Them mat epal_c_hmer_170608

1. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ & ∆΄ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ
ΠΑΝΕΛΛΑ∆ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ
ΠΕΜΠΤΗ 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ)
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ∆ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
ΘΕΜΑ Α
Α1. Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο , να
αποδείξετε ότι:
( )f(x) g(x) f (x) g (x)′ ′′+ = +
Μονάδες 10
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν,
γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που
αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η
πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση
είναι λανθασμένη.
α) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική
παράσταση μιας ποσοτικής μεταβλητής.
(Μον. 2)
β) Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A λέγεται
συνεχής, αν για κάθε 0x A∈ ισχύει:
0
0
x x
lim f(x) f(x )
→
=
(Μον. 2)
γ) Το εύρος ( )R είναι ένα μέτρο διασποράς.
(Μον. 2)
Μονάδες 6
Α3. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες
και να τις συμπληρώσετε:
α) ( )ρ
x ...,
′
= όπου ρ ρητός αριθμός.
(Μον. 3)

2. ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ & ∆΄ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ
β) ( )συν x ...′ =
(Μον. 3)
γ) Αν 1 2 νx ,x ,...,x είναι οι τιμές μιας ποσοτικής
μεταβλητής X ενός δείγματος μεγέθους ν και
1 2 νw ,w ,...,w είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές
στάθμισης (βαρύτητας), τότε ο σταθμικός μέσος
βρίσκεται από τον τύπο:
x ...=
(Μον. 3)
Μονάδες 9
ΘΕΜΑ Β
Οι βαθμοί ενός φοιτητή σε 10 μαθήματα είναι:
4, κ, 5, 6, 2κ 1, 4, 6, κ 2, 6, 4+ +
όπου:
2
x 1
x x 2
κ lim
x 1→
+ −
=
−
Β1. Να αποδείξετε ότι κ 3= .
Μονάδες 7
Β2. Για κ 3= , να υπολογίσετε τη μέση τιμή ( )x των βαθμών
του φοιτητή.
Μονάδες 5
Β3. Για κ 3= , να υπολογίσετε τη διακύμανση ( )2
s .
Μονάδες 8
Β4. Για κ 3= , να υπολογίσετε τον συντελεστή μεταβολής CV.
∆ίνεται ότι 1,4 1,18≅ .
Μονάδες 5

3. ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ & ∆΄ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ
ΘΕΜΑ Γ
Οι ηλικίες των εργαζομένων σε μια επιχείρηση ακολουθούν
περίπου την κανονική κατανομή.
Εάν το 50% των εργαζομένων έχουν ηλικία μεγαλύτερη των
40 ετών και το 16% των εργαζομένων έχουν ηλικία μικρότερη
των 35 ετών, να αποδείξετε ότι:
Γ1. Η μέση τιμή των ηλικιών των εργαζομένων είναι x 40= .
Μονάδες 5
Γ2. Η τυπική απόκλιση είναι s 5= .
Μονάδες 10
Εάν οι εργαζόμενοι της επιχείρησης είναι 400, να βρείτε:
Γ3. Πόσοι εργαζόμενοι έχουν ηλικία μεγαλύτερη των 45
ετών.
Μονάδες 5
Γ4. Πόσοι εργαζόμενοι έχουν ηλικία μεγαλύτερη των 30 ετών
και μικρότερη των 45 ετών.
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ ∆
∆ίνεται η συνάρτηση f: → με τύπο:
3 21
f(x) x 2x 3x 1
3
= − + − +
∆1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.
Μονάδες 8
∆2. Να βρείτε τις θέσεις, το είδος και τις τιμές των τοπικών
ακροτάτων της συνάρτησης f .
Μονάδες 6
∆3. Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης f στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη
στην ευθεία y x 2017= + .
Μονάδες 6

4. ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ & ∆΄ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ
ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ
∆4. Εάν τα σημεία ( )1 1 1M x ,y , ( )2 2 2M x ,y , ( )3 3 3M x ,y , ( )4 4 4M x ,y ,
( )5 5 5M x ,y ανήκουν στη γραφική παράσταση της
y f (x)′′= και η τυπική απόκλιση των τετμημένων
1 2 3 4 5x , x , x , x , x των ( )1 1 1M x ,y , ( )2 2 2M x ,y , ( )3 3 3M x ,y ,
( )4 4 4M x ,y , ( )5 5 5M x ,y είναι ίση με 3, να βρείτε την
τυπική απόκλιση των τεταγμένων 1 2 3 4 5y , y , y , y , y των
σημείων ( )1 1 1M x ,y , ( )2 2 2M x ,y , ( )3 3 3M x ,y , ( )4 4 4M x ,y ,
( )5 5 5M x ,y .
Μονάδες 5
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ
1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία,
εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο
τετράδιο.
2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των
φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. ∆εν επιτρέπεται
να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να
παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα, μόνο με μπλε
ή μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης.
4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
5. ∆ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των
φωτοαντιγράφων.
6. Ώρα δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ.
KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

5. ΛΥΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑ.Λ Ι
ΠΕΜΠΤΗ
08 – 06 – 17
11 : 00 π.μ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ
lisari team
ΘΕΜΑΤΑ
ΚΑΙ
ΛΥΣΕΙΣ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ
ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
2017
1η έκδοση
Βελαώρας Γιάννης
Βοσκάκης Σήφης
Μανώλης Ανδρέας
Σίσκας Χρήστος
Σπλήνης Νίκος
Τσακαλακος Τακης

6. Οι απαντήσεις και οι λύσεις
είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς
των μελών της lisari team
http://lisari.blogspot.gr/
1η έκδοση: 08 – 06 – 2016 (συνεχής ανανέωση)
Οι λύσεις διατίθεται αποκλειστικά
από το μαθηματικό blog
http://lisari.blogspot.gr

7. Πρόλογος
Στο παρόν αρχείο περιλαμβάνονται οι λύσεις των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2017 στο
μάθημα Μαθηματικά Προσανατολισμού θετικών Σπουδών Οικονομίας και
Πληροφορικής. Η παρουσίαση των λύσεων είναι πλήρης και αναλυτική στο μέγιστο
δυνατό, προκειμένου οι μαθητές να μπορούν να μελετήσουν και να επεξεργαστούν
εύκολα το αρχείο.
Η εργασία αυτή εκπονήθηκε αποκλειστικά από τη γνωστή διαδικτυακή ομάδα
Μαθηματικών από διάφορα μέρη της Ελλάδος, τη lisari team. Φέτος εστιάσαμε στη
ποικιλία των λύσεων και όσο στο χρόνο που θα αναρτηθούν οι λύσεις.
Την αρχική συγγραφή των λύσεων ακολούθησαν ενδελεχείς έλεγχοι, διορθώσεις και
βελτιώσεις με στόχο μια πληρέστερη και πιο ποιοτική παρουσίαση. Ζητούμε
συγνώμη για τυχόν παραλείψεις, λάθη ή αστοχίες που ενδεχομένως θα έχουν διαφύγει
της προσοχής μας, γεγονός αναπόφευκτο δεδομένων των στενών χρονικών
περιθωρίων. Θα ακολουθήσουν επόμενες εκδόσεις, όπου η εν λόγω παρουσίαση θα
βελτιωθεί, ίσως εμπλουτιστεί και με εναλλακτικές λύσεις. Οποιαδήποτε σχόλια,
παρατηρήσεις, διορθώσεις και βελτιώσεις επί των λύσεων είναι ευπρόσδεκτα στην
ηλεκτρονική διεύθυνση lisari.blogspot@gmail.com.
Με εκτίμηση
lisari team
09 – 06 – 2017

8. lisari team
1. Αντωνόπουλος Νίκος (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου "Κατεύθυνση" - Άργος)
2. Αυγερινός Βασίλης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου "ΔΙΑΤΑΞΗ" - Ν. Σμύρνη και Νίκαια)
3. Βελαώρας Γιάννης (Φροντιστήριο "ΒΕΛΑΩΡΑΣ" - Λιβαδειά Βοιωτίας)
4. Βοσκάκης Σήφης (Φροντιστήριο "Ευθύνη" - Ρέθυμνο)
5. Γιαννόπουλος Μιχάλης ( Θεσσαλονίκη - Αμερικάνικη Γεωργική Σχολή)
6. Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης (Φροντιστήριο "Αστρολάβος" - Άρτα)
7. Δούδης Δημήτρης (3ο Λύκειο Αλεξανδρούπολης)
8. Ζαμπέλης Γιάννης (Φροντιστήρια "Πουκαμισάς" Γλυφάδας)
9. Κακαβάς Βασίλης (Φροντιστήριο "Ώθηση" - Μαρούσι)
10. Κάκανος Γιάννης (Φροντιστήριο "Παπαπαναγιώτου – Παπαπαύλου" - Σέρρες)
11. Κανάβης Χρήστος (Διδακτορικό στο ΕΜΠ – 2ο ΣΔΕ φυλακών Κορυδαλλού)
12. Καρδαμίτσης Σπύρος (Πρότυπο Λύκειο Αναβρύτων)
13. Κοπάδης Θανάσης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίων "19+" - Πολύγωνο)
14. Κουλούρης Ανδρέας (3ο Λύκειο Γαλατσίου)
15. Κουστέρης Χρήστος (Φροντιστήριο "Στόχος" - Περιστέρι)
16. Μανώλης Ανδρέας (Φροντιστήριο "Ρηγάκης" - Κοζάνη)
17. Μαρούγκας Χρήστος (3ο ΓΕΛ Κηφισιάς)
18. Δημήτρης Μπαδέμης (Φροντιστήριο "Πουκαμισάς" - Γλυφάδας)
19. Νάννος Μιχάλης (1ο Γυμνάσιο Σαλαμίνας)
20. Νικολόπουλος Θανάσης (Λύκειο Κατασταρίου, Ζάκυνθος)
21. Παγώνης Θεόδωρος (Φροντιστήριο "Φάσμα" - Αγρίνιο)
22. Παπαδομανωλάκη Μαρία (Συνιδιοκτήτρια Πρότυπου Κέντρου Μάθησης "ΔΙΑΚΡΙΣΙΣ" - Ρέθυμνο)
23. Παπαμικρούλης Δημήτρης (Εκπαιδευτικός Οργανισμός "Ρόμβος")
24. Πάτσης Ανδρέας (Βόνιτσα - Μαθηματικός)
25. Ποδηματάς Θωμάς ( Σπουδαστήριο Μαθηματικών Θωμάς και Ρόζα Ποδηματά - Βόλος)
26. Ράπτης Γιώργος (6ο ΓΕΛ Βόλου)
27. Σίσκας Χρήστος (Φροντιστήριο "Μπαχαράκης" - Θεσσαλονίκη)
28. Σκομπρής Νίκος (Συγγραφέας – 1ο Λύκειο Χαλκίδας)
29. Σπλήνης Νίκος (Φροντιστήριο "ΟΡΙΖΟΝΤΕΣ" - Ηράκλειο Κρήτης)
30. Σταυρόπουλος Παύλος (Ιδιωτικά Εκπαιδευτήρια Δούκα)
31. Σταυρόπουλος Σταύρος (Γραμματέας Ε.Μ.Ε Κορινθίας - Γυμνάσιο Λ.Τ. Λεχαίου Κορινθίας)
32. Τρύφων Παύλος (1ο Εσπερινό ΕΠΑΛ Περιστερίου)
33. Τσακαλάκος Τάκης (συνταξιούχος αλλά ενεργός μαθηματικός)
34. Χαραλάμπους Σταύρος (Θεσσαλονίκη - Μουσικό Λύκειο)
35. Χατζόπουλος Μάκης (1ο ΓΕΛ Πετρούπολης)

9. Μαθηματικά http://lisari.blogspot.gr
ΕΠΑ. Λ Ι 08 – 06 – 2017
1
lisari team / Σχολικό έτος 2016 – 17
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΠΕΜΠΤΗ 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελίδα 31
A2. α) Λάθος β) Σωστό γ) Σωστό
A3. α)  ρ ρ 1
x ρx   β)  συνx ημx   γ) 1 1 2 2 ν ν
1 2 ν
x w x w ... x w
x
w w ... w
  

  

10. Μαθηματικά http://lisari.blogspot.gr
ΕΠΑ. Λ Ι 08 – 06 – 2017
2
ΘΕΜΑ Β
B1. Ισχύει ότι:
  
 
2
x 1 x 1 x 1
x 1 x 2x x 2
lim lim lim x 2 1 2 3
x 1 x 1  
  
     
 
Επομένως κ 3 .
Β2. Για κ 3 οι βαθμοί είναι:
4, 3, 5, 6, 7, 4, 6, 5, 6, 4
κι έχουν μέση τιμή:
4 3 5 6 7 4 6 5 6 4 50
x 5
10 10
        
  
Β3. Ισχύει ότι:
                   
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 4 5 3 5 5 5 6 5 7 5 4 5 6 5 5 5 6 5 4 5
s
10
                  

       
2 2 2 22 2 2 2 2 2
1 2 0 1 2 1 1 0 1 1
10
            

1 4 0 1 4 1 1 0 1 1 14
1,4
10 10
        
  
Β4. Ισχύει ότι:
2
s s 1,4 1,18  
Επειδή x 5 0  έχουμε ότι:
s 1,18
CV 0,236 23,6%
x 5
   

11. Μαθηματικά http://lisari.blogspot.gr
ΕΠΑ. Λ Ι 08 – 06 – 2017
3
ΘΕΜΑ Γ
Γ1.
Από το σχήμα της κανονικής κατανομής έχουμε
 x 40 1
διότι το 50% των εργαζομένων έχουν ηλικία μεγαλύτερη από 40 ετών
Γ2. Επίσης από το σχήμα της κανονικής κατανομής έχουμε
 x s 35 2 
διότι το 16% των εργαζομένων έχουν ηλικία μικρότερη των 35 ετών
Από    1 , 2 έχουμε
x s 35 40 s 35 s 40 35 s 5         
Γ3.
Από το σχήμα της κανονικής κατανομής το ποσοστό των εργαζομένων που έχουν ηλικία
μεγαλύτερη των 45 ετών είναι το
13,5% 2,35% 0,15% 16%  
Οπότε οι εργαζόμενοι που έχουν ηλικία μεγαλύτερη των 45 ετών είναι
16
400 16 4 64
100
    εργαζόμενοι

12. Μαθηματικά http://lisari.blogspot.gr
ΕΠΑ. Λ Ι 08 – 06 – 2017
4
Γ4. Από το σχήμα της κανονικής κατανομής το ποσοστό των εργαζομένων που έχουν ηλικία
μεγαλύτερη των 30 και μικρότερη των 45 ετών είναι το
13,5% 68% 81,5% 
Οπότε οι εργαζόμενοι που έχουν ηλικία μεγαλύτερη των 30 και μικρότερη των 45 ετών είναι
81,5
400 81,5 4 326
100
    εργαζόμενοι

13. Μαθηματικά http://lisari.blogspot.gr
ΕΠΑ. Λ Ι 08 – 06 – 2017
5
ΘΕΜΑ Δ
Δ1. Η συνάρτηση 3 21
f(x) x 2x 3x 1
3
     είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως
πολυωνυμική με
2 21
f (x) 3 x 2 2 x 3 1 0 x 4x 3, x
3
               r
2
x 1
f (x) 0 x 4x 3 0 ή
x 3


        
 
Tο πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον πίνακα
 H f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (-∞, 1] και [3, +∞)
 H f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [1, 3]
Δ2. Από το ερώτημα (Δ1) έχουμε ότι η f παρουσιάζει
 στη θέση 1x 1 τοπικό ελάχιστο, με τιμή
1
f(1)
3
 
 στη θέση 2x 3 τοπικό μέγιστο, με τιμή f(3) 1
Δ3. Η ευθεία ε: y = x + 2017 έχει συντελεστή διεύθυνσης 1λ 1 .
Αν 0 0Μ(x , f(x )) το ζητούμενο σημείο, πρέπει
2 2 2
0 1 0 0 0 0 0 0f (x ) = λ x +4x 3 =1 x 4x 4 = 0 (x 2) = 0 x 2          
Άρα το ζητούμενο σημείο είναι το Μ(2, f(2)) ή
1
Μ 2,
3
 
 
 
Δ4. Είναι f (x) 2x 4   
Οπότε 1 1 1f (x ) 2x 4 y     , 2 2 2f (x ) 2x 4 y     , … , 5 5 5f (x ) 2x 4 y    
Δηλαδή i iy 2x 4   με i 1,2,3,4,5
Άρα y xs 2 s 2 3 6    