чотирикутники

2. Означення чотирикутника
• Чотирикутником називається
фігура, що складається з
чотирьох точок і чотирьох
відрізків, які послідовно їх
з’єднують.
• Жодна з трьох даних точок не
лежать на одній прямій.
• Відрізки, які з’єднують ці точки
не перетинаються.
• Точки A, B, C, D – вершини
чотирикутника.
• Відрізки AB, BC, CD, AD –
сторони чотирикутника.

3. Означення чотирикутника
(продовження)
• Чотирикутник позначається його
вершинами.
• Вершини чотирикутника називаються
сусідніми, якщо вони є кінцями однієї з
його сторін.
• Несусідні вершини називаються
протилежними.
• Відрізки, які з’єднують протилежні
вершини чотирикутника, називаються
діагоналями.
• Сторони, які виходять з однієї вершини,
називаються сусідніми.
• Сторони, що не мають спільних вершин –
протилежні.
• Сума довжин усіх сторін чотирикутника
називається периметром.

4. Означення чотирикутника
(продовження)
• Сусідні вершини P, M, C. (M, K,
C).
• Несусідні вершини Р, К (М, С) –
протилежні.
• Сусідні сторони – МР, РС (МК,
КС).
• Протилежні сторони РС, МК
(МР, КС).
• Діагоналі – МС, РК.
• Периметр: МР+МК+КС+РС=Р

5. Паралелограм
• Паралелограм – це
чотирикутник, у
якого протилежні
сторони попарно
паралельні.
• AB||CD, BC||AD.
• ABCD -
паралелограм

6. Властивості паралелограма
Якщо ABCD –
паралелограм, то
AB=DC,
AD=DC ∠Α=∠C,
∠Β=∠D.
Якщо ABCD –
паралелограм, AC i BD –
діагоналі, О – точка
перетину діагоналей,то
АО=ОС; ВО=OD.

7. Означення прямокутника
• Прямокутник – це
паралелограм, у
якого всі кути
прамі.
∀ ∠A=∠Β=∠C=∠D=
=900
.

8. Властивості прямокутника
• Прямокутник має
всі властивості
паралелограма.
• Діагоналі
прямокутника рівні.
• AC=BD.

9. Ознаки прямокутника
• Якщо ABCD –
паралелограм і
∠Α=900
, то ABCD –
прямокутник.
• Якщо ABCD –
паралелограм і
АС=BD, то ABCD –
прямокутник.

10. Означення ромбаОзначення ромба
• Ромб – цеРомб – це
паралелограм, упаралелограм, у
якого всі сторониякого всі сторони
рівні.рівні.
• ABCD –ABCD – ромб.ромб.
• AB=BC=CD=AD.

11. Властивості ромба
• Всі властивостіВсі властивості
паралелограма.паралелограма.
• ЯкщоЯкщо ABCD –ABCD – ромб,ромб,
АС іАС і BD –BD – діагоналі,діагоналі,
тото ACAC⊥⊥BD;BD;
• AC i BDAC i BD ––
бісектриси кутівбісектриси кутів
ромба.ромба.

12. Ознаки ромбаОзнаки ромба
• ЯкщоЯкщо ABCD –ABCD –
чотирикутник ічотирикутник і
AB=AD=BC=CDAB=AD=BC=CD,, тото
ABCD –ABCD – ромб.ромб.

13. Означення квадратаОзначення квадрата
• Квадрат – це
прямокутник, у якого
всі сторони рівні.
• Квадрат – це ромб, у
якого всі кути прямі.
• Квадрат має всі
властивості
прямокутника і ромба.
• ABCD – квадрат.

14. ТрапеціяТрапеція
• ТрапеціяТрапеція – це чотирикутник, у якого– це чотирикутник, у якого
дві сторони паралельні, а дві інші недві сторони паралельні, а дві інші не
паралельні.паралельні.
• Паралельні сторони називаютьсяПаралельні сторони називаються
основамиосновами трапеції.трапеції.
• Непаралельні –Непаралельні – бічними сторонами.бічними сторонами.
• Трапеція, у якої бічні сторони рівні,Трапеція, у якої бічні сторони рівні,
називаєтьсяназивається рівнобічною.рівнобічною.
• Кути рівнобічної трапеції при основіКути рівнобічної трапеції при основі
рівні.рівні.
• Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.
• Трапеція, у якої одна бічна сторонаТрапеція, у якої одна бічна сторона
перпендикулярна основам, називаєтьсяперпендикулярна основам, називається
прямокутною.прямокутною.

15. Задача 1
• Доведення.
• 1)Оскільки ∠ΝΜΚ=∠РКМ, а це
внутрішні різносторонні кути
при прямих MN, KP і січній МК,
то MN||KP.
• 2)Оскільки MN||KP i MN=KP за
умовою, то MNKP –
паралелограм (за ознакою
паралелограма).
У чотирикутнику MNKP – протилежні
сторони MN i KP рівні. Діагональ КМ
складає з ними рівні кути. Довести, що
MNKP – паралелограм.

16. Задача 2
• Розв’язання:
• Оскільки діагоналі прямокутникаОскільки діагоналі прямокутника
рівні і точкою перетину ділятьсярівні і точкою перетину діляться
навпіл, тонавпіл, то АО=ОВ.АО=ОВ.
• Трикутник АОВ – рівнобедрений,
∠АОВ=600
, тобто трикутник АОВ
рівносторонній і, отже,
АО=ВО=АВ=12 см.
• AC=BD=2AO=2*12=24 (cм).
• ВВідповідь: 24 см.ідповідь: 24 см.
Менша сторона прямокутника
дорівнює 12 см. Знайти довжини
діагоналей, якщо вони
перетинаються під кутом 600

17. Задача 3.
Побудувати ромб за стороною і
прилеглим кутом.
∆
• Аналіз:
• Очевидно, що достатньо
побудувати ABD за
двома сторонами і кутом
між ними.
• Дано:
• Побудувати: ромб ABCD.
α
а

18. Продовження
розв’язку задачі 3
• Отже треба побудувати
∆ABD за двома сторонами
AD=AB=a і кутом між ними
∠BAD=α.
• Добудуємо цей трикутник
до паралелограма: BC||AD,
DC||AB, ABCD – шуканий
ромб, оскільки
BC=AD=AB=DC=a.
• Задача має єдиний
розв’язок.
• Побудова і єдиність
розв’язку видно за
малюнком.