28

1. Практичне заняття 28.
Скалярне поле. Похідна за напрямом. Градієнт.
Приклад 1. Знайти градієнт функції  2 2
lnz x x y   в точці  0 2;4M та
похідну цієї функції в точці 0M за напрямом вектора  4; 3l    .
Розв’язання. Знайдемо частинні похідні функції  2 2
lnz x x y   і
обчислимо їх значення в точці  0 2;4M :
  
0
2 2
2 2 2 2
2 2 2 4 6
ln 1 ; 1 1 ;
20 52 4x
M
z x z
x x y
x xx y
  
         
  
  
0
2 2
2 2 2 2
2 2 4 8 2
ln ; .
20 52 4y
M
z y z
x x y
y yx y
  
      
  
0
0 0
6 2 6 2
;
5 5 5 5M
M M
z z
gradz i j i j
x y
   
      
   
— градієнт функції z в точці
0M .
   2 2
4 3 5l      ,
4 3
cos ; cos
5 5
yx
ll
l l
        .
0 0 0
6 4 2 3 6
cos cos
5 5 5 5 5M M M
z z z
l x y
      
              
      
.
Оскільки
0
0
M
z
l



, то задана функція в даному напрямі спадає.
Приклад 2. Знайти градієнт функції  sin 2u x y xyz   в точці
0
3
; ;3
2 2
M
  
 
 
та похідну цієї функції в точці 0M за напрямом вектора
 8;6;0l  .
Розв’язання.

2.       
1
sin 2 cos 2 cos 2
22x
u yz yz
x y xyz x y x y
x xxyz
 
        

,
0
3
33 1 1 1 32cos 2 cos 3 9 0 3 ;
2 2 2 2 2 2 2
2
M
u
x

      
                  
      
1
sin 2 2cos 2 2cos 2
22y
u xz xz
x y xyz x y x y
y yxyz
 
        

0
33 1 1 1 122cos 2 2 0 1 0 1 .
32 2 2 2 2 2
2
M
u
y

   
              
   1
sin 2 0
22z
u xy xy
x y xyz
z zxyz
 
     

;
0
3
1 12 2 .
2 3 2 2 4M
u
z
 
  
   

0
3 1
; ;
2 2 4M
gradz
 
  
 
— градієнт функції u в точці 0M .
2 2 0
8 6 0 10l    
8 4 6 3 0
cos ; cos ; cos 0;
10 5 10 5 5
yx z
ll l
l l l
           
0 0 00
3 4 1 3 3
cos cos cos 0 .
2 5 2 5 4 2M M MM
u u u u
l x y z
    
            
   
Оскільки
0
0
M
u
l



, то задана функція в даному напрямі зростає.
Приклад 3.
Знайти найбільшу швидкість зростання поля y
u x z  в точці 0 (1;2;3).M
Розв’язання.

3. Найбільша швидкість зростання поля знаходиться за формулою:
max
.
u
gradu
l
 
 
 
В той же час
u u u
gradu i j k
x y z
  
     
  
.
Оскільки y
u x z  , тоді
0M
u
x


 0
1
2;y
M
yx 

0M
u
y


 0
ln 0;y
M
x x 
0M
u
z



1. 
Отже, gradu  2 0 1i j k      gradu  2 2 2
2 0 ( 1) 5.   
Тобто,
max
5.
u
l
 
 
 
Завдання для самостійної роботи:
№ 1. Знайти похідну функції ( , , )u f x y z в точці М0 за напрямом вектора l :
1) 2 2 2
0, 2 2 , (2; 3; 6)u x y z l i j k M      ;
2) 2
0, 3 4 , ( 1; 1; 1)u x yz arctgz l i j M      ;
3) 0, (4; 1; 1), (2; 1; 0,5)
x y
u l M
y z
     ;
4) 2 2
0ln( ), ( 2; 1; 1), (2; 1; 1)u x y z l M     ;
5) 2
0( ), 3 4 , (2; 1; 1)u x arctg y z l i k M     ;
6) 2 2
0ln( ) , (1; 1; 5), (1; 1; 2)u x y xyz l M      .
(Відповідь: 1)
4
21
 ; 2) 2; 3) 0; 4) 0; 5) 0,04; 6)
7 3
9
 .)
№ 2. Знайти градієнт функції ( , )z f x y в точці М0 і похідну в цій точці за
напрямом вектора l :
1)    3 2
02 , 1; 1 , 5; 12z x xy y M l     ;

4. 2) 0arcsin , (3; 5), 5 12
x
z M l i j
y
    ;
3)      2
0, 2; 2 , 6; 8z arctg xy M l  ;
4) 2
0ln( ), (5; 1), (3; 4)z x xy M l   ;
5) 4 2
05 , (1; 1), ( 3; 4)z x xy y M l       ;
6) 2
0arc ( ), (1; 3), 6 8z ctg x y M l i j     .
(Відповідь: 1)  0 5 0gradz M i j  ,
 0 25
13
z M
l



;
2)  0 0,25 0,15gradz M i j  ,
 0 61
260
z M
l

 

;
3)   jiMgradz
65
8
65
4
0  ,
 0 44
325
z M
l



;
4)  0 0,45 0,25gradz M i j  ,
 0
0,07
z M
l



;
5)  0 9 7gradz M i j  ,
 0
0,2
z M
l



;
6)  0
1 6
101 101
gradz M i j   ,
 0 27
505
z M
l



.)