Ο ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΣ ΚΟΛΟΜΒΟΣ ΚΑΙ Η ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΗΣ ΑΜΕΡΙΚΗΣ,ΕΙΡΗΝΗ ΝΤΟΥΣΚΑ-ΠΕΝΥ ΖΑΓΓΟ...
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
1. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΙΚΟΣ ΣΟΥΡΜΠΗΣ 21/1/2020
Θέμα Α
Α1) Να αποδείξετε ότι 2
1
x x
για
2
x
.
A2) Θεωρήστε τον ισχυρισμό: «Αν οι συναρτήσεις f , g είναι 1-1 στο τότε και
η συνάρτηση f+g είναι 1-1 στο .» Να απαντήσετε με Σωστό ή Λάθος και να
αιτιολογήσετε.
Α3) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις με Σ (σωστό) ή Λ (λάθος).
α) Αν οι f , g είναι 1-1 στο τότε και η f g
είναι 1-1 στο .
β) Για το όριο ισχύει:
1
lim 1
x
x
x
γ) Αν η συνάρτηση f έχει μέγιστο
1
f στο πεδίο ορισμού της, τότε
1 0
f .
δ) Αν για κάθε x :
'' 0
f x τότε η f είναι σταθερή στο .
ε) Αν για *
x ισχύει
f x g x
, τότε ισχύει f g c
.
Θέμα Β
Έστω , ,
και η συνάρτηση 4
f x x x
, η οποία παρουσιάζει
τοπικό ακρότατο στο 0 1
x και η γραφική της παράσταση στο σημείο της
0,8
έχει εφαπτομένη ευθεία παράλληλη στην ευθεία :8 0
x y
.
Β1) Να δειχθεί ότι 4
2 8 8
f x x x
.
Β2) Να δειχθεί ότι 2
f x για κάθε x.
Β3) Να δείξετε ότι η εξίσωση 4
2 8 2029
x x
έχει δύο διαφορετικές ρίζες στο .
Β4) Έστω ο πραγματικός αριθμός κ , να δειχθεί ότι η εξίσωση
3
8 8 1
x f f
έχει λύση στο διάστημα
, 1
22.01.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 1 of 2
2. Θέμα Γ
Έστω f συνεχής στο για την οποία ισχύει ότι
2
αν 1
αν 1
f x x
f x
x x
Γ1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση x
g x f x e
είναι σταθερή στο διάστημα
1,
και στη συνέχεια να δείξετε ότι
1
2
x>1
x 1
x
e
f x
x
Γ2) Να βρείτε τα ακρότατα της f καθώς και τα κρίσιμα σημεία της.
Γ3) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της f στο 0 0
x είναι ασύμπτωτη της f.
Γ4) Έστω Ε το εμβαδόν ορθογωνίου ΑΒΓΔ με δύο κορυφές στο '
x x και δύο στην
γραφική παράσταση της f f
C
,0
και
,0
με 0 1
.
i) Αν το α αυξάνεται με ρυθμό 1 cm/sec να
βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του Ε
τη στιγμή 0
t όπου
ln 4e
.
ii) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική θέση
του Α όπου μεγιστοποιείται το
εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ.
iii) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική θέση
του Α όπου το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο.
Θέμα Δ
Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο για την οποία ισχύει ότι :
2
2 f x
f x e f x x
Δ1) Να δείξετε ότι
0 0
f και να βρείτε την εφαπτομένη της f στο 0 0
x
Δ2) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο
Δ3) i) Να λυθεί η εξίσωση
2 2
f x xf f x f x
ii) Να λυθεί η ανίσωση
ln 2
f x f x
Δ4) Με δεδομένο ότι
f A να δείξετε ότι η αντίστροφη της f είναι η
συνάρτηση
1 2
2 x
f x xe x
, x και στη συνέχεια να βρείτε τα κοινά σημεία
των συναρτήσεων f και 1
f
.
Α Β
Γ
Δ
1
22.01.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 2 of 2