SlideShare a Scribd company logo
Презентація до уроку
Вчитель спеціалізованої
школи №52
М. Києва
Мовчан А.В.
Теорема Менелая.
Теорема Чеви.
«У величезному саду
геометрії кожний може
підібрати собі букет за
смаком”
Давид Гільберт
Відомо, що планіметрія, як
розділ геометрії, починається з
трикутника. Перші змістовні
теореми стосуються саме
трикутника. Сьогодні ще
розглянемо дві теореми, які
стосуються трикутника.
Теорема Менелая
111 ,, CBAНехай задано трикутник АВС і три точки
на прямих ВС, АС і АВ відповідно. Точки
лежать на одній прямій, тоді і тільки тоді, коли
виконується рівність:
111 ,, CBA
1
1
1
1
1
1
1

АВ
СB
СA
BА
BC
АC
А
В
С
1C
1B
1A
B
A
K
C
M
3
4
Запишемо теорему
Менелая для трикутника
МВС і прямої АКО
Знайти: ВК:КС
Так як
Відповідь: 3:8
1
OB
MO
AM
CA
KC
BK
8
3
,1
3
4
1
2

KC
BK
KC
BK
Відрізок, який з’єднує вершину
трикутника і будь-яку точку
протилежної сторони називається
чевіаною.
Конкурентними називають
три прямі, що перетинаються в
одній точці.
Означення
Теорема Чеви
111 ,, CCBBAA
1
1
1
1
1
1
1

AB
CB
CA
BA
BC
AC
Для того, щоб чевіани
трикутника АВС перетинались в одній
точці, необхідно і достатньо, щоб
виконувалась рівність:
1C
1A
1В
А
В
С
D
Задача
Довести, що медіани
трикутника АВС
перетинаються в
одній точці.
1A
1C
1B
B
CA
D
1
1
1
1
1
1
1

AB
CB
CA
BA
BC
AC
CABABCACCBBA 1111111 ,, 
Доведення
Застосуємо теорему Чеви до
трикутника АВС
Так як
то 1111 
Дякую за
увагу.

More Related Content

What's hot

лінійні нерівності
лінійні нерівностілінійні нерівності
лінійні нерівності
Ольга Гладун
 
презентація до уроку №3
презентація до уроку №3презентація до уроку №3
презентація до уроку №3
Марганецкая школа №5
 
Урок №4 Основна властивість дробу. Зведення дробів до спільного знаменника.
Урок №4 Основна властивість дробу. Зведення дробів до спільного знаменника.Урок №4 Основна властивість дробу. Зведення дробів до спільного знаменника.
Урок №4 Основна властивість дробу. Зведення дробів до спільного знаменника.
sveta7940
 
9кл. квадратні нерівності
9кл. квадратні нерівності9кл. квадратні нерівності
9кл. квадратні нерівності
Pasha Boyko
 
Координатна площина
Координатна площинаКоординатна площина
Координатна площина
wiralevochko
 
презентация. обєм піраміди, типові задачі
презентация. обєм піраміди, типові задачіпрезентация. обєм піраміди, типові задачі
презентация. обєм піраміди, типові задачі
olgasamiltnko7
 
Множини. Підмножини. Числові множини. Раціональні числа.
Множини. Підмножини. Числові множини. Раціональні числа.Множини. Підмножини. Числові множини. Раціональні числа.
Множини. Підмножини. Числові множини. Раціональні числа.
sveta7940
 
Методи доведення
Методи доведенняМетоди доведення
Методи доведення
tcherkassova2104
 
Прикладні задачі (на допомогу вчителю математики)
Прикладні задачі (на допомогу вчителю математики)Прикладні задачі (на допомогу вчителю математики)
Прикладні задачі (на допомогу вчителю математики)
Надвірнянський інформаційно - методичний центр
 
З.І.Медвідь. «Пряма та обернена пропорційність» (6 клас)
З.І.Медвідь. «Пряма та обернена пропорційність» (6 клас)З.І.Медвідь. «Пряма та обернена пропорційність» (6 клас)
З.І.Медвідь. «Пряма та обернена пропорційність» (6 клас)
Інститут післядипломної педагогічної освіти КУБГ
 
Презентація:Системи рівнянь другого степеня з двома змінними
Презентація:Системи рівнянь другого степеня з двома зміннимиПрезентація:Системи рівнянь другого степеня з двома змінними
Презентація:Системи рівнянь другого степеня з двома змінними
sveta7940
 
Презентація:Ділення десяткового дробу на натуральне число
Презентація:Ділення десяткового дробу на натуральне числоПрезентація:Ділення десяткового дробу на натуральне число
Презентація:Ділення десяткового дробу на натуральне число
sveta7940
 
Презентація:Чотирикутники (узагальнення та систематизація знань)
Презентація:Чотирикутники (узагальнення та систематизація знань)Презентація:Чотирикутники (узагальнення та систематизація знань)
Презентація:Чотирикутники (узагальнення та систематизація знань)
sveta7940
 
Додавання раціональних чисел
Додавання раціональних чиселДодавання раціональних чисел
Додавання раціональних чисел
Захарова Олена
 
Множення натуральних чисел та його властивості
Множення натуральних чисел та його властивостіМноження натуральних чисел та його властивості
Множення натуральних чисел та його властивості
Николай Заблуда
 
Розв"язування задач на знаходження площі трикутника
Розв"язування задач на знаходження площі трикутникаРозв"язування задач на знаходження площі трикутника
Розв"язування задач на знаходження площі трикутника
sveta7940
 
властивості арифметичного квадратного кореня
властивості арифметичного квадратного коренявластивості арифметичного квадратного кореня
властивості арифметичного квадратного кореня
Гергель Ольга
 
Стандартний вигляд числа
Стандартний вигляд числаСтандартний вигляд числа
Стандартний вигляд числаFormula.co.ua
 
Презентація:Розв"язування прямокутних трикутників
Презентація:Розв"язування прямокутних трикутниківПрезентація:Розв"язування прямокутних трикутників
Презентація:Розв"язування прямокутних трикутників
sveta7940
 
Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики
Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистикиЕлементи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики
Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики
russoua
 

What's hot (20)

лінійні нерівності
лінійні нерівностілінійні нерівності
лінійні нерівності
 
презентація до уроку №3
презентація до уроку №3презентація до уроку №3
презентація до уроку №3
 
Урок №4 Основна властивість дробу. Зведення дробів до спільного знаменника.
Урок №4 Основна властивість дробу. Зведення дробів до спільного знаменника.Урок №4 Основна властивість дробу. Зведення дробів до спільного знаменника.
Урок №4 Основна властивість дробу. Зведення дробів до спільного знаменника.
 
9кл. квадратні нерівності
9кл. квадратні нерівності9кл. квадратні нерівності
9кл. квадратні нерівності
 
Координатна площина
Координатна площинаКоординатна площина
Координатна площина
 
презентация. обєм піраміди, типові задачі
презентация. обєм піраміди, типові задачіпрезентация. обєм піраміди, типові задачі
презентация. обєм піраміди, типові задачі
 
Множини. Підмножини. Числові множини. Раціональні числа.
Множини. Підмножини. Числові множини. Раціональні числа.Множини. Підмножини. Числові множини. Раціональні числа.
Множини. Підмножини. Числові множини. Раціональні числа.
 
Методи доведення
Методи доведенняМетоди доведення
Методи доведення
 
Прикладні задачі (на допомогу вчителю математики)
Прикладні задачі (на допомогу вчителю математики)Прикладні задачі (на допомогу вчителю математики)
Прикладні задачі (на допомогу вчителю математики)
 
З.І.Медвідь. «Пряма та обернена пропорційність» (6 клас)
З.І.Медвідь. «Пряма та обернена пропорційність» (6 клас)З.І.Медвідь. «Пряма та обернена пропорційність» (6 клас)
З.І.Медвідь. «Пряма та обернена пропорційність» (6 клас)
 
Презентація:Системи рівнянь другого степеня з двома змінними
Презентація:Системи рівнянь другого степеня з двома зміннимиПрезентація:Системи рівнянь другого степеня з двома змінними
Презентація:Системи рівнянь другого степеня з двома змінними
 
Презентація:Ділення десяткового дробу на натуральне число
Презентація:Ділення десяткового дробу на натуральне числоПрезентація:Ділення десяткового дробу на натуральне число
Презентація:Ділення десяткового дробу на натуральне число
 
Презентація:Чотирикутники (узагальнення та систематизація знань)
Презентація:Чотирикутники (узагальнення та систематизація знань)Презентація:Чотирикутники (узагальнення та систематизація знань)
Презентація:Чотирикутники (узагальнення та систематизація знань)
 
Додавання раціональних чисел
Додавання раціональних чиселДодавання раціональних чисел
Додавання раціональних чисел
 
Множення натуральних чисел та його властивості
Множення натуральних чисел та його властивостіМноження натуральних чисел та його властивості
Множення натуральних чисел та його властивості
 
Розв"язування задач на знаходження площі трикутника
Розв"язування задач на знаходження площі трикутникаРозв"язування задач на знаходження площі трикутника
Розв"язування задач на знаходження площі трикутника
 
властивості арифметичного квадратного кореня
властивості арифметичного квадратного коренявластивості арифметичного квадратного кореня
властивості арифметичного квадратного кореня
 
Стандартний вигляд числа
Стандартний вигляд числаСтандартний вигляд числа
Стандартний вигляд числа
 
Презентація:Розв"язування прямокутних трикутників
Презентація:Розв"язування прямокутних трикутниківПрезентація:Розв"язування прямокутних трикутників
Презентація:Розв"язування прямокутних трикутників
 
Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики
Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистикиЕлементи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики
Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики
 

Viewers also liked

Irma barrios resume - 2016
Irma barrios   resume - 2016Irma barrios   resume - 2016
Irma barrios resume - 2016
Irma Barrios
 
Job Stress and Presenteeism among Nurses in Tertiary Level Hospitals in Pakis...
Job Stress and Presenteeism among Nurses in Tertiary Level Hospitals in Pakis...Job Stress and Presenteeism among Nurses in Tertiary Level Hospitals in Pakis...
Job Stress and Presenteeism among Nurses in Tertiary Level Hospitals in Pakis...
Lachman Das Malhi
 
Nâng cao hiệu quả sử dụng vốn lưu động tại công ty tnhh liên doanh sơn asc ve...
Nâng cao hiệu quả sử dụng vốn lưu động tại công ty tnhh liên doanh sơn asc ve...Nâng cao hiệu quả sử dụng vốn lưu động tại công ty tnhh liên doanh sơn asc ve...
Nâng cao hiệu quả sử dụng vốn lưu động tại công ty tnhh liên doanh sơn asc ve...
https://www.facebook.com/garmentspace
 
4to informe part one
4to informe part one4to informe part one
4to informe part one
Roberto Criollo
 
Agile Tour 2016 Pune - Collective conscience Vaibhav Rastogi
Agile Tour 2016 Pune - Collective conscience Vaibhav RastogiAgile Tour 2016 Pune - Collective conscience Vaibhav Rastogi
Agile Tour 2016 Pune - Collective conscience Vaibhav Rastogi
India Scrum Enthusiasts Community
 
Ensayo simce ed. matem.octubre 6º
Ensayo simce ed. matem.octubre 6ºEnsayo simce ed. matem.octubre 6º
Ensayo simce ed. matem.octubre 6ºVeronica Molina
 
7г властивості прям_трикутн
7г властивості прям_трикутн7г властивості прям_трикутн
7г властивості прям_трикутн
daniil chilochi
 
7а степінь з_ціл_від_показником_мовчан
7а степінь з_ціл_від_показником_мовчан7а степінь з_ціл_від_показником_мовчан
7а степінь з_ціл_від_показником_мовчан
daniil chilochi
 
The landscapes of the earth
The landscapes of the earthThe landscapes of the earth
The landscapes of the earth
itsevagomez
 
comparsion of anti-inflammatory activity of bauhina variegata
comparsion of anti-inflammatory activity of bauhina variegatacomparsion of anti-inflammatory activity of bauhina variegata
comparsion of anti-inflammatory activity of bauhina variegata
konatham teja kumar reddy
 
Disaster Risk Management
Disaster Risk ManagementDisaster Risk Management
Disaster Risk Management
Donelly Rodriguez
 

Viewers also liked (14)

Irma barrios resume - 2016
Irma barrios   resume - 2016Irma barrios   resume - 2016
Irma barrios resume - 2016
 
Job Stress and Presenteeism among Nurses in Tertiary Level Hospitals in Pakis...
Job Stress and Presenteeism among Nurses in Tertiary Level Hospitals in Pakis...Job Stress and Presenteeism among Nurses in Tertiary Level Hospitals in Pakis...
Job Stress and Presenteeism among Nurses in Tertiary Level Hospitals in Pakis...
 
Nâng cao hiệu quả sử dụng vốn lưu động tại công ty tnhh liên doanh sơn asc ve...
Nâng cao hiệu quả sử dụng vốn lưu động tại công ty tnhh liên doanh sơn asc ve...Nâng cao hiệu quả sử dụng vốn lưu động tại công ty tnhh liên doanh sơn asc ve...
Nâng cao hiệu quả sử dụng vốn lưu động tại công ty tnhh liên doanh sơn asc ve...
 
4to informe part one
4to informe part one4to informe part one
4to informe part one
 
Agile Tour 2016 Pune - Collective conscience Vaibhav Rastogi
Agile Tour 2016 Pune - Collective conscience Vaibhav RastogiAgile Tour 2016 Pune - Collective conscience Vaibhav Rastogi
Agile Tour 2016 Pune - Collective conscience Vaibhav Rastogi
 
Ensayo simce ed. matem.octubre 6º
Ensayo simce ed. matem.octubre 6ºEnsayo simce ed. matem.octubre 6º
Ensayo simce ed. matem.octubre 6º
 
7г властивості прям_трикутн
7г властивості прям_трикутн7г властивості прям_трикутн
7г властивості прям_трикутн
 
7а степінь з_ціл_від_показником_мовчан
7а степінь з_ціл_від_показником_мовчан7а степінь з_ціл_від_показником_мовчан
7а степінь з_ціл_від_показником_мовчан
 
The landscapes of the earth
The landscapes of the earthThe landscapes of the earth
The landscapes of the earth
 
La poblac..
La poblac..La poblac..
La poblac..
 
BOOK 2
BOOK 2BOOK 2
BOOK 2
 
Introduccion
IntroduccionIntroduccion
Introduccion
 
comparsion of anti-inflammatory activity of bauhina variegata
comparsion of anti-inflammatory activity of bauhina variegatacomparsion of anti-inflammatory activity of bauhina variegata
comparsion of anti-inflammatory activity of bauhina variegata
 
Disaster Risk Management
Disaster Risk ManagementDisaster Risk Management
Disaster Risk Management
 

More from daniil chilochi

пр сист коорд_шаповал
пр сист коорд_шаповалпр сист коорд_шаповал
пр сист коорд_шаповал
daniil chilochi
 
задачі оптиміз середа
задачі оптиміз середазадачі оптиміз середа
задачі оптиміз середа
daniil chilochi
 
11а логар ф-я_і_параметром_модягіна
11а логар ф-я_і_параметром_модягіна11а логар ф-я_і_параметром_модягіна
11а логар ф-я_і_параметром_модягіна
daniil chilochi
 
11а задачі оптимізації_диф_числення_середа
11а задачі оптимізації_диф_числення_середа11а задачі оптимізації_диф_числення_середа
11а задачі оптимізації_диф_числення_середа
daniil chilochi
 
11 показникова
11 показникова11 показникова
11 показникова
daniil chilochi
 
11 ймовірність шаповал
11 ймовірність шаповал11 ймовірність шаповал
11 ймовірність шаповал
daniil chilochi
 
11 логарифми
11 логарифми11 логарифми
11 логарифми
daniil chilochi
 
паралельність прямих і площин шаповал
паралельність прямих і площин шаповалпаралельність прямих і площин шаповал
паралельність прямих і площин шаповал
daniil chilochi
 
10г паралельність прямих_площин_шаповал
10г паралельність прямих_площин_шаповал10г паралельність прямих_площин_шаповал
10г паралельність прямих_площин_шаповал
daniil chilochi
 
10а тригонометричні рівн_нерівності_шевченко
10а тригонометричні рівн_нерівності_шевченко10а тригонометричні рівн_нерівності_шевченко
10а тригонометричні рівн_нерівності_шевченко
daniil chilochi
 
синус, косинус і тангенс колесник
синус, косинус і тангенс колесниксинус, косинус і тангенс колесник
синус, косинус і тангенс колесник
daniil chilochi
 
8г тригоном функції_гостр_колесник
8г тригоном функції_гостр_колесник8г тригоном функції_гостр_колесник
8г тригоном функції_гостр_колесник
daniil chilochi
 
8а прості числа мовчан
8а прості числа мовчан8а прості числа мовчан
8а прості числа мовчан
daniil chilochi
 
8а властивості кореня мовчан
8а властивості кореня мовчан8а властивості кореня мовчан
8а властивості кореня мовчан
daniil chilochi
 
8 степінь з цілим від пок_мовчан
8 степінь з цілим від  пок_мовчан8 степінь з цілим від  пок_мовчан
8 степінь з цілим від пок_мовчан
daniil chilochi
 
8 квадратні рівняння мовчан
8 квадратні рівняння мовчан8 квадратні рівняння мовчан
8 квадратні рівняння мовчан
daniil chilochi
 
8а усні способи_розв_кв_рівнянь_мовчан
8а усні способи_розв_кв_рівнянь_мовчан8а усні способи_розв_кв_рівнянь_мовчан
8а усні способи_розв_кв_рівнянь_мовчан
daniil chilochi
 
7 г задачі на побудову_шевченко
7 г задачі на побудову_шевченко7 г задачі на побудову_шевченко
7 г задачі на побудову_шевченко
daniil chilochi
 
7г метод від супротивного модягіна
7г метод від супротивного модягіна7г метод від супротивного модягіна
7г метод від супротивного модягіна
daniil chilochi
 

More from daniil chilochi (20)

пр сист коорд_шаповал
пр сист коорд_шаповалпр сист коорд_шаповал
пр сист коорд_шаповал
 
задачі оптиміз середа
задачі оптиміз середазадачі оптиміз середа
задачі оптиміз середа
 
11а логар ф-я_і_параметром_модягіна
11а логар ф-я_і_параметром_модягіна11а логар ф-я_і_параметром_модягіна
11а логар ф-я_і_параметром_модягіна
 
11а задачі оптимізації_диф_числення_середа
11а задачі оптимізації_диф_числення_середа11а задачі оптимізації_диф_числення_середа
11а задачі оптимізації_диф_числення_середа
 
11 показникова
11 показникова11 показникова
11 показникова
 
11 ймовірність шаповал
11 ймовірність шаповал11 ймовірність шаповал
11 ймовірність шаповал
 
11 логарифми
11 логарифми11 логарифми
11 логарифми
 
паралельність прямих і площин шаповал
паралельність прямих і площин шаповалпаралельність прямих і площин шаповал
паралельність прямих і площин шаповал
 
10г паралельність прямих_площин_шаповал
10г паралельність прямих_площин_шаповал10г паралельність прямих_площин_шаповал
10г паралельність прямих_площин_шаповал
 
10а тригонометричні рівн_нерівності_шевченко
10а тригонометричні рівн_нерівності_шевченко10а тригонометричні рівн_нерівності_шевченко
10а тригонометричні рівн_нерівності_шевченко
 
9 вектори
9 вектори9 вектори
9 вектори
 
синус, косинус і тангенс колесник
синус, косинус і тангенс колесниксинус, косинус і тангенс колесник
синус, косинус і тангенс колесник
 
8г тригоном функції_гостр_колесник
8г тригоном функції_гостр_колесник8г тригоном функції_гостр_колесник
8г тригоном функції_гостр_колесник
 
8а прості числа мовчан
8а прості числа мовчан8а прості числа мовчан
8а прості числа мовчан
 
8а властивості кореня мовчан
8а властивості кореня мовчан8а властивості кореня мовчан
8а властивості кореня мовчан
 
8 степінь з цілим від пок_мовчан
8 степінь з цілим від  пок_мовчан8 степінь з цілим від  пок_мовчан
8 степінь з цілим від пок_мовчан
 
8 квадратні рівняння мовчан
8 квадратні рівняння мовчан8 квадратні рівняння мовчан
8 квадратні рівняння мовчан
 
8а усні способи_розв_кв_рівнянь_мовчан
8а усні способи_розв_кв_рівнянь_мовчан8а усні способи_розв_кв_рівнянь_мовчан
8а усні способи_розв_кв_рівнянь_мовчан
 
7 г задачі на побудову_шевченко
7 г задачі на побудову_шевченко7 г задачі на побудову_шевченко
7 г задачі на побудову_шевченко
 
7г метод від супротивного модягіна
7г метод від супротивного модягіна7г метод від супротивного модягіна
7г метод від супротивного модягіна
 

8г теорема менелая_чеви_мовчан