กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์, profile picture
Uploaded byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
2,090 views

33 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่4_ฟังก์ชันเบื้องต้น

Embed presentation

Downloaded 199 times
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย คู่มือประกอบสื่ อการสอน วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสั มพันธ์ และฟังก์ ชัน (เนือหาตอนที่ 4) ้ ฟังก์ ชันเบืองต้ น ้ โดย อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ สื่ อการสอนชุดนี้ เป็ นความร่ วมมือระหว่ าง คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์ มหาวิทยาลัย กับ สํ านักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพืนฐาน (สพฐ.) ้ กระทรวงศึกษาธิการ
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สื่ อการสอน เรื่อง ความสั มพันธ์ และฟังก์ ชัน สื่ อการสอน เรื่ อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชน มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซึ่งประกอบด้วย ั ํ 1. บทนํา เรื่อง ความสั มพันธ์ และฟังก์ชัน 2. เนือหาตอนที่ 1 ความสั มพันธ์ ้ - แผนภาพรวมเรื่ องความสัมพันธ์และฟังก์ชนั - ผลคูณคาร์ทีเซียน - ความสัมพันธ์ - การวาดกราฟของความสัมพันธ์ 3. เนือหาตอนที่ 2 โดเมนและเรนจ์ ้ - โดเมนและเรนจ์ - การหาโดเมนและเรนจ์โดยการแก้สมการ - การหาโดเมนและเรนจ์โดยการวาดกราฟ 4. เนือหาตอนที่ 3 อินเวอร์ สของความสั มพันธ์ และบทนิยามของฟังก์ชัน ้ - อินเวอร์สของความสัมพันธ์ - บทนิยามของฟังก์ชน ั 5. เนือหาตอนที่ 4 ฟังก์ ชันเบืองต้ น ้ ้ - ฟั งก์ชนจากเซต A ไปเซต B ั - ฟังก์ชนทัวถึง ั ่ - ฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ั 6. เนือหาตอนที่ 5 พีชคณิตของฟังก์ชัน ้ - พีชคณิ ตของฟังก์ชนั - ตัวอย่างประเภทของฟังก์ชนพื้นฐาน ั 7. เนือหาตอนที่ 6 อินเวอร์ สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ ส ้ - อินเวอร์สของฟังก์ชนละฟังก์ชนอินเวอร์ส ั ั - กราฟของฟังก์ชนอินเวอร์ส ั 8. เนือหาตอนที่ 7 ฟังก์ชันประกอบ ้ - ฟังก์ชนประกอบ ั
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย - โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชนประกอบ ั - สมบัติของฟังก์ชนประกอบ ั 9. แบบฝึ กหัด (พืนฐาน 1) ้ 10. แบบฝึ กหัด (พืนฐาน 2) ้ 11. แบบฝึ กหัด (ขั้นสู ง) 12. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสั มพันธ์ และฟังก์ชัน 13. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง อินเวอร์ สของความสั มพันธ์ และฟังก์ ชันอินเวอร์ ส 14. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง โดเมนและเรนจ์ 15. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง พีชคณิตและการประกอบของฟังก์ชัน 16. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การเลือนแกน ่ คณะผูจดทําหวังเป็ นอย่างยิงว่า สื่ อการสอนชุดนี้ จะเป็ นประโยชน์ต่อการเรี ยนการสอนสําหรับ ้ั ่ ครู และนักเรี ยนทุกโรงเรี ยนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรี ยนการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ เรื่ อง ความสัมพันธ์ และฟั ง ก์ชัน นอกจากนี้ หากท่ านสนใจสื่ อ การสอนวิ ชาคณิ ต ศาสตร์ ใ นเรื่ อ งอื่ นๆที่ ค ณะผูจ ัด ทํา ได้ ้ ดําเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่ อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ท้ งหมด ั ่ ในตอนท้ายของคูมือฉบับนี้
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชน ั หมวด เนื้อหา ตอนที่ 4 (4/7) หัวข้ อย่ อย 1. ฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ั 2. ฟังก์ชนทัวถึง ั ่ 3. ฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ั จุดประสงค์ การเรียนรู้ เพื่อให้ผเู ้ รี ยน 1. เข้าใจบทนิยามของฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ั ั ํ 2. ตรวจสอบว่าฟังก์ชนที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B หรื อไม่ ั ั ํ 3. ยกตัวอย่างฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้ได้ และนับจํานวนฟังก์ชนที่เป็ นไปได้ ั ทั้งหมด จากเซต A ไปเซต B ที่เป็ นเซตจํากัดทั้งคู่ได้ 4. เข้าใจบทนิยามของฟังก์ชนทัวถึง ั ่ 5. ยกตัวอย่างฟังก์ชนทัวถึงจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้ได้ ั ่ ํ 6. เข้าใจบทนิยามของฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ั ั ํ 7. ยกตัวอย่างฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้ได้ และนับจํานวนฟังก์ชน ั หนึ่งต่อหนึ่งที่เป็ นไปได้ท้ งหมด จากเซต A ไปเซต B ที่เป็ นเซตจํากัดทั้งคู่ได้ ั ั ํ 8. ตรวจสอบว่าฟังก์ชนที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่โดยใช้วิธีเชิงพีชคณิ ตหรื อ ั โดยใช้กราฟของฟังก์ชนได้ ั ผลการเรียนรู้ทคาดหวัง ี่ ผูเ้ รี ยนสามารถ ่ ั ํ ํ 1. ตรวจสอบได้วาฟังก์ชนที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้หรื อไม่ได้ ั ั ํ 2. ยกตัวอย่างฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้ได้ และนับจํานวนฟังก์ชนที่เป็ นไปได้ ั ทั้งหมด จากเซต A ไปเซต B ที่เป็ นเซตจํากัดทั้งคู่ได้ ่ ั ํ 3. ตรวจสอบได้วาฟังก์ชนที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชนทัวถึงจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้ ั ่ ํ หรื อไม่ได้ 4. ยกตัวอย่างฟังก์ชนทัวถึงจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้ได้ ั ่ ํ
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ั ํ 5. ตรวจสอบว่าฟังก์ชนที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่โดยใช้วิธีเชิงพีชคณิ ตหรื อ ั โดยใช้กราฟของฟังก์ชนได้ ั ั ํ 6. ยกตัวอย่างฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้ได้ และนับจํานวนฟังก์ชน ั หนึ่งต่อหนึ่งที่เป็ นไปได้ท้ งหมด จากเซต A ไปเซต B ที่เป็ นเซตจํากัดทั้งคู่ได้ ั    
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย   เนือหาในสื่ อ  ้            
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 1. ฟังก์ ชันจากเซต A ไปเซต B
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ่ ก่อนอื่นครู ควรทบทวนเพื่อตรวจสอบว่านักเรี ยนเข้าใจหรื อไม่วาฟังก์ชนเป็ นความสัมพันธ์แบบหนึ่ง ที่มีสมบัติพิเศษ ั กล่าวคือสมาชิกตัวหน้าของความสัมพันธ์ที่เป็ นฟังก์ชนนั้นจะไม่ถูกใช้ซ้ า และอาจทบทวนนักเรี ยนให้ยอนนึกไปถึง ั ํ ้ ความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B เพื่อบ่งบอกให้แน่ชดว่าสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังของคูอนดับใน ั ่ ั ความสัมพันธ์จะมาจากเซตใด ดังนั้นในฐานะที่ฟังก์ชนเป็ นความสัมพันธ์แบบหนึ่งการกําหนดว่าสมาชิกตัวหน้าและ ั สมาชิกตัวหลังของคู่อนดับในฟังก์ชนมาจากเซตใด จึงทําได้ในทํานองเดียวกันกับความสัมพันธ์หากแต่มีเงื่อนไข ั ั บางอย่างเพิ่มเติม ซึ่งได้กล่าวถึงในสื่ อตอนนี้        เมื่อมาถึงตอนนี้ครู อาจยํ้าอีกครั้งว่า ความสัมพันธ์ r จากเซต A ไปเซต B มีเงื่อนไขเพียง Dr Ì A และ Rr Ì B ในขณะที่ฟังก์ชน f : A  B ต้องมีเงื่อนไขที่สาคัญคือ Df = A และ Rf Ì B นอกจากนี้ ครู อาจ ั ํ ให้นกเรี ยนช่วยกันยกตัวอย่างเซต A และเซต B และฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ดังกล่าว ทั้งนี้อาจให้ ั ั นักเรี ยนลองนึกถึงเซต A หรื อเซต B ที่เป็ นเซตอนันต์
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ในตอนนี้ได้ต้งข้อสังเกตต่างๆ เกี่ยวกับฟังก์ชนจาก เซต A ไปเซต B และการนับจํานวนฟังก์ชนทั้งหมดที่ ั ั ั เป็ นไปได้จาก เซต A ไปเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซตจํากัด           เมื่อถึงตอนนี้ครู อาจให้นกเรี ยนช่วยกันอภิปรายหากเซต A หรื อเซต B เป็ นเซตว่างแล้วจะมีฟังก์ชนจากเซต A ไป ั ั เซต B หรื อไม่ ถ้าหากมีฟังก์ชนนั้นคือเซตใด   ั   สําหรับการนับจํานวนฟังก์ชนทั้งหมดที่เป็ นไปได้จากเซต A ไปเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซตจํากัดนั้น หากนักเรี ยน ั ยังไม่เข้าใจในทีแรกครู อาจแบ่งการอธิบายเป็ นขั้นๆ ดังนี้  1. ให้ n(A) = 1 แล้วค่อยๆ เพิม n(B ) จาก 1 เป็ น 2 เป็ น 3 เรื่ อยไปจนเป็ นจํานวนนับ m ใดๆ   ่ 2. ให้ n(B ) = 1 แล้วค่อยๆ เพิ่ม n(A) จาก 1 เป็ น 2 เป็ น 3 เรื่ อยไปจนเป็ นจํานวนนับ n ใดๆ   3. ให้ n(A) = n และ n(B ) = m เมื่อ n และ m เป็ นจํานวนนับใดๆ  
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สําหรับการนับจํานวนฟังก์ชนทั้งหมดที่เป็ นไปได้จากเซต A ไปเซต B เมื่อทั้งคูเ่ ป็ นเซตจํากัดที่อธิบายไว้ใน ั สื่ อนั้น แท้จริ งแล้วใช้หลักการคูณ ซึ่งเป็ นหลักการนับเบื้องต้นที่กล่าวว่า หากงานชิ้นใหญ่หนึ่งสามารถแบ่ง ออกเป็ นงานย่อยๆ ได้ k งาน โดยแต่ละงานย่อยมีจานวนวิธีในการทํางานย่อยให้สาเร็ จเป็ น ํ ํ n1, n2 , n 3 , ..., nk  วิธี ตามลําดับแล้ว จํานวนวิธีที่จะทํางานชิ้นใหญ่น้ นให้สาเร็ จจะเป็ น n1n2n 3 nk วิธี ั ํ ซึ่งรายละเอียดสําหรับหลักการนับเบื้องต้นนี้นกเรี ยนจะได้ศึกษาในสื่ อชุดการนับและความน่าจะเป็ นโดย ั อาจารย์ณฐกาญจน์ต่อไป   ั   เมื่อนักเรี ยนเข้าใจเรื่ องการนับจํานวนฟังก์ชนทั้งหมดที่เป็ นไปได้จากเซต A ไปเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซตจํากัด ั แล้วครู อาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิ่มเติม    ตัวอย่ าง 1 ถ้า A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} และ B = {1, 2, 3} แล้วจงหาจํานวนฟังก์ชน f : A  B ั ทั้งหมดซึ่ง f (1) = 1 และ f (2) = 2     ํ ่ วิธีทา จากโจทย์จะได้วา Df = A และ (1,1) และ (2, 2) Î f นันคือ ่ f = {(1,1), (2,2), (3,), (4,), (5,), (6,)} ดังนั้นในการสร้างฟั งก์ชน f ต้องนําสมาชิกของ B มา ั ่ ั จับคูกบ 3, 4, 5 และ 6 ตามลําดับ ซึ่งตัวเลขทั้งสี่ น้ ีสามารถจับคู่กบสมาชิกของ B ได้ตวละ 3 วิธี ดังนั้นจะ ั ั ่ ได้วาจํานวนฟังก์ชน f : A  B ทั้งหมดซึ่ง f (1) = 1 และ f (2) = 2 คือ 34 = 81 ฟังก์ชน  ั ั   ตัวอย่ าง 2 ถ้า A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} และ B = {1, 2, 3} แล้วจงหาจํานวนฟังก์ชน f : A  B ั ทั้งหมดซึ่ง f (1) ¹ 1 หรื อ f (2) ¹ 2     วิธีทา เนื่องจากจํานวนฟังก์ชน f : A  B ทั้งหมดซึ่ง f (1) ¹ 1 หรื อ f (2) ¹ 2 คือ จํานวนฟังก์ชน ํ ั ั f : A  B ทั้งหมดที่นา f : A  B ซึ่ ง f (1) = 1 และ f (2) = 2 ออกไป ดังนั้นจํานวนฟั งก์ชน ํ ั f : A  B ทั้งหมดซึ่ ง f (1) ¹ 1 หรื อ f (2) ¹ 2 คือ 36 - 81 = 648 ฟั งก์ชน   ั    
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึ กหัดเพิมเติมเรื่องฟังก์ ชันจากเซต A ไปเซต B   ่ 1. กําหนดให้ A = {1, 2, 3} และ P (A) คือพาวเวอร์เซตของ A จํานวนฟังก์ชนทั้งหมดที่เป็ นไปได้จากเซต ั A ไปเซต P (A) มีมากกว่าหรื อน้อยกว่าจํานวนฟั งก์ชนทั้งหมดที่เป็ นไปได้จากเซต P (A) ไป A อยูกี่ฟังก์ชน   ั ่ ั 2. สําหรับจํานวนนับ n และ m ใดๆ จงแสดงว่า m n £ 2nm และ n m £ 2nm   3. กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} และ B = {x Î  || x | £ 6} จงหาจํานวนสมาชิกของเซต {f : A  B | x หาร f (x ) ลงตัว ทุก x Î A}   4. กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6},   B = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}}, และ F = {f : A  B | x Ï f (x ) ทุก x Î A} จงหาจํานวนสมาชิกของ F    5. กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4} และ S = {f : A  A | f (x ) > x - 1 ทุก x Î A} จงหาจํานวนสมาชิก ของ S      
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2. ฟังก์ ชันทัวถึง ่
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ในช่วงนี้ได้อธิบายบทนิยามของฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต B จากนั้นได้ต้ งข้อสังเกตเกี่ยวกับจํานวน ั ่ ั สมาชิกของเซต A และเซต B ที่มีผลต่อการมีอยูของฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซต ่ ั ่ จํากัด และยกตัวอย่างการนับจํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซตจํากัด   ั ่            
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เมื่อมาถึงตรงนี้ครู ควรยํ้าว่าข้อสังเกตที่ได้ต้ งไว้ในสื่ อนั้น บอกเพียงว่าสําหรับเซต A และเซต B ที่เป็ นเซต ั จํากัด ถ้า n(A) < n(B ) แล้วจะไม่มีฟังก์ชน  f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึง จากนั้นครู ควรชวนนักเรี ยนให้ ั ั ่ ช่วยกันอภิปรายว่า แล้วในกรณี ที่ n(A) ³ n(B ) จะหาฟังก์ชน  f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึงได้อย่างน้อย ั ั ่ หนึ่งฟังก์ชนเสมอหรื อไม่ ถ้าหาได้ให้นกเรี ยนช่วยกันยกตัวอย่างประกอบ  ั ั    ครู ควรให้นกเรี ยนช่วยกันอภิปรายต่อในประเด็นต่างๆ เช่น  ั 1. สําหรับเซต A และเซต B ที่เป็ นเซตจํากัด หากมีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึงแล้วจะ ั ั ่ เปรี ยบเทียบ n(A) กับ n(B ) ได้หรื อไม่ ถ้าได้ผลของการเปรี ยบเทียบเป็ นอย่างไร   2. หากเซต A เป็ นเซตอนันต์และเซต B เป็ นเซตจํากัดแล้วจะมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึงได้ ั ่ หรื อไม่  3. หากเซต A เป็ นเซตจํากัดและเซต B เป็ นเซตอนันต์แล้วจะมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึงได้ ั ่ หรื อไม่  4. หาก A เป็ นเซตจํากัดและมีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึง แล้วเซต B เป็ นเซตจํากัดหรื อ ั ั ่ เซตอนันต์หรื อสรุ ปไม่ได้  5. หาก B เป็ นเซตอนันต์และมีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึง แล้วเซต A เป็ นเซตจํากัดหรื อ ั ั ่ เซตอนันต์หรื อสรุ ปไม่ได้  เป็ นต้น    สําหรับการนับจํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต B ในกรณี ที่ท้ งคู่เป็ นเซตจํากัดและ B มีสมาชิกเป็ น ั ่ ั จํานวนมากนั้นเป็ นเรื่ องยาก แต่ยงสามารถอาศัยแนวคิดในตัวอย่างที่ยกไว้ในสื่ อในการนับจํานวนฟังก์ชน ั ั ดังกล่าวได้ อย่างไรก็ดีสาหรับนักเรี ยนที่สนใจครู อาจยกตัวอย่างนี้เพิ่มเติม  ํ   ตัวอย่ าง 3 ให้ A = {1, 2, 3, 4} และ B = {a, b, c} จงหาจํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต B ั ่ ทั้งหมดที่เป็ นไปได้    วิธีทา จํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต B ทั้งหมดที่เป็ นไปได้   ํ ั ่ = จํานวนฟั งก์ชนจากเซต A ไปเซต B ทั้งหมดที่เป็ นไปได้   ั - จํานวนฟั งก์ชนจากเซต A ไปเซต B ทั้งหมดที่เรนจ์มีสมาชิกตัวเดียว   ั - จํานวนฟั งก์ชนจากเซต A ไปเซต B ทั้งหมดที่เรนจ์มีสมาชิกสองตัว  ั
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย จากตัวอย่างในสื่ อทําให้ทราบว่าจํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ทั้งหมดที่เรนจ์มีสมาชิกตัวเดียว = 3 ั ั ั ่ ฟังก์ชน สําหรับจํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ทั้งหมดที่เรนจ์มีสมาชิกสองตัวนั้น สมมติวาสมาชิกสอง ตัวดังกล่าวคือ a และ b ดังนั้นการหาจํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ทั้งหมดที่เรนจ์มีสมาชิกสองตัว จะ ั เหมือนกับการหาจํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต {a, b} ซึ่งจากตัวอย่างในสื่ อจะได้วามีอยู่ 14 ั ่ ่ ฟังก์ชน ในทํานองเดียวกันจะสามารถเปลี่ยนเรนจ์ที่มีสมาชิกสองตัวให้เป็ น {a, c} และ {b, c} ดังนั้นจํานวน ั ฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ทั้งหมดที่เรนจ์มีสมาชิกสองตัว = 3 ´ 14 = 42 ฟังก์ชน ทําให้ได้วาจํานวน ั ั ่ ฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต B ทั้งหมดที่เป็ นไปได้ = 34 - 3 - 42 = 36 ฟังก์ชน  ั ่ ั   ั ่ นอกจากนี้ครู อาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมโดยใช้ฟังก์ชนจากสื่ อตอนที่ผานๆ มาเพื่อให้นกเรี ยนช่วยกันพิจารณาว่าเป็ น ั ฟังก์ชนจากเซตใดไปทัวถึงเซตใด ซึ่งตอบได้ง่ายๆ จากการพิจารณาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นนเอง   ั ่ ั่   แบบฝึ กหัดเพิมเติมเรื่องฟังก์ชันทัวถึง  ่ ่ จงระบุวาฟังก์ชนที่กาหนดให้ต่อไปนี้เป็ นฟังก์ชนจากเซตใดไปทัวถึงเซตใด   ่ ั ํ ั ่ 1. f (x ) = x 2 เมื่อ -1 < x £ 3   2. f (x ) = | x | เมื่อ -3 £ x < 1   3. f (x ) = 2x 2 - 1   x 4. f (x ) = 2   x -1 ì ï 1ü ï 5. f (x ) = min ïx , ï í ý   ï xï ï î ï þ    
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 3. ฟังก์ ชันหนึ่งต่ อหนึ่ง
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ในช่วงนี้ได้อธิบายถึงบทนิยามของฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งจากเซต A ไปเซต B จากนั้นได้ต้ งข้อสังเกตเกี่ยวกับ ั ั ่ จํานวนสมาชิกของเซต A และเซต B ที่มีผลต่อการมีอยูของฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งจากเซต A ไปเซต B เมื่อทั้ง ั คูเ่ ป็ นเซตจํากัด             เมื่อมาถึงตรงนี้ครู ควรยํ้าว่าข้อสังเกตที่ได้ต้ งไว้ในสื่ อนั้น บอกเพียงว่าสําหรับเซต A และเซต B ที่เป็ นเซต ั จํากัด ถ้า n(A) > n(B ) แล้วจะไม่มีฟังก์ชน  f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง จากนั้นครู ควรชวน ั ั นักเรี ยนให้ช่วยกันอภิปรายว่า แล้วในกรณี ที่ n(A) £ n(B ) จะหาฟังก์ชน  f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อ ั ั หนึ่งได้อย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชนเสมอหรื อไม่ ถ้าหาได้ให้นกเรี ยนช่วยกันยกตัวอย่างประกอบ   ั ั      
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ในช่วงนี้ได้อธิบายการนับจํานวนฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งที่เป็ นไปได้ท้ งหมดจากเซต A ไปเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ น ั ั เซตจํากัด และ n(A) £ n(B )       สําหรับการนับจํานวนฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งที่เป็ นไปได้จากเซต A ไปเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซตจํากัดนั้น หาก ั นักเรี ยนยังไม่เข้าใจในทีแรกครู อาจแบ่งการอธิบายเป็ นขั้นๆ ดังนี้  1. ให้ n(A) = 1 แล้วค่อยๆ เพิ่ม n(B ) จาก 1 เป็ น 2 เป็ น 3 เรื่ อยไปจนเป็ นจํานวนนับ m ใดๆ  2. ให้ n(A) = 2 แล้วค่อยๆ เพิ่ม n(B ) จาก 2 เป็ น 3 เป็ น 4 เรื่ อยไปจนเป็ นจํานวนนับ m ใดๆ   3. ให้ n(A) = n และ n(B ) = m เมื่อ n และ m เป็ นจํานวนนับใดๆ ที่ n £ m     การนับจํานวนฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งที่เป็ นไปได้ท้ งหมดจากเซต A ไปเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซตจํากัดที่อธิบายใน ั ั สื่ อนั้นอาศัยหลักการคูณเช่นเดียวกัน ยิงไปกว่านั้นจํานวนฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งที่เป็ นไปได้ท้ งหมดจากเซต A ่ ั ั ไปเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซตจํากัดที่ได้น้ น เท่ากับจํานวนการจัดเรี ยงสิ่ งของที่แตกต่างกัน m สิ่ งโดยเลือกมา ั จัดเรี ยงในแนวเส้นตรงเพียง n สิ่ ง ซึ่งรายละเอียดของหลักการนับ และการจัดเรี ยงสิ่ งของนั้นนักเรี ยนจะได้ ศึกษาในสื่ อเรื่ องการนับและความน่าจะเป็ นโดยอาจารย์ณฐกาญจน์   ั   ครู ควรให้นกเรี ยนช่วยกันอภิปรายต่อในประเด็นต่างๆ เช่น  ั 1. สําหรับเซต A และเซต B ที่เป็ นเซตจํากัด หากมีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งแล้ว ั ั จะเปรี ยบเทียบ n(A) กับ n(B ) ได้หรื อไม่ ถ้าได้ผลของการเปรี ยบเทียบเป็ นอย่างไร   2. หากเซต A เป็ นเซตอนันต์และเซต B เป็ นเซตจํากัดแล้วจะมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ั ได้หรื อไม่ 
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 3. หากเซต A เป็ นเซตจํากัดและเซต B เป็ นเซตอนันต์แล้วจะมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ั ได้หรื อไม่  4. หาก A เป็ นเซตจํากัดและมีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง แล้วเซต B เป็ นเซตจํากัด ั ั หรื อเซตอนันต์หรื อสรุ ปไม่ได้  5. หาก B เป็ นเซตอนันต์และมีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง แล้วเซต A เป็ นเซต ั ั จํากัดหรื อเซตอนันต์หรื อสรุ ปไม่ได้  เป็ นต้น    เมื่อมาถึงตอนนี้ครู อาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิมเติม  ่   ตัวอย่ าง 4 กําหนดให้ A เป็ นเซตจํากัดใดๆ ที่ไม่ใช่เซตว่าง จงหาจํานวนฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งทั้งหมดที่เป็ นไป ั ได้จากเซต A ไปพาวเวอร์เซตของ A     วิธีทา เนื่องจากพาวเวอร์เซตของ A มีสมาชิก 2n (A) ตัว ซึ่งมากกว่า n(A) เสมอ (ทําไม) ดังนั้นจํานวนฟังก์ชน ํ ั หนึ่งต่อหนึ่งทั้งหมดที่เป็ นไปได้จากเซต A ไปพาวเวอร์เซตของ A เท่ากับ 2n (A)(2n (A) - 1)(2n (A) - 2)(2n (A) - (n(A) - 1)) ฟั งก์ชน  ั   ตัวอย่ าง 5 กําหนดให้ A = {1, 2} และ B = {1, 2, 3, ..., 10} จงหาจํานวนสมาชิกของเซต   {f : A  B | f เป็ นฟั งก์ชนหนึ่ งต่อหนึ่ ง และ มี x Î A ซึ่ ง f (x ) = x }   ั   วิธีทา จากโจทย์จะสามารถแยกพิจารณาเป็ นสองกรณี ได้ดงนี้   ํ ั ่ ่ ั กรณี x = 1 จะได้วา f = {(1,1), (2,)} เนื่องจาก f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้น 2 จะจับคูกบ 1 ด้วย ั ฟังก์ชน f อีกไม่ได้ ทําให้มีจานวนวิธีที่จะนําตัวเลขในเซต B มาจับคู่กบ 2 เพียง 9 วิธี  ั ํ ั ่ ่ ั กรณี x = 2 จะได้วา f = {(1,), (2,2)} เนื่องจาก f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้น 1 จะจับคูกบ 2 ด้วย ั ฟังก์ชน f อีกไม่ได้ ทําให้มีจานวนวิธีที่จะนําตัวเลขในเซต B มาจับคู่กบ 1 เพียง 9 วิธี  ั ํ ั อย่างไรก็ดีท้ งสองกรณี น้ ีมีการนับ f = {(1,1), (2,2)} ซํ้ากันสองครั้ง ดังนั้นจํานวนสมาชิกของเซต   ั {f : A  B | f เป็ นฟั งก์ชนหนึ่ งต่อหนึ่ ง และ มี x Î A ซึ่ ง f (x ) = x } เท่ากับ 9 + 9 - 1 = 17 ตัว  ั      
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ั ํ ในช่วงนี้ได้อธิบายถึงการตรวจสอบว่าฟังก์ชนที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่ โดยวิธีเชิงพีชคณิ ตและ ั โดยการวาดกราฟ        เมื่อถึงตอนนี้ครู อาจตั้งข้อสังเกตให้นกเรี ยนเห็นว่าหากฟังก์ชนที่กาหนดมาให้น้ นมีพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ | x | ั ั ํ ั หรื อ x n เมื่อ n เป็ นจํานวนคู่ ฟังก์ชนเหล่านั้นมีสิทธิ์จะไม่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งสูง เนื่องจาก ค่าของ x ที่ ั ั เป็ นน้อยกว่าศูนย์ หรื อมากกว่าศูนย์ เมื่อแทนค่าในพจน์ดงกล่าวแล้วจะมีค่ามากกว่าศูนย์ท้ งสิ้ น ทําให้ได้วา ั ั ่ สมาชิกตัวหน้าสองตัวที่ต่างกันมีสิทธิ์จะไปจับคู่กบสมาชิกตัวหลังตัวเดียวกันได้ ทั้งนี้ตองพิจารณาเงื่อนไขอื่นๆ ั ้ ที่เกี่ยวกับฟังก์ชนที่กาหนดให้อย่างรอบคอบก่อน ดังเช่นตัวอย่างนี้  ั ํ   x3 ตัวอย่ าง 6 จงพิจารณาว่าฟังก์ชน f (x ) = ั เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่  ั |x |   x 13 x 23 ่ วิธีทา สําหรับ x 1 และ x 2 Î Df สมมติวา f (x1 ) = f (x1 ) นันคือ ํ ่ =   | x1 | | x2 | x 13 x 23 ่ กรณี ( x1 > 0 และ x 2 > 0 ) หรื อ ( x1 < 0 และ x 2 < 0 ) จะได้วา = ส่ งผลให้ | x1 | | x2 | x 13 x 23 x = 1 2 = = x 22 ทําให้ x1 = x 2   x1 x2 x 13 x 23 x 13 x 23 ่ กรณี x1 > 0 และ x 2 < 0 จะได้วา = ส่ งผลให้ 2 x = 1 =- = -x 22 ซึ่งเกิดข้อขัดแย้ง  | x1 | | x2 | x1 x2 x 13 x 23 x 13 x 23 ่ กรณี x1 < 0 และ x 2 > 0 จะได้วา = ส่ งผลให้ -x 12 = - = = x 22 ซึ่งเกิดข้อขัดแย้ง  | x1 | | x2 | x1 x2
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ํ ่ จากทั้งสามกรณี ทาให้ได้วาถ้า f (x1 ) = f (x1 ) แล้ว x1 = x 2 แสดงว่า f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ซึ่งสามารถ ั พิจารณาได้จากกราฟของฟังก์ชนนี้เช่นกัน  ั 4     2     -2 -1 1 2     -2     -4   ั ่ เมื่อมาถึงตอนนี้ครู อาจยกตัวอย่างฟังก์ชนจากสื่ อตอนที่ผานๆ มาเพื่อให้นกเรี ยนช่วยกันตรวจสอบว่าเป็ นฟังก์ชน ั ั หนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่ นอกจากนี้ครู อาจยกตัวอย่างต่อไปนี้เพิ่มเติม    ตัวอย่ าง 6 จงพิจารณาว่าฟังก์ชน f (x ) = | 2x - 1 | +3 เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่  ั ั   วิธีทา เนื่องจาก (0, 4) Î f และ (1, 4) Î f แต่ 0 ¹ 1 ดังนั้น f ไม่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ทั้งนี้อาจสังเกต ํ ั ได้จากกราฟ  4.0 3.8 3.6 3.4 3.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ซึ่งเห็นได้ชดว่ามีเส้นตรงที่ขนานกับแกน X ตัดกราฟ y = f (x ) มากกว่าหนึ่งจุด ั ตัวอย่ าง 8 จงพิจารณาว่าฟังก์ชน f (x ) = x 3 เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่  ั ั   ่ ่ วิธีทา ให้ x1 และ x 2 Î Df สมมติวา x13 = f (x1 ) = f (x 2 ) = x 23 จะได้วา x1 = x 2 และ f เป็ นฟังก์ชนหนึ่ง ํ ั ต่อหนึ่ง สําหรับฟังก์ชนนี้นกเรี ยนสามารถลองลงรอยทางเดินของจุดเพือร่ างกราฟได้ดงรู ป ั ั ่ ั 1.0 0.5 - 1.0 - 0.5 0.5 1.0 - 0.5 - 1.0 จากกราฟเห็นได้ชดว่าเส้นตรงทั้งหลายที่ขนานกับแกน X ตัดกราฟของฟังก์ชนนี้เพียงจุดเดียวเท่านั้นแสดงว่า f ั ั เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ั ตัวอย่ าง 7 จงพิจารณาว่าฟังก์ชน f (x ) = ax + b เมื่อ a, ั b, c และ d เป็ นจํานวนจริ งที่ c และ d ไม่เป็ นศูนย์ cx + d พร้อมกัน จงหาเงื่อนไขเพิ่มเติมของ a, b, c และ d ที่ทาให้ f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ํ ั ax 1 + b ax 2 + b ํ ่ วิธีทา ให้ x1 และ x 2 Î Df สมมติวา = f (x 1 ) = f (x 2 ) = ดังนั้น cx 1 + d cx 2 + d นันคือ (ad - bc)x1 = (ad - bc)x 2 จะได้วา acx 1x 2 + adx 1 + bcx 2 + bd = acx 1x 2 + bcx 1 + adx 2 + bd่ ่ ่ หาก ad - bc ¹ 0 จะได้วา x1 = x 2 และ f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้นเงื่อนไขเพิ่มเติมคือ ad - bc ¹ 0 ั พึงสังเกตว่า ad - bc ¹ 0 ก็ต่อเมื่อ a ¹ b c d
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึ กหัดเพิมเติมเรื่องฟังก์ ชันหนึ่งต่ อหนึ่ง ่ จงพิจารณาว่าฟังก์ชนที่กาหนดให้ต่อไปนี้เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่ พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ ั ํ ั 1. f (x ) = -x 2. f (x ) = 2 | x | 3. f (x ) = -3x 2 + 1 เมื่อ x < 0 4. f (x ) = (x - 2)2 เมื่อ x ³ 0 5. f (x ) = จํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่มากกว่าหรื อเท่ากับ x ้ 6. f (x ) = ห.ร.ม. ของ x กับ 123456 จากกราฟของฟังก์ชนที่กาหนดให้ต่อไปนี้ จงพิจารณาว่าเป็ นกราฟของฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่ หากไม่เป็ นให้ ั ํ ั ยกตัวอย่างเส้นตรงที่ขนานกับแกน X และตัดกราฟของฟังก์ชนนั้นๆ มากกว่าหนึ่งจุด ั 7. 5 8. 1.0 0.5 4 - 1.0 - 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 3 - 0.5 2 - 1.0 1 - 1.5 - 2.0 -2 -1 0 1 2 9. 1.5 10. 6 1.0 0.5 4 -6 -4 -2 - 0.5 2 4 6 - 1.0 - 1.5 2 -6 -4 -2 2 4 6 -2 -4 -6
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สรุปสาระสํ าคัญประจําตอน
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย         ในช่วงที่สื่อกําลังสรุ ปสาระสําคัญประจําตอนนั้น ได้กล่าวถึงฟังก์ชน f : A  B ที่มีสมบัติทวถึง และ หนึ่งต่อหนึ่ง ั ั่ พร้อมๆ กัน ฟังก์ชนดังกล่าวนี้จะเรี ยกว่า ฟังก์ชนสมนัยหนึ่งต่อหนึ่ง (one-to-one correspondence function) ครู ควรนํา ั ั นักเรี ยนอภิปรายว่าหากเซต A และเซต B เป็ นเซตจํากัดทั้งคู่แล้วจํานวนสมาชิกของเซตทั้งสองมีผลต่อการมีอยูของ ่ ่ ฟังก์ชนสมนัยหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตทั้งสองหรื อไม่ โดยอาจเริ่ มจากเงื่อนไขที่วาถ้า n(A) ³ n(B ) แล้วจะสามารถ ั หาฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึงได้เสมอ ในขณะที่หาก n(A) £ n(B ) แล้วจะสามารถหาฟังก์ชน ั ั ่ ั f : A  B ที่เป็ นฟั งก์ชนหนึ่ งต่อหนึ่ งได้เสมอ เพื่อนําไปสู่ ขอสรุ ปที่วาถ้า n(A) = n(B ) แล้วจะสามารถหาฟั งก์ชน ั ้ ่ ั f : A  B ที่เป็ นฟั งก์ชนสมนัยหนึ่ งต่อหนึ่ งได้เสมอ และในทางกลับกันสําหรับเซต A และเซต B ที่เป็ นเซตจํากัด ั ่ หากมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนสมนัยหนึ่งต่อหนึ่งแล้วจะได้วา n(A) = n(B ) เช่นกัน เมื่อมาถึงจุดนี้ครู อาจชี้ให้ ั นักเรี ยนตระหนักว่า การนับจํานวนสิ่ งของต่างๆ ที่มีอยูเ่ ป็ นจํานวนจํากัด ในชีวิตประจําวันของนักเรี ยนแท้จริ งแล้วคือ การสร้างฟังก์ชนสมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจากเซต {1, 2, 3, ..., n} ไปยังเซตของสิ่ งของที่มี n ชิ้นนันเอง  ั ่  
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ในกรณี ที่ A และ B เป็ นเซตอนันต์ การมีอยูของฟังก์ชนสมนัยหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตทั้งสองนี้บ่งบอกว่าเซตทั้ง ่ ั สองนี้มี “จํานวนสมาชิก” เท่าๆ กัน ซึ่งนักเรี ยนอาจดูตวอย่างได้จาก โรงแรมของฮิลแบร์ท ในสื่ อบทนําเรื่ องเซต โดย ั อาจารย์จิณดิษฐ์ และอาจารย์รตินนท์   ั   ชวนคิด สําหรับเซต A ใดๆ จะมีฟังก์ชน f : A  A ที่เป็ นฟังก์ชนสมนัยหนึ่งต่อหนึ่งอย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชนหรื อไม่ ั ั ั ถ้ามีจงยกตัวอย่างฟังก์ชนที่มีสมบัติดงกล่าว ถ้าไม่มีจงให้เหตุผลประกอบ ั ั
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 1 แบบฝึ กหัด/เนือหาเพิมเติม ้ ่
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึ กหัดระคน  สําหรับเซต A และเซต B ใดๆ จงพิจารณาว่าข้อความในข้อ 1 – 6 ว่าเป็ นจริ งหรื อไม่ พร้อมทั้งให้เหตุผล ประกอบ  1. ถ้า A เป็ นเซตจํากัดแล้วฟังก์ชน f : A  B ใดๆ เป็ นเซตจํากัด  ั 2. ถ้า A เป็ นเซตอนันต์แล้วมี f : A  B ที่เป็ นเซตจํากัด  3. ถ้า A เป็ นเซตอนันต์และ B เป็ นเซตจํากัดแล้วจะมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึง   ั ่ ่ 4. ถ้า A เป็ นเซตจํากัดและมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึงแล้วจะได้วา B เป็ นเซตจํากัด  ั ่ 5. ถ้า A เป็ นเซตอนันต์และ B เป็ นเซตจํากัดแล้วจะมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง  ั ่ 6. ถ้า A เป็ นเซตอนันต์และมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งแล้วจะได้วา B เป็ นเซตอนันต์   ั   7. กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6},   B = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}}  และ F = {f : B  A | f (X ) Ï X ทุกเซต X Î B } จงหาจํานวนสมาชิกของ F    8. กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4} และ S = {f : A  A | f (x ) £ x + 1 ทุก x Î A} จงหาจํานวนสมาชิก ของ S   9. กําหนดให้ A = {1, 2} และ B = {1, 2, 3, ..., 10} จงหาจํานวนสมาชิกของเซต   {f : A  B | f เป็ นฟั งก์ชนหนึ่ งต่อหนึ่ ง และ มี x Î A ซึ่ ง f (x ) ¹ x }   ั 10. กําหนดให้ A = {0, 1, 2, 3} และ P (A) คือพาวเวอร์เซตของ A จงหาจํานวนสมาชิกของเซต {f : A  P (A) | x Ï f (x ) และ x + 1 Ï f (x ) ทุก x Î A}  
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 2 เฉลยแบบฝึ กหัด
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เฉลยแบบฝึ กหัดเรื่องฟังก์ ชันจากเซต  A ไปเซต  B   1. น้อยกว่าอยู่ 6049 ฟังก์ชน   ั 2. ให้ n และ m เป็ นจํานวนนับใดๆ และ A และ B เป็ นเซตจํากัดที่ n(A) = n และ n(B ) = m จะได้วา ่ จํานวนความสัมพันธ์ท้ งหมดที่เป็ นไปได้จากเซต A ไปเซต B หรื อจากเซต B ไปเซต A คือ 2nm ั ความสัมพันธ์ จํานวนฟังก์ชน f : A  B ทั้งหมดที่เป็ นไปได้คือ m n ฟังก์ชน และจํานวนฟังก์ชน ั ั ั f : B  A ทั้งหมดที่เป็ นไปได้คือ n m เนื่ องจากฟั งก์ชน f : A  B เป็ นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต ั B แบบหนึ่ ง และฟั งก์ชน f : B  A เป็ นความสัมพันธ์จากเซต B ไปเซต A แบบหนึ่ ง จึงสรุ ปได้วา ั ่ m n £ 2nm และ n m £ 2nm   3. 12285 ตัว 4. 15625 ตัว 5. 24 ตัว  เฉลยแบบฝึ กหัดเรื่องฟังก์ ชันทัวถึง  ่ 1. f เป็ นฟังก์ชนจากเซต (-1, 3] ไปทัวถึง [0, 9] ั ่ 2. f เป็ นฟังก์ชนจากเซต [-3,1) ไปทัวถึง [0, 3]   ั ่ æ 1 ùú éê 1 ö 3. f เป็ นฟังก์ชนจากเซต ç-¥, - ั ç ç È , ¥÷ ไปทัวถึง [0, ¥)   ÷ ÷ ่ ç è ú ê ÷ ø 2û ë 2 4.f เป็ นฟั งก์ชนจากเซต  - {-1, 1} ไปทัวถึง  - {0} ั ่   5. f เป็ นฟังก์ชนจากเซต  - {0} ไปทัวถึง (-¥, -1] È (0,1]   ั ่   เฉลยแบบฝึ กหัดเรื่องฟังก์ ชันหนึ่งต่ อหนึ่ง  1. เป็ น เพราะทุก x1 และ x 2 ในโดเมนของ f ถ้า -x1 = -x 2 แล้ว x1 = x 2   2. ไม่เป็ น เพราะมี f (-1) = 2 = f (1) แต่ -1 ¹ 1   3. เป็ น เพราะทุก x1 และ x 2 ในโดเมนของ f ถ้า -3x12 + 1 = -3x 22 + 1 แล้ว | x1 | = | x 2 | แต่ในที่น้ ี ่ x 1 < 0 และ x 2 < 0 ทําให้ได้วา x 1 = x 2   4. ไม่เป็ น เพราะมี f (1) = 1 = f (3) แต่ 1 ¹ 3   5. ไม่เป็ น เพราะมี f (1) = 1 = f (0.9) แต่ 1 ¹ 0.9   6. ไม่เป็ น เพราะมี f (4) = 4 = f (20) แต่ 4 ¹ 20   7. เป็ น 8. เป็ น 
คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 9. ไม่เป็ น เพราะมีเส้นตรงดังรู ปตัดกราฟมากกว่าหนึ่งจุด 10. ไม่เป็ น เพราะมีเส้นตรงดังรู ปตัดกราฟมากกว่า   หนึ่งจุด   6   1.5 4 1.0   0.5 2 -6 -4 -2 - 0.5 2 4 6   - 1.0 -6 -4 -2 2 4 6 - 1.5   -2 -4   -6   เฉลยแบบฝึ กหัดระคน    1. จริ ง เพราะ Df = A   2. เท็จ เช่น A =  เนื่องจาก Df = A =  ทําให้ฟังก์ชนจากเซต A =  ไปเซต B เป็ นเซตอนันต์   ั ่ 3. จริ ง สมมติวา n(B ) = n เนื่องจากเซต A เป็ นเซตอนันต์ ดังนั้นสร้างฟังก์ชนจากสมาชิก n ตัวของเซต A ั กับสมาชิกทุกตัวของเซต B จากนั้นสมาชิกที่เหลือของเซต A สร้างฟังก์ชนโดยกําหนดค่าฟังก์ชนให้เป็ น ั ั สมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของเซต B   4. จริ ง เพราะการที่มีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึง แสดงว่า n(A) ³ n(B )   ั ั ่ 5. เท็จ เช่น f :   {1} เนื่องจาก Df =  ทําให้ฟังก์ชนระหว่างเซตทั้งสองนี้ไม่มีทางเป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อ ั ั หนึ่งได้  6. จริ ง เพราะการที่มีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง แสดงว่า n(A) £ n(B )   ั ั 7. 120 ตัว 8. 96 ตัว 9. 89 ตัว 10. 512 ตัว  

More Related Content

PDF
แบบทดสอบ พร้อมเฉลย ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
byphaephae
 
PDF
เล่มที่ 5 กิจกรรม STEM และมือกล
byกมลรัตน์ ฉิมพาลี
 
PDF
16 จำนวนจริง ตอนที่3_ทฤษฎีบทตัวประกอบ
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
คอมพลีเมนต์
byAon Narinchoti
 
PDF
Set
byLaongphan Phan
 
PDF
36 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่7_ฟังก์ชันประกอบ
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
1แบบทดสอบระบบนิเวศ (ตอนที่ 1)
byสำเร็จ นางสีคุณ
 
PDF
14 จำนวนจริง ตอนที่1_สมบัติของจำนวนจริง
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
แบบทดสอบ พร้อมเฉลย ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
byphaephae
 
เล่มที่ 5 กิจกรรม STEM และมือกล
byกมลรัตน์ ฉิมพาลี
 
16 จำนวนจริง ตอนที่3_ทฤษฎีบทตัวประกอบ
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
คอมพลีเมนต์
byAon Narinchoti
 
Set
byLaongphan Phan
 
36 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่7_ฟังก์ชันประกอบ
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
1แบบทดสอบระบบนิเวศ (ตอนที่ 1)
byสำเร็จ นางสีคุณ
 
14 จำนวนจริง ตอนที่1_สมบัติของจำนวนจริง
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 

What's hot

PDF
ลูกเสือกับการดูแลเยียวยา ช่วยเหลือผู้เกี่ยวข้องกับยาเสพติด
byDuangnapa Inyayot
 
PDF
มัลติเปิล อัลลีล (Multiple allele)
byWaridchaya Charoensombut
 
PDF
โครงงานคณิตศาสตร์กับวิถีชีวิตชาวนา
byจักรพงษ์ แผ่นทอง
 
PPTX
สงครามโลก
byKittayaporn Changpan
 
PDF
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
byพัน พัน
 
PDF
ผลต่าง
byAon Narinchoti
 
PDF
ชีทสรุป ม.4 เทอม 2 โดยครูเนยวิภา.pdf
byNoeyWipa
 
PDF
03 เซต ตอนที่2_เซตกำลังและการดำเนินการบนเซต
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
แผนจัดการเรียนรู้เรื่องอาหารและโภชนาการ
bytassanee chaicharoen
 
PDF
กิจกรรมสะเต็มศึกษา (สสวท.)
bykroofon fon
 
PDF
แบบทดสอบเทคโนยีน
byWichai Likitponrak
 
PDF
การแก้ปัญหา
byJintana Kujapan
 
PDF
แผน 6 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม3
bysrkschool
 
PDF
10 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่4_ประโยคเปิดและวลีบ่งปริมาณ
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
รายการประเมิน
byเขมิกา กุลาศรี
 
DOC
แผนการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ที่ 3 เซลล์พืชและเซลล์สัตว์
byWann Rattiya
 
PDF
ตัวอย่างใบสมัคร
bysamrong572
 
PDF
ติวสบายฟิสิกส์ (เพิ่มเติม) บทที่ 03 แรงกฏการเคลื่อนที่
bymenton00
 
PDF
โครงสร้างสาระวิทย์ป.5
bysupphawan
 
PDF
กรณฑ์ที่สอง
byRitthinarongron School
 
ลูกเสือกับการดูแลเยียวยา ช่วยเหลือผู้เกี่ยวข้องกับยาเสพติด
byDuangnapa Inyayot
 
มัลติเปิล อัลลีล (Multiple allele)
byWaridchaya Charoensombut
 
โครงงานคณิตศาสตร์กับวิถีชีวิตชาวนา
byจักรพงษ์ แผ่นทอง
 
สงครามโลก
byKittayaporn Changpan
 
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
byพัน พัน
 
ผลต่าง
byAon Narinchoti
 
ชีทสรุป ม.4 เทอม 2 โดยครูเนยวิภา.pdf
byNoeyWipa
 
03 เซต ตอนที่2_เซตกำลังและการดำเนินการบนเซต
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
แผนจัดการเรียนรู้เรื่องอาหารและโภชนาการ
bytassanee chaicharoen
 
กิจกรรมสะเต็มศึกษา (สสวท.)
bykroofon fon
 
แบบทดสอบเทคโนยีน
byWichai Likitponrak
 
การแก้ปัญหา
byJintana Kujapan
 
แผน 6 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม3
bysrkschool
 
10 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่4_ประโยคเปิดและวลีบ่งปริมาณ
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
รายการประเมิน
byเขมิกา กุลาศรี
 
แผนการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ที่ 3 เซลล์พืชและเซลล์สัตว์
byWann Rattiya
 
ตัวอย่างใบสมัคร
bysamrong572
 
ติวสบายฟิสิกส์ (เพิ่มเติม) บทที่ 03 แรงกฏการเคลื่อนที่
bymenton00
 
โครงสร้างสาระวิทย์ป.5
bysupphawan
 
กรณฑ์ที่สอง
byRitthinarongron School
 

Similar to 33 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่4_ฟังก์ชันเบื้องต้น

PDF
34 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่5_พีชคณิตของฟังก์ชัน
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
35 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่6_อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
byธีรวุฒิ อภิปรัชญาฐิติ?
 
PDF
30 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่1_ความสัมพันธ์
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
39 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่2_ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอ...
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
byAon Narinchoti
 
PDF
32 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่3_อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
41 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่4_อสมการเลขชี้กำลัง
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
สรุปสูตรคณิตศาสตร์
bywisita42
 
PDF
84 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่11_ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
40 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่3_ลอการิทึม
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PPT
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
byJiraprapa Suwannajak
 
PDF
Function2
byAon Narinchoti
 
PPT
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
byguest5ec5625
 
PPTX
ฟังก์ชัน
byArocha Chaichana
 
PDF
แนวข้อสอบ
byprapasun
 
PDF
31 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่2_โดเมนและเรนจ์
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Function3
byAon Narinchoti
 
PDF
29 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนำ
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
20 จำนวนจริง ตอนที่7_ค่าสัมบูรณ์
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
34 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่5_พีชคณิตของฟังก์ชัน
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
35 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่6_อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
byธีรวุฒิ อภิปรัชญาฐิติ?
 
30 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่1_ความสัมพันธ์
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
39 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่2_ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอ...
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
byAon Narinchoti
 
32 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่3_อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
41 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่4_อสมการเลขชี้กำลัง
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
สรุปสูตรคณิตศาสตร์
bywisita42
 
84 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่11_ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
40 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่3_ลอการิทึม
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
byJiraprapa Suwannajak
 
Function2
byAon Narinchoti
 
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
byguest5ec5625
 
ฟังก์ชัน
byArocha Chaichana
 
แนวข้อสอบ
byprapasun
 
31 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่2_โดเมนและเรนจ์
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Function3
byAon Narinchoti
 
29 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนำ
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
20 จำนวนจริง ตอนที่7_ค่าสัมบูรณ์
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 

More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์

PDF
Basic m2-2-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m5-2-chapter3
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m5-2-chapter2
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m5-2-link
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m5-1-link
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m5-1-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m5-1-chapter2
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m5-2-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m4-2-link
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m4-2-chapter2
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m4-1-link
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m4-2-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m4-1-chapter2
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m4-1-chapter3
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m4-1-chapter4
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m3-2-chapter2
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m3-2-link
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m4-1-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m3-2-chapter4
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m3-2-chapter3
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m2-2-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m5-2-chapter3
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m5-2-chapter2
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m5-2-link
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m5-1-link
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m5-1-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m5-1-chapter2
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m5-2-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m4-2-link
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m4-2-chapter2
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m4-1-link
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m4-2-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m4-1-chapter2
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m4-1-chapter3
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m4-1-chapter4
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m3-2-chapter2
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m3-2-link
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m4-1-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m3-2-chapter4
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m3-2-chapter3
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 

33 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่4_ฟังก์ชันเบื้องต้น

  • 1.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย คู่มือประกอบสื่ อการสอน วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสั มพันธ์ และฟังก์ ชัน (เนือหาตอนที่ 4) ้ ฟังก์ ชันเบืองต้ น ้ โดย อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ สื่ อการสอนชุดนี้ เป็ นความร่ วมมือระหว่ าง คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์ มหาวิทยาลัย กับ สํ านักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพืนฐาน (สพฐ.) ้ กระทรวงศึกษาธิการ
  • 2.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สื่ อการสอน เรื่อง ความสั มพันธ์ และฟังก์ ชัน สื่ อการสอน เรื่ อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชน มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซึ่งประกอบด้วย ั ํ 1. บทนํา เรื่อง ความสั มพันธ์ และฟังก์ชัน 2. เนือหาตอนที่ 1 ความสั มพันธ์ ้ - แผนภาพรวมเรื่ องความสัมพันธ์และฟังก์ชนั - ผลคูณคาร์ทีเซียน - ความสัมพันธ์ - การวาดกราฟของความสัมพันธ์ 3. เนือหาตอนที่ 2 โดเมนและเรนจ์ ้ - โดเมนและเรนจ์ - การหาโดเมนและเรนจ์โดยการแก้สมการ - การหาโดเมนและเรนจ์โดยการวาดกราฟ 4. เนือหาตอนที่ 3 อินเวอร์ สของความสั มพันธ์ และบทนิยามของฟังก์ชัน ้ - อินเวอร์สของความสัมพันธ์ - บทนิยามของฟังก์ชน ั 5. เนือหาตอนที่ 4 ฟังก์ ชันเบืองต้ น ้ ้ - ฟั งก์ชนจากเซต A ไปเซต B ั - ฟังก์ชนทัวถึง ั ่ - ฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ั 6. เนือหาตอนที่ 5 พีชคณิตของฟังก์ชัน ้ - พีชคณิ ตของฟังก์ชนั - ตัวอย่างประเภทของฟังก์ชนพื้นฐาน ั 7. เนือหาตอนที่ 6 อินเวอร์ สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ ส ้ - อินเวอร์สของฟังก์ชนละฟังก์ชนอินเวอร์ส ั ั - กราฟของฟังก์ชนอินเวอร์ส ั 8. เนือหาตอนที่ 7 ฟังก์ชันประกอบ ้ - ฟังก์ชนประกอบ ั
  • 3.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย - โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชนประกอบ ั - สมบัติของฟังก์ชนประกอบ ั 9. แบบฝึ กหัด (พืนฐาน 1) ้ 10. แบบฝึ กหัด (พืนฐาน 2) ้ 11. แบบฝึ กหัด (ขั้นสู ง) 12. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสั มพันธ์ และฟังก์ชัน 13. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง อินเวอร์ สของความสั มพันธ์ และฟังก์ ชันอินเวอร์ ส 14. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง โดเมนและเรนจ์ 15. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง พีชคณิตและการประกอบของฟังก์ชัน 16. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การเลือนแกน ่ คณะผูจดทําหวังเป็ นอย่างยิงว่า สื่ อการสอนชุดนี้ จะเป็ นประโยชน์ต่อการเรี ยนการสอนสําหรับ ้ั ่ ครู และนักเรี ยนทุกโรงเรี ยนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรี ยนการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ เรื่ อง ความสัมพันธ์ และฟั ง ก์ชัน นอกจากนี้ หากท่ านสนใจสื่ อ การสอนวิ ชาคณิ ต ศาสตร์ ใ นเรื่ อ งอื่ นๆที่ ค ณะผูจ ัด ทํา ได้ ้ ดําเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่ อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ท้ งหมด ั ่ ในตอนท้ายของคูมือฉบับนี้
  • 4.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชน ั หมวด เนื้อหา ตอนที่ 4 (4/7) หัวข้ อย่ อย 1. ฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ั 2. ฟังก์ชนทัวถึง ั ่ 3. ฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ั จุดประสงค์ การเรียนรู้ เพื่อให้ผเู ้ รี ยน 1. เข้าใจบทนิยามของฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ั ั ํ 2. ตรวจสอบว่าฟังก์ชนที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B หรื อไม่ ั ั ํ 3. ยกตัวอย่างฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้ได้ และนับจํานวนฟังก์ชนที่เป็ นไปได้ ั ทั้งหมด จากเซต A ไปเซต B ที่เป็ นเซตจํากัดทั้งคู่ได้ 4. เข้าใจบทนิยามของฟังก์ชนทัวถึง ั ่ 5. ยกตัวอย่างฟังก์ชนทัวถึงจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้ได้ ั ่ ํ 6. เข้าใจบทนิยามของฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ั ั ํ 7. ยกตัวอย่างฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้ได้ และนับจํานวนฟังก์ชน ั หนึ่งต่อหนึ่งที่เป็ นไปได้ท้ งหมด จากเซต A ไปเซต B ที่เป็ นเซตจํากัดทั้งคู่ได้ ั ั ํ 8. ตรวจสอบว่าฟังก์ชนที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่โดยใช้วิธีเชิงพีชคณิ ตหรื อ ั โดยใช้กราฟของฟังก์ชนได้ ั ผลการเรียนรู้ทคาดหวัง ี่ ผูเ้ รี ยนสามารถ ่ ั ํ ํ 1. ตรวจสอบได้วาฟังก์ชนที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้หรื อไม่ได้ ั ั ํ 2. ยกตัวอย่างฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้ได้ และนับจํานวนฟังก์ชนที่เป็ นไปได้ ั ทั้งหมด จากเซต A ไปเซต B ที่เป็ นเซตจํากัดทั้งคู่ได้ ่ ั ํ 3. ตรวจสอบได้วาฟังก์ชนที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชนทัวถึงจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้ ั ่ ํ หรื อไม่ได้ 4. ยกตัวอย่างฟังก์ชนทัวถึงจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้ได้ ั ่ ํ
  • 5.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ั ํ 5. ตรวจสอบว่าฟังก์ชนที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่โดยใช้วิธีเชิงพีชคณิ ตหรื อ ั โดยใช้กราฟของฟังก์ชนได้ ั ั ํ 6. ยกตัวอย่างฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้ได้ และนับจํานวนฟังก์ชน ั หนึ่งต่อหนึ่งที่เป็ นไปได้ท้ งหมด จากเซต A ไปเซต B ที่เป็ นเซตจํากัดทั้งคู่ได้ ั    
  • 6.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย   เนือหาในสื่ อ  ้            
  • 7.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 1. ฟังก์ ชันจากเซต A ไปเซต B
  • 8.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ่ ก่อนอื่นครู ควรทบทวนเพื่อตรวจสอบว่านักเรี ยนเข้าใจหรื อไม่วาฟังก์ชนเป็ นความสัมพันธ์แบบหนึ่ง ที่มีสมบัติพิเศษ ั กล่าวคือสมาชิกตัวหน้าของความสัมพันธ์ที่เป็ นฟังก์ชนนั้นจะไม่ถูกใช้ซ้ า และอาจทบทวนนักเรี ยนให้ยอนนึกไปถึง ั ํ ้ ความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B เพื่อบ่งบอกให้แน่ชดว่าสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังของคูอนดับใน ั ่ ั ความสัมพันธ์จะมาจากเซตใด ดังนั้นในฐานะที่ฟังก์ชนเป็ นความสัมพันธ์แบบหนึ่งการกําหนดว่าสมาชิกตัวหน้าและ ั สมาชิกตัวหลังของคู่อนดับในฟังก์ชนมาจากเซตใด จึงทําได้ในทํานองเดียวกันกับความสัมพันธ์หากแต่มีเงื่อนไข ั ั บางอย่างเพิ่มเติม ซึ่งได้กล่าวถึงในสื่ อตอนนี้        เมื่อมาถึงตอนนี้ครู อาจยํ้าอีกครั้งว่า ความสัมพันธ์ r จากเซต A ไปเซต B มีเงื่อนไขเพียง Dr Ì A และ Rr Ì B ในขณะที่ฟังก์ชน f : A  B ต้องมีเงื่อนไขที่สาคัญคือ Df = A และ Rf Ì B นอกจากนี้ ครู อาจ ั ํ ให้นกเรี ยนช่วยกันยกตัวอย่างเซต A และเซต B และฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ดังกล่าว ทั้งนี้อาจให้ ั ั นักเรี ยนลองนึกถึงเซต A หรื อเซต B ที่เป็ นเซตอนันต์
  • 9.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ในตอนนี้ได้ต้งข้อสังเกตต่างๆ เกี่ยวกับฟังก์ชนจาก เซต A ไปเซต B และการนับจํานวนฟังก์ชนทั้งหมดที่ ั ั ั เป็ นไปได้จาก เซต A ไปเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซตจํากัด           เมื่อถึงตอนนี้ครู อาจให้นกเรี ยนช่วยกันอภิปรายหากเซต A หรื อเซต B เป็ นเซตว่างแล้วจะมีฟังก์ชนจากเซต A ไป ั ั เซต B หรื อไม่ ถ้าหากมีฟังก์ชนนั้นคือเซตใด   ั   สําหรับการนับจํานวนฟังก์ชนทั้งหมดที่เป็ นไปได้จากเซต A ไปเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซตจํากัดนั้น หากนักเรี ยน ั ยังไม่เข้าใจในทีแรกครู อาจแบ่งการอธิบายเป็ นขั้นๆ ดังนี้  1. ให้ n(A) = 1 แล้วค่อยๆ เพิม n(B ) จาก 1 เป็ น 2 เป็ น 3 เรื่ อยไปจนเป็ นจํานวนนับ m ใดๆ   ่ 2. ให้ n(B ) = 1 แล้วค่อยๆ เพิ่ม n(A) จาก 1 เป็ น 2 เป็ น 3 เรื่ อยไปจนเป็ นจํานวนนับ n ใดๆ   3. ให้ n(A) = n และ n(B ) = m เมื่อ n และ m เป็ นจํานวนนับใดๆ  
  • 10.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สําหรับการนับจํานวนฟังก์ชนทั้งหมดที่เป็ นไปได้จากเซต A ไปเซต B เมื่อทั้งคูเ่ ป็ นเซตจํากัดที่อธิบายไว้ใน ั สื่ อนั้น แท้จริ งแล้วใช้หลักการคูณ ซึ่งเป็ นหลักการนับเบื้องต้นที่กล่าวว่า หากงานชิ้นใหญ่หนึ่งสามารถแบ่ง ออกเป็ นงานย่อยๆ ได้ k งาน โดยแต่ละงานย่อยมีจานวนวิธีในการทํางานย่อยให้สาเร็ จเป็ น ํ ํ n1, n2 , n 3 , ..., nk  วิธี ตามลําดับแล้ว จํานวนวิธีที่จะทํางานชิ้นใหญ่น้ นให้สาเร็ จจะเป็ น n1n2n 3 nk วิธี ั ํ ซึ่งรายละเอียดสําหรับหลักการนับเบื้องต้นนี้นกเรี ยนจะได้ศึกษาในสื่ อชุดการนับและความน่าจะเป็ นโดย ั อาจารย์ณฐกาญจน์ต่อไป   ั   เมื่อนักเรี ยนเข้าใจเรื่ องการนับจํานวนฟังก์ชนทั้งหมดที่เป็ นไปได้จากเซต A ไปเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซตจํากัด ั แล้วครู อาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิ่มเติม    ตัวอย่ าง 1 ถ้า A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} และ B = {1, 2, 3} แล้วจงหาจํานวนฟังก์ชน f : A  B ั ทั้งหมดซึ่ง f (1) = 1 และ f (2) = 2     ํ ่ วิธีทา จากโจทย์จะได้วา Df = A และ (1,1) และ (2, 2) Î f นันคือ ่ f = {(1,1), (2,2), (3,), (4,), (5,), (6,)} ดังนั้นในการสร้างฟั งก์ชน f ต้องนําสมาชิกของ B มา ั ่ ั จับคูกบ 3, 4, 5 และ 6 ตามลําดับ ซึ่งตัวเลขทั้งสี่ น้ ีสามารถจับคู่กบสมาชิกของ B ได้ตวละ 3 วิธี ดังนั้นจะ ั ั ่ ได้วาจํานวนฟังก์ชน f : A  B ทั้งหมดซึ่ง f (1) = 1 และ f (2) = 2 คือ 34 = 81 ฟังก์ชน  ั ั   ตัวอย่ าง 2 ถ้า A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} และ B = {1, 2, 3} แล้วจงหาจํานวนฟังก์ชน f : A  B ั ทั้งหมดซึ่ง f (1) ¹ 1 หรื อ f (2) ¹ 2     วิธีทา เนื่องจากจํานวนฟังก์ชน f : A  B ทั้งหมดซึ่ง f (1) ¹ 1 หรื อ f (2) ¹ 2 คือ จํานวนฟังก์ชน ํ ั ั f : A  B ทั้งหมดที่นา f : A  B ซึ่ ง f (1) = 1 และ f (2) = 2 ออกไป ดังนั้นจํานวนฟั งก์ชน ํ ั f : A  B ทั้งหมดซึ่ ง f (1) ¹ 1 หรื อ f (2) ¹ 2 คือ 36 - 81 = 648 ฟั งก์ชน   ั    
  • 11.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึ กหัดเพิมเติมเรื่องฟังก์ ชันจากเซต A ไปเซต B   ่ 1. กําหนดให้ A = {1, 2, 3} และ P (A) คือพาวเวอร์เซตของ A จํานวนฟังก์ชนทั้งหมดที่เป็ นไปได้จากเซต ั A ไปเซต P (A) มีมากกว่าหรื อน้อยกว่าจํานวนฟั งก์ชนทั้งหมดที่เป็ นไปได้จากเซต P (A) ไป A อยูกี่ฟังก์ชน   ั ่ ั 2. สําหรับจํานวนนับ n และ m ใดๆ จงแสดงว่า m n £ 2nm และ n m £ 2nm   3. กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} และ B = {x Î  || x | £ 6} จงหาจํานวนสมาชิกของเซต {f : A  B | x หาร f (x ) ลงตัว ทุก x Î A}   4. กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6},   B = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}}, และ F = {f : A  B | x Ï f (x ) ทุก x Î A} จงหาจํานวนสมาชิกของ F    5. กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4} และ S = {f : A  A | f (x ) > x - 1 ทุก x Î A} จงหาจํานวนสมาชิก ของ S      
  • 12.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2. ฟังก์ ชันทัวถึง ่
  • 13.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ในช่วงนี้ได้อธิบายบทนิยามของฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต B จากนั้นได้ต้ งข้อสังเกตเกี่ยวกับจํานวน ั ่ ั สมาชิกของเซต A และเซต B ที่มีผลต่อการมีอยูของฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซต ่ ั ่ จํากัด และยกตัวอย่างการนับจํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซตจํากัด   ั ่            
  • 14.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เมื่อมาถึงตรงนี้ครู ควรยํ้าว่าข้อสังเกตที่ได้ต้ งไว้ในสื่ อนั้น บอกเพียงว่าสําหรับเซต A และเซต B ที่เป็ นเซต ั จํากัด ถ้า n(A) < n(B ) แล้วจะไม่มีฟังก์ชน  f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึง จากนั้นครู ควรชวนนักเรี ยนให้ ั ั ่ ช่วยกันอภิปรายว่า แล้วในกรณี ที่ n(A) ³ n(B ) จะหาฟังก์ชน  f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึงได้อย่างน้อย ั ั ่ หนึ่งฟังก์ชนเสมอหรื อไม่ ถ้าหาได้ให้นกเรี ยนช่วยกันยกตัวอย่างประกอบ  ั ั    ครู ควรให้นกเรี ยนช่วยกันอภิปรายต่อในประเด็นต่างๆ เช่น  ั 1. สําหรับเซต A และเซต B ที่เป็ นเซตจํากัด หากมีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึงแล้วจะ ั ั ่ เปรี ยบเทียบ n(A) กับ n(B ) ได้หรื อไม่ ถ้าได้ผลของการเปรี ยบเทียบเป็ นอย่างไร   2. หากเซต A เป็ นเซตอนันต์และเซต B เป็ นเซตจํากัดแล้วจะมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึงได้ ั ่ หรื อไม่  3. หากเซต A เป็ นเซตจํากัดและเซต B เป็ นเซตอนันต์แล้วจะมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึงได้ ั ่ หรื อไม่  4. หาก A เป็ นเซตจํากัดและมีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึง แล้วเซต B เป็ นเซตจํากัดหรื อ ั ั ่ เซตอนันต์หรื อสรุ ปไม่ได้  5. หาก B เป็ นเซตอนันต์และมีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึง แล้วเซต A เป็ นเซตจํากัดหรื อ ั ั ่ เซตอนันต์หรื อสรุ ปไม่ได้  เป็ นต้น    สําหรับการนับจํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต B ในกรณี ที่ท้ งคู่เป็ นเซตจํากัดและ B มีสมาชิกเป็ น ั ่ ั จํานวนมากนั้นเป็ นเรื่ องยาก แต่ยงสามารถอาศัยแนวคิดในตัวอย่างที่ยกไว้ในสื่ อในการนับจํานวนฟังก์ชน ั ั ดังกล่าวได้ อย่างไรก็ดีสาหรับนักเรี ยนที่สนใจครู อาจยกตัวอย่างนี้เพิ่มเติม  ํ   ตัวอย่ าง 3 ให้ A = {1, 2, 3, 4} และ B = {a, b, c} จงหาจํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต B ั ่ ทั้งหมดที่เป็ นไปได้    วิธีทา จํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต B ทั้งหมดที่เป็ นไปได้   ํ ั ่ = จํานวนฟั งก์ชนจากเซต A ไปเซต B ทั้งหมดที่เป็ นไปได้   ั - จํานวนฟั งก์ชนจากเซต A ไปเซต B ทั้งหมดที่เรนจ์มีสมาชิกตัวเดียว   ั - จํานวนฟั งก์ชนจากเซต A ไปเซต B ทั้งหมดที่เรนจ์มีสมาชิกสองตัว  ั
  • 15.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย จากตัวอย่างในสื่ อทําให้ทราบว่าจํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ทั้งหมดที่เรนจ์มีสมาชิกตัวเดียว = 3 ั ั ั ่ ฟังก์ชน สําหรับจํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ทั้งหมดที่เรนจ์มีสมาชิกสองตัวนั้น สมมติวาสมาชิกสอง ตัวดังกล่าวคือ a และ b ดังนั้นการหาจํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ทั้งหมดที่เรนจ์มีสมาชิกสองตัว จะ ั เหมือนกับการหาจํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต {a, b} ซึ่งจากตัวอย่างในสื่ อจะได้วามีอยู่ 14 ั ่ ่ ฟังก์ชน ในทํานองเดียวกันจะสามารถเปลี่ยนเรนจ์ที่มีสมาชิกสองตัวให้เป็ น {a, c} และ {b, c} ดังนั้นจํานวน ั ฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ทั้งหมดที่เรนจ์มีสมาชิกสองตัว = 3 ´ 14 = 42 ฟังก์ชน ทําให้ได้วาจํานวน ั ั ่ ฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต B ทั้งหมดที่เป็ นไปได้ = 34 - 3 - 42 = 36 ฟังก์ชน  ั ่ ั   ั ่ นอกจากนี้ครู อาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมโดยใช้ฟังก์ชนจากสื่ อตอนที่ผานๆ มาเพื่อให้นกเรี ยนช่วยกันพิจารณาว่าเป็ น ั ฟังก์ชนจากเซตใดไปทัวถึงเซตใด ซึ่งตอบได้ง่ายๆ จากการพิจารณาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นนเอง   ั ่ ั่   แบบฝึ กหัดเพิมเติมเรื่องฟังก์ชันทัวถึง  ่ ่ จงระบุวาฟังก์ชนที่กาหนดให้ต่อไปนี้เป็ นฟังก์ชนจากเซตใดไปทัวถึงเซตใด   ่ ั ํ ั ่ 1. f (x ) = x 2 เมื่อ -1 < x £ 3   2. f (x ) = | x | เมื่อ -3 £ x < 1   3. f (x ) = 2x 2 - 1   x 4. f (x ) = 2   x -1 ì ï 1ü ï 5. f (x ) = min ïx , ï í ý   ï xï ï î ï þ    
  • 16.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 3. ฟังก์ ชันหนึ่งต่ อหนึ่ง
  • 17.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ในช่วงนี้ได้อธิบายถึงบทนิยามของฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งจากเซต A ไปเซต B จากนั้นได้ต้ งข้อสังเกตเกี่ยวกับ ั ั ่ จํานวนสมาชิกของเซต A และเซต B ที่มีผลต่อการมีอยูของฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งจากเซต A ไปเซต B เมื่อทั้ง ั คูเ่ ป็ นเซตจํากัด             เมื่อมาถึงตรงนี้ครู ควรยํ้าว่าข้อสังเกตที่ได้ต้ งไว้ในสื่ อนั้น บอกเพียงว่าสําหรับเซต A และเซต B ที่เป็ นเซต ั จํากัด ถ้า n(A) > n(B ) แล้วจะไม่มีฟังก์ชน  f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง จากนั้นครู ควรชวน ั ั นักเรี ยนให้ช่วยกันอภิปรายว่า แล้วในกรณี ที่ n(A) £ n(B ) จะหาฟังก์ชน  f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อ ั ั หนึ่งได้อย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชนเสมอหรื อไม่ ถ้าหาได้ให้นกเรี ยนช่วยกันยกตัวอย่างประกอบ   ั ั      
  • 18.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ในช่วงนี้ได้อธิบายการนับจํานวนฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งที่เป็ นไปได้ท้ งหมดจากเซต A ไปเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ น ั ั เซตจํากัด และ n(A) £ n(B )       สําหรับการนับจํานวนฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งที่เป็ นไปได้จากเซต A ไปเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซตจํากัดนั้น หาก ั นักเรี ยนยังไม่เข้าใจในทีแรกครู อาจแบ่งการอธิบายเป็ นขั้นๆ ดังนี้  1. ให้ n(A) = 1 แล้วค่อยๆ เพิ่ม n(B ) จาก 1 เป็ น 2 เป็ น 3 เรื่ อยไปจนเป็ นจํานวนนับ m ใดๆ  2. ให้ n(A) = 2 แล้วค่อยๆ เพิ่ม n(B ) จาก 2 เป็ น 3 เป็ น 4 เรื่ อยไปจนเป็ นจํานวนนับ m ใดๆ   3. ให้ n(A) = n และ n(B ) = m เมื่อ n และ m เป็ นจํานวนนับใดๆ ที่ n £ m     การนับจํานวนฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งที่เป็ นไปได้ท้ งหมดจากเซต A ไปเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซตจํากัดที่อธิบายใน ั ั สื่ อนั้นอาศัยหลักการคูณเช่นเดียวกัน ยิงไปกว่านั้นจํานวนฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งที่เป็ นไปได้ท้ งหมดจากเซต A ่ ั ั ไปเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซตจํากัดที่ได้น้ น เท่ากับจํานวนการจัดเรี ยงสิ่ งของที่แตกต่างกัน m สิ่ งโดยเลือกมา ั จัดเรี ยงในแนวเส้นตรงเพียง n สิ่ ง ซึ่งรายละเอียดของหลักการนับ และการจัดเรี ยงสิ่ งของนั้นนักเรี ยนจะได้ ศึกษาในสื่ อเรื่ องการนับและความน่าจะเป็ นโดยอาจารย์ณฐกาญจน์   ั   ครู ควรให้นกเรี ยนช่วยกันอภิปรายต่อในประเด็นต่างๆ เช่น  ั 1. สําหรับเซต A และเซต B ที่เป็ นเซตจํากัด หากมีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งแล้ว ั ั จะเปรี ยบเทียบ n(A) กับ n(B ) ได้หรื อไม่ ถ้าได้ผลของการเปรี ยบเทียบเป็ นอย่างไร   2. หากเซต A เป็ นเซตอนันต์และเซต B เป็ นเซตจํากัดแล้วจะมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ั ได้หรื อไม่ 
  • 19.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 3. หากเซต A เป็ นเซตจํากัดและเซต B เป็ นเซตอนันต์แล้วจะมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ั ได้หรื อไม่  4. หาก A เป็ นเซตจํากัดและมีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง แล้วเซต B เป็ นเซตจํากัด ั ั หรื อเซตอนันต์หรื อสรุ ปไม่ได้  5. หาก B เป็ นเซตอนันต์และมีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง แล้วเซต A เป็ นเซต ั ั จํากัดหรื อเซตอนันต์หรื อสรุ ปไม่ได้  เป็ นต้น    เมื่อมาถึงตอนนี้ครู อาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิมเติม  ่   ตัวอย่ าง 4 กําหนดให้ A เป็ นเซตจํากัดใดๆ ที่ไม่ใช่เซตว่าง จงหาจํานวนฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งทั้งหมดที่เป็ นไป ั ได้จากเซต A ไปพาวเวอร์เซตของ A     วิธีทา เนื่องจากพาวเวอร์เซตของ A มีสมาชิก 2n (A) ตัว ซึ่งมากกว่า n(A) เสมอ (ทําไม) ดังนั้นจํานวนฟังก์ชน ํ ั หนึ่งต่อหนึ่งทั้งหมดที่เป็ นไปได้จากเซต A ไปพาวเวอร์เซตของ A เท่ากับ 2n (A)(2n (A) - 1)(2n (A) - 2)(2n (A) - (n(A) - 1)) ฟั งก์ชน  ั   ตัวอย่ าง 5 กําหนดให้ A = {1, 2} และ B = {1, 2, 3, ..., 10} จงหาจํานวนสมาชิกของเซต   {f : A  B | f เป็ นฟั งก์ชนหนึ่ งต่อหนึ่ ง และ มี x Î A ซึ่ ง f (x ) = x }   ั   วิธีทา จากโจทย์จะสามารถแยกพิจารณาเป็ นสองกรณี ได้ดงนี้   ํ ั ่ ่ ั กรณี x = 1 จะได้วา f = {(1,1), (2,)} เนื่องจาก f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้น 2 จะจับคูกบ 1 ด้วย ั ฟังก์ชน f อีกไม่ได้ ทําให้มีจานวนวิธีที่จะนําตัวเลขในเซต B มาจับคู่กบ 2 เพียง 9 วิธี  ั ํ ั ่ ่ ั กรณี x = 2 จะได้วา f = {(1,), (2,2)} เนื่องจาก f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้น 1 จะจับคูกบ 2 ด้วย ั ฟังก์ชน f อีกไม่ได้ ทําให้มีจานวนวิธีที่จะนําตัวเลขในเซต B มาจับคู่กบ 1 เพียง 9 วิธี  ั ํ ั อย่างไรก็ดีท้ งสองกรณี น้ ีมีการนับ f = {(1,1), (2,2)} ซํ้ากันสองครั้ง ดังนั้นจํานวนสมาชิกของเซต   ั {f : A  B | f เป็ นฟั งก์ชนหนึ่ งต่อหนึ่ ง และ มี x Î A ซึ่ ง f (x ) = x } เท่ากับ 9 + 9 - 1 = 17 ตัว  ั      
  • 20.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ั ํ ในช่วงนี้ได้อธิบายถึงการตรวจสอบว่าฟังก์ชนที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่ โดยวิธีเชิงพีชคณิ ตและ ั โดยการวาดกราฟ        เมื่อถึงตอนนี้ครู อาจตั้งข้อสังเกตให้นกเรี ยนเห็นว่าหากฟังก์ชนที่กาหนดมาให้น้ นมีพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ | x | ั ั ํ ั หรื อ x n เมื่อ n เป็ นจํานวนคู่ ฟังก์ชนเหล่านั้นมีสิทธิ์จะไม่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งสูง เนื่องจาก ค่าของ x ที่ ั ั เป็ นน้อยกว่าศูนย์ หรื อมากกว่าศูนย์ เมื่อแทนค่าในพจน์ดงกล่าวแล้วจะมีค่ามากกว่าศูนย์ท้ งสิ้ น ทําให้ได้วา ั ั ่ สมาชิกตัวหน้าสองตัวที่ต่างกันมีสิทธิ์จะไปจับคู่กบสมาชิกตัวหลังตัวเดียวกันได้ ทั้งนี้ตองพิจารณาเงื่อนไขอื่นๆ ั ้ ที่เกี่ยวกับฟังก์ชนที่กาหนดให้อย่างรอบคอบก่อน ดังเช่นตัวอย่างนี้  ั ํ   x3 ตัวอย่ าง 6 จงพิจารณาว่าฟังก์ชน f (x ) = ั เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่  ั |x |   x 13 x 23 ่ วิธีทา สําหรับ x 1 และ x 2 Î Df สมมติวา f (x1 ) = f (x1 ) นันคือ ํ ่ =   | x1 | | x2 | x 13 x 23 ่ กรณี ( x1 > 0 และ x 2 > 0 ) หรื อ ( x1 < 0 และ x 2 < 0 ) จะได้วา = ส่ งผลให้ | x1 | | x2 | x 13 x 23 x = 1 2 = = x 22 ทําให้ x1 = x 2   x1 x2 x 13 x 23 x 13 x 23 ่ กรณี x1 > 0 และ x 2 < 0 จะได้วา = ส่ งผลให้ 2 x = 1 =- = -x 22 ซึ่งเกิดข้อขัดแย้ง  | x1 | | x2 | x1 x2 x 13 x 23 x 13 x 23 ่ กรณี x1 < 0 และ x 2 > 0 จะได้วา = ส่ งผลให้ -x 12 = - = = x 22 ซึ่งเกิดข้อขัดแย้ง  | x1 | | x2 | x1 x2
  • 21.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ํ ่ จากทั้งสามกรณี ทาให้ได้วาถ้า f (x1 ) = f (x1 ) แล้ว x1 = x 2 แสดงว่า f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ซึ่งสามารถ ั พิจารณาได้จากกราฟของฟังก์ชนนี้เช่นกัน  ั 4     2     -2 -1 1 2     -2     -4   ั ่ เมื่อมาถึงตอนนี้ครู อาจยกตัวอย่างฟังก์ชนจากสื่ อตอนที่ผานๆ มาเพื่อให้นกเรี ยนช่วยกันตรวจสอบว่าเป็ นฟังก์ชน ั ั หนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่ นอกจากนี้ครู อาจยกตัวอย่างต่อไปนี้เพิ่มเติม    ตัวอย่ าง 6 จงพิจารณาว่าฟังก์ชน f (x ) = | 2x - 1 | +3 เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่  ั ั   วิธีทา เนื่องจาก (0, 4) Î f และ (1, 4) Î f แต่ 0 ¹ 1 ดังนั้น f ไม่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ทั้งนี้อาจสังเกต ํ ั ได้จากกราฟ  4.0 3.8 3.6 3.4 3.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
  • 22.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ซึ่งเห็นได้ชดว่ามีเส้นตรงที่ขนานกับแกน X ตัดกราฟ y = f (x ) มากกว่าหนึ่งจุด ั ตัวอย่ าง 8 จงพิจารณาว่าฟังก์ชน f (x ) = x 3 เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่  ั ั   ่ ่ วิธีทา ให้ x1 และ x 2 Î Df สมมติวา x13 = f (x1 ) = f (x 2 ) = x 23 จะได้วา x1 = x 2 และ f เป็ นฟังก์ชนหนึ่ง ํ ั ต่อหนึ่ง สําหรับฟังก์ชนนี้นกเรี ยนสามารถลองลงรอยทางเดินของจุดเพือร่ างกราฟได้ดงรู ป ั ั ่ ั 1.0 0.5 - 1.0 - 0.5 0.5 1.0 - 0.5 - 1.0 จากกราฟเห็นได้ชดว่าเส้นตรงทั้งหลายที่ขนานกับแกน X ตัดกราฟของฟังก์ชนนี้เพียงจุดเดียวเท่านั้นแสดงว่า f ั ั เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ั ตัวอย่ าง 7 จงพิจารณาว่าฟังก์ชน f (x ) = ax + b เมื่อ a, ั b, c และ d เป็ นจํานวนจริ งที่ c และ d ไม่เป็ นศูนย์ cx + d พร้อมกัน จงหาเงื่อนไขเพิ่มเติมของ a, b, c และ d ที่ทาให้ f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ํ ั ax 1 + b ax 2 + b ํ ่ วิธีทา ให้ x1 และ x 2 Î Df สมมติวา = f (x 1 ) = f (x 2 ) = ดังนั้น cx 1 + d cx 2 + d นันคือ (ad - bc)x1 = (ad - bc)x 2 จะได้วา acx 1x 2 + adx 1 + bcx 2 + bd = acx 1x 2 + bcx 1 + adx 2 + bd่ ่ ่ หาก ad - bc ¹ 0 จะได้วา x1 = x 2 และ f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้นเงื่อนไขเพิ่มเติมคือ ad - bc ¹ 0 ั พึงสังเกตว่า ad - bc ¹ 0 ก็ต่อเมื่อ a ¹ b c d
  • 23.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึ กหัดเพิมเติมเรื่องฟังก์ ชันหนึ่งต่ อหนึ่ง ่ จงพิจารณาว่าฟังก์ชนที่กาหนดให้ต่อไปนี้เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่ พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ ั ํ ั 1. f (x ) = -x 2. f (x ) = 2 | x | 3. f (x ) = -3x 2 + 1 เมื่อ x < 0 4. f (x ) = (x - 2)2 เมื่อ x ³ 0 5. f (x ) = จํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่มากกว่าหรื อเท่ากับ x ้ 6. f (x ) = ห.ร.ม. ของ x กับ 123456 จากกราฟของฟังก์ชนที่กาหนดให้ต่อไปนี้ จงพิจารณาว่าเป็ นกราฟของฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่ หากไม่เป็ นให้ ั ํ ั ยกตัวอย่างเส้นตรงที่ขนานกับแกน X และตัดกราฟของฟังก์ชนนั้นๆ มากกว่าหนึ่งจุด ั 7. 5 8. 1.0 0.5 4 - 1.0 - 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 3 - 0.5 2 - 1.0 1 - 1.5 - 2.0 -2 -1 0 1 2 9. 1.5 10. 6 1.0 0.5 4 -6 -4 -2 - 0.5 2 4 6 - 1.0 - 1.5 2 -6 -4 -2 2 4 6 -2 -4 -6
  • 24.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สรุปสาระสํ าคัญประจําตอน
  • 25.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย         ในช่วงที่สื่อกําลังสรุ ปสาระสําคัญประจําตอนนั้น ได้กล่าวถึงฟังก์ชน f : A  B ที่มีสมบัติทวถึง และ หนึ่งต่อหนึ่ง ั ั่ พร้อมๆ กัน ฟังก์ชนดังกล่าวนี้จะเรี ยกว่า ฟังก์ชนสมนัยหนึ่งต่อหนึ่ง (one-to-one correspondence function) ครู ควรนํา ั ั นักเรี ยนอภิปรายว่าหากเซต A และเซต B เป็ นเซตจํากัดทั้งคู่แล้วจํานวนสมาชิกของเซตทั้งสองมีผลต่อการมีอยูของ ่ ่ ฟังก์ชนสมนัยหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตทั้งสองหรื อไม่ โดยอาจเริ่ มจากเงื่อนไขที่วาถ้า n(A) ³ n(B ) แล้วจะสามารถ ั หาฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึงได้เสมอ ในขณะที่หาก n(A) £ n(B ) แล้วจะสามารถหาฟังก์ชน ั ั ่ ั f : A  B ที่เป็ นฟั งก์ชนหนึ่ งต่อหนึ่ งได้เสมอ เพื่อนําไปสู่ ขอสรุ ปที่วาถ้า n(A) = n(B ) แล้วจะสามารถหาฟั งก์ชน ั ้ ่ ั f : A  B ที่เป็ นฟั งก์ชนสมนัยหนึ่ งต่อหนึ่ งได้เสมอ และในทางกลับกันสําหรับเซต A และเซต B ที่เป็ นเซตจํากัด ั ่ หากมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนสมนัยหนึ่งต่อหนึ่งแล้วจะได้วา n(A) = n(B ) เช่นกัน เมื่อมาถึงจุดนี้ครู อาจชี้ให้ ั นักเรี ยนตระหนักว่า การนับจํานวนสิ่ งของต่างๆ ที่มีอยูเ่ ป็ นจํานวนจํากัด ในชีวิตประจําวันของนักเรี ยนแท้จริ งแล้วคือ การสร้างฟังก์ชนสมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจากเซต {1, 2, 3, ..., n} ไปยังเซตของสิ่ งของที่มี n ชิ้นนันเอง  ั ่  
  • 26.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ในกรณี ที่ A และ B เป็ นเซตอนันต์ การมีอยูของฟังก์ชนสมนัยหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตทั้งสองนี้บ่งบอกว่าเซตทั้ง ่ ั สองนี้มี “จํานวนสมาชิก” เท่าๆ กัน ซึ่งนักเรี ยนอาจดูตวอย่างได้จาก โรงแรมของฮิลแบร์ท ในสื่ อบทนําเรื่ องเซต โดย ั อาจารย์จิณดิษฐ์ และอาจารย์รตินนท์   ั   ชวนคิด สําหรับเซต A ใดๆ จะมีฟังก์ชน f : A  A ที่เป็ นฟังก์ชนสมนัยหนึ่งต่อหนึ่งอย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชนหรื อไม่ ั ั ั ถ้ามีจงยกตัวอย่างฟังก์ชนที่มีสมบัติดงกล่าว ถ้าไม่มีจงให้เหตุผลประกอบ ั ั
  • 27.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 1 แบบฝึ กหัด/เนือหาเพิมเติม ้ ่
  • 28.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึ กหัดระคน  สําหรับเซต A และเซต B ใดๆ จงพิจารณาว่าข้อความในข้อ 1 – 6 ว่าเป็ นจริ งหรื อไม่ พร้อมทั้งให้เหตุผล ประกอบ  1. ถ้า A เป็ นเซตจํากัดแล้วฟังก์ชน f : A  B ใดๆ เป็ นเซตจํากัด  ั 2. ถ้า A เป็ นเซตอนันต์แล้วมี f : A  B ที่เป็ นเซตจํากัด  3. ถ้า A เป็ นเซตอนันต์และ B เป็ นเซตจํากัดแล้วจะมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึง   ั ่ ่ 4. ถ้า A เป็ นเซตจํากัดและมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึงแล้วจะได้วา B เป็ นเซตจํากัด  ั ่ 5. ถ้า A เป็ นเซตอนันต์และ B เป็ นเซตจํากัดแล้วจะมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง  ั ่ 6. ถ้า A เป็ นเซตอนันต์และมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งแล้วจะได้วา B เป็ นเซตอนันต์   ั   7. กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6},   B = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}}  และ F = {f : B  A | f (X ) Ï X ทุกเซต X Î B } จงหาจํานวนสมาชิกของ F    8. กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4} และ S = {f : A  A | f (x ) £ x + 1 ทุก x Î A} จงหาจํานวนสมาชิก ของ S   9. กําหนดให้ A = {1, 2} และ B = {1, 2, 3, ..., 10} จงหาจํานวนสมาชิกของเซต   {f : A  B | f เป็ นฟั งก์ชนหนึ่ งต่อหนึ่ ง และ มี x Î A ซึ่ ง f (x ) ¹ x }   ั 10. กําหนดให้ A = {0, 1, 2, 3} และ P (A) คือพาวเวอร์เซตของ A จงหาจํานวนสมาชิกของเซต {f : A  P (A) | x Ï f (x ) และ x + 1 Ï f (x ) ทุก x Î A}  
  • 29.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 2 เฉลยแบบฝึ กหัด
  • 30.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เฉลยแบบฝึ กหัดเรื่องฟังก์ ชันจากเซต  A ไปเซต  B   1. น้อยกว่าอยู่ 6049 ฟังก์ชน   ั 2. ให้ n และ m เป็ นจํานวนนับใดๆ และ A และ B เป็ นเซตจํากัดที่ n(A) = n และ n(B ) = m จะได้วา ่ จํานวนความสัมพันธ์ท้ งหมดที่เป็ นไปได้จากเซต A ไปเซต B หรื อจากเซต B ไปเซต A คือ 2nm ั ความสัมพันธ์ จํานวนฟังก์ชน f : A  B ทั้งหมดที่เป็ นไปได้คือ m n ฟังก์ชน และจํานวนฟังก์ชน ั ั ั f : B  A ทั้งหมดที่เป็ นไปได้คือ n m เนื่ องจากฟั งก์ชน f : A  B เป็ นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต ั B แบบหนึ่ ง และฟั งก์ชน f : B  A เป็ นความสัมพันธ์จากเซต B ไปเซต A แบบหนึ่ ง จึงสรุ ปได้วา ั ่ m n £ 2nm และ n m £ 2nm   3. 12285 ตัว 4. 15625 ตัว 5. 24 ตัว  เฉลยแบบฝึ กหัดเรื่องฟังก์ ชันทัวถึง  ่ 1. f เป็ นฟังก์ชนจากเซต (-1, 3] ไปทัวถึง [0, 9] ั ่ 2. f เป็ นฟังก์ชนจากเซต [-3,1) ไปทัวถึง [0, 3]   ั ่ æ 1 ùú éê 1 ö 3. f เป็ นฟังก์ชนจากเซต ç-¥, - ั ç ç È , ¥÷ ไปทัวถึง [0, ¥)   ÷ ÷ ่ ç è ú ê ÷ ø 2û ë 2 4.f เป็ นฟั งก์ชนจากเซต  - {-1, 1} ไปทัวถึง  - {0} ั ่   5. f เป็ นฟังก์ชนจากเซต  - {0} ไปทัวถึง (-¥, -1] È (0,1]   ั ่   เฉลยแบบฝึ กหัดเรื่องฟังก์ ชันหนึ่งต่ อหนึ่ง  1. เป็ น เพราะทุก x1 และ x 2 ในโดเมนของ f ถ้า -x1 = -x 2 แล้ว x1 = x 2   2. ไม่เป็ น เพราะมี f (-1) = 2 = f (1) แต่ -1 ¹ 1   3. เป็ น เพราะทุก x1 และ x 2 ในโดเมนของ f ถ้า -3x12 + 1 = -3x 22 + 1 แล้ว | x1 | = | x 2 | แต่ในที่น้ ี ่ x 1 < 0 และ x 2 < 0 ทําให้ได้วา x 1 = x 2   4. ไม่เป็ น เพราะมี f (1) = 1 = f (3) แต่ 1 ¹ 3   5. ไม่เป็ น เพราะมี f (1) = 1 = f (0.9) แต่ 1 ¹ 0.9   6. ไม่เป็ น เพราะมี f (4) = 4 = f (20) แต่ 4 ¹ 20   7. เป็ น 8. เป็ น 
  • 31.
    คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์โดยความร่ วมมือระหว่าง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 9. ไม่เป็ น เพราะมีเส้นตรงดังรู ปตัดกราฟมากกว่าหนึ่งจุด 10. ไม่เป็ น เพราะมีเส้นตรงดังรู ปตัดกราฟมากกว่า   หนึ่งจุด   6   1.5 4 1.0   0.5 2 -6 -4 -2 - 0.5 2 4 6   - 1.0 -6 -4 -2 2 4 6 - 1.5   -2 -4   -6   เฉลยแบบฝึ กหัดระคน    1. จริ ง เพราะ Df = A   2. เท็จ เช่น A =  เนื่องจาก Df = A =  ทําให้ฟังก์ชนจากเซต A =  ไปเซต B เป็ นเซตอนันต์   ั ่ 3. จริ ง สมมติวา n(B ) = n เนื่องจากเซต A เป็ นเซตอนันต์ ดังนั้นสร้างฟังก์ชนจากสมาชิก n ตัวของเซต A ั กับสมาชิกทุกตัวของเซต B จากนั้นสมาชิกที่เหลือของเซต A สร้างฟังก์ชนโดยกําหนดค่าฟังก์ชนให้เป็ น ั ั สมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของเซต B   4. จริ ง เพราะการที่มีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึง แสดงว่า n(A) ³ n(B )   ั ั ่ 5. เท็จ เช่น f :   {1} เนื่องจาก Df =  ทําให้ฟังก์ชนระหว่างเซตทั้งสองนี้ไม่มีทางเป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อ ั ั หนึ่งได้  6. จริ ง เพราะการที่มีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง แสดงว่า n(A) £ n(B )   ั ั 7. 120 ตัว 8. 96 ตัว 9. 89 ตัว 10. 512 ตัว