Dokumen tersebut membahas tentang vektor dan matriks, termasuk pengenalan, penjumlahan, penggandaan, dan aplikasi vektor dalam geometri serta pengenalan dasar matriks seperti penjumlahan, penggandaan, putaran, dan kebalikan matriks.

1. Muhammad Aqla
Fatriani
Siti Hamidah
Abdul Aziz Karim
Vektor & Matriks
6 + 9 = 8
?!

2. Pengenalan Vektor
Penjumlahan & Penggandaan Vektor
Vektor dalam geometrik
Vektor sebagai landasan ruang
Norma Vektor
Pengenalan suatu Matriks
Penjumlahan & penggandaan matriks
Putaran suatu matriks
Teras suatu matriks
Matriks sekatan
Determinan suatu matriks
Pangkat suatu matriks
Kebalikan suatu matrks
Vektor Jawab
SAJIAN MATERI
Vektor
Matriks

3. MATEMATIKA II
1. Vektor
2. Matriks
3. Determinan Suatu Matriks
4. Pangkat Suatu Matriks
5. Kebalikan Suatu Matriks
6. Vektor Jawab

4. Susunan bilangan atau bilangan yang disusun
ke dalam bentuk baris atau bentuk lajur
5
8
2

5. v12
v11 v13
v11
v21
v31
Bentuk susunan
Vektor Baris
Vektor Lajur

6. Notasi Vektor
Vektor baris
Vektor lajur
v’ = (v11 v12 v13 )
vl =
v = (v11 v12 v13 )
1 x 3
v =
3 x 1
v11
v21
v31
v11
v21
v31
vb = ( v11 v12 v13 )
v = v11
v21
v31

7.  Penjumlahan
Tambah
Kurang
 Penggandaan
Kali
Bagi
Pengolahan Vektor

8. 1. Penjumlahan 2 buah vektor
Syarat penjumlahan :
v1 + v2 = v3
p x q r x s p x q
p = r & q = s
Jumlah baris vektor penjumlah
samadengan
jumlah baris vektor dijumlah
Jumlah lajur vektor penjumlah
samadengan
jumlah lajur vektor dijumlah

9. CL V01 SL V1-01
a = ( 5 u 2 )
1 x 3
b = ( 1 8 5 )
1 x 3
Bila diketahui masing-masingvektor sbb :
c
3 x 1
= 3
5
3
d
3 x 1
= 0
4
1
1. Tentukan penjumlahan dari :
a. Vektor baris : (a + b) dan (a – b)
b. Vektor lajur : (c + d) dan (c – d)

10. Penyelesaian 1 :
a + b = ( 5 u 2 ) + ( 1 8 5 ) = ( 6 u+8 7)
(1 x 3)
a – b = ( 5 u 2 ) − ( 1 8 5 ) = ( 4 u-8 -3)
(1 x 3)
a. Penjumlahan vektor baris
b. Penjumlahanvektor lajur
3
5
3
c + d =
3 x 1
0
4
1
+ = 3
9
4
3
5
3
c − d =
3 x 1
0
4
1
+ = 3
1
2

11. 2. Tentukan pulapenjumlahan dari :
a. (c + a) dan b. (d + b)
CL V01 SL V1-01
a = ( 5 u 2 )
1 x 3
b = ( 1 8 5 )
1 x 3
Bila diketahui masing-masingvektor sbb :
c
3 x 1
= 3
5
3
d
3 x 1
= 0
4
1

12. Penyelesaian 2 :
a. Penjumlahan dari vektorlajur & vektor baris:
(c + a) =
3 x 1
3
5
3
( 5 u 2 )
1 x 3
Tidak dapat dilakukan karena :
 Jumlah baris vektor a ≠ jumlah
baris vektor c
 Jumlah lajur vektor a ≠ jumlah
lajur vektor c
b. Penjumlahandari vektorbaris & vektor lajur:
(b - d) = ( 1 8 5 )
1 x 3
3 x 1
0
4
1
Tidak dapat dilakukan karena :
 Jumlah baris vektor d ≠ jumlah
baris vektor b
 Jumlah lajur vektor d ≠ jumlah
lajur vektor b

13. 2. Penggandaan 2 buah vektor
Syarat umum penggandaan :
vektor 1 x vektor 2
(baris 1 x lajur1) (baris 2 x lajur2)
* vektor baris x vektor lajur = skalar
* vektor lajur x vektor baris = st matriks
Hasil penggandaan :
 Matriks segi
 Matriks tak segi
sama jumlahnya

14. Syarat penggandaan
a x b = s
1 x q r x 1 1 x 1
skalar
(r = q)
Jumlah lajur vektor pengganda
samadengan
jumlah baris vektor diganda
 Hasil penggandaan : “skalar”

15. a
1 x q
= (a11 a12 a13 ….. a1q) b =
r x 1
= ( a11.b11 + a12.b21 + a13 .b31 + ….. + a1q.br1)
= ( s11 + s11 + ….. + s11)
b11
b21
b31
.
.
.
br1
a x b
(1 x 1)
r = q
CARA PENGGANDAAN

16. CL V02A SL V02A
SKALAR
a
1 x 3
= ( 5 u 2 )
c
1 x 2
= (2 3)
1. Tentukan penggandaan vektor-vektor:
a. (a x b) b. (c x b)
Bila diketahui b =
3x 1
0
4
1

17. = (5 x 0) + (u x 4) + (2 x 1)
= 4u +2
= ( 5 u 2 )
x 0
4
1
a
1 x 3
b
3 x 1
a.
b. = ( 2 3 )
c
1 x 2
x b
3 x 1
0
4
1
Tidak dapat dilakukan karena :
 Jumlah baris vektor b ≠ jumlah lajur
vektor c
Penyelesaian 1 :

18. Syarat penggandaan
Jumlah lajur vektor pengganda
samadengan
jumlah baris vektor diganda
matriks
b x a = M
r x 1 1 x q r x q
 Hasil penggandaan : suatu “matriks”

19. b x a =
r x 1 1 x q
b11
b21
b31
.
.
.
br1
( a11 a12 a13 ….. a1q)
b11.a11 b11.a12 b11.a13 …. b11.a1q
b21.a11 b21.a12 b21.a13 …. b21.a1q
b31.a11 b31.a12 b31.a13 …. b31.a1q
. . . .
. . . .
. . . .
br1.a11 br1.a12 br1.a13 …. br1.a1q
=
CARA PENGGANDAAN

20. = b
r x 1
b11
b21
b31
.
.
.
br1
a
1 x q
= ( a11 a12 a13 ….. a1q)
q = r
atau
q  r
Matriks segi
Matriks tak segi
HASIL PENGGANDAAN
x

21. CARA PENGGANDAAN
KHUSUS
m11 m12 m13 …. m1r
m21 m22 m23 …. m2r
m31 m32 m33 …. m3r
. . . .
. . . .
. . . .
mr1 mr2 mr3 …. mrr
b x a =
(r x r)
Bila q = r
Matriks segi
m11 m12 m13 …. m1q
m21 m22 m23 …. m2q
m31 m32 m33 …. m3q
. . . .
. . . .
. . . .
mr1 mr2 mr3 …. mrq
b x a =
(r x q)
Bila q  r
Matriks tak segi

22. CL V02B SL V02B
b =
3x 1
a
1 x 3
= ( 5 u 2 )
c
1 x 2
= (2 3)
1. Tentukan pulapenggandaan vektor-vektor :
a. (b x a) b. (b x c)
Bila diketahui 0
4
1

23. Penyelesaian 1 :
a. b x a =
3x1 1x3
( 5 u 2 )=
0
4
1
0 0 0
20 4u 8
5 u 2
(3 x 3)
Matriks segi
b. b x c =
3x1 1x2
0
4
1
(2 3) = 0 0
8 12
2 3
(3 x 2)
Matriks tak segi

24. Penggandaan  skalar thd st vektor
 st vektor thd skalar
Mengacu pada syarat penggandaan 2 buah vektor, diperoleh :
 Skalar s x vektor baris x = s(vektor baris x)
= sx11 sx12 sx13 ….. sx1l
 Vektor lajur x x skalar s = (vektor lajur x)s
= x11s
x21s
x31s
.
.
xb1s
“Dimensi hasil penggandaan tergantung dimensi vektornya”

25. CL V02C SL V02C
Diketahui bahwa:
Vektor baris b = (1 3 5) Vektor lajur l =
Skalar S = 5
2
4
6
1. Tentukan penggandaanuntuk :
a. (S x b) b. (b x S)
Penyelesaian 1 :
a. S x b =
1x1 1x3
5 X (1 3 5)= (5 15 25)
b. b x S =
1x3 1x1
(1 3 5) x 5= Tidak dapat dilakukan karena jumlah
baris pada skalar s (= 1) ≠ jumlah lajur
pada vektor b (= 3)

26. 2. Tentukan penggandaan untuk:
a. (S x l) b. (l x S)
CL V02C SL V02C
Diketahui bahwa:
Vektor baris b = (1 3 5) Vektor lajur l =
Skalar S = 5
2
4
6
Penyelesaian 2 :
a. S x l =
1x1 3x1
2
4
6
5 X = Tidak dapat dilakukan karena jumlah
baris vektor l (= 3) ≠ jumlah lajur pada
skalar s (= 1)
b. l x S =
3x1 1x1
2
4
6
X 5 = 10
20
30

27. Vektor dalam geometrik
• penyusunan kombinasi linier
(x,y) = penjumlahan
2 buah vekor
( x , y ) = (x , 0) + (0 , y)
( x , y ) = x (1 , 0) + y ( 0 , 1)
Y
X
P(x,y)
x
y
0

28. • Vektor penyusun salib sumbu
2 buah vektor sebagai Penyusun Salib-sumbu
Jadi koor. V merup. hsl penjumlahan vektor2 (5,0) dan (0,3)
(5,3) = 5(1,0) + 3(0,1)
Y
X
V(5,3)
3(0,1)
5(1,0)
5
3
0

29. Kaedah Jajaran genjang
V3 = V1 + V2
V1’ = (X2 , Y1)
V2’ = (X1 , Y2)
V3 = {(X1 + X2) , (Y1 + Y2)}
V3 = (X3 , Y3)
X
Y
V1
V2
V3(x3,y3)
x3
y3
x1
x2
y2
y1
0
V3 = {(X2,Y1) + (X1, Y2)}

30. Jadi vektor V3 diperoleh dari :
* x3 kali vektor (1,0) yg berimpit dgn sumbu X
* y3 kali vektor (0,1) yg berimpit dgn sumbu Y
Vektor (1,0) & vektor (0,1) masing2 terbobot oleh
kofaktor x sebesar x3 dan kofaktor y sebesar y3
V3 = (X3 , Y3)

31. V2 = (2 , 4)
V1 = (5 , 1) V3 = (5 , 1) + (2 , 4)
= {(5 +2) , (1 + 4)} = (7 , 5)
Pengertian bebas
linier tidak hanya
“tidak searah &
berlawanan
arah”, tapi berarti
pula “tidak selalu
tegak lurus”
V1 = (5 , 1)
V2 = (2 , 4)
V3
5
2
1
7
5
4

32. Pengembangan pada 3 dimensi
Vektor (x,y,z) dapat pula berupa kombinasi linier
dari 3 vektor yang bebas terhadap sesamanya
(x,y,z) = x (1,0,0) + y (0,1,0) + z (0,0,1)
(2,3,4) = 2 (1,0,0) + 3 (0,1,0) + 4 (0,0,1)

33. • Landasan penyusun salib-sumbu (SS)
(2,3,4) = 2 (1,0,0) + 3 (0,1,0) + 4 (0,0,1)
Sembarang vektor dpt dijadi-
kan sbg “dasar SS” dengan
ketentuan vektor2 tsb tidak
searah atau berlawanan arah
Bila 2 atau lebih vektor dpt
digunakan sbg “landasan pe-
nyusun st SS”, maka vektor2
tsb dinyatakan sbg “bebas linier
thd sesamanya”
X
2
3
4
(2,3,4)
Z
Y

34. CL V03 SL V03
1. Koordinat titik P (5,3) dibentukolehvektor (5,0) dan (0,3). Bila unsur vektor (5,0)
diubahmenjadi (3,1) dan unsurvektor (0,3) diubahmenjadi (2,2), tentukan:
a. Kofaktor masing-masing vektor yangbaru
b. Buat ilustrasinya
Penyelesaian 1 :
a. Kofaktor masing-masing vektor
(5,3) = (5,0) + (0,3)
(5,3) = (3,1) + (2,2) (5,3) = x (3,1) + y (2,2)
(5,3) = 5(1,0) + 3(0,1)
.. ..

35. 5 = 3 x + 2 y
.. ..
3 = x + 2 y
.. ..
3 = x + 2 y
.. ..
2 = 2 x
..
x = 1
..
2 = 2 y
..
y = 1
..
(5,3) = 1 (3,1) + 1 (2,2)

36. b. Ilustrasi ruang vektor (geometrik)
(5,3) = (3,1) + (2,2)
5
X
X
Y
Y P(5,3)
3
. .
. .
0

37. CL V03 SL V03
2. Koordinat titikP terhadap salib-sumbuberupavektor (2,6).
Tentukan koordinat titikP tsb (Kx dan Ky) terhadap vektor-vektor
penyusun salib-sumbuyang baru(0,1) dan (2,4).

38. • Landasan ruang vektor
Penyusunan 2 vektor atau lebih membentuk
suatu matriks
Katakan saja ada 3 buah vektor yaitu
(1 -1 2) (0 1 3) (1 1 3)
1 -1 2
0 1 3
1 1 3
?
Apakah ketiga tsb dapat
digunakan sebagai landasan
dalam membentuk ruang vektor
matriks
Maksudnya ?

39. Maksudnya :
Landasan : vektor yang dapat digunakan sebagai salib-sumbu
dalam membentuk ruang vektor (geometrik). Vektor yang dapat
digunakan sebagai landasan, bukan merupakan vektor nol.
Tiga vektor atau lebih yang akan digunakan sebagai landasan,
ada kemungkinan diantaranya merupakan vektor nol atau
keseluruhannya merupakan vektor nol.
Ruang vektor dimaksud : bidang yang dibatasi 2 vektor (bidang
datar; 2 dimensi), bidang yang dibatasi 3 vektor atau lebih (bidang
ruang; 3 dimensi atau lebih).
Uraian lebihlanjut ditelaahdalampengolahan matriks.

40. Norma Vektor
v’ = (v1 v2 v3 ….. vn)
v’v = (v1 v2 v3 .…. vn) v1
v2
v3
.
.
vn
= (v1
2 + v2
2 + v3
2 + …. + vn
2)

41. bila || v || = 1 vektor satuan
Harga norma vektor v merupakan pula panjang vektor v.
|| v || = (v1
2 + v2
2 + v3
2 + …. + vn
2)
√
= v’v
√ norma vektor

42. Panjang vektor
|| v || = (v1
2 + v2
2)
X
Y V(V1,V2)
V1
V2
0

43. Sudut antara 2 vektor
x’ y
|| x || || y ||
cos =
cos = 0 jika x’y = 0 = 900
Jadi vektor x dan vektor y saling tegak-lurus
maka sudut  yang dibentuk sebesar 900

44. CL V04- SL V04
 Vektor-vektor penyusun salib-sumbu terdiri dari
absis dan ordinat.
a. sebagai absis (-1,1) dan ordinat (1,3)
b. sebagai absis (1,1) dan ordinat (1,-1)
 Ilustrasikan masing-masing pasangan absis dan
ordinat di atas.
 Tentukan besar sudut yang dibentuknya
c. sebagai absis (1,1) dan ordinat (-1,1)
d. sebagai absis (1,1) dan ordinat (1,-3)

45. a. absis (-1,1) dan ordinat (1,3)
( -1 1) 1
3
x y = = 2 = (-1)2 + (1)2
√
|| x ||
√10
=
√ 2
=
= (1)2 + (3)2
√
|| y ||
Cos α =
x y
|| y ||
|| x ||
2
√ 2 √10
=
= 0,4472..
α = 63°26’ 5”82
1
1
-1
x
y
3
90°26”5”82
Penyelesaian  :

46. b. absis (1,1) dan ordinat (1,-1)
(1 1) 1
-1
x y = = 0
Cos α = 0
= 90°
90°
1
1
-1
x
y

47. x’ = (1 , 1) y’ = (-1 , 1)
cos = 0
= 900
x’ y = (1 , 1) = 0
-1
1
Y X
-1
1
1
c. absis (1,1) dan ordinat (-1,1)

48. x’ y = (1 , 1)
|| y || = 10
x’ = (1 , 1) y’ = (1 , -3)
= -2
x’ x = (1 , 1) = 2 || x || = 2
y’ y = (1 , -3) = 10
cos =
x’ y
|| x || || y ||
1
-3
1
-3
1
1
d. absis (1,1) dan ordinat (1,-3)

49. cos = - 0,4472…
= 1160 33’ 54”18
=
cos =
x’ y
|| x || || y ||
-2
2 10
1
1
-3 Y
X

50.  Kedua vektor penyusun salib-sumbu terdiri dari K1 =
(2,3,6) dan K2 = (3,1,4)
 Ilustrasikan vektor penyusun tsb
 Tentukan besar sudut yang dibentuknya
Penyelesaian  : k’1 = (2 , 3 , 6)
k’2 = (5 , 2 , 3)
k’1 k2
|| k1 || || k2 ||
cos =
cos =
( 2 3 6 )
(22 + 32 + 62) (52 + 22 + 32)
5
2
3

51. 5
2
2
3
3
6
k2
k1
34
49 38
= 380 0’26”18
cos =
= 0,7879….