Silakan

1. BUNGA DAN
ANUITAS TENTU
C. Enny Murwaningtyas

2. BUNGA
• Bunga (interest) adalah uang yang
dibayarkan oleh perorangan atau organisasi
kepada pemilik modal sebagai balas jasa
atas penggunaan sejumlah uang yang
disebut uang pokok.
• Bunga biasanya dibayarkan pada akhir
jangka waktu tertentu, misal tahunan,
setengah tahun, kwartalan, atau bulanan.
• Besarnya bunga tergantung pada besarnya
uang pokok, jangka waktu investasi dan
tingkat bunga.

3. • Tingkat bunga (interest rate) adalah perbandingan bunga yang
dikenakan dengan uang pokok dalam satu satuan waktu.
• Tingkat bunga biasanya dinyatakan dalam bentuk prosentase.
• Misal uang pokok Rp 100 dan bunga Rp 3 pertahun, maka
tingkat bunga adalah 3/100 = 3 %.
TINGKAT SUKU BUNGA

4. • Anda menabung uang Rp 320.000,00 dalam suatu rekening bank pada
tanggal 1 Januari 2022. Pada tanggal 31 Desember 2022, rekening Anda
sudah bertambah menjadi Rp 329.408,00. Berapakah bunga dan suku
bunga yang Anda peroleh dari rekening di atas?
• Jawab
• Bunga yang diperoleh selama tahun 2022 adalah selisih antara rekening
akhir dan rekening awal, yaitu:
329.408 − 320.000 = 9.408
• Suku bunga yang diperoleh selama tahun 2022 adalah:
𝑖 =
329.408 − 320
320
=
9.408
320
= 0,0294 = 2,94 %
CONTOH 1

5. V
BUNGA TUNGGAL
• Bunga tunggal adalah bunga yang dihitung pada uang pokok
mula-mula untuk jangka waktu tertentu penggunaan uang
pokok tersebut.
• Bila 𝑅 menyatakan uang pokok atau modal pertama, dan
𝑖 adalah tingkat bunga setahun, maka jumlah uang pada akhir
tahun ke 𝑛 yang dinyatakan dengan 𝑅𝑛 adalah
𝑅𝑛 = 𝑅(1 + 𝑛𝑖)

6. V
CONTOH 2
• Putri menginvestasikan uangnya Rp 7,5 juta dalam suatu
tabungan dengan bunga tunggal 6% per tahun.
• Berapa jutakah uang Putri setelah 18 bulan?
• Jawab:
• Uang Putri setelah 18 bulan (1,5 tahun) adalah
7,5(1 + (0,06 × 1,5)) = 8,175

7. V
CONTOH 3
• Budi meminjam uang selama 6 bulan untuk membeli komputer
dan harus membayar pinjaman tersebut dengan sekali bayar.
• Bunga dari pinjaman tersebut adalah bunga tunggal sebesar 8%
per tahun dan ternyata ia harus membayar bunga sebesar
Rp485.000,00. Berapa pokok yang dipinjamnya?
• Jawab:
• 485.000 = 𝑅 × 0,08 × 0,5
• 𝑅 =
485.000
0,08×0,5
= 12.125.000
• Besarnya pokok yang dipinjam adalah 12,125 juta

8. BUNGA MAJEMUK
• Misalkan bunga yang telah diperoleh pada akhir jangka waktu yang
pertama kemudian ditambahkan pada uang pokok mula-mula dan
jumlah uang tersebut berlaku sebagai uang pokok yang kedua
untuk jangka waktu kedua, bila proses ini diteruskan hingga jangka
waktu tertentu, maka dikatakan bunga telah dimajemukkan atau
digandakan.
• Hal ini disebut bunga majemuk.
• Bila 𝑅 menyatakan besarnya uang pokok mula-mula, 𝑖 tingkat
bunga per periode dan 𝑛 adalah banyaknya periode, maka jumlah
uang pada akhir tahun ke 𝑛, yaitu adalah :
𝑅𝑛 = 𝑅 1 + 𝑖 𝑛

9. BUNGA MAJEMUK
• Jika tipe dari bunga tidak dispesifikasikan maka kesepakatannya
kita menggunakan bunga majemuk, khususnya jika kita
menggunakan periode yang lebih dari 1 tahun.
• Mulai dari sekarang, suku bunga majemuk 1% per tahun, yang
dibungakan majemuk secara tahunan, dinamakan sebagai suku
bunga efektif tahunan 1%.

10. CONTOH 4
• Anda mendepositokan uang Rp 1 juta selama 2 tahun.
• Hitunglah akumulasi tabungan Anda dengan menggunakan bunga
tunggal dan majemuk jika suku bunga diketahui 8%!
• Jawab:
• Bunga tunggal
Akumulasi tabungan = 1.000.000(1 + 0,08 × 2) = 1.160.000
• Bunga majemuk
Akumulasi tabungan = 1.000.000 1 + 0,08 2 = 1.166.400

11. CONTOH 5
• Berapa tahun waktu yang diperlukan agar uang Anda menjadi dua kali
lipat dari uang Anda sekarang jika berlaku suku bunga majemuk konstan
7%?
• Jawab :

12. LATIHAN
1. Rekening 𝑃 mendapat bunga tunggal sebesar 4 % setahun. Sementara itu,
rekening 𝑄 mendapat bunga tunggal sebesar 𝑖 % per tahun. Uang sebesar
1 juta ditabungkan di rekening 𝑃 dan 1,1 juta di rekening 𝑄. Setelah 5
tahun, uang di kedua rekening 𝑃 dan 𝑄 sama. Tentukan besarnya suku
bunga i.
2. Anda meminjam uang Rp 1 juta selama 90 hari dengan suku bunga efektif
8,5%. Berapakah total pembayaran yang harus Anda sediakan untuk
melunasi pokok dan bunga hutang Anda?
3. Hisam meminjam uang Rp200 juta untuk memperbesar usaha
perkayuannya. Dia melunasi pinjaman di tahun ke 4 sebesar Rp260 juta.
Berapakah suku bunga efektif tahunan dari pinjaman Hisam?

13. ANUITAS TENTU
C. Enny Murwaningtyas

14. PRESENT VALUE
• Bila 𝑅 menyatakan besarnya uang pokok mula-mula, 𝑖 tingkat
bunga per periode dan 𝑛 adalah banyaknya periode, maka jumlah
uang pada akhir tahun ke 𝑛, yaitu adalah :
𝑅𝑛 = 𝑅 1 + 𝑖 𝑛
• 𝑅𝑛 sering disebut dengan nilai akumulasi / nilai akhir (future
value), menyatakan jumlah uang pada akhir tahun ke 𝑛, sedang 𝑅
menyatakan jumlah uang pada awal tahun atau nilai tunai / nilai
sekarang (present value). Nilai tunai awal dapat ditentukan dengan
𝑅 = 𝑅𝑛 1 + 𝑖 −𝑛

15. PRESENT VALUE
• Bentuk 1 + 𝑖 −1
akan sering digunakan, sehingga untuk
mempermudah penulisan, lebih baik disingkat dengan simbol 𝑣,
sehingga :
𝑣 =
1
1 + 𝑖
• Atau
𝑣 = 1 + 𝑖 −1
• Sehingga nilai tunai 𝑅 = 𝑅𝑛 1 + 𝑖 −𝑛
dapat ditulis
𝑅 = 𝑅𝑛𝑣𝑛

16. ANUITAS
• Pembayaran anuitas dapat dilakukan pada awal tahun pembayaran yang
biasanya disebut dengan anuitas awal (annuity-due) atau pembayarannya
dapat juga dilakukan pada akhir tahun pembayaran, yang disebut anuitas
akhir (annuity-immediate).
• Pembayaran anuitas awal dilakukan pada saat anuitan berusia 𝑥 tahun,
sedangkan pembayaran anuitas akhir dilakukan saat anuitan berusia 𝑥 + 1
tahun.
• Sehingga jelas bahwa anuitas awal dan anuitas akhir berselisih 1.
• Untuk anuitas awal biasanya dinyatakan dengan , sedangkan untuk
anuitas akhir dinyatakan dengan .
n
a
n
a

17. ANUITAS TENTU AKHIR
• Anuitas tentu adalah serangkaian pembayaran secara berkala yang
dilakukan tanpa syarat dan pembayaran dilakukan selama jangka waktu
tertentu.
• Misalkan diketahui suatu anuitas tentu dengan 𝑛 pembayaran, untuk
mempermudah penulisan dimisalkan besarnya tiap pembayaran tahunan
adalah Rp. 1 juta dan pembayarannya dilakukan pada tiap akhir tahun,
sehingga pembayaran pertama dilakukan pada akhir tahun pertama,
pembayaran kedua dilakukan pada akhir tahun kedua, dan seterusnya.
• Setiap pembayaran tahunan sebesar Rp. 1 juta tersebut sudah dikenakan
bunga.

18. ANUITAS TENTU AKHIR
Rp 1 Juta Rp 1 Juta Rp 1 Juta Rp 1 Juta Rp 1 Juta Rp 1 Juta
0 1 2 3 4 5 n
2 3 n
n
a v v
v v
+
= +
+ +
𝑣
𝑣2
𝑣3
𝑣4
𝑣5
𝑣𝑛

19. NILAI TUNAI DARI ANUITAS TENTU AKHIR
• Nilai tunai anuitas tentu akhir berikut
• Menggunakan deret geometri dengan suku awalnya 𝑣 dan rasio 𝑣 maka
anuitas tentu akhir dapat ditulis sebagai berikut
• Dilain pihak karena 𝑣 =
1
1+𝑖
maka dapat diperoleh 𝑣𝑖 = 1 − 𝑣. Jadi
diperoleh
)
(1
1
n
n
v v
a
v
−
=
−
2 3 n
n
a v v
v v
+
= +
+ +
1 n
n
v
a
i
−
=

20. CONTOH 1
• Carilah nilai uang sekarang atau nilai
tunai (dalam jutaan rupiah) dari suatu
anuitas yang membayar 4 juta pada akhir
tahun selama 16 tahun dengan suku
bunga 8%.
• Jawab
• Jadi nilai tunai dari suatu anuitas yang
membayar 4 juta pada akhir tahun selama
16 tahun dengan suku bunga 8% adalah
35,41 juta.
16
1
1
1 0,08
4 1
3
4
0,
5,4
08
n
a
 
−  
+
 =

=  
• Terlebih dahulu di isntal dan di load
terlebih dahulu dengan
install.packages("lifecontingencies")
library("lifecontingencies")

21. NILAI AKUMULASI TOTAL DARI ANUITAS TENTU AKHIR
Rp 1 Juta Rp 1 Juta Rp 1 Juta Rp 1 Juta Rp 1 Juta Rp 1 Juta
0 1 2 3 4 5 n
2
1 3
(1 ) 1
(1 ) (1 ) (1 )
n
n n n
s i i i
i
− − −
+
+ +
= + +
+ + +
+
1
1 + 𝑖 𝑛−5
1 + 𝑖 𝑛−4
1 + 𝑖 𝑛−3
1 + 𝑖 𝑛−2
1 + 𝑖 𝑛−1

22. NILAI AKUMULASI TOTAL DARI ANUITAS TENTU AKHIR
• Nilai akumulasi total dari anuitas tentu akhir berikut
• Menggunakan deret geometri dengan suku awalnya 1 dan rasio (1 + 𝑖)
maka anuitas tentu akhir dapat ditulis sebagai berikut
• Jadi akumulasi total dari anuitas tentu akhir dapat ditulis
1
2 3
(1 ) (
) 1 ) (1
1 1 )
( n
n
s i i i i −
= + + + + +
+ + ++
1
)
1(1 (1 ) 1 ( ) (1 ) 1
1 (1 )
n n
n
n
i i i
s
i i i
− + − + + −
= = =
− + −
(1 ) 1
n
n
i
s
i
+ −
=

23. CONTOH 2
• Pada tanggal 1 Januari 2000 Anda membuka tabungan yang tetap Anda biarkan kosong
sampai akhir tahun. Pada tanggal 31 Desember 2000 Anda memulai menabung sebesar
Rp 2 juta. Selanjutnya, setiap 31 Desember Anda menabung Rp 2 juta sampai tahun
2011. Berapa jutakah total tabungan pada 31 Desember 2011?
• Jawab
• Jumlah uang pada akhir tahun 2011 adalah
• Jadi total tabungan pada 31 Desember 2011 sebesar Rp. 31,83 juta.
1
2
2
1
(1 0,05) 1
2 2 31,83
0,05
s
+ −
= =
 

24. • Misalkan diketahui suatu anuitas tentu dengan 𝑛 pembayaran
sebesar Rp. 1 juta dan pembayarannya dilakukan pada tiap
awal tahun, sehingga pembayaran pertama dilakukan pada
awal tahun pertama, pembayaran kedua dilakukan pada awal
tahun kedua, dan seterusnya.
• Setiap pembayaran tahunan sebesar Rp. 1 juta tersebut sudah
dikenakan bunga.
ANUITAS TENTU AWAL

25. ANUITAS TENTU AWAL
Rp 1 Juta Rp 1 Juta Rp 1 Juta Rp 1 Juta Rp 1 Juta
Rp 1 Juta
0 1 2 3 4 𝑛 − 1 n
2 3 1
1
n
n
v
v v
a v −
+ +
+ +
= +
1
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4
𝑣𝑛−1

26. NILAI TUNAI DARI ANUITAS TENTU AWAL
• Nilai tunai anuitas tentu awal berikut
• Menggunakan deret geometri dengan suku awalnya 1 dan rasio 𝑣 maka
anuitas tentu awal dapat ditulis sebagai berikut
• Dilain pihak karena 𝑣 =
1
1+𝑖
dan dimisalkan juga 𝑑 = 𝑖𝑣 maka dapat
diperoleh 𝑑 = 1 − 𝑣. Jadi diperoleh
1
1
n
n
v
a
v
−
=
−
2 3 1
1
n
n
v
v v
a v −
+ +
+ +
= +
1 1
n
n
n
v v
a
iv d
− −
= =

27. • Yanto membeli Rumah dengan cara mengangsur setiap awal tahun sebesar Rp 50 juta
selama 10 tahun. Jika suku bunga bank pinjaman 9% pertahun, berapa harga rumah
tersebut bila dibayar tunai?
• Jawab
• Sistem pinjaman yang dilakukan Yanto adalah dengan Anuitas Tentu Awal. Harga
rumah tersebut adalah
• Jadi harga rumah Yanto bila dibayar tunai adalah Rp. 349.762.344,71
CONTOH 1
( )
( )
10
1
1 0,09
1
1 0,09
349.762.344,71
1
50.000.000 50.000.000
0,09
n
a
+
+
−


= =


28. NILAI AKUMULASI TOTAL DARI ANUITAS TENTU AWAL
Rp 1 Juta Rp 1 Juta Rp 1 Juta Rp 1 Juta Rp 1 Juta Rp 1 Juta
0 1 2 3 4 𝑛 − 1 𝑛
1 2
( (1 )
(1 ) 1 ) (1 )
n n n
n
s i i i
i
− −

= + + + + + + + +
1 + 𝑖
1 + 𝑖 𝑛−4
1 + 𝑖 𝑛−3
1 + 𝑖 𝑛−2
1 + 𝑖 𝑛−1
1 + 𝑖 𝑛

29. NILAI AKUMULASI TOTAL DARI ANUITAS TENTU AWAL
• Nilai akumulasi total dari anuitas tentu akhir berikut
• Menggunakan deret geometri dengan suku awalnya(1 + 𝑖) dan rasio
(1 + 𝑖) maka anuitas tentu awal dapat ditulis sebagai berikut
• Karena 1 + 𝑖 𝑛 = 𝑣−𝑛 dan 𝑑 = 𝑖𝑣 maka dapat ditulis
2 3
(1 ) (1 ) (
1 ) 1 )
( n
n
s i i i
i
+ + +
= + + + + +

( ) ( )
(1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1
(1 )(1 (1 )
1 (1
)
)
n n
n
n i i i i
i i
s
i i i
+ − + + + −
+ − +
= = =
− + −
(1 ) 1 (1 ) 1
n
n
n
i i
s
iv d
+ − + −
= =

30. • Seorang menabung uang Rp. 5 juta tiap permulaan tahun selama 10 tahun
dengan suku bunga bank 5% setahun. Berapakah jumlah seluruh uangnya
pada akhir tahun ke 10?
• Jawab
• Jadi jumlah seluruh uangnya pada akhir tahun ke 10 adalah Rp.
66.033.935,81
CONTOH 2
( )
( )
10
1
1 0,05
1 0,05
1
1
5.000.000 5.000.000
0,0
66.033
5
.935,8
n
s
+
+ −
=

=



31. ANUITAS TUNDA AKHIR
• Anuitas akhir yang pembayarannya ditunda selang 𝑚 tahun, dinamakan dengan
anuitas akhir tunda.
1 2
m m m n
m n
a v v v
+ + +
= + + +
Rp 1 Juta Rp 1 Juta
0 1 2 𝑚 𝑚 + 1 𝑚 + 2 𝑚 + 𝑛
𝑣𝑚+1
Rp 1 Juta
𝑣𝑚+2
𝑣𝑚+𝑛
( )
1 2
m n
v v v v
= + + +
m
n
v a
= 

32. ANUITAS TUNDA AKHIR
• Nilai tunai dari suatu anuitas akhir tunda selang 𝑚 tahun, yang pembayaran
dilakukan selama 𝑛 tahun dapat juga ditulis sebagai berikut
• Jadi nilai tunai dari anuitas tunda akhir dapat ditulis dalam rumus berikut
atau
1 2
m m m n
m n
a v v v
+ + +
= + + +
( ) ( )
1 2 1 2
m n m
v v v v v v
+
= + + + − + + +
m n m
a a
+
= −
m
m n n
a v a
=  m n m n m
a a a
+
= −

33. • Susi menandatangani kontrak serangkaian pembayaran pada tangga 1 Januari
2000. Dalam kontrak itu Susi akan menyetorkan uang sebesar Rp. 500.000 tiap
akhir tahun selama 20 tahun, pembayaran pertama dilakukan 31 Desember
2005. Hitunglah nilai tunai dari pembayaran tersebut pada tanggal 1 Januari
2000 jika suku bunga bank efektif 4% pertahun?
• Jawab
• Anuitas seperti ini disebut anuitas tertunda. Anuitas ini tertunda selama 5 tahun.
• Jadi nilai tunai dari pembayaran tersebut adalah Rp. 5.585.128,81
CONTOH 7
20
5
5 20
500.000 500.000
a v a
  
= ( )
( )
20
1
5 1 0,04
1
1 0,04
1
500.000
0,04
+
+
−


= 5.585.128,81
=

34. ANUITAS TUNDA AWAL
• Anuitas akhir yang pembayarannya ditunda selang 𝑚 tahun, dinamakan dengan
anuitas akhir tunda.
1 1
|
m m m n
m n
a v v v
+ + −
= + + +
Rp 1 Juta Rp 1 Juta
0 1 2 𝑚 𝑚 + 1 𝑚 + 2 𝑚 + 𝑛 − 1 𝑚 + 𝑛
𝑣𝑚
Rp 1 Juta
𝑣𝑚+1
𝑣𝑚+𝑛−1
( )
1 2 1
1
m n
v v v v −
= + + + + m
n
v a
= 
Rp 1 Juta
𝑣𝑚+2

35. ANUITAS TUNDA AWAL
• Nilai tunai dari suatu anuitas akhir tunda selang 𝑚 tahun, yang pembayaran
dilakukan selama 𝑛 tahun dapat juga ditulis sebagai berikut
• Jadi nilai tunai dari anuitas tunda akhir dapat ditulis dalam rumus berikut
atau
1 2 1
|
m m m m n
m n
a v v v v
+ + + −
= + + + +
( ) ( )
1 2 1 1 2 1
1 1
m n m
v v v v v v
+ − −
= + + + + − + + + +
m n m
a a
+
= −
|
m
m n n
a v a
=  |
m n m n m
a a a
+
= −

36. • Susi menandatangani kontrak serangkaian pembayaran pada tangga 1 Januari
2000. Dalam kontrak itu Susi akan menyetorkan uang sebesar Rp. 500.000 tiap
awal tahun selama 20 tahun, pembayaran pertama dilakukan 1 Januari 2005.
Hitunglah nilai tunai dari pembayaran tersebut pada tanggal 1 Januari 2000 jika
suku bunga bank efektif 4% pertahun?
• Jawab
• Anuitas seperti ini disebut anuitas tertunda. Anuitas ini tertunda selama 5 tahun.
• Jadi nilai tunai dari pembayaran tersebut adalah Rp. 5.808.533,96
CONTOH 7
20
5
5 20
500.000 500.000 v
a a
 =   ( )
( )
20
1
5 1 0,04
1
1 0,04 1
1 0,04
1
500.000
0.04
+
+
+
−


=  5.808.533,96
=

37. LATIHAN
1. Pada tanggal 1 Januari 2008, Herni memutuskan memulai menabung untuk program
pensiunnya sebesar Rp X. Program tersebut dilanjutkan tiap tanggal 1 Januari sampai
tahun 2022. Pada tanggal 31 Desember 2022, tabungannya berjumlah Rp. 386.310.200.
Jika suku bunga efektif 𝑖 = 6.5%, berapakah besarnya uang yang disetorkan Herni tiap
awal tahun?
2. Andi memutuskan untuk berhenti merokok dan sebagai gantinya uang rokok Andi per
awal tahun sebesar Rp 2.000.000,- ribu ditabung. Hitunglah uang rokok Andi selama
25 tahun jika suku bunga tahunan 7%.
3. Jaka membeli anuitas awal dengan pembayaran selama 10 tahun pada tanggal 1 Januari
2006. Anuitas ini memberi pembayaran tahunan kepada dia tiap awal tahun, mulai
tahun 2008, sebesar Rp1 juta. Diketahui suku bunga efektif tahunan 𝑖 = 5%.
Hitunglah nilai sekarang atau nilai tunai dari anuitas ini pada saat membeli.