1. MAGIC GRAPH
Materi mata kuliah Teori Graph
Dosen pengampu : Erika Laras Astutinigntyas,M.Pd.
Disusun Oleh :
Nama : Diyah Sri Hariyanti
NIM
: 1051500083
Kelas
: 5C
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO
2012

2. MAGIC GRAPH
A. Definisi dan Notasi
Semua graph diganggap tidak mempunyai isolated vertex, edge paralel, dan
loops. Kata “cycle” dan “patch” dapat diartikian sebagai simple cycle dan simple
path pada sebuah graph. Untuk setiap graph, kita dapat memberikan nomor yang
kita sebuah bobot dari edge tersebut. Graph tersebut dapat disebut Semi Graph
jika dapat memilih bobot dari edge dan nomor s untuk vertex lainnya jumlah dari
bobot dari edge tersebut sama dengan s. Sebuah Graph disebut ajaib jika dapat
diberi bobot yang berbeda. Meninjau bahwa vertex berderajat 1 di semi magic
graph memerlukan ujung titik dari isolated edge. Magic graph dapat berisi lebih
banyak dari 1 isolated edge. Subgraph F dapat menyumbangkan berupa skeleton
pada graph G, jika semua vertex dari G dan tidak ada isolated vertex di F. 1-2skeleton adalah kerangka dari semua vertex yang mempunyai derajat 1 atau 2 dan
untuk komponen derajat lain dari vertex itu adalah sama.
Dengan kata lain 1-2-skeleton hanya terdiri dari isolated edge dan simple
cycle, untuk 1-2-skeleton kita dapat membagi semua edge dari grpah menjadi 3
group: edge yang termasuk cycle dari F (kita beri simbol F c); edge yang termasuk
part linear dari F , kita beri simbol Fℓ (contoh: isolated edge di F); dan edge yang
tidak termasuk di F. Kita dapat mengatakan bahwa 1-2-skeleton memisahkan edge
e1 dan e2, jika kedua edge termasuk dari 2 group yang berbeda. Dengan kata lain
setidaknya mereka merupakan bagian dari F tapi lebih banyak merupakan Fc dan
merupakan Fℓ. Kita akan menggunakan notasi: C n untuk cycle dengan edge (n>3);

3. Pn untuk path dengan n edge; Kn adalah copmlete graph dengan n vertex; Km,n
untuk complete bipartite graph dengan m dan n vertex.
path P5
cycle C5
complete graph K5
Complete bipartite
graph K2,3
A direct product F × G of two graphs is the following graph. Vertex berpasangan
(v,w) dimana v adalah vertex dari F, w vertex dari G. Vertex (v1,w1) dan (v2,w2)
terhubung dengan sebuah edge, jika v1=v2 dan G berisi edge w1 w2, atau w1=w2
dan F berisi edge v1v2 . Graph G x P1 disebut graph rangkap G. Dumbell adalag
graph yang berisi dari dua cycle ganjil yang mana terbagi persis 1 vertex biasa.,
atau dua cycle ganjil terhubung dengan path dengan panjang berubah-ubah.
Graph C5 X P2
Graph dan double graph

4. Dum-bell
Kita
akan
mempertimbangkan
sebuah
graf
G  V G , E G 
mengorientasikan adanya loops, berbagai edges atau isolated vertices. Jika ada
suatu pemetaan f dari satuan edges E G  kedalam bilangan real positif.:
i.
ii.
f ei   f e j  untuk semua ei  e j ; ei ,e j  E G 
 v, e f e  r untuk semua v V G 
eE G 
1
Dimana  v,e   
0
Kemudian graph G disebut magic (ajaib). Pemetaan f disebut pemberian
label terhadap G dan nilai r adalah indeks dari label f. Kita katakana bahwa
sebuah graph G adalah semimagic jika ada pemetaan f terhadap bilangan real
positif yang hanya memenuhi kondisi (ii). Jika semimagic graph G mempunyi
sebuah label dengan indeks r ,kita akan mengatakan bahwa G mempunyai indeks
r.
B. MAGIC LABELING
Beberapa pelabelan pada graph sebenarnya digeneralisasi dari ide persegi
ajaib (magic square). Suatu graph terhubung disebut semi-magic jika terdapat
pelabelan pada sisi-sisinya dengan bilangan bulat sehingga untuk masing-masing

5. titik v, maka jumlah label sisi yang incident dengan v adalah sama untuk semua
titik v. Pelabelan semi-magic yang memetakan sisi ke himpunan bilangan bulat
positif yang berbeda disebut pelabelan magic. Pelabelan magic disebut super
magic jika label sisi adalah bilangan bulat positif yang berurutan.
Graph berlabel ajaib adalah graph yang memiliki weight (W) atau berat yang
sama.
Contoh:
5
2
3
1
4
W1 = 1 + 5 + 3 = 9
W2 = 3 + 2 + 4 = 9
Bobot W1 dan W2 adalah sama, yaitu sama-sama 9. Maka graph ini disebut graph
ajaib (Magic Graph).
Berikut ini beberapa jenis pelabelan ajaib pada suatu graf :
1. Misalkan G graf dengan himpunan titik V dan himpunan sisi E. Banyak
titik di G adalah p dan banyak sisi di G adalah q. Pelabelan titik sisi ajaib
(edge-magic vertex labeling) pada graf G adalah pemetaan bijektif λ dari
V pada himpunan {1, 2, 3, …, p} sehingga untuk sebarang sisi (x y) di G
berlaku
𝜆 𝑥 + 𝜆 𝑦 = 𝑘
untuk suatu konstanta k. Selanjutnya k disebut konstanta ajaib pada G dan
G disebut graf titik sisi ajaib.

6. Contoh:
1
2
Gambar 1 Pelabelan Titik Sisi Ajaib Graf P2
Pelabelan titik sisi ajaib graf P2 pada gambar 1 mempunyai k=3.
2.
Misalkan G graf dengan himpunan titik V dan himpunan sisi E. Banyak
titik di G adalah p, banyak sisi di G adalah q dan h merupakan banyak titik
dan sisi pada graf G atau h = p+q. Pelabelan total titik ajaib (vertex-magic
total labeling) pada graf G adalah pemetaan bijektif dari V∪E pada
himpunan {1, 2, 3, …, h} sehingga untuk sebarang titik x di G berlaku
𝜆 𝑥 + Ʃ𝜆 𝑥𝑦 = 𝑘
dengan y merupakan titik yang berdekatan dengan titik x. Selanjutnya k
disebut konstanta ajaib pada G dan G disebut graf total titik ajaib.
13
Contoh :
3
14
10
20
2
1
16
18
9
12
17
19
5
4
8
6
15
21
11
7
Gambar 2. Pelabelan Total Titik Ajaib Graf K6
Pelabelan total titik ajaib graf K6 pada gambar 2 mempunyai k=66.

7. 3.
Misalkan G graf dengan himpunan titik V dan himpunan sisi E. Banyak
titik di G adalah p dan banyak sisi di G adalah q. Pelabelan sisi titik ajaib
(vertex-magic edge labeling) pada graf G adalah pemetaan bijektif λ dari
E pada himpunan {1, 2, 3, …, q} sehingga untuk sebarang titik x di G
berlaku
Ʃ𝜆 𝑥𝑦 = 𝑘
dengan y merupakan titik yang berdekatan dengan titik x. Selanjutnya k
disebut konstanta ajaib pada G dan G disebut graf sisi titik ajaib.
Contoh:
1
Gambar 3. Pelabelan Sisi Titik Ajaib Graf P2
Pelabelan sisi titik ajaib Graf P2 pada gambar 3 mempunyai k=1.
4.
Misalkan G graf dengan himpunan titik V dan himpunan sisi E. Banyak
titik di G adalah p, banyak sisi di G adalah q dan h merupakan banyak titik
dan sisi pada graf G atau h = p+q. Pelabelan total sisi ajaib (edge-magic
total labeling) pada graf G adalah pemetaan bijektif λ dari V ∪ E pada
himpunan {1, 2, 3, …, h} sehingga untuk sebarang sisi (xy) di G berlaku
𝜆 𝑥 + 𝜆 𝑥𝑦 + 𝜆(𝑦) = 𝑘
untuk suatu konstanta k. Selanjutnya k disebut konstanta ajaib pada G dan
G disebut graf total sisi ajaib.

8. Contoh :
1
10
9
3
4
6
8
5
7
2
Gambar 4. Pelabelan Total Sisi Ajaib Graf C5
Pelabelan total sisi ajaib graf C5 pada gambar 4 mempunyai k=14.