Επιμέλεια: lisari team αποκλειστικά για το lisari

1. ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι
ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΕΠΑ.Λ
ΠΕΜΠΤΗ 19 – 05 – 16
13:30 πμ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ
lisari team
ΘΕΜΑ Α
ΓΙΑΝΝΗΣ ΒΕΛΑΩΡΑΣ
ΘΕΜΑ Β
ΑΝΔΡΕΑΣ ΜΑΝΩΛΗΣ
ΘΕΜΑ Γ
ΜΑΡΙΑ
ΠΑΠΑΔΟΜΑΝΩΛΑΚΗ
ΘΕΜΑ Δ
ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ΜΠΑΔΕΜΗΣ
ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ
ΓΙΆΝΝΗΣ ΖΑΜΠΕΛΗΣ
SITE
http://lisari.blogspot.gr
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΛΥΣΕΙΣ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ
ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016
ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

2. Οι απαντήσεις και οι λύσεις
είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς
των μελών της lisari team
http://lisari.blogspot.gr/2014/10/blog-post_13.html
1η έκδοση: 19 – 05 – 2016 (συνεχής ανανέωση)
Οι λύσεις διατίθεται αποκλειστικά
από το μαθηματικό blog
http://lisari.blogspot.gr

3. Πρόλογος
Στο παρόν αρχείο περιλαμβάνονται οι λύσεις των Πανελλαδικών Εξετάσεων στο
μάθημα Μαθηματικά I των Εσπερινών ΕΠΑ.Λ. Η παρουσίαση των λύσεων είναι
πλήρης και αναλυτική στο μέγιστο δυνατό, προκειμένου οι μαθητές να μπορούν να
μελετήσουν και να επεξεργαστούν εύκολα το αρχείο.
Η εργασία αυτή εκπονήθηκε αποκλειστικά από τη γνωστή διαδικτυακή ομάδα
Μαθηματικών από διάφορα μέρη της Ελλάδος, τη lisari team.
Την αρχική συγγραφή των λύσεων ακολούθησαν ενδελεχείς έλεγχοι, διορθώσεις και
βελτιώσεις με στόχο μια πληρέστερη και ποιοτική παρουσίαση. Ζητούμε συγνώμη
για τυχόν παραλείψεις, λάθη ή αστοχίες που ενδεχομένως θα έχουν διαφύγει της
προσοχής μας, γεγονός αναπόφευκτο δεδομένων των στενών χρονικών περιθωρίων.
Θα ακολουθήσουν επόμενες εκδόσεις, όπου η εν λόγω παρουσίαση θα βελτιωθεί, ίσως
εμπλουτιστεί και με εναλλακτικές λύσεις. Οποιαδήποτε σχόλια, παρατηρήσεις,
διορθώσεις και βελτιώσεις επί των λύσεων είναι ευπρόσδεκτα στην ηλεκτρονική
διεύθυνση lisari.blogspot@gmail.com.
Με εκτίμηση
lisari teaμ
19 – 05 – 2016

4. lisari team
1. Αντωνόπουλος Νίκος (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου "Κατεύθυνση" - Άργος)
2. Αυγερινός Βασίλης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου "ΔΙΑΤΑΞΗ" - Ν. Σμύρνη και Νίκαια)
3. Βελαώρας Γιάννης (Φροντιστήριο "ΒΕΛΑΩΡΑΣ" - Λιβαδειά Βοιωτίας)
4. Βοσκάκης Σήφης (Φροντιστήριο "Ευθύνη" - Ρέθυμνο)
5. Γιαννόπουλος Μιχάλης ( Θεσσαλονίκη - Αμερικάνικη Γεωργική Σχολή)
6. Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης (Φροντιστήριο "Αστρολάβος" - Άρτα)
7. Δούδης Δημήτρης (3ο Λύκειο Αλεξανδρούπολης)
8. Ζαμπέλης Γιάννης (Φροντιστήρια "Πουκαμισάς" Γλυφάδας)
9. Ηλίας Ζωβοΐλης (Μαθηματικός - Χαϊδάρι)
10. Κακαβάς Βασίλης (Φροντιστήριο "Ώθηση" - Μαρούσι)
11. Κάκανος Γιάννης (Φροντιστήριο "Παπαπαναγιώτου – Παπαπαύλου" - Σέρρες)
12. Κανάβης Χρήστος (Διδακτορικό στο ΕΜΠ – 2ο ΣΔΕ φυλακών Κορυδαλλού)
13. Καρδαμίτσης Σπύρος (Πρότυπο Λύκειο Αναβρύτων)
14. Κοπάδης Θανάσης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίων "19+" - Πολύγωνο)
15. Κουλούρης Ανδρέας (3ο Λύκειο Γαλατσίου)
16. Κουστέρης Χρήστος (Φροντιστήριο "Στόχος" - Περιστέρι)
17. Μανώλης Ανδρέας (Φροντιστήριο "Ρηγάκης" - Κοζάνη)
18. Μαρούγκας Χρήστος (3ο ΓΕΛ Κηφισιάς)
19. Δημήτρης Μπαδέμης (Φροντιστήριο "Πουκαμισάς" - Γλυφάδας)
20. Νάννος Μιχάλης (1ο Γυμνάσιο Σαλαμίνας)
21. Νικολόπουλος Θανάσης (Λύκειο Κατασταρίου, Ζάκυνθος)
22. Παγώνης Θεόδωρος (Φροντιστήριο "Φάσμα" - Αγρίνιο)
23. Παπαδομανωλάκη Μαρία (Συνιδιοκτήτρια Πρότυπου Κέντρου Μάθησης "ΔΙΑΚΡΙΣΙΣ" - Ρέθυμνο)
24. Παπαμικρούλης Δημήτρης (Εκπαιδευτικός Οργανισμός "Ρόμβος")
25. Πάτσης Ανδρέας (Βόνιτσα - Μαθηματικός)
26. Ποδηματάς Θωμάς ( Σπουδαστήριο Μαθηματικών Θωμάς και Ρόζα Ποδηματά - Βόλος)
27. Ράπτης Γιώργος (6ο ΓΕΛ Βόλου)
28. Σίσκας Χρήστος (Φροντιστήριο "Μπαχαράκης" - Θεσσαλονίκη)
29. Σκομπρής Νίκος (Συγγραφέας – 1ο Λύκειο Χαλκίδας)
30. Σπλήνης Νίκος (Φροντιστήριο "ΟΡΙΖΟΝΤΕΣ" - Ηράκλειο Κρήτης)
31. Σταυρόπουλος Παύλος (Ιδιωτικά Εκπαιδευτήρια Δούκα)
32. Σταυρόπουλος Σταύρος (Γραμματέας Ε.Μ.Ε Κορινθίας - Γυμνάσιο Λ.Τ. Λεχαίου Κορινθίας)
33. Τρύφων Παύλος (1ο Εσπερινό ΕΠΑΛ Περιστερίου)
34. Τσακαλάκος Τάκης (συνταξιούχος αλλά ενεργός μαθηματικός)
35. Χαραλάμπους Σταύρος (Θεσσαλονίκη - Μουσικό Λύκειο)
36. Χατζόπουλος Μάκης (1ο ΓΕΛ Πετρούπολης)

5. Μαθηματικά Ι (Άλγεβρα) http://lisari.blogspot.gr
Γ΄ Λυκείου 19– 05 – 2016
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
1
lisari team / Σχολικό έτος 2015 – 16
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΕΠΑ.Λ (ΟΜΑΔΑΣ Α)
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΠΕΜΠΤΗ 19 ΜΑΙΟΥ 2016
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ)
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Η συνάρτηση f :Α  είναι συνεχής στο 0x όταν    
0
0
x x
lim f x f x


Α2. α) Λάθος β) Λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Σωστό
Α3.
α) 1 2 κf f ... f 1    β)  
       
 2
f x g x f x g xf
x
g g x
     
 
 
γ)    
β α
α β
f x dx f x dx 0  
ΘΕΜΑ Β
Β1. Έχουμε
   x 0
x 0 x 0
lim f x lim e 1 e 1 1 1 2 
 
      
και
 
2 2
x 0 x 0
x 4 0 4 4
lim f x lim 2
x 2 0 2 2 
 
 
   
 
και
 
2
0 4 4
f 0 2
0 2 2
 
  
 
οπότε
     x 0 x 0
lim f x lim f 0 f 0 2 
 
  
Άρα η f είναι συνεχής στο 0 .
Β2. Για να είναι η f είναι συνεχής στο 2 πρέπει να ισχύει
     x 2 x 2
lim f x lim f x f 2 
 
 
Έχουμε

6. Μαθηματικά Ι (Άλγεβρα) http://lisari.blogspot.gr
Γ΄ Λυκείου 19– 05 – 2016
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
2
 
  
 
2
x 2 x 2 x 2 x 2
x 2 x 2x 4
lim f x lim lim lim x 2 2 2 4
x 2 x 2   
   
 
      
 
και
   x 2 x 2
lim f x lim α x α 2 
 
   
και
 f 2 α 2 
οπότε πρέπει
α 2 4 α 2 4 α 6      
Β3. Έχουμε
   
32 2
3 3 3
2 2 2
2
2 2
x x
Ι f x dx 6 x dx 6x dx 6x
2 2
3 2
6 3 6 2
2 2
9 4
18 12
2 2
9 7
8
2 2
   
         
   
   
        
   
   
  
  
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Επειδή δ 1,5 και δεν αντιστοιχεί σε καμία τιμή του δείγματος καταλαβαίνουμε ότι το πλήθος
του δείγματος είναι άρτιος αριθμός, οπότε από τον ορισμό της διαμέσου έχουμε ότι η διάμεσος
χωρίζει το δείγμα ακριβώς στο 50% πριν από αυτή και στο 50% ακριβός των παρατηρήσεων
μετά αυτή, δηλαδή όσες παρατηρήσεις έχουμε πριν από το 1,5 τόσες παρατηρήσεις έχουμε και
μετά από το 1,5 άρα:
1 2 3 4 3 3ν ν ν ν 10 15 ν 5 ν 20        
οπότε
ν 10 15 20 5 50    
Γ2.
ix iν iΝ if if % i ix ν
0 10 10 0,2 20 0
1 15 25 0,3 30 15
2 20 45 0,4 40 40
3 5 50 0,1 10 15
ΣΥΝΟΛΑ 50 - 1 100 70

7. Μαθηματικά Ι (Άλγεβρα) http://lisari.blogspot.gr
Γ΄ Λυκείου 19– 05 – 2016
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
3
Γ3. Η μέση τιμή των ωρών σύνδεσης των μαθητών στο διαδίκτυο είναι
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4
x ν x ν x ν x ν 70
x 1,4
ν ν ν ν 50
  
  
  
Γ4. Το ραβδόγραμμα συχνοτήτων φαίνεται παρακάτω
ΘΕΜΑ Δ
Δ1.Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης h ως προς το χρόνο t είναι :
 2
h (t) 3t 30t 6t 30       2
3t 30t  ,0 t 10 
Δ2. Είναι
 h t 0 6t 30 0 6t 30 t 5         
Ο πίνακας μονοτονίας της h είναι ο εξής:
t 0 5 1
 h t  
h < >

8. Μαθηματικά Ι (Άλγεβρα) http://lisari.blogspot.gr
Γ΄ Λυκείου 19– 05 – 2016
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
4
To χρονικό διάστημα ανόδου του αεροπλάνου είναι  0,5 και το χρονικό διάστημα καθόδου είναι
 5,10 .
Δ3. Το αεροπλάνο βρίσκεται στο μέγιστο ύψος την χρονική στιγμή t 5sec.
Δ4. Το μέγιστο ύψος θα είναι
2
h(5) 3 5 30 5 75 150 75m        