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等速圓周運動 速率-加速度-數學方程
- 2. Ｏutline • 切線速度：角速度、半徑、週期、頻率 • 向心加速度：切線速度大小、角速度、旋轉半徑、週期 • 向心力： • 等速圓周運動的應用
- 3. • 質點等速在正圓形路徑上運動 • 環繞一周後，路徑長 • 花費時間，恰等於週期 T • 移動速率 等速圓周運動的切線速度大小 ∆𝑆 = 2𝜋𝑟 𝑣 = 𝜔 ∙r 𝑣 = ∆𝑆 ∆𝑡 = 2𝜋𝑟 𝑇 𝝎 = 𝟐𝝅 𝑻 𝑟 𝑣 = 𝑟 ∙ 𝜔 𝑣 𝟐𝝅=切線速度大小
- 4. 等速率圓週運動的加速度 • 瞬時加速度 Δ𝜃 𝑣 𝑣 𝑣𝑣 Δ𝜃 𝑟 𝑟 Δ𝑣 𝑎 = lim Δ𝑡→0 Δ 𝑣 Δ𝑡 • 速度變化量恆指向圓心 • 加速度的方向必然恆指向圓心 • 該加速度 又稱為 Δ𝜃′ 𝑣 𝑣 𝑟 𝑣 𝑣Δ𝑣′ 向心加速度, 𝑎 𝑐 Δ𝜃′
- 5. 等速率圓週運動的向心加速度 • 瞬時加速度 Δ𝜃 𝑣 𝑣 𝑣𝑣 Δ𝜃 𝑟 𝑟 Δ𝑣 𝑎 = lim Δ𝑡→0 Δ 𝑣 Δ𝑡 Δ𝜃′ 𝑣 𝑣 𝑟 𝑣 𝑣Δ𝑣′ 第一 型態 Δ𝜃′ Δ𝑣 ≈白色弧長=𝑣 ∙ Δ𝜃• Δ𝑡 → 0 等腰 三角形 𝑎 𝑐 = lim Δ𝑡→0 Δ𝑣 Δ𝑡 = 𝑣 ∙ Δ𝜃 Δ𝑡 = 𝑣 ∙ 𝝎
- 6. 等速率圓週運動的向心加速度 • 瞬時加速度 Δ𝜃 𝑣 𝑣 𝑣𝑣 Δ𝜃 𝑟 𝑟 Δ𝑣 𝑎 = lim Δ𝑡→0 Δ 𝑣 Δ𝑡 Δ𝜃′ 𝑣 𝑣 𝑟 𝑣 𝑣Δ𝑣′ 向心加速度 Δ𝜃′ 等腰 三角形 𝑎 𝑐 = 𝑣 ∙ 𝝎 𝑣 = 𝑟𝜔 𝑎 𝑐 = 𝝎2 ∙ 𝑟 第二 型態
- 7. 等速率圓週運動的向心加速度 • 瞬時加速度 Δ𝜃 𝑣 𝑣 𝑣𝑣 Δ𝜃 𝑟 𝑟 Δ𝑣 𝑎 = lim Δ𝑡→0 Δ 𝑣 Δ𝑡 Δ𝜃′ 𝑣 𝑣 𝑟 𝑣 𝑣Δ𝑣′ 向心加速度 Δ𝜃′ 等腰 三角形 𝑎 𝑐 = 𝑣 ∙ 𝝎 𝑣 = 𝑟𝜔 第三型態𝑎 𝑐= 𝑣2 𝑟
- 8. 等速率圓週運動的向心加速度 • 瞬時加速度 Δ𝜃 𝑣 𝑣 𝑣𝑣 Δ𝜃 𝑟 𝑟 Δ𝑣 𝑎 = lim Δ𝑡→0 Δ 𝑣 Δ𝑡 Δ𝜃′ 𝑣 𝑣 𝑟 𝑣 𝑣Δ𝑣′ 向心加速度 Δ𝜃′ 等腰 三角形 𝑎 𝑐 = 𝝎2 ∙ 𝑟 第四型態 𝝎 = 𝟐𝝅 𝑻 𝑎 𝑐= 4 𝜋2r 𝑇2
- 9. 等速率圓周運動 向心力 •向心加速度-恆指向 圓心 •應用牛頓第二定律，質點的 向心力 •指向 圓心 ，與切線速度垂直 𝑣 𝑣 ac 𝑟 ac m 𝑎 𝑐= 𝑣𝜔=𝑟𝜔2 = 𝑣2 𝑟 = 4 𝜋2r 𝑇2 F= 𝑚𝑎 𝑐 𝜔 𝝎 = 𝟐𝝅 𝑻 向心力是 質點的外力總和
- 10. 等速率圓週運動的應用 • 椎動擺：擺球受重量mg 及張 力T 之合力作用，沿水平面 作等速率圓周運動 • 擺球所需要的向心力，由重 量mg 及張力T 提供 10 tan c cF ma mg mg tanca g 找出 切線速率 、週期 https://www.youtube.com/user/mrg3 Fc mg T θ
- 11. 等速率圓週運動的應用 • 人造衛星繞地球等速率圓週 運動 • 人造衛星所需要的向心力， 由萬有引力提供 11 2 2 2 2 4 c mM v R F G ma m m RR T GM v R 3 2 R T GM 找出 切線速率 、週期
- 12. 等速率圓周運動 總結 •切線速率-軌跡的 切線 方向 •向心加速度-恆指向 圓心 •質點向心力-恆指向 圓心 𝑣 𝑣 ac 𝑟 ac m 𝑣 = 2𝜋𝑟 𝑇 =𝑟 ∙ 𝜔 𝑎 𝑐= 𝑣𝜔=𝑟𝜔2 = 𝑣2 𝑟 = 4 𝜋2r 𝑇2 F= 𝑚𝑎 𝑐= 𝑚𝑣2 𝑟 =m𝑟𝜔 2 = 𝑚 4 𝜋2r 𝑇2 𝜔 𝝎 = 𝟐𝝅 𝑻
- 13. Thanks for your attention