TUGAS KALKULUS 2

1. KELOMPOK 4
NAMA : ESRA JULIANA HARIANJA
FEBE KAREN REHULINA BR GINTING
FRANS HARDI SAMOSIR
LINDA ROSITA
PELITA ANANDA SIANTURI
KELAS : KIMIA DIK B 2017
MATA KULIAH : KALKULUS INTEGRAL

2. NOTASI SIGMA
Konsep Notasi Sigma
Perhatikan jumlah 6 bilangan ganjil pertama berikut:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 ……….. (1)
Pada bentuk (1)
Suku ke-1 = 1 = 2.1 – 1
Suku ke-2 = 3 = 2.2 – 1
Suku ke-3 = 5 = 2.3 – 1
Suku ke-4 = 7 = 2.4 – 1
Suku ke-5 = 9 = 2.5 – 1
Suku ke-6 = 11 = 2.6 – 1
Secara umum suku ke-k pada (1) dapat dinyatakan
dalam bentuk 2k – 1, k  { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Dengan notasi sigma bentuk jumlahan (1) dapat ditulis :


6
1k
1)-(2k1197531

3. Bentuk 


6
1
)12(
k
k
dibaca “sigma 2k – 1 dari k =1 sampai dengan 6”
atau “jumlah 2k – 1 untuk k = 1 sd k = 6”
1 disebut batas bawah dan
6 disebut batas atas,
lambang k dinamakan indeks
(ada yang menyebut variabel)
Secara umum:
n1n32
n
1k
1k aa...aaaa  





9
4
)1)3(2(
k
k 


9
4
)72(
k
k

4. Nyatakan dalam bentuk sigma
1. a + a2b + a3b2 + a4b3 + … + a10b9
2. (a + b)n =
nn
n
1n
bCabC...baCbaCbaCa n
1n
33nn
3
22nn
2
1nn
1
n
 


 

10
1k
)1kbk(a



n
0r
rrnn
r
baC
)142()132()122()112()12(
4
1
k
k
Contoh:
249753 
Hitung nilai dari:

5. Sifat-sifat Notasi Sigma :
Untuk setiap bilangan bulat a, b dan n berlaku:
1.
2.
3.
4.
5.


∑
b
ak
f ( k)
n

n
1k
1


∑
b
ak
cf ( k) ∑
b
ak
f ( k)c



g( k) ]
b
ak
[f ( k)∑ ∑
b
ak
g( k)

∑∑∑
n
1k
f (k)
n
mk
f (k)
1m
1k
f (k)











pn
pmk
p)f ( k
n
mk
f ( k)

6. Buktikan:
• Bukti:
6
10
5k
6
1k
6
1k
k42k427)( 2k 












410
45k
27]4)[2( k
10
5k
27)( 2k



6
1k
27)8( 2k



6
1k
21)( 2k



6
1k
1)4k2( 4k







6
1k
1
6
1k
4k
6
1k
24k
6
6
1k
k4
6
1k
2k 



 4
Sifat no. 5
Sifat no. 3
Sifat no. 1 dan 2

7. LUAS DAERAH SEBAGAI LIMIT JUMLAH
Langkah pertama, pilih sebarang bilangan bulat positif n dan
bagi interval [a,b] kedalam subinterval sehingga panjang
sebuah subinterval adalah
𝒃−𝒂
𝒏
dan berikan titik-titik batas
yaitu a,x1,x2,x3 ... Xn-1, b.
Kemudian bagi luas daerah menjadi n bagian luas polygon yang
lebarnya seragam.
Luas daerah sebagai Limit dari luas daerah Rn dengan n menuju
tak terhingga, yang dinotasikan dengan A = luas (R) =
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
[𝒍𝒖𝒂𝒔 (𝑹𝒏)]
Karena bentuk polygon yang seragam tersebut adalah persegi
panjang, maka luas adalah P x l, dimana P sebagai f(x) dan l
adalah ∆x. sehingga dapat dituliskan :
L ≡f ( x1 ) . Δx1 +f ( x2 ) . Δx2 +f ( x3 ) . Δx3 + … +f ( xn) . Δxn

8. Daerah dibagi menjadi n buah persegi panjang dengan lebar masing-
masing persegi panjang ∆𝒙
L ≡f ( x1 ) . Δx1 +f ( x2 ) . Δx2 +f ( x3 ) . Δx3 + … +f ( xn ) . Δxn

9. Luas Daerah L Sebenarnya dapat diperoleh
dengan mengambil n yang besar ( n ∞)
Sehingga ∆𝑥 →
0 , dengan demikian Luas Daerah adalah

11. CONTOH SOAL
Hitunglah luas daerah antara kurva 𝒚 = 𝒙 𝟐dansumbu𝒙, 𝒙 =
𝟏dan 𝒙 = 𝟑.
Penyelesaian :
Langkah 1: Menggambar sketsa luas daerah yang dimaksud dalam
soal.
Padaselang 1,3 , kurva𝑦 = 𝑥2
berada di atassumbu-x. Jadi𝑓(𝑥) ≥
0sehinggaluasdaerah yang diwarnaiadalah:
𝐿 =
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥; 𝑎 = 1, 𝑏 = 3, 𝑓 𝑥 = 𝑥2
Langkah 2: Menghitungluasdenganmenggunakanrumus integral.
𝐿 =
1
3
𝑥2 𝑑𝑥 =
𝑥3
3 1
3
=
1
3
33 − 13 =
1
3
27 − 1 =
26
3
Jadi, luasdaerahantarakurva𝑦 = 𝑥2dansumbu x, 𝑥 = 1dan𝑥 =
3adalah
26
3
satuanluas.

12. Integral tentu
Misal terdapat suatu fungsi f yang kontinu pada selang
tertutup [a,b]. Integral tentu fungsi f dari a ke b
didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann atau :

b
a
dx)x(f



n
1k
k
0x
x)u(flim

b
a
dx)x(f



n
1k
0x
x)xka(flim

16. 1

18. Teorema Dasar Kalkulus (Pertama)

19. Sifat-sifat integral tentu
riilbilanganadalahk
dxxfkdxxkf
b
a
b
a
  )()(.1
  
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([.2
  
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([.3
TEOREMA 1
Kelinearan
Jika f dan g terintegralkan pada interval [a,b]dan k suatu kontanta , maka :

20. Teorema 2
Perubahan Batas
Jika f terintegralkan pada interval [a,b], maka :
 
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(.2
0)(.1
a
a
dxxf
Teorema 3
Penambahan interval
Jika f terintegralkan pada interval yang memuat tiga titik a,b, dan c,
maka :
1. 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑏
𝑐
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎
𝑐
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

21. Teorema 4
Jika f kontinu pada interval [a,b], maka terdapat
bilangan x dalam interval (a,b) sedemikian
))(()(.1 abxfdxxf
b
a


22. Teorema Dasar Kalkulus (Kedua)
Teorema fundamental kalkulus bagian pertama berisi tentang cara
mendiferensialkan integral tentu dalam bentuk tertentu, dan memberi
tahu tentang adanya hubungan yang sangat erat antara turunan dan
integral.

23. Misalkan f suatu fungsi yang kontinu pada interval buka I dan misalkan a sebuah titik pada
I. Jika f(x) didefenisikan dengan F(x) = 𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 maka F’(x) =f(x) pada setiap titik pada
interval I.
Pembuktian :
F’(x) = lim
ℎ→0
𝐹 𝑥+ℎ −𝐹(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
1
ℎ 𝑎
𝑥+ℎ
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 − 𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
= lim
ℎ→0
1
ℎ 𝑎
𝑥+ℎ
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑥
𝑎
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
= lim
ℎ→0
1
ℎ 𝑥
𝑥+ℎ
𝑓 𝑡 𝑑𝑡

24. Selanjutnya berdasarkan teroema nilai rata-rata untuk integral , kita ketahui bahwa
terdapat sebuah c dalam interval [x, x+h] sedemikian sehingga
𝑥
𝑥+ℎ
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = f(c).h
Selain itu c → 𝑥 untuk h→ 0 diperoleh f(c) → 𝑓(𝑥)
F’(x) = lim
ℎ→0
1
ℎ
[f(c).h]
F’(x) = lim
ℎ→0
[f(c)]
F’(x) = f(x)

25. Tentukan
𝑑
𝑑𝑥 𝑎
𝑥
𝑡 + 1𝑑𝑡
Penyelesaian:
F(t) = 𝑡 + 1 kontinu pada interva; [-1, ∞]. Jadi dapat digunakan teorema dundamental kedua.
Misal F(x) = 𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
F(x) = 𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝑥
[F(x)] = [𝑓(𝑡)] 𝑎
𝑥= f(x)
𝑑
𝑑𝑥
[F(x)] = [ 𝑡 + 1] 𝑎
𝑥= 𝑥 + 1
𝑑
𝑑𝑥 𝑎
𝑥
𝑡 + 1𝑑𝑡= 𝑥 + 1
CONTOHSOAL

26. CONTOHSOAL
PEMBAHASAN