1. V3 merupakan subruang dari ruang vektor P3 karena telah memenuhi sifat-sifat dasar subruang seperti penutupan untuk operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar. 2. D dinyatakan bukan merupakan kombinasi linear dari A, B, dan C karena sistem persamaannya tidak konsisten setelah dilakukan operasi baris elementer. 3. Masalah kedua membuktikan apakah suatu matriks dapat ditulis

1. TUGAS ALJABAR LINEAR 1
SUB RUANG
NAMA = SRI RESKY FEBRIANTI
NIM = H121 13 019
SOAL LATIHAN
1 Misalkan P3 adalah polinom berderajat 3 , ruang vektor terhadap operasi pertambahan
dan perkalian skalar 2x2
+1 , periksa apakah himpunan polinom yang berbentuk
A0+A 2X+A 2X2
+A3X3
Merupakan Sub ruang dari P3?
2 Misalkan Matriks
A =
3 2
0 1
B =
0 2
−2 4
C =
1 1
−2 5
D =
4 5
−2 10
Apakah matriks D dapat ditulis sebagai Kombinasi Linear dari A , B , dan C ?

2. Penyelesaian :
1. Misalnya :
Diketahui : P3 adalah himpunan polynomial berderajat 3
V3 adalah subhimpunan dari ruang vector P3
Ditanyakan :
Pembuktian bahwa V3 adalah subruang dari P3?
Penyelesaian :
Definisi SubRuang :
Suatu himpunan bagian W dari suatu ruang vector V disebut suatu subruang
dari V jika W sendiri adalah suatu ruang vector dibawah penjumlahan dan
perkalian scalar yang didefinisikan pada V.
V3 dapat dikatakan subruang dari P3 jika telah memenuhi syarat berikut :
- Penjumlahan Vektor
Jika u dan v adalah vector vector dalam W , maka u + v ada dalam W.
- Perkalian Vektor
Jika k adalah sebarang scalar dan u adalah sebarang vector dalam W , maka ku
ada dalam W.
Pembuktian Syarat :
Misal ambil sebarang vector di V3
u dan w adalah vector-vektor pada V3 , menjadi:
- U(x) = (u0+u1x+u2x2
+u3x3
)
- W(x)= (w0+w1x+w2x2
+w3x3
)
Maka :
Syarat 1
(U+W)(x) = U(x) + W(x)
= (u0+u1x+u2x2
+u3x3
) + (w0+w1x+w2x2
+w3x3
)
= (u0+w0) + (u1+w1) + (u2+w2)x2
+ (u3+w3)x3

3. Syarat 2
Pilih k(x) sebarang pada V3
Ku(x) = ku0 + (ku1)x + (ku2)x2
+ (ku3) x3
Pembuktian Sifat yang lain
- Aksioma 2
U + V = V + U
(u0+u1x+u2x2
+u3x3
) + (v0+v1x+v2x2
+v3x3
) = (v0+v1x+v2x2
+v3x3
) + (u0+u1x+u2x2
+u3x3
)
((u0+v0) + (u1+v1)x + (u2+v2)x2
+ (u3+v3)x3
) = ((v0+u0) + (v1+u1) + (v2+u2)x2
+ (v3+u3)x3
)
- Aksioma 3
U + (V+W) = (U+V) + W
=(u0+u1x+u2x2
+u3x3
) + ((v0+w0) + (v1+w1)x+ (v2+w2)x2
+ (v3+w3)x3
)
=(u0+u1x+u2x2
+u3x3
) + ((v0+w0) + (v1x+w1x) + (v2x2
+w2x2
) + (v3x3
+w3x3
))
= (u0+u1x+u2x2
+u3x3
) + (v0+v1x+v2x2
+v3x3
) + (w0+w1x+w2x2
+w3x3
)
=((u0+v0) + (u1x+v1x) + (u2x2
+v2x2
) + (u3x3
+v3x3
)) + (w0+w1x+w2x2
+w3x3
)
= ((u0+v0) + (u1+v1)x + (u2+v2)x2
+ (u3+v3)x3
) + (w0+w1x+w2x2
+w3x3
)
- Aksioma 4
(0 + u ) = u + 0 = u
=(00 +01x + 02x2
+ 03x3
) + (u0 + u1x + u2x2
+ u3x3
)
= (0+u0) + (0+u1x) + (0+u2x2
) + (0+u3x3
)

4. = (u0+0) + (u1x+0) + (u2x2
+0) + (u3x3
+0)
= (u0+0) + (u1+0)x + (u2+0)x2
+ (u3+0)x3
= u0+u1x+u2x2
+u3x3
- Aksioma 5
U + (-u) = (-u) + u = 0
=(u0+u1x+u2x2
+u3x3
)+((-u0)+(-u1x)+(-u2x2
)+(-u3x3
))
= (u0+(-u0)) + (u1x+(-u1x)) + (u2x2
+(-u2x2
)) + (u3x3
+(-u3x3
))
= ((u0+(-u0)) + ((u1+(-u1)x) + ((u2+(-u2)x2
)+ ((u3+(-u3)x3
)
= ((-u0)+u0) + ((-u1)+u1)x + ((-u2)+u2)x2
+ ((-u3)+u3)x3
= (0 + 0x + 0x2
+ 0x3
)
=(0 + 0 + 0 + 0)
=0
- Aksioma 7
k(u + v) = ku + kv
= k((u0+u1x+u2x2
+u3x3
) + (v0+v1x+v2x2
+v3x3
))
= k((u0+v0) + (u1+v1)x + (u2+v2)x2
+ (u3+v3)x3
= k(u0+v0) + k(u1+v1)x +k (u2+v2)x2
+ k(u3+v3)x3
=(( ku0+kv0) + (ku1+kv1)x +(ku2+kv2)x2
+(ku3+kv3)x3
)
=(ku0+ku1x +ku2x2
+ ku3x3
) + (kv0+kv1x+kv2x2
+kv3x3
)
=k(u0+u1x+u2x2
+u3x3
) + k(v0+v1x+v2x2
+v3x3
)

5. - Aksioma 8
(k+l)u = ku + lu
= (k+l) (u0+u1x+u2x2
+u3x3
)
=(ku0+ku1x +ku2x2
+ ku3x3
) + (lu0+lu1x+lu2x2
+lu3x3
)
=k(u0+u1x+u2x2
+u3x3
) + l(u0+u1x+u2x2
+u3x3
)
- Aksioma 9
k(lu) = (kl)u
= k(lu0+lu1x+lu2x2
+lu3x3
)
= k(l(u0+u1x+u2x2
+u3x3
)
= (kl)(u0+u1x+u2x2
+u3x3
)
- Aksioma 10
1 u = u
= 1(u0+u1x+u2x2
+u3x3
)
=1u0+1u1x+1u2x2
+1u3x3
=u0+u1x+u2x2
+u3x3

6. 2 Berikut ini akan dibuktikkan apakah matriks D dapat ditulis dan dinyatakan sebagai
Kombinasi Linear dari matriks A , B dan C atau tidak dapat dinyatakan sebagai Kombinasi
Linear dari matriks A , B dan C.
Penyelesaian :
Suatu vector D disebut Kombinasi Linear dari matriks-matriks A , B dan C jika dapat
dinyatakan dalam bentuk :
D2x2 = k1 . A2x2 + k2 . B2x2 + k3 . C2x2
Dimana ,
k1 , k2 dan k3 adalah scalar
D
4 5
−2 10
= k1
3 2
0 1
+ k2
0 2
−2 4
+ k3
1 1
−2 5
=
3𝑘1 2𝑘1
0 𝑘1
+
0 2𝑘2
−2𝑘2 4𝑘2
+
𝑘3 𝑘3
−2𝑘3 5𝑘3
=
3𝑘1 + 0 + 𝑘3 2𝑘1 + 2𝑘2 + 𝑘3
0 − 2𝑘2 − 2𝑘3 𝑘1 + 4𝑘2 + 5𝑘3
=
3𝑘1 + 𝑘3 = 4 2𝑘1 + 2𝑘2 + 𝑘3 = 5
−2𝑘2 − 2𝑘3 = −2 𝑘1 + 4𝑘2 + 5𝑘3 = 10
Dapat dinyatakan sebagai berikut :
[
3
2
0
1
0 1
2 1
−2 −2
4 5
]
𝑘1
𝑘2
𝑘3
= [
4
5
−2
10
]

7. 3 0 1 4
2 2 1 5
0 −2 −2 −2
1 4 5 10
𝐵1 𝐵4
1 4 5 10
2 2 1 5
0 −2 −2 −2
3 0 1 4
B3 𝐵4
1 4 5 10
2 2 1 5
3 0 1 4
0 −2 −2 −2
B2 + 2B1
1 4 5 10
0 −6 −9 −15
3 0 1 4
0 −2 −2 −2
B3 + (-3)B1
1 4 5 10
0 −6 −9 −15
0 −12 −14 −26
0 −2 −2 −2
B2(-1/6)
1 4 5 10
0 1 3/2 5/2
0 −12 −14 −26
0 −2 −2 −2
B3 + 12B2
1 4 5 10
0 1 3/2 5/2
0 0 4 4
0 −2 −2 −2

8. B4 + 2 B2
1 4 5 10
0 1 3/2 5/2
0 0 4 4
0 0 1 3
B3 (1/4)
1 4 5 10
0 1 3/2 5/2
0 0 1 1
0 0 1 3
B4 + (-1)B3
1 4 5 10
0 1 3/2 5/2
0 0 1 1
0 0 0 2
Berdasarkan hasil dari Operasi Baris Elementer diatas dapat disimpulkan bahwa :
Sistem persamaan tidak konsisten , sehingga tidak terdapat scalar k1 , k2 dan k3
sebagai akibatnya matriks D 2x2 BUKAN MERUPAKAN KOMBINASI LINEAR dari
matriks A 2x2 , B 2x2 dan C 2x2 .