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Gli stimatori e le loro proprietà

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Una efficace presentazione sugli stimatori delle mie bravissime studentesse di 5A Turismo

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Gli stimatori e le loro proprietà

  1. 1. Gli Stimatori e le loro Proprietà
  2. 2. Definizione Uno stimatore T(x) consente la stima* di un parametro θ (valore caratteristico di una popolazione, come può essere media, mediana o varianza di una popolazione). Si tratta dunque di una funzione di tutte le possibili ennuple campionarie che si possono estrarre da una popolazione. *stima: valore che lo stimatore assume in una specifica ennupla campionaria.
  3. 3. Prima di procedere col definire le proprietà degli stimatori, è necessario ripassare le proprietà del valor medio e della varianza. • Proprietà Valor Medio E(ax) = aE(x) E(ax + b) = aE(x) + b E(x + y) = E(x) + E(y) E(x – y) = E(x) – E(y) • Proprietà Varianza Var (ax) = a2 Var(x) Var(ax + b) = a2 Var(x) Var(x + y) = Var(x) + Var(y) Var(x – y) = Var(x) + Var (y) X e Y sono indipendenti
  4. 4. Proprietà degli stimatori Per proprietà degli stimatori si intendono quelle proprietà che un generico stimatore Tn = f (X1, …, Xn) deve possedere perché le sue stime risultino affidabili. Sono proprietà di uno stimatore le seguenti: CORRETTEZZA o NON DISTORSIONE CONSISTENZA EFFICIENZA
  5. 5. 1. Correttezza di uno stimatore Si dice che uno stimatore è corretto o non distorto se il suo valor medio è uguale al parametro da stimare E [T(x)] = θ Qualora tale condizione non si verificasse, si tratterebbe della distorsione. La distorsione è la differenza tra il valore che abbiamo ottenuto calcolando il valor medio dello stimatore e il valore che avremmo dovuto ottenere affinché lo stimatore fosse stato corretto. d(θ) = E[T(x)] - θ
  6. 6. 2. Consistenza di uno stimatore Questa proprietà indica la capacità di Tn di fornire le stime migliori al crescere della numerosità campionaria. Esistono due tipi di consistenza: 1. consistenza in probabilità o in senso debole; 2. consistenza in media quadratica o in senso forte.
  7. 7. Consistenza in probabilità o in senso debole Se uno stimatore è asintoticamente non distorto è anche consistente in probabilità, ossia quando il valor medio del mio stimatore è diverso dal parametro da stimare ma il limite di n che tende a + ∞ del valor medio dello stimatore è esattamente uguale al parametro da stimare. E (T(x)) ≠ θ ma lim n→ + ∞ E (T(x)) = θ
  8. 8. Consistenza in media quadratica o in senso forte La consistenza in media quadratica si verifica quando lim n → + ∞ E [T(x) – θ]2 = 0 Per chiarire questa nozione, fissiamo il concetto di errore quadratico medio dello stimatore.
  9. 9. Errore quadratico medio di uno stimatore L’EQM dello stimatore T(x) è dato da Var(Tx) + [d(θ)] 2 *d: distorsione Se il limite di n → + ∞ dell’errore quadratico medio dello stimatore è uguale a 0, allora si tratterà di uno stimatore consistente in senso forte.
  10. 10. 3. Efficienza di uno stimatore Efficienza tra due stimatori Dati due stimatori, T1(x)e T2(x), quale dei due sarà più efficiente? Lo stimatore T1 (x) sarà più efficiente dello stimatore T2 (x) se EQM (T1) < EQM (T2). Ciò comporta che se gli stimatori fossero non distorti, basterebbe porre Var(T1) < Var(T2) per poter stabilire che lo stimatore T1 è più efficiente rispetto allo stimatore T2.
  11. 11. Classe 5 A TUR Elena Burgio Valentina Vecchio Martina Angeleri Andrea Lisa Palazzo Elisa Campaci Alessia Fornasini

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