Bab 18 membahas karakteristik butir dalam pengukuran. Butir merupakan komponen dasar dalam alat ukur dan pengukuran. Alat ukur dibentuk melalui perakitan butir-butir berdasarkan tata cara tertentu. Setiap butir memiliki parameter seperti taraf kesukaran dan daya beda yang menunjukkan kemampuannya untuk membedakan responden.

1. Bab 18
Karakteristik Butir

2. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Bab 18
Karakteritik Butir
A. Dasar
1. Butir Di Dalam Pengukuran
(a) Kedudukan Butir
• Pada umumnya, alat ukur (ujian atau
survei) terdiri atas sejumlah butir
• Butir merupakan komponen dasar di dalam
alat ukur dan pengukuran
• Sekor butir adalah komponen dasar di
dalam pensekoran pada pengukuran

3. ------------------------------------------------------------------------------
Karakeritik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Perangkat alat ukur dan butir
· –
· – adalah butir
· –
· –
· –
· –
· –
· – · –
· –
· –
Perangkat alat ukur
· –
· –
Perangkat alat ukur

4. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
2. Pembentukan Alat Ukur
Alat ukur biasanya dibentuk melalui perakitan butir-butir
melalui tata cara tertentu
Butir dapat diambil dari
• Kumpulan butir yang sudah tersedia
• Bank butir
Bank butir memiliki butir yang diseleksi dari
kumpulan butir melalui prosedur tertentu
Hanya butir yang memenuhi persyaratan yang
disimpan di dalam bank butir
Butir di dalam bank butir diadministrasi dan
dipelihara menurut tata cara tertentu

5. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Perakitan alat ukur dari kumpulan butir atau bank butir
Kumpulan
butir
Bank
butir
Seleksi berdasarkan
karakteristik butir
Perangkat
alat ukur
Perangkat
alat ukur

6. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
3. Sekor Satuan Butir dan Sekor Responden
Pensekoran
• Perangkat alat ukur yang ditanggapi oleh para
responden menghasilkan sekor butir
Sekor satuan
• Sekor satu butir dari satu responden
merupakan sekor satuan (komponen dasar)
• Nilai sekor satuan dapat terbentuk dari (a)
sekor 1 untuk jawaban betul dan sekor 0 untuk
jawaban salah, (b) sekor sesuai dengan nilai
skala yang ditetapkan untuk tiap jawaban atau
tanggapan
Sekor responden
• Biasanya merupakan jumlah sekor satuan pada
responden bersangkutan
• Di sini banyak digunakan sekor responden
berupa jumlah jawaban betul

7. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
4. Proporsi Jawaban Betul
• Dalam hal jawaban betul (sekor 1) dan jawaban
salah (sekor 0), dikenal proporsi jawaban betul
• Proporsi jawaban betul dilakukan pada butir
tertentu, misalkan, pada butir ke-i
• Pada butir ke-i, kita kelompokkan responden
berdasarkan sekor responden A. Seperti pada
contoh 1, ada kelompok responden sekor 12,
adalah kelompok responden sekor 11, dan
seterusnya
• Pada butir ke-i, proporsi jawaban betul pada
kelompok responden sekor A, adalah Pi (A), yakni
proporsi menjawab betul di kelompok itu
• Misalkan pada butir ke-2, di kelompok responden
sekor 7 ada 4 orang. Apabila 1 dari 4 responden itu
menjawab betul, maka proporsi jawaban betul di
kelompok itu adalah
P2 (7) = 1 / 4 = 0,25
Artinya 25% responden menjawab betul butir itu

8. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 1
Respon- Butir Sekor res- Respon- Butir Sekor res-den
ke-2 ponden A den ke-2 ponden A
1 1 12 19 1 8
2 1 12 20 1 8
3 1 11 21 1 8
4 1 11 22 1 8
5 1 11 23 0 8
6 1 10 24 0 7
7 1 10 25 0 7
8 1 10 26 0 7
9 1 10 27 1 7
10 1 10 28 0 6
11 0 10 29 0 6
12 1 9 30 0 5
13 1 9
14 1 9
15 1 9
16 0 9
17 1 9
18 1 9

9. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Proporsi jawaban betul untuk butir ke-2
Sekor Proporsi jawaban betul
A P2 (A)
5 0 / 1 = 0,00
6 0 / 2 = 0,00
7 1 / 4 = 0,25
8 4 / 5 = 0,80
9 6 / 7 = 0,86
10 5 / 6 = 0,83
11 3 / 3 = 1,00
12 2 / 2 = 1,00
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
5 6 7 8 9 10 11 12
A
P2 (A)

10. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 2
Respon- Butir Sekor res- Respon- Butir Sekor res-den
2 4 6 ponden A den 2 4 6 ponden A
1 1 1 1 12 19 1 0 1 8
2 1 1 1 12 20 1 0 1 8
3 1 1 0 11 21 1 0 0 8
4 1 1 1 11 22 1 0 0 8
5 1 1 1 11 23 0 0 0 8
6 1 1 0 10 24 0 0 0 7
7 1 1 1 10 25 0 0 1 7
8 1 1 0 10 26 0 0 0 7
9 1 1 1 10 27 1 0 0 7
10 1 1 0 10 28 0 0 0 6
11 0 1 1 10 29 0 0 0 6
12 1 0 0 9 30 0 0 0 5
13 1 0 0 9
14 1 0 1 9
15 1 0 1 9
16 0 0 1 9
17 1 0 0 9
18 1 0 0 9

11. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Proporsi jawaban betul untuk butir ke-4
Sekor Proporsi jawaban betul
A P4 (A)
5 0 / 1 = 0,00
6 0 / 2 = 0,00
7 0 / 4 = 0,00
8 0 / 5 = 0,00
9 0 / 7 = 0,00
10 6 / 6 = 1,00
11 3 / 3 = 1,00
12 2 / 2 = 1,00
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
5 6 7 8 9 10 11 12
A
P4 (A)

12. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Proporsi jawaban betul untuk butir ke-6
Sekor Proporsi jawaban betul
A P6 (A)
5
6
7
8
9
10
11
12
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
5 6 7 8 9 10 11 12
A
P2 (A)

13. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 3
Respon- Butir Sekor res-den
1 2 3 4 5 6 7 8 ponden A
18 1 1 1 1 1 1 1 1 8
4 1 1 1 1 1 1 1 0 7
11 1 1 1 1 1 1 0 1 7
2 1 1 1 1 0 0 1 1 6
9 1 1 1 0 1 1 1 0 6
13 1 1 1 1 1 1 0 0 6
7 1 0 1 1 1 1 0 0
12 1 1 0 1 1 0 1 0
19 1 1 1 1 0 1 0 0
20 1 1 1 1 1 0 0 0
5 1 1 1 1 0 0 0 0
10 1 0 0 1 1 1 0 0
14 0 1 1 1 1 0 0 0
16 1 1 1 0 1 0 0 0
18 1 1 1 0 0 0 0 0
15 1 1 1 0 0 0 0 0
17 1 1 0 1 0 0 0 0
3 1 0 1 0 0 0 0 0
6 1 1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0

14. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Sekor Proporsi jawaban betul pada butir
Resp A 1 2 3 4 5 6 7 8
1 0 0 0 0 0 0,33 0,50 1,00
2 0 0 0 0 0,25 0,67 0,50 1,00
3
4
5
6
7
8
Buatlah grafik proporsi jawaban betul untuk setiap
butir

15. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
B. Parameter Responden dan Parameter Butir
1. Parameter Responden
• Sekor responden mencerminkan kemampuan
responden sehingga sekor responden dan
kemampuan responden merupakan parameter
responden
• Kemampuan responden merupakan suatu
kontinum dari rendah ke tinggi
• Biasanya sekor responden tinggi menunjukkan
kemampuan tinggi dan sekor responden rendah
menunjukkan kemampuan responden rendah
• Biasanya, pada sekor responden tinggi atau
kemampuan tinggi, proporsi jawaban betul juga
tinggi

16. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Biasanya terjadi
Sekor Kemampuan Proporsi jawaban
responden responden betul
tinggi tinggi tinggi
. . .
. . .
. . .
rendah rendah rendah
Pada karakteristik butir, proporsi jawaban betul
dikenal sebagai probabilitas jawaban betul
• Sekor responden = kemampuan responden (q)
• Proporsi jawaban betul = probabilitas jawaban betul
P(q)

17. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
2. Probabilitas Jawaban Betul
• Untuk butir ke-i, probabilitas jawaban betul
berkaitan dengan dengan kemampuan responden q
• Makin tinggi kemampuan responden q, makin besar
pula probabilitas jawaban betul
• Hubungan di antara probabilitas jawaban betul
pada butir ke-i dengan kemampuan responden q
adalah
Pi (q) = f (q)
Sebagai probabilitas: 0 £ Pi (q) £ 1
5 6 7 8 9 10 11 12
Pi (q)
q
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

18. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
3. Parameter Butir
(a) Taraf Sukar Butir
• Ada butir yang sukar, ada butir yang sedang,
dan ada butir yang mudah
• Taraf sukar butir merupakan suatu kontinum
dari mudah ke sukar
• Taraf sukar butir ke-i dinyatakan dengan bi
• Makin tinggi taraf sukar butir bi, diperlukan
kemampuan responden q yang makin tinggi
untuk dapat menjawabnya dengan betul
q > bi Pi (q) tinggi
q < bi Pi (q) rendah
• Kontinum taraf sukar berimpit dengan kontinum
kemampuan responden

19. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Hubungan di antara kemampuan responden dan taraf
sukar butir untuk butir ke-i
q
b q> b; q – b > 0
P(q) > 0,5
q > b
q
q < b; q – b < 0 b
P(q) < 0,5
q < b
q = b
q
b q = b; P(q) = 0,5

20. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Probabilitas jawaban betul pada butir ke-i
berhubungan dengan letak q terhadap bi atau
terhadap (q – bi) atau
Pi (q) = f (q – b)
Ini dikenal sebagai kararteristik butir satu parameter
Pi (q) = f (q, bi)
Nilai taraf sukar butir ke-i ditentukan oleh
q – bi = 0 atau bi = q
pada saat Pi (q) = 0,5
bi
q
Pi (q)
1,0
0,5

21. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Makin sukar butir, maka makin ke kanan letak
karakteristik butir seperti tampak pada diagram
berikut
butir P(q) j lebih sukar dari butir i
i j
q bi bj
1,0
0,5
P(q)
1,0
0,5
bi bj
q
i j

22. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
(b) Daya Beda Butir
Ada butir yang memiliki ciri
• dapat dijawab dengan betul oleh kebanyakan
responden yang berkemampuan tinggi
• tidak dapat dijawab dengan betul oleh
kebanyakan responden yang berkemampuan
rendah
Butir demikian memiliki daya untuk membedakan
responden berdasarkan kemampuan mereka
Butir memiliki parameter berupa daya beda butir
P(q)
Perbedaan
besar
Banyak jawab
salah
Banyak jawab
betul
1,0
0,5
q

23. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Makin besar daya beda butir, maka makin curam
lengkungan karakteristik butir, seperti tampak pada diagram
berikut
P(q)
P(q)
1,0
0,5
1,0
0,5
q
q
b
b
q1
q1
q2
q2
Perbedaan
kecil
Perbedaan
besar

24. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
• Kecuraman pada lengkungan merupakan koefisien
arah a pada fungsi a(q - b).Makin curam makin besar
koefisien arah a
• Pada butir ke-i, daya beda butir dinyatakan sebagai
koefisien arah yang menunjukkan kecuraman pada
lengkungan yakni ai sehingga
Pi (q) = f (ai (q - bi))
• Di sini terdapat dua parameter butir: bi dan ai dan ini
dikenal sebagai karakteristik butir dua parameter
Pi (q) = f (q, ai, bi)
P(q)
1,0
0,5
q1 bi q2
q
j i
aj > ai

25. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
(c) Tingkat Kebetulan Betul pada Butir
• Pada butir pilihan ganda dapat saja terjadi bahwa
jawaban betul dicapai melalui terkaan
• Jawaban betul ini adalah kebetulan betul
• Tingkat kebetulan menjawab betul pada butir ke-i
dinyatakan dengan parameter butir ci dan
merupakan probabilitas jawaban betul minimum
Pi (q)min = ci
P(q)
1,0
(1 - ci)
ci
0,5(1-ci)
0,5(1-ci)
q bi

26. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
• Di sini, taraf sukar butir bi tidak diperoleh melalui
probabilitas jawaban betul Pi(q) = 0,5 melainkan pada
Pi(q) = ci + 0,5 (1- ci)
= 0,5 (1 + ci)
• Bentangan Pi (q) tidak lagi dari 0 sampai 1,0 melainkan
dari ci sampai 1,0 yakni selebar (1 - ci) sehingga
f (ai (q- bi)) menjadi (1 - ci) f (ai(q- bi))
dan probabilitas jawaban betul menjadi
Pi (q) = ci + (1 - ci) f (ai (q - bi))
• Di sini terdapat tiga parameter butir ai, bi, dan ci
sehingga dikenal sebagai karakteristik butir tiga
parameter
Pi (q) = f (q, ai, bi, ci)

27. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
4. Tiga Model Karakteristik Butir
(a) Model satu parameter (1P)
Bentuk umum P(q) = f (q, b)
Bentuk khusus
Pi (q) = f (q - bi)
bi = q pada Pi (q) = 0,5
(b) Model dua parameter (2P)
Bentuk umum P(q) = f (q, a, b)
Bentuk khusus
Pi (q) = f (ai (q - bi))
bi = q pada Pi (q) = 0,5

28. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
(c) Model tiga parameter (3P)
Bentuk umum P(q) = f (q, a, b, c)
Bentuk khusus
Pi (q) = ci + (1 - ci ) f (ai(q - bi))
bi = q pada Pi (q) = ci + 0,5 (1 - ci)
= 0,5 (1 + ci)
(d) Model Karakteristik Butir
Selanjutnya model karateristik butir 1P, 2P,
dan 3P ini ditentukan oleh bentuk
f (q, bi)
f (q, ai, bi)
f (q, ai, bi , ci)
yang dipilih atau ditentukan bentuknya

29. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
C. Lengkungan Karateristik Butir
1. Model Ideal
(a) Model Skala Sempurna
Pi (q)
q < bi Pi (q) = 0
q ≥ bi Pi (q) = 1
q
q
Pi (q)
bi
b1 b2 b3 b4

30. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
(b) Model Jarak Laten
Pi (q)
q < bi Pi (q) = c
q ≥ bi Pi (q) = d
1,00
d
0,75
0,50
0,25
c q
bi

31. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
2. Model Linier
Pi (q) Pi (q)
1,0 1,0
0,5 0,5
ci
q q
bi bi
Pi (q) = ci + ai (q - bi)
0 ≤ Pi (q) ≤ 1
Pada bi = 0 Pi (q) = ci + ai q
Pada ci = 0 Pi (q) = ai (q - bi)

32. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
3. Model Nonlinier
(a) Data Empirik
• Sebagian besar data empirik menunjukkan
lengkungan nonlinier

33. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Contoh empirik lainnya

34. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
(b) Model Ojaif Normal
• Peningkatan P(q) terhadap peningkatan
kemampuan q dipandang sebagai berdistribusi
probabilitas ojaif normal
• Lengkungan karakteristik butir menjadi
berbentuk ojaif normal
(c) Model Logistik
• Perhitungan pada model ojaif normal cukup
rumit sehingga dicarikan model serupa dengan
perhitungan yang lebih sederhana
• Ditemukan bentuk yang mirip melalui
pendekatan ke fungsi logistik sehingga menjadi
model logistik

35. ------------------------------------------------------------------------------
Karakeristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
4. Komparasi Model
Terdapat tiga macam model berupa model ideal,
model linier, dan model nonlinier
• Model ideal
P(q) P(q)
1,0 1,0
q q
Ini adalah model terbaik atau sempurna karena
secara jelas membagi dua responden menurut
kemampuan mereka (batas jelas)
Sukar sekali untuk (praktis tidak dapat)
menemukan butir seperti ini

36. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
• Model linier
P(q) P(q)
q q
Ini adalah model yang cukup dilakukan melalui
perhitungan yang sederhana
Sukar untuk (praktis tidak dapat) menemukan
model linier

37. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteritik Butir
------------------------------------------------------------------------------
• Model Nonlinier
P(q) P(q)
q q
Ini terletak di antara model ideal dan model linier
dan paling sering ditemukan pada butir
Kita perlu menentukan model nonlinier yang
bagaimana yang paling memadai
Biasanya model nonlinier berbentuk ojaif atau
berbentuk lengkungan S

38. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
D. Keterampilan Matematika
1. Fungsi Eksponensial
• Konstanta e dinamakan juga sebagai konstanta
eksponensial, memiliki nilai tetap
e = 2,718281828 …
dapat diteruskan sampai tidak ada batas
• Di dalam pemakaian, e sering dibatasi sampai
2 atau 3 digit pecahan desimal
e = 2,72 atau e = 2,718
• Fungsi eksponensial menggunakan e dalam
bentuk seperti
ex atau ef(x)

39. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
• Nilai fungsi eksponensial ex dapat langsung
ditemukan melalui kalkulator elektronik
Misalnya e0,5 dapat langsung ditemukan di dalam
kalkulator Casio melalui
AC
Shift
ex
0 · 5
=
Terbaca bahwa hasilnya adalah 1,6487 …
AC bertujuan mengosongkan isi memori
kalkulator

40. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 4
Dengan kalkulator, carilah nilai berikut
e-1,5 = e-2,75 =
e-1,0 = e-1,87 =
e0 = e0,5 =
e1,5 = e1,75 =
e2,0 = e2,25 =
e2,5 = e2,75 =
e2,9 = e3,0 =
e3,75 = e4,0 =

41. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
2. Fungsi Logaritma
• Logaritma berkaitan dengan pangkat dan akar
pada bilangan, misalnya
32 = 9
• Pangkat
Pangkat bersangkutan dengan pertanyaan
32 = ? ? = 32
• Akar
Akar bersangkutan dengan pertanyaan
?2 = 9 ? = √9

42. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
• Logaritma
Logaritma bersangkutan dengan
pertanyaan
3? = 9 ? = 3log 9
Di sini, 3 dinamakan basis logaritma
Kalau basis logaritma adalah 10, biasanya
10 itu tidak perlu ditulis
10? = 100 ? = log 100
Kalau basis logaritma adalah e, maka
logaritma ini dinamakan logaritma naturalis
dan ditulis sebagai ln
e? = 1,6487 ? = ln 1,6487

43. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
• Nilai logaritma dapat langsung dihitung pada kalkulator
elektronik
Perhitungan log (yakni basis 10)
Misalnya untuk log 25
pada kalkulator Casio
AC
log 2 5
=
Hasilnya adalah 1,3979 …
Ini berarti bahwa 101,3979… = 25

44. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 5
Dengan kalkulator elektronik, carilah nilai log
sebagai berikut
log 15 = log 27,5 =
log 50,5 = log 58 =
log 75 = log 83 =
log 100 = log 118 =
log 1350 = log 2750 =
log 0,75 = log 0,025 =
log 0,50 = log 0,95 =
log e = log p =

45. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Perhitungan ln (yakni basis e)
Misalnya ln 2,75
pada kalkulator Casio
AC
ln 2 ·
=
7 5
Hasilnya adalah 1,0116 …
Contoh 6
Dengan kalkulator elektronik, carilah nilai
ln 0,75 = ln 0,90 = ln 1,25 =
ln 15 = ln 20 = ln 27,5 =
ln 50 = ln 75 = ln 150 =

46. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
3. Diferensial
Di dalam matematika, diferensial adalah
bilangan yang sangat kecil mendekati ke 0
x1 x2
Dx = x2 – x1
Jika x2  x1 maka Dx  0
Dx  0 ini dikenal sebagai diferensial dx
Cara yang sama berlaku untuk variabel
lainnya, misalnya, y
Dy  0 dikenal sebagai dy

47. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
4. Hasibagi (quotient) diferensial
Pembagian di antara dy dan dx dikenal
sebagai hasilbagi diferensial
atau juga sebagai y’
dy
dx
Kalau y = f (x), maka hasilbagi diferensial
menjadi
atau juga sebagai f’(x)
df (x)
dx
Dengan demikian, hasilbagi diferensial adalah
hasilbagi dari bilangan sangat kecil yang
mendekati 0
Terdapat sejumlah rumus untuk menghitung
hasilbagi diferensial

48. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
• Hasilbagi diferensial (dikenal juga sebagai turunan
pertama) bergantung kepada fungsi yang
dideferensialkan
• Beberapa rumus umum
dx
= = - ¹
0 1 1
e d ln
x
= =
( )
1
sin = cos cos = -
sin
a du
da
de
d x
d au
x d x
( ) ( )
a = konstanta
dv
dx
du
dx
d u v
dx
dx
dx
x
dx
dx
dx x
dx
nx n
dx
dx
x
x
n
n
= + = +

49. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 7
4
4
=
=
3
4
4
3
= =
3 12
3
2 4 0 4
3 3
= +
= + = + =
3
x x
4
4 2
= +
4 2
dx
= + = +
dx
d
a y x
dy
( )
b y x
dy
( )
c y x
dx
4
dx
dy
2
( )
d y 3 x 2
x
dx
dx
dy
dx
x x
dx
dx
dx
x
dx
dx
x
dx
3 2 12 4
=
( )

50. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
• Rumus selanjutnya
v du
v du
df u
d uv
( )
d u
v
df u
Turunan ke
du
u dv
u dv
du
ö çè
÷ø
ö çè
d
= æ
-
=
-
=
÷ø
æ
= +
dx
dx
d u
dx
dx
du
dx
v
dx
dx
dx
dx
dx
dx
2
2
2
2
( ) ( )

51. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 8
a y x x x
( ) = ( 3 + 2 )( +
1
)
x x d x
x d x x
( ) ( ) ( ) ( )
= + + + + +
1 3 2 3 2 1
2 3 4 2
x x x x x x
= + + + +
1 12 4 3 2 2
5 3
x x x
= + +
18 20 4
4 2
dy
b y = 3 x +
2
x
x x d x
x d x x
( + 1 ) ( 3 + 2 ) - ( 3 + 2 ) ( +
1
)
2 2
( )
2 3 4 2
x x x x x x
( )( ) ( )( )
= + + - +
1 12 4 3 2 2
5 3
x x x
= + +
6 12 4
2 1
1
1
1
4 2
2 2
2
4 2
4 2
2
2
2
4 2
4 2
2
4 2 2
+ +
+
+
=
+
x x
x
x
dx
dx
dy
dx
x
dx
dx
dx
( )
( )
( )( ) ( )( )

52. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 9
4 2
x x
3 2
4 2
x x
3 2
d e
( )
3 2 3
a y =
e
d x x
e x x
( )
= +
12 4
= +
12 4
4 2
dy
b y = 3 x +
2
x
= +
12 4
36 4
3 2
3 2
2
dy
d y
2
2
3
3 3 2
4 2
4 2
4 2
4 2
= +
+
+
=
+
+
+
+
x
dx
x x
dx
x x e
dx
d x x
dx
x x
x x
( )
( )
( )
( )
( )

53. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
5. Hasilbagi diferensial sebagai sudut garis singgung
Garis singgung
Dy
Dx
Dy
----- berkaitan dengan besarnya sudut
Dx
Jika Dx  0 maka B bergerak ke A
dy
maka ----- merupakan sudut pada garis
dx
singgung di titik A
y
x
A
B
C

54. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
6. Titik Minimum, Titik Maksimum, dan Titik Balik
Pada titik minimum dan maksimum garis
singgung menajdi horizontal sehingga sudut
singgung menjadi nol
Pada titik minimum atau titik maksimum,
karena sudut singgung adalah noi, maka
dy
------ = 0
dx
y
x
y
x

55. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Titik Balik adalah titik ketika grafik membalik,
misalnya, dari melengkung ke kanan membalik
menjadi melengkung ke kiri
Pada titik balik, garis singgung horizontal
sehingga sudut singgung menjadi 0 yakni
dy
----- = 0
dx
y
x

56. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
7. Integrasi
Di dalam matematika, integrasi adalah proses
penjumlahan sedjumlah bilangan yang sangat
kecil mendekati 0
Notasi integrasi adalah ∫, misalnya, ∫ydx
y
x1 x2
x
y
dx
Luas yang sangat kecil adalah y dx
Jumlah dari semua luas y dx dari x1
sampai x2 adalah luas seluruh gambar
2
ò
1
x
x
ydx

57. -----------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
-----------------------------------------------------------------------------
Integrasi pada distribusi probabilitas normal baku
Integrasi ini menghasilkan luas pada histogram
distribusi probabilitas normal baku
z z
1
0 1 1 -
1 1 2
n z dz e dz z
f ( ; , )
z
1
2
p
2
= ò = ò
-¥ -¥
Luas ini bergantung kepada letak z1 dan nilainya
dijadikan tabel fungsi distribusi bawah untuk
berbagai nilai z1 (lihat tabel)
–∞

z1
fz1
z

58. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 10
,
1 13
f = n(z; , )dz =
,
- , 1 13 0 1 0 1292
Nilai ini dapat dilihat pada tabel fungsi distribusi
(bawah) pada distribusi probabilitas normal baku
Dapat juga dicari pada program komputer tentang
statistika seperti Minitab
Fungsi distribusi (bawah) pada distribusi normal baku
merupakan kumulasi distribusi (luas histogram pada
distribusi probabilitas normal baku) dari – ∞ sampai
suatu nilai z1 = – 1,13
-1,13
f-1,13
n (z; 0, 1)
z
ò
-
-¥

59. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
8. Perhitungan integral
Secara umum integrasi adalah kebalikan dari
hasilbagi diferensial
Hasilbagi diferensial dan integral
nx n
dx
y x
= = ¹
dy
ydx x dx x
C = suatu konstanta (karena hasilbagi dife-rensial
konstanta sama dengan 0)
C dapat ditentukan kemudian
1
1
1
1
1
+ ¹ -
+
= =
=
+
-
ò ò C n
n
dx
dx
n
n
n
n
n

60. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 11
4
dx
4
= =
dx
y =
x
dy
dx
y x
x
=
4
3
3
4
4
ydx x dx x dx x C x C
ò ò 3 ò 3
4
= = = + = +
4
4 4 4
Tampak di sini bahwa jika hasilbagi diferensial
diintegralkan maka hasilnya kembali asal
Asal adalah y = x4 dan setelah didiferensial serta
diintegralkan maka hasilnya kembali ke y = x4

61. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
• Integral definit
Integral definit adalah integral yang diberi batas
nilai dari sesuatu ke sesuatu
Misalkan integrasi dilakukan dari x1 sampai ke x2
maka bentuknya adalah
y x
=
ò n n xx
Contoh 12
| ( ) ( 1)
1
1
2
1 2
1
2
1
n
= - = - - -
x
x
n
ydx nx nx nx
ò 4 = | = - = , x dx x
1548 5
2
5
6
5
5
5 5
6
2
6 5
2

62. ------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
• Rumus umum beberapa integral
adx = ax +
C
x dx x
n
n
=
x x
n
+
1
+ ¹ -
+
1
e dx = e +
C
x C
dx
x
C n
ln
= +
ò
ò
ò
ò
1
• Diferensial diintegral akan kembali asal sehingga jika
y didiferensialkan dan kemudian diintegralkan maka
hasilnya akan kembali ke y
dy = + ÷ø
ö çè
dx y C
dx
æ ò