download pdf di http://rumah-belajar.org

1. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
BAB 7
RANGKAIAN ORDE DUA
Setelah mempelajari Bab 7 Rangkaian Orde Dua, Anda diharapkan:
1. Memahami definisi rangkaian dinamik orde dua.
• →→ →
2. Mampu menulis state equation rangkaian linier x = A x + u ( t ) dan konversinya ke
persamaan diferensial orde dua.
3. Memahami step-response (tanggapan undak) dan impulse response (tanggapan
ht
impuls) rangkaian orde dua.
tp
4. Memahami zero-state response (tanggapan tanpa kondisi awal) dan zero-input
response (tanggapan tanpa masukan) rangkaian orde dua.
://
5. Memahami definisi transient response (tanggapan peralihan) dan steady-state
ru
response (tanggapan tunak) pada rangkaian orde dua.
m
6. Memahami definisi solusi homogen/ umum dan solusi khusus persamaan diferensial
ah
orde dua.
-b
• →→
7. Memahami perilaku kualitatif state equation x = A x , yakni perilaku zero-input
el
response rangkaian orde dua dan mampu menggambar bentuk umum state
aj
trajectory untuk enam perilaku kualitatif, yakni stable node, unstable node, saddle
a
point, center, stable focus, dan unstable focus.
r.o
8. Mampu menulis state equation rangkaian non linier.
rg
9. Memahami metode aproksimasi terlinierisasi state equation non linier ke state-
equation linier di sekitar titik operasi menggunakan matrisk Jacobian
 ∂f1 ∂f1 
→  ∂x ∂x 2 
J = 1 
 ∂f 2 ∂f 2 
 ∂x 1
 ∂x 2 

10. Memahami definisi titik keseimbangan (equilibrium point).
11. Memahami kesamaan antara titik keseimbangan pada rangkaian dinamik dan titik
operasi pada rangkaian resistifnya.
12. Mampu menjelaskan paradoks titik operasi.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 145

2. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
1. a. Tuliskan state equation untuk rangkaian yang ditunjukkan pada P7.1a.
b. Tulis sebuah persamaan diferensial orde dua untuk rangkaian tersebut,
identifikasi α dan ωo pada persamaan tersebut.
2
10Ω 1 10Ω g2
i c1 i c2
5Ω + 5Ω +
+ +
5v c1 3F vc2 2Ω 5v c1 3F vc2 2Ω
2F v c1 2F v c1
− − − −
10V 10V
P7.1a P7.1b
ht
Solusi
tp
a. Rangkaian pada P7.1a digambar kembali seperti pad P7.1b.
://
10 − v c1 v − v c2
ru
KCL di titik1 : = i c1 + c1 ...(1)
5 10
m
• • 3 1
ah
Substitusi i c1 = 2 v c1 ke (1) menghasilkan v c1 = − v c1 + v c 2 + 1 ...(2)
20 20
-b
v c 2 − v c1 v
KCL pada permukaan Gauss g2: + 5v c1 + i c 2 + c 2 = 0 ...(3)
el
10 2
aj
• • 49 1
Substitusi i c 2 = 3 v c 2 ke (3) menghasilkan v c 2 = − v c1 − v c 2 ....(4)
a
30 5
r.o
Dari persamaan (3) dan (4) dapat ditulis
rg
• 
 v c1  = − 20   v c 1  1 
3 1
  +
20
...(5)
 •  − 30 49
−   v c 2  0 
1
 
 v c2   5
 •   a 11 a 12   x 1   u 1 ( t ) 
b. Matriks state equation  x 1  =  + dapat diubah ke bentuk
a 22   x 2  u 2 ( t )
•
 x 2  a 21
     
•• •
persamaan diferensial skalar orde dua x 1 − T x 1 + ∆x 1 = u a ( t ) bila a 12 ≠ 0 ...(6)
•• •
atau x 2 − T x 2 + ∆x 2 = u b ( t ) bila a 21 ≠ 0 ...(7) .
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 146

3. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
Persamaan skalar orde dua pada persamaan (6) atau (7) juga dapat ditulis dalam
•• •
bentuk x + 2α x + ωo x = u ( t ) ...(8).
2
di mana hubungan antar variabel adalah
T = (a 11 + a 22 ) = −2α dan ∆ = a 11a 22 − a 12 a 21 = ωo
2
• •
u a ( t ) = −a 22 u 1 ( t ) + a 12 u 2 ( t ) + u 1 ( t ) dan u b ( t ) = a 21 u 1 ( t ) − a 11 u 2 ( t ) + u 2 ( t )
Dari persamaan konversi variabel dan persamaan (5) di atas diperoleh
3  1 7 1 7
T=− + −  = − ; α = − T =
ht
20  5  20 2 40
tp
3  1  1  49  67
∆=− −  − −  = = ωo
2
://
20  5  20  30  600
ru
1 1 1
u a ( t ) = .1 + .0 + 0 =
m
5 20 5
ah
49  3  49
u b (t) = − .1 −  − .0 + 0 = −
-b
30  20  30
el
Dari persamaan (6) dan (7) (atau persamaan (8)) Anda akan memperoleh
aj
7 67 1 7 67 49
a
v c1 + v c1 + v c1 = dan v c 2 + vc2 + vc 2 = −
20 600 5 20 600 30
r.o
rg
2. Ulangi pertanyaan 1 untuk rangkaian pada P7.2a dan P7.2b.
is ( t)
G = 2S 1F 4H
iL
1: 2
2Ω 4Ω i L2 + vc −
+
2 sin ωt 2F v c1 5A 5H 1Ω 1Ω 1Ω
−
P7.2a P7.2b
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 147

4. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
Solusi
Rangkaian pada P7.2a
• 
 v c1  = − 4   v c1  5 + 1 sin ωt 
3 1
+
8 2
a. •
   20 
1 1 
− 80  i L 2  0 

i L 2 
Rangkaian pada P7.2b
• 
 v c  = − 2
1 1
  v c  − 1 
2
 + − 3 i s ( t )
2
•   − 1 8
3 
− 8 i L   8 
i L 
ht
b. Persamaan diferensial orde dua, α dan ωo rangkaian pada P7.2a
2
tp
://
3  1 61 1 61
T = − + −  = − ; α = − T =
ru
4  80  80 2 160
m
ah
3  1  1 1 1
∆ = − −  −   = = ωo
2
4  80  20  8  320
-b
el
1  1  1 1
u a (t) =  5 + sin ωt  − (0) + ω cos ωt
aj
80  2  8 2
a r.o
1  1  3
u b (t) =  5 + sin ωt  + (0) + 0
rg
20  20  4
•• 61 • 1 1 1 1
v c1 + v c1 + v c1 = + sin ωt + ω cos ωt
80 320 16 160 2
•• 61 • 1 1 1
i L2 + i L2 + i L 2 = + sin ωt
80 320 4 40
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 148

5. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
Persamaan diferensial orde dua, α dan ωo rangkaian pada P7.2b
2
1  3 7 1 7
T = − + −  = − ; α = − T =
2  8 8 2 16
1  3   1  1  1 2
∆ = − . −  −  −   = = ωo
2  8   8  2  4
3 1  1 3  1•
u a (t) =  − i s (t)  +  − i s (t)  − i s (t)
8 2  2 8  2
ht
1 1  1 3  3•
u b (t) = −  − i s (t)  +  − i s (t)  − i s (t)
8 2  2 8  8
tp
://
•• 7• 1 3 1•
ru
vc + v c + v c = − i s (t) − i s (t)
8 4 8 2
m
•• 7• 1 1 3•
i L + i L + i L = − i s (t) − i s (t)
ah
8 4 8 8
-b
3. a. Tulis state equation untuk rangkaian yang ditunjukkan pada P7.3a dan
P7.3b. Asumsikan model op amp ideal dan op amp beroperasi pada daerah
el
linier.
aj
b. Untuk rangkaian tersebut, nyatakan vo sebagai fungsi state variable dan
masukan.
a r.o
2Ω
1Ω
rg
1F
1
F
2
+ vc −
iL
+ vc −
3H 1H iL
1
− −
∞ ∞
1Ω + +
+ +
vc
vs (t) vo vo
− −
v s ( t)
P7.3a P7.3b
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 149

6. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
Solusi
a. Untuk rangkaian pada P7.3a.
Pilih vc dan iL sebagai state variable (tentunya, Anda juga bisa memilih qc dan φL
sebagai state variable untuk kapasitor dan induktor linear time-invariant).
v s (t) v • vC
Dari KCL di titik1 : = iL + iC + C ⇔ v s (t) = i L + v C + ...(1)
1 2 2
• vC
Persamaan (1) dapat ditulis kembali menjadi v C = − − i L + v s (t) ...(2)
2
• • vC vC
Dari P7.3a juga tampak v C = v L = L i L ⇔ iL = = ...(3)
L 3
ht
tp
Persamaan (2) dan (3) dapat ditulis dalam bentuk matriks
://
 •  − 1 − 1  v C   v s ( t )
v C  =  1 2
ru
+
0  i L   0 
•
 iL   3
     
m
ah
Dengan cara yang sama, Anda akan mendapatkan state equation untuk rangkaian
P7.3b sebagai berikut
-b
 •  − 2 − 1  v   0 
v C  = 
el
C
•   i  + − v ( t )
 iL   1
 
0  L   s 
aj
a
b. Dari P7.3a juga tampak vo = -vc ..(4). Persamaan (4) dapat disusun dalam
r.o
bentuk matriks
rg
v 
v o = [− 1 0] C  + [0]
 iL 
Untuk rangkaian P7.3b
v 
v o = [− 1 0] C  + [0]
 iL 
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 150

7. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
4. Ulangi pertanyaan 3 untuk rangkaian pada P7.4a.
R
QR
C
R0 + v c2
+ v c1
R0
− R
∞ + −
+ ∞
vo +
ht
tp
://
R1 R2 R3
ru
m
ah
vs (t)
-b
el
P7.4a
aj
Solusi
a
a. Persamaan state equation
r.o
 1   1 
rg
1
 •  − −   v C1   R 1C 
 v C1  =  QRC
•
RC
  +  v (t)
v C2   1 1 Ro  s
  0  v C2   −
 RC
 
  R 3 C RR 2 C 
 
Persamaan untuk keluaran
v   R 
v o = [1 0] C1  + − o  v s ( t )
v C2   R 2 
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 151

8. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
5. Perhatikan rangkaian op amp yang ditunjukkan pada P7.5a. Asumsikan ketiga
op amp adalah ideal dan beroperasi pada daerah linier.
a. Tulis sebuah persamaan diferensial dalam variabel vo.
b. Misalkan R = 2 kΩ, Q = 10, dan C = 0,01 µF. Hitung tanggapan impuls
ds( t )
(impulse response). Petunjuk: Gunakan persamaan h ( t ) = .
dt
QR
R
C R
C
R
R
R
−
∞ −
+ ∞
vs +
+
ht
vo
tp
://
P7.5a
ru
Solusi
m
a. Rangkaian pada P7.5a digambar kembali seperti pada P7.5b.
ah
Untuk op amp di daerah linier, vd =0, sehingga e1 = e 3 = e 5 = 0
-b
vs • 0 − e2 0 − vo
el
KCL di titik 1: i1 = i 2 + i 3 + i o ⇔ = C(0 − e 2 ) + + ..(1)
R QR R
aj
e2 •
KCL di titik 3: i4 = i5 ⇔ = C( 0 − e 4 ) ...(2)
a
R
r.o
e4 0 − vo
KCL di titik 5: i6 = i7 ⇔ = ...(3)
R R
rg
io
QR
i3 R
i2
C R
i5 i7
C
R i1
R
i4
1 R
− i6
2 3 ∞ −
+ 4 5 ∞
vs +
+
vo
P7.5b
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 152

9. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
Turunan pertama persamaan (3) terhadap waktu menghasilkan
• •
e 4 = −v o ⇒ e4 = − vo ...(4)
•
Substitusi persamaan (4) ke (2) menghasilkan e 2 = − RC v o ...(5)
Substitusi persamaan (5) dan turunan pertamanya ke persamaan (1) menghasilkan
•• 1 • 1 1
vo + vo + 2 2 vo = − 2 2 vs
RCQ R C R C
b. Cari terlebih dahulu step response rangkaian, yakni zero-state response rangkaian
terhadap masukan fungsi step. Selanjutnya, ambil turunan pertama terhadap waktu
ht
dari step response untuk mendapatkan impulse response h(t).
tp
Untuk R = 1 kΩ, Q = 10, dan C = 0,01µF (dan vs = 1, yakni fungsi step) diperoleh
://
ru
•• 1 • 1 1
v o + .10 4 v o + .1010 v o = − .1010 ...(6)
2 4 4
m
ah
Solusi persamaan diferensial di atas terdiri dari solusi homogen/ umum dan solusi
khusus yang dapat dicari dengan cara berikut
-b
• Mencari solusi homogen/ umum voH (nolkan sisi kanan dari persamaan (6)),
el
Persamaan karakteristik (6) adalah
aj
a
 2 1 4 1 10  1 4 1 4
 s + .10 s + .10  v o = 0 ⇔ s1 , s 2 = − .10 ± j49937,46 ≈ − .10 ± j5.10
4
r.o
 2 4  4 4
1
− .10 4 t
( )
rg
Jadi persamaan solusi homogen adalah v oH ( t ) = ke 4
cos 5.10 4 t − θ
• Mencari solusi khusus voK
1
− .1010
v oK ( t ) = 4 = −1
1 4 1
s 2 + 10 s + .1010
2 4 s =0
Solusi total = solusi homogen + solusi khusus
1
v o ( t ) = v oH ( t ) + v oK ( t ) = ke
− .10 4 t
4
( )
cos 5.10 4 t − θ − 1 ...(7)
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 153

10. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
Nilai konstanta k dan θ dapat dicari dengan menggunakan persyaratan kondisi awal
•
rangkaian, yakni v o (0) dan v o (0) .
Ambil kondisi awal kapasitor adalah nol, yakni vc(0) = 0 (Mengapa kita harus
mengasumsikan nilai tegangan awal semua kapasitor adalah nol? Lihat kembali
definisi step response di atas atau definisi impulse response pada solusi pertanyaan
6 Bab 6).
Dari P7.5b tampak e3 = 0. Karena vc(0) = 0 maka e4(0) = e3(0) – vc(0) = 0 sehingga
dari persamaan (3) diperoleh vo(0) = -e4(0) = 0.
Dari P7.5b juga tampak e1 = 0. Karena vc(0) = 0 maka e2(0) = e1(0) – vc(0) = 0
•
sehingga dari persamaan (5) diperoleh v o (0) = 0 .
ht
Karena rangkaian berada dalam keadaan tanpa kondisi awal (zero state) , dapatkah
tp
•
Anda menyimpulkan secara langsung bahwa nilai v o (0) = 0 dan v o (0) = 0 tanpa
://
melakukan perhitungan seperti di atas?
ru
Substitusi kondisi awal ini ke persamaan (7) akan menghasilkan k = 1 dan θ = 2,86°
m
sehingga persamaan (7) menjadi
ah
1
v o (t ) = e
− .10 4 t
4
( )
cos 5.10 4 t − 2,86° − 1 ...(8)
-b
el
Karena persamaan (8) diperoleh dengan persyaratan tanpa kondisi awal, solusi yang
Anda peroleh adalah sebuah zero-state response. Dan karena masukannya adalah
aj
fungsi step maka persamaan (8) adalah step response untuk rangkaian P7.5a.
a
Impulse response dapat diperoleh dari turunan pertama step response tersebut
r.o
terhadap waktu, yakni
rg
1
h(t) =
ds( t ) dv o ( t )
dt
=
dt
− .10 4  1
( ) ( )
= e 4 − .10 4 cos 5.10 4 t − 2,86° − sin 5.10 4 t − 2,86° 
 4 
6. Rangkaian pada P7.6a terdiri dari elemen-elemen linier tak berubah waktu
(linear time-invariant). Tegangan vs merupakan masukan dan vc adalah
tanggapan.
a. Tulis sebuah persamaan orde dua dalam variabel vc.
b. Hitung tanggapan impuls (impulse response).
c. Hitung tanggapan lengkap/ total (complete response) untuk masukan
vs = 1(t) dan kondisi awal iL(0) = 2 A dan vc(0) = 1 V.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 154

11. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
2Ω
iL 1H 3Ω
1
F
4
vs
+ −
vc
P7.6a
Solusi
•• •
ht
a. Persamaan diferensial orde dua v c + 5 v c + 10 v c = 4v s ...(1)
b. Cari terlebih dahulu step response (yakni zero-state response untuk masukan
tp
berupa fungsi step)
://
Anda akan memperoleh hasil sebagai berikut
ru
v cH ( t ) = e −2,5 t (k 1 cos1,94t + k 2 sin 1,94t )
m
Solusi homogen
ah
Solusi khusus vcK(t) = 0,4
-b
Jadi v c ( t ) = v cH ( t ) + v cK ( t ) = e −2,5 t (k 1 cos1,94 t + k 2 sin 1,94 t ) + 0,4 ...(2)
el
•
aj
Dengan kondisi awal v c (0) = 0 dan v c (0) = 0 (mengapa?) Anda akan mendapatkan
a
v c ( t ) = 0,4 − e −2,5 t (0,4 cos1,94 t + 0,52 sin 1,94t )
r.o
rg
ds( t ) dv c ( t )
h(t) = = = 2,07e − 2,5 t sin 1,94 t
dt dt
c. Pendekatan pertama: Tanggapan lengkap merupakan penjumlahan tanggapan tanpa
kondisi awal (zero-state response vc,ZSR) dan tanggapan tanpa masukan (zero-input
response vc,ZIR).
Perhatikan bahwa solusi vc(t) yang Anda peroleh pada bagian (b) adalah zero-state
response (karena diperoleh dengan mengasumsikan bahwa kondisi awal rangkaian
adalah nol).
Jadi v c , ZSR ( t ) = 0,4 − e −2,5 t (0,4 cos1,94 t + 0,52 sin 1,94 t )
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 155

12. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
Jadi, tugas Anda sekarang adalah mencari tanggapan tanpa masukan vc,ZIR, yakni
tanggapan untuk vs = 0.
•• •
Bila vs = 0 maka persamaan (1) menjadi v c + 5 v c + 10 v c = 0 ...(3).
Solusi persamaan diferensial (3) adalah
v c , ZIR ( t ) = e −2,5 t (k 1 cos1,94 t + k 2 sin 1,94 t ) ...(4)
Apakah persamaan (3) memiliki solusi khusus? Kesimpulan apakah yang dapat
Anda tarik mengenai hubungan solusi homogen/ umum dan zero-input response?
Dengan menggunakan kondisi awal vc(0) = 1V dan iL(0) = 2A Anda akan
•
memperoleh nilai v c (0) = 6V . Substitusi nilai-nilai ini ke persamaan (4)
ht
menghasilkan
tp
v c , ZIR ( t ) = e −2,5 t (cos1,94 t + 4,38 sin 1,94 t )
://
ru
Jadi v c ,TOTAL ( t ) = v c ,ZIR ( t ) + v c , ZSR ( t ) = 0,4 + e −2,5 t (0,6 cos1,94 t + 3,86 sin 1,94 t )
m
Pendekatan kedua: Anda juga dapat menghitung tanggapan lengkap (complete
ah
response) secara langsung dengan menyelesaikan persamaan diferensial (1), yakni
(lihat persamaan (2)).
-b
v c ,TOTAL ( t ) = v cH ( t ) + v cK ( t ) = e −2,5 t (k 1 cos1,94 t + k 2 sin 1,94 t ) + 0,4
el
aj
•
Dengan subtitusi kondisi awal v c (0) = 1V dan v c (0) = 6V Anda akan memperoleh
a r.o
v c ,TOTAL ( t ) = 0,4 + e −2,5 t (0,6 cos1,94 t + 3,86 sin 1,94 t )
rg
Dari solusi pertanyaan ini, apakah Anda bisa membedakan definisi antara solusi
khusus dengan zero-state response? Apakah solusi homogen/ umum identik dengan
solusi tanpa input (zero-input response)?
7. Untuk rangkaian yang ditunjukkan pada P7.7a.
a. Tulis state equation rangkaian.
b. Tentukan nilai-nilai eigen (eigenvalues) dan vektor-vektor eigen
(eigenvectors).
c. Bila vc(0) = 2 V dan iL(0) = 1 A, tentukan tanggapan tanpa masukan (zero-
input response) untuk vc(t) dan iL(t).
d. Plot state trajectory pada bidang vc-iL.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 156

13. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
1Ω 1H iL 2 1Ω 1H iL 1
+ vL −
+ + ic
vs (t) vc 2F 1Ω v s (t ) vc 2F 1Ω
− −
0
P7.7a P7.7b
Solusi
a. Rangkaian pada P7.7a digambar kembali seperti pada P7.7b.
vc • • 1 1
Dari KCL di titik 1: i L = i c + ⇔ iL = 2 vc + vc ⇔ v c = − v c + i L ...(1)
ht
1 2 2
tp
KVL untuk loop 2-1-0-2:
://
• •
1.i L + v L + v c − v s = 0 ⇔ i L + 1. i L + v c − v s = 0 ⇔ i L = v s − v c − i L ...(2)
ru
m
Persamaan (1) dan (2) dapat ditulis dalam bentuk matriks
ah
• →→ →  •  − 1 1   v 
x = A x + u(t) ⇔ v c  =  2 2   C  +  0  ...(3)
-b
 i L   − 1 − 1  i L  u s 
•
 
 
el
→
aj
b. Dari definisi, bila A adalah sebuah matriks n x n, maka sebuah vektor tak-nol
→ → →→
a
(nonzero vector) η pada Rn disebut vektor eigen dari A jika A η adalah sebuah
r.o
→ →→ →
perkalian skalar dari η , yakni A η = λ η untuk beberapa nilai λ. Skalar λ disebut
rg
→ →
nilai eigen dari A , dan η disebut vektor eigen dari A untuk nilai λ.
→ →→ →
Untuk mencari nilai eigen dari matriks A n x n, tulis kembali A η = λ η sebagai
→→ →→
 → →→ →
A η = λ I η atau identik dengan  λ I − A  η = 0 ...(4)
 
→
di mana I adalah matriks identitas n x n.
Agar λ adalah sebuah nilai eigen, harus terdapat sebuah solusi tak-nol (nonzero
→
solution) dari persamaan (4). Karena η adalah sebuah vektor tak-nol, maka
 → → →
persamaan (4) memiliki solusi tak-nol jika dan hanya jika det λ I − A  = 0 .
 
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 157

14. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
 → → →
Dari definisi di atas, nilai eigen λ diperoleh dari persamaan det λ I − A  = 0
 
 
 1 1 
  − 2 2  λ 0    1  1 3 7
det   −  0 λ   =  − − λ (− 1 − λ ) + ⇔ λ 1, 2 = − ± j
 − 1 − 1    2  2 4 4


→
B


η  →→ →
Dari definisi, vektor eigen η =  k1  , k = 1,2 diperoleh dari persamaan B η = 0
η k 2 
(lihat persamaan (4)) atau
− 1 − λ 1
  η k1  0 
ht
2
 −1
2
= ...(5)
 − 1 − λ   η k 2  0 
   
tp
://
3 7
ru
Untuk λ1 = − + j , maka persamaan (5) menjadi
4 4
m
1 7  1
 − 
 4 4 jη11 + 2 η12 = 0 ...(6)
ah
 1 − 47 j 1  η11  0  
  =   ⇔
4 2


 −1 − 1 − 47 j η12  0
  1 7 
-b
4
− η11 +  − − 
 4 4 jη12 = 0 ...(7)
 
el
aj
Perhatikan, persamaan (6) dan (7) adalah bergantung linier sehingga kita akan
mendapatkan solusi non-trivial (tak terhingga banyaknya solusi). Misalkan
a
η11 = 1 + j (Anda bebas memilih nilai η1 yang lain) maka diperoleh
r.o
rg
 1 7  7 1
η12 =  − − 
 2 2 + j 
 2 − 2
   
η   1+ j   1   1 
(
η1 =  11  =  1
η12   − 2 − 2 + j
7
) ( 2
7
)
2 
=
− 1  − 1 −
 2
7
2 
 + j 7 − 1 
 2 2
ηr ηi
→ →*
Untuk nilai eigen yang bernilai kompleks, berlaku η 2 = η1 sehingga untuk
3 7
λ2 = − − j diperoleh vektor eigen
4 4
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 158

15. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
 η   η*   1− j   1   1 
η 2 =  21  =  11  =  1
*
(
η 22  η12   − 2 − 2 − j
7
) ( 2
7 =1
2 2)
−  − 1 − 2
7  − j 7 − 1 
  2 2
ηr ηi
c. Solusi zero-input response untuk state equation (3) adalah (perhatikan bahwa untuk
→
zero-input response, vektor masukan u ( t ) =0 )
 1   1 
 v c ( t ) 3
− t  7   3
− t  7  
i ( t )  = 2 k 1 e cos t + ∠k 1    − 2 k 1 e sin  t + ∠k 1   ...(8)
4 4
  −1− 7  4  7 − 1
L   4     
 2   2 
Konstanta |k1| dan ∠k 1 dapat ditentukan dari kondisi awal vc(0) = 2V dan
ht
iL(0) = 1A. Persamaan (7) dapat diuraikan dalam bentuk
tp
://
3
− t  7  3
− t  7 
v c (t) = 2 k 1 e 4 
cos  − 2 k 1 e 4 sin 
t + ∠k 1  t + ∠k 1 
 4 
 4
ru
  
m
v c (0) = 2 = 2 k 1 cos(∠k 1 ) − 2 k 1 sin(∠k 1 ) ...(9)
ah
 −1 − 7  −4t
3
 7   7 −1 −3t  7 

i L (t) = 2 k 1  e cos  − 2 k1 
t + ∠k 1  e 4 sin  t + ∠k 1 
-b
   2   4 
 2   4     
el
 −1− 7   7 −1
aj
 cos(∠k 1 ) − 2 k 1 
i L (0) = 1 = 2 k 1   2  sin (∠k 1 )
 ...(10)
 2 
a
   
r.o
Dari persamaan (9) dan (10) diperoleh:
rg
sin ∠k 1 2 + 7 2+ 7 
= ⇔ ∠k 1 = tan −1  
 2 − 7  = −82,0877° ≈ −82,1°
cos ∠k 1 2 − 7  
Substitusi nilai ∠k 1 ke persamaan (9) menghasilkan
1 1 22 11
k1 = = = =
cos ∠k 1 − sin ∠k 1 2− 7 2+ 7 28 14
−
22 22
Substitusi nilai konstanta |k1| dan ∠k 1 ke persamaan (8), Anda memperoleh
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 159

16. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
 1   1 
 v c ( t ) 3
44 − 4 t  7   44 − 4 t  7
3
 
i ( t )  = e cos   
 4 t − 82,1°   − 1 − 7  − 14 e sin  4 t − 82,1°   7 − 1
L  14      
 2   2 
d. Gambar state trajectory vc(t) dan iL(t) pada bidang vc-iL tampak pada P7.7c.
iL iL
1.5 1.5
1 1 t→∞ t =0
0.5 0.5
0 t 0 vc
ht
-0.5 -0.5
tp
-1 -1
://
0 5 10 -1 0 1 2
vc
ru
2 Anda dapat memplot terlebih dahulu
m
1.5 iL(t) dan vc(t), dan kemudian plot
ah
1 vc-iL. Perhatikan bahwa pada plot
-b
0.5 trayektori vc-iL seolah-olah variabel t
menjadi “hilang”. Trayektori ini
el
0 t
merupakan jenis stable focus. Grafik
aj
-0.5
0 5 10 ini diplot menggunakan program
a r.o
P7.7a MATLAB versi 6.0.
rg
8. Perhatikan rangkaian pada P7.8a. Data yang tersedia dari hasil pengukuran
pada rangkaian hanyalah turunan waktu dari state vector pada dua keadaan
(state), yakni
• − 15  2 • 3 − 1 i 
x=  pada x =   dan x =   pada x =  , di mana x =  L 
 10  1   − 5 1 v c 
a. Tentukan nilai dari elemen R, L, dan C.
 3
b. Hitung turunan dari state vector pada x =  
0 
 3
c. Hitung kemiringan dvc/diL dari state trajectory pada x =  
0 
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 160

17. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
vc −
L R +
iL
C
P7.8a
Solusi
1 1
a. C = F, R = 2Ω, L = H
5 3
ht
tp
• − 18
b. x =  
 15 
://
ru
dv c 5
c. =−
m
di L 6
ah
9. Perhatikan rangkaian LC yang ditunjukkan pada P7.9a. Sebelum t = 0 saklar
berada dalam posisi terbuka, dan tegangan pada kapasitor adalah vc1 = 1V dan
-b
vc2 = 4V. Saklar ditutup pada saat t = 0 dan berada dalam kondisi tersebut
selama selang waktu 2π detik. Saklar dibuka pada saat t = 2π detik dan
el
selanjutnya terus terbuka. Berapakah nilai vc1 dan vc2 untuk t > 2π detik?
aj
Sketsa state-trajectory pada bidang iL-vc (vc = vc1 + vc2). Bagaimana dengan
energi yang tersimpan pada rangkaian sebelum waktu t = 0 dan setelah waktu
a
t = 2π detik?
r.o
rg
iL 2H 1
iL
− +
− +
v c1 v c2 vc 2H vL
4F 4F
+ C eq = 2F
+ − −
ic
P7.9a P7.9b
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 161

18. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
Solusi
Status saklar S1 dirangkum pada tabel berikut
Waktu (detik) Posisi saklar S1 Kondisi kapasitor
(-∞,0-] Terbuka vc1(0-) = 1V, vc2(0-) = 4V
[0+,2π-] Tertutup
[2π+,∞) Terbuka ?
• Nilai v c1 dan v c 2 untuk t > 2π detik
Pendekatan pertama: Pendekatan pertama ini akan menggunakan differential
equation. Pada pendekatan kedua, kita akan menggunakan bentuk state equation.
Untuk mencari nilai v c1 ( t ) dan v c 2 ( t ) untuk t > 2π detik diperlukan informasi
ht
v c1 ( t ) dan v c 2 ( t ) untuk t = 2π (syarat kontinuitas tegangan kapasitor).
tp
://
Untuk 0 + < t < 2π − . Dari P7.9a diperoleh
ru
•
v c1 + v L + v c 2 = 0 ⇔ v c1 + 2 i L + v c 2 = 0 ...(1)
m
ah
t
1
Substitusi persamaan kapasitor v c ( t ) = v c ( t 0 ) + ∫ i(ξ )dξ ke persamaan (1)
C t0
-b
t t
1 1 •
menghasilkan v c1 (0) + ∫ i L (ξ )dξ + v c 2 (0) + ∫ i L (ξ )dξ + 2 i L = 0 ...(2)
el
40 40 vL
aj
v c1 vc 2
a
d  
t
r.o
Dengan menggunakan teorema  ∫ f (ξ )dξ = f ( t ) , turunan persamaan (2)
dt  a 
rg
iL iL •• •• 1
terhadap waktu menghasilkan + + 2 i L = 0 ⇔ i L + iL = 0 ...(3)
4 4 4
Persamaan karakteristik untuk persamaan diferensial pada (3) adalah
1 1
(s 2 + )i L = 0 ⇔ akar − akar karakteristik s1, 2 = ± j
4 2
Solusi persamaan diferensial pada persamaan (3) dapat ditulis dalam bentuk
1
i L ( t ) = k cos( t − θ) ...(4)
2
(Anda juga dapat memisalkan solusi persamaan (3) dalam bentuk
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 162

19. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
t t
i L ( t ) = k 1 cos  + k 2 sin   atau bahkan dalam bentuk persamaan eksponensial
2 2
1 1
jt − jt
i L ( t ) = k 3 e + k 4 e . Cari nilai k1, k2, k3, dan k4 untuk dua persamaan tersebut,
2 2
dan buktikan bahwa hasilnya akan sama seperti persamaan (5) berikut).
•
Konstanta k dan θ ditentukan oleh kondisi awal i L (0) dan i L (0)
Sifat kontinuitas arus pada induktor mensyaratkan i L (0) = i L (0 + ) = i L (0 − ) .
Untuk t < 0, saklar S1 terbuka sehingga i L (0 − ) = 0 , jadi i L (0) = 0 .
Hukum KVL pada P7.9a untuk t > 0 menghasilkan v c1 (0 + ) + v L (0 + ) + v c 2 (0 + ) = 0
ht
atau v L (0 + ) = − v c1 (0 + ) − v c 2 (0 + ) = −1 − 4 = −5 V sehingga
tp
://
• v L (0 + ) 5
i L (0 + ) = = − A / det ik
ru
L 2
m
Dari persamaan (4) diperoleh
ah

i L (0) = 0 = k cos(− θ), k ≠ 0
-b

• 1 1  
i L ( t ) = − k sin  t − θ   diperoleh θ = 90° dan k = −5
el
2 2  
aj
• 5 1 
i L (0) = − = − k sin (− θ) 
a
2 2 
r.o
1  1
i L ( t ) = −5 cos t − 90°  = −5 sin t untuk 0 < t < 2π ...(5)
rg
2  2
Sifat kontinuitas tegangan kapasitor mensyaratkan v c (2π − ) = v c (2π + )
2 π− 2 π−
ξ
( ) = v (2π )
v c1 2π +
c1
− +
= v c1 (0 ) +
1
4 ∫ i L (ξ )dξ = 1 +
1
4

∫  − 5 sin 2 dξ = −4V ...(6)
0+ 0+  
2π− 2π−
ξ
( ) = v (2π )
v c 2 2π +
c2
− +
= v c 2 (0 ) +
1
4 ∫ i L (ξ )dξ = 4 +
1
4

∫  − 5 sin 2 dξ = −1V ...(7)
0+ 0+  
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 163

20. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
Untuk t > 2π detik, saklar S1 terbuka sehingga
v c1 ( t ) = v c1 (2π + ) = −4V dan v c 2 ( t ) = v c 2 (2π + ) = −1V untuk t > 2π detik
Pendekatan kedua: Pada pendekatan ini, kita akan menggunakan bentuk state
equation untuk menyelesaikan pertanyaan ini.
Karena kita menginginkan vc = vc1 + vc2 sebagai salah satu state variable, serikan
kedua kapasitor untuk mendapatkan kapasitor pengganti Ceq = 2F. Rangkaian pada
P7.9a digambar kembali seperti pada P7.9b. Dari P7.9b tampak
• • iL
KCL di titik 1: iL = ic ⇔ i L = C eq v c ⇔ vc = ...(8)
2
• • vc
ht
Hukum KVL: v c = −v L ⇔ v c = −L i L ⇔ iL = − ...(9)
2
tp
Persamaan (8) dan (9) dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut
://
ru
•   0 1
 v c 
v c  =  1 2
0  i L 
•
m
 i L  − 2
   
ah
A
1
Matriks A memiliki dua buah nilai eigen, yakni λ 1, 2 = ± j (buktikan). Apakah
-b
2
Anda melihat hubungan antara nilai eigen dan akar karakteristik persamaan (3)?
el
1 1 1 0 
aj
Untuk nilai eigen λ 1 = j kita akan memperoleh vektor eigen η1 =   =   + j 
2  j 0 1
a
ηr ηi
r.o
(buktikan).
rg
Untuk bentuk state equation, solusi vc dan iL dapat ditulis dalam bentuk
v c  1  1   1  0 
 i  = 2 k 1 cos 2 t + ∠k 1  0 − 2 k 1  sin 2 t + ∠k 1  1 ...(10)
 L      
ηr ηi
Persamaan (10) dapat diuraikan menjadi
1 
v c ( t ) = 2 k 1 cos t + ∠k 1  ...(11)
2 
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 164

21. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
1 
i L ( t ) = −2 k 1 sin  t + ∠k 1  ...(12)
2 
Substitusi kondisi awal vc(0) = 5V dan iL(0) = 0A ke persamaan (11) dan (12)
menghasilkan
v c (0) = 5 = 2 k 1 cos(∠k 1 ) ...(13)
i L (0) = 0 = −2 k 1 sin (∠k 1 ) ...(14)
Dari persamaan (14) diperoleh ∠k1 = 0° atau ∠k1 = 360° (mengapa kita tidak
memilih sudut ∠k1 = 180°?). Substitusi nilai ∠k1 = 0° ke persamaan (13)
5
menghasilkan k 1 = . Substitusi nilai-nilai kontanta ini ke persamaan (13) dan
ht
2
tp
(14) menghasilkan
://
1 
v c ( t ) = 5 cos t  ...(15)
ru
2 
1 
m
i L ( t ) = −5 sin  t  ...(16)
2 
ah
Untuk mencari vc1(2π) dan vc2(2π), gunakan persamaan (6) dan (7).
-b
• Gambar trayektori pada bidang vc-iL, dengan v c = v c1 + v c 2
el
•
Dari persamaan (1) diperoleh v c1 + v c 2 = −2 i L .
aj
• 5 1 
a
Turunan terhadap waktu dari persamaan (5) menghasilkan i L = − cos t 
r.o
2 2 
•
1 
sehingga v c = −2 i L = 5 cos t  ...(17)
rg
2 
Persamaan (5) dan (17) (atau persamaan (15 dan (16)) dapat ditulis dalam bentuk
1  1   1   1 
v c + i 2 = 25 cos 2  t  + 25 sin 2  t  = 25cos 2  t  + sin 2  t  = 25
2
L ...(18)
2  2   2   2 
Perhatikan bahwa persamaan (18) adalah persamaan lingkaran dengan jari-jari 5.
State-trajectory tampak pada P7.9c. Mengapa state trajectory tersebut hanya berupa
setengah lingkaran?
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 165

22. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
iL iL
t=2π
t=0
2 2
t vc
0 0
-2 -2
-4 -4
-6
vc 2 4 6 8 -5 0 5
ht
6 Bila arah arus iL dibalik (berbalik
4 arah pada P7.9b) dan polaritas
tp
2 tegangan kapasitor dijaga tetap
://
sama, bagaimana pengaruhnya
0 t
pada arah pergerakan state
ru
-2 trajectory?. Bagaimana bila
m
-4 polaritas tegangan induktor
dibalik (arah arus tetap seperti
-6
ah
0 2 4 6 8 pada P7.9b) dan polaritas
tegangan kapasitor tetap? Apakah
-b
P7.9c arah pergerakan state trajectory
berubah?
el
aj
• Energi yang tersimpan pada rangkaian sebelum t = 0 (t = 0-).
a r.o
1 1 1
E s (0 − ) = ε c1 (0 − ) + ε c 2 (0 − ) + ε L (0 − ) =C1 v c1 (0 − ) + C 2 v c 2 (0 − ) + L1i 2 (0 − )
2 2
L
2 2 2
rg
1 1 1
= .4.12 + .4.4 2 + .2.0 = 34J
2 2 2
Energi yang tersimpan pada rangkaian setelah t = 2π (t = 2π+)
1 1 1
E s (2π + ) = ε c1 (2π + ) + ε c 2 (2π + ) + ε L (2π + ) = C1 v c1 (2π + ) + C 2 v c 2 (2π + ) + L1i 2 (2π + )
2 2
L
2 2 2
1 1 1
= .4.(− 4) + .4.(− 1) + .2.0 = 34J
2 2
2 2 2
Tampak bahwa energi sistem adalah kekal. Perhatikan pula bahwa kapasitor C1 dan
C2 “bertukar” jumlah energi mereka sebelum t = 0 dan setelah t = 2π detik.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 166

23. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
•
10. Sketsa kumpulan trayektori (trajectory family) untuk state equation x = Ax
untuk matriks-matriks A berikut. Nyatakan kedua nilai eigen bila mereka
bernilai nyata, bila tidak nyatakan ηr dan ηi. Identifikasi perilaku kualitatif
untuk tiap kasus.
 1 − 2 2 1 − 1 1 
a. A =   b. A =   c. A =  
− 2 1 
  1 2 
  − 1 − 1
 
Solusi
 1 − 2
a. Cari terlebih dahulu nilai-nilai eigen matriks A =   , Anda akan
− 2 1 
 
mendapatkan nilai λ1 = -1 dan λ2 = 3 (buktikan).
ht
1
tp
Untuk nilai eigen λ1 = -1 diperoleh vektor eigen η1 =   (buktikan)
1

://
1
Untuk nilai eigen λ2 = 3 diperoleh vektor eigen η 2 =   (buktikan)
ru
− 1
 
m
Perilaku trayektori dapat ditulis dalam bentuk persamaan
ah
−t
1 + k e 3t  1  ⇔ x 1 ( t ) = k 1e + k 2 e
3t
...(1)
-b
−t
x ( t ) = k 1e
1

2
− 1
  x 2 ( t ) = k 1e − t − k 2 e 3t ...(2)
el
Beberapa langkah khusus untuk menggambar trayektori
aj
• Ambil nilai k2 = 0 maka dari persamaan (1) dan (2) diperoleh x1 = x2
a
• Ambil nilai k1 = 0 maka dari persamaan (1) dan (2) diperoleh x1 = -x2
r.o
• Saat t → ∞, suku k1e-t → 0 dan k2e3t → ∞ sehingga suku k2e3t akan
1
rg
mendominasi ( x ( t ) ≈ k 2 e 3t   ). Jadi untuk t → ∞ seluruh trayektori menuju
− 1
 
tak berhingga dan sejajar dengan dengan vektor eigen η 2
• Saat t → -∞, suku k2e3t → 0 dan k1e-t → ∞ sehingga suku k1e-t akan
1
mendominasi ( x ( t ) ≈ k 1e − t   ). Jadi untuk t → -∞ seluruh trayektori menuju
1

tak berhingga dan sejajar dengan dengan vektor eigen η1
Trayektori matriks A tampak pada P9.10a untuk kombinasi nilai k1 = [-2,-1,0,1,2]
dan k2 = [-2,-1,0,1,2] untuk waktu dari -3 detik hingga 1 detik. Kumpulan
trayektori-trayektori disebut phase portrait.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 167

24. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
Grafik ini digambar menggunakan program MATLAB versi 6.0.
x2
15
10
η1
5
0 x1
-5
ht
-10
η2
tp
-15
-15 -10 -5 0 5 10 15
://
ru
P9.10a
m
2 1 
b. Cari terlebih dahulu nilai-nilai eigen matriks A =   , Anda akan mendapatkan
ah
1 2 
 
nilai λ1 = 1 dan λ2 = 3 (buktikan).
-b
1
Untuk nilai eigen λ1 = 1 diperoleh vektor eigen η1 =   (buktikan)
el
− 1
 
aj
1
Untuk nilai eigen λ2 = 3 diperoleh vektor eigen η 2 =   (buktikan)
a
1

r.o
Perilaku trayektori dapat ditulis dalam bentuk persamaan
rg
x 1 ( t ) = k 1e t + k 2 e 3 t ...(3)
x ( t ) = k 1e t  1  + k 2 e 3 t 1 ⇔
− 1
  1
 x 2 ( t ) = − k 1e t + k 2 e 3t ...(4)
Beberapa langkah khusus untuk menggambar trayektori
• Ambil nilai k2 = 0 maka dari persamaan (3) dan (4) diperoleh x1 = -x2
• Ambil nilai k1 = 0 maka dari persamaan (3) dan (4) diperoleh x1 = x2
• Saat t → ∞, suku k1et → ∞ maupun k2e3t → ∞ namun suku k2e3t akan lebih
mendominasi (misalnya, ambil t = 50, Anda akan mendapatkan
1
et = e50 = 5,18.1021 dan e3t = e150 = 1,39.1065!, jadi x ( t ) ≈ k 2 e 3t   ) . Jadi untuk
1

Diktat Pendukung Teori Rangkaian 168

25. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
t → ∞ seluruh trayektori menuju tak berhingga dan sejajar dengan dengan
vektor eigen η 2
• Saat t → -∞, suku k1et → 0 maupun k2e3t → 0 namun suku k1et akan lebih
mendominasi (misalnya, ambil t = -50, Anda akan mendapatkan
1
et = e-50 = 1,93.10-22 dan e3t = 7,18.10-66!, jadi x ( t ) ≈ k 1e t   ). Jadi untuk
− 1
 
t → -∞ seluruh trayektori akan menuju nol dan menyinggung vektor eigen η1 .
Trayektori matriks A tampak pada P9.10b untuk kombinasi nilai k1 = [-2,-1,0,1,2]
dan k2 = [-2,-1,0,1,2] untuk waktu dari –5 hingga 2 detik.
ht
x2
tp
15
://
10
ru
m
5
η2
ah
0 x1
-b
-5
el
-10 η1
aj
a
-15
-15 -10 -5 0 5 10 15
r.o
P7.10b
rg
− 1 1 
c. Cari terlebih dahulu nilai-nilai eigen matriks A =   , Anda akan
− 1 − 1
 
mendapatkan nilai eigen λ1,2 = -1 ± j (buktikan).
1 1 0
Untuk nilai eigen λ1 = -1 + j diperoleh vektor eigen η1 =   =   + j  (buktikan)
 j 0 1
    
ηr ηi
1
Untuk nilai eigen λ2 = -1 - j diperoleh vektor eigen η 2 = η1 =   (buktikan)
*
− j
 
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 169

26. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
Perilaku trayektori dapat ditulis dalam bentuk persamaan
 

 1 0  

x ( t ) = e − t 2 k x cos(t + ∠k x )  − 2 k x sin (t + ∠k x )   ...(5)
 0 
  1  
 

 ηr ηi 
Di sini kita akan menunjukkan bahwa bentuk persamaan (5) dapat diturunkan dari
persamaan eksponensial seperti pada persamaan (1),(2), (3), dan (4). Perilaku
trayektori dapat ditulis juga dalam bentuk persamaan
x 1 ( t ) = k 1e (−1+ j)t + k 2 e (−1+ j)t ...(6)
x ( t ) = k 1e (−1+ j)t 1 + k 2 e (−1− j)t  1  ⇔
 j
 − j
  x 2 ( t ) = jk 1e (−1+ j)t − jk 2 e (−1− j)t ...(7)
ht
Berbeda dengan kasus pertama dan kedua yang hanya berisi bilangan nyata, pada
tp
kasus ketiga ini Anda menemukan bilangan kompleks (bilangan kompleks
://
mengindikasikan adanya gejala osilasi). Bagaimana Anda menggambarkan
trayektorinya?
ru
m
Berdasarkan hukum Euler e jθ = cos θ + j sin θ maka persamaan trayektori pada
persamaan (6) dan (7) dapat diuraikan menjadi
ah
 
-b
 (−1+ j)t
1  e − t (cos t + j sin t )   e − t cos t 
  e − t sin t  

k 1  e = k1   = k 1  + j 
el
 j
  je (cos t + j sin t )

−t
 − e − t sin t 
 e cos t  

−t

aj
 
 Br Bi 
a r.o
 
1  e (cos t − j sin t ) 
−t  e − t cos t   e − t sin t  
 
k 2   e (−1− j)t = k2   = k 2   − j 
rg
− j
  − je (cos t − j sin t )
 − e − t sin t  e − t cos t  
−t
    
 
 Br Bi 
Dari pelajaran aljabar linier kita mengetahui bahwa Br dan Bi adalah basis pada Rn.
sehingga persamaan trayektori dapat ditulis kembali menjadi
 e − t cos t   e − t sin t  x 1 ( t ) = e − t (k 3 cos t + k 4 sin t ) ...(8)
x = k3   + k4   ⇔
− e − t sin t 
  e − t cos t 
  x 2 ( t ) = e − t (k 4 cos t − k 3 sin t ) ...(9)
Dengan menggunakan koordinat polar r 2 = x 1 + x 2 dan tan θ = x 2 / x 1 maka
2
2
persamaan (8) dan (9) dapat disusun kembali menjadi
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 170

27. Bab 7 Rangkaian Orde Dua
(
r 2 = e −2 t k 3 + k 2
2
4 ) ⇔ r = coeθ di mana c o = k 3 + k 2 dan θ = − t
2
4 ...(10)
Persamaan (10) merupakan persamaan sebuah lingkaran dengan jari-jari r = coe-t.
Karena t bergerak dari 0 menuju ∞, maka jari-jari lingkaran akan berubah dari co
menuju nol.
Dapatkah Anda menemukan hubungan antara variabel-variabel k3, k4, |kx|, dan ∠kx
pada persamaan (5) dan (10) ? (Petunjuk: susun kembali persamaan (5) menjadi
2
x 1 ( t ) + x 2 ( t ) = e −2 t 4 k x ).
2
2
Trayektori matriks A tampak pada P9.10c untuk kombinasi nilai k1 = [-2,-1,0,1,2]
dan k2 = [-2,-1,0,1,2] untuk waktu dari -5 detik hingga 2 detik..
x2
ht
tp
15
://
10
ru
5
m
ηi
0
x1
ah
-5
ηr
-b
-10
el
-15
aj
-15 -10 -5 0 5 10 15
a
P7.10c
r.o
Persamaan x ( t ) jarang sekali dapat ditulis dalam bentuk yang kompak seperti pada
rg
kasus ini. Karena itu, pada proses penggambaran state trajectory ini, Anda tidak
diharapkan untuk mampu menggambar secara rinci bentuk dari state trajectory.
Namun demikian, Anda harus tetap mampu untuk menggambarkan bentuk umum
yang “cukup representatif” dari perilaku kualitatif rangkaian. Umumnya, state
trajectory digambar menggunakan bantuan komputer. Untuk rangkaian pada kuliah
ini, hanya ada enam bentuk umum state trajectory (lihat juga tiga bentuk lainnya
pada solusi pertanyaan 11 berikut).
11. Ulangi pertanyaan 10 untuk dua matriks A berikut
 0 1  1 1 − 2 1 
a. A =   b. A =   c. A =  
 − 1 0
  − 1 1
   1 − 2
 
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 171