b - 4ac 2a
ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล (Exponential Function) คือ ฟงกชันที่อยูในรูป y = a x เมื่อ a > 0 และ a ≠ 1
ฟงกชันคาสัมบูรณ (Absolute Value Function) คือ ฟงกชันที่อยูในรูป y = |x - a| + c เมื่อ a, c ∈ R
ฟงกชนขั้นบันได (Step Function) คือ ฟงกชันที่มโดเมนเปนสับเซตของ R และมีคาฟงกชันคงตัวเปน
ั ี
ชวงๆ มากกวาสองชวง กราฟของฟงกชันจะมีรูปคลายบันได
ตัวอยางที่ 7 คาของ a ที่ทําใหกราฟของฟงกชัน y = a(2x) ผานจุด (3, 16) คือขอใดตอไปนี้
*1) 2 2) 3 3) 4 4) 5
ตัวอยางที่ 8 ทุก x ในชวงใดตอไปนี้ที่กราฟของสมการ y = -4x2 - 5x + 6 อยูเหนือแกน x
*1)  - 2 , - 1 

 3 3
 2)  - 5 , - 3 

 2 2
 3)  1 , 6 

4 7
 4)  1 , 3 

2 2

ตัวอยางที่ 9 กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริงบวก ถากราฟของฟงกชัน y1 = 1 + ax และ y2 = 1 + bx มี
ลักษณะดังแสดงในภาพตอไปนี้
y
x y1 = 1 + a x
y2 = 1 + b
2
1
x
0
ขอใดตอไปนี้เปนจริง
1) 1 < a < b 2) a < 1 < b *3) b < 1 < a 4) b < a < 1
คณิตศาสตร (20)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

21. ตัวอยางที่ 10 ถาเสนตรง x = 3 เปนเสนสมมาตรของกราฟของฟงกชัน f(x) = -x2 + (k + 5)x + (k2 - 10)
เมื่อ k เปนจํานวนจริง แลว f มีคาสูงสุดเทากับขอใดตอไปนี้
1) -4 *2) 0 3) 6 4) 14
ตัวอยางที่ 11 กําหนดให f(x) = x2 - 2x - 15 ขอใดตอไปนี้ผิด
1) f(x) ≥ -17 ทุกจํานวนจริง x
2) f(-3 - 2 - 3 ) > 0
3) f(1 + 3 + 5 ) = f(1 - 3 - 5 )
*4) f(-1 + 3 + 5 ) > f(-1 - 3 - 5 )
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (21)

22. เลขยกกําลัง
สมบัตของเลขยกกําลัง
ิ
ให a และ b เปนจํานวนจริงใดๆ โดยที่ m และ n เปนจํานวนเต็มบวก และ k เปนจํานวนเต็ม
1. am ⋅ an = am+n
m
2. a n = am-n
a
3. (am)n = amn
4. (am ⋅ bn)k = amk ⋅ bnk
 k  mk
5. am  = a nk , b ≠ 0


 bn 
 b
6. a -n = 1 , a ≠ 0
an
7. a0 = 1, a ≠ 0
เลขยกกําลังที่มเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะ
ี
บทนิยาม เมื่อ a เปนจํานวนจริงบวก และ n เปนจํานวนที่มากกวา 1
a1/n = n a
บทนิยาม กําหนด a เปนจํานวนจริง m และ n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 ที่ ห.ร.ม ของ m และ n
เทากับ 1
n a m = am/n
สมการในรูปเลขยกกําลัง
ให a และ b เปนจํานวนจริงบวกที่ไมเทากับ 1 และ m, n เปนจํานวนตรรกยะ
จะไดวา 1. am = an ก็ตอเมื่อ m = n
2. am = bm ก็ตอเมื่อ m = 0 และ a, b ≠ 0
 1/2 
ตัวอยางที่ 1 คาของ (-2)2 +  8 + 2 2  เทากับขอใดตอไปนี้

 32 

1) -1 2) 1 *3) 3 4) 5
คณิตศาสตร (22)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

23. 4
8   16  1/ x
ตัวอยางที่ 2 ถา 125  =  625  แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

   
 
1) 3
4 *2) 2
3 3) 32
4
4) 3
ตัวอยางที่ 3 ขอใดตอไปนี้ผิด
1) (24)30 < 220 ⋅ 330 ⋅ 440 2) (24)30 < 230 ⋅ 320 ⋅ 440
*3) 220 ⋅ 340 ⋅ 430 < (24)30 4) 230 ⋅ 340 ⋅ 420 < (24)30
ตัวอยางที่ 4 ( 18 + 2 3 - 125 - 3 4 4 ) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
*1) -10 2) 10
3) 2 5 - 5 2 4) 5 2 - 2 5
 2
ตัวอยางที่ 5


5 - 2  มีคาเทากับขอใดตอไปนี้


 6 15 

3
*1) 10 2) 107 3) 5 -2 4) 6 -2
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (23)

24. อสมการในรูปเลขยกกําลัง
ให a เปนจํานวนจริงบวกที่ไมเทากับ 1 และ m, n เปนจํานวนตรรกยะ
จะไดวา 1. am < an และ a > 1 จะไดวา m < n
2. am < an และ 0 < a < 1 จะไดวา m > n
ตัวอยางที่ 6 เซตคําตอบของอสมการ 4(2x2-4x-5) ≤ 32 คือเซตในขอใดตอไปนี้
1
1) - 5 , 5 
 2 2
 
2) - 5 , 1
 2 
 
3) - 1 , 1
 2 
 
*4) - 1 , 5 
 2 2
 
ตัวอยางที่ 7 ถา 8x - 8(x+1) + 8(x+2) = 228 แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) 1 3 *2) 2
3 3) 34 4) 5
3
3x
ตัวอยางที่ 8 ถา  3 + 3  = 16 แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

 8
81
*1) - 9 4 2) - 92 1
3) - 9 1
4) 9
ตัวอยางที่ 9 ขอใดตอไปนีผิด
้
1) 0.9 + 10 < 0.9 + 10 *2) ( 0.9 )( 4 0.9 ) < 0.9
3) ( 0.9 )( 3 1.1 ) < ( 1.1 )( 3 0.9 ) 4) 300 125 < 200 100
คณิตศาสตร (24)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

25. ตัวอยางที่ 10 ถา 4a = 2 และ 16-b = 1 แลว a + b มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 0.75)
4
(x2) (4x)
ตัวอยางที่ 11 คาของ x ที่สอดคลองกับสมการ 2 = 2 4 เทากับขอใดตอไปนี้
4
1) 2 2) 3 *3) 4 4) 5
ตัวอยางที่ 12 อสมการในขอใดตอไปนี้เปนจริง
1) 21000 < 3600 < 10300 2) 3600 < 21000 < 10300
*3) 3600 < 10300 < 21000 4) 10300 < 21000 < 3600
5 6
ตัวอยางที่ 13 3 -32 + 2 3/2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
27 (64)
*1) - 13
24 2) - 56
2
3) 3 4) 19
24
ตัวอยางที่ 14 ( 2 + 8 + 18 + 32 )2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) 60 2) 60 2 3) 100 2 *4) 200
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (25)

26. อัตราสวนตรีโกณมิติ
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ถา ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมี ACB เปนมุมฉาก c แทนความยาวของดานตรงขามมุมฉาก
ˆ
a และ b แทนความยาวของดานประกอบมุมฉากจะไดความสัมพันธระหวางความยาวของดานทั้งสามของรูป
สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังนี้
B
c a c2 = a2 + b2
A b C
อัตราสวนตรีโกณมิติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
บทนิยาม กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ความยาวของดานตรงขามมุม A
B ไซน (sine) ของมุม A = sin A =
ความยาวของดานตรงขามมุมฉาก
c a โคไซน (cosine) ของมุม A = cos A = ความยาวของดานประชิดมุม A
ความยาวของดานตรงขามมุมฉาก
A b C แทนเจนต (tangent) ของมุม A = tan A = ความยาวของดานตรงขามมุม A
ความยาวของดานประชิดมุม A
sin A = a , cos A = b , tan A = a
c c b
และยังมีอัตราสวนอื่นๆ อีก คือ
1 1 1
1. csc A = sin A , sec A = cos A , cot A = tan A
2. tan A = cos A , cot A = cos A
sin
A sin
A
3. sin2 A + cos2 A = 1
4. tan2 A + 1 = sec2 A
5. 1 + cot2 A = csc2 A
คณิตศาสตร (26)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

27. ความสัมพันธระหวางมุม A กับมุม 90° - A ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
C
A B
sin A = cos (90° - A), csc A = sec (90° - A)
cos A = sin (90° - A), sec A = csc (90° - A)
tan A = cot (90° - A), cot A = tan (90° - A)
อัตราสวนตรีโกณมิติของมุม 30°, 45° และ 60°
มุม sin cos tan csc sec cot
1 3 1 2
30° 2 3 2 3 3
2
2 2 2 = 2 2 = 2
45° 1 2 2 1
2 2
3 1 2 1
60° 2 3 3 2 3
2
การเปรียบเทียบมาตรการวัดมุมระบบอังกฤษและระบบเรเดียน
360° = 2π เรเดียน 180° = π เรเดียน 90° = π เรเดียน
2
60° = π เรเดียน
3 45° = π เรเดียน
4
π เรเดียน
30° = 6
ตัวอยางที่ 1 จากรูป ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
C *1) sin 21° = cos 69°
2) sin 21° = cos 21°
A 21° B 3) cos 21° = tan 21°
4) tan 21° = cos 69°
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (27)

28. ตัวอยางที่ 2 ขอใดตอไปนีถูกตอง
้
*1) sin 30° < sin 45° 2) cos 30° < cos 45°
3) tan 45° < cot 45° 4) tan 60° < cot 60°
ตัวอยางที่ 3 กําหนดใหตาราง A ตาราง B และตาราง C เปนตารางหาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมขนาดตางๆ
ดังนี้
ตาราง A ตาราง B ตาราง C
θ sin θ θ cos θ θ tan θ
40° 0.643 40° 0.766 40° 0.839
41° 0.656 41° 0.755 41° 0.869
42° 0.669 42° 0.743 42° 0.900
ถารูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม B เปนมุมฉาก มุม C มีขนาด 41° และสวนสูง BX ยาว 1 หนวย แลว
ความยาวของสวนของเสนตรง AX เปนดังขอใดตอไปนี้
B 1) ปรากฏอยูในตาราง A
2) ปรากฏอยูในตาราง B
*3) ปรากฏอยูในตาราง C
A C 4) ไมปรากฏอยูในตาราง A, B และ C
X
ตัวอยางที่ 4 ถารูปสามเหลี่ยมดานเทารูปหนึ่งมีความสูง 1 หนวย แลวดานของรูปสามเหลี่ยมรูปนี้ยาวเทากับ
ขอใดตอไปนี้
1) 23 หนวย *2) 2 3 3 หนวย 4
3) 3 หนวย 4) 3 หนวย
2
คณิตศาสตร (28)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

29. ตัวอยางที่ 5 กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม C เปนมุมฉาก และ cos B = 2 ถาดาน BC ยาว
3
1 หนวย แลว พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เทากับขอใดตอไปนี้
1) 55 ตารางหนวย *2) 45 ตารางหนวย
3) 35 ตารางหนวย 4) 25 ตารางหนวย
ตัวอยางที่ 6 กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาซึ่งมีพ้นที่เทากับ 12 หนวย และ tan ABD = 1
ื ˆ 3
ถา AE ตั้งฉากกับ BD ที่จุด E แลว AE ยาวเทากับขอใดตอไปนี้
10
1) 3 หนวย 2) 2 510 หนวย
10
3) 2 หนวย *4) 3 510 หนวย
ตัวอยางที่ 7 C พิจารณารูปสามเหลี่ยมตอไปนี้ โดยที่ CFE , CAB , AEB
ˆ ˆ ˆ
และ EDB ตางเปนมุมฉาก ขอใดตอไปนีผิด
ˆ ้
1) sin ( 1 ) = sin ( 5 )
ˆ ˆ
2) cos ( 3 ) = cos ( 5 )
ˆ ˆ
*3) sin ( 2 ) = cos ( ˆ )
ˆ 4
1 E
F 2 3 4) cos ( 2 ) = sin ( 3 )
ˆ ˆ
4
A 5 B
D
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (29)

30. ลําดับและอนุกรม
ลําดับ (Sequences)
บทนิยาม ลําดับ คือ ฟงกชันที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวก n ตัวแรก หรือโดเมนเปนเซต
ของจํานวนเต็มบวก
ลําดับที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวก n ตัวแรกเรียกวา ลําดับจํากัด (Finite Sequences)
ลําดับที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวก เรียกวา ลําดับอนันต (Infinite Sequences)
ลําดับเลขคณิต (Arithmetic Sequences)
บทนิยาม ลําดับเลขคณิต คือ ลําดับที่ผลตางซึ่งไดจากพจนที่ n + 1 ลบดวยพจนที่ n มีคาคงตัว
คาคงตัวนี้เรียกวา ผลตางรวม (Common difference)
1. เมื่อกําหนดใหพจนแรกของลําดับเลขคณิต คือ a1 และผลตางรวม คือ d โดยที่ d = an+1 - an
พจนท่ี n ของลําดับนี้คือ an = a1 + (n - 1)d
2. ลําดับเลขคณิต n พจนแรก คือ a, a + d, a + 2d, ..., a + (n - 1)d
ตัวอยางที่ 1 ลําดับเลขคณิตในขอใดตอไปนี้มีบางพจนเทากับ 40
1) an = 1 - 2n 2) an = 1 + 2n *3) an = 2 - 2n 4) an = 2 + 2n
1 1 1
ตัวอยางที่ 2 พจนที่ 31 ของลําดับเลขคณิต - 20 , - 30 , - 60 , ... เทากับขอใดตอไปนี้
5
1) 12 2) 13 *3) 209 7
4) 15
30
ตัวอยางที่ 3 ถา a1, a2, a3, ... เปนลําดับเลขคณิต ซึ่ง a30 - a10 = 30 แลว ผลตางรวมของลําดับเลขคณิตนี้
มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 1.25 *2) 1.5 3) 1.75 4) 2.0
คณิตศาสตร (30)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

31. ลําดับเรขาคณิต (Geometric Sequences)
บทนิยาม ลําดับเรขาคณิต คือ ลําดับที่อัตราสวนของพจนที่ n + 1 ตอพจนที่ n เปนคาคงตัว
คาคงตัวนี้เรียกวา อัตราสวนรวม (Common ration)
a +1
1. เมื่อกําหนดพจนแรกของลําดับเรขาคณิตเปน a1 และอัตราสวนรวม คือ r โดยที่ r = na
n
พจนท่ี n ของลําดับเรขาคณิตนี้ คือ an = a1 ⋅ rn-1
2. ลําดับเรขาคณิต n พจนแรก คือ a, ar, ar2, ..., arn-1
ตัวอยางที่ 4 กําหนดให a1, a2, a3 เปนลําดับเรขาคณิต โดยที่ a1 = 2 และ a3 = 200 ถา a2 คือคาในขอใดขอหนึ่ง
ตอไปนี้แลวขอดังกลาวคือขอใด
*1) -20 2) -50 3) 60 4) 100
ตัวอยางที่ 5 กําหนดให a1, a2, a3, ... เปนลําดับเรขาคณิต พิจารณาลําดับสามลําดับตอไปนี้
ก. a1 + a3 , a2 + a4 , a3 + a5 , ...
ข. a1a2 , a2a3 , a3a4 , ...
ค. a1 , a 1 , a 1 , ...
1 2 3
ขอใดตอไปนีถูก
้
*1) ทั้งสามลําดับเปนลําดับเรขาคณิต 2) มีหนึ่งลําดับไมเปนลําดับเรขาคณิต
3) มีสองลําดับไมเปนลําดับเรขาคณิต 4) ทั้งสามลําดับไมเปนลําดับเรขาคณิต
ตัวอยางที่ 6 พจนที่ 16 ของลําดับเรขาคณิต 625 , 1 ,
1 1
125 , ... เทากับขอใดตอไปนี้
125 5
1) 25 5 2) 125
*3) 125 5 4) 625
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (31)

32. ตัวอยางที่ 7 ลําดับในขอใดตอไปนี้ เปนลําดับเรขาคณิต
*1) an = 2n ⋅ 32n 2) an = 2n + 4n 3) an = 3n2 4) an = (2n)n
อนุกรมเลขคณิต (Arinmetic Series)
เมื่อ a1, a2, a3, ..., an เปนลําดับเลขคณิต
จะไดวา a1 + a2 + a3 + ... + an เปนอนุกรมเลขคณิต
ให Sn แทนผลบวก n พจนแรกของอนุกรม
คือ S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
M M
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an
ผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต
Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2
n [a + a ]
หรือ Sn = 2 1 n
ตัวอยางที่ 8 คาของ 1 + 6 + 11 + 16 + ... + 101 เทากับขอใดตอไปนี้
1) 970 2) 1020 3) 1050 *4) 1071
ตัวอยางที่ 9 ถา a1, a2, a3, ... เปนลําดับเลขคณิต ซึ่ง a2 + a3 + ... + a9 = 100
แลว S10 = a1 + a2 + ... + a10 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) 120 *2) 125 3) 130 4) 135
คณิตศาสตร (32)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

33. ตัวอยางที่ 10 กําหนดให S = {101, 102, 103, ... , 999} ถา a เทากับผลบวกของจํานวนคี่ทั้งหมดใน S และ b
เทากับผลบวกของจํานวนคูทั้งหมดใน S แลว b - a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
*1) -550 2) -500 3) -450 4) 450
อนุกรมเรขาคณิต (Geometrics Series)
เมื่อ a1, a2, a3, ..., an เปนลําดับแรขาคณิต
จะไดวา a1 + a2 + a3 + ... + an เปนอนุกรมเรขาคณิต

ผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต
a (1 - r n )
Sn = 1 1 - r เมื่อ r ≠ 1
ตัวอยางที่ 11 ขอใดตอไปนี้เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี 100 พจน
1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + ... + 199
2) 1 + 1 + 5 + ... + (2n1- 1) + ... + 199
3
1 1
3) 1 + 2 + 4 + ... + (2n-1) + ... + 2199
1 1 1 1
*4) 5 + 125 + 3125 + ... + 2n-1 + ... + 1991
5 5
ตัวอยางที่ 12 ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต 1 - 2 + 4 - 8 + ... + 256 เทากับขอใดตอไปนี้
1) -171 2) -85 3) 85 *4) 171
ตัวอยางที่ 13 กําหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต ซึ่งมีอัตราสวนรวมเทากับ 2
ถา S10 - S8 = 32 แลวพจนที่ 9 ของอนุกรมนี้เทากับขอใดตอไปนี้
1) 163 2) 20 3 3) 263 *4) 323
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (33)

34. ความนาจะเปน
กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ
1. กฎการบวก ถาการทํางานอยางหนึ่งแบงออกเปน k กรณี
โดยที่กรณีที่ 1 มีจํานวน n1 วิธี
กรณีที่ 2 มีจํานวน n2 วิธี
กรณีที่ 3 มีจํานวน n3 วิธี
M M
กรณีที่ k มีจํานวน nk วิธี
ดังนั้น จํานวนวิธในการทํางานทั้งหมดจะเทากับ n1 + n2 + n3 + ... + nk วิธี
ี
2. กฎการคูณ ถาการทํางานอยางหนึ่งแบงออกเปน k ขั้นตอน
โดยที่ขั้นตอนที่ 1 มีจํานวน n1 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 มีจํานวน n2 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 มีจํานวน n3 วิธี
M M
ขั้นตอนที่ k มีจํานวน nk วิธี
ดังนั้น จํานวนวิธีในการทํางานทั้งหมดจะเทากับ n1 × n2 × n3 × ... × nk วิธี
แฟกทอเรียล
นิยาม กําหนดให n เปนจํานวนเต็มที่มีคามากกวาหรือเทากับ 0 ขึ้นไป
n! = n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) × ... × 3 × 2 × 1
เชน 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
* 0! = 1
ตัวอยางที่ 1 ในการคัดเลือกคณะกรรมการหมูบานซึ่งประกอบดวยประธานฝายชาย 1 คน ประธานฝายหญิง
1 คน กรรมการฝายชาย 1 คน และกรรมการฝายหญิง 1 คน จากผูสมัครชาย 4 คน และหญิง
8 คน มีวิธการเลือกคณะกรรมการไดกี่วิธี
ี
1) 168 วิธี 2) 324 วิธี *3) 672 วิธี 4) 1344 วิธี
คณิตศาสตร (34)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

35. ตัวอยางที่ 2 มาลีตองการเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C โดยตองเดินทางผานไปยังเมือง B กอน จากเมือง A
ไปเมือง B มาลีสามารถเลือกเดินทางโดยรถยนต รถไฟ หรือเครื่องบินได แตจากเมือง B ไป
เมือง C สามารถเดินทางไปทางเรือ รถยนต รถไฟ หรือเครื่องบิน ขอใดตอไปนี้คือจํานวนวิธีใน
การเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C ที่จะตองเดินทางโดยรถไฟเปนจํานวน 1 ครั้ง
*1) 5 2) 6 3) 8 4) 9
ตัวอยางที่ 3 ครอบครัวหนึ่งมีพี่นอง 6 คน เปนชาย 2 คน หญิง 4 คน จํานวนวิธีที่จะจัดใหคนทั้ง 6 คนยืนเรียงกัน
เพื่อถายรูป โดยใหชาย 2 คนยืนอยูริมสองขางเสมอเทากับขอใดตอไปนี้
1) 12 วิธี 2) 24 วิธี 3) 36 วิธี *4) 48 วิธี
การทดลองสุม คือ การทดลองใดๆ ซึ่งทราบวาผลลัพธอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถทํานายผล
ลวงหนาได
ความนาจะเปน คือ อัตราสวนระหวางจํานวนสมาชิกของเหตุการณที่สนใจกับจํานวนสมาชิกของแซมเปลสเปซ
เขียนแทนดวย P(E)
ความนาจะเปนของเหตุการณ E คือ P(E) = n(E)
n(S)
โดยที่ n(E) คือ จํานวนของเหตุการณที่สนใจ
n(S) คือ จํานวนเหตุการณที่เปนไปไดทั้งหมด
สมบัตของความนาจะเปน
ิ
1. 0 ≤ P(E) ≤ 1
2. P(φ) = 0, P(S) = 1
3. P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 I E2)
4. P(E1 U E2 U E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) - P(E1 I E2) - P(E1 I E3) - P(E2 I E3)
+ P(E1 I E2 I E3)
5. P(E) = 1 - P(E′) เมื่อ P(E′) แทนความนาจะเปนของเหตุการณที่ไมตองการ
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (35)

36. ตัวอยางที่ 4 พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. การทดลองสุมเปนการทดลองที่ทราบวาผลลัพธอาจเปนอะไรไดบาง
ข. แตละผลลัพธของการทดลองสุมมีโอกาสเกิดขึ้นเทาๆ กัน
ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง
1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด
ตัวอยางที่ 5 โรงเรียนแหงหนึ่งมีรถโรงเรียน 3 คัน นักเรียน 9 คน กําลังเดินไปขึ้นรถโรงเรียนโดยสุม ความ
นาจะเปนที่ไมมีนักเรียนคนใดขึ้นรถคันแรกเทากับขอใดตอไปนี้
9 9 3 3
1)  1 
 
3
*2)  2 
 
3
1
3)  9 
 
2
4)  9 
 
ตัวอยางที่ 6 โรงแรมแหงหนึ่งมีหองวางชั้นที่หนึ่ง 15 หอง ชั้นที่สอง 10 หอง ชั้นที่สาม 25 หอง ถาครูสมใจ
ตองการเขาพักในโรงแรมแหงนี้โดยวิธีสุมแลว ความนาจะเปนที่ครูสมใจจะไดเขาพักหองชั้นที่สอง
ของโรงแรมเทากับขอใดตอไปนี้
1) 101 *2) 5 1 3
3) 10 4) 12
ตัวอยางที่ 7 ในการหยิบบัตรสามใบ โดยหยิบทีละใบจากบัตรสี่ใบ ซึ่งมีหมายเลข 0, 1, 2 และ 3 กํากับ ความ
นาจะเปนที่จะไดผลรวมของตัวเลขบนบัตรสองใบแรกนอยกวาตัวเลขบนบัตรใบที่สามเทากับขอใด
*1) 14 2) 3 4 3) 1 2 4) 23
คณิตศาสตร (36)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

37. ตัวอยางที่ 8 กลอง 12 ใบ มีหมายเลขกํากับเปนเลข 1, 2, ... , 12 และกลองแตละใบบรรจุลูกบอล 4 ลูก เปน
ลูกบอลสีดํา สีแดง สีขาว และสีเขียว ถาสุมหยิบลูกบอลจากกลองแตละใบ ใบละ 1 ลูก แลว
ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกบอลสีแดงจากกลองหมายเลขคี่ และไดลูกบอลสีดําจากกลอง
หมายเลขคูเทากับขอใดตอไปนี้
2 12 12 4
 1 
1)  12  *2)  1 
  3)  1 
   1 
4)  12 
   4 2  
ตัวอยางที่ 9 กําหนดให A = {1, 2, 3}
B = {5, 6, ... , 14}
และ r = {(m, n) | m ∈ A และ n ∈ B}
ถาสุมหยิบคูอันดับ 1 คู จากความสัมพันธ r แลวความนาจะเปนที่จะไดคูอันดับ (m, n) ซึ่ง 5 หาร
n แลวเหลือเศษ 3 เทากับขอใดตอไปนี้
1) 15 1 1
2) 10 *3) 51 4) 53
ตัวอยางที่ 10 ชางไฟคนหนึ่งสุมหยิบบันได 1 อันจากบันได 9 อัน ซึ่งมีความยาว 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 และ
12 ฟุต แลวนํามาพาดกับกําแพง โดยใหปลายขางหนึ่งหางจากกําแพง 3 ฟุต ความนาจะเปนที่
บันไดจะทํามุมกับพื้นราบนอยกวา 60° มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) 9 1 *2) 92 3) 93 4) 94
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (37)

38. ตัวอยางที่ 11 ถาสุมตัวเลขหนึ่งตัวจากขอมูลชุดใดๆ ซึ่งประกอบดวยตัวเลข 101 ตัว แลวขอใดตอไปนี้ถูก
*1) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมีคานอยกวาคามัธยฐาน < 1 2
2) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมีคานอยกวาคาเฉลี่ยเลขคณิต < 1
2
3) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมีคานอยกวาคามัธยฐาน > 2 1
4) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมีคานอยกวาคาเฉลี่ยเลขคณิต > 1
2
คณิตศาสตร (38)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

39. สถิติ
สถิติเชิงพรรณนา (Descriptive) คือ การวิเคราะหขั้นตนที่มุงวิเคราะห เพื่ออธิบายลักษณะกวางๆ ของ
ขอมูลชุดนั้น เชน การวัดคาแนวโนมเขาสูสวนกลาง คาวัดการกระจาย การแจกแจงความถี่ของขอมูล และการ
นําเสนอผลสรุปดวย ตาราง แผนภูมิแทง เพื่ออธิบายขอมูลชุดนั้น
สถิติเชิงอนุมาน (Inferential Statistice) คือ การวิเคราะหขอมูลที่เก็บรวบรวมไดจากตัวอยางเพื่อ
อางอิงไปถึงขอมูลทั้งหมด
องคประกอบของสถิติ
1. การเก็บรวบรวมขอมูล เชน การสอบถาม การสังเกต การทดลอง เปนตน
2. การวิเคราะหขอมูล โดยขอมูลที่นํามาวิเคราะหเพียงสวนหนึ่ง เรียกวา กลุมตัวอยางและขอมูลที่เลือก
มาจากขอมูลทั้งหมด เรียกวา ประชากร
3. การนําเสนอขอสรุป
ขอมูล คือ ขอความจริงหรือสิ่งที่บงบอกถึงสภาพ สถานการณหรือปรากฏการณ โดยที่ขอมูลอาจเปน
ตัวเลขหรือขอความก็ได
สารสนเทศหรือขาวสาร คือ ขอมูลที่ผานการวิเคราะหเบื้องตนหรือขั้นสูงแลว
ประเภทของขอมูล
1. แบงตามวิธีเก็บ
1.1 ขอมูลปฐมภูมิ คือ ขอมูลที่ผูใชเก็บรวบรวมเอง เชน การสํามะโน การสํารวจกลุมตัวอยาง
1.2 ขอมูลทุติยภูมิ คือ ขอมูลที่ไดจากผูอื่นเก็บรวบรวมไวแลว เชน รายงาน บทความ เปนตน
2. แบงตามลักษณะของขอมูล
2.1 ขอมูลเชิงปริมาณ คือ ขอมูลที่ใชแทนขนาดหรือปริมาณซึ่งวัดออกมาเปนจํานวนที่สามารถ
นํามาใชเปรียบเทียบกันไดโดยตรง
2.2 ขอมูลเชิงคุณภาพ คือ ขอมูลที่ไมสามารถวัดออกมาไดโดยตรง แตอธิบายลักษณะหรือคุณสมบัติ
ในเชิงคุณภาพได
ตัวอยางที่ 1 ขอใดตอไปนีเปนเท็จ
้
1) สถิติเชิงพรรณนาคือสถิติของการวิเคราะหขอมูลขั้นตนที่มุงอธิบายลักษณะกวางๆ ของขอมูล
2) ขอมูลที่เปนหมายเลขที่ใชเรียกสายรถโดยสารประจําทางเปนขอมูลเชิงคุณภาพ
*3) ขอมูลปฐมภูมิคือขอมูลที่ผูใชเก็บรวบรวมจากแหลงขอมูลโดยตรง
4) ขอมูลที่นักเรียนรวบรวมจากรายงานตางๆ ที่ไดจากหนวยงานราชการเปนขอมูลปฐมภูมิ
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (39)

40. การวิเคราะหขอมูลเบื้องตน
ขอมูลเชิงปริมาณที่ใชในการวิเคราะหทางสถิติมีสองประเภท คือ ขอมูลที่ไมไดแจกแจงความถี่ ซึ่งจะเห็นคา
ของขอมูลทุกตัวและขอมูลที่แจกแจงความถี่ จะเห็นเปนอันตรภาคชั้น
ความกวางของอันตรภาพชั้น = ขอบบน - ขอบลาง
จุดกึ่งกลางอันตรภาคชั้น = (ขอบบน + ขอบลาง) ÷ 2
ฮิสโทแกรม คือ รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากวางเรียงตอกันบนแกนนอน โดยมีแกนนอนแทนคาของตัวแปร ความกวาง
ของสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนความกวางของอันตรภาคชั้น และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนความถี่ของแตละ
อันตรภาคชั้น ซึ่งถาความกวางของทุกชั้นเทากัน ความสูงของรูปสี่เหลี่ยมจะแสดงความถี่
แผนภาพตน-ใบ (Stem-and-Leaf Plot) เปนวิธีการสรางแผนภาพเพื่อแจกแจงความถี่และวิเคราะห
ขอมูลเบื้องตน โดยเริ่มจากการนําขอมูลมาแบงกลุม โดยใชเลขหลักสิบ แลวนํามาสรางเปนลําตน (Stem) แลวใช
เลขโดดในหลักหนวยมาสรางเปนใบ (Leaf)
การวัดตําแหนงของขอมูล : มีสองขั้นตอน คือ การหาตําแหนงและการหาคา
1. ควอรไทล (Quartiles) คือ การแบงขอมูลออกเปน 4 สวนเทาๆ กัน โดย Q1, Q2, และ Q3 คือ
คะแนนของตัวแบงทั้ง 3 ตัว
2. เดไซล (Deciles) คือ การแบงขอมูลออกเปน 10 สวนเทาๆ กัน โดย D1, D2, ..., D9 คือ คะแนนของ
ตัวแบงทั้ง 9 ตัว
3. เปอรเซ็นไทล (Percentiles) คือ การแบงขอมูลออกเปน 100 สวนเทาๆ กัน มี P1, ..., P99
คือ คะแนนของตัวแบงทั้ง 99 ตัว
การหาตําแหนง : ตําแหนงของ Qr คือ r(N 4+ 1)
ตําแหนงของ Dr คือ r(N10 1)
+
ตําแหนงของ Pr คือ r(N + 1)
100
การหาคา : ใชการเทียบบัญญัติไตรยางค
หมายเหตุ เมื่อหาคาขอมูลที่มีคาสูงสุด ต่ําสุด Q1, Q2 และ Q3 สามารถนํามาสรางแผนภาพกลอง (Box-
and-Whisker Plot หรือ Box-Plot) โดยแผนภาพจะทําใหเราทราบถึงลักษณะการกระจายของขอมูล
การวัดแนวโนมเขาสูสวนกลาง
1. คาเฉลี่ยเลขคณิต, Mean, x
N
∑ xi
x ของขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่ x= N i=1
k
∑ fi x i
x ของขอมูลที่แจกแจงความถี่ x= i=1
N
คณิตศาสตร (40)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

41. N
ขอสังเกต 1. ∑ x i = N x
i=1
N
2. ∑ (x i - x) = 0
i=1
N
3. ∑ (x i - a ) 2 มีคานอยที่สุดเมื่อ a = x
i=1
4. ถา x1, x2, x3, ... , xn มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน x
x1 + k, x2 + k, x3 + k, ... , xn + k มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน x + k
x1k, x2k, x3k, ..., xnk มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน x k
N x +N x
5. x รวม = 1N 1 + N2 2
2 2
2. มัธยฐาน, Median, Me
Me สําหรับขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่
Me = คาของขอมูลตําแหนงตรงกลาง (ตัวที่ N 2 1 ) เมื่อเรียงลําดับขอมูลแลว
+
ขอสังเกต 1. การหามัธยฐานมีสองขั้นตอน คือ หาตําแหนง และหาคาโดยใชสูตรหรือการเทียบบัญญัติไตรยางค
N
2. ∑ | x i - a | มีคานอยสุดเมื่อ a = Me
i=1
3. ฐานนิยม, Mode, Mo
Mo สําหรับขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่
Mo = คาของขอมูลที่มีความถี่มากที่สุด
ขอสังเกต ใชไดกับขอมูลเชิงคุณภาพ
ตัวอยางที่ 2 สวนสูงของพี่นอง 2 คน มีพิสัยเทากับ 12 เซนติเมตร มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 171 เซนติเมตร
ขอใดตอไปนี้เปนสวนสูงของพี่หรือนองคนใดคนหนึ่ง
1) 167 เซนติเมตร 2) 172 เซนติเมตร
3) 175 เซนติเมตร *4) 177 เซนติเมตร
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (41)

42. ตัวอยางที่ 3 ขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวย 4, 9, 2, 7, 6, 5, 4, 6, 3, 4
ขอใดตอไปนีถูกตอง
้
1) คาเฉลี่ยเลขคณิต < ฐานนิยม < มัธยฐาน
*2) ฐานนิยม < มัธยฐาน < คาเฉลี่ยเลขคณิต
3) ฐานนิยม < คาเฉลี่ยเลขคณิต < มัธยฐาน
4) มัธยฐาน < ฐานนิยม < คาเฉลี่ยเลขคณิต
ตัวอยางที่ 4 ความสูงในหนวยเซนติเมตรของนักเรียนกลุมหนึ่งซึ่งมี 10 คน เปนดังนี้
155, 157, 158, 158, 160, 161, 161, 163, 165, 166
ถามีนักเรียนเพิ่มขึ้นอีกหนึ่งคน ซึ่งมีความสูง 158 เซนติเมตร แลวคาสถิติใดตอไปนี้ไมเปลี่ยนแปลง
1) คาเฉลี่ยเลขคณิต 2) มัธยฐาน
3) ฐานนิยม *4) พิสัย
ตัวอยางที่ 5 การเลือกใชคากลางของขอมูลควรพิจารณาสิ่งตอไปนี้ ยกเวนขอใด
1) ลักษณะของขอมูล *2) วิธีจัดเรียงลําดับขอมูล
3) จุดประสงคของการนําไปใช 4) ขอดีและขอเสียของคากลางแตละชนิด
การวัดการกระจายของขอมูล
1. พิสัย (Range) Range = xmax - xmin
2. สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)
N 2 N 2
∑ (x i - x) ∑xi
S.D. = i=1 = i =1 2
N N -x
ขอสังเกต 1. ความแปรปรวน (Variance) = S.D.2 = S2
2. S.D. ≥ 0
3. S.D. = 0 ↔ x1 = x2 = ... = xn = x
4. ถา x1, x2, ..., xn มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2
x1 + k, x2 + k, ..., xn + k มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2
x1k, x2k, ..., xnk มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน S.D.|k| ความแปรปรวนเปน S.D.2k2
คณิตศาสตร (42)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

43. 5. The 95% Rule กลาววา มีจํานวนขอมูลที่อยูในชวง ( x - 2s, x + 2s) ประมาณ 95%
ของจํานวนขอมูลทั้งหมด
6. โดย The 95% Rule ไดวา s ≈ Range
4
ความสัมพันธของ x , Me และ Mo
x = Me = Mo x > Me > Mo x < Me < Mo
โคงปกติ โคงเบขวา โคงเบซาย
การสํารวจความคิดเห็น
1. ขอบเขตของการสํารวจ กําหนดดวยพื้นที่ ลักษณะผูใหขอมูล การมีสวนไดสวนเสียกับขอมูล

2. วิธีเลือกตัวอยาง การสุมตัวอยาง (Sampling) การเลือกตัวอยางแบบชั้นภูมิ การเลือกตัวอยางแบบ
หลายขั้นและการเลือกตัวอยางแบบกําหนดโควตา
3. การสรางแบบสํารวจความคิดเห็น แบบสํารวจที่ดีประกอบดวย ลักษณะของผูตอบที่คาดวามีผลตอ
การแสดงความคิดเห็น ความคิดเห็นของผูตอบในดานตางๆ และขอเสนอแนะ โดยตองไมเปนคําถามที่ชี้นํา และมี
จํานวนไมมากเกินไป ตลอดจนความสอดคลองของความรูของผูใหขอมูลกับเรื่องที่สอบถาม
4. การประมวลผลและวิเคราะหความคิดเห็น
1. รอยละของผูตอบแบบสํารวจความคิดเห็นในแตละดานที่เกี่ยวของ
2. ระดับความคิดเห็นเฉลี่ย
ตัวอยางที่ 6 ขอมูลชุดหนึ่งมีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 20 มัธยฐานเทากับ 25 และฐานนิยมเทากับ 30 ขอสรุปใด
ตอไปนี้ถูกตอง
*1) ลักษณะการกระจายของขอมูลเปนการกระจายที่เบทางซาย
2) ลักษณะการกระจายของขอมูลเปนการกระจายที่เบทางขวา
3) ลักษณะการกระจายของขอมูลเปนการกระจายแบบสมมาตร
4) ไมสามารถสรุปลักษณะการกระจายของขอมูลได
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (43)

44. ตัวอยางที่ 7 พิจารณาขอมูลตอไปนี้ 10, 5, 6, 9, 12, 15, 8, 18 คาของ P80 ใกลเคียงกับขอใดตอไปนีมากที่สุด
้
1) 15.1 2) 15.4 *3) 15.7 4) 16.0
ตัวอยางที่ 8 ในกรณีที่มีขอมูลจํานวนมาก การนําเสนอขอมูลในรูปแบบใดตอไปนี้ทาใหเห็นการกระจายของ
ํ
ขอมูลไดชัดเจนนอยที่สุด
1) ตารางแจกแจงความถี่ 2) แผนภาพตน-ใบ
3) ฮิสโทแกรม *4) การแสดงคาสังเกตทุกคา
ตัวอยางที่ 9 จากการสอบถามเยาวชนจํานวน 12 คน วาเคยฟงพระธรรมเทศนามาแลวจํานวนกี่ครั้ง ปรากฏผล
ดังแสดงในแผนภาพตอไปนี้
จํานวนเยาวชน
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 จํานวนครั้งที่เคยฟงพระธรรมเทศนา
มัธยฐานของขอมูลนี้คือขอใด
*1) 3 ครั้ง 2) 3.25 ครั้ง 3) 3.5 ครั้ง 4) 4 ครั้ง
ตัวอยางที่ 10 ขอใดตอไปนี้มีผลกระทบตอความถูกตองของการตัดสินใจโดยใชสถิติ ยกเวนขอใด
1) ขอมูล 2) สารสนเทศ 3) ขาวสาร *4) ความเชื่อ
คณิตศาสตร (44)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

45. เก็งขอสอบ O-NET
1. กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือเซต U = {a, b, c, d, e} และ A, B, C เปนเซตใดๆ ซึ่งเปนสับเซตใน U โดยมี
เงื่อนไข ดังนี้
n(A) = n(B) = n(C) = 3
n(A I B) = n(B I C) = n(A I C) = 2
และ n(A U B U C) = n(U)
ขอใดตอไปนีผิด
้
1) n[A U (B I C)] = 3 2) n(A U C) = 4
3) n[A I (B I C)] = 2 4) n(A I B I C) = 1
2. กําหนดให A = {1, 2, {3}} ขอใดตอไปนีผิด้
1) 1 ∈ A 2) {3} ∈ P(A)
3) {2, {3}} ⊂ A 4) {{1, 2}, {3}} ⊂ P(A)
3. กําหนดให a, b, c และ d เปนจํานวนจริงใดๆ โดยที่ 0 < a < b และ d < c < 0 จงพิจารณาขอความ
ตอไปนี้
ก. ac > bd
ข. a < d
c
b
1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด
3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด
4. กําหนดให A คือ เซตคําตอบของอสมการ |2x + 1| ≤ 5
และ B คือ เซตคําตอบของอสมการ |x + 3| ≥ 2
ขอใดตอไปนี้ คือเซตคําตอบของ A I B
1) [-5, -1] 2) [-1, 2]
3) [-5, 2] 4) [-1, 5]
5. ถา x - 1 หารพหุนาม x2 + 2x - 1 เศษเหลือมีคาเทากับ a
และ x - 2 หารพหุนาม x2 + 3ax - b ลงตัว แลวคาของ a + b มีคาตรงกับขอใด
1) 12 2) 14
3) 16 4) 18
 3/2n
4n + 1 
6. กําหนดให n เปนจํานวนเต็ม  55n +1 + 52n + 1 
 53n + 1 + 5 
มีคาตรงกับขอใด
 
1) 5 2) 25
3) 125 4) 625
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (45)

46. 7. กําหนดให 5 - a = 7 - 2 10 คาของ a ตรงกับขอใด
1) 2 2) 3
3) 4 4) 5
8. กําหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
และ B = {{1}, {2, 3}, 4, 5, 6, ...}
จํานวนความสัมพันธทั้งหมดจากเซต A - B ไปเซต B - A มีคาเทาใด
1) 16 จํานวน 2) 32 จํานวน
3) 64 จํานวน 4) 128 จํานวน
9. ถาสามจํานวนนี้เรียงกันเปนลําดับเลขคณิตคือ x - 2, x, x2 - 4 แลวผลบวกของคา x ทั้งหมดตรงกับขอใด
1) -2 2) -1
3) 1 4) 2
คณิตศาสตร (46)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

47. เฉลย
1. เฉลย 4) n(A I B I C) = 1
จากสูตร n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A I B) - n(A I C)
- n(B I C) + n(A I B I C)
และ n(A U B U C) = n(U)
= 5
จะไดวา 5 = 3 + 3 + 3 - 2 - 2 - 2 + n(A I B I C)
n(A I B I C) = 5 - 9 + 6 = 2
2. เฉลย 2) {3} ∈ P(A)
ที่ถูกตอง คือ {{3}} ∈ P(A)
3. เฉลย 2) ก. ถูก และ ข. ผิด
จาก 0 < a < b
สมมติให a = 4, b = 9
จาก d < c < 0
สมมติให d = -3, c = -2
ก. ac > bd
4(-2) > 9(-3)
-8 > -27
ดังนั้น ก. ถูก
ข. a < b
c d
4 < 9
-2 -3
-2 < -3
ดังนั้น ข. ผิด
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (47)

48. 4. เฉลย 2) [-1, 2]
จาก |2x + 1| ≤ 5
จะได -5 ≤ 2x + 1 ≤ 5
-5 - 1 ≤ 2x + 1 - 1 ≤ 5-1
-6 ≤ 2x ≤ 4
-6 ≤ 2x ≤ 4
2 2 2
-3 ≤ x ≤ 2
จะได A = [-3, 2]
จาก |x + 3| ≥ 2
จะได x + 3 ≤ -2 หรือ |x + 3| ≥ 2
x ≤ -5 หรือ x ≥ -1
จะได B = (-∞, -5] U [-1, ∞)
ดังนั้น AIB = [-1, 2]
5. เฉลย 4) 18
ให p(x) = x2 + 2x - 1
จาก x - 1 หารพหุนาม x2 + 2x - 1 เศษเหลือมีคาเทากับ a
นั่นคือ p(1) = a
12 + 2(1) - 1 = a
a = 2
ให q(x) = x2 + 3ax - b
q(x) = x2 + 3(2)x - b
q(x) = x2 + 6x - b
จาก x - 2 หารพหุนาม x2 + 3ax - b ลงตัว
นั่นคือ q(2) = 0
22 + 6(2) - b = 0
b = 16
ดังนั้น a + b = 2 + 16 = 18
คณิตศาสตร (48)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

49. 6. เฉลย 3) 125
3/2n  3/2n
จาก

 55n +1 + 54n +1  =  5 4n +1 (5n + 1) 


 53n +1 + 52n + 1 


 52n +1 (5n + 1) 
 3/2n
=  5 4n +1 


 52n +1 
= [5(4n+1)-(2n+1)]3/2n
= [52n]3/2n
= 52n ⋅ 3/2n
= 53
= 125
7. เฉลย 1) 2
จาก 5 - a = 7 - 2 10
5 - a = (5 + 2) - 2 5 ⋅ 2
5 - a = ( 5 )2 - 2 5 ⋅ 2 + ( 2 )2
5 - a = ( 5 - 2 )2
5 - a = 5 - 2
จะได a = 2
8. เฉลย 3) 64 จํานวน
A - B = {1, 2, 3}
จะได n(A - B) = 3
B - A = {{1}, {2, 3}}
จะได n(B - A) = 2
จากสูตร จํานวนความสัมพันธทั้งหมดจากเซต A ไปเซต B เทากับ 2n(A)×n(B)
ดังนั้น จํานวนความสัมพันธทั้งหมดจากเซต A - B ไปเซต B - A
เทากับ 2n(A-B)×n(B-A) = 23×2 = 26 = 64 จํานวน
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (49)

50. 9. เฉลย 3) 1
จาก x - 2, x, x2 - 4 เปนลําดับเลขคณิต
นั่นคือ (x2 - 4) - x = x - (x - 2)
x2 - x - 4 = 2
x2 - x - 6 = 0
(x - 3)(x + 2) = 0
จะได x = -2, 3
ดังนั้น ผลบวกของคา x ทั้งหมดเทากับ -2 + 3 = 1
คณิตศาสตร (50)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

51. ตรรกศาสตร
ประพจน (Proposition หรือ Statement)
คือ ประโยคที่เปน “จริง” หรือ “เท็จ” อยางใดอยางหนึ่งเทานั้น ประโยคที่มีลักษณะดังกลาวจะอยูในรูป
ประโยคบอกเลาหรือประโยคปฏิเสธก็ได
การเชื่อมประพจน
เปนการนําเอาประพจนมาสรางเปนประพจนใหม โดยเติมตัวเชื่อม (connectives)
ตัวเชื่อมประพจนหลักๆ มีอยู 5 ชนิด ไดแก คําวา “และ” (∧), “หรือ” (∨), “ถา...แลว...” (⇒), “ก็ตอเมื่อ” (⇔)
และ “นิเสธ (ไม)” (∼)
ประพจนที่นํามาเชื่อมกันดวยตัวเชื่อมตางๆ เรียกวา ประพจนยอย (atomic statement)
การหาคาความจริงของประพจน
p q p∧q p∨q p→q p↔q ∼p ∼q
T T T T T T F F
T F F T F F F T
F T F T T F T F
F F F F T T T T
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (51)

52. ขอสังเกตเกี่ยวกับคาความจริงที่ไดจากการเชื่อมประพจน
ตัวเชื่อม T F
∧ ทุกประพจนเปน T มีประพจนอยางนอย 1 ตัวเปน F
∨ มีประพจนอยางนอย 1 ตัวเปน T ทุกประพจนเปน F
⇒ F ⇒ ? (หนาเปน F)
T ⇒ F (หนาเปน T และหลังเปน F)
?⇒T (หลังเปน T)
⇔ หนา-หลัง เหมือนกัน หนา-หลัง ตางกัน
ประพจนที่สมมูลกัน คือ ประพจนท่มีคาความจริงเหมือนกันทุกกรณี กรณีตอกรณี แทนดวย p ≡ q
ี 
ประพจนที่ไมสมมูลกัน คือ ประพจนท่มีคาความจริงตางกันอยางนอยหนึ่งกรณี แทนดวย p ≡ q
ี
ประพจนที่เปนนิเสธกัน คือ ประพจนที่มคาความจริงตรงขามกันทุกกรณี กรณีตอกรณี แทนดวย p ≡ ∼q
ี
การตรวจสอบประพจนที่สมมูล ทําได 3 วิธี คือ
1. ใชตาราง
2. ใชรูปแบบประพจนที่สมมูล
3. แทนคาประพจน
สัจนิรนดร (Tautology) คือ รูปแบบของประพจนที่มีคาความจริงเปนจริงทุกกรณี
ั
การตรวจสอบสัจนิรันดร ทําได 3 วิธี คือ
1. ใชตาราง
2. ใชรปแบบประพจนที่สมมูล
ู
3. การหาขอขัดแยง
รูปแบบของประพจนที่สมมูลกัน
1. p ∧ q ≡ q∧p
2. p ∨ q ≡ q∨p
3. p ∧ p ≡ p
4. p ∨ p ≡ p
5. (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
6. (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
7. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
8. p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
9. p ⇒ (q ∧ r) ≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)
10. p ⇒ (q ∨ r) ≡ (p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r)
คณิตศาสตร (52)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

53. 11. (p ∧ q) ⇒ r ≡ (p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r)
12. (p ∨ q) ⇒ r ≡ (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)
13. p ⇒ q ≡ ∼p ∨ q ≡ ∼q ⇒ ∼p **
14. p ⇔ q ≡ q⇔p ≡ ∼p ⇔ ∼q ≡ ∼q ⇔ ∼p
15. ∼(∼p) ≡ p
13. ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q
17. ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q
18. ∼(p ⇒ q) ≡ p ∧ ∼q
19. ∼(p ⇔ q) ≡ ∼p ⇔ q ≡ p ⇔ ∼q ≡ q ⇔ ∼p ≡ ∼q ⇔ p
ขอสังเกตของสมมูล
1. ♥ ∨ ∼♥ ≡ T
2. ♥ ∧ ∼♥ ≡ F
3. ♥ ∨ T ≡ T
4. ♥ ∧ T ≡ ♥
5. ♥ ∨ F ≡ ♥
6. ♥ ∧ F ≡ F
7. T ⇒ ♥ ≡ ♥
8. ♥ ⇒ F ≡ ∼♥
9. ♥ ⇒ T ≡ T
10. F ⇒ ♥ ≡ T
ประโยคเปด
คือ ประโยคบอกเลา หรือประโยคปฏิเสธ ที่มีตัวแปรและเมื่อแทนคาของตัวแปรดวยสมาชิกในเอกภพ
สัมพัทธแลวไดประพจน เชน กําหนดใหเอกภพสัมพัทธ คือ เซตของจํานวนจริง
2x + 1 = 3 เปนประโยคเปด เพราะเมื่อแทน x ดวยจํานวนจริงใดๆ แลวไดประพจน
แทน x = 1 ได 2(1) + 1 = 3 จริง
แทน x = 3 ได 2(3) + 1 = 3 เท็จ
สัญลักษณแทนประโยคเปด
P(x), Q(x), R(x), ... แทน ประโยคเปดที่มีตัวแปรเปน x เชน P(x) : x + 3 = 2
P(x, y), Q(x, y), R(x, y), ... แทน ประโยคเปดที่มีตัวแปรเปน x, y เชน Q(x, y) : x - 2y = 0
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (53)

54. ตัวบงปริมาณ (Quantifier)
∀x แทนคําวา “สําหรับ x ทุกตัว” หรือ “สําหรับแตละคาของ x”
∃x แทนคําวา “สําหรับ x บางตัว” หรือ “มี x บางคา”
เชน
คาความจริงของประโยคเปดที่มีตัวบงปริมาณ (ตัวแปรเดียว)
ประพจน มีคาความจริงเปน “จริง” เมื่อ มีคาความจริงเปน “เท็จ” เมื่อ
ทุก x ∈ U แทนใน P(x) มีบาง x ∈ U แทนใน P(x)
∀x[P(x)]
แลวทําให P(x) เปนจริง แลวทําให P(x) เปนเท็จ
มีบาง x ∈ U แทนใน P(x) ทุก x ∈ U แทนใน P(x)
∃x[P(x)]
แลวทําให P(x) เปนจริง แลวทําให P(x) เปนเท็จ
คาความจริงของประโยคเปดที่มีตัวบงปริมาณ (หลายตัวแปร)
ประพจน มีคาความจริงเปน “จริง” มีคาความจริงเปน “เท็จ”
ทุก x, y ∈ U มีบาง x, y ∈ U
∀x∀y[P(x, y)] เมื่อแทนใน P(x, y) เมื่อแทนใน P(x, y)
แลวทําให P(x, y) เปนจริง แลวทําให P(x, y) เปนเท็จ
ทุก x ∈ U จะมี y ∈ U มีบาง x ∈ U ที่ทุก y ∈ U
∀x∃y[P(x, y)] เมื่อแทนใน P(x, y) เมื่อแทนใน P(x, y)
แลวทําให P(x, y) เปนจริง แลวทําให P(x, y) เปนเท็จ
มีบาง x ∈ U ซึ่งทุก y ∈ U ทุก x ∈ U จะมี y ∈ U
∃x∀y[P(x, y)] เมื่อแทนใน P(x, y) เมื่อแทนใน P(x, y)
แลวทําให P(x, y) เปนจริง แลวทําให P(x, y) เปนเท็จ
มีบาง x, y ∈ U ทุก x, y ∈ U
∃x∃y[P(x, y)] เมื่อแทนใน P(x, y) เมื่อแทนใน P(x)
แลวทําให P(x, y) เปนจริง แลวทําให P(x) เปนเท็จ
ตัวอยาง จงหาคาความจริงของประโยคเปดที่มีตัวบงปริมาณ เมื่อกําหนดเอกภพสัมพัทธใหในแตละขอตอไปนี้
1. ∀x∀y[x + y = y + x] เมื่อ U = {0, 1}
2. ∀x∃y[y < x] เมื่อ U = {0, 1, 2}
3. ∃x∀y[x + y = 0] เมื่อ U = {-1, 0, 1}
4. ∃x∃y[x + 3 = 2y] เมื่อ U = {4, 5, 6}
คณิตศาสตร (54)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

55. สมมูลของประโยคที่มตวบงปริมาณ
ี ั
∀x[P(x)] ≡ ∀x[Q(x)] ก็ตอเมื่อ P(x) ≡ Q(x)
∃x[P(x)] ≡ ∃x[Q(x)] ก็ตอเมื่อ P(x) ≡ Q(x)
นิเสธของประโยคที่มีตัวบงปริมาณ
∼∀x[P(x)] ≡ ∃x[∼P(x)]
∼∃x[P(x)] ≡ ∀x[∼P(x)]
∼∀x∀y[P(x, y)] ≡ ∃x∃y[∼P(x, y)]
∼∃x∀y [P(x, y)] ≡ ∀x∃y[∼P(x, y)]
การอางเหตุผล ประกอบดวยสวนที่สําคัญ 2 สวน คือ
1. เหตุหรือสิ่งที่กําหนดให ไดแก P1, P2, P3, …, Pn
2. สวนที่เปนผล ไดแก Q
การตรวจสอบการอางเหตุผล
1. สรางประพจน เพื่อตรวจสอบสัจนิรันดร
(1) เชื่อมเหตุทกตัว “และ” จะได
ุ P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn
(2) เชื่อม “ขอ 1” กับ “ผล” ดวย “⇒” จะได (P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn) ⇒ Q
(3) ถาประพจนในขอ (2) เปนสัจนิรันดร แสดงวา การอางเหตุผล “สมเหตุสมผล (valid)”
ถาประพจนในขอ (2) ไมเปนสัจนิรันดร แสดงวา การอางเหตุผล “ไมสมเหตุสมผล (invalid)”
2. ใชรูปแบบประพจนที่สมเหตุสมผล
รูปแบบการอางเหตุผลที่สมเหตุสมผล
1) เหตุ 1. p → q 2) เหตุ 1. p → q
2. p 2. ∼q
ผล q ผล ∼p
3) เหตุ 1. p ∨ q 4) เหตุ 1. p → q
2. ∼p (หรือ ∼q) 2. q → r
ผล q (หรือ p) ผล p → r
5) เหตุ 1. p → q 6) เหตุ 1. p ∧ q
2. q → s ผล p (หรือ q)
3. p ∨ q
ผล r ∨ s
7) เหตุ 1. p → q 8) เหตุ 1. p
ผล ∼p ∨ q ผล p ∨ q ∨ r
หรือ ∼q → ∼q
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (55)

56. แบบทดสอบ
1. กําหนดให p, q และ r เปนประพจน พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. ถา q ∧ r มีคาความจริงเปนจริง แลว p และ p ∨ [(q ∧ r) ⇒ p] มีคาความจริงเหมือนกัน
ข. ถา p มีคาความจริงเปนเท็จ แลว r และ (p ⇒ q) ∧ r มีคาความจริงเหมือนกัน
ขอใดตอไปนี้เปนจริง
*1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด
2. กําหนดให ประพจน (∼p ↔ ∼r) ∨ (p ↔ q) มีคาความจริงเปนเท็จ ประพจนใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ
1) ∼p → (q ∨ r) 2) ∼p → (q ∧ r) 3) p ∨ q ∨ ∼r *4) p ∧ q ∧ ∼r
3. กําหนดให p, q และ r เปนประพจน ถาประพจน p → (q ∧ r) มีคาความจริงเปนเท็จ และ (p ∨ q) ↔ r
มีคาความจริงเปนจริง แลวพิจารณาคาความจริงของประพจนตอไปนี้
ก. (p ↔ q) ↔ ∼r ข. p ↔ (q ∨ ∼r)
1) ก. และ ข. จริง 2) ก. จริง และ ข. เท็จ 3) ก. เท็จ และ ข. จริง 4) ก. และ ข. เท็จ
4. กําหนดให p, q, r เปนประพจน จงพิจารณาขอความตอไปนี้
ก. ประพจน p ⇒ (p ⇒ (q ∨ r)) สมมูลกับประพจน p ⇒ (q ∨ r)
ข. ประพจน p ∧ (q ⇒ r) สมมูลกับประพจน (q ⇒ p) ∨ ∼(p ⇒ ∼r)
ขอใดตอไปนี้ถก
ู
1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด
5. พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. ถา q มีคาความจริงเปนเท็จแลว ประพจน p → (q → r) มีคาความจริงเปนจริง
ข. นิเสธของประพจน (p → q) → r คือ (∼p ∧ ∼r) ∨ (∼r ∧ q)
ขอใดตอไปนี้ถูก
*1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด
6. กําหนด p, q, r และ s เปนประพจน ประพจนในขอใดตอไปนี้ไมเปนสัจนิรันดร
1) [(p ∨ (q ∧ r)] ↔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] 2) [p ∨ (q ∧ r)] ∨ ∼[p ∨ (q ∧ r)]
3) [(p ∨ q) → r] ↔ [∼r → (∼p ∧ ∼q)] *4) [(p → q) ∧ (q → r) ∧ (s ∨ ∼r) ∧ ∼s] ↔ p
7. ประพจนตอไปนี้ขอใดเปนสัจนิรนดร
 ั
ก. [(p → q) ∨ (q → r)] ∨ (p → r) เมื่อ p, q และ r เปนประพจนใดๆ
ข. (∼p → q) ∨ (∼p ∨ q) เมื่อ p และ q เปนประพจนใดๆ
ขอใดตอไปนี้ถูก
*1) ก. และ ข. เปนสัจนิรนดร
ั 2) ก. เปน แต ข. ไมเปนสัจนิรันดร
3) ก. ไมเปน แต ข. เปนสัจนิรันดร 4) ก. และ ข. ไมเปนสัจนิรันดร
คณิตศาสตร (56)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

57. 8. เอกภพสัมพัทธในขอใดตอไปนี้ ทําใหประโยค ก. และ ข. ที่กําหนดใหขางลางนี้มคาความจริงเปนเท็จทั้งคู
ี
ก. ∀x [(x2 - 1)(x2 - 3x) = 0] ข. ∃x[ |x| + 2 = 2]
1) {-2, 0, 1, 2} 2) {-1, 0, 1, 3} *3) {-3, -1, 0, 1} 4) {-1, 0, 2, 3}
9. พิจารณาประโยคตอไปนี้
ก. ∃x[ |x| + 2 < x] ข. ∃x[2|x| > 3x]
เอกภพสัมพัทธในขอใดทําใหประโยค ก. และ ข. มีคาความจริงเปนจริง
1) {-2, 0, 2} *2) {-2, 0, 3} 3) {0, 1, 2} 4) {0, 1, 3}
10. เอกภพสัมพัทธ U ที่กําหนดใหขอใดตอไปนี้ที่ทําใหประโยค

∃x [2x2 + x - 1 ≤ 0 ∧ x 2 - 4x + 4 ≤ 3]
มีคาความจริงเปนจริง
1) U = เซตของจํานวนเต็มบวกคู 2) U = เซตของจํานวนเต็มบวกคี่
3) U = เซตของจํานวนเต็มลบคู *4) U = เซตของจํานวนเต็มลบคี่
 
2
11. กําหนดให U = x ∈ R (x - 1) < 1


x+5 

 

ให P(x) แทนประโยค |x| < 5 และ Q(x) แทนประโยค 1 < x2 < 16
ถา U เปนเอกภพสัมพัทธ แลวขอความในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ
1) ∀x[P(x)] ⇒ ∀x[Q(x)] 2) ∃x[P(x)] ∧ ∃x[Q(x)]
3) ∀x[P(x)] ∨ ∃x[Q(x)] *4) ∃x[Q(x)] ⇒ ∀x[P(x)]
12. กําหนดให P(x) และ Q(x) เปนประโยคเปด โดยที่ ∀x[P(x)] → ∃x[∼Q(x)] มีคาความจริงเปนเท็จ เมื่อ
เอกภพสัมพัทธ คือเซตของจํานวนจริง ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนจริง
1) ∃x[P(x) ∧ ∼Q(x)] 2) ∃x[∼Q(x) ∨ ∼Q(x)]
3) ∀x[P(x) → ∼Q(x)] *4) ∀x[P(x) → Q(x)]
13. กําหนดให เอกภพสัมพัทธ คือ U = {-3, -2, -1, 1, 2, 3} ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ
1) ∃x∀y[x + y < y] 2) ∃x∀y[x - y2 < x]
*3) ∃x∀y[xy2 = x] 4) ∃x∀y[x2y = y]
14. กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือเซต {-2, -1, 1, 2} ประโยคในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ
1) ∃x∃y[x ≤ 0 ∧ |x| = y + 1] 2) ∃x∀y[x ≤ y ∧ -(x + y) ≥ 0]
3) ∀x∃y[x + y = 0 ∨ x - y = 0] *4) ∀x∀y[|x| < |y| ∨ |x| > |y|]
15. กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ U = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} ขอใดตอไปนีถูก
้
*1) ∀x∀y[x I y ≠ ∅] 2) ∀x∀y[x U y = U]
3) ∀x∃y[y ≠ x ∧ y ⊂ x] 4) ∃x∀y[y ≠ x ∧ y ⊂ x]
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (57)

58. 16. กําหนดให U = { n ∈ I+ | n ≤ 10 } ประโยคในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ

1) ∀x∀y[(x2 = y2) ⇒ (x = y)] *2) ∀x∃y[(x ≠ 1) ⇒ (x > y2)]
3) ∃x∀y[xy ≤ x + y] 4) ∃x∃y[(x - y)2 ≥ y2 + 9xy]
17. พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. ใหเอกภพสัมพัทธคือเซตของจํานวนเฉพาะบวก ขอความ ∀x∃y[x2 + x + 1 = y] มีคาความจริง
เปนจริง
ข. นิเสธของขอความ ∀x[P(x) → (Q(x) ∨ R(x))] คือ ∃x[P(x) ∧ ∼Q(x) ∧ ∼R(x)]
ขอใดตอไปนี้ถูก
1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด
*3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด
18. พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. ถา p, q เปนประพจน โดยที่ p มีคาความจริงเปนจริง และ ∼q → (∼p ∨ q) เปนสัจนิรันดร

แลว q มีคาความจริงเปนจริง
ข. นิเสธของขอความ ∃x[(∼P(x)) ∧ Q(x) ∧ (∼R(x))] คือขอความ ∀x[Q(x) → (P(x) ∨ R(x))]
ขอใดตอไปนีถูก
้
*1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด
3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด
19. กําหนดให P(x) และ Q(x) เปนประโยคเปด โดยที่ ∀x[P(x)] ⇒ ∃x[∼Q(x)] มีคาความจริงเปนเท็จ เมื่อ
เอกภพสัมพัทธ คือเซตของจํานวนจริง ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนจริง
1) ∀x[∼P(x)] ⇒ ∃x[Q(x)] *2) ∀x[Q(x)] ⇒ ∃x[∼P(x)]
3) ∃x[P(x)] ⇒ ∀x[Q(x)] 4) ∃x[∼Q(x)] ⇒ ∀x[P(x)]
20. นิเสธของขอความ ∀x∃y[(xy = 0 ∧ x ≠ 0) → y = 0] สมมูลกับขอความในขอใดตอไปนี้
1) ∃x∀y[(xy = 0 ∨ x = 0) ∧ y ≠ 0] 2) ∃x∀y[(xy ≠ 0 ∧ x = 0) ∨ y = 0]
*3) ∃x∀y[(xy = 0 ∧ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0] 4) ∃x∀y[xy ≠ 0 ∨ x = 0 ∨ y = 0]
21. นิเสธของ ∀r > 0 ∃s > 0 ∀x ∈ R [|x + 1| < s → |f(x) - 2| < r] คือประพจนในขอใดตอไปนี้
1) ∃r ≤ 0 ∀s ≤ 0 ∃x ∈ R [|x + 1| ≥ s → |f(x) - 2| ≥ r]
*2) ∃r > 0 ∀s > 0 ∃x ∈ R [|x + 1| < s ∧ |f(x) - 2| ≥ r]
3) ∃r ≤ 0 ∀s ≤ 0 ∃x ∈ R [|x + 1| < s ∧ |f(x) - 2| ≥ r]
4) ∃r > 0 ∀s > 0 ∃x ∈ R [|f(x) - 2| ≥ r → |x + 1| ≥ s]
คณิตศาสตร (58)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

59. 22. พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. ถา p ⇒ (q ∧ r) มีคาความจริงเปนจริง และ (p ∨ q) ⇒ r มีคาความจริงเปนเท็จ แลว
q ⇒ (p ∨ r) มีคาความจริงเปนจริง
ข. การอางเหตุผลตอไปนี้สมแหตุสมผล
เหตุ 1. (∼p) ∨ q
2. (p ∨ q) ⇒ ∼r
3. p ⇒ ∼r
ผล q ∨ r
ขอใดตอไปนีถูก
้
1) ก. และ ข ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก *4) ก. และ ข. ผิด
23. กําหนดให เหตุ 1. ∼p → ∼q
2. p → (r ∨ s)
3. q ∨ t
4. ∼t
ผลในขอใดตอไปนี้ทําใหการอางเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล
1) s → r 2) s → ∼r 3) r → ∼s *4) ∼r → s
24. พิจารณาการใหเหตุผลตอไปนี้
ก. เหตุ 1. p → (q → r) ข. เหตุ 1. p → (q → ∼s)
2. p 2. p ∧ s
3. ∼t → q ผล p
ผล r → t
ขอใดตอไปนีถูก
้
1) ก. และ ข. สมเหตุสมผล 2) ก. สมเหตุสมผล และ ข. ไมสมเหตุสมผล
*3) ก. ไมสมเหตุสมผล และ ข. สมเหตุสมผล 4) ก. ไมสมเหตุสมผล และ ข ไมสมเหตุสมผล
25. พิจารณาการอางเหตุผลตอไปนี้ เมื่อ p, q และ r เปนประพจน
ก. เหตุ 1. p ∨ (p ∧ ∼q) ข. เหตุ 1. ∼p → r
2. p → q 2. ∼r ∨ s
3. ∼s
ผล q ผล p
ขอใดตอไปนีถูก ้
*1) ก. และ ข. สมเหตุสมผล 2) ก. สมเหตุสมผล และ ข. ไมสมเหตุสมผล
3) ก. ไมสมเหตุสมผล และ ข. สมเหตุสมผล 4) ก. ไมสมเหตุสมผล และ ข ไมสมเหตุสมผล
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (59)

60. 26. กําหนดให p, q, r และ s เปนประพจน ในการอางเหตุผล ถา
“เหตุ” คือ 1. (p ∨ q) → (r ∧ s)
2. r → ∼s
แลว ประพจนในขอใดตอไปนี้เปน “ผล” ที่ทําใหการอางเหตุผลมีความสมเหตุสมผล
1) p 2) q *3) ∼p ∧ ∼q 4) ∼p ∧ q
27. กําหนด เหตุ 1. A ↔ ∼B
2. ∼A → (C → ∼B)
3. (∼D ∨ ∼C) → ∼(∼B)
4. ∼D
ผลในขอใดตอไปนี้ไดจากการสรุปที่สมเหตุสมผลจากเหตุที่กําหนดใหทั้งสี่ขอ
1) A 2) ∼B *3) ∼C 4) D
28. กําหนดเหตุใหดังตอไปนี้
1) เอกภพสัมพัทธไมเปนเซตวาง 2) ∀x[P(x) → Q(x)]
3) ∀x[Q(x) ∨ R(x)] 4) ∃x[∼R(x)]
29. ขอความในขอใดตอไปนี้เปนผลที่ทําใหการอางเหตุผล สมเหตุสมผล
1) ∃x[P(x)] 2) ∃x[Q(x)] 3) ∀x[P(x)] *4) ∀x[Q(x)]
คณิตศาสตร (60)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

61. ระบบจํานวนจริง
โครงสรางของระบบจํานวนจริง
จํานวนจริง (R)
จํานวนตรรกยะ (Q) จํานวนอตรรกยะ (Q′)
จํานวนเต็ม เชน ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... ทศนิยมไมรูจบแบบไมซ้ํา เชน 0.1637...
เศษสวน เชน 1 , 5
2 4
n A เชน 2 , 5 , 3 7 , 4 11 , 5 25
ทศนิยมรูจบ เชน 0.3, 0.123 ♥ 49 , 3 343 , 4 2401 ไมใชจํานวนอตรรกยะ
ทศนิยมซ้ํา เชน 0.1 , 0.23 , 0.325
& && & π = 3.14159... ≈ 3.1416 ≈ 22 7
e = 2.718... ≈ 2.718
สมบัตของระบบจํานวนจริง
ิ
ให a, b, c ∈ R
สมบัติ การบวก การคูณ
ปด 1. a+b∈R 6. ab ∈ R
การสลับที่ 2. a+b=b+a 7. ab = ba
การเปลี่ยนหมู 3. (a + b) + c = a + (b + c) 8. (ab)c = a(bc)
การมีเอกลักษณ 4. มีจํานวนจริง 0 ซึ่ง 9. มีจํานวนจริง 1, 1 ≠ 0
0+a=a=a+0 ซึ่ง 1 ⋅ a = a = a ⋅ 1
การมีอินเวอรส 5. สําหรับ a จะมีจํานวนจริง -a 10. สําหรับ a ที่ไมเปน 0 จะมีจํานวนจริง
โดยที่ (-a) + a = 0 = a + (-a) a-1 โดยที่ a-1 ⋅ a = 1 = a ⋅ a-1
เรียก -a วาอินเวอรสการบวกของ a เรียก a-1 วาอินเวอรสการคูณของ a
การแจกแจง 11. a(b + c) = ab + ac
การแกสมการพหุนามตัวแปรเดียว
เราสามารถหาคําตอบของสมการพหุนามตัวแปรเดียวโดยใชการแยกตัวประกอบ หรือสูตรตางๆ ของการ
แยกตัวประกอบ
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (61)

62. สูตรการแยกตัวประกอบของพหุนาม
ผลตางกําลังสอง A2 - B2 = (A + B)(A - B)
กําลังสองสมบูรณ A 2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)2
ผลตางกําลังสาม A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
ผลบวกกําลังสาม A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
กําลังสามสมบูรณ A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B)3
A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 = (A - B)3
การแกสมการกําลังสอง
1. แยกตัวประกอบพหุนาม
2. ใชสูตร
ถา ax2 + bx + c = 0 โดยที่ a, b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ แลว
b2
x = -b ± 2a - 4ac
ถา b2 - 4ac > 0 แลว คําตอบของสมการมี 2 คําตอบ
ถา b2 - 4ac = 0 แลว คําตอบของสมการมี 1 คําตอบ
ถา b2 - 4ac < 0 แลว ไมมีคําตอบสมการในระบบจํานวนจริง
การแกสมการพหุนามโดยใชทฤษฎีบทเศษเหลือ
ทฤษฎีบทเศษเหลือ (remainder theorem)
เมื่อ p(x) คือ พหุนาม anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 โดยที่ n เปนจํานวนเต็มบวก
an, a n-1, ..., a1, a0 เปนจํานวนจริง ซึ่ง an ≠ 0
ถาหารพหุนาม p(x) ดวย x - c เมื่อ c เปนจํานวนจริง เศษเหลือจะเทากับ p(c)
นั่นคือ แทนคา x = c ลงใน p(x) จะได p(c) เปนเศษ
ทฤษฎีบทตัวประกอบ (factor theorem)
เมื่อ p(x) คือ พหุนาม anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 โดยที่ n เปนจํานวนเต็มบวก
an, a n-1, ..., a1, a0 เปนจํานวนจริง ซึ่ง an ≠ 0
พหุนาม p(x) จะมี x - c เปนตัวประกอบก็ตอเมื่อ p(c) = 0
นั่นคือ
1. สําหรับพหุนาม p(x) ถา x - c เปนตัวประกอบแลวจะได p(c) = 0
2. สําหรับพหุนาม p(x) ถา p(c) = 0 แลว x - c จะเปนตัวประกอบของ p(x)
คณิตศาสตร (62)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

63. การหารสังเคราะห (Synthetic Division)
ตัวอยาง จงหาผลหารและเศษจากการหารพหุนาม 2x3 + 3x2 - 5x + 4 ดวย x + 3
วิธีทํา .......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
ทฤษฎีบทตัวประกอบจํานวนตรรกยะ (Factor Theorem)
เมื่อ p(x) คือ พหุนามในรูป anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 โดยที่ n เปนจํานวนเต็มบวก
an, a n-1, ..., a1, a0 เปนจํานวนจริง ซึ่ง an ≠ 0
k
ถา x - m เปนตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เปนจํานวนเต็มซึ่ง m ≠ 0
และ ห.ร.ม. ของ m และ k เปน 1 แลว m หาร an ลงตัว และ k หาร a0 ลงตัว
สมบัตของการไมเทากัน
ิ
ถา a และ b เปนจํานวนจริงแลว a = b, a < b และ a > b จะเปนจริงเพียงอยางใดอยางหนึ่ง เทานั้น
เรียกวา “สมบัติไตรวิภาค”
ทฤษฎีบท กําหนดให a, b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ
1. ถา a > b และ b > c แลว a > c
2. ถา a > b แลว a + c > b + c
3. ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc และถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc
4. ถา ac > bc และ c > 0 แลว a > b และถา ac > bc และ c < 0 แลว a < b
5. ถา a < 0 และ b < 0 แลว ab > 0
6. ถา a < 0 และ b > 0 แลว ab < 0
7. ถา a > 0 และ b < 0 แลว ab < 0
8. ถา a < b < c แลว a < b และ b < c
หลักการแกอสมการ
1. จัดดานขวามือของอสมการใหเปนศูนย
2. แยกตัวประกอบของพหุนาม เชน (ax - b)(cx - d) > 0
∗ ถาอสมการอยูในรูปเศษสวน ตองระวังไวเสมอวา ตัวสวนตองไมเปนศูนย
3. ใหตัวประกอบแตละตัว เทากับ 0 แลวแกสมการหาคา x จากนั้นจึงนําคา x ที่ไดไปเขียนบนเสนจํานวน
ซึ่งคา x ที่ไดจะแบงเสนจํานวนเปนชวงๆ
4. พิจารณาเครื่องหมายของพหุนามในแตละชวง สวนใหญเครื่องหมายบวก ลบ จะสลับกันไป
5. จากนั้นพิจารณาชวงคําตอบ ถาอสมการมีเครื่องหมายเปน “>” ใหตอบชวงที่เปน บวก
ถาอสมการมีเครื่องหมายเปน “<” ใหตอบชวงที่เปน บวก
6. กรณีที่วงเล็บใดไมสามารถแยกตัวประกอบได ใหคงไวอยางนั้น แลวคิดเครื่องหมายไดเลย
เชน (x2 + 4) (2x + 1)(3x - 2) ≤ 0
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (63)

64. การแกสมการและอสมการในรูปคาสัมบูรณ
คาสัมบูรณของจํานวนจริง a เขียนแทนดวย |a| หมายถึง ระยะจากจุด 0 ถึงจุด a บนเสนจํานวน
x;x>0



บทนิยาม ให x เปนจํานวนจริง |x| = 0 ; x = 0


-x ; x < 0


ทฤษฎีบทของคาสัมบูรณ เมื่อ x และ y เปนจํานวนจริง
1. |x| ≥ 0
2. |x| = |-x|
3. |x ⋅ y| = |x| ⋅ |y|
4. xy = |x|
|y
|
5. |x - y| = |y - x|
6. |x|2 = x2
7. x2 = |x|
8. |x + y| ≤ |x| + |y|
9. |x - y| ≥ |x| - |y|
การแกสมการในรูปคาสัมบูรณ
1. ถา |f(x)| = 0 แลว f(x) = 0
2. ถา |f(x)| = a และ a ≥ 0 แลว f(x) = a หรือ f(x) = -a
3. ถา |f(x)| = a และ a < 0 แลว x ∈ ∅
4. ถา |f(x)| = |g(x)| แลว f(x) = g(x) หรือ f(x) = -g(x)
5. ถา |f(x)| = g(x) แลว f(x) = g(x) หรือ f(x) = -g(x) โดยที่ g(x) ≥ 0
6. ถา |P(x)| = P(x) แลว P(x) ≥ 0
ถา |P(x)| = - P(x) แลว P(x) ≤ 0
7. ถา |P(x)| + |Q(x)| = |P(x) + Q(x)| แลว P(x) ⋅ Q(x) ≥ 0
ถา |P(x)| - |Q(x)| = |P(x) - Q(x)| แลว P(x) ⋅ Q(x) ≥ 0 ∧ P(x) ≥ Q(x)
การแกอสมการในรูปคาสัมบูรณ
1. |x| ≤ ∆ ก็ตอเมื่อ -∆ ≤ x ≤ ∆

|x| < ∆ ก็ตอเมื่อ -∆ < x < ∆

2. |x| ≥ ∆ ก็ตอเมื่อ x ≤ -∆ หรือ x ≥ ∆

|x| > ∆ ก็ตอเมื่อ x < -∆ หรือ x > ∆

3. |P(x)| < |Q(x)| ก็ตอเมื่อ (P(x) + Q(x)) ⋅ (P(x) - Q(x)) < 0

คณิตศาสตร (64)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

65. แบบทดสอบ
1. ให a เปนจํานวนเต็ม ถา x - a หาร x3 + 2x2 - 5x - 2 เหลือเศษ 4 แลว ผลบวกของคา a ทั้งหมดที่
สอดคลองเงื่อนไขดังกลาว เทากับขอใดตอไปนี้
1) -6 *2) -2 3) 2 4) 6
2. กําหนดให x + 1 และ x - 1 เปนตัวประกอบของพหุนาม P(x) = 3x3 + x2 - ax + b เมื่อ a, b เปนคาคงตัว
เศษเหลือที่ไดจากการหาร P(x) ดวย x - a - b เทากับขอใดตอไปนี้
1) 15 2) 17 3) 19 *4) 21
3. กําหนดให f(x) = x3 + kx2 + mx + 4 เมื่อ k และ m เปนคาคงตัว ถา x - 2 เปนตัวประกอบหนึ่งของ
f(x) และเมื่อนํา x + 1 ไปหาร f(x) ไดเศษเหลือ 3 แลวคาสัมบูรณของ k + m เทากับ เทาใด (ตอบ 4)
4. กําหนดให k และ l เปนจํานวนเต็ม ซึ่งเมื่อหาร x3 - 6x2 + (k + l)x + 2 ดวย x - 2 แลวเหลือเศษเปน
-4 ถา k : l = 3 : 2 แลว ผลหารของการหาร 6x3 + 2x2 + 8x + 1 ดวย kx - l มีคาเปนเทาใด
(ตอบ 9)
5. ให P(x) = x3 + ax2 + bx + 10 เมื่อ a, b เปนจํานวนเต็ม และ Q(x) = x2 + 9 ถา Q(x) หาร P(x) เหลือ
เศษ 1 แลว P(a) + P(b) มีคาเทาใด (ตอบ 922)
6. ให p(x) เปนพหุนาม ถาหาร p(x) ดวย x - 1 จะเหลือเศษ 3 และ ถาหาร p(x) ดวย x - 3 จะเหลือเศษ 5
ถา r(x) = ax + b คือ เศษที่เกิดจากการหาร p(x) ดวย (x - 1)(x - 3) แลว 3a + 2b เทากับเทาใด
(ตอบ 7)
7. ให a และ b เปนจํานวนจริงที่ทําให x2 + ax + b หาร x3 - 3x2 + 5x + 7 มีเศษเทากับ 10 คา a + b
เทากับขอใดตอไปนี้
*1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
8. กําหนดให S = {x ||x|3 = 1} เซตในขอใดตอไปนี้เทากับเซต S
1) {x | x3 = 1} *2) {x | x2 = 1} 3) {x | x3 = -1} 4) {x | x4 = x}
9. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของสมการ 2x3 - 7x2 + 7x - 2 = 0 ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของ S
เทากับขอใดตอไปนี้
1) 2.1 2) 2.2 3) 3.3 *4) 3.5
10. ถา a, b และ c เปนคําตอบทั้ง 3 คําตอบของสมการ x3 - 8x2 + 5x + 7 = 0 แลวคาของ a2 + b2 + c2
มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) 39 *2) 54 3) 63 4) 74
11. กําหนดให A = {x ||x - 1| ≤ 3 - x} และ a เปนสมาชิกคามากที่สุดของ A คาของ a อยูในชวงใด
ตอไปนี้
1) (0, 0.5] 2) (0.5, 1] 3) (1, 1.5] *4) (1.5, 2]
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (65)

66. 12. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของสมการ x3 + x2 - 27x - 27 = 0
และ B เปนเซตคําตอบของสมการ x3 + (1 - 3 )x2 - (36 + 3 )x - 36 = 0
A I B เปนสับเซตของชวงในขอใดตอไปนี้
*1) [-3 5 , -0.9] 2) [1.1, 0] 3) [0, 3 5 ] 4) [1, 5 3 ]
13. กําหนดให A = {x | (2x + 1)(x - 1) < 2} และ B = {x | 16 - 9x2 > 0} เซต A I B เปนสับเซตของ
ชวงในขอใดตอไปนี้
1)  -2 , 7 

 3 3
 *2)  -1, 5 

 3
3)  -3 , 5 
 4
 4
4)  -5 , 1 

 3 

 
14. กําหนดให S =  x 2 x
 ≥ x + 2  ชวงในขอใดตอไปนี้เปนสับเซตของ S
2 - 1

 x - 3x + 2
 x 
1) (-∞, -3) *2) (-1, 0, 5) 3) (-0.5, 2) 4) (1, ∞)
15. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของอสมการ (2x + 1)(x - 1) ≥ 0
2-x
และ B เปนเซตคําตอบของอสมการ 2x 2 - 7x + 3 < 0
ถา A I B = [c, d) แลว 6c - d เทากับขอใดตอไปนี้
*1) 4 2) 5 3) 6 4) 7
16. กําหนดให A = {x | (x2 - 1)(x2 - 3) ≤ 15 } ถา a เปนสมาชิกคานอยสุดในเซต A และ b เปนสมาชิก
คามากสุดในเซต A แลว (b - a)2 เทากับขอใดตอไปนี้
*1) 24 2) 16 3) 8 4) 4
4- 2
17. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของอสมการ x 2 13x + 36 ≥ 0 ถา a เปนจํานวนที่มีคานอยที่สุดในเซต
x + 5x + 6
S I (2, ∞) และ b เปนจํานวนลบที่มีคามากที่สุด ซึ่ง b ∉ S แลว a2 - b2 เทากับขอใดตอไปนี้
1) -9 2) -5 *3) 5 4) 9
18. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของสมการ |(2x - 1)(x + 3) | = |(x + 7)(3 - 4x) | ผลบวกของสมาชิก
ทั้งหมดของ A เทากับขอใดตอไปนี้
*1) -15 2) - 15
2 3) 15
2 4) 15
19. กําหนดให I เปนเซตของจํานวนเต็ม ถา S = {x | 2x2 - 9x - 26 ≤ 0 และ |1 - 2x| ≥ 0} แลว ผลบวก
ของสมาชิกของ S เทากับเทาใด (ตอบ 17)
20. เซตคําตอบของอสมการ |3x - 1| | (2x + 1) < 1 และ 5x < 1 เทากับขอใดตอไปนี้
1)  -∞, -1  U  0, 5 

 3  
 
1

2)  -∞, -1  U  0, 5 

 2  
 
1

U  1, 1  1  1 
 
3) (-∞, 0) 6 5

*4)  -∞, -6  U  0, 5 

   
21. ถาเซตคําตอบของอสมการ |x2 + x - 2| < (x + 2) คือชวง (a, b) แลว a + b มีคาเทากับเทาใด
(ตอบ 2)
คณิตศาสตร (66)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

67. 22. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของอสมการ |x2 + x - 2| ≤ |x2 - 4x + 3| และ B = A - {1} ถา
a เปนสมาชิกของ B ซึ่ง a - b ≥ 0 ทุก b ∈ B แลว พิจารณาขอความตอไปนี้
4
ก. 3 a เปนจํานวนคู ข. 5 เปนจํานวนคู
a
ขอใดตอไปนี้ถูก
1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ผิด และ ข. ถูก 3) ก. ถูก และ ข. ผิด 4) ก. และ ข. ผิด
23. กําหนดให A = {x|x2 + 2x - 3 < 0} และ B = {x|x + 1 ≥ 2|x|} ถา A - B = (a, b) แลว
3|a + b| มีคาเทาใด (ตอบ 10)
24. กําหนดให U เปนเซตคําตอบของอสมการ ||x + 1| + 2 | ⋅ ||x + 1| - 2 | ≤ 25 ประโยคในขอใดตอไปนี้มี
คาความจริงเปนจริง
1) ∃x∃y[x + y = 14] 2) ∃x∃y[x + y = 11]
*3) ∃x∃y[x + y = -11] 4) ∃x∃y[x + y = -14]
25. ถา A = {(x, y) ∈ R × R ||x + y| ≥ |x| + |y|} แลว A คือเซตในขอใดตอไปนี้
1) A = {(x, y) ∈ R × R | x = 0 หรือ y = 0}
2) A = {(x, y) ∈ R × R | x ≥ 0 หรือ y ≥ 0}
3) A = {(x, y) ∈ R × R | xy ≤ 0}
*4) A = {(x, y) ∈ R × R | xy ≥ 0}
26. ถา A = { x ∈ R+ | 3|x + 2| ≤ |2x2 + x|} แลวสมาชิกของ A ที่มคานอยที่สุดเทากับคาในขอใดตอไปนี้
ี
1) 13 - 1
2 *2) 13 + 1
2 3) 13 - 1 4) 13 + 1
27. กําหนดให P(x) และ Q(x) เปนพหุนามดีกรี 2551 ซึ่งสอดคลองกับ P(n) = Q(n) สําหรับ n = 1, 2, 3, ...,
2551 และ P(2552) = Q(2552) + 1 คาของ P(0) - Q(0) เทากับขอใดตอไปนี้
1) 0 2) 1
*3) -1 4) หาคาไมไดเพราะขอมูลไมเพียงพอ
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (67)

68. ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน
นิยามการหารลงตัว
ให a และ b เปนจํานวนเต็มโดยที่ b ≠ 0
b หาร a ลงตัวก็ตอเมื่อ มีจํานวนเต็ม c ที่ทําให a = bc เรียก b วา ตัวหาร (Divisor) ของ a และเรียก
a วา พหุคูณ (Multiple) ของ b
b | a แทน “b หาร a ลงตัว”
และ b | a แทน “b หาร a ไมลงตัว”
สมบัตการหารลงตัว
ิ
♥ ถา a, b และ c เปนจํานวนเต็มโดยที่ b และ c ไมเทากับศูนย แลว a | b และ b | c แลว a | c
♥ ถา a | b และ c | d แลว ac | bd
♥ ถา a และ b เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง a | b และ b ≠ 0 แลว a ≤ b
♥ ถา a, b และ c เปนจํานวนเต็ม ซึ่ง a | b และ a | c จะได a | (bx + cy) โดย x, y ∈ I และเรียก
bx + cy วา “ผลรวมเชิงเสน”
ตัวอยางที่ 1 กําหนด a, b และ c เปนจํานวนเต็มใดๆ ที่ไมเปนศูนย ถา a | (b + c) แลวขอใดตอไปนีถูก ้
1) a | b 2) a | c 3) a | (b 2 + c2) 4) a | (b 2 - c2)
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
ตัวอยางที่ 2 ถา d เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง d | 15k + 27) และ d | (3k + 2) แลว d ตรงกับขอใดตอไปนี้
1) 1 หรือ 17 2) 3 หรือ 11 3) 2 หรือ 13 4) 4 หรือ 19
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
คณิตศาสตร (68)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

69. จํานวนคูและจํานวนคี่
♥ จํานวนคู เขียนแทนดวย 2n เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม
♥ จํานวนคี่ เขียนแทนดวย 2n + 1 หรือ 2n - 1 เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม
ตัวอยางที่ 3 จงแสดงวา ถา x เปนจํานวนเต็มคี่ แลว 4 | (x2 - 1)
วิธีทํา .......................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
จํานวนเฉพาะ (Prime numbers)
♥ จํานวนเต็ม p ≠ 0 จะเปนจํานวนเฉพาะ ก็ตอเมื่อ p ≠ 1, -1 และถาจํานวนเต็ม x หาร p ลงตัว แลว
x ∈ {1, -1, p, -p}
♥ เรียกจํานวนเต็มที่ไมใชจํานวนเฉพาะ และไมใช -1, 0, 1 วาเปน “จํานวนประกอบ (composite
numbers)”
ตัวอยางที่ 4 จงหาจํานวนเต็มบวก n ทั้งหมดที่ทําให n3 - 14n2 + 64n - 93 เปนจํานวนเฉพาะ
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
ทฤษฎีบทหลักมูลทางเลขคณิต
♥ จํานวนเต็ม n ทุกจํานวนที่มากกวา 1 สามารถเขียนไดในรูปผลคูณของจํานวนเฉพาะไดเพียงแบบเดียว
เทานั้น
เชน 28 = 22 × 7
60 = 22 × 3 × 5
c c c c
♥ จํานวนตัวประกอบทั้งหมดที่เปนบวกของ n = p 1 1 ⋅ p 22 ⋅ p 33 ⋅... ⋅ p k k มีคาเทากับ
(c1 + 1)(c2 + 1)(c3 + 1) … (ck + 1)
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (69)

70. ตัวอยางที่ 5 จํานวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 210 ลงตัว มีจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้
1) 14 2) 15 3) 16 4) 17
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
ตัวอยางที่ 6 ถา A = {x ∈ I | x เปนจํานวนเฉพาะ และ 2x | (252 - 6x)7} แลว จํานวนสมาชิกทั้งหมดใน
A เทากับขอใด
1) 1 2) 2 3) 4 4) 6
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
ตัวหารรวมมาก (ห.ร.ม.)
♥ กําหนดจํานวนเต็ม a, b ซึ่ง a2 + b2 ≠ 0 จํานวนเต็มบวก d จะเปนตัวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ของ a
และ b ก็ตอเมื่อ
1) d | a และ d | b
2) ถา c เปนจํานวนเต็ม ซึ่ง c | a และ c | b จะไดวา c | d
♥ d = (a, b) = ห.ร.ม. ของ a และ b
♥ เราสามารถเขียน d ในรูปของผลรวมเชิงเสนของ a และ b คือ d = am + bn เมื่อ m, n ∈ I
♥ ถา (a, b) = 1 เราเรียก a, b วาเปน “ จํานวนเฉพาะสัมพัทธ (Relative primes) ”
ตัวอยางที่ 7 ถา a เปน ห.ร.ม. ของ 403 และ 465 และ b เปน ห.ร.ม. ของ 431 และ 465 แลว a - b มีคา
เทาใด
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
ตัวอยางที่ 8 จํานวนเต็มทั้งหมดตั้งแต 0 ถึง 100 ที่ไมเปนจํานวนเฉพาะสัมพัทธกบ 15 มีทั้งหมดกี่จํานวน ั
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
คณิตศาสตร (70)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

71. ขั้นตอนวิธีการหาร
ให m และ n เปนจํานวนเต็ม ซึ่ง n ≠ 0 แลว จะมีจํานวนเต็ม q และ r ชุดเดียว ซึ่ง m = nq + r โดยที่
0 ≤ r < | n | เรียก q วา ผลหาร และ r วา เศษเหลือ
ตัวอยางที่ 9 กําหนดให n เปนจํานวนนับใดๆ และ r เปนเศษเหลือจากการหาร n2 ดวย 11 จํานวนในขอใด
ตอไปนี้เปนคาของ r ไมได
1) 1 2) 3 3) 5 4) 7
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
ตัวอยางที่ 10 กําหนดให n เปนจํานวนเต็มที่มีคามากที่สุด ซึ่งมีสมบัติวา n หาร 551 และ 731 เหลือเศษ r
เทากัน และ n หาร 1093 เหลือเศษ r + 2 แลว r - 1 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ n
1) 17 1 2) 18 1 3) 19 1 4) 20 1
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
ขั้นตอนวิธียุคลิด
กําหนดจํานวนเต็มบวก a และ b จากการนําขั้นตอนการหารมาใชซ้ําๆ กัน จะไดสมการ
b = (a ⋅ q1) + r1 0 < r1 < a ...(1)
a = (r1 ⋅ q2) + r2 0 < r2 < r1 ...(2)
r1 = (r2 ⋅ q3) + r3 0 < r3 < r2 ...(3)
M M
rn-2 = (rn-1 ⋅ qn) + rn 0 < rn < rn-1 ...(n)
rn-1 = (rn ⋅ qn+1) + 0 0 < r1 < a ...(n + 1)
rn = (a, b) = ห.ร.ม.
ตัวคูณรวมนอย (ค.ร.น.)
♥ ให m และ n เปนจํานวนเต็มที่ไมเปนศูนย c จะเปนตัวคูณรวมนอย (ค.ร.น.) ของ m และ n ก็ตอเมื่อ
1. m | c และ n | c
2. ถา a เปนจํานวนเต็ม ซึ่ง m | a และ n | จะได c | a
♥ c = [ m, n ] = ค.ร.น. ของ m, n
♥ ถา d และ c เปน ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ที่เปนบวกของจํานวนเต็ม m, n ตามลําดับ จะไดวา dc = mn
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (71)

72. แบบทดสอบ
1. ถา d เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง d | (20k + 36) และ d | (4k + 3) แลว d ตรงกับขอใดตอไปนี้
1) 1 หรือ 11 *2) 3 หรือ 5 3) 2 หรือ 11 4) 4 หรือ 5
2. ให a, b และ c เปนจํานวนเต็ม จงพิจารณาขอความตอไปนี้
ก. ถา a | bc แลว a | b หรือ a | c
ข. ถา a | b และ b | c แลว a | (c - b)
ขอใดตอไปนี้ถูก
1) ถูกทั้ง ก. และ ข. 2) ถูกเฉพาะขอ ก. *3) ถูกเฉพาะขอ ข. 4) ผิดทั้ง ก. และ ข.
3. กําหนดให a, b และ c เปนจํานวนเต็ม ขอใดตอไปนี้เปนจริง
1) ถา a | (b + c) แลว a | b หรือ a | c
2) ถา a | bc แลว a | b หรือ a | c
*3) ถา a | (2a - 3b) และ a | (4a - 5b) แลว a | b
4) ถา a | c และ b | c จะได ab | c
4. พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. 3 | (a4 + 2a3 - a2 - 2a) ทุกจํานวนเต็ม a
ข. {x ∈ I- | 6x3 + 17x2 + 14x + 3 ≥ 0} มีสมาชิกเพียงตัวเดียว
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
*1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด
5. พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. ถา a, b และ c เปนจํานวนเต็มซึ่ง a | (2b - c) และ a2 | (b + c) แลว a | 3c
 
ข. ถา A =  x ∈ R x -x2x 2+ 2 < 1 และ B = {x ∈ R | x3 - 2x2 < 0} แลว A = B
 - 
ขอใดตอไปนีถูก
้
1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด
6. ถา A = {p | p เปนจํานวนเฉพาะบวก และ p | (980 - p)3} แลว ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดใน A เทากับ
ขอใด
1) 10 2) 12 *3) 14 4) 16
7. กําหนด a เปนจํานวนเต็มใดๆ จงพิจารณาขอความตอไปนี้
ก. (a2 + a) เปนจํานวนคี่ ข. (a2 - a) เปนจํานวนคู
ขอใดกลาวถูกตอง
1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด *3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด
คณิตศาสตร (72)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

73. 8. ขอความใดตอไปนีผิด ้
1) ถา a และ b เปนจํานวนคูแลว (a - b)2 เปนจํานวนคู
2) ถา b | a และ |a| < |b| แลว a = 0
*3) ห.ร.ม. ของ 364 และ 1012 คือ 2
4) ถา a เปนจํานวนคี่ และ b เปนจํานวนคูแลว a2 + 2b เปนจํานวนคี่
9. กําหนดให a เปนคําตอบของ 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 5 + 5 ⋅ 6
และ b เปนคําตอบของ 4 ⋅ 6 + 6 ⋅ 8 + 8 ⋅ 10 + 10 ⋅ 12
แลว (a, b) มีคาตรงกับขอใดตอไปนี้
1) 70 *2) 68 3) 66 4) 64
10. กําหนดให a และ b เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง (a, b) = c แลว ห.ร.ม. ของ 2a และ 2b ตรงกับขอใดตอไปนี้
1) c *2) 2c 3) 4c 4) 8c
11. กําหนดให a, b และ c เปนจํานวนเต็มบวกใดๆ พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. ถา a | b และ b | c แลว a | c
ข. ถา a | b แลว ห.ร.ม. ของ a กับ b คือ a
ขอใดตอไปนีถูก
้
*1) ถูกทั้ง ก. และ ข. 2) ถูกเฉพาะขอ ก. 3) ถูกเฉพาะขอ ข. 4) ผิดทั้ง ก. และ ข.
12. กําหนดให x และ y เปนจํานวนเต็มบวก โดยที่ x < y ห.ร.ม. ของ x, y เทากับ 9 ค.ร.น. ของ x, y
เทากับ 28215 และจํานวนเฉพาะที่แตกตางกันทั้งหมดที่หาร x ลงตัว มี 3 จํานวน คาของ y - x เทากับ
ขอใดตอไปนี้
1) 36 2) 45 3) 9 *4) 18
13. ให x และ y เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง 80 < x < 200 และ x = pq เมื่อ p และ q เปนจํานวนเฉพาะ
ซึ่ง p ≠ q ถา x และ y เปนจํานวนเฉพาะสัมพัทธ และ ค.ร.น. ของ x, y เทากับ 15015 แลว ผลบวก
ของคาของ y ทั้งหมดที่สอดคลองเงื่อนไขทั้งหมดที่กําหนดใหเทากับเทาใด (ตอบ 270)
14. ถา 1 = ax + by โดย a, x, b, y เปนจํานวนเต็ม จงหา ห.ร.ม. ของ x, y (ตอบ 1)
15. ให a เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง 3 | a และ 5 | a หา ห.ร.ม. ของ a และ 7 เทากับ 1 แลว ห.ร.ม. ของ a และ
105 เทากับขอใดตอไปนี้
1) 5 *2) 15 3) 35 4) 105
16. กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ {x | x เปนจํานวนเต็มที่ไมใช 0 และ -100 ≤ x ≤ 100}
ให A = {x | ห.ร.ม. ของ x กับ 21 เปน 3} จํานวนสมาชิกของ A เทากับขอใดตอไปนี้
1) 29 2) 34 3) 68 *4) 58
17. สําหรับจํานวนเต็ม a, b ใดๆ ให (a, b) = ห.ร.ม. ของ a และ b ให A = {1, 2, 3, ..., 400} จํานวน
สมาชิกของเซต {x ∈ A | (x, 40) = 5} มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) 30 *2) 40 3) 60 4) 80
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (73)

74. 18. ถา a เปน ห.ร.ม. ของ 403 และ 465 และ b เปน ห.ร.ม. ของ 431 และ 465 แลว a - b มีคาเทาใด
(ตอบ 30)
19. กําหนดให n เปนจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยที่สุด ซึ่งหารดวย 7 แลวมีเศษเหลือเทากับ 4 ถา 9 และ 11 ตาง

ก็หาร (n - 2) ลงตัวแลว n คือจํานวนใด
20. กําหนด a, b, n, r เปนจํานวนเต็มใดๆ จงพิจารณาขอความตอไปนี้
a = b(n) + r
b = r(2) + 70
r = 70(1) + 21
70 = 21(3) + 7
21 = 7(3) + 0
ขอใดตอไปนี้ผิด
1) (a, b) = (70, 21) *2) (b, n) = 3 3) (r, 70) = (70, 21) 4) (a, b) = 7
21. ถา a, b, q1, q2 เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง
a = bq1 + 231
b = 231q2 + 126
แลว ห.ร.ม. ของ a, b เทากับเทาใด (ตอบ 21)
22. กําหนดให a และ b เปนจํานวนเต็มบวก ถา b หาร a ไดผลลัพธ 1 เหลือเศษ 24 โดยที่ 24 < b, 24
หาร b ไดผลลัพธ 1 เศษ 12 แลว ห.ร.ม. ของ a และ b เทากับจํานวนในขอใดตอไปนี้
1) 1 2) 2 3) 6 *4) 12
23. ให n ∈ I+ ซึ่ง ห.ร.ม. ของ n และ 42 เทากับ 6
ถา 42 = n q0 + r0 , 0 < r0 < n
n = 2 r0 + r1 , 0 < r1 < r0
และ r0 = 2 r1
โดยที่ q0, r0, r1 เปนจํานวนเต็ม แลว ค.ร.น. ของ n และ 42 มีคาเทากับเทาไร (ตอบ 210)
24. กําหนดให a, b เปนจํานวนเต็ม ซึ่ง a เปน ห.ร.ม. ของ b และ 216 ให q1, q2 เปนจํานวนเต็มบวกโดยที่
216 = bq1 + 106
b = 106q2 + 4
ถา f(x) = x3 + ax2 + bx - 36 แลว เมื่อหาร f(x) ดวย x - a ไดเศษเทากับเทาใด
1) 192 *2) 200 3) 236 4) 272
25. ในระบบจํานวนเต็ม ให a และ b > 0
a = 1998 b + r , 0 < r < 1998
1998 = 47 r + r1 , 0 < r1 < r
และ (r, r1) = 6 ขอความใดตอไปนีถูกตอง
้
1) (a, b) = 6 *2) (a, 1998) = 6 3) (b, r) = 6 4) (1998, r) > 6
คณิตศาสตร (74)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

75. 26. เมื่อหารจํานวนเต็มบวก x ดวย 6 มีเศษเหลือเปน 4 จงหาเศษเหลือ เมื่อหาร 4x ดวย 3 (ตอบ 1)
27. ถา n เปนจํานวนเต็มบวกที่มากที่สุดซึ่งหาร 90 เหลือเศษ 6 และหาร 150 เหลือเศษ 3 แลว n หาร 41
เหลือเศษเทากับขอใดตอไปนี้
1) 5 2) 6 3) 18 *4) 20
28. ขอความในขอใดตอไปนีผิด ้
1) ถา a, b, n เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง n | a และ n | b แลวจะไดวา n หาร ห.ร.ม. ของ a, b ลงตัวดวย
2) ถา a, b, n เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง a | n และ b | n แลวจะไดวา ค.ร.น. ของ a, b หาร n ลงตัวดวย
*3) ถา a, m, n เปนจํานวนเต็มบวก และ a | mn แลวจะไดวา a | m และ a | n
4) ถา d และ c เปน ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนเต็มบวก m, n แลวจะไดวา dc = mn
29. ให a เปนจํานวนคูบวก และ b เปนจํานวนคี่บวก ขอใดตอไปนี้ถูก
1) a และ b เปนจํานวนเฉพาะสัมพัทธ
2) a + b เปนจํานวนเฉพาะ
3) ห.ร.ม. ของ a และ b เทากับ ห.ร.ม. ของ a และ 2b
*4) ค.ร.น. ของ a และ b เทากับ ค.ร.น. ของ a และ 2b
30. กําหนดให m เปนจํานวนเต็มบวก และ n เปนจํานวนเฉพาะ ถา m หาร 777 และ 910 แลวเหลือเศษ n
แลว m – n มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 2)
31. ถา n เปนจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยสุด ซึ่ง 3 | (n - 2) และ 7 | (n - 6) แลว ห.ร.ม. ของ n และ (n + 4)
มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) 3 *2) 4 3) 5 4) 7
32. ให m และ n เปนจํานวนเต็มบวก ถา 5 หาร m เหลือเศษ 4 และ 5 หาร n เหลือเศษ 2 แลว 5 หาร
(m + n) เหลือเศษเทากับขอใดตอไปนี้
*1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
33. ถา S เปนเซตของจํานวนเต็ม m ที่มีสมบัติดังนี้ 50 ≤ m ≤ 100 และ 7 หาร m3 เหลือเศษ 6 แลว
จํานวนสมาชิกของ S เทากับขอใดตอไปนี้
1) 7 2) 14 3) 18 *4) 21
34. ถา n เปนจํานวนเต็มบวกซึ่งมีสมบัติดงนี้ 100 ≤ n ≤ 1000, 45 และ 75 หาร n ลงตัว, 7 หาร n เหลือเศษ
ั
3 แลว n มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 675)
35. กําหนดให n เปนจํานวนนับใดๆ และ r เปนเศษที่เหลือจากการหาร n2 ดวย 11 จํานวนในขอใดตอไปนี้เปน
คาของ r ไมได
1) 1 2) 3 3) 5 *4) 7
36. กําหนดให n เปน ห.ร.ม. ของ 14097 และ 14351 จํานวนในขอใดตอไปนี้หารดวย n แลวไดเศษเหลือเปน
จํานวนเฉพาะ
1) 135 *2) 144 3) 153 4) 162
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (75)

76. ความสัมพันธและฟงกชัน
ผลคูณคารทีเซียน (Cartesian product) A × B = {(x, y) | x ∈ A และ y ∈ B}
สมบัตของผลคูณคารทีเซียน
ิ
1. A × B = B × A ก็ตอเมื่อ A = B หรือ A = ∅ หรือ B = ∅
2. A × ∅ = ∅ = ∅ × A
3. ถา A และ B เปนเซตจํากัดแลว n(A × B) = n(A) × n(B)
4. มีสมบัติการแจกแจง
A × (B U C) = (A × B) U (A × C)
A × (B I C) = (A × B) I (A × C)
A × (B - C) = (A × B) - (A × C)
ความสัมพันธ (relation)
♥ ความสัมพันธ คือ เซตที่เกิดจากสมาชิกของผลคูณคารทีเซียนที่สอดคลองกับเงื่อนไขที่กําหนด
♥ r เปนความสัมพันธจากเซต A ไปเซต B เมื่อ r ⊂ A × B
♥ r เปนความสัมพันธใน A เมื่อ r ⊂ A × A
♥ ถา (x, y) ∈ r แสดงวา x มีความสัมพันธ r กับ y เขียนแทนดวย x r y
♥ ถา (x, y) ∉ r แสดงวา x ไมมีความสัมพันธ r กับ y เขียนแทนดวย x r y
♥ จํานวนความสัมพันธท่เปนไปไดจาก A ไป B = 2n(A)×n(B) ความสัมพันธ
ี
โดเมนและเรนจของความสัมพันธ
♥ โดเมนของความสัมพันธ r (Dr) คือ เซตของสมาชิกตัวหนาของคูอนดับ Dr = {a | (a, b) ∈ r}
ั
♥ เรนจของความสัมพันธ r (Rr) คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคูอันดับ Rr = {b | (a, b) ∈ r}
♥ การหา Dr และ Rr ของความสัมพันธ
1) จัดรูปสมการ หาโดเมน ⇒ จัด y ใหอยูในรูปของ x (หรือ y = ... x)
หาเรนจ ⇒ จัด x ใหอยูในรูปของ y (หรือ x = ... y)
2) ตรวจสอบคา x, y โดย
ถา แลว ∆ ≠ 0
∆
ถา = ∆ แลว ≥ 0 และ ∆ ≥ 0 หรือ ถา = - ∆ แลว ≤ 0 และ ∆ ≥ 0
ถา = | ∆ | แลว ≥ 0 และ ∆ ∈ R หรือ ถา = -|∆| แลว ≤ 0 และ ∆ ∈ R
ถา = ∆2 แลว ≥ 0 และ ∆ ∈ R หรือ ถา = -∆2 แลว ≤ 0 และ ∆ ∈ R
อินเวอรสของความสัมพันธ
♥ ถา r = {(a, b)} แลว r-1 = {(b, a)}
♥ D -1 = Rr และ R -1 = Dr
r r
คณิตศาสตร (76)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

77. ฟงกชัน (Function)
คือ ความสัมพันธที่สมาชิกในโดเมนแตละตัวจับคูกับสมาชิกในเรนจของความสัมพันธเพียงตัวเดียวเทานั้น
r1 r2
1 -1 1 -1
2 -2 2 -2
3 -3 3 -3
r1 เปนความสัมพันธที่เปนฟงกชัน r1 เปนความสัมพันธที่ไมเปนฟงกชัน
นั่นคือ f จะเปนฟงกชน ก็ตอเมื่อ f เปนความสัมพันธ ซึ่งถามี (x, y) ∈ f และ (x , z) ∈ f แลว y = z
ั
แทนฟงกชันดวยสัญลักษณ f = {(x, y) | y = f(x)} หรือ y = f(x)
ฟงกชันแบบตางๆ
1. f เปนฟงกชันจาก A ไป B เมื่อ f เปนฟงกชัน ที่มี Df = A และ Rf ⊂ B
แทนดวยสัญลักษณ f : A → B
2. f เปนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B เมื่อ f เปนฟงกชัน ที่มี Df = A และ Rf = B
แทนดวยสัญลักษณ f : A ทั่ว→ B หรือ f : A onto → B

ถึง
 
3. f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไป B เมื่อ f เปนฟงกชันจาก A ไป B ซึ่งถา f(x1) = f(x2) แลว x1 = x2
แทนดวยสัญลักษณ f : A 1 - 1→ B 
4. f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B เมื่อ f เปนฟงกชัน 1 - 1 ที่มี Df = A และ Rf = B
แทนดวยสัญลักษณ f : A 1onto→ B หรือ f : A 1 - 1→ B

-1
 
ทั่วถึง
5. f เปนฟงกชันเพิ่มใน A ก็ตอเมื่อ สําหรับ x1 และ x2 ใดๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) < f(x2)
6. f เปนฟงกชันลดใน A ก็ตอเมื่อ สําหรับ x1 และ x2 ใดๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) > f(x2)
ฟงกชันประกอบ (composite function)
กําหนด f และ g เปนฟงกชัน โดยที่ Rf I Dg ≠ ∅
A f B C g D
gof
ฟงกชันคอมโพสิทของ f และ g เขียนแทนดวย gof โดยที่ (gof)(x) = g(f(x))
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (77)

78. การหาคาของฟงกชันจากฟงกชันประกอบ
ตัวอยางที่ 1 กําหนดให f = {(1, 3), (3, 5), (5, 1)} และ g = {(3, 1), (1, 1), (2, 5), (5, 3)} จงหา
gof = ..............................................................................................................................................
fog = ..............................................................................................................................................
fof = ..............................................................................................................................................
gog = ..............................................................................................................................................
ตัวอยางที่ 2 กําหนดให f(x) = x + 1 และ ตัวอยางที่ 3 ถา f(g(x)) = x2 และ f(x) = x – 1
(gof)(x) = x2 + 2x + 3 จงหา g(x) จงหา g(x)
ฟงกชันอินเวอรส (Inverse Function)
การหาอินเวอรสของฟงกชัน จะเหมือนกับการหาอินเวอรสของความสัมพันธ r ซึ่งมีหลักการดังนี้
กําหนด f = {(x, y) ∈ A × B | y = เทอมของ x} จะไดวา
f-1 = {(x, y) ∈ B × A | y = เทอมของ x}
หรือ f-1 = {(y, x) ∈ B × A | x = เทอมของ y}
สมบัติของฟงกชนอินเวอรส
ั
1. Df = R f -1 ; Rf = D f -1
2. กราฟของ f-1 จะสมมาตรกับกราฟของ f เมื่อเทียบกับเสนตรง y = x
3. (fog)-1 (x) = (g-1of-1)(x) เมื่อ f(x) และ g(x) เปนฟงกชัน 1 - 1
4. (fof-1)(x) = x
5. (f-1o f)(x) = x
6. ถา f (∆) = แลว ∆ = f-1( )
พีชคณิตของฟงกชัน (Algebra of functions)
1. f + g = {(x, y) | y = f(x) + g(x) และ Df+g = Df I Dg}
2. f - g = {(x, y) | y = f(x) - g(x) และ Df-g = Df I Dg}
3. fg = {(x, y) | y = f(x) g(x) และ Dfg = Df I Dg}
f f(x)
4. g = {(x, y) | y = g(x) และ Df/g = Df I Dg - {x | g(x) = 0}}
คณิตศาสตร (78)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

79. แบบทดสอบ
1. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของอสมการ x2 ≤ 8x + 20 ถา A = {x ∈ S | x เปนจํานวนเฉพาะบวก}
และ B = {x ∈ S | x เปนจํานวนเต็มคี่} แลว (A × B) - (B × A) มีจํานวนสมาชิกเทากับขอใดตอไปนี้
1) 11 *2) 15 3) 21 4) 23
2. ให A = {0, 1, 2, 3} และ P(A) คือเพาเวอรเซตของ A ถา r เปนความสัมพันธจาก A ไปยัง P(A)
กําหนดโดย r = {(a, B) | a ≥ 2, a ∉ B และ a + 1 ∉ B} แลว r มีจํานวนสมาชิกกี่จํานวน (ตอบ 12)
3. กําหนดให S = [-2, 2] และ r = {(x, y) ∈ S × S | x2 + 2y2 = 2} ชวงในขอใดตอไปนี้ไมเปนสับเซตของ
Dr - Rr
1) (-1.4, -1.3) 2) (-1.3, -1.2) 3) (1.2, 1.4) *4) (1.4, 1.5)
4. กําหนดให r = {(x, y) | (x - 2)(y - 1) = 1} และ s = {(x, y) | xy2 = (y + 1)2} เซตในขอใดตอไปนี้
ไมเปนสับเซตของ Rr I Rs
1) (-∞, -1) 2)  -2, -1 

 2
*3)  1 , 2 

2 
 4) (1, ∞)
5. กําหนดให r = {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 = 16}, s = {(x, y) ∈ R × R | xy2 + x + 3y2 + 2 = 0}
เซตในขอใดตอไปนี้เปนสับเซตของ Dr - Ds
1) [-4, -1] 2) [-3, 0] *3) [-2, 1] 4) [-1, 2]
6. กําหนดให A = [-2, -1] U [1, 2] และ r = {(x, y) ∈ A × A | x - y = -1} ถา a, b > 0 และ
a ∈ Dr, b ∈ Rr แลว a + b เทากับขอใดตอไปนี้
1) 2.5 *2) 3 3) 3.5 4) 4
7. กําหนดให r = {(x, y) | x > 0, x ≠ y, x - 3 x = y - 3 y } สมาชิกคามากที่สุดของ Dr เทากับขอใด
ตอไปนี้
1) 4 *2) 8 3) 94 4) 98
3 3 3 3
8. กําหนดให r = {(x, y) | x ≥ y และ y2 = x2 + 2x - 3} พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. Dr = [1, ∞) ข. Rr = (-∞, ∞)
ขอใดตอไปนี้ถูก
1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด
9. ถา r = {(x, y) | y ≤ x2 และ y ≥ 2x} แลวเรนจของ r-1 คือเซตในขอใดตอไปนี้
1) [0, 2] 2) [0, 4] *3) (-∞, 0] U [2, ∞) 4. (-∞, 0] U [4, ∞)
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (79)

80. 10. หนดให r = {(x, y) | x ∈ [-1, 1] และ y = x2}
พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. r-1 = {(x, y) | x ∈ [0, 1] และ y = ± | x | }
ข. กราฟของ r และกราฟของ r-1 ตัดกัน 2 จุด
ขอใดตอไปนี้ถูก
*1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด
11. ให R เปนเซตของจํานวนจริง และ f : R → R กําหนดโดย
-1 - x ; x < 0

f(1 - x) =  0 ; x = 0


 1- x ; x > 0

ถา x * y = f(y – x2) สําหรับจํานวนจริง x และ y ใดๆ แลวคาของ f(-2) * f(3) มีคาอยูในชวงใดตอไปนี้
*1) (-4, -2] 2) (-2, 2] 3) (2, 4] 4) (4, 6)
 2 ; x ≤ -1

12. กําหนดให f(x) = (x - 1)2 ; -1 < x < 2 เซตคําตอบของสมการ f(|x|) - 4 = 0 เปนสับเซตของเซต


(x + 1) ; x≥2

ซึ่งเปนชวงในขอใดตอไปนี้
1) (-3, 5) 2) (-6, -1) *3) (-5, 4) 4) (1, 6)
13. กําหนดให f(x) = x - 1 เมื่อ x ∈ (-∞, -1] U [0, 1]
และ g(x) = 2x เมื่อ x ∈ (-∞, 0]
ขอใดตอไปนี้ถูก
*1) Rg ⊂ Df 2) Rf ⊂ Dg
3) f เปนฟงกชัน 1 - 1 4) g ไมเปนฟงกชัน 1 - 1
14. ให A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {a, b, c} เซต S = {f | f : A → B เปนฟงกชันทั่วถึง} มีจํานวนสมาชิก
เทากับขอใดตอไปนี้
1) 12 2) 24 *3) 36 4) 39
1-1
15. กําหนดให A = {1, 2} และ B = {1, 2, 3, 4} เซต { f | f : A  → B และ f(x) ≠ x ทุก x ∈ A }

มีจํานวนสมาชิกเทาใด (ตอบ 7)
16. ให A = {1, 2, 3, 4} และ B = {1, 2, 3, 4, 5} ถา f เปนฟงกชันจาก A ไป B โดยที่ f(1) = 2 หรือ
f(2) = m เมื่อ m เปนจํานวนคี่ แลว จํานวนของฟงกชัน f ที่มีสมบัตดังกลาวเทากับขอใด
ิ
1) 75 2) 150 *3) 425 4) 500
17. กําหนดให f(x) = x2 + x + 1 และ a, b เปนคาคงตัวโดยที่ b ≠ 0 ถา f(a + b) = f(a - b) แลว a2 อยู
ในชวงใดตอไปนี้
*1) (0, 0.5) 2) (0.5, 1) 3) (1, 1.5) 4) (1.5, 2)
คณิตศาสตร (80)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

81. 18. กําหนดให n เปนจํานวนนับ ถา f : {1, 2, ..., n} → {1, 2, ..., n} เปนฟงกชัน 1 – 1 และทั่วถึง ซึ่ง
สอดคลองกับเงื่อนไข f(1) + f(2) + ... + f(n) = f(1)f(2) ... f(n) แลวคามากสุดที่เปนไปไดของ f(1) - f(n)
เทากับขอใดตอไปนี้
*1) 2 2) 5 3) 8 4) 11
19. ถา f(x) = 1 และ g(x) = 2f(x) แลว gof(3) + fog-1(3) มีคาเทาใด (ตอบ 7.5)
x
20. กําหนดให f(x) = x - 5 และ g(x) = x2 ถา a เปนจํานวนจริงซึ่ง (gof)(a) = (fog)(a) แลว (fg)(a) มีคา
เทากับขอใดตอไปนี้
1) -25 *2) -18 3) 18 4) 25
 x2 , x ≥ 0
21. กําหนดให f(x) = 3x - 1 และ g-1(x) = 
 คาของ f-1(g(2) + g(-8)) เทากับขอใดตอไปนี้
-x 2 , x < 0

*1) 1 -3 2 2) 1 +3 2 3) 1 --3 2 4) 1 +-3 2
22. กําหนดให f(x) = x2 และ g เปนฟงกชันพหุนามโดยที่ gof(x) = 3x2 + 1
ถาเซต {y | y = g-1of(x), x ∈ [-10, 10]} คือชวง [a, b] แลว 3(a + b) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) 88 2) 90 *3) 98 4) 100
23. กําหนดให f(x) = 10x และ g(x) = 100 - 3x 2 จํานวนเต็มที่มคามากที่สุดที่เปนสมาชิกของ Rgof มีคา
ี
เทาใด (ตอบ 10)
24. กําหนดฟงกชัน f และ g ดังนี้ f(2x - 1) = 4x - a, a > 0 และ g-1(x) = x + 1 ถา (fog)(a) = a2 + 20
แลว f(a) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) 6 *2) 7 3) 10 4) 17
25. กําหนดให f, g เปนฟงกชัน ซึ่ง Df = [0, ∞) โดยที่ f-1(x) = x2 ; x ≥ 0 และ g-1(x) = (f(x))2 + 1 ; x ≥ 0
ถา a > 0 และ f(a) + g(a) = 19 แลว f -1 (a) + g-1 (a) เทากับขอใดตอไปนี้
*1) 273 2) 274 3) 513 4) 514
26. กําหนดให f(x) = ax2 + b และ g(x - 1) = 6x + c เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัว ถา f(x) = g(x) เมื่อ
x = 1, 2 และ (f + g)(1) = 8 แลว (fog-1)(16 ) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) 319 2) 61 9 3) 10 *4) 20
27. ให I เปนเซตของจํานวนเต็ม ถา f และ g เปนฟงกชันซึ่งกําหนดโดย f(x) = 2x และ g(x) = x - 1 ทุก
x ∈ I แลวเรนจของ (fog) + f คือเซตในขอใดตอไปนี้
*1) {x ∈ I | x เปนจํานวนเต็มคี่}
2 2) {x ∈ I | x เปนจํานวนเต็มคู}
2
3) เซตของจํานวนเต็มคี่ทั้งหมด 4) เซตของจํานวนเต็มคูทั้งหมด
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (81)

82. x-1 ; x < 0


28. กําหนดให f และ g เปนฟงกชัน ซึ่งนิยามโดย f(x) =  และ g(x) = x2 + 4x + 13 ถา a
x3 - 1 ; x ≥ 0


เปนจํานวนจริงบวก ซึ่ง g(a) = 25 แลว f-1(-2a) + f-1(13a) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
*1) 0 2) 2 3) 4 4) 6
29. กําหนดให f และ g เปนฟงกชัน ซึ่งนิยามโดย f(x) = x2 + 1 และ g(x) = ax เมื่อ a ∈ (0, 1) ถา k เปน
 
จํานวนจริงที่ทําให (fog)(k) = (gof)(k) แลว (fog-1)  12  มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
 
k 
1) 1 *2) 2 3) 3 4) 4
30. กําหนดให f, g เปนฟงกชันซึ่ง f(x) = (x - 1)3 + 3 และ g-1(x) = x2 - 1, x ≥ 0 ถา gof-1(a) = 0
แลว a2 อยูในเซตใดตอไปนี้
*1) [10, 40] 2) [40, 70] 3) [70, 100] 4) [100, 130]
31. กําหนดให f(x) = 3x + 5 และ h(x) = 3x2 + 3x - 1 ถา g เปนฟงกชัน ซึ่งทําให fog = h แลว g(5) มีคา
เทาใด (ตอบ 28)
32. กําหนดให f(x) = -(x - 1)2 ทุก x ≤ 1 และ g(x) = 1 - x ทุก x ≤ 1 พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. f-1(x) = 1 - | x | ทุก x ≤ 0
ข. (g-1of-1)  -1  = 3

 4

4
ขอใดตอไปนี้ถูก
1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด
33. กําหนดให f และ g เปนฟงกชัน ซึ่ง f(x) < 0 ทุก x ถา (gof)(x) = 2[f(x)]2 + 2f(x) - 4 และ
g-1(x) = x 3 1 แลว พิจารณาขอความตอไปนี้
+
ก. gof เปนฟงกชันคงตัว ข. f(100) + g(100) = 300
ขอใดตอไปนีถูก
้
1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด
 2 ; x ≤ -1

34. กําหนดให f(x) = (x - 1)2 ; -1 < x < 2 และ g(x) = f(x) + 2 ถา k เปนจํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่ทําให


(x + 1) ; x≥2

g(k) > 5 แลว (gof)(k) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 5 2) 6 *3) 7 4) 8
คณิตศาสตร (82)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

83. 35. กําหนด f เปนฟงกชันจากเซต {0, 1, 2, ..., 2551} ไปยังเซตของจํานวนเต็มบวก ถา f สอดคลองทุก
เงื่อนไขตอไปนี้
(1) f(2x + 1) = f(2x)
(2) f(3x + 1) = f(3x)
(3) f(5x + 1) = f(5x)
และ (4) f(7x + 1) = f(7x)
แลวเรนจของ f มีจํานวนสมาชิกมากที่สุดที่เปนไปไดกี่จํานวน (ตอบ 584)
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (83)

84. เมตริกซ (Matrices)
a
 11 a11 ... a1n 

a
 21 a22 .... a2n 

A = [aij]m×n = 
M


เปนเมตริกซที่มี m แถว และ n หลัก
M M
 
 a
 m1 am2 ... a mn 

นั่นคือ A เปนเมตริกซที่มีมิติ m × n โดยที่ aij คือ สมาชิกของเมตริกซ A ที่อยูในแถวที่ i และหลักที่ j
ชนิดของเมตริกซ
1. เมตริกซศูนย (zero matrix หรือ null matrix) คือ เมตริกซที่มีสมาชิกทุกตัวเปนศูนย แทนดวย 0
2. เมตริกซจตุรัส (square matrix) คือ เมตริกซที่มีจํานวนแถวเทากับจํานวนหลัก
ั
3. เสนทแยงมุมหลัก (main diagonal) คือ แนวที่ลากจากมุมบนซาย ทแยงมายังมุมลางขวาของ
เมตริกซจัตรส หรือสมาชิกในตําแหนง a11, a22, a33, …, ann
ุั
4. เมตริกซหนึ่งหนวย หรือเมตริกซเอกลักษณ (Unit matrix หรือ Identity matrix ; In)
1 0 0 
1 0   
เชน I1 = [1]1×1 I2 = 0 1
 
I3 = 0 1 0 
 
  2×2  0 0 1
  3×3
5. เมตริกซสามเหลี่ยม (Triangular matrix) คือ เมตริกซจัตุรัสที่มีสมาชิกที่อยูดานบน หรือดานลาง
ของแนวเสนทแยงมุมหลัก เปนศูนยทั้งหมด เชน
1 2 3  0 0 0  0 0 0
2 3       
  0 4 5  0 4 0  0 0 0
0 9 
 
     
0 0 6  4 2 6  5 0 0
     
การเทากันของเมตริกซ เมตริกซจะเทากันก็ตอเมื่อมีมิติเทากัน และสมาชิกในตําแหนงเดียวกันมีคา
1   30 
เทากัน เชน 0  =  3 
  0 
   
การบวกและการลบเมตริกซ ถา A = [aij]m×n และ B = [bij]m×n แลว A ± B = [aij ± bij]m×n
นั่นคือ จะตองตรวจสอบกอนวาเมตริกซที่นํามาบวกหรือลบกันนั้น มีมิติเทากันหรือไม
- ถาเทากันใหนําสมาชิกที่อยูในตําแหนงเดียวกันมาบวก หรือลบกัน เชน
-1 2   1 3 (-1) + 1 2 + 3   0 5
  +   =   = -1 3 
 0 1
  -1 2 
  0 + (-1) 1 + 2 
  
 

-1 2   1 3 (-1) - 1 2 - 3  -2 -1 

 0 1
 -  
-1 2 
=  
0 - (-1) 1 - 2 
=  1 -1
 
       
- ถาไมเทากัน ไมสามารถนํามาบวก หรือลบกันได
คณิตศาสตร (84)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

85. การคูณเมตริกซ
1. คูณเมตริกซดวยคาคงที่ ถา A = [aij]m×n แลว c ⋅ A = [c ⋅ aij]m×n
1 2 3  10 20 30 
เชน 10 ⋅  4 5 6  =  40 50 60 
   
   
2. คูณเมตริกซดวยเมตริกซ
เมตริกซจะคูณกันไดก็ตอเมื่อ จํานวนหลักของเมตริกซตัวตั้ง เทากับ จํานวนแถวของเมตริกซตัวคูณ

และผลคูณที่ไดจะมีมิติเทากับ “แถวของเมตริกซตัวตั้ง (ตัวหนา) × หลักของเมตริกซตัวคูณ (ตัวหลัง)” ดังนี้
A 2×2 × B2×3 = C 2×3
เทากัน
3. สมบัติเกี่ยวกับการคูณของเมตริกซ
ถา A, B และ C เปนเมตริกซที่บวก ลบ และคูณกันได และ k เปนจํานวนจริงใดๆ แลว
1. ถา A เปนเมตริกซจัตุรสแลว An = A ⋅ A ⋅ A ⋅ ... ⋅ A
ั
2. เมตริกซท่จะนํามายกกําลังได ตองเปนเมตริกซจัตุรัสเทานั้น
ี
3. AI = IA = A (I เปนเมตริกซหนึ่งหนวย)
4. k(AB) = A(k)B = (AB)k
5. (AB)C = A(BC)
6. A(B + C) = AB + AC (การแจกแจงดานซาย)
7. (A + B)C = AC + BC (การแจกแจงดานขวา)
8. (kA)n = kn ⋅ An
9. (-A)2 = A2
10. AB อาจจะเทาหรือไมเทากับ BA ก็ได
11. ถา AB ≠ BA แลว
1) (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + A2
2) A - B)2 = (A - B)(A - B) = A2 - AB - BA + A2
3) (A + B)(A - B) = A2 - AB + BA - B2
12. ถา AB = BA แลว
1) (A + B)2 = A2 + 2AB + A2 = A2 + 2BA + A2
2) (A - B)2 = A2 - 2AB + A2 = A2 - 2BA + A2
3) (A + B)(A - B) = A2 - B2
13. ถา AB = 0 แลว A = 0 หรือ B = 0 หรือ ทั้ง A, B ≠ 0
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (85)

86. ทรานสโพสของเมตริกซ (At) คือ เมตริกซที่เกิดจากการเปลี่ยนสมาชิกในแถว m ใดๆ เปนหลัก m หรือ
1 
เมตริกซที่เกิดจากการเปลี่ยนสมาชิกในหลัก n ใดๆ เปนแถว n เชน ถา A = [1 4] แลว At =  4 
 
 
สมบัตเกี่ยวกับทรานโพสของเมตริกซ
ิ
1. (At)t = A
2. (A + B)t = At + Bt
3. (A - B)t = At - Bt
4. (cA)t = cAt
5. (AB)t = BtAt
6. (ABC)t = CtBtAt
7. (At)n = (An)t
ดีเทอรมแนนต (Determinant)
ิ
คือ คาของจํานวนจริงที่ไดจากเมตริกซจัตุรัสเทานั้น ดีเทอรมิแนนตของเมตริกซ A แทนดวย det (A)
a b
หรือ |A| หรือ c d
การหาคา Determiant
1. ดีเทอรมิแนนตของเมตริกซ 1 × 1 เชน ถา A = [1] แลว det A = 1
2. ดีเทอรมิแนนตของเมตริกซ 2 × 2 เชน
6
1 2
ถา A =   แลว det (A) = คูณลง - คูณขึ้น = (-1) - (6) = -7
 3 -1 
 
-1
3. ดีเทอรมิแนนตของเมตริกซ 3 × 3 เชน
0 5 -4
 1 -1 0  1 -1
 
ถา A =  2 3 1  2 3 แลว det (A) = คูณลง - คูณขึ้น = (6 + 4 + 0) - (0 + 5 - 4)
 
-4
 5 2  -4 5

= 10 - 1 = 9
6 4 0
4. ดีเทอรมิแนนตของเมตริกซ n × n เชน
a a12 a13  c c12 c13 
 11   11 
กําหนดให A =  a21 a22 a23  และ C(A) = c21 c22 c23 
   
a
 31 a32 a33  
c
 31 c32 c33  
พิจารณาแถวที่ 1 det A = a11c11 + a12c12 + a13c13
พิจารณาแถวที่ 2 det A = a21c21 + a22c22 + a23c23
พิจารณาหลักที่ 1 det A = a11c11 + a21c21 + a31c31
พิจารณาหลักที่ 2 det A = a12c12 + a22c22 + a32c32
คณิตศาสตร (86)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

87. สมบัตของดีเทอรมิแนนต กําหนดให A, B, C เปนเมตริกซมติ n × n
ิ ิ
1. det (At) = det (A)
2. det (A ⋅ B ⋅ C ⋅ ... ⋅ Z) = det (A) ⋅ det (B) ⋅ det (C) ⋅ ... ⋅ det (Z)
3. det (I) = 1
4. det (0) = 0
5. det (Ak) = (det A)k
6. det (A-1) = (det A)-1 = det1(A)
7. det (kA) = kn ⋅ det (A), n เปนมิติของ A
8. det (adj A) = (det A)n-1
9. ถา A = B แลว det (A) = det (B)
อินเวอรสการคูณของเมตริกซ
1. อินเวอรสการคูณของ A เขียนแทนดวยสัญลักษณ A-1 ซึ่ง A ⋅ A-1 = I = A-1
2. A-1 = det (A)
adj
(A)
นั่นคือ เมตริกซ A ใดๆ จะหาอินเวอรสได ก็ตอเมื่อ A เปนเมตริกซจัตุรัสเทานั้น และ det (A) ≠ 0
ถา “det (A) = 0” เรียก A วา “เมตริกซเอกฐาน (Singular Matrix)”
ถา “det (A) ≠ 0” เรียก A วา “เมตริกซไมเอกฐาน (Non - Singular Matrix)”
การหาอินเวอรสการคูณของเมตริกซ
 d -b 
 
a b
1. อินเวอรสการคูณของเมตริกซ 2 × 2 ถา A = c d  แลว A -1 = -c a 
 

 

det (A)
2. อินเวอรสการคูณของเมตริกซ n × n หาไดดังแผนภาพตอไปนี้
A M(A) C(A) adj(A) A-1


m11 m12 m13  
ไมเนอร (Minor) เชน M(A) = m21 m22 m23  โดยที่

 

m31 m32 m33  
ไมเนอรตําแหนง ij (mij) คือ ดีเทอรมิแนนตของเมตริกซที่ไดจากการตัดแถวที่ i และหลักที่ j ของเมตริกซ
เชน
แถวที่ 1
a11 a12 a13 

  a 22 a23 
m11 = det a21 a22 a23  = det  a a  = a22a33 - a32a23

  32
 33 

a31 a32 a33 


หลักที่ 1
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (87)

88. 

c11 c12 c13  
โคแฟกเตอร (Cofactor) เชน C(A) = c21 c22 c23  โดยที่ cij = (-1)i+j ⋅ mij

 

 c31 c32 c33  
เมตริกซผูกพัน (Adjoint) adj (A) = [C(A)]t
อินเวอรสการคูณของเมตริกซ A-1 = det (A) adj
(A)
ระบบสมการเชิงเสน
กําหนดระบบสมการเชิงเสน a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
a b1 c1   x  d 
 1     1
a
เขียนสมการดังกลาวในรูปเมตริกซ  2 b2 c2     ⋅ y  =  d2 
 
a
 3 b3 c 3   z 
  
d 
 3
หรือ A X = B
การแกระบบสมการเชิงเสน
1. โดยใชอินเวอรสของเมตริกซ ถา AX = B แลว X = A-1B เมื่อ det A ≠ 0
2. โดยใชกฎของเครเมอร (Kramer’s rule)
d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 d1
d2 b2 c2 a2 d2 c2 a2 b2 d2
d b3 c3 D a3 d3 c3 D a3 b3 d3 D z
x= 3 = Dx ; y = = Dy ; z = = D
a1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1 c1
a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2
a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 c3
3. โดยใชการดําเนินการตามแถว (row operation)
วิธีดําเนินการบนแถวของเมตริกซ
1. สามารถสลับ 2 แถวใดๆ ได
2. สามารถคูณแถวใดแถวหนึ่งดวยตัวเลขทีไมใชศูนยได
่
3. สามารถนําสองแถวใดๆ มาบวก หรือ ลบกันได
4. สามารถคูณแถวใดแถวหนึ่งดวยตัวเลขที่ไมใชศูนย แลวนําไปบวก หรือ ลบกับอีกแถวหนึ่งได
a b1 c1 d1  1 0 0 x 
 1   
a b2 c 2 d1  ∼  0 1 0 y 
 2   
a 
b3 c 3 d1   0 0 1 z
 3 
[A : I] ∼ [I : A-1]
คณิตศาสตร (88)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

89. แบบทดสอบ
1 2   2 1
1. A = 3 4  และ B = -1 1 พิจารณาขอความตอไปนี้
   
   
ก. (A + B) 2 = A2 + 2AB + B2
ข. (A - B)2 = A2 - 2AB + B2
ค. A2 - B2 = (A - B)(A + B)
ขอใดสรุปเกี่ยวกับขอความขางตนไดถูกตองที่สุด
1) ถูกทุกขอ 2) มีถูก 2 ขอ 3) มีถูก 1 ขอ *4) ผิดทุกขอ
0 x 0 -1 

  
   
2. det 2 0 2 2   = x 1 1 แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
 
    -
3 1 5 



  
1) 1 2) 2 3) 3 *4) 4

 x2 -2 2 
 -2 -4x 

3. นดเมตริกซ A และ B ดังนี้ A =   ,B= 
2 0  โดยที่ x เปนจํานวนจริง ถา

2 2

 x 

 
det (2A) = -76 แลว เมทริกซ C ในขอใดตอไปนี้ ที่ทําใหคาของ det (BC) อยูภายในชวง (-100, -50)
1 -1 -1 2   2 1 2 1 
*1) C = 1 2 
 
2) C =  1 1 
 
3) C = -1 4 
 
4) C = 3 -1
 
       
1 a  1 -3 
4. กําหนดให a, b เปนจํานวนจริง และ A = 1 b  , B = 2 3  ถา (A + B)2 - 2AB = A2 + B2 แลว
   
   
det (A) เทากับขอใดตอไปนี้
1) 0.5 2) 1.5 3) 3.5 4) 4.5
5. กําหนดให A เปนเมทริกซที่มีมิติ 2 × 2 และ det (A) = 4 ถา I เปนเมทริกซเอกลักษณ และ A - 3I เปน
เมทริกซเอกฐาน แลว det (A + 3I) เทากับขอใดตอไปนี้
1) 0 2) 6 3) 13 *4) 26
6. ให A เปนเมตริกซมิติ 3 × 3 และ Aij คือเมตริกซที่ไดจากการตัดแถวที่ i และหลักที่ j ของเมตริกซ A ออก
 2 -5 -1
  -1 -2  1 -1 
ถา adj A = -28 10 -1  , A11 =  5 8  และ A32 = 3 -2  แลว det (A) มีคาเทากับขอใด
     
 17 -5 -1     
 
1) -92 *2) -15 3) 15 4) 92
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (89)

90. 

3 3 -1 
7. กําหนดเมตริกซ A = [aij] ถา det (A) = -92 และ adj(A) = -9 1 -1 2  แลว 3a11 + 3a21 – a31

 
 2 1 2
 
มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 9)
-1 3  -1 1   2 1
8. ให A เปนเมตริกซมิติ 3 × 3 ถา M13 =  1 2  , M21 =  2 4  และ M32 = -1 0  แลว
     
     
det A มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 15)
9. ให A เปนเมตริกซจัตุรัสมิติ 4 × 4 และ Mij(A) คือไมเนอรของ aij ถา M23(A) = 5 แลว M32(2At)
เทากับขอใดตอไปนี้
1) 10 2) 20 *3) 40 4) 80
 1 2 4
 
10. กําหนดให A = -3 8 0  สมาชิกในแถวที่ 3 หลักที่ 1 ของ A-1 เทากับเทาใด (ตอบ 1 )
  5
 1 2 -1 
 


1 2 -1  
11. กําหนดให A = 2 x 2  โดยที่ x และ y เปนจํานวนจริง ถา C11(A) = 13 และ C21(A) = 9 แลว

 
 2 1 y
 
det(A) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) -33 2) -30 3) 30 *4) 33
-2 2 3
 
12. กําหนดให  1 -1 0  สมาชิกในแถวที่ 2 และหลักที่ 3 ของ A-1 เทากับขอใดตอไปนี้
 
 0 1 4
 
2
1) - 3 2) -2 *3) 2 4) 2
3


2 x 1 
13. กําหนดเมทริกซ A = -1 0 1  โดยที่ x เปนจํานวนจริง ถา C22(A) = 14 แลว det (adj (A)) มี

 

1 - x 2 2x 
 
คาเทาใด (ตอบ 36)
x 1 1 
 
14. กําหนดให A = 3 1 1  ถา C12(A) = 4 แลว det (2A) มีคาเทาใด (ตอบ 16)
 
 x 0 -1
 
คณิตศาสตร (90)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

91. 3 4  -1 2 
15. ถา A และ B เปนเมทริกซซึ่ง 2A - B = 3 6  และ 2A + B =  4 -2  แลว (AB)-1 คือเมทริกซใน
   
   
ขอใดตอไปนี้
- 1 0 -1 0 1 1 1 -1 
1)  4 
  2)   1 -1 

3)  4 
  *4)  1 
0 - 
 1 -1
  
 4 0 -1 
  
 4

16. กําหนดให n เปนจํานวนนับ และ x เปนจํานวนจริงซึงไมเทากับ 1 ถา A คือตัวผกผันการคูณของเมทริกซ
x

x2 xn 
 0  0 
     
0 x x2  แลวคาของ n ที่ทําให [1 0 0]A 0  = [2 0 0]A 0  เทากับขอใดตอไปนี้
   
 
0 0 x 2  3 
   
 
1) 1 *2) 3 3) 6 4) 9

a b c
 
2  
17. กําหนดให A = 0 c a  ถา A + AT เปนเมทริกซเอกฐานและ a3 + b3 + c3 = 1 แลว det (A-1)

2 
 
0 0 b


 2

เทากับขอใดตอไปนี้
*1) 24 2) 8 3) 2 4) 0
 60 20  5 0 
18. ถา A เปน 2 × 2 เมตริกซ ซึ่งมิใชเอกฐาน และ ถา 30 40  A = 0 5  แลว A-1 คือเมตริกซในขอ
   
   
ใดตอไปนี้
6 2   9 -18  12 4  12 20 
1) 3 4 
 
2) -12 6 
 
*3)  6 8 
 
4) 30 8 
 
       
1 2 -1  


19. ให A เปนเมตริกซ และ I เปนเมตริกซเอกลักษณมติ 3 × 3 ถา B = 3 0 1 และ
ิ 


-2 1 0  
 
0 2 -3 

C = 3 -1 2  สอดคลองกับสมการ AB - AC - 1 I = 0 แลว A-1 คือเมตริกซในขอใดตอไปนี้
  2
0 2 1
 
 1 0 2   2 0 4 -1 0 -2  -2 0 -4 
      
1)  0 1 -1
 
*2)  0 2 -2 
 
3)  0 -1 1 
 
4)  0 -2 2 
 
-2 -1 -1  -4 -2 -2   2 1 1   4 2 2
      
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (91)

92. x  1 2 1 1 -1 0 
     
20. กําหนดให X = y  สอดคลองสมการ AX = C เมื่อ A = -2 0 1 , B = 2 0 -1  และ

     
C=

z
 0 1 2
 
1 4 0 
 
 2 a 
   
-2  ถา (2A + B)X =  b  แลว a + b + c มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
   
 3 c 
   
1) 3 2) 6 *3) 9 4) 12
21. ถา x, y และ z สอดคลองกับระบบสมการ
x + 2y - 2z = -2
2x + y + 2z = 5
x - 3y - 2z = 3
2 1 -3
แลว ดีเทอรมิแนนต -2 2 -2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
x + 2y 2x + y x - 3y
*1) 60 2) 75 3) 90 4) 105
22. ถา x, y และ z เปนจํานวนจริงซึ่งสอดคลองกับระบบสมการเชิงเสน
2x - 2y - z = 1
x - 3y + z = 7
-x + y - z = -5
แลว 1 + 2 + 3 เทากับขอใดตอไปนี้
x y z
*1) 0 2) 2 3) 5 4) 8
23. ถา x, y และ z เปนจํานวนจริงซึ่งสอดคลองระบบสมการ
2x - 2y - z = -5
x - 3y + z = -6
-x + y - z = 4
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
*1) x2 + y2 + z2 = 6 2) x + y + z = 2 3) xyz = 6 4) xy = -2
z
1 -1 0 

 
1 
 
x
 
24. กําหนดให B = 0 1 2  , C = 0  , X =  y  และ I เปนเมตริกซเอกลักษณ ถา A เปนเมตริกซมิติ

     
3 0 1
 2  z 
     
3 × 3 ซึ่งสอดคลองกับสมการ 2AB = I และ AX = C แลว คาของ x + y + z เทากับขอใดตอไปนี้
1) 20 2) 24 3) 26 4) 30
คณิตศาสตร (92)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

93. 

1 2 a 
x
 
1 
 
25. กําหนดให A =  2 3 b  , X =  y  , B = 1  โดยที่ a, b, c เปนจํานวนจริง ถา AX = B
     

-1 0 c z  0 
     
1

2 3
และ A ∼ 0  -1 -1  R2 - 2R1 แลว x มีคาเทากับเทาใด
 
-1 0 2
 
1) -1 *2) - 23 3) 3 4 4) 2


4 12 -3  
26. กําหนดให A = 7 -10 5  และ B, C, D เปนเมตริกซมิติ 3 × 3 ซึ่ง A ∼ B ∼ C ∼ D

 
1 0 0
 
4
โดยที่ B ไดจาก A โดยการดําเนินการ R1 - 3 R2
C ไดจาก B โดยการดําเนินการ 5R1
D ไดจาก C โดยการดําเนินการ R23
แลว det (D) เทากับขอใดตอไปนี้
1) -3,750 2) -150 *3) 150 4) 3,750
3 x 3 
 
27. กําหนดให A = 2 0 9  เมื่อ x เปนจํานวนจริง
 
1 1 2 
 
3 x 3 1 0 0 1 0 0 9 5 -36
ถา 2 0 9 0 1 0 ∼ 0 1 0 -5 -3 21 แลว x มีคาเทากับเทาใด
1 1 2 0 0 1 0 0 1 -2 -1 8
28. ให x, y และ z เปนคําตอบของระบบสมการเชิงเสน
a11x + a12y + a13z = 2
a21x + a22y + a23z = 1
a31x + a32y + a33z = 0
a
 11
a12 a13 1 0 0  1 0 0 1 -1 1 
  
ถา  a21 a22 a23 0 1 0  ∼ 0 1 0 0 -2 1  แลว คาของ x + y + z เทากับเทาใด
   
a
 31 a32 a33 0 0 1  0 0 1 2 3 0 
  
(ตอบ 6)
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (93)

94. 

1 0 2 
29. กําหนดให a เปนจํานวนจริง และ A = 0 3 0  ถา a > 0 และ det (adj A) = 225 แลว a มีคา

 
 4 0 a
 
เทากับขอใดตอไปนี้
1) 11 2) 12 *3) 13 4) 14
30. ให A และ B เปนเมตริกซจัตุรัสมิติ 4 × 4 และ I เปนเมตริกซเอกลักษณมติ 4 × 4 โดยที่ A(adj A) - BA
ิ
= I
ถา det B = 0 แลว det A มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) -1 2) 0 *3) 1 4) 2
2i-1 ; i = j  t 
31. กําหนดให A = [aij]3×3 โดยที่ aij =  det  4 adj (A )  เทากับขอใดตอไปนี้
 det (A) 
2
 ; i ≠ j  
*1) -16 2) -4 3) 4 4) 16
1 2 0
 
1
32. ถา A เปนเมตริกซซึ่ง A-1 = 3 1 -1  , x > 0 และ det (2 adj A) = 18 แลว x เปนจริงตาม
 
 x 0 -2 
 
ขอใดตอไปนี้
1) x < 5 2) 5 ≤ x < 9 *3) 9 ≤ x < 13 4) x ≥ 13
คณิตศาสตร (94)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

95. เรขาคณิตวิเคราะห และภาคตัดกรวย
1. ระยะตางๆ
1.1 ระยะระหวางจุดสองจุด
B (x , y )
2 2
y2 - y1 AB = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2
A
(x1, y1) x2 - x1
1.2 ระยะตั้งฉากจากจุด (m, n) ไปยังเสนตรง Ax + By + C = 0
(m, n)
d d = |Am + Bn + C|
A 2 + B2
Ax + By + C = 0
1.3 ระยะระหวางเสนคูขนาน
Ax + By + C = 0
d = |C - D|
d A 2 + B2
Ax + By + D = 0
2. จุดแบงสวนของเสนตรง
2.1 จุดกึ่งกลาง
B(x2, y2)
P (x, y) = 

x 1 + x 2 , y1 + y 2 
 2 2  
A(x1, y1) P(x, y)
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (95)

96. 2.2 จุดแบงสวนของเสนตรงออกเปนอัตราสวน m : n
B(x2, y2)
m  mx1 + nx2 , my1 + ny2 
n P(x, y) = 
 m+n m+n  
A(x1, y1) P(x, y)
2.3 จุดตัดของเสนมัธยฐาน
A(x1, y1)
P(x, y) x1 + x 2 + x 3
2 x = 3
y1 + y 2 + y 3
1
y = 3
B(x2, y2) D C(x2, y2)
3. ความชันของเสนตรง (Slope, m)
3.1 กําหนดมุม θ
m = tan θ
θ
3.2 กําหนดจุดสองจุด
B(x2, y2)
y2 - y1
m = x2 - x1
y2- y1
y1 - y 2
= x 1 - x 2 โดยที่ x1 ≠ x2
A(x1, y1) x2 - x1
3.3 กําหนดสมการเสนตรง
แบบที่ 1 y = ax + b a จะได คือ ความชัน
b คือ ระยะตัดแกน y
แบบที่ 2 Ax + By + C = 0 จะได - A
B คือ ความชัน
-BC คือ ระยะตัดแกน y
คณิตศาสตร (96)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

97. 3.4 ความชันแบบตางๆ
m หาคาไมได
m=O m>O m<O
3.5 มุมระหวางเสนตรงสองเสน
Y L2
L1 m -m
θ tan θ = 1 +2 m m1
2 1
θ1 θ2
X
3.6 ความสัมพันธระหวางเสนตรงสองเสน
L1
L1
m 1 = m2 m1 ⋅ m2 = -1
L2
L2
4. สมการเสนตรง
y - y1 = m(x - x1)
(x1, y1)
เมื่อ m คือ ความชัน และ (x1, y1) คือ จุดบนเสนตรง
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (97)

98. 5. วงกลม (Circle)
คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบที่หางจากจุดๆ หนึ่งที่ตรึงอยูกับที่เปนระยะทางคงตัว
5.1 สมการรูปแบบมาตรฐานของวงกลม
x2 + y2 = r2 (x - h)2 + (y - k)2 = r2
Y Y
P(x, y)
P(x, y) r
r
C(h, k)
C(0, 0) X X
5.2 สมการรูปแบบทั่วไปของวงกลม
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 จุดศูนยกลาง (h, k) =  -A , -B 

 2 2

รัศมี (r) = h2 + k2 - C = A 2 + B 2 - 4C
2
5.3 ระยะจากจุดใดๆ ไปยังวงกลม
ใหวงกลมมีสมการเปน x2 + y2 + Ax + By + C = 0 หรือ (x - h)2 + (y - k)2 = r2
♥ ความยาวเสนสัมผัสวงกลม
P(x1, y1)
PA = 2 2
x 1 + y 1 + Ax 1 + By 1 + C
A
หรือ PA = (x 1 - h) 2 + (y 1 - k) 2 - r 2
O
♥ ระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุดไปยังวงกลม
P
• P เปนจุดภายนอกวงกลม PA = PO - r
r A • Q เปนจุดภายในวงกลม QB = r - QO
O
Q
B
คณิตศาสตร (98)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

99. ♥ ระยะทางที่ยาวที่สุดจากจุดไปยังวงกลม
P
B • P เปนจุดภายนอกวงกลม PA = PO + r
r • Q เปนจุดภายในวงกลม QB = QO + r
r O
A Q
6. พาราโบลา (Parabola)
คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งหางจากจุด F ที่ตรึงอยูกับที่จุดหนึ่งและเสนตรง l ที่ตรึงอยูกับที่
เสนหนึ่งเปนระยะทางเทากัน
F พาราโบลา V คือ จุดยอดของพาราโบลา
A B
c F คือ จุดโฟกัสของพาราโบลา
l คือ เสนไดเรกตริกซ (directrix)
V l c คือ ระยะโฟกัส
AB คือ เสนเลตัสเรกตัม (latus rectum line)
12 6
y=k+c
10 4
8 2 (x, y)
6 F(h, k + c) F(h, k - c)
(x, y) -5 5
4 -2
2
y=k-c -4
-6
-5 5 10
(x - h)2 = 4c(y - k) (x - h)2 = 4c(y - k)
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (99)

100. 10 10
8 (x, y) 8
(x, y)
x=h-c
6 6
4 4
2
F(h - c, k)
2
x=h+c
F(h + c, k)
5 10
-2 -2
(y - k)2 = 4c(x - h) (y - k)2 = 4c(x - h)
7. วงรี (Ellipse)
คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆ ไปยังจุด F1 และ F2 ที่ตรึงอยูกับ
ที่มีคาคงตัว โดยคาคงตัวนี้มีคามากกวาระยะหางระหวางจุดที่ตรึงอยูกับที่ท้งสอง จุดสองจุดที่ตรึงอยูกับที่นี้เรียกวา
 ั
โฟกัส (focus) ของวงรี
Y
a
P2 B P1
G
b
V ′ F′ F V X
C
c
2 G′
x = - ac x = ac
2
B′
P1F1 + P1F2 = P2F1 + P2F2 = 2a
♥ C คือ
จุดศูนยกลางของวงรี
♥ V, V′ คือ
จุดยอดของวงรี
♥ F, F′ คือ
จุดโฟกัสของวงรี
♥ VV′ คือ
แกนเอก (major axis) ของวงรี ยาว 2a หนวย
♥ BB′ คือ
แกนโท (minor axis) ของวงรี ยาว 2b หนวย
♥ CF = CF′ คือ
ระยะโฟกัส ยาว c หนวย
2
♥ GG′ คือ เลตัสเรกตัม ยาว 2b หนวย
a
♥ 0 < b < a เสมอ
♥ สมการรูปแบบมาตรฐานของวงรี
คณิตศาสตร (100)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

101. (x - h)2 + (y - k)2 = 1 เมื่อ c2 = a2 - b2 (y - k)2 + (x - h)2 = 1 เมื่อ c2 = a2 - b2
a2 b2 a2 b2
Y V(h, k + a)
Y
F′(h, k + c)
B(h, k + b) P(x, y) P(x, y)
C(h, k) B(h + b, k)
V′(h - a, k) C(h, k) B′(h - b, k)
F′(h - c, k) F(h + c, k) V(h + a, k)
O X
O X F(h, k - c)
B′(h, k - b)
V′(h, k - a)
8. ไฮเพอรโบลา (hyperbola)
คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่ง ผลตาง ของระยะทางจากจุดใดๆ ไปยังจุด F1 และ F2 ที่ตรึงอยู
กับที่มีคาคงตัว โดยคาคงตัวนอยกวาระยะหางระหวางจุดคงที่ที่ตรึงอยูกับที่ทั้งสอง จุด F1 และ F2 ดังกลาวนี้

เรียกวา โฟกัส ของไฮเพอรโบลา
Y
P(x, y)
X |PF1 - PF2| = คาคงตัว = 2a
F1(-c, O) F2(c, O)
สวนประกอบของไฮเพอรโบลา
l2 l1
B1
G1 G3
2
b
F2 V2 V1
-5
c C(h, k) a 5
G2
-2
G4
-4
B2
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (101)

102. ♥ C คือ
จุดศูนยกลางของไฮเพอรโบลา
♥ V, V′ คือ
จุดยอดของไฮเพอรโบลา
♥ F, F′ คือ
จุดโฟกัสของไฮเพอรโบลา
♥ VV′ คือ
แกนตามขวาง (transveral axis) ยาว 2a หนวย
♥ BB′ คือ
แกนสังยุค (conjugate axis) ยาว 2b หนวย
♥ CF = CF′ คือ
ระยะโฟกัส ยาว c หนวย
2
♥ GG′ คือ เลตัสเรกตัม ยาว 2b หนวย
a
♥ l1, l2 คือ เสนกํากับ(asymptote)
♥ สมการรูปแบบมาตรฐานของไฮเพอรโบลา
(x - h)2 + (y - k)2 = 1 เมื่อ c2 = a2 + b2 (y - k)2 + (x - h)2 = 1 เมื่อ c2 = a2 + b2
a2 b2 a2 b2
Y Y
B(h, k + b) F(h, k + c)
V(h, k + a)
V′ V B′(h + b, k) B(h + b, k)
F′(h - c, k) (h - a, k) (h + a, k) F(h + c, k) C(h, k)
V′(h, k - a)
B′(h, k - b) X F′(h, k - c) X
คณิตศาสตร (102)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

103. แบบทดสอบ
1. กําหนดให A = {(x, y) | x2 + y2 = 1} และ B = {(x, y) | x2 + y2 - 10x - 10y + 49 = 0} ถา p ∈ A
และ q ∈ B แลว ระยะทางมากสุดที่เปนไปไดระหวางจุด p และ q เทากับขอใดตอไปนี้
1) 5 2 หนวย *2) 2 + 5 2 หนวย 3) 2 5 หนวย 4) 5 + 2 5 หนวย
2. ให a, b และ c เปนจํานวนจริง ถาวงกลม x2 + y2 + ax + by + c = 0 มีจุดศูนยกลางที่ (2, 1) และมี
เสนตรง x - y + 2 = 0 เปนเสนสัมผัสวงกลม แลว | a + b + c | (ตอบ 5.5)
3. กําหนดใหเสนตรง l1 และ l2 สัมผัสวงกลม (x - 5)2 + y2 = 20 ที่จุด P และ Q ตามลําดับ และจุด
ศูนยกลางของวงกลมอยูบนเสนตรงที่ผานจุด P และ Q ถา l1 มีสมการเปน x - 2y + 5 = 0 แลวจุดใน
ขอใดตอไปนี้อยูบน l2
1)  0, 5 

 2
 2) (8, -1) 3) (1, -8) *4) (15, 0)
4. กําหนดให วงกลมรูปหนึ่งมีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (2, 1) ถาเสนสัมผัสวงกลมที่จุด x = 1 เสนหนึ่งมีความชัน
เทากับ 1 แลวจุดในขอใดตอไปนี้อยูบนวงกลมที่กําหนด
3
*1) (0, 1) 2) (0, 2) 3) (1, 0) 4) (3, 0)
5. กําหนดให C1 และ C2 เปนวงกลมที่มีสมการเปน x2 + y2 = 2y และ x2 + y2 + 2y = 3 ตามลําดับ และ
L เปนเสนตรงที่ความชันนอยกวา 0 ซึ่งสัมผัสทั้งวงกลม C1 และ C2 ขอใดตอไปนี้เปนความชันของ L
1) - 2 2) - 1 *3) - 3 4) 1
2 3
6. วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนยกลางอยูที่จุดศูนยกลางของวงรีท่มีสมการเปน 9x2 + 4y2 - 36x - 24y + 36 = 0
ี
ถาวงกลมนี้สัมผัสกับเสนตรงที่ผานจุด (1, 3) และ (5, 0) แลว รัศมีของวงกลมนี้เทากับขอใดตอไปนี้
*1) 5 3 2) 5 4 3) 7 4) 139
8
7. พาราโบลามีจุดยอดที่ (-1, 0) และมีจุดกําเนิดเปนโฟกัส ถาเสนตรง y = x ตัดพาราโบลาที่จุด P และจุด Q
แลว ระยะทางระหวางจุด P กับจุด Q เทากับเทาใด (ตอบ 8)
8. ถาเสนตรงหนึ่งผานจุดกําเนิดและจุดยอดของพาราโบลา y2 - 4y + 4x = 0 และตัดเสนไดเรกตริกซที่จุด
(a, b) แลว a + b มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) 4 2) 5 *3) 6 4) 7
9. ถาระยะทางระหวางจุด (x, y) กับจุด (2, 2) เทากับระยะทางระหวางจุด (x, y) กับเสนตรง x + y = 0 แลว
จุด (x, y) อยูบนกราฟของสมการในขอใดตอไปนี้
*1) (x - y)2 = 8(x + y - 2) 2) (x - y)2 = 4(x + y - 2)
3) (x + y)2 = 8(x + y) - 12 4) (x + y)2 = (x + y) + 2
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (103)

104. 10. วงกลม C มีจุดศูนยกลางที่จุดกําเนิด และผานจุดโฟกัสของพาราโบลาซึ่งมีสมการเปน (x - 2)2 = 8y โดย
เสนไดเรกตริกซของพาราโบลาตัดวงกลม C ที่จุด P และจุด Q ถาจุด R อยูบนพาราโบลาและอยูหางจาก
จุดโฟกัสเปนระยะทาง 4 หนวย แลวสามเหลี่ยม PQR มีพื้นที่เทากับขอใด
1) 8 หนวย 2) 9 หนวย 3) 10 หนวย 4) 12 หนวย
11. วงรีวงหนึ่งมี F1(1, 1) และ F2(1, -3) เปนจุดโฟกัส ถา A และ B เปนจุดบนวงรีที่ทําใหรูปสามเหลี่ยม
ABF2 มีเสนรอบรูปยาว 12 หนวย และสวนของเสนตรง AB ผาน F1 แลวจุดในขอใดตอไปนี้อยูบนวงรี
 3
*1)  3, 5 5 - 1    3
2)  2, 5 5 - 1    2
3)  3, 5 5 - 1    2
4)  2, 5 5 - 1 
       

21 
12. กําหนดให วงรีรูปหนึ่งมีโฟกัสอยูที่จุด (±3, 0) และผานจุด  2, 2  จุดในขอใดตอไปนี้อยูบนวงรีที่
 
 
กําหนด
 
*1) (-4, 0) 2)  0, 5 2 2 
  3) (6, 0) 4) (0, -3 2 )
 
13. กําหนดใหวงรี E มีโฟกัสทั้งสองอยูบนวงกลม C ซึ่งมีสมการเปน x2 + y2 = 1 ถา E สัมผัสกับ C ที่จุด
(1, 0) แลวจุดในขอใดตอไปนี้อยูบน E
1)  1, 3 
 
2 2
2)  1, 5 

2 2
 3)  1, 2 

3 3
 *4)  1, 3 
 4
3 
14. ให E เปนวงรีที่มีแกนเอกขนานกับแกน x มีจุดศูนยกลางที่ (-2, 1) สัมผัสเสนตรง x = 1 และ y = 3 โดยมี
F1 และ F2 เปนจุดโฟกัสของ E ให C เปนวงกลมที่มี F1 F2 เปนเสนผานศูนยกลาง ถาวงรี E ตัดวงกลม C
ที่จด P, Q, R, S แลว พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม PQRS มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
ุ
1) 12 ตารางหนวย 2) 24 ตารางหนวย 3) 36 ตารางหนวย *4) 48 ตารางหนวย
5 5 5 5
15. ถา k, λ และ m เปนจํานวนจริงที่ทําใหวงรี kx2 + λy2 - 72x - 24y + m = 0 มีจุดศูนยกลางอยูที่จุด
(4, 3) และสัมผัสแกน Y แลว ขอใดตอไปนี้ผิด
1) ความยาวแกนเอกเทากับ 12 หนวย
2) ความยาวแกนโทเทากับ 8 หนวย
3) ระยะหางระหวางจุดโฟกัสทั้งสองเทากับ 4 5 หนวย
4) จุด (2, 6) อยูบนวงรี
16. ให F1 , F2 เปนจุดโฟกัสของวงรีที่มีสมการเปน kx2 + 4y2 - 4y = 8 และ B เปนจุดที่วงรีตดแกน y และ
ั
อยูเหนือแกน x ถา F1, B, F2 ไมอยูในแนวเสนตรงเดียวกัน และ F1BF2 เปนสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เทากับ
3 7 ตารางหนวยแลว k มีคาเทากับเทาใด
4
17. กําหนดใหวงรีวงหนึ่งมีสมการเปน 3x2 + 4y2 - 6x + 8y - 5 = 0 ถา P เปนจุดบนวงรี ซึ่งมีระยะหางจาก
โฟกัสจุดหนึ่งเปนสองเทาของระยะระหวางโฟกัสกับจุดยอด จงหาระยะทางระหวางจุด P กับจุดยอดของวงรี
(ตอบ 7 )
คณิตศาสตร (104)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

105. 18. กําหนดให E เปนวงรีท่มีโฟกัสอยูที่จุดยอดของไฮเพอรโบลา x2 - y2 = 1 ถา E ผานจุด (0, 1) แลว จุดใน
ี
ขอใดตอไปนี้อยูบน E
   
*1)  1, - 22 
  2) (1, 2 ) 3)  1, -1 

 2 4)  1, 23 
 
   
19. กําหนดให A และ B เปนโฟกัสของไฮเพอรโบลา 3x2 - y2 = 3 ถา P เปนจุดใดๆ บนวงรีที่มีโฟกัสที่จุด
A, B และ AP + BP = 8 แลวสมการของวงรีคือขอใดตอไปนี้
1) 4x2 + 3y2 = 24 2) 4x2 + 3y2 = 48 3) 3x2 + 4y2 = 24 4) 3x2 + 4y2 = 48
20. กําหนด H เปนไฮเพอรโบลาที่มีแกนตามขวางยาว 6 หนวย และแกนสังยุคยาว 8 หนวย โดยมี F1 และ F2
เปนจุดโฟกัส ถา P เปนจุดบนไฮเพอรโบลา H ที่ทําให F1 PF2 = 90° แลวรูปสามเหลี่ยม F1PF2 มีพื้นที่
ˆ
กี่ตารางหนวย (ตอบ 16 ตารางหนวย)
21. กําหนดให H เปนไฮเพอรโบลาที่มีสมการเปน 16x2 - 9y2 - 144 = 0 ถาจุด A(6, k) เมื่อ k > 0 เปนจุด
อยูบนเสนกํากับของ H และ F1, F2 เปนโฟกัสของ H แลว พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม AF1F2 เทากับขอใด
ตอไปนี้
1) 37 ตารางหนวย 2) 45 ตารางหนวย 3) 30 ตารางหนวย *4) 40 ตารางหนวย
2 2
22. กําหนด F เปนจุดโฟกัสของพาราโบลา y2 - 2y + 4x + 9 = 0
และ C เปนจุดศูนยกลางของวงกลม x2 + y2 - 6x + 4y + 12 = 0
ถาสวนของเสนตรง FC ตัดวงกลมที่จุด T แลวสวนของเสนตรง FT มีความยาวเทากับขอใดตอไปนี้
1) 4 2) 29 - 1 3) 41 - 1 *4) 3 5 - 1
23. กําหนดให A = {a | เสนตรง y = ax ไมตัดกราฟ y2 = 1 + x2}
และ B = {b | เสนตรง y = x + b ตัดกราฟ y2 = 1 - x2 สองจุด}
เซต {d | d = c2 , c ∈ B - A} เทากับชวงในขอใดตอไปนี้
1) (0, 1) 2) (0, 2) *3) (1, 2) 4) (0, 4)
24. กําหนดให A = {(x, y) | x2 + y2 > 1}, B = {(x, y) | 4x2 + 9y2 < 1}, C = {(x, y) | y2 - x2 > 1}
ขอใดตอไปนีผิด
้
1) A - B = A 2) B - C = B
3) B I (A U C) = ∅ 4) A I (B U C) = ∅
25. ให A และ B เปนจุดยอดของไฮเพอรโบลา 4x2 - y2 - 24x + 6y + 11 = 0 สมการของพาราโบลาที่มี
AB เปนเลตัสเรกตัม และมีกราฟอยูเหนือแกน X คือสมการในขอใดตอไปนี้
*1) (x - 3)2 = 4(y - 2) 2) (x - 3)2 = 8(y - 1)
3) (x - 2)2 = 4(y - 2) 4) (x - 2)2 = 8(y - 1)
26. กําหนดให S = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 17}, A = {(x, y) | x2 - y2 = 1}, B = {(x, y) | y2 - x2 = 1}
ถา p ∈ S I A และ q ∈ S I B แลวระยะทางทีนอยสุดทีเปนไปไดระหวางจุด p และ q เทากับขอใดตอไปนี้
่ ่
*1) 3 2 - 4 2) 3 2 - 2 3) 2 3 - 2 4) 2 3 - 3
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (105)

106. ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล และฟงกชันลอการิทึม
(Exponential and Logarithm Functions)
เลขยกกําลัง
บทนิยาม ถา a เปนจํานวนจริง และ n เปนจํานวนนับ
1. an = a × a × a × ... × a
n ตัว
2. a m ⋅ an = am+n
3. (an)m = anm
4. (ab)n = an ⋅ bn
a
n an
5.   =
b
เมื่อ b ≠ 0
bn
6. a m = am-n เมื่อ a ≠ 0
an
7. a0 = 1 เมื่อ a ≠ 0
8. a-n = 1 เมื่อ a ≠ 0
an
รากที่ n ในระบบจํานวนจริง
บทนิยาม ให n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1, x และ y เปนจํานวนจริง
y เปนรากที่ n ของ x ก็ตอเมื่อ yn = x
คาหลักของรากที่ n
บทนิยาม ให x เปนจํานวนจริงที่มรากที่ n จะกลาววา จํานวนจริง y เปนคาหลักของรากที่ n ของ x
ี
ก็ตอเมื่อ 1. y เปนรากที่ n ของ x
2. yx ≥ 0
แทนคาหลักของรากที่ n ของ x ดวย n x
คณิตศาสตร (106)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

107. ขอสรุปเกี่ยวกับรากที่ 2 ของจํานวนจริง
1. รากที่สองของจํานวนจริงบวก (A) มี 2 คา คือ 1) รากที่เปนบวก ( A )
2) รากที่เปนลบ (- A )
2. รากที่สองของจํานวนศูนย มี 1 คา คือ 0
3. รากที่สองของจํานวนจริงลบ ไมสามารถหาคาได
4. สัญลักษณแทน รากที่สองที่เปนบวกของ 25 คือ 25 = 5
รากที่สองที่เปนลบของ 25 คือ - 25 = -5
5. A เรียกสัญลักษณ วา กรณฑ (Radical) ที่ 2
อานวา กรณฑที่ 2 ที่เปนบวกของ A หรือ อานวา square root A
6. คาหลักของรากที่ 2 ของจํานวนจริงบวก คือ รากที่สองที่เปนบวกของจํานวนจริงนั้น
ขอสรุปเกี่ยวกับรากที่ 3 ของจํานวนจริง
1. รากที่สามของจํานวนจริง มีเพียง 1 คา
2. รากที่สามของจํานวนจริงบวก เปนจํานวนจริงบวก
รากที่สามของจํานวนศูนย เปนศูนย
รากที่สามของจํานวนจริงลบ เปนจํานวนจริงลบ
3. สัญลักษณแทน รากที่สามของ 64 คือ 3 64 = 4
รากที่สามของ 0 คือ 3 0 = 0
รากที่สามของ -343 คือ 3 - 343 = -7
4. 3 A เรียก 3 วา กรณฑที่สาม อานวา กรณฑท่สามของ A
ี
5. คาหลักของรากที่ 3 ของจํานวนจริง คือ ตัวมันเอง
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับรากที่ n
ทฤษฎีบทที่ 1 ถา x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลว x ⋅ y = xy
ทฤษฎีบทที่ 2 ถา x ≥ 0 และ y > 0 แลว x = x y
y
ทฤษฎีบทที่ 3 ถา x และ y มีรากที่ n แลว n x ⋅ n y = n xy
n
ทฤษฎีบทที่ 4 ถา x และ y มีรากที่ n และ y ≠ 0 แลว n x = n x
y
y
เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กาลังเปนจํานวนตรรกยะ
ํ
บทนิยาม เมื่อ a เปนจํานวนจริง n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 และ a มีรากที่ n แลว a1/n = n x
บทนิยาม ให a เปนจํานวนจริง p, q เปนจํานวนเต็มที่ (p, q) = 1, q > 0 และ a1/q ∈ R
โดยเมื่อ p < 0 แลว a ตองไมเปน 0 ap/q = (a1/q)p
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (107)

108. การหารากที่สองของจํานวนที่อยูในรูป x ± 2 y
x + 2 y = ( a + b )2 เมื่อ y = a × b และ x = a + b
x - 2 y = ( a - b )2 เมื่อ y = a × b และ x = a + b
ตัวอยาง จํานวนจริง x ที่เปนคําตอบของสมการ 15 - b = 22 - 2 105 มีคาเทากับเทาใด
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล (Exponential Function)
คือ ฟงกชัน f = {(x, y) ∈ R × R+ | y = ax ; a > 0 and a ≠ 1}
3 3
2 2
1 1
-2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
0 < a < 1 ฟงกชันลด a > 1 ฟงกชันเพิ่ม
การแกสมการฟงกชันเอกซโพเนนเชียล
แบบที่ 1 สมการมี 2 พจน
1. จัดสมการในรูป ax = ay โดยใชสมบัติของเลขยกกําลัง
2. ถา ax = ay แลว x = y
แบบที่ 2 สมการมี 3 พจนขึ้นไป
1. ใชวิธีการสมมติ
2. การแกสมการที่มีหลายพจนพยายามถอดตัวรวมออก
แบบที่ 3 การแกสมการที่ตองใช Conjugate เขาชวย
การแกอสมการฟงกชันเอกซโพเนนเชียล
อสมการ ฐาน (a) ขอสรุป
0<a<1 x<y
ax > ay
a>1 x>y
คณิตศาสตร (108)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

109. ฟงกชันลอการิทึม (Logarithm Function)
คือ ฟงกชัน f = {(x, y) ∈ R+ × R|x = ay; a > 0 and a ≠ 1}
f = {(x, y) ∈ R+ × R|y = loga x; a > 0 and a ≠ 1}
3 3
2 2
1 1
0 0
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -3 -2 -2 0 1 2 3 4 5 6 7
-1 -1
-2 -2
-3 -3
-4 -4
0 < a < 1 ฟงกชันลด a > 1 ฟงกชันเพิ่ม
ตัวอยางที่ 1 จงเขียนสมการแตละขอตอไปนี้ใหอยูในรูปของลอการิทึม
3 1
1) 25 = 32 2) 82/3 = 2 3)  1  = 27
 
3
4) 3 = 31
ตัวอยางที่ 2 จงเขียนสมการแตละขอตอไปนี้ใหอยูในรูปเลขยกกําลัง
1) log10 100 = 2 2) log1 16 = -4 3) log5 1 = 0 4) log6 6 = 1
สมบัติของลอการิทึม
1. loga 1 = 0 2. loga 1 = 0
3. log a y Mx = x loga M
y 4. loga M = log a x Mx
5. loga (x ⋅ y) = loga x + loga y 6. loga  x  = loga x - loga y
 
y
7. x log a y = y log a x 8. a log a M = M
log x
9. loga x = logc a 10. loga x = log1 a
c x
การแกสมการลอการิทึม
1. ทําฐานของ log ใหเทากัน แลวปลด log ออก โดยนําเอาทฤษฎีตางๆ มาใช
2. เมื่อหาคา x มาได จะตองพิจารณาดวยวาคา x ที่ไดมานั้นทําใหสมการเปนจริงหรือไม
การแกอสมการลอการิทึม
log a x > log a y
0<a<1 a>1
x<y x>y
x>0∧y>0
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (109)

110. แบบทดสอบ
1. ถา 4x-y = 128 และ 32x+y = 81 แลวคาของ y เทากับขอใดตอไปนี้
1) -2 *2) -1 3) 1 4) 2
2. ถา 6x+y = 36 และ 5x+2y = 125 แลวคาของ x เทากับขอใดตอไปนี้
1) 1 2) 1.5 *3) 2 4) 2.5
(x + y)2
3. ถา xy = 2 แลว 2 2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
2(x- y)
1) 4 2) 8 3) 64 *4) 256
4. กําหนดให x, y > 0 ถา xy = yx และ y = 5x แลวคาของ x อยูในชวงใดตอไปนี้
1) [0, 1) *2) [1, 2) 3) [2, 3) 4) [3, 4)
5. ถา x > 0 และ 8x + 8 = 4x + 2x+3 แลวคาของ x อยูในชวงใดตอไปนี้
1) [0, 1) *2) [1, 2) 3) [2, 3) 4) [3, 4)
x x
 4   9 
6. กําหนดสมการ  25  +  25  = 1 จงพิจารณาขอความตอไปนี้
   
ก. ถา a เปนคําตอบของสมการ แลว a > 1
ข. ถาสมการมีคําตอบ แลวคําตอบจะมีเพียงคาเดียว
ขอใดถูก
1) ก ถูก และ ข ถูก 2) ก ถูก และ ข ผิด *3) ก ผิด และ ข ถูก 4) ก ผิด และ ข ผิด
7. ให f : R → R+ ถา f สอดคลองสมการ f(x) - 3f  1  = 4x สําหรับทุกจํานวนจริงบวก x แลว ขอใด
 
x
ตอไปนี้เปนจริง
 
1) ∃x[f(x) > 0] 2) ∃x  f(x) + f  1  > 0 
x
 
 
 2 
*3) ∃x[(f(x))2 < 8] 4) ∃x  f(x) + f  1   < 9 

  x 
  
  
8. กําหนดให x เปนจํานวนตรรกยะที่สอดคลองสมการ ( 5 - 1)(3 + 5 )x + ( 5 + 1)(3 - 5 )x
= 4 ⋅ 2x ถาเขียน x = m ในรูปเศษสวนอยางต่ํา โดยที่ m และ n เปนจํานวนเต็ม จงหา m (ตอบ 2 )
n n
1
9. คําตอบของสมการ 3x(3x+1) + 3x+1(3x+2) = 2[2x(2x+1) + 2x+1 (2x+2)] อยูในชวงใด
1) (-1, 0) 2) [-2, -1) 3) (-2, -1] 4) (0, 1]
คณิตศาสตร (110)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

111. 10. ถา a, b เปนคําตอบของสมการ 6x - 3x+1 - 2x+2 + 12 = 0 แลวคําตอบของสมการ (ab)2x+1 = (ab + 3)x
เทากับขอใดตอไปนี้
1) log 2 - 3 3
log
log 2) log log 4 6
7 - log 3) log 18 - 2 *4) log 15 - 2
5 2
11. ให S เปนเซตคําตอบของสมการ 52x + 11 ≤ |12(5x) - 9| ถา a และ b เปนสมาชิกของ S ที่มีคามาก
ที่สุดและนอยที่สุดตามลําดับ แลว a + b เทากับขอใดตอไปนี้
1) log5 15 *2) log5 20 3) 2 4) log5 30
2(x-3)
12. เซตคําตอบของอสมการ 2x < 82/3-x เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปนี้
1) (1, ∞) 2) (-2, 100) 3) (-10, 10) *4) (-∞, 2)
13. กําหนดให A และ B เปนจํานวนเต็มบวก ถา A log50 5 + B log50 2 = 1 แลว A + B เทากับขอใด
ตอไปนี้
*1) 2 2) 3 3) 1 4) 2
14. กําหนดให a, b, c > 1 ถา loga d = 30, logb d = 50 และ logabc d = 15 แลวคาของ logc d เทากับขอ
ใดตอไปนี้
*1) 75 2) 90 3) 120 4) 120
15. จงพิจารณาขอความตอไปนี้
ก. ถา (log a)3 = x - 1 และ (log b)3 = x + 1 แลว log(a + b) = 3 x 2 - 1
ข. กราฟของ y = x2 และกราฟของ y = 2x ตัดกันเพียงสองจุดเทานั้น
ขอใดตอไปนีถูก
้
1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก *4) ก. และ ข. ผิด
16. ถา log4x 2x2 = log9y 3y2 = log25z 5z2 แลว logxz (yz) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) log 6 2) log 10 *3) log 15 4) log 30
17. ถา xlog y ⋅ ylog z ⋅ zlog x = 1 และ xy ≠ 1 แลว ขอใดตอไปนีผิด ้
1) ถา x = y แลว xz 2=1 *2) ถา x 2y = 1 แลว z = x2
3) ถา x = y2 แลว xz3 = 1 4) ถา xy2 = 1 แลว z = x
18. กําหนดให a > 1 และ b, c > 0 ถา a2 + b2 = c2 และ x เปนจํานวนจริงซึ่ง
logc+b a + logc-b a = x (logc+b a logc-b a)
แลว x มีคาเทาใด (ตอบ 2)
19. รากที่มีคานอยที่สุดของสมการ 2log (x-2) ⋅ 2log (x-3) = 2log 2 มีคาเทาใด (ตอบ 4)
20. กําหนด logy x + 4 logx y = 4 แลว logy x3 มีคาเทาใด (ตอบ 6)
21. ผลบวกของคําตอบทั้งหมดของสมการ log3 x = 1 + logx 9 อยูในชวงใดตอไปนี้
1) [0, 4) 2) [4, 8) *3) [8, 12) 4) [12, 16)
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (111)

112. 22. คําตอบของสมการ log (4 - x) = log2 (9 - 4x) + 1 อยูในชวงใดตอไปนี้
2
1) [-10, -6] 2) [-6, -2) *3) [-2, 2) 4) [2, 6)
3-9
23. กําหนดให A = {n|n เปนจํานวนนับและ n2+9 = nn }
B = {n|n เปนจํานวนนับและ log n = log(n + 1)}
ผลบวกของสมาชิกทุกตัวในเซต A U B เทากับเทาใด (ตอบ 4)
24. ถา 4 (log x)2 + 9 (log y)2 = 12 (log x)(log y) แลวขอใดตอไปนี้ถูก
1) y2 = x 2) x2 = y *3) x3 = y3 4) x2 = y3
25. 1
ผลบวกของรากทั้งหมดของสมการ log3 (31/x + 27) = log3 4 + 1 + 2x เทากับขอใดตอไปนี้
1) 0 2) 1 2 *3) 3 4 4) 1
26. ถา log2 3 = 1.59 แลวคาของ x ที่สอดคลองกับสมการ 22x+1 ⋅ 32x+2 = 122x เทากับเทาใด (ตอบ 2.09)
 
27. กําหนดให A = z ∈ R z = x และ 6 log (x - 2y) = log x3 + log y3  แลวผลบวกของสมาชิกทั้งหมดใน
y
 
เซต A มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) 3 *2) 4 3) 5 4) 6
28. ผลบวกของคําตอบของสมการ log2 (4x-1 + 2x-1 + 6) = 2 + log2 (2x-1 + 1) มีคาเทาใด (ตอบ 3)
29. ขอใดตอไปนีถูกตอง
้
*1) log7 3 < log7 3 < log7 10 2) log5 3 < log7 3 < log7 10
3) log7 3 < log7 10 < log5 3 4) log7 10 < log5 3 < log7 3
30. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของอสมการ log4 log3 log2 (x2 + 2x) ≤ 0 จํานวนเต็มที่เปนสมาชิกของ
A มีท้งหมดกี่จํานวน (ตอบ 3)
ั
31. ถา A = {x|a < x < b} เปนเซตคําตอบของอสมการ log2 (2x - 1) - log4  x2 + 1  < 1 แลว

 2 2

a + b มีคาเทาใด (ตอบ 2.5)
32. จํานวนเต็มที่สอดคลองกับอสมการ log1/2 [log3 (x + 1)] > -1 มีจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้
1) 6 2) 7 *3) 8 4) มากกวา 8
2
33. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของอสมการ 4 ⋅ 2log x - 9 ⋅ 2(log x/10 + 1) + 2 ≤ 0 ถา a และ b เปน
สมาชิกของ S ที่มีคามากและคานอยสุด ตามลําดับแลว a เทากับขอใดตอไปนี้
b
1) 20 2) 100 *3) 200 4) 1000
34. เซตคําตอบของอสมการ (4x - 2) ⋅ log (1 - x2) > 0 เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปนี้
*1)  -2, 1 

 2
2)  -1, 2 

 2 
 3) (0, 10) 4)  1, 20 

2


คณิตศาสตร (112)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

113. ฟงกชันตรีโกณมิติ (Trigonometry)
B
1. sin A = a ; cosec A = c
c a
b ; sec A = c
cos A = c
c b
a a ; cot A = b
tan A = b a
b
A C
1
2. cosec A = sin A , sec A = 1 1
cos A , cot A = tan A
tan A = cos A , cot A =
sin
A
cos A
sin A
3. ถา A + B = 90° แลว 1) sin A = cos B
2) tan A = cot B
3) sec A = cosec B
4. -1 ≤ sin A ≤ 1
-1 ≤ cos A ≤ 1
5. sin2 A + cos2 A = 1
sec2 A - tan2 A = 1
cosec2 A - cot2 a = 1
วงกลมหนึ่งหนวย (the unit circle)
1. x = cos θ , y = sin θ
π 2. ตาราง
(0, 1) 2 , 90°
มุม θ° (เรเดียน)
S + มุม (+) ฟงกชัน
(-, +) (+, +) 30°  π 
  45°  π 
 
4
60°  π 
 
6  3 
π, 180° 0°
(-1, 0) (1, 0)
sin 1 1 = 2 3
T C 2 2 2 2
(-, -) (+, -) มุม (-)
3 1 = 2 1
(0, -1) 3 π , 270° cos 2 2 2
2 2
tan 1 = 3 1 3
3 3
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (113)

114. 3. cos (-A) = cos A
sec (-A) = sec A
sin (-A) = -sin A
cosec (-A) = -cosec A
tan (-A) = -tan A
cot (-A) = -cot A
สูตรเอกลักษณตรีโกณมิติ
1. sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
cos (A ± B) = cos A cos B m sin A sin B มุมบวก/ลบกัน
tan (A ± B) = 1tantan ± tan BB
m
A
A tan
2. sin 2A = 2 sin A cos A
= 2 tan A
1 + tan 2 A
cos 2A = cos2 A - sin2 A
= 2 cos2 A - 1 มุม 2 เทา
= 1 - 2 sin2 A
2
= 1 - tan 2 A
1 + tan A
tan 2A = 2 tan A
1 - tan 2 A
3. sin A = ± 1 - cos A
2 2
cos A = ± 1 + cos A
2 2 ครึ่งมุม
tan A = ± 1 - cos A
2
1
+ cos A
4. sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A
cos 3A = 4 cos3 A - 3 cos A มุม 3 เทา
3A
tan 3A = 3 tan A - tan
1 - 3 tan 2 A
5. 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B)
2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A - B) ฟงกชันคูณกัน
-2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B)
คณิตศาสตร (114)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

115. 6. sin A + sin B = 2 sin  A 2 B  cos  A 2 B 
 + 
 
 - 
 
A + B A - B
sin A - sin B = 2 cos  2  sin  2 
    ฟงกชันบวก/ลบกัน
cos A + cos B = 2 cos  A 2 B  cos  A 2 B 
 + 
 
 - 
 
cos A - cos B = -2 sin  A 2 B  sin  A 2 B 
 + 
 
 - 
 
7. คาของฟงกชันตรีโกณมิติของมุมที่นาสนใจ
มุม θ° (เรเดียน)
ฟงกชัน 1
15° 36° 72° 22 2 °
3 -1 10 - 2 5 10 + 2 5 1 2- 2
sin θ 2
2 2 4 4
3 +1 5 +1 5 -1 1 2+ 2
cos θ 4 4 2
2 2
3 -1 2- 2
tan θ 3 +1 10 - 2 5 10 + 2 5
2+ 2
หรือ 2 - 3 5 +1 5 -1
หรือ 3 - 1
อัตราสวนตรีโกณมิติของรูปสามเหลี่ยมที่ไมใชสามเหลี่ยมมุมฉาก
1. Law of cosine
C 2 c2 2
b a a2 = b2 + c2 - 2bc cos A cos A = b +2bc - a
2 a2 2
A B b2 = c2 + a2 - 2ac cos B cos B = c + 2ac - b
c 2 b2 2
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C cos C = a +2ab - c
2. Law of sine sin A = sin B = sin C a b c
a b c sin A = sin B = sin C
พื้นที่ ∆ = 1 ab sin C = 1 ac sin B = 1 bc sin A
2 2 2
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (115)

116. ตัวผกผันของฟงกชันตรีโกณมิติ
ฟงกชัน โดเมน เรนจ
y = arcsin x x ∈ [-1, 1] y ∈ - π,
 2

π
2

y = arctan x x∈R y ∈  - π,

 22
π

y = arccosec x x ∈ (-∞, 1] U [1, ∞) y ∈ - π, 0  U  0, π 
 2




 2
y = arccos x x ∈ [-1, 1] y ∈ [0, π]
y = arccot x x∈R y ∈ (0, π)
y = arcsec x x ∈ (-∞, 1] U [1, ∞) y ∈  0, π  U  π , π 

 2  2 
  
ตัวอยางที่ 1 จงหาคาของ
1) arcsin (0) = .................... 2) arcsin  1 
 
2
= ....................

3) arccos  2

= ....................
 
4) arccos  - 23  = ....................


2 





5) arcsin  -1 

 2
 = .................... 6) arctan (-1) = ....................
ตัวอยางที่ 2 จงเติมชองวางใหถูกตอง
1) arcsin  1 
 
2
= arccosec .......... = arccos ..........
 3
2) arccos  -5  = arcsec .......... = arccot ..........
 
 12 
3) arctan  5 
 
= arccot .......... = arcsec ..........
ตัวอยางที่ 3 จงเติมชองวางใหถูกตอง
  
2) sin arcsin 23  
 
1) sin arcsin 1
  
  = .................... 

= ....................
 2  
     
  
3) sin (arctan (2)) = .................... 4) sec (arccosec ( 2 )) = ....................
  
5) cos arcsin  - 22
   
   = .................... 6) arccos  tan  - 54   = ....................
  π
 
    
  
ตัวอยางที่ 4 จงเติมชองวางใหถูกตอง
 
 
1) sin  arcsin 12 + arcsin 5 

 13
4

= .................... 2) sec  2 arcsin 1  = ..................

 3

คณิตศาสตร (116)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

117. แบบทดสอบ
1. ถา 1 – cot 20° = x แลว x มีคาเทาใด (ตอบ 2)
1 - cot 25o
2. ถา cos θ - sin θ = 35 แลวคาของ sin 2θ เทากับขอใดตอไปนี้
1) 134 2) 139 4
* 3) 9 4) 13
9
3. ถา sin A = 2 และ cos A = 1 แลว tan2 B มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
sin B cos B
3 2
1) 4 *2) 23 3) 1 4) 2
3
4. ถา sin 15° + sin 55° = x และ cos 15° + cos 55° = y แลว (x + y)2 - 2xy เทากับขอใดตอไปนี้
*1) 4 cos2 20° 2) 2 cos2 20° 3) 4 cos2 40° 4) 2 cos2 40°
sin 2 3A cos 2 3A
5. ถา − =2 แลว cos 2A มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
sin 2 A cos 2 A
*1) 1
4 2) 1
2 3) 1 4) 1
2 3
sin 30o cos 30o
6. คาของ − เทากับขอใดตอไปนี้
sin10o cos10o
1) -1 2) 1 * 3) 2 4) -2
7. ถา (sinθ + cos θ)2 = 3 เมื่อ 0 ≤ θ ≤ π แลว arcos(tan 3 θ) มีคาเทาใด (ตอบ 0)
2 4
8. ถา arcsin (5x) + arcsin (x) = π แลวคาของ tan (arcsin x) เทากับขอใดตอไปนี้
2
*1) 51 2) 3 1 3) 1 4) 1
3 2
π π
9. ให -1 ≤ x ≤ 1 เปนจํานวนจริงซึ่ง arccos x - arcsin x = 2552 แลวคาของ sin 2552 เทากับขอใด
ตอไปนี้
1) 2x *2) 1 - 2x2 3) 2x2 - 1 4) -2x
10. ถา arccos x - arcsin x = π แลว arccos x - arctan 2x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
6
π
1) 12 5π
2) 12 3) 7 π 4) 11π
12 12
11. sec  1  arcsin 3 + arccos 3   + tan  1  arcsin 4 + arccos 5   มีคาเทากับขอใด
 
5   
4 
 2 5   2 5 
1) 2 2) 3 * 3) 1 + 2 4) 2 + 3
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (117)

118. 12. กําหนดให arccos 5 + arcsin 12 + x = π แลว tan x มีคาเทากับเทาใด
4
13 2
1) 6316 6
2) 63 * 3) - 16 4) - 636
63
 arctan 3 
13. คาของ sin  2 4  + cos  2 arcsin 5  เทากับขอใดตอไปนี้






3

 
1) 1 + 25 6 2) 1 + 25 6 *3) 1 + 25 7 4) 1 + 25 7
10 3 10 3
14. ถา arctan x = arctan 1 - 2 arctan 1 แลว sin (180° + arctan x) มีคาเทากับขอใด
4 2
*1) 13 2) 16 3) - 13 4) - 16
5 17 5 17 5 17 5 17
15. ถา a และ b เปนคําตอบของสมการ sin (2 arcsin x) = x โดยที่ a ≠ 0, b ≠ 0 และ a ≠ b แลว
|sin arctan (ab)| เทากับเทาใด (ตอบ 0.6)
16. ให A เปนเซตคําตอบของสมการ cos (2 arcsin x) + 2 = 4 sin2 (arccos x) ขอใดตอไปนี้คือ ผลคูณของ
สมาชิกในเซต A
1) - 14 *2) - 1
2 3) 14 4) 1 2
17. -sin2 1° + sin2 2° - sin2 3° + … - sin2 89° + sin2 90° มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 0.5)
18. กําหนดให 0° < α < 30° ถา sin2 (7α) - sin2 (5α) = sin (2α) sin (6α) แลว α เทากับขอใดตอไปนี้
*1) 10° 2) 15° 3) 20° 4) 25°
19. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมซึ่งมี 2 sin A + 3 cos B = 4 และ 3 sin B + 2 cos A = 1 คาของ
sin C เทากับขอใดตอไปนี้
1) 61 *2) 1 3) 1 4) 1
3 2
20. พิจารณาขอความตอไปนี้ เมื่อเอกภพสัมพัทธคือเซตของจํานวนจริง
ก. ∃x(cot 2x - cot x = 0) ข. ∀x  sin 4 x + cos4 x = 1 - 1 sin2 2x 

 2 

คาความจริงของขอความ ก. และขอความ ข. เปนไปตามขอใดตอไปนี้
1) ก. เปนจริง และ ข. เปนจริง 2) ก. เปนจริง และ ข. เปนเท็จ
*3) ก. เปนเท็จ และ ข. เปนจริง 4) ก. เปนเท็จ และ ข. เปนเท็จ
21. กําหนดให x ∈ [ 0, 4π ] เซตคําตอบของสมการ cos x = 3 (1 - sin x) คือขอใดตอไปนี้
1)  π , 56π , 13π 

6 6 
2)  56π , π , 13π 

 2 6  
*3)  π , π , 13π , 52 

6 2 6
π

4)  π , 56π , π , 54 

6 2 
π

คณิตศาสตร (118)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

119. 22. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีดาน AB ยาว 2 หนวย ถา BC3 + AC3 = 2BC + 2AC แลว
cot C มีคาเทากับเทาใด
*1) 1 2) 12 3) 1 4) 3
3
23. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม A เทากับ 60°, BC = 6 และ AC = 1 คาของ cos 2B
เทากับขอใดตอไปนี้
1) 1 4 2) 12 3) 23 *4) 3
4
24. ถา A(1, 2) , B(4, 3) และ C(3, 5) เปนจุดยอดของสามเหลี่ยม ABC แลว sin B มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
2
 1 / 2  1 / 2
1) 1


50 - 1 
 2) 1


50 + 1 

2  50  2  50 
   
 1 / 2  1 / 2
3)


50 + 1 
 * 4)  50 - 1 
 

 2 50  
 2 50 
 
25. รูปสามเหลี่ยม ABC มี a, b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมุม A, Bและ C ตามลําดับ
ถา cos B = 1 และ (a + b + c)(a - b + c) = 30 แลว ac มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
4
*1) 12 2) 20 3) 205 4) 40
3
26. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมี ACB = 60° ลากเสนตรงจากจุด A ไปพบดาน BC ที่จุด D โดย
ˆ
ทําให BAD = 30° ถาระยะ BD ยาว 3 หนวย และระยะ AD ยาว 2 หนวยแลว ระยะ CD ยาวเทากับขอ
ˆ
ใดตอไปนี้
1) 4 3 3 2) 5 3 3 3) 7 9 6 *4) 8 9 6
27. นายดํายืนอยูบนสนามแหงหนึ่งมองเห็นยอดเสาธงเปนมุมเงย 60° แตเมื่อเขาเดินตรงเขาไปหา เสาธงอีก
20 เมตร เขามองเห็นยอดเสาธงเปนมุมเงย 75° ในขณะที่เขามองเห็นยอดเสาธงเปนมุมเงย 60° นั้นเขายืน
อยูหางจากเสาธงเทากับเทาใด

1) 10  2 + 3 3 

 2  
2) 10  2 + 1 3 

 2  
3) 10(2 + 2 3 ) *4) 10(2 + 3 )
28. ให A, B และ C เปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ABC และ A < B < C
ˆ ˆ ˆ
โดยที่ tan A ⋅ tan B ⋅ tan C = 3 + 2 3 และ tan B + tan C = 2 + 2 3
พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. tan C = 2 + 3 ข. C = 5 π
ˆ 12
ขอใดตอไปนีถูก
้
*1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ผิด และ ข. ถูก 3) ก. ถูก และ ข. ผิด 4) ก. และ ข. ผิด
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (119)

120. 29. ให θ เปนจํานวนจริง ซึ่งสอดคลองกับสมการ 1 + 1 + 1 + 1 = 7 แลว tan2 2θ
tan 2θ cot 2θ sin 2θ cos2θ
มีคาเทาใด (ตอบ 8)
30. พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. tan 14° + tan 76° = 2 cosec 28°
4
ข. ถา x > 0 และ sin (2 arctan x) = 5 แลว x ∈  1 , 3 
 
3 
ขอใดตอไปนีถูกตอง
้
*1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ผิด และ ข. ถูก 3) ก. ถูก และ ข. ผิด 4) ก. และ ข. ผิด
31. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีดานตรงขามมุม A , B และ C ยาว 2a, 3a, 4a ตามลําดับ
ˆ ˆ ˆ
ถา sin A = k แลว cot B + cot C มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) 6k 1 2) 6k 1
* 3) 3k 4) k
3
คณิตศาสตร (120)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

121. เวกเตอร (Vectors)
บทนิยาม ปริมาณที่มีแตขนาดเพียงอยางเดียว เรียกวา ปริมาณสเกลาร (scalar quantity) สวนปริมาณ
ที่มีทั้งขนาดและทิศทางเรียกวา ปริมาณเวกเตอร (vector quantity) หรือเรียกสั้นๆ วา เวกเตอร
การเขียนสัญลักษณแทนเวกเตอร
เวกเตอรจาก A ไป B อานวา เวกเตอร เอบี เขียนแทนดวย
1) รูปเรขาคณิต
B
A
2) AB (เรียก A วา จุดเริ่มตน (initial point) เรียก B วา จุดสิ้นสุด (terminal point) ของเวกเตอร)
3) ถาพิกัดของ A เปน (x1, y1) และ B เปน (x2, y2) แลว
x - x  v v
AB =  y 2 - y 1  = (x2 - x1) i + (y2 - y1) j
 2 
 1
4) ถาพิกัดของ A เปน (x1, y1, z1) และ B เปน (x2, y2, z2) แลว
x - x 
 2 1 v
v v
AB =  y2 - y1  = (x2 - x1) i + (y2 - y1) j + (z2 - z1) k




 z2 - z1 


v
เมื่อ i เปนเวกเตอร 1 หนวย ในทิศ +x
v
j เปนเวกเตอร 1 หนวย ในทิศ +y
v
k เปนเวกเตอร 1 หนวย ในทิศ +z
ขนาดของเวกเตอร
| AB | แทน ความยาวของสวนของเสนตรง AB หรือ BA หรือ ขนาดของเวกเตอรน่นเอง ั
v v
1) ถา AB = a i + b j แลว | AB | = a 2 + b 2
v v v
2) ถา AB = a i + b j + c k แลว | AB | = a 2 + b 2 + c 2
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (121)

122. การเทากัน และนิเสธของเวกเตอร
บทนิยาม v และ v ขนานกัน ก็ตอเมื่อ เวกเตอรทั้งสองมีทิศทางเดียวกัน หรือทิศทางตรงกันขาม
u v
บทนิยาม u v v = v ก็ตอเมื่อ เวกเตอรทั้งสอง มีขนาดเทากัน และทิศทางเดียวกัน
 a1   a2 
ถา  b  =  b  แลว a1 = a2 และ b1 = b2
 1  2
   
a  a 
 1  2
ถา  b1  =  b2  a1 = a2 และ b1 = b2 และ c1 = c2
   
c  c 
 1
   2
 
บทนิยาม นิเสธของ v (negative of v ) คือ เวกเตอรที่มีขนาดเทากับขนาดของ v แตมีทิศทาง
u u u
ตรงกันขามกับทิศทางของ u v เขียนแทนดวย - v
u
a  -a 
-u v = -  a  = -a  = -a v - b v หรือ - v = -  b  = -b  = -a v - b v - c v
    i j u     i j k
b
  -b 
     
c  -c 
   
เวกเตอรศูนย (zero vector)
0 
v 0  v  
คือ เวกเตอรที่มีขนาดเปน 0 เขียนแทนดวย 0 = 0  หรือ 0 = 0 
   
  0 
 
การบวกเวกเตอร
♥ เชิงเรขาคณิต
v
u
v+v
u v
v v
v v
v v v v+v
v u
u v
u
 a 1   a 2   a1 + a 2  v v
♥ เชิงพีชคณิต b1  +  b2  =  b1 + b2  = (a1 + a2) i + (b1 + b2) j
     

     
a  a  a + a 
 1  2  1 2 v
 b  +  b  =  b + b  = (a + a ) v + (b + b ) v + (c + c ) k
 1  2  1 2 1 2 i 1 2 j 1 2
c  c  c + c 
 1
   2
   1 2
คณิตศาสตร (122)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

123. การลบเวกเตอร
หมายถึง การบวกเวกเตอรดวยนิเสธการบวกของเวกเตอรตัวลบ เชน v - v = v + ( v - v )
u v u u v
♥ เชิงเรขาคณิต
v
u -v
u
v
u
v
v -v
v u - v = v + (- v )
v u v -v
v
 a1   a 2   a1 - a 2  v v
♥ เชิงพีชคณิต   -   =   = (a - a ) i + (b - b ) j
 b1   b2   b1 - b2  1 2 1 2
     
a  a  a - a 
 1  2  1 2 v
 b  -  b  =  b - b  = (a - a ) v + (b + b ) v + (c - c ) k
 1  2  1 2 1 2 i 1 2 j 1 2
c  c  c - c 
 1
   2
   1 2
การคูณเวกเตอร
1. การคูณเวกเตอรดวยสเกลาร
a   ka  1  5 × 1   5
         
k  b  =  kb  เชน 5 2  = 5 × 2  = 10 
         
c   kc  3 5 × 3  15 
         
v ≠ v และ a เปนจํานวนจริง
ให u 0
v v
♥ ถา a > 0 แลว a u คือ เวกเตอรที่มีทิศทางเดียวกับ u และมีขนาดเทากับ a เทาของ u
v
v v
♥ ถา a < 0 แลว a u คือ เวกเตอรที่มีทิศตรงขามกับ u และมีขนาดเทากับ |a| เทาของ u
v
v v
♥ ถา a = 0 แลว a u = 0
เชน 2 v คือเวกเตอรที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร v และมีขนาดเปน 2 เทาของเวกเตอร
u u v
u
v คือเวกเตอรที่มีทิศตรงขามกับเวกเตอร v และมีขนาดเปน 3 เทาของเวกเตอร
-3 u u v
u
v v
ทฤษฎีบทที่ 1 ให v ≠ 0 และ v ≠ 0
u v
v ขนานกับ v ก็ตอเมื่อ มีจํานวนจริง a ≠ 0 ซึ่งทําให v = a v
u v u v
ทฤษฎีบทที่ 2 ให u 0 v ≠ v และ v ≠ v และ v ไมขนานกับ v จะไดวา
v 0 u v
v + b v = v แลว a = 0 และ b = 0
ถา a u v 0
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (123)

124. เวกเตอรหนึ่งหนวย (unit vector)
คือ เวกเตอรที่มีขนาดหนึ่งหนวย
v
เวกเตอรหนึ่งหนวยที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร v คือเวกเตอร |v|
u u
u
เวกเตอรหนึ่งหนวยที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร u v คือเวกเตอร - v u
|v|
u
v v v
เชน กําหนดให v = 3 i - 4 j - k จะได | v | = 3 2 + 4 2 + (-1) 2 =
u u 26
v v v
v คือ คือ 3 i - 4 j - k
ดังนั้น เวกเตอรหนึ่งหนวยที่มีทิศทางเดียวกับ u
26
v v v
หรือ 3 i - 4 j - 1 k
26 26 26
2. การคูณเวกเตอรดวยเวกเตอร (ผลคูณเชิงสเกลาร (dot product))
a  a 
1 2
v ⋅ v = b  ⋅ b  = a a + b b + c c
u v  1  2
    1 2 1 2 12
c  c 
 1  2
   
v ⋅ v = | v || v | cos θ เมื่อ θ เปนมุมระหวาง v และ v เมื่อ v และ
u v u v u v u v มีจุดเริ่มตนเดียวกัน
v
v + v |2 = | v |2 + 2 v ⋅ v + | v |2
|u v u u v v
v - v |2 = | v |2 - 2 v ⋅ v + | v |2
|u v u u v v
สมบัติที่สําคัญของผลคูณเชิงสเกลาร
1. ให v , v และ w เปนเวกเตอรใดๆ
u v v
v v v v
♥ u⋅v = v⋅u
v v v v v v v
♥ u ⋅( v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w
v v v v v v
♥ a( u ⋅ v ) = (a u ) ⋅ v = u ⋅ (a v )
v v
♥ 0⋅u =0
v v v
♥ u ⋅ u = u 2 = | u |2
v
v v v v v v
♥ i ⋅ i = k⋅k = j ⋅ j =1
v v v v v v
♥ i ⋅ j = i ⋅k = j ⋅k =0
2. ให v , v เปนเวกเตอรที่ไมใชเวกเตอรศูนย เวกเตอร v ตั้งฉากกับเวกเตอร
u v u v ก็ตอเมื่อ v ⋅ v = 0
v u v
คณิตศาสตร (124)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

125. 3. การคูณเวกเตอรดวยเวกเตอร (ผลคูณเชิงเวกเตอร (cross product))
v × v อานวา เวกเตอรยู ครอส เวกเตอรวี (หาไดเฉพาะเวกเตอร 3 มิติเทานั้น)
u v
a  a  a b - a b 
 1  2  2 3 3 2
ถา v =  b1  , v =  b2  แลว v × v =  a3b1 - a1b3 
u   v   u v  
c  c   
 1
   2
   a1b2 - a 2b1 
 
a 2 a 3 v a 3 a1 v a1 a2 v
v×v = b b i + b b j +
u v 2 3 3 1 b1 b2 k
v
v | v × v | = | v || v | sin θ
u v u v
= พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมดานขนานที่มี v
u
v และ v v เปนดานของรูปสี่เหลี่ยมนั้น
u
v
r ให v , v , v เปนดานของทรงสี่เหลี่ยมดานขนานแลว
u v r
v
v ปริมาตรของสี่เหลี่ยมดานขนานทรงตัน = | v ⋅ ( v × v )|
u v r
v
u a1  
 
โคไซนแสดงทิศทาง (Direction Cosines) ถากําหนดจุด P(a1, a2, a3) จะได OP = a2 



a3  

 

a1 a2 a3
cos α = , cos β = , cos γ =
a1 + a2 + a2
2
2 3 a1 + a2 + a 2
2
2 3 a1 + a2 + a 2
2
2 3
α, β, γ คือ มุมที่ OP ทํากับแกน x, y, z ตามลําดับ
เรียก cos α, cos β, cos γ วา “โคไซนระบุทิศทางของ OP ”
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (125)

126. แบบฝกหัด
1. กําหนดให ABC เปนสามเหลี่ยมใดๆ และ E เปนจุดที่ทําให CE = 2 BA ถา BE = a CB + b CA เมื่อ
a, b เปนคาคงตัวแลว b - a คือคาในขอใด
1) -1 2) 2 3) 3 *4) 5
2. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมีสมบัตวา 5| AB | = | BC | + | CA | ถา M และ N เปนจุดแบงครึ่ง
ิ
ดาน BC และ AC ตามลําดับ แลวพิจารณาขอความตอไปนี้
ก. MN = 1 ( BC - AC )
2 ข. AM ⋅ BN = 0
ขอใดถูก
1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด
3. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มี D เปนจุดบนดาน AC และ F เปนจุดบนดาน BC
ถา AD = 1 AC , BF = 1 BC และ DF = a AB + b BC แลว a มีคาเทาใด (ตอบ 9)
4 3 b
1
4. กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน, M เปนจุดบนดาน AD ซึ่ง AM = 5 AD และ N เปนจุด
1
บนเสนทแยงมุม AC ซึ่ง AN = 6 AC ถา MN = a AB + b AD แลว a + b เทากับขอใดตอไปนี้
2
*1) 12 2) 5 1 3) 1 4) 1
3
5. ให A, B และ C เปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมใดๆ
พิจารณาขอความตอไปนี้
v
ก. AB + BC + CA = 0 ข. (BC)2 ≤ (CA)2 + (AB)2
ขอใดถูก
1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด
6. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา และ D เปนจุดบนดาน DC ซึ่งทําให | BD | : | BC | = 1 : 3
พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. 3AD = 2AB + BC ข. AD ⋅ BC = - 1 | BC |2
6
ขอใดถูก
1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด *3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด
7. ให A, B และ C เปนจุดสามจุดที่ไมอยูบนเสนตรงเดียวกัน และ D เปนจุดบนเสนตรง BC ที่ทําให BD : DC
= 2 : 1 ถา | AD |2 = a| AB |2 + b| AC |2 + c| AB ⋅ AC | โดยที่ a, b และ c เปนจํานวนจริง และ
AB ⋅ AC ≠ 0 แลว a2 + b2 + c2 มีคาเทากับขอใด
1) 3181 2) 3281 3) 1027 *4) 11
27
คณิตศาสตร (126)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

127. v v v v
8. ให v = i + 3 j , v = 2 i + j ถา θ เปนมุมระหวาง ( v + v ) และ ( v - v ) แลว cos θ
u v u v u v
มีคาเทากับขอใด

*1) 1 2) 2 3) 51 4) 52
5 5
9. ถา | v + v | = 5 2 และ | v - v | = 26 แลว v ⋅ v เทากับขอใด
u v u v u v
1) 3 *2) 6 3) 8 4) 12
10. ถา u v และ v ทํามุมกัน 60° และ | v + v | = 37 , | v - v | = 13 แลว | v | + | v |
v u v u v u v
มีคาเทากับขอใด

1) 5 *2) 7 3) 37 4) 50
11. พิจารณาขอความตอไปนี้ เมื่อ u v และ v เปนเวกเตอร
v
ก. ถา | u v | = | v | ≠ v แลว ( v - v )( v + v ) = 0
v 0 u v u v
v + v | = | v | แลว | v | ⋅ ( v + v ) = 0
ข. ถา |2 u v v u u v
ขอใดตอไปนีถูกตอง
้
1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด
12. กําหนดให u v และ v เปนเวกเตอรที่มขนาดหนึ่งหนวย ถาเวกเตอร v + 2 v ตั้งฉากกับเวกเตอร 2 v + v
v ี u v u v
แลว u v v ⋅ v เทากับขอใดตอไปนี้
*1) - 5 4 2) 0 3) 51 4) 53
13. กําหนดให v และ v เปนเวกเตอรที่ไมเทากับเวกเตอรศูนยซึ่ง v ตั้งฉากกับ v และ v + v ตั้งฉากกับ
u v u v u v
v - v พิจารณาขอความตอไปนี้
u v
ก. | v | = | v |
u v ข. v + 2 v ตั้งฉากกับ 2 v - v
u v u v
ขอใดตอไปนี้เปนจริง
*1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด
14. กําหนดให v และ v เปนเวกเตอรที่มขนาดหนึ่งหนวย ถาเวกเตอร 3 v + v ตั้งฉากกับเวกเตอร v + 3 v
u v ี u v u v
v - v มีขนาดเทากับขอใดตอไปนี้
แลวเวกเตอร 5 u v
1) 3 หนวย 2) 3 2 หนวย 3) 4 หนวย *4) 4 2 หนวย
15. กําหนดให uv และ v เปนเวกเตอรซึ่ง | v ⋅ v | ≠ | v || v | ถา a(v − 2u) + 3u = b(2u + v)
v u v u v
r r r r r
แลวคาของ a อยูในชวงใดตอไปนี้
1) 0, 1 
 2
 
*2)  1 , 1 
2 
 
3) 0, 3 
 2
 
4)  3, 1 
2 
 
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (127)

128. 16. กําหนดให v และ v ไมเปนเวกเตอรและ | v + v | = | v - v | ถา | v | = 1 | v | เปนมุม
u v u v u v v u
3
ระหวางเวกเตอร v + v และเวกเตอร v - v เทากับขอใดตอไปนี้
u v u v
1) 30° 2) 45° *3) 60° 4) 90°
r r r r r r r r r r
17. ให A , B และ C เปนเวกเตอร ซึ่ง | A | = 3, | B | = 2 และ | C | = 1 ถา A + B + 4 C = 0 แลว
r r r r r r
A ⋅ B + B ⋅ C + C ⋅ A มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
*1) - 5 2 2) -1 3) 0 4) 12
18. กําหนดให P(-8, 5), Q(-15, -19), R(1, -7) เปนจุดบนระนาบ ถา v v = a v + b v (a, b เปนจํานวน
i j
จริง) เปนเวกเตอรซ่งมีทิศทางขนานกับเสนตรงซึ่งแบงครึ่งมุม QPR แลว a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
ึ ˆ b
1) 2 2) -2 2
3) 11 2
*4) - 11
v v v v
19. กําหนดให v = 3 i + 4 j ถา w = a i + b j โดยที่ w มีทิศทางเดียวกันกับ v และ | w | = 10
u v v u v
แลว a + b เทากับเทาใด (ตอบ 14)
u v v u v v v
20. กําหนดให v , v และ w เปนเวกเตอรที่สอดคลองกับสมการ v + 5 v - 2 w = 0 โดยที่ v = 3 i + 4 ju
v v
และ v ตั้งฉากกับ v ถา θ เปนมุมระหวาง v และ w แลวคาของ | w |cos θ เทากับเทาใด (ตอบ 2.5)
u v u v v
v v 99
21. ถา vn = 1 i + 1 - 12 j เมื่อ n = 1, 2, 3, ..., 99 แลวคาของ ∑ | vn +1 - vn | อยูในชวงใด
v n v v
n n =1
1) (1, 1.2) 2) (1.2, 1.4) *3) (1.4, 1.6) 4) (1.6, 1.8)
1  5  1 
22. กําหนดใหเวกเตอร  4  ตั้งฉากกับเวกเตอร -8  และ 3  = b  4  + c -8  ถา θ เปนมุมระหวาง
 a  a
         
a b
เวกเตอร  0  และ c  แลว cos2 θ เทากับเทาใด (ตอบ 0.8)
   
   
23. กําหนดทรงสี่เหลี่ยมดานขนาน มีจุดยอดอยูที่จุด O(0, 0, 0), A(1, 5, 7), B(2a, -b, -1) และ C(a, 3b, 2)
โดยที่ a และ b เปนจํานวนเต็ม ถา OA ตั้งฉากกับฐานที่ประกอบดวย OB และ OC และ θ เปนมุม
ระหวาง OB และ OC แลวขอใดตอไปนี้ถูก
1) sin θ = 5
3 7
2) | OB || OC | = 21
3) พื้นที่ฐานของทรงสี่เหลี่ยมดานขนานเทากับ 5 2 3 ตารางหนวย
*4) ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมดานขนานเทากับ 75 ลูกบาศกหนวย
คณิตศาสตร (128)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

129. 24. กําหนดให v = v + 3v
u i k
v = 2 j + xv เมื่อ x เปนจํานวนจริง
v k
v = - 3v + v - v
w i j k
v , v และ w อยูในระนาบเดียวกัน แลว x มีคาเทาใด
ถา u v v
1) -12 2) -8 3) 8 *4) 16
v = av + bv + 2v = a และ v = 2av - 3bv โดยที่ a, b เปนจํานวนเต็มบวก และ θ เปนมุม
25. ให u i j k v i j
ระหวาง v และ v ถา | v | = 3 และ cos θ = 1 แลว v × v มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
u v u 3 u v
v v v v v v
*1) 6 i + 8 j - 10 k 2) - 6 i - 8 j + 10 k
v v v v v v
3) 12 i + 4 j - 10 k 4) - 12 i - 4 j + 10 k
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (129)

130. จํานวนเชิงซอน (Complex)
1. จํานวนเชิงซอน
เซต C = {(a, b)| a, b ∈ R} จะเรียกวา เซตของจํานวนเชิงซอน ก็ตอเมื่อสําหรับทุกๆ สมาชิก (a, b)
และ (c, d) ใน C
1. (a, b) = (c, d) ก็ตอเมื่อ a = c และ b = d
2. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
3. (a, b) ⋅ (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
จํานวนเชิงซอน (a, b) นิยมเขียนแทนดวย a + bi เรียก a วา สวนจริง และเรียก b วา สวนจินตภาพ
ขอสังเกต 1. c(a, b) = (ca, cb)
2. i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1
สังยุคของจํานวนเชิงซอน
กําหนดใหจํานวนเชิงซอน z = a + bi นิยามสังยุคของ z แทนดวย z คือ z = a - bi
สมบัติ 1. (a + bi)(a - bi) = a2 + b2
2. z1 + z 2 = z1 + z 2
3. z1 - z2 = z1 - z 2
4. z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2
Z z
5. z 1 = z1 โดยที่ z 2 ≠ 0
2 2
6. z + z = 2Re(z) เมื่อ Re(z) คือ สวนจริงของ z
7. z - z = 2Im(z) เมื่อ Im(z) คือ สวนจินตภาพของ z
8. z = z
คณิตศาสตร (130)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

131. คาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอน
กําหนดใหจํานวนเชิงซอน z = a + bi นิยามคาสัมบูรณของ z แทนดวย |z| คือ |z| = a 2 + b2
สมบัติ 1. z z = |z|2
2. |z| = |-z|
3. |z1z2| = |z1||z2|
z z
4. z1 = z1 , z2 ≠ 0
2 2
5. |z -1|= |z|-1
6. |z| = | z |
7. |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|
8. |z1 - z2| ≥ ||z1| - |z2||
2. จํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้ว
ให z = a + bi โดยที่ z ≠ 0 และ θ เปนมุมบวกที่เล็กที่สุดซึ่ง tan θ = b จะไดวา รูปเชิงขั้วของ z
a
คือ z = |z|(cos θ + i sin θ) เรียก θ วา อารกิวเมนต (argument) ของ z
การคูณและการหารจํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้ว
กําหนดให z1, z2 เปนจํานวนเชิงซอนที่ไมใชศูนย
โดย z1 = |z1|(cos θ1 + i sin θ1)
และ z2 = |z2|(cos θ2 + i sin θ2) จะไดวา
1. z1z2 = |z1||z2|(cos(θ1 + θ2) + i sin (θ1 + θ2))
z |z |
2. z 1 = |z1| (cos(θ1 - θ2) + i sin(θ1 - θ2))
2 2
3. z1 = |z1|n (cos nθ1 + i sin nθ1)
n
การแกสมการจํานวนเชิงซอน
สําหรับจํานวนเชิงซอน z = |z|(cos θ + i sin θ) เมื่อ n ≥ 2 จะไดวา
n z = n |z|  cos θ + 2kπ  + i sin  θ + 2kπ   เมื่อ k = 0, 1, 2, ..., n - 1
  

  n  

 n  
กําหนดให f(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 โดยที่ a0, a1, a2, ..., an ∈ R และ an ≠ 0
จะไดวา ถา f(z) = 0 แลว f( z ) = 0 ดวย
นั่นคือ ถา z เปนคําตอบของสมการแลว z จะเปนคําตอบของสมการดวย
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (131)

132. แบบฝกหัด
1. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของสมการ z2 + z + 1 = 0 เมื่อ z เปนจํานวนเชิงซอน เซตในขอใดตอไปนี้
เทากับเซต S
1) {-cos 120° - i sin 60°, cos 60° + i sin 60°}
2) {cos 120° + i sin 60°, -cos 60° + i sin 60°}
3) {-cos 120° - i sin 120°, -cos 60° + i sin 60°}
4) {cos 120° + i sin 120°, -cos 60° - i sin 60°}
2. กําหนดให z1 และ z2 เปนจํานวนเชิงซอนซึ่ง |z1 + z2|2 = 5 และ |z1 - z2|2 = 1
คาของ |z1|2 + |z2|2 เทากับขอใดตอไปนี้
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
2
3. กําหนดให z เปนจํานวนเชิงซอนที่สอดคลองกับสมการ z4 + 1 = 0 คาของ z + 1 เทากับขอใดตอไปนี้
z
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
4. กําหนดให z1,z2 เปนจํานวนเชิงซอนซึ่ง |z1 + z2| = 3 และ z1 ⋅ z2 = 3 + 4i
คาของ |z1|2 + |z2|2 เทากับขอใดตอไปนี้
1) 3 2) 4 3) 5 4) 6
5. กําหนดให z เปนจํานวนเชิงซอนที่สอดคลองกับ z 3 - 2z2 + 2z = 0 และ z ≠ 0 ถาอารกิวเมนตของ z อยู
4
ในชวง  0, π  แลว z 2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

 2

( z)
1) -2i 2) 1 - i 3) 1 + i 4) 2i
6. กําหนดให w, z เปนจํานวนเชิงซอนซึ่ง w = z - 2i และ |w|2 = z + 6 ถาอารกิวเมนตของ w อยู
ในชวง 0, π  และ w = a + bi เมื่อ a, b เปนจํานวนจริง แลว a + b มีคาเทาใด
 2
 
1) 2 2) 4 3) 6 4) 8
เฉลย
1. 4) 2. 3) 3. 2) 4. 1) 5. 1) 6. 2)
คณิตศาสตร (132)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

133. กําหนดการเชิงเสน (Linear Programing)
1. กราฟอสมการเชิงเสน
1. วาดกราฟสมการเชิงเสน (โดยหาจุดที่สอดคลองกับสมการเชิงเสนสองจุด มักใชจุดตัดแกน X และ
จุดตัดแกน Y)
2. พิจารณาอาณาบริเวณ โดยใชจุดที่ไมอยูบนเสนกราฟทดสอบ (มักใชจุด (0, 0))
ถาจุดที่ทดสอบสอดคลองกับอสมการ จะไดกราฟเปนอาณาบริเวณที่มีจุดนั้นอยู
ถาจุดที่ทดสอบขัดแยงกับอสมการ จะไดกราฟเปนอาณาบริเวณที่อยูตรงขามกับบริเวณที่มีจุดนั้นอยู
3. พิจารณาวาอสมการนั้นยอมรับการเทากันไดหรือไม โดยเลือกแทนดวยเสนทึบ หรือเสนประให
สอดคลอง
2. กราฟของระบบอสมการเชิงเสน
1. วาดกราฟของอสมการเชิงเสน หาบริเวณที่สอดคลองในทุกๆ อสมการ (คืออาณาบริเวณที่ซอนทับกัน)
เรียกอาณาบริเวณนั้นวา อาณาบริเวณที่หาคําตอบได แลวหาพิกัดของมุมของอาณาบริเวณที่หาคําตอบได
2. ในกรณีที่ระบบอสมการเชิงเสนมีหลายอสมการ ในการวาดกราฟของอสมการเชิงเสน อาจตองมีการ
หาพิกัดของจุดตัดของสองเสนกอน
3. การแกปญหากําหนดการเชิงเสนโดยวิธีใชกราฟ

- ปญหากําหนดการเชิงเสนประกอบดวย ฟงกชันจุดประสงค (Objective Function) และอสมการ
ขอจํากัด (Constraint Inequalities)
- ผลเฉลยของปญหาจะเปนพิกดที่อยูในบริเวณที่หาคําตอบไดของระบบอสมการเชิงเสนที่ไดมาจากอสมการ
ั
ขอจํากัด โดยเปนพิกัดที่ทาใหฟงกชันมีคาสูงสุดหรือต่ําสุดตามฟงกชันจุดประสงค
ํ
- โดยการใชการเลื่อนของกราฟฟงกชันจุดประสงคที่มความชันคงที่ แตมีระยะตัดแกน Y ที่เปลี่ยนแปลง
ี
พบวาคําตอบที่ตองการจะอยูที่จุดมุมของอาณาบริเวณที่หาคําตอบได
4. สรุปขั้นตอนการแกปญหากําหนดการเชิงเสน

1. สมมติตัวแปร กําหนดฟงกชนจุดประสงค และอสมการขอจํากัด
ั
2. วาดกราฟของระบบอสมการเชิงเสนที่ไดจากอสมการขอจํากัด แลวหาอาณาบริเวณที่หาคําตอบได
3. หาพิกดของจุดมุมของอาณาบริเวณที่หาคําตอบได
ั
4. นําจุดมุมทั้งหมดไปทดสอบกับฟงกชันจุดประสงค โดยเลือกพิกัดที่ทําใหคาของฟงกชันสูงสุดหรือต่ําสุด
ตามที่ตองการ
ขอสังเกต ในบางสถานการณปญหา ตองการคําตอบที่เปนจํานวนเต็ม แตถาพิกดที่เปนคําตอบไมใชจํานวนเต็ม
ั
จะตองนําพิกัดที่เปนจํานวนเต็มที่อยูใกลเคียงกับจุดนั้น มาพิจารณาหาพิกัดที่ใหคาที่ดีที่สุดแทน
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (133)

134. แบบฝกหัด
1. ถา C เปนปริมาณที่มีคาขึ้นกับคาของตัวแปร x และ y ดวยความสัมพันธ C = 3x + 5y เมื่อ x, y เปนไป
ตามเงื่อนไข 3x + 4y ≥ 5, x + 3y ≥ 3, x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลวคาต่ําสุดของ C ตามเงื่อนไขขางตน มีคา
เทากับขอใดตอไปนี้
1) 215 2) 295 3) 254 4) 27
4
2. ถา P = 5x + 4y เมื่อ x และ y เปนไปตามเงื่อนไข x + 2y ≤ 40, 3x + 2y ≤ 60, x ≥ 0 และ y ≥ 0
แลวคาสูงสุดของ P เทากับขอใดตอไปนี้
1) 90 2) 100 3) 110 4) 115
3. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริงบวกซึ่ง a < b ถาคามากสุดและคานอยสุดของ P = 2x + y เมื่อ x, y
เปนไปตามเงื่อนไข a ≤ x + 2y ≤ b, x ≥ 0 และ y ≥ 0 มีคาเทากับ 100 และ 10 ตามลําดับ แลว a + b
มีคาเทาใด
1) 70 2) 50 3) 30 4) 10
เฉลย
1. 2) 2. 3) 3. 1)
คณิตศาสตร (134)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

135. ลําดับและอนุกรม (Sequence and Series)
1. ลําดับ
คือ ฟงกชันที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวนนับ n ตัวแรก (ลําดับจํากัด) หรือเซตของจํานวนนับ (ลําดับ
อนันต)
การเขียนลําดับ เขียนได 3 แบบ คือ เขียนแบบเซต เขียนแบบแจกแจงเฉพาะคาของลําดับ เขียนแบบ
พจนทั่วไป
ลิมิตของลําดับ
1. ลําดับที่จะนํามาพิจารณาตองเปนลําดับอนันต
2. ลิมิตของลําดับ (an) มีคาเปนจํานวนจริง L เขียนแทนดวย lim a n = L ก็ตอเมื่อ เมื่อ n มีคา
n →∞
มากขึ้น an จะมีคาเขาใกลหรือเทากับ L ( lim a n = L ↔ ∀∈ > 0 ∃n0 ∈ N, n ≥ n0 → |an - L| < ∈)
n →∞
3. ถา lim a n = L (L ∈ R) แลว จะกลาววา ลําดับ an ลูเขา (converge) สู L และถาลําดับ (an)
n →∞
ไมมีลิมตแลวเราจะกลาววา ลําดับ an ลูออก (diverge) (ถาลิมิตของลําดับมีคาแลว จะมีไดคาเดียว)
ิ
ทฤษฎีบท กําหนดให c เปนคาคงตัวใดๆ lim a n = A, lim b n = B
n →∞ n →∞
1. lim c = c
n →∞
2. lim c ⋅ an = cA
n →∞
3. lim (an + bn) = A + B
n →∞
4. lim (an ⋅ bn) = AB
n →∞
5. lim k a n = k A (เมื่อ k เปนคาคงที่และทุกเทอมมีความหมาย)
n →∞
a
6. lim bn = A (เมื่อทุกเทอมมีความหมาย)
B
n →∞ n
หมายเหตุ
p(x)
1. ถา an = q(x) โดยที่ p(x) และ q(x) เปนพหุนาม
ถา deg p(x) = deg q(x) จะได lim a n = A เมื่อ A และ B คือ สัมประสิทธิ์ของ x กําลังสูงสุด
B
n →∞
ของพหุนาม p(x) และ q(x) ตามลําดับ
ถา deg p(x) > deg q(x) จะได lim a n ลูออก
n →∞
ถา deg p(x) < deg q(x) จะได lim a n = 0
n →∞
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (135)

136. 2. ถา an อยูในรูปแบบของฟงกชันชี้กําลัง ใหดึงตัวรวมและใชขอเท็จจริงที่วา lim a n = 0 เมื่อ 0 < a < 1

n →∞
3. ใชคอนจูเกต
ลําดับเลขคณิต
คือ ลําดับที่มผลตางของพจนที่ n + 1 กับพจนที่ n เปนคาคงที่เสมอ เรียกผลตางที่คงที่น้วา ผลตางรวม
ี ี
แทนดวย d (d = an + 1 - an)
พจนทั่วไปของลําดับเลขคณิต an = a1 + (n - 1)d
ลําดับเรขาคณิต
คือ ลําดับที่มีอัตราสวนของพจนที่ n + 1 กับพจนที่ n เปนคาคงที่เสมอ เรียกอัตราสวนที่คงที่น้วา ี
an
อัตราสวนรวม แทนดวย r (r = a +1 )
n
พจนทั่วไปของลําดับเรขาคณิต an = a1 ⋅ rn-1
2. อนุกรม
คือลําดับของผลบวกยอย เรียก sn วาผลบวกยอย n พจนแรกของลําดับ (an)
N
อนุกรมที่เกิดจากลําดับจํากัด เรียก อนุกรมจํากัด sn = a1 + a2 + ... + an = ∑ a i
i =1
∞
อนุกรมที่เกิดจากลําดับอนันต เรียก อนุกรมอนันต lim s n = s∞ = a1 + a2 + ... = ∑ a i
n →∞ i =1
โดยถา lim s n มีคา จะกลาววาอนุกรมลูเขา และมีผลบวกเทากับคาของลิมิตนั้น และถา lim s n หา
n →∞ n →∞
คาไมไดจะกลาววาอนุกรมลูออก
อนุกรมเลขคณิต
ผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต
sn = n (2a1 + (n - 1)d) = n (a1 + an)
2 2
อนุกรมเรขาคณิต
ผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต
a1 (1 - r n )
sn = 1 - r เมื่อ r ≠ 1
ผลบวกอนันตพจนของอนุกรมเรขาคณิต
∞ a1
lim s n = ∑ ai = 1 - r ก็ตอเมื่อ |r| < 1
n →∞ i =1
∞
lim s = ∑ a i ลูออก ก็ตอเมื่อ |r| ≥ 1
n →∞ n i =1
อนุกรมผสม ใชเทคนิคคูณตลอดดวย r
อนุกรมที่อยูในรูปเศษสวนยอย ปรับแตละพจนใชอยูในรูปเศษสวนยอย
คณิตศาสตร (136)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

137. อนุกรมพี
∞
∑ 1p ลูเขา ก็ตอเมื่อ p > 1
n =1 n
∞
∑ 1p ลูออก ก็ตอเมื่อ p ≤ 1
n =1 n
สัญลักษณแทนการบวก
n
1. ∑ c = nc
i =1
n n
2. ∑ cx i = c ∑ x i
i =1 i =1
n n n
3. ∑ (x i ± y i ) = ∑ x i ± ∑ y i
i =1 i =1 i =1
n n(n + 1)
4. ∑i =
2
i =1
n n(n + 1)(2n + 1)
5. ∑ i2 = 6
i =1
n  n 2
6. ∑i 3 =  ∑ i  = 1 (n(n + 1))2
i =1  i =1 
 
4
ทฤษฎีบท
∞ ∞
1. ถา ∑ a n เปนอนุกรมลูเขา แลว lim a n = 0 หรือ ถา lim a n ≠ 0 แลว ∑ a n ลูออก
n =1 n →∞ n →∞ n =1
∞ ∞ ∞
2. ถา ∑ a n และ ∑ b n เปนอนุกรมลูเขา แลวสําหรับจํานวนจริง c, d ใดๆ จะไดวา ∑ (ca n ± db n )

n =1 n =1 i =1
∞ ∞ ∞
เปนอนุกรมลูเขาดวย โดยที่ ∑ (ca n ± db n ) = c ∑ a n ± d ∑ b n
n =1 n =1 n =1
3. กําหนดให 0 ≤ an ≤ bn จะไดวา
∞ ∞
ถา ∑ b n ลูเขา แลว ∑ a n จะลูเขาดวย
n =1 n =1
∞ ∞
ถา ∑ a n ลูออก แลว ∑ b n จะลูออกดวย
n =1 n =1
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (137)

138. แบบฝกหัด
2 ∞  n
1. ถา lim n 2b + 1 = 1 แลวผลบวกของอนุกรม ∑  
ab 
2
เทากับขอใดตอไปนี้
n →∞ 2n a - 1 n = 1 a2 b
+ 
1) 13 2) 2 3 3) 1 4) หาคาไมได
an 10
2. กําหนดให an เปนลําดับที่สอดคลองกับ a + 2 = 2 สําหรับทุกจํานวนนับ n ถา ∑ a n = 31
n n =1
2552
แลว ∑ a n เทากับขอใดตอไปนี้
n =1
1) 21275 - 1 2) 21276 - 1 3) 22551 - 1 4) 22552 - 1
∞
3. ถา a1, a2, a3, ... เปนลําดับเรขาคณิตซึ่ง ∑ a n = 4 แลวคามากที่สุดที่เปนไปไดของ a2 เทากับขอใด
n =1
ตอไปนี้
1) 4 2) 2
3) 1 4) หาคาไมไดเพราะ a2 มีคามากไดอยางไมมีขีดจํากัด
4. กําหนดแบบรูป 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, ... จํานวนในพจนที่ 5060 ของรูปแบบนี้มีคา
เทากับขอใดตอไปนี้
1) 1 2) 10 3) 100 4) 1000
5. กําหนดให an เปนลําดับเลขคณิตที่สอดคลองกับเงื่อนไข lim  an n a1  = 5 ถา a9 + a5 = 100


- 

n→∞
แลว a100 เทากับขอใดตอไปนี้
1) 500 2) 515
3) 520 4) หาไมไดเพราะขอมูลไมเพียงพอ
 
6. ถา A = lim  2nk  มีคาเปนจํานวนจริงบวกแลว แลวคาของ A เทากับขอใดตอไปนี้
n→∞ 
 1 + 8 + 27 + ... + n3 

1) 0 2) 2 3) 4 4) 8
∞ ∞
7. ถา ∑ 1 = A แลว ∑ 1 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
n =2 n 4 - n 2 n =2 n 2
1) 3 + A
4 2) 5 + A
4 3) 3 - A
4 4) 5 - A
4
คณิตศาสตร (138)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

139. 8. กําหนดให an เปนลําดับซึ่งสอดคลองกับเงื่อนไข a1 + a 1 = 1 สําหรับทุกจํานวนนับ n
n n +1
ถา a1 + a2 + ... + a100 = 250 แลว |a2552 - 2.5| มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 1 + 5 2) 2 + 5 3) 25 4) 2 5
9. พิจารณาขอความตอไปนี้
∞
ก. ถาลําดับ an ลูเขา แลวอนุกรม ∑ an ลูเขา
n =1
∞ ∞ 
ลูเขา แลวอนุกรม ∑  1 + an  ลูเขา

ข. ถาอนุกรม ∑ an n

n =1 n =1  2 
ขอใดตอไปนีเปนจริง
้
1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด
3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด
 2 2 a -a
10. ถา an เปนลําดับเลขคณิตซึ่ง lim  a n + 1 - a n 
 n  = 4 แลว 17 2 9 มีคาเทาใด
n → ∞ 
2
1) 2 2 2) 2 2 3) 2 4) 2
 
11. lim  3n + 12n + 27n + ...+3 3n3  มีคาเทาใด
 
n → ∞  1 + 8 + 27 +...+ n 
1) 6 2) 5 3) 4 4) 3
เฉลย
1. 2) 2. 2) 3. 3) 4. 2) 5. 2) 6. 4) 7. 3) 8. 3) 9. 4) 10. 1)
11. 3)
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (139)

140. แคลคูลัส (Calculus)
1. ลิมิตและความตอเนื่องของฟงกชัน
เมื่อ x มีคาเขาใกลจํานวนจริง a ทางดานซายของเสนจํานวน (x < a) แลวคาของ f(x) เขาใกลจํานวน
จริง L จะกลาววา L เปนลิมิตซายของ f ที่ a แทนดวยสัญลักษณ lim f(x) = L1
- x →a
เมื่อ x มีคาเขาใกลจํานวนจริง a ทางดานขวาของเสนจํานวน (x > a) แลวคาของ f(x) เขาใกลจํานวน
จริง L จะกลาววา L เปนลิมิตขวาของ f ที่ a แทนดวยสัญลักษณ lim f(x) = L2
x →a +
ถาลิมตทางซายและลิมตทางขวาของฟงกชัน f เทากัน และมีคาเทากับ L จะกลาววา
ิ ิ 
ฟงกชัน f มีลิมิตเปน L ที่ a แทนดวยสัญลักษณ lim f(x) = L
x→a
ถาลิมิตทางซายไมเทากับลิมิตทางขวา หรือลิมิตขางใดขางหนึ่งหาคาไมได จะกลาววา ฟงกชัน f ไมมีลิมิตที่ a
ทฤษฎีบทของลิมิต
กําหนดให a เปนจํานวนจริงใดๆ f และ g เปนฟงกชันที่มีลิมิตที่จุด a จะไดวา
1. lim c = c เมื่อ c เปนคาคงตัวใดๆ
x →a
2. lim x = a
x →a
3. lim x n = an เมื่อ n ∈ N
x →a
4. lim cf(x) = c lim f(x) เมื่อ c เปนคาคงตัวใดๆ
x →a x →a
5. lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x)
x→a x→a x→a
6. lim (f(x) ⋅ g(x)) = lim f(x) ⋅ lim g(x)
x→a x→a x→a
lim f(x)
f(x)  = x → a

7. lim g(x) 
  เมื่อ lim g(x) ≠ 0

x → a  lim g(x) x→a
x→a
 
n
8. lim (f(x)) n
(

= lim f(x)


 เมื่อ n ∈ N
x →a  x→ a 
9. lim n f(x) = n lim f(x) เมื่อ n ∈ N และ lim f(x) ≥ 0
x →a x→a x →a
n
n  m
10. lim (f(x)) m =  lim f(x) 
(
  เมื่อ n, m ∈ N และ lim f(x) ≥ 0
x →a  x→ a  x →a
11. ถา f เปนฟงกชันพหุนาม นั่นคือ f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 เมื่อ a0, a1, a2, ..., an
เปนคาคงตัวโดย an ≠ 0 จะไดวา lim f(x) = f(a)
x →a
คณิตศาสตร (140)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

141. ความตอเนื่องของฟงกชัน
นิยาม ให a เปนจํานวนจริงใดๆ ฟงกชัน f เปนฟงกชันตอเนื่องที่จุด a ก็ตอเมื่อ ฟงกชัน f มีสมบัติ
ตอไปนี้
1. lim f(x) หาคาได
x →a
2. f(a) หาคาได
3. lim f(x) = f(a)
x →a
2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟงกชัน
นิยาม ถา y = f(x) เปนฟงกชันใดๆ และ h เปนจํานวนจริงที่ไมใชศูนย
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในชวง x ถึง x + h คือ f(x + h) - f(x)
h
อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ใดๆ คือ lim f(x + h) - f(x)
h →0 h
3. อนุพันธของฟงกชัน
นิยาม ถา y = f(x) เปนฟงกชันที่มีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของจํานวนจริง และ lim f(x + h) - f(x)
h
h→0
d dy
หาคาได เรียกคาลิมตที่ไดนี้วา อนุพันธของฟงกชัน f ที่ x แทนดวย f ′(x) , dx f(x) และ dx
ิ
ทฤษฎีบทของอนุพันธ
dc
1. dx = 0 เมื่อ c คือ คาคงตัวใดๆ
2. dx = 1
dx
d
3. dx xn = nxn-1 เมื่อ n เปนจํานวนจริงใดๆ
d d
4. dx [f(x) ± g(x)] = dx f(x) ± dx g(x) d
d d
5. dx cf(x) = c dx f(x) เมื่อ c คือ คาคงตัวใดๆ
d d d
6. dx [f(x)g(x)] = f(x) dx g(x) + g(x) dx f(x)
d d
d  f(x)  = g(x) dx f(x) - f(x) dx g(x) เมื่อ g(x) ≠ 0
7. dx  g(x) 
  (g(x))2
d d d
8. dx gof(x) = dy g(y) dx f(x) เมื่อ y = f(x) (กฎลูกโซ (Chain rule))
d
9. dx [f(x)]n = n[f(x)]n-1 dx f(x)d
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (141)

142. อนุพันธอันดับสูงของฟงกชน ั
นิยาม ถา f′(x) หาอนุพันธไดแลวจะเรียกอนุพันธของ f′(x) วา อนุพันธอันดับสองของ f แทนดวย f ″(x),
d 2 y , d2 f(x) ในทํานองเดียวกันเราสามารถนิยามอนุพันธอันดับ 3, 4, ... ของฟงกชัน ตลอดจนกําหนด
dx 2 dx 2
สัญลักษณไดโดยวิธีเดียวกัน
การประยุกตของอนุพันธ
ความชันของเสนสัมผัสโคง ถา f เปนสมการเสนโคง ความชันของเสนตรงที่สัมผัสเสนโคงที่จุด (a, f(a))
คือ f ′(a)
ฟงกชันเพิ่มและฟงกชันลด กําหนดให f มีโดเมนเปน Df ฟงกชัน f เปนฟงกชันเพิ่มบน (a, b) ⊂ Df
ถา f ′(c) > 0 ทุก c ∈ (a, b) และฟงกชัน f เปนฟงกชันลดบน (a, b) ⊂ Df ถา f ′(c) < 0 ทุก c ∈ (a, b)
คาสุดขีดของฟงกชัน
กําหนดให f มีโดเมนเปน Df
ฟงกชัน f มีคาสูงสุดสัมพัทธที่จุด x = c ถามีชวง (a, b) ⊂ Df และ c ∈ (a, b) ซึ่ง f (c) > f(x) สําหรับ
ทุกๆ x ในชวง (a, b) ที่ x ≠ c
ฟงกชัน f มีคาต่ําสุดสัมพัทธที่จุด x = c ถามีชวง (a, b) ⊂ Df และ c ∈ (a, b) ซึ่ง f (c) < f(x) สําหรับ
ทุกๆ x ในชวง (a, b) ที่ x ≠ c
นิยาม ถา f ′(c) = 0 แลวเราจะเรียก c วา คาวิกฤตของฟงกชัน f และเรียกจุด (c, f(c)) วา จุดวิกฤตของ f
ทฤษฎีบท กําหนดให f เปนฟงกชันตอเนื่องใดๆ บน (a, b) ⊂ Df และ c เปนคาวิกฤตของ f แลว
ถา f ″(c) < 0 แลว f(c) เปนคาสูงสุดสัมพัทธ
ถา f″(c) > 0 แลว f(c) เปนคาต่ําสุดสัมพัทธ
โจทยปญหาคาสุดขีด ทําความเขาใจปญหาเพื่อสรางฟงกชัน f(x) โดยให f(x) เปนสิ่งที่โจทยตองการทราบ

คาสุดขีด และตัวแปร x คือสิ่งที่สงผลตอคาสุดขีดนั้น
4. การอินทิเกรต
นิยาม ฟงกชัน F เปนปฏิยานุพันธของฟงกชัน f เมื่อ F ′(x) = f(x) สําหรับทุกคา x ∈ Df ใช ∫ f(x)dx
แทน F(x) + c เมื่อ c เปนคาคงตัวใดๆ และเรียก ∫ f(x)dx วา อินทิกรัลไมจํากัดเขตของฟงกชัน f
ทฤษฎีบท
1. ∫ kdx = kx + c เมื่อ k และ c เปนคาคงตัว
n +1
2. ∫ xndx = x + 1 + c เมื่อ n ≠ -1
n
3. ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx เมื่อ k เปนคาคงตัว
4. ∫ (f(x) ± g(x))dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
คณิตศาสตร (142)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

143. อินทิกรัลจํากัดเขต
นิยาม ให f เปนฟงกชันตอเนื่องบนชวง [a, b] ถา F เปนฟงกชันที่มีอนุพันธบนชวง [a, b] โดยที่ F ′(x) =
f(x) แลว
b
∫ f(x)dx = F(b) - F(a)
a
b b
เรียก ∫ f(x)dx วา อินทิกรัลจํากัดเขตของฟงกชัน f บน [a, b] ใชสัญลักษณ F(x) a แทน F(b) - F(a)
a
ทฤษฎีบท
b b
1. ∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx เมื่อ k เปนคาคงตัว
a a
b b b
2. ∫ (f(x) ± g(x))dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
a a a
b c b
3. ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx เมื่อ c ∈ (a, b)
a a c
b a
4. ∫ f(x)dx = - ∫ f(x)dx
a b
พื้นที่ที่ปดลอมดวยเสนโคง
นิยาม กําหนดใหฟงกชัน f(x) ตอเนื่องบน [a, b] พื้นที่ปดลอมดวยเสนโคงของ f(x) จาก x = a ถึง x = b
หมายถึง พื้นที่ของบริเวณที่ลอมรอบดวยกราฟของ f แกน X เสนตรง x = a และเสนตรง x = b
ทฤษฎีบท กําหนดใหฟงกชัน f ตอเนื่องบน [a, b] และ A เปนพื้นที่ที่ปดลอมดวยเสนโคงของ f จาก
x = a ถึง x = b จะหาไดจากสูตรตอไปนี้
b
1. ถา f(x) ≥ 0 สําหรับทุก x ในชวง [a, b] และ A = ∫ f(x)dx
a
b
2. ถา f(x) ≤ 0 สําหรับทุก x ในชวง [a, b] และ A = - ∫ f(x)dx
a
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (143)

144. แบบฝกหัด
1. กําหนดให A แทนพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ปดลอมดวยเสนโคง y = 1 - x2 และแกน X
2
B แทนพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ใตเสนโคง y = x4 เหนือแกน X จาก x = -c ถึง x = c
คาของ c ที่ทําให A = B เทากับขอใดตอไปนี้
1) 2 2) 2 3) 2 2 4) 4
2. กําหนดให f(x) = x4 - 3x2 + 7
f เปนฟงกชันเพิ่มบนเซตในขอใดตอไปนี้
1) (-3, -2) U (2, 3) 2) (-3, -2) U (1, 2) 3) (-1, 0) U (2, 3) 4) (-1, 0) U (1, 2)
 

3. ถา f′(x) = 1  1 + 1  แลวคาของ lim f(1 + h) - f(1) เทากับขอใดตอไปนี้

2 
 x 3
x  h →0 f(4 + h) - f(4)
 
1) 1 2) 16
5 3) 75 4) 51
1
4. ถา f′(x) = 3x2 + x - 5 และ f(0) = 1 แลว ∫ f(x)dx มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
-1
1) 5 3 2) 73 3) 23 4) 13
5. ถา f, g และ h สอดคลองกับ f(1) = g(1) = h(1) = 1 และ f′(1) = g′(1) = h′(1) = 2 แลวคาของ
(fg + h)′(1) เทากับขอใดตอไปนี้
1) 1 2) 2 3) 4 4) 6
6. เสนตรงซึ่งตัดตั้งฉากกับเสนสัมผัสของเสนโคง y = 2x3 - 1 ที่จุด x = 1 คือเสนตรงในขอใดตอไปนี้
x
1) 13x - 2y - 11 = 0 2) 13x + 2y - 15 = 0
3) 2x - 13y - 11 = 0 4) 2x + 13y - 15 = 0
1
7. ถา f′(x) = x2 - 1 และ ∫ f(x)dx = 0 แลว |f(1)| มีคาเทากับเทาใด
0
1) 0.25 2) 0.50 3) 0.75 4) 1.00
f(4)
8. ถา f(x) = ax2 + b x เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริงที่ b ≠ 0 ถา 2f′(1) = f(1) แลว f'(9) มีคาเทาใด
1) 8 2) 12 3) 16 4) 20
9. กําหนดให y = f(x) เปนฟงกชนซึ่งมีคาสูงสุดที่ x = 1 ถา f"(x) = -4 ทุก x และ f(-1) + f(3) = 0 แลว f มี
ั
คาสูงสุดเทาใด
1) 38 2) 28 3) 18 4) 8
คณิตศาสตร (144)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

145. เฉลย
1. 2) 2. 3) 3. 2) 4. 2) 5. 4) 6. 4) 7. 1) 8. 2) 9. 4)
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (145)

146. วิธีเรียงสับเปลี่ยน วิธีจัดหมู และความนาจะเปน
(Permutation, Combination, and Probability)
1. หลักการเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ
กฎการบวก ถาการทํางานหนึ่งอยางแบงออกเปน n กรณียอยโดยในแตละกรณีเปนการทํางานที่เสร็จสิ้น
จํานวนวิธีในการทํางานจะเทากับผลรวมของจํานวนวิธีของทุกกรณี
กฎการคูณ
1. ถางานที่ทําแบงออกเปนสองขั้นตอน โดยงานขั้นตอนแรกเลือกทําได n1 วิธี และในแตละวิธีในการ
เลือกทํางานอยางแรกนี้สามารถเลือกทํางานอยางที่สองได n2 วิธี จํานวนวิธีที่จะเลือกทํางานชิ้นนี้ คือ n1n2 วิธี
2. ถางานที่ทําแบงออกเปน k ขั้นตอน โดยงานขั้นตอนแรกเลือกทําได n1 วิธี และในแตละวิธีในการเลือก
ทํางานอยางแรกนี้สามารถเลือกทํางานอยางที่สองได n2 วิธี ในแตละวิธีในการเลือกทํางานอยางที่สองสามารถ
เลือกทํางานอยางที่สามได n3 วิธี ฯลฯ จํานวนวิธีที่จะเลือกทํางานชิ้นนี้ คือ n1n2n3 ... nk วิธี
นิยาม กําหนดให n ∈ N n! = 1 × 2 × 3 × 4 × ... × n และ 0! = 1
2. วิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจดหมู
ั
กฎขอที่ 1 จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่งที่แตกตางกันทั้งหมด เทากับ n!
กฎขอที่ 2 จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่งที่แตกตางกันโดยนํามาเรียงแค r สิ่ง (r ≤ n) คือ
nP = n!
r (n - r)!
กฎขอที่ 3 จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของ n สิ่งที่แตกตางกันทั้งหมด เทากับ (n - 1)!
กฎขอที่ 4 ถามีสิ่งของอยู n สิ่ง ในจํานวนนี้มี
n1 สิ่งที่เหมือนกันอยูกลุมที่หนึ่ง
n2 สิ่งที่เหมือนกันอยูกลุมที่สอง
M
nk สิ่งที่เหมือนกันอยูกลุมที่ k โดยที่ n1 + n2 + ... + nk = n
จํานวนวิธเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของทั้ง n สิ่ง เทากับ n !n n!... n !
ี
1 2! k
n
กฎขอที่ 5 จํานวนวิธีเลือกสิ่งของ n สิ่งที่แตกตางกัน ที่ละ r สิ่ง (r ≤ n) เทากับ  r  = nCr =
 
 
n!
(n - r)!r!
เทคนิค การนับจํานวนฟงกชน, คอมพลีเมนท, การจัดเรียงของใหตดกันโดยการมัด
ั ิ
คณิตศาสตร (146)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

147. 3. ความนาจะเปน
การทดลองสุม คือ การทดลองใดๆ ซึ่งทราบวาผลลัพธอาจเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถทํานายผล
ลวงหนาได
แซมเปลสเปซ คือ เซตที่มีสมาชิกเปนผลลัพธที่เปนไปไดทั้งหมดของการทดลองสุม
เหตุการณ คือ สับเซตของแซมเปลสเปซ
ความนาจะเปนของเหตุการณ E แทนดวย P(E) = n(E)n(S)
สมบัติบางประการของความนาจะเปน
1. 0 ≤ P(E) ≤ 1
2. P(φ) = 0
3. P(S) = 1
4. P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 I E2)
5. P(E1 U E2 U E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) - P(E1 I E2) - P(E1 I E3) - P(E2 I E3) +
P(E1 I E2 I E3)
6. P(E) = 1 - P(E′)
4. ทฤษฎีบททวินาม
n n n n n
(a + b)n =  0  anb0 +  1  an-1b1 +  2  an-2b2 + ... +  n - 1  a1bn-1 +  n  a0bn
         
         
n
เรียก  r  วาสัมประสิทธิ์ทวินาม
 
 
ขอสังเกต
1. การกระจาย (a + b)n จะได n + 1 พจน
2. ในแตละพจนผลรวมของกําลังของ a และ b จะไดเทากับ n
3. พจนทั่วไปของการกระจาย (a + b)n
 n  n-r r
Tr+1 = 
 r a b

 
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (147)

148. แบบฝกหัด
1. กําหนดให A = {1, 2, 3, 4} และ B = {a, b, c} เซต S = {f|f : A → B เปนฟงกชันทั่วถึง} มีจํานวน
สมาชิกเทากับขอใดตอไปนี้
1) 12 2) 24 3) 36 4) 39
2. คุณลุง คุณปา ลูกชาย และลูกสาว มาเยี่ยมครอบครัวเราซึ่งมี 4 คน คือ คุณพอ คุณแม ตัวฉัน และนองชาย ในการ
จัดที่นั่งรอบโตะอาหารกลมที่มี 8 ที่น่ง โดยใหคุณลุงนั่งติดกับคุณพอ คุณปานั่งติดกับคุณแม ลูกชายของคุณลุง
ั
นั่งติดกับนองชายของฉัน และลูกสาวของคุณลุงนั่งติดกับฉัน จะมีจํานวนวิธีจัดไดเทากับขอใดตอไปนี้
1) 96 วิธี 2) 192 วิธี 3) 288 วิธี 4) 384 วิธี
3. ขาวสารบรรจุถุงแลวกองหนึ่งประกอบดวย ขาวหอมมะลิ 4 ถุง ขาวเสาไห 3 ถุง ขาวขาวตาแหง 2 ถุง และ
ขาวบัสมาตี 1 ถุง สุมหยิบขาวจากกองนี้มา 4 ถุง ความนาจะเปนที่จะไดขาวครบทุกชนิด เทากับขอใด
ตอไปนี้
1) 35 4 2) 35 3 3) 52 4) 14
4. กิตติและสมาน กับเพื่อนๆ รวม 7 คน ไปเที่ยวตางจังหวัดดวยกัน ในการคางแรมที่มบานพัก 3 หลัง
ี
หลังแรกพักได 3 คน สวนหลังที่สองและหลังที่สามพักไดหลังละ 2 คน ซึ่งแตละหลังมีความแตกตางกัน
พวกเขาจึงตกลงที่จะจับสลากวาใครจะไดพักที่บานหลังใด ความนาจะเปนที่กตติและสมานจะไดพักบานหลัง
ิ
เดียวกันในหลังที่หนึ่งหรือหลังที่สาม เทากับขอใดตอไปนี้
1) 214 2) 21 5 3) 218 4) 10
21
5. กําหนดให n เปนจํานวนนับ ในการสุมหยิบเลข n จํานวนพรอมๆ กันจากเซต {1, 2, ..., 2n} ถาความนาจะเปน
1
ที่จะไดเลขคูทั้งหมดเทากับ 20 แลว ความนาจะเปนที่จะไดเลขคูเพียง 1 จํานวนเทากับขอใดตอไปนี้
1) 20 1 3
2) 20 9
3) 20 4) 2011
6. ตองการสรางจํานวนคูบวก 4 หลัก จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 7, 8 โดยแตละจํานวนที่สรางขึ้นไมมีเลขโดดใน
หลักใดที่ซ้ํากันเลย จะมีจํานวนวิธีที่สรางไดเทากับขอใดตอไปนี้
1) 180 2) 156 3) 144 4) 136
7. จํานวนเต็มที่มีคาตั้งแต 100 ถึง 999 ที่หารดวย 2 ลงตัว แตหารดวย 3 ไมลงตัว มีจานวนเทากับขอใด
ํ
ตอไปนี้
1) 250 2) 283 3) 300 4) 303
8. ถุงใบหนึ่งบรรจุลูกกวาดรสสตรอเบอรี่ 5 ลูก รสชอคโกแลต 4 ลูก รสกาแฟและรสมินทอยางละ 2 ลูก หาก
สุมหยิบลูกกวาดจากถุงใบนี้มา 3 ลูก ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกกวาดตางรสกันทั้งหมดเทากับขอใด
ตอไปนี้
1) 14357 58
2) 143 59
3) 143 60
4) 143
คณิตศาสตร (148)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

149. 9. กําหนดให A = {(0, n) | n = 1, 2, ..., 10} และ B = {(1, n) | n = 1, 2, ..., 10} ในการเลือกจุดสอง
จุดที่แตกตางกันจากเซต A และอีกหนึ่งจุดจากเซต B เพื่อเปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมบนระนาบ ความ
นาจะเปนจะไดรปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่ 1 ตารางหนวย เทากับขอใดตอไปนี้
ู
1) 45 8 2) 459 3) 10 4) 11
45 45
10. ในลิ้นชักมีถุงเทาสีขาว 4 คู สีดํา 3 คู และสีน้ําเงิน 2 คู แตไมไดจัดเรียงไวเปนคูๆ ถาสุมหยิบถุงเทามา 2
ขาง ความนาจะเปนที่จะไดถุงเทาสีเดียวกันเทากับขอใดตอไปนี้
1) 1 2 2) 2 3 3) 15343 4) 15349
11. ถุงใบหนึ่งบรรจุลูกแกวสีแดง 5 ลูก สีเขียว 4 ลูก และสีเหลือง 3 ลูก ถาหยิบลูกแกวจากถุงทีละลูก 3 ครั้ง
โดยไมใสคืน แลวความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกแกว ลูกที่หนึ่ง สอง และสาม เปนสีแดง สีเขียว และสีเหลือง
ตามลําดับเทากับขอใดตอไปนี้
1) 211 1
2) 22 3) 22 3 4) 253
12. ในการโยนลูกเตา 2 ลูกหนึ่งครั้ง ความนาจะเปนที่จะไดแตมรวมเปน 7 โดยที่มลูกเตาลูกหนึ่งขึ้นแตมไมนอย
ี
กวา 4 เทากับขอใดตอไปนี้
1) 1 3 2) 1 4 3) 6 1 1
4) 12
13. มีสิ่งของซึ่งแตกตางกันอยู 8 ชิ้น ตองแบงใหคน 2 คน คนหนึ่งได 6 ชิ้น และอีกคนหนึ่งได 2 ชิ้น จะมีจํานวน
วิธีแบงกี่วิธี
1) 56 2) 128 3) 270 4) 326
14. ในการแขงขันฟุตบอลฤดูกาลหนึ่ง มีทีมเขารวมการแขงขัน 7 ทีม จัดแขงแบบพบกันหมด (แตละทีมตองลง
แขงกับทีมอื่นทุกทีม) จะตองจัดการแขงขันอยางนอยกี่นัด
1) 7 2) 14 3) 21 4) 28
เฉลย
1. 3) 2. 1) 3. 1) 4. 1) 5. 3) 6. 2) 7. 3) 8. 2) 9. 1) 10. 4)
11. 2) 12. 3) 13. 1) 14. 3)
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (149)

150. สถิติ (Statistics)
1. ขอมูล
ขอมูลที่ใชในการวิเคราะหทางสถิติมีสองประเภท คือ ขอมูลที่ไมไดแจกแจงความถี่ ซึ่งจะเห็นคาของขอมูล
ทุกตัวและขอมูลที่แจกแจงความถี่ จะเห็นเปนอันตรภาคชั้น
ความกวางของอันตรภาพชั้น = ขอบบน - ขอบลาง
ขอบบน + ขอบลาง
จุดกึ่งกลางอันตรภาคชั้น =
2
2. การวัดแนวโนมเขาสูสวนกลาง

1. คาเฉลี่ยเลขคณิต, Mean, x
N
∑ xi
x ของขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่ x = i=1
N
K
∑ fi x i
x ของขอมูลที่แจกแจงความถี่ x = i=1
N
N
ขอสังเกต 1. ∑ xi = N x
i=1
N
2. ∑ (x i - x ) = 0
i=1
N 2
3. ∑ (x i - a ) มีคานอยที่สุดเมื่อ a= x
i=1
4. ถา x1, x2, x3, ... , xn มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน x
x1 + k, x2 + k, x3 + k, ... , xn + k มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน x + k
x1k, x2k, x3k, ..., xnk มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน x k
N x +N x
5. x รวม = 1N 1 + N2 2
2 2
คณิตศาสตร (150)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

151. 2. มัธยฐาน, Median, Me
Me สําหรับขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่
Me = คาของขอมูลตําแหนงตรงกลาง (ตัวที่ N 2 1 ) เมื่อเรียงลําดับขอมูลแลว
+
Me สําหรับขอมูลที่แจกแจงความถี่
 N - ∑f 
 L
Me = L +  2 f 
I
M
ขอสังเกต 1. การหามัธยฐานมีสองขั้นตอน คือ หาตําแหนง และหาคาโดยใชสูตรหรือการเทียบบัญญัติไตรยางค
N
2. ∑ | x i - a | มีคานอยสุดเมื่อ a = Me
i=1
3. ฐานนิยม, Mode, Mo
Mo สําหรับขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่
Mo = คาของขอมูลที่มีความถี่มากที่สุด
Mo สําหรับขอมูลที่แจกแจงความถี่
Mo = จุดกึ่งกลางของชั้นที่มีความถี่สูงสุด (แบบหยาบ)
= L +  d d1 d  I
 
  (แบบละเอียด)
 1 + 2
ขอสังเกต 1. ใชไดกับขอมูลเชิงคุณภาพ
2. ถาแตละอันตรภาคชั้นมีความกวางตางกัน ตองถวงดวยน้ําหนักของความกวางดวย
4. ความสัมพันธของ x , Me และ Mo
x = Me = Mo x > Me > Mo x < Me < Mo
โคงปกติ โคงเบขวา โคงเบซาย
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (151)

152. 3. การวัดตําแหนงของขอมูล
เราจะมองการวัดตําแหนงของขอมูลเปนเหมือนภาคขยายของการหามัธยฐาน ซึ่งมีสองขั้นตอนคือ การหา
ตําแหนงและการหาคา
1. ควอรไทล (Quartiles) คือ การแบงขอมูลออกเปน 4 สวนเทาๆ กัน โดย Q1, Q2, และ Q3 คือ
คะแนนของตัวแบงทั้ง 3 ตัว
Qr ของขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่
การหาตําแหนง : ตําแหนงของ Qr คือ r(N 4+ 1)
การหาคา : ใชการเทียบบัญญัติไตรยางค
Qr ของขอมูลที่แจกแจงความถี่
การหาตําแหนง : ตําแหนงของ Qr คือ rN 4
 rN

 4
- ∑ fL 


การหาคา : Qr = L + fM I
2. เดไซล (Deciles) คือ การแบงขอมูลออกเปน 10 สวนเทาๆ กัน โดย D1, D2, ..., D9 คือ คะแนนของ
ตัวแบงทั้ง 9 ตัว
Dr ของขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่
การหาตําแหนง : ตําแหนงของ Dr คือ r(N10 1) +
การหาคา : ใชการเทียบบัญญัติไตรยางค
Dr ของขอมูลที่แจกแจงความถี่
การหาตําแหนง : ตําแหนงของ Dr คือ rN 10
 rN

 10
- ∑ fL 

การหาคา : Dr = L + fM I
3. เปอรเซ็นไทล (Percentiles) คือ การแบงขอมูลออกเปน 100 สวนเทาๆ กัน มี P1, P2, ..., P99
คือ คะแนนของตัวแบงทั้ง 99 ตัว
Pr ของขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่
การหาตําแหนง : ตําแหนงของ Pr คือ r(N + 1)
100
การหาคา : ใชการเทียบบัญญัติไตรยางค
Pr ของขอมูลที่แจกแจงความถี่
การหาตําแหนง : ตําแหนงของ Pr คือ 100 rN
 rN

 100
- ∑ fL 

การหาคา : Pr = L + fM I
คณิตศาสตร (152)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

153. 4. การวัดการกระจายของขอมูล
1. การวัดการกระจายสัมบูรณ (Absolute Variation) ใชเพื่อวัดการกระจายของขอมูลชุดเดียว
1.1 พิสัย (Range)
Range = xmax - xmin
1.2 สวนเบี่ยงเบนควอรไทล (Quatile Deviation)
Q 3 - Q1
Q.D. = 2
1.3 สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Mean Deviation)
N
∑ | xi - x |
M.D. = i=1
N
1.4 สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)
N 2 N 2
∑ (x i - x) ∑xi
S.D. = i=1 = i =1 2
N N -x
2. การวัดการกระจายสัมพัทธ (Relative Variation) ใชเพื่อตองการเปรียบเทียบการกระจายของขอมูล
มากกวาหนึ่งชุด
2.1 สัมประสิทธิ์พิสัย
x -x
สัมประสิทธิ์พิสัย = x max + x min
max min
2.2 สัมประสิทธิ์ควอรไทล
Q -Q
สัมประสิทธิ์ควอรไทล = Q 3 + Q1
3 1
2.3 สัมประสิทธิ์สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
สัมประสิทธิ์สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย = M.D. x
2.4 สัมประสิทธิ์การแปรผัน
สัมประสิทธิ์การแปรผัน = S.D. x
ขอสังเกต 1. ความแปรปรวน (Variance) = S.D. 2 = S2
2. S.D. ≥ 0
3. S.D. = 0 ↔ x1 = x2 = ... = xn = x
4. ถา x1, x2, ..., xn มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2
x1 + k, x2 + k, ..., xn + k มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2
x1k, x2k, ..., xnk มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน S.D.|k| ความแปรปรวนเปน S.D.2k2
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (153)

154. 5. คามาตรฐาน
xi - x
zi = S.D.
ขอสังเกต 1. ขอมูลที่มการแจกแจงปกติจะมี x = Me = Mo
ี
2. พื้นที่ใตโคงปกติเทากับ 1 หรือ 100% ซึ่งคือปริมาณขอมูลทั้งหมด
3. การแจกแจงปกติมาตรฐาน คือ การแจกแจงปกติที่มี x = 0 และ S.D. = 1
4. ถา z1, z2, z3, ..., zn จะมี x = 0 และ S.D. = 1
5. คา z สามารถเปนไดทั้งบวก (xi > x ) และลบ (xi < x )
6. zi = 0 ↔ xi = x
7. โดยมาก -3 < zi < 3
8. มีความสัมพันธระหวาง คะแนนมาตรฐาน, คะแนนดิบ, คาเฉลี่ยเลขคณิต, สวนเบี่ยงเบน-
มาตรฐาน, พื้นที่ใตโคงปกติมาตรฐาน, ปริมาณขอมูล, เปอรเซนไทล
คณิตศาสตร (154)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

155. แบบฝกหัด
1. ขอมูลชุดหนึ่งมี 99 จํานวน เรียงลําดับจากนอยไปมากไดเปน x1, x2, ..., x99 ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูล
ชุดนี้เทากับมัธยฐาน แลวขอใดตอไปนี้ถูก
49 99 49 99
1) ∑ x i = ∑ x i 2) ∑ (x 50 - x i ) = ∑ (x 50 - x i )
i=1 i = 51 i=1 i = 51
49 99 49 99
3) ∑ x50 - x i = ∑ x50 - x i 4) ∑ (x 50 - x i ) 2 = ∑ (x 50 - x i )2
i=1 i = 51 i=1 i = 51
2. โรงเรียนอนุบาลแหงหนึ่งมีนักเรียน 80 คน โดยการแจกแจงของอายุนักเรียนเปนดังตาราง
อายุ (ป) 3.5 4 4.5 5 5.5 6
จํานวนนักเรียน (คน) a 15 10 20 b 5
ถาคาเฉลี่ยของอายุนักเรียนมีคา 4.5 ป แลวสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของอายุนักเรียนมีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 16 5 2) 16 7 9
3) 16 4) 1611
3. ถาตารางแจกแจงความถี่แสดงน้ําหนักของเด็กจํานวน 40 คน เปนดังนี้
น้ําหนัก (กิโลกรัม) จํานวน
9-11 15
12-14 5
15-17 5
18-20 10
21-23 5
ถา x แทนคาเฉลี่ยของน้ําหนักเด็กกลุมนี้ แลวขอใดตอไปนี้ถูก
1) x = 17.444 และมัธยฐานนอยกวาฐานนิยม 2) x = 14.875 และมัธยฐานนอยกวาฐานนิยม
3) x = 17.444 และมัธยฐานมากกวาฐานนิยม 4) x = 14.875 และมัธยฐานมากกวาฐานนิยม
4. ขอมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ถาหยิบขอมูล a, b, c, d มาคํานวณคามาตรฐาน ปรากฏวาไดคาดังตาราง
ขอมูล a b c d
คามาตรฐาน (z) -3 -0.45 0.45 1
ขอใดตอไปนี้ถูก
1) -a + 2b + 2c - 3d = 0 2) -a + b + c - 3d = 0
3) a - 2b + 3c + 2d = 0 4) a - b + c - d = 0
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (155)

156. 5. ขอมูลความสูงของนักเรียนชั้น ม.6 โรงเรียนแหงหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ถาจํานวนนักเรียนที่มความสูง
ี
นอยกวา 140.6 เซนติเมตร มีอยู 3.01% และจํานวนนักเรียนที่มีความสูงมากกวาคามัธยฐานแตนอยกวา
159.4 เซนติเมตรมีอยู 46.99% แลวจํานวนนักเรียนที่มความสูงไมนอยกวา 155 เซนติเมตร แตไมเกิน
ี
160 เซนติเมตร มีเปอรเซ็นตเทากับขอใดตอไปนี้ เมื่อกําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐาน
ระหวาง 0 ถึง z เปนดังนี้
z 1.00 1.12 1.88 2.00
พื้นที่ใตเสนโคง 0.3413 0.3686 0.4699 0.4772
1) 12.86% 2) 13.14% 3) 15.87% 4) 13.59%
6. ถาความยาวรัศมีของวงกลม 10 วงมีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 3 และมีความแปรปรวนเทากับ 5 แลวผลรวม
ของพื้นที่วงกลมทั้ง 10 วงนี้ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) 90π 2) 95π 3) 140π 4) 340π
7. กําหนดตารางแจกแจงความถี่แสดงความสูงของนักเรียนในโรงเรียนแหงหนึ่ง เปนดังนี้
ความสูง (เซนติเมตร) จํานวนนักเรียน (คน)
120-129 10
130-139 20
140-149 40
150-159 50
160-169 30
ขอใดตอไปนี้ถูก
1) มัธยฐานของความสูงมีคานอยกวา 149 เซนติเมตร
2) ฐานนิยมของความสูงมีคานอยกวา 147 เซนติเมตร
3) ควอรไทลที่ 3 ของความสูงมีคามากกวา 150 เซนติเมตร
4) เปอรเซ็นไทลที่ 20 ของความสูงมีคามากกวา 145 เซนติเมตร

8. จากการแจกแจงขอมูลเงินเดือนของพนักงานบริษัทแหงหนึ่งพบวา
เดไซลที่ 1 3 5 7 9
เงินเดือน (บาท) 10,000 15,000 20,000 25,000 40,000
ถานายเอกและนายยศมีเงินเดือนรวมกันเทากับ 40,000 บาท และมีจํานวนพนักงานที่ไดเงินเดือนมากกวา
นายยศอยูประมาณ 30% ของพนักงานทั้งหมด แลวเปอรเซ็นตของจํานวนพนักงานที่ไดเงินเดือนนอยกวา
นายเอกเทากับขอใดตอไปนี้
1) 10% 2) 30% 3) 50% 4) 70%
คณิตศาสตร (156)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

157. 9. กําหนดใหขอมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติ ถาหยิบขอมูล x และ y จากขอมูลชุดนี้มาพิจารณา พบวา
13.14% ของขอมูลมีคามากกวา x และ x มากกวา y อยู 2% ของสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน แลวจํานวน
ขอมูล (คิดเปนเปอรเซ็นต) ที่มีคานอยกวา y เทากับขอใดตอไปนี้ เมื่อกําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคง
ปกติมาตรฐานระหวาง 0 ถึง z เปนดังนี้
z 1.00 1.10 1.12 1.14 1.16
พื้นที่ใตเสนโคง 0.3413 0.3643 0.3686 0.3729 0.3770
1) 36.43% 2) 37.29% 3) 86.43% 4) 87.29%
10. คะแนนสอบวิชาความถนัดของนักเรียนกลุมหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ถาผลรวมของคามาตรฐานของคะแนน
ของนายแดงและนายดําเทากับ 0 และผลรวมของคะแนนนายแดงและนายดําเปน 4 เทาของสวนเบี่ยงเบน
มาตรฐาน แลวสัมประสิทธิ์ของความแปรผันของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมนี้เทากับขอใดตอไปนี้
1) 0.5 2) 1 3) 1.5 4) 2
11. กําหนดใหความสูงของคนกลุมหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติ ถามีคนสูงกวา 145 เซนติเมตร และ 165
เซนติเมตรอยู 84.13% และ 15.87% ตามลําดับ แลวสัมประสิทธิ์ของความแปรผันของความสูงของคนกลุม
นี้เทากับขอใดตอไปนี้
Z 1.00 1.12 1.14 1.16
พื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานจาก 0 ถึง z 0.3413 0.3686 0.3729 0.3770
1) 311 2) 312 3) 313 4) 31 4
12. กําหนดใหขอมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ หยิบขอมูล x1, x2, x3 มาคํานวณคามาตรฐานปรากฏวาไดคา
เปน z1, z2, z3 ตามลําดับ ถา z1 + z2 = z3 แลวคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้เทากับขอใดตอไปนี้
1) x1 + x2 - z3 2) x1 - x2 - x3 3) x3 - x2 - x1 4) x1 + x2 + x3
13. ขอมูลชุดหนึ่งเรียงจากนอยไปมากเปนดังนี้ 1, 4, x, y, 9 และ 10 ถามัธยมฐานของขอมูลชุดนี้เทากับ
คาเฉลี่ยเลขคณิต และสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยคณิตของขอมูลชุดนี้เทากับ 8 แลว y - x มีคาเทาใด
3
1) 4.5 2) 4 3) 2.5 4) 2
14. ขอมูลชุดหนึ่งมี 5 จํานวนและมีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 12 ถาควอรไทลที่ 1 และ 3 ของขอมูลชุดนี้มีคา
เทากับ 5 และ 20 ตามลําดับ แลวเดไซลท่ี 5 ของขอมูลชุดนี้มีคาเทาใด
1) 20 2) 15 3) 10 4) 5
เฉลย
1. 3) 2. 4) 3. 4) 4. 1) 5. 4) 6. 3) 7. 3) 8. 2) 9. 3) 10. 1)
11. 2) 12. 1) 13. 4) 14. 3)
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (157)

158. ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล
(Funtional Relation Between Data)
1. การวิเคราะหความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล
1. ความสัมพันธของตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม
2. การเขียนแผนภาพการกระจาย
2. ระเบียบวิธีกําลังสองนอยสุด
สมการเสนตรง : รูปทั่วไปคือ y = mx + c
สมการปกติ
n n
∑ yi = m ∑ x i + nc
i =1 i =1
n n n
∑ xiyi = m ∑ x2 + c ∑ x i
i
i =1 i =1 i =1
สมการเสนพาราโบลา : รูปทั่วไปคือ y = ax2 + bx + c
สมการปกติ
n n n
∑ yi = a ∑ x 2 + b ∑ x i + nc
i
i =1 i =1 i =1
n n n n
∑ xiyi = a ∑ x3 + b ∑ x2 + c ∑ x i
i i
i =1 i =1 i =1 i =1
n 2 n n n
∑ xi yi = a ∑ x4 + b ∑ x3 + c ∑ x2
i i i
i =1 i =1 i =1 i =1
สมการเอกซโพเนนเชียล : รูปทั่วไปคือ y = abx หรือ log y = log a + x log b
สมการปกติ
n n
∑ log y i = n log a + log b ∑ x i
i =1 i =1
n n n
∑ x i log y i = log a ∑ x i + log b ∑ x 2
i
i =1 i =1 i =1
คณิตศาสตร (158)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

159. 3. ความสัมพันธเชิงฟงกชันของขอมูลที่อยูในรูปอนุกรมเวลา
เราสามารถแทนขอมูลที่เปนตัวแปรอิสระซึ่งเปนชวงเวลาที่หางเทากันไดดังนี้ ถาจํานวนชวงเวลาที่นํามา
สรางความสัมพันธเปนจํานวนคี่ มักจะแทนดวย ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... โดยใหชวงเวลาที่อยูตรงการเปน
0 ถาจํานวนชวงเวลาที่นํามาสรางความสัมพันธเปนจํานวนคู มักจะแทนดวย ..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ... โดยให
ชวงเวลาที่อยูตรงกลางเปน -1 และ 1
ขอสังเกต 1. รูตัวแปรอิสระทํานายตัวแปรตาม ไมสามารถทํานายกลับได
(ถาจะทํานายตองสลับตัวแปรแลวสรางความสัมพันธเชิงฟงกชันใหม)
2. เมื่อจะทํานายความสัมพันธในรูปอนุกรมเวลา ตองแปลงขอมูลกอน
3. สําหรับสมการรูปเสนตรง ( x , y ) อยูบนเสน
4. สําหรับสมการรูปเสนตรง ∆y = m∆x
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (159)

160. แบบฝกหัด
1. ในการหาความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร (X) และวิชาฟสิกส (Y) ของนักเรียน
100 คนของโรงเรียนแหงหนึ่ง ไดพจนตางๆ ที่ใชในการคํานวณคาคงตัวจากสมการปกติของความสัมพันธ
เชิงฟงกชันที่มีรูปสมการเปน Y = a + bX ดังนี้
100 100 100 100
∑ xi = ∑ y i = 1000, ∑ x i y i = 2000, ∑ x 2 = 4000
i
i=1 i=1 i=1 i=1
ถาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนายสมชายเทากับ 15 คะแนน แลวคะแนนสอบวิชาฟสิกส (โดยประมาณ)
ของนายสมชายเทากับขอใดตอไปนี้
1) 16 คะแนน 2) 16.67 คะแนน 3) 17 คะแนน 4) 17.67 คะแนน
2. ในการหาความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางปริมาณสารปนเปอนชนิดที่ 1 (X) และปริมาณสารปนเปอนชนิดที่ 2
(Y) จากตัวอยางอาหารจํานวน 100 ตัวอยาง พบวาความแปรปรวนของปริมาณสารชนิดที่ 1 มีคาเทากับ
100 100
2
1.75, คาเฉลี่ยเลขคณิตของปริมาณสารชนิดที่ 2 มีคาเทากับ 0.5, ∑ x i y i = 100 และ ∑ x 1 = 200
i =1 i =1
ถาสมการปกติของความสัมพันธเชิงฟงกชันดังกลาวอยูในรูป Y = a + bX แลว เมื่อพบสารปนเปอนชนิดที่ 1
อยู 4 หนวย จะพบสารปนเปอนชนิดที่ 2 (โดยประมาณ) เทากับขอใดตอไปนี้
1) 0.5 หนวย 2) 1 หนวย 3) 1.5 หนวย 4) 2 หนวย
3. กําหนดใหขอมูล X และ Y มีความพันธกันดังตารางตอไปนี้
X 1 2 3 3
Y 1 3 4 6
ถาสมการปกติของความสัมพันธเชิงฟงกชันดังกลาวอยูในรูป Y = a + bX แลวเมื่อ X = 10 คาของ Y
เทากับเทาใด
1) 8.5 2) 19 3) 22 4) 25.5
เฉลย
1. 2) 2. 4) 3. 2)
คณิตศาสตร (160)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010