Psikometri Bab a19

Bab 19
Karakteristik Butir Model Ojaif
Normal

------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal
------------------------------------------------------------------------------
Bab 19
KARAKTERISTIK BUTIR MODEL OJAIF
NORMAL
A. Distribusi Probabilitas Normal
1. Pendahuluan
Karakteristik butir model ojaif normal
didasarkan kepada distribusi probabilitas
normal
Dalam banyak hal, model ini
menggunakan distribusi probabilitas
normal baku

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
2. Asumsi Distribusi Probabilitas Normal
Banyak data tentang manusia dan gejala sosial
menunjukkan bentuk distribusi probabilitas
normal (distribusi Gauss atau distribusi
kekeliruan), seperti
• Ciri fisik, misalnya, tinggi badan
• Ciri fisiologis, misalnya, temperatur badan
• Ciri hasil belajar
• Ciri unjuk kerja (performance)
Karena itu salah satu model karakteristik butir
mengasumsikan bahwa bentuknya berdistribusi
probabilitas normal
Kumulasi ciri menjadi berbentuk ojaif normal

-----------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------
3. Distribusi Probabilitas Normal
Distribusi probabilitas normal berbentuk bel yang
simetri dan bentuknya ditentikan oleh rerata m dan
simpangan baku s
• Dalam bentuk histogram
• Dalam bentuk rumus
2
- 1
æ -
m
1 ÷ø
2
2
ö çè
= s
s p
m s
X
n(X; , ) e
X
n (X; m, s)

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
4. Distribusi Probabilitas Normal Baku
Semua distribusi probabilitas normal dapat
ditransformasikan ke distribusi probabilitas normal
baku
Pada distribusi probabilitas normal baku
m = 0 s = 1
z = X -m
s
sehingga rumus distribusi probabilitas normal baku
menjadi
1
0 1 1 z n z e- =
2
2
p
2
( ; , )
Ada tabel nilai n (z; 0, 1) untuk berbagai nilai z

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Nilai n (z; 0, 1) untuk beberapa nilai z
z n (z; 0, 1) z n (z; 0, 1)
– 4,0 0,0001 0,0 0,3989
– 3,5 0,0009 0,5 0,3521
– 3,0 0,0044 1,0 0,2420
– 2,5 0,0175 1,5 0,1295
– 2,0 0,0540 2,0 0,0540
– 1,5 0,1295 2,5 0,0175
– 1,0 0,2420 3,0 0,0044
– 0,5 0,3521 3,5 0,0009
0,0 0,3989 4,0 0,0001

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
5. Model Ojaif Normal
Responden dengan kemampuan q memiliki juga
kemampuan yang dimiliki oleh responden dengan
kemampuan di bawah q
Karena itu probabilitas jawaban betul adalah
kumulatif atau berbentuk ojaif normal
n (q; m, s) P(q)
1,0
0,5
q q
P(q) = ∫ n(q; m, s) dq
dq

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Dengan demikian pada distribusi probabilitas normal
baku, ojaif normal menjadi
P(q) = ∫ n (z; 0, 1) dz
Nilai ini dapat dilihat pada tabel fungsi distribusi
(bawah) pada distribusi probabilitas normal baku
• Fungsi distribusi (bawah) pada distribusi normal baku
merupakan kumulasi distribusi (luas histogram pada
distribusi probabilitas normal baku) dari – ∞ sampai
suatu nilai z
ò
-¥
=
1
0 1
z
z f n(z; , )dz
z1
fz
n (z; 0, 1)
z

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Fungsi distribusi pada distribusi probabilitas normal
baku
2 4
x z
e dz x x x x
= - + - +
( )( !)( ) ( )( !)( ) ( )( !)( )
é
ù
é
...
p p
e dz 1
1
x x x x
2 4
= + - + - +
1
1
2
Rumus pendekatan dari C. Hasting (teliti sampai
7,5 x 10-8)
2
( ) 1 1
1
1 2 3 4 5
P X e t b t b t b t b tb
p = 0,2316419 b1 = 0,319381530
b2 = – 0,356563782 b3 = 1,781477937
b4 = – 1,821255978 b5 = 1,330274429
ù
úû
êë
úû
êë
ò
-
x
ò
-¥
...
( 2 )( 1 !)( 3 ) ( 2 )( 2 !)( 5 ) ( 2 )( 3 !)( 7
)
2 1
2
2
1
1
2
2 1 3 2 2 5 2 3 7
2 1
2
3
6
2
2
3
6
2
2
2
x z
p p
( { [ ( )]})
pX
t
X
+
=
- = - + + + + -
1
1
2
2
2
2
p

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Distribusi Probabilitas t-Student
é
P t u P z u u ( )( ) ( ) ( )
Dari Cornish dan Fisher
ù
ú ú ú û
ê ê ê
ë
ö
÷ ÷ø
æ
ç çè
£ = £ +
1
-
2
2
2
1
n f n f
3 5 3
5 16 3
f f f f f
2
4n 96
n
f n f
z z z z z
t z
+ +
+
+
» + ( )( )

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Distribusi Probabilitas khi-kuadrat rumus
pendekatan dari Wilson dan Hilferty
æ c
( )( )
2
1 2
1
ö
n n n
Pendekatan lebih kasar
f
f n
9
9
3
2
z + - = ÷ ÷
ø
ç ç
è
1
( 1
2c 2 ) 2
» z + (2n -1)
2

------------------------------------------------------------------------------
Karakteritik Butir Model Ojaif Normal
----------------------------------------------------------------------------- -
FUNGSI DISTRIBUSI BAWAH
DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL BAKU
Z ,00 ,01 ,02 ,03 ,04 ,05 ,06 ,07 ,08 ,09
–3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
–3,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
–3,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
–3,6 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
–3,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002
–3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002
–3,3 0,0006 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003
–3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005
–3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007
–3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010
–2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014
–2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019
–2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026
–2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036
–2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048
–2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064
–2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084
–2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110
–2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143
–2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183
–1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233
–1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
–1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
–1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
–1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559
–1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
–1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
–1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
–1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
–1,0 0,1597 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
–0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
–0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
–0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148
–0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451
–0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
–0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
–0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
–0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
–0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
0,0 0,50000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
FUNGSI DISTRIBUSI BAWAH
DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL BAKU
Z ,00 ,01 ,02 ,03 ,04 ,05 ,06 ,07 ,08 ,09
0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586
0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 055962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535
0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409
0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173
0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793
0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240
0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490
0,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,76730 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,78230 0,78524
0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327
0,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891
1,0 0,84134 0,84375 0,84614 0,84850 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214
1,1 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,88298
1,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147
1,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91309 0,91466 0,91621 0,91774
1,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92786 0,92922 0,93056 0,93189
1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408
1,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449
1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,96327
1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062
1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,97670
2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169
2,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574
2,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899
2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158
2,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361
2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99520
2,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643
2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,99736
2,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807
2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861
3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99897 0,99900
3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929
3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950
3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965
3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976
3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983
3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989
3,7 0,99989 0,99990 0,99990 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,99992
3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995
3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 1
Contoh 2
,
1 13
ò
-
f = n(z; , )dz =
,
- , 1 13 0 1 0 1292
-¥
-
n ( z ; , )
dz
= =
-¥
ò
ò
0 1
n ( z ; , )
dz
= =
-¥
ò
0 1
n ( z ; , )
dz
= =
-¥
ò
0 1
n ( z ; , )
dz
= =
-¥
ò
0 1
n ( z ; , )
dz
= =
1 96
ò
-
n z dz
-¥
f
f
f
f
f
-
-¥
-
0 1
= =
1 96
0 12
0 12
1 96
1 96
2 27
2 27
1 46
1 46
0 05
0 05
0 1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
( ; , )
f

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
B. Karateristik Butir pada Model Ojaif Normal
1. Pendahuluan
• Karakteristik butir yang digunakan di sini adalah
ojaif normal
• Ojaif normal yang digunakan berasal dari
distribusi probabilitas normal baku
• Probabilitas pada hasil ukur dapat ditentukan
melalui tabel fungsi distribusi pada distribusi
probabilitas normal baku
• Model ojaif normal ini juga terbagi atas tiga
macam mencakup model 1P, model 2P, dan
model 3P
• Parameter kemampuan responden adalah q dan
parameter butir adalah a, b, dan c
• Indeks responden adalah g dan h serta indeks
butir adalah i dan j

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
2. Model Satu Parameter (1P)
• Model umum karakteristik butir model 1P untuk
sukses atau jawsaban betul adalah
Pi(q) = f(q – bi)
• Pada model 1P ojaif normal probbilitas ini
adalah
b
i
q
-
ò
P ( ) n ( ; , )
d
q q q
=
ò
-¥
b
i
b
q
-
-¥
f
1
2
( )
i
i
-
1
q
2
2
0 1
e d
q
-
=
=
q
p
• Nilai probabilitas dapat dicari pada tabel fungsi
distribusi dari distribusi probabilitas normal baku

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Probabilitas untuk gagal atau jawaban salah adalah
Qi(q) = 1 – Pi(q)
Pada model 1P Ojaif Normal probabilitas ini adalah
Q P
( q ) = 1
-
( q
)
i i
n d
¥
ò
b
( )
i
q
-
q q
0 1
¥ -
ò
b
( )
( ; , )
1
2
b
f
p
( )
i
i
1
q
2
2
e d
q
-
q
-
=
=
= -
q
1
Nilai probabilitas ini dapat dihitung dari nilai Pi(q)
atau dari tabel fungsi distribusi pada distribusi

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 3
Karakteristik butir untuk bi = 0,5 pada rentangan q
dari – 2,5 sampai 3,0 dengan interval 0,5
q q – bi Pi(q) q q – bi Pi(q)
– 2,5 – 3,0 0,0013 0,5 0,0 0,5000
– 2,0 – 2,5 0,0062 1,0 0,5 0,6915
– 1,5 – 2,0 0,0228 1,5 1,0 0,8413
– 1,0 – 1,5 0,0668 2,0 1,5 0,9332
– 0,5 – 1,0 0,1597 2,5 2,0 0,9772
0,0 – 0,5 0,3085 3,0 2,5 0,9938
-2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
q
0,9
0,7
0,5
0,3
0,1
Pi(q)

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 4
Karakteristik butir untuk bi = – 1,0 pada rentangan q
Contoh 5
Karakteristik butir untuk bi = – 0,5 pada rentangan q
Contoh 6
Contoh 7

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
3. Model Dua Parameter (2P)
• Bentuk umum karakteristik butir model 2P
adalah
Pi(q) = f[ai(q – bi)]
• Pada model 2P ojaif normal probabilitas ini
adalah
a b
( q
-
)
i i
ò
P ( ) n ( ; , )
d
q q q
=
ò
-¥
a b
( q
-
)
i i
-¥
f
a b
( q
-
)
i i
i
-
1
q
2
2
e d
=
=
q
0 1
1
p
2

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Qi(q) = 1 – Pi(q)
Q P
( q ) ( q
)
n ( ; , )
d
= -
1
i i
¥
ò
a b
q q
( q
-
)
i i
0 1
¥ -
ò
a b
( )
f
1
2
a b
p
( q
-
)
i i
q
-
i i
1
q
2
2
e d
=
=
= -
q
1

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 8
Karakteristik butir untuk ai = 0,5, bi = – 0,5 pada
rentangan q dari – 3,0 sampai 3,5 dengan interval
0,5
q ai( q – bi) Pi(q) q ai(q – bi) Pi(q)
– 3,0 – 1,25 0,1056 0,5 0,50 0,6915
– 2,5 – 1,00 0,1597 1,0 0,75 0,7734
– 2,0 – 0,75 0,2266 1,5 1,00 0,8413
– 1,5 – 0,50 0,3085 2,0 1,25 0,8944
– 1,0 – 0,25 0,4013 2,5 1,50 0,9332
– 0,5 – 0,00 0,5000 3,0 1,75 0,9599
0,0 0,25 0,5987 3,5 2,00 0,9772

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Grafik karakteristik butir
-3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 q
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
Pi(q)

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 9
Untuk rentang q dari – 3,0 sampai 3,0 dengan
lompatan 0,5, hitunglah P(q) pada karakteristik butir
model ojaif normal 2P, masing-masing dengan
(a) a = 0,25 b = – 0,5
(b) a = 0,25 b = 0,5
dan lukiskan mereka dalam satu grafik yang sama
Contoh 10
Untuk rentang q dari – 3,0 sampai 3,0 dengan
lompatan 0,5, hitunglah P(q) pada karakteristik butir
model ojaif normal 2P, masing-masing dengan
(a) a = 0,25 b = 1,0
(b) a = 0,75 b = 1,0
dan lukiskan mereka dalam satu grafik yang sama

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
4. Model Tiga Parameter (3P)
• Bentuk umum karakteristik butir model 3P
adalah
Pi(q) = ci + (1 – ci) f[ai(q – bi)]
• Pada model 3P ojaif normal probabilitas ini
adalah
a b
( q
-
)
i i
ò
P ( ) c ( c ) n ( ; , )
d
q q q
1 0 1
-¥
a b
( q
-
)
i i
1 1
= + -
i i
-
ò
1
q
2
2
c c e d
= + -
i i
c c
-¥
= + -
f
1
i i a b
( )
( )
( )
q
-
i i
i
q
p
2

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Qi(q) = 1 – Pi(q)
a b
( )
Q P
( ) ( )
q
-
i i
q = -
q
1
i i
ò
c c n d
[ ( ) ( ; , ) ]
1 1 0 1
-¥
a b
q q
( q
-
)
i i
1 1 1
= - + -
i i
-
ò
1
q
2
2
c c e d
= - - -
i i
c c
-¥
= - - -
f
1 1
i i a b
( )
( ) ( )
( ) ( )
q
-
i i
q
p
2

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Contoh 11
Karakteristik butir untuk ai = 0,5, bi = 1,0, dan ci =
0,2 pada rentangan q dari – 3,0 sampai 4,5 dengan
interval 0,5
q ai( q – bi) Pi(q) q ai(q – bi) Pi(q)
– 3,0 – 2,00 0,2182 1,0 0,00 0,6000
– 2,5 – 1,75 0,2321 1,5 0,25 0,6790
– 2,0 – 1,50 0,2534 2,0 0,50 0,7532
– 1,5 – 1,25 0,2845 2,5 0,75 0,8187
– 1,0 – 1,00 0,3576 3,0 1,00 0,8730
– 0,5 – 0,75 0,3813 3,5 1,25 0,9155
0,0 – 0,50 0,4468 4,0 1,50 0,9466
0,5 –0,25 0,5211 4,5 1,75 0,9679

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Grafik karakteristik butir
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
–3,0 –2,0 –1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
q
P(q)

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 12
Parameter ai, bi, dan ci diketahui sehingga dengan
bantuan tabel fungsi distribusi bawah dari distribusi
probabilitas normal baku, hitung dan lukis grafik
dari Pi(q)
Parameter butir adalah
Butir ai bi ci
1 0,5 –1,0 0,0
2 2,0 –1,0 0,0
3 2,0 1,0 0,0
4 2,0 1,0 0,2

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Dengan parameter butir, probabilitas P(q) menjadi
q
P ( q
) n ( z : 0,1)
dz
q
P ( q
) n ( z ;0,1)
dz
q
P ( q
) n ( z ;0,1)
dz
q
P ( ) 0,2 (1 0,2) n ( z ;0,1)
dz
q
ò
2,0( 1,0)
ò
+
ò
-¥
+
ò
-¥
ò
-
-¥
-
-¥
-
-¥
=
=
=
= + -
= +
2,0( 1,0)
4
2,0( 1,0)
3
2,0( 1,0)
2
0,5( 1,0)
1
0,2 0,8 ( ;0,1)
q
n z dz

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Untuk berbagai q
q 0,5(q+1,0) 2,0(q+1,0) 2,0(q-1,0)
–5,0 –2,00 -- --
–4,5 –1,75 -- --
–4,0 –1,50 -- --
–3,5 –1,25 -- --
–3,0 –1,00 -- --
–2,5 –0,75 –3,00 --
–2,0 –0,50 –2,00 --
–1,5 –0,25 –1,00 --
–1,0 0,00 0,00 --
–0,5 0,25 1,00 –3,00
0,0 0,50 2,00 –2,00
0,5 0,75 3,00 –1,00
1,5 1,00 -- 0,00
2,0 1,25 -- 1,00
2,5 1,50 -- 2,00
3,0 1,75 -- 3,00
3,5 2,00 -- --
4,0 2,25 -- --

------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------
• Dengan bantuan tabel fungsi distribusi bawah distribusi
q P1(q) P2(q) P3(q) P4(q)
–5,0 0,0228 -- -- 0,2000
–4,5 0,0401 -- -- 0,2000
–4,0 0,0688 -- -- 0,2000
–3,5 0,1056 -- -- 0,2000
–3,0 0,1587 -- -- 0,2000
–2,5 0,2266 0,0013 --- 0,2000
–2,0 0,3085 0,0228 --- 0,2000
–1,5 0,4013 0,1957 --- 0,2000
–1,0 0,5000 0,5000 --- 0,2000
–0,5 0,5987 0,8413 0,0013 0,2010
0,0 0,6915 0,9773 0,0228 0,2182
0,5 0,7734 0,9987 0,1597 0,3278
1,5 0,8413 -- 0,5000 0,6000
2,0 0,8944 -- 0,8413 0,8730
2,5 0,9332 -- 0,9773 0,9818
3,0 0,9599 -- 0,9987 0,9990
3,5 0,9773 -- -- --
4,0 0,9878 -- -- --

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Grafik dari 4 butir adalah
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
P(q)
–5,0 –3,0 –1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
q

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 13
Enam butir masing-masing memiliki karakteristik
butir
Butir ai bi ci
1 1,80 1,00 0,00
2 0,80 1,00 0,00
3 1,80 1,00 0,25
4 1,80 -1,50 0,00
5 1,20 -0,50 0,10
6 0,40 0,50 0,15
Karakteristik butir ini menggunakan model ojaif
normal. Pada q dari - 4,00 sampai 4,00 dengan
lompatan 0,5, hitung Pi(q) dari setiap butir serta
lukiskan merekan dalam satu grafik

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
C. Batas pada Model Ojaif Normal
1. Butir
• Pembahasan pada karakteristik butir model
ojaif normal ini dilakukan secara butir demi butir
• Setiap butir dapat dijawab atau ditanggap oleh
satu atau lebih responden
• Biasanya setiap butir adalah independen dari
butir lainnya
• Setiap butir memiliki karakteristik butir sendiri
yang dapat berbeda dari karakteristik butir
lainnya
• Alat ukur merupakan gabungan dari butir-butir
yang independen (sasarannya dapat saja
sama)

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
2. Sekor Butir
• Sekor butir adalah hasil ukur yang diperoleh
dari jawaban responden terhadap butir
• Di sini kita batasi sekor butir pada skala
dikotomi dengan nilai 0 dan 1
• Biasanya 0 diberikan kepada jawaban salah
atau gagal dan 1 diberikan kepada jawaban
betul atau sukses
• Sekor responden terhadap sejumlah butir
merupakan gabungan dari semua sekor butir
yang dijawab oleh responden
• Sekor 0 dan 1 ini dapat juga diberikan kepada
tanggapan terhadap butir seperti tanggapan
tidak setuju dan setuju (dengan menyesuaikan
arti dari semua parameter)

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
3. Jawaban atau Tanggapan
• Jawaban atau tanggapan terhadap butir bergantung
kepada parameter kemampuan dan parameter butir
• Jawaban atau tanggapan berbentuk probabilitas
sehingga nilanya terletak di antara 0 dan 1
0 £ Pi(q) £ 1
• Karena sering terjadi bahwa 0 diberikan kepada
jawaban salah serta 1 diberikan kepada jawaban
betul maka probabilitas ini dikenal juga sebagai
probabilitas jawaban betul
• Jika probabilitas jawaban betul dapat terjadi karena
terkaan responden dan probabilitas itu adalah ci
maka
ci £ Pi(q) £ 1

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
4. Parameter Kemampuan (Responden)
• Setiap responden yang menjawab butir memiliki ciri
atau kemampuan yang di sini dinyatakan dengan q
• Ciri ini sering disebut juga sebagai ciri laten (latent
trait) dari responden
• Pada karakteristik butir model ojaif normal, ciri atau
kemampuan ini dibakukan dengan rerata sama
dengan 0 dan simpangan baku sama dengan 1
mq = 0 dan sq = 1
• Secara teoretik, nilai q terletak di antara - ∞
sampai + ∞
• Untuk keperluan praktis, bentangan nilai q terletak
di sekiar - 4 sampai +4
- 4 £ q + 4

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
5. Parameter Daya Beda Butir
• Daya beda butir di sini dinyatakan dengan ai untuk
butir ke-i
• Daya beda butir terdapat pada model 2P dan 3P
• Secara teoretik nilai daya beda butir dapat negatif,
nol, atau positif
ai < 0 ai = 0 ai > 0
• Kasus ai < 0
Jika ai < 0 maka pada saat makin besar q
makin kecil Pi(q)
Ini tidak sesuai dengan konsep bahwa q adalah
kemampuan responden sehingga makin besar
q makin besar pula Pi(q)

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Dalam hal ini
q
Pi(q)
• Karena itu nilai ai dibatasi sehingga tidak terjadi
ai < 0

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Kasus ai = 0
Jika ai = 0 maka tidak ada daya beda yakni
nilai Pi(q) adalah sama untuk semua q
Nilai Pi(q) pada model 3P menjadi
= + - ò
P c c n d
q q q
( ) (1 ) ( ;0,1)
i i i
c c
= + -
(1 )(0,5)
i i
c
0,5(1 )
0
i
= +
-¥
1,0 Pi(q)
ci
q

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Kasus ai > 0
Makin besar ai makin besar daya beda dan
makin curam karakteristik butir
Pi(q)
Butir 1 paling curam dan butir 3 paling
landai
• Batas nilai daya beda butir ai hendaknya
ai > 0 dalam praktek ai £ 2,0
q
1
2 3

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
6. Parameter Kebetulan Jawab Betul
• Parameter kebetulan jawab betul di sini dinyatakan
dengan ci untuk butir ke-i
• Parameter kebetulan jawab betul hanya terdapat
model 3P
• Jika kebetulan jawab betul ini terjadi karena terkaan
pada pilihan ganda maka nilainya bergantung
kepada banyaknya pilihan
ci = 1 / n n = banyaknya pilihan
• Pada 2 pilihan betul-salah ci = 0,5
• Pada umumnya batas nilai ci terletak di antara 0
dan 1 dengan 0 tiada kebetulan dan 1 pasti betul
0 £ ci £ 0,5

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
7. Parameter Taraf Sukar Butir
• Taraf sukar butir di sini dinyatakan dengan bi untuk
butir ke-i dan terdapat pada model 1P, 2P, dan 3P
• Skala taraf sukar butir sama dengan skala q pada
kemampuan responden
• Secara teoretik, taraf sukar butir membentang dari
- ∞ sampai + ∞
- ∞ £ bi £ + ∞
• Namun secara praktis taraf sukar butir memiliki nilai
yang membentang dari sekitar - 2 sampai + 2
- 2 £ bi £ + 2
• Sering terjadi bahwa taraf sukar butir juga
dibakukan sehingga
mb = 0 dan sb = 1

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Nilai taraf sukar butir ditentukan pada saat Pi(q)
berada di tengah di antara nilai minimum dan
maksimum
• Pada model 1P dan model 2P,
PI(q) minimum = 0
Pi(q) maksimum = 1
Pi(q) untuk bi = 0,5
• Pada saat bi = q maka (q - bi) = 0
0
= ò
P ( q ) n ( q ;0,1)
dq i
0,5
=
-¥

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Pada model 3P
Pi(q) minimum = ci
Pi(q) maksimum = 1
Pi(q) untuk bi = 0,5(1 + ci)
• Pada saat bi = q maka ai(q - bi) = 0
= + - ò
P c c n d
q q q
( ) (1 ) ( ;0,1)
i i i
c c
= + -
(1 )(0,5)
i i
c
0,5(1 )
0
i
= +
-¥

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Taraf sukar butir dapat memiliki nilai bi < 0, bi = 0,
dan bi > 0
• Makin besar nilai taraf sukar butir makin sukar
butir itu
• Butir 1 termudah dan butir 4 tersukar
P(q)
q
1 2 3 4
b b 1 b2 b3 b4
1,0
0,5

------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------
8. Batas Praktis pada Nilai Parameter
• Dari pengalaman, batas praktis nilai parameter
adalah di sekitar
– 4 £ q £ 4
0 £ ai £ 2,0
– 2,0 £ bi £ 2,0
0 £ ci £ 0,5
• Nilai ini tidak mutlak sehingga dapat saja terdapat
nilai sedikit di luar batas ini

------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------
9. Kecuraman Lengkungan Karakteristik Butir
• Kecuraman ditentukan oleh sudut garis singgung
pada suatu titik di Karakteristik butir
• Kecuraman ini diperoleh melalui hasilbagi
diferensial
a q
-
b
( )
ò
d n d
q q
( ;0,1)
i
-¥
[ ]
[ ]
d a q
-
b
( )
i i
q
( ;0,1) |
a b
q
q
-
1
-
( )
i i
2
d a b
q q
a -
b
2 ( )
|
1
a n
a e
p
2
-
q
( )
q
( )
i i
i
i
i i
dP
i
d
d
-¥
-
=
=
=
q
q
• Sudut kecuraman berbeda pada q yang berbeda

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Kecuraman pada titik q = bi
Pada titik q = bi yakni pada (q - bi) = 0
q
( ) 1 0
a e
q p
a
i
a
i
i
dP
i
d
p
2
2
0,3989
=
=
=
Terletak pada e0 berarti terletak pada
puncak distribusi probabilitas normal baku
Tinggi pucak distribusi probabilitas normal
baku adalah 0,3989 …
Makin besar ai makin curam garis singgung
dan makin curam lengkungan sehingga
makin besar daya beda

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Garis singgung ini terletak di titik q = bi yakni pada
saat Pi(q) = 0,5 atau Pi(q) = 0,5 (1 + ci)
Pi(q)
q
1,0
0,5
bi

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
D. Kesempatan (Odds) dan Probit
1. Kesempatan (Odds) Sukses Karena
Kemampuan Responden
• Kesempatan sukses atau menjawab betul
(odds of success) oleh responden adalah
( q
)
( )
( q
)
P
O P
= =
s ( )
P
q
q
i
i
i
i
Q
-
1
• Makin besar kemampuan responden makin
besar kesempatan sukses
• Kesempatan sukses berkenaan dengan
responden (kemampuan responden)

------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------
2. Probit Sukses pada Responden
• Logaritma naturalis kesempatan sukses
dikenal sebagai probit sukses
• Probit(s) = ln Os
P
ln ( q
)
( q
)
i
i
Q
P
ln ( q
)
( q
)
P
i
i
-
=
=
1
• Probit menjadi satuan yang dapat
digunakan pada karakteristik butir model
ojaif normal

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
3. Kesempatan (Odds) Gagal Karena Taraf Sukar
Butir
• Kesempatan gagal atau jawab salah pada butir
(odds of failure) adalah
( q
)
P
i
( )
O = Q ( q
)
= 1-
g ( )
P
q
q
i
i
P
i
• Makin besar taraf sukar butir makin besar
kesempatan gagal
• Kesempatan gagal berkenaan dengan butir (taraf
sukar butir)

------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------
4. Probit Gagal pada Butir
• Logaritma naturalis kesempatan gagal
dikenal sebagai probit gagal
Probit(g) = ln Og
Q
ln ( q
)
( q
)
i
P
i
P
ln ( q
)
i
( q
)
=
= -
P
i
1
• Probit menjadi satuan yang dapat
digunakan pada karakteristik butir model
ojaif normal

------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------
E. Keterampilan Matematika dan Statistika
1. Fungsi Eksponensial
• Karanteristik butir menunjukkan fungsi
ekponensial sehingga diperlukan sejumlah
perhitungan pada fungsi eksponensial
• Salah satu fungsi eksponensial yang kelak
banyak digunakan adalah
X
X
e
f X e
+
=
1
( )
• Bentuk yang sama dapat juga ditulis (dengan
membagi eX pada pembilang dan penyebut)
sebagai
( ) 1
f X + -
e X
=
1
• Dapat disusun ke dalam tabel

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
2. Kebolehjadian
• Misalkan variabel q menghasilkan X
q = f (X)
maka fungsi probabilitas adalah
P(q) = P[f (X)]
• Di sini q yang boleh jadi menghasilkan X1, X2,
X3 disebut kebolehjadian L(q) dengan
L(q) = P[f (X1)].P[f (X2)].P[f (X3)]
• Pada umumnya
n
X f P L Õ=
( ) [ ( )] i
i
=
1
q

------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir pada Model Ojaif Normal
------------------------------------------------------------------------------
• Kebolehjadian ini berbentuk perkalian dan dapat
dipermudah menjadi penjumlahan
• Perkalian ini dapat diubah menjadi penjumlahan
melalui logaritma
• Kebolehjadian dalam bentuk logaritma
n
å=
L P f Xi
ln (q ) =
ln [ ( )]
i
1
• Nilai kebolehjadian ini bergantung kepada nilai
probabilitas masing-masing
• Dalam banyak hal, kita dapat mencari nilai
kebolehjadian maksimum

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
3. Kebolehjadian Maksimum
• Di statistika, nilai q dapat diestimasi melalui
kebolehjadian maksimum yakni q yang paling
boleh jadi untuk menghasilkan X1, X2, X3, . . .
• Kebolehjadian maksimum diperoleh dari
dL( ) ln ( q
)
atau d L
= 0 = 0
d
q
q
d
q
• Selanjutnya dari persamaan yang dihasilkan,
nilai q dapat dihitung
• Ada kalanya perhitungan ini dapat langsung
dilakukan
• Ada kalanya pula perhitungan ini memerlukan
metoda tersendiri

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Apabilan terdapat lebih dari satu jenis q, misalkan
terdapat q1, q2, dan q3, maka kebolehjadian
maksimum dilakukan terhadap masing-masing
jenis q
• Dalam bentuk logaritma, kebolehjadian maksimum
itu adalah
0
0
0
L
ln ( )
q
1
L
ln ( )
q
2
L
ln ( )
q
3
=
=
=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
q
q
q
" ¶ adalah notasi diferensial parsial yakni pada saat
parsial ke q1, maka q2 dan q3 konstan

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 14
• Pada distribusi probabilitas binomial
ada probabilitas p terjadi peristiwa A
ada probabilitas (1 – p) tidak terjadi A
dan pada 100 cobaan terjadi 63 kali peristiwa A
• Estimasi nilai p
• Dalam hal ini, misalkan X = 1 terjadi peristiwa A
dan X = 0 tidak terjadi peristiwa A sehingga
P (X = 1) = p
P (X = 0) = 1 – p
• Kebolehjadian
L p p p p p
( ) ... .( )...( )
= - -

kali kali
63 37
63 37
p 1
p
1 1
( )
= -

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Dalam bentuk logaritma
ln L(p) = 63 ln p + 37 ln (1 – p)
• Kebolehjadian maksimum
0
0
d L p
ln ( )
dp
63 37
p 1
p
=
=
p = -
p
-
37 63 63
=
p
100 63
,
0 63
=
-
p
• Jadi, p = 0,63 adalah paling boleh jadi untuk
menghasilkan 63 kali peristiwa A pada 100
cobaan
• Hasil ini sesuai dengan hasil melalui rumus
probabilitas

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 15
Waktu tunggu panggilan telepon di switchboard
berdistribusi probabilitas geometrik
P(q ) =qe-qX
Sampel waktu tunggu untuk lima panggilan
adalah masing-masing
1,2 7,5 1,8 3,7 1,1
Estimasi q melalui kebolehjadian maksimum

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
4. Jenis Probabilitas
Pada distribusi probabilitas dikenal probabilitas
bersama (joint probability), probabilitas marjinal
(marginal probability), dan probabilitas kondisional
(conditional probability)
Untuk melihat ciri dari setiap jenis probabilitas,
digunakan suatu contoh
Peserta Mar-
A (X1) B(X2) jin
Lulus(Y1) 0,30 0,15 0,45
Hasil
Gagal(Y2) 0,22 0,33 0,55
Marjin 0,52 0,48 1,00

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Probabilitas Bersama (Joint Probability)
Probabilitas yang ditentukan bersama di antara
X dan Y
P(X1,Y1) = 0,30 P(X1,Y2) = 0,22
P(X2,Y1) = 0,15 P(X2,Y2) = 0,33
• Probabilitas Marjinal (Marginal Probability)
Probabilitas yang ditentukan oleh marjin pada X
dan Y
P(X1) = 0,52 P(X2) = 0,48
P(Y1) = 0,45 P(Y2) = 0,55
• Probabilitas Kondisional (Conditional Probability)
Probabilitas yang ditentukan secara bersyarat
di antara X dan Y

------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------
A bersyarat lulus
Dari 0,45 lulus, A mencakup 0,30
P(X1|Y1) = 0,30 / 0,45 = 0,67
A bersyarat gagal
Dari 0,55 gagal, A mencakup 0,22
P(X1|Y2) = 0,22 / 0,55 = 0,40
B bersyarat lulus
Dari 0,45 lulus, B mencakup 0,15
P(X2|Y1) = 0,15 / 0,45 = 0,33
B bersyarat gagal
Dari 0,55 gagal, B mencakup 0,33
P(X2|Y2) = 0,33 / 0,55 = 0,60

Psikometri Bab a19

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Psikometri Bab a19

Similar to Psikometri Bab a19 (15)

More from Universitas Negeri Makassar

More from Universitas Negeri Makassar (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Psikometri Bab a19