How to Factor a Polynomial Παραγοντοποίηση Πολυωνύμων Ύλη Γ Γυμνασίου Κικίδης Αναστάσιος Kikidis Anastasios

1. ΚΙΚΙΔΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ
ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ
Α. Ελέγχω αν σε όλους τους όρους υπάρχει κοινός παράγοντας. Βγάζω έξω από
την παρένθεση τον Μ.Κ.Δ. των συντελεστών και τα κοινά γράμματα με τον
μικρότερο έκθετη.
Παραδείγματα:
3 x 2 y − 6 xy 2 − 9 xy = 3 xy ( x − 2 y − 3)
4 x 3 − 12 x 2 = 4 x 2 ( x − 3)
3 x( a − β ) − a + β = 3 x(a − β ) − (a − β ) = ( a − β )(3 x − 1)
(3x − 2) 2 + ( x − 1)(2 − 3 x) = (3 x − 2) 2 − ( x − 1)(3 x − 2) = (3 x − 2)(3 x − 2 − x + 1) = (3 x − 2)(2 x − 1)
Β. Δύο Όροι
Διαφορά τετραγώνων: α 2 − β 2 = ( α + β ) ( α − β )


2όροι :Διαφορά κύβων:
 α 3 − β= ( α − β ) ( α 2 + αβ + β 2 )
3

 Άθροισμα κύβων:
 α 3 + β 3 = ( α + β ) ( α 2 − αβ + β 2 )
ΠΡΟΣΟΧΗ!!: a 2 + β 2 = ΤΙΠΟΤΑ
Παραδείγματα:
x 2 − 4 = ( x + 2)( x − 2)
25 x 2 − 9 = (5 x + 3)(5 x − 3)
a 4 − β 4 = (a 2 − β 2 )(a 2 + β 2 ) = (a − β )(a − β )(a 2 + β 2 )
3 x 2 − 48 = 3( x 2 − 16) = 3( x + 4)( x − 4)
ΠΡΟΣΟΧΗ!!
(
x −3 = x + 3 x − 3
2
)( )
2 x2 − 5 = ( 2x + 5 )( 2x − 5 )
x 2 + 4 = ΤΙΠΟΤΑ
Παραδείγματα

2. ΚΙΚΙΔΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ
( 3x − 5) − ( 2 x − 7 ) = ( 3 x − 5 + 2 x − 7 ) ⋅ ( 3x − 5 − 2 x + 7 ) = ( 5 x − 12 ) ⋅ ( x + 2 )
2 2
9 ( α − 2 β ) − 4 ( 3α − β ) =
2 2
3 ( α − 2 β )  −  2 ( 3α − β )  =
2 2
   
( 3α − 6β ) − ( 6α − 2β ) = (διαφορά τετραγώνων)
2 2
( 3α − 6β + 6α − 2β ) ⋅ ( 3α − 6β − 6α + 2β ) =
( 9α − 8β ) ( −3α − 4β )
Ζυγό πλήθος όρων ( 4 όροι ή 6 όροι)
Κάνω ομαδοποίηση
Παίρνω τους όρους ανά δύο και βγάζω κοινό παράγοντα.
Εδώ με βοηθούν οι συντελεστές.
Παράδειγμα
1 − 33 − 4 x + 12 =
x4 x 2 123
3
24
1ος ό ρος 2ος ό ρος
x 2 ( x − 3) − 4 ( x − 3) = ( κοινός παράγοντας το x - 3)
( x − 3 ) ( x 2 − 4 ) = ( x − 3) ( x + 2 ) ( x − 2 )
a 4 − 2a 3 + a − 2 =
a3 ( a − 2) + ( a − 2) =
(a 3
+ 1) ( a − 2 ) =
( a + 1) ( a 2 − a + 1) ( a − 2 )
Γ Τρείς Όροι
1. Τέλειο τετράγωνο (ταυτότητα)

3 Όροι (τριώνυμο) 2. Αθροισμα/Γινόμενο, αν ο συντελεστής του x 2 είναι 1
3. Διάσπαση, αν ο συντελεστής του x 2 δεν είναι 1
