Computer Science Club, profile picture
Uploaded byComputer Science Club
544 views

20131106 h10 lecture6_matiyasevich

Документ обсуждает операции с вещественными и целыми числами, а также рассматривает математические концепции, такие как системы векторного сложения и сети Петри. В нем также упомянуты проблемы достижимости и включения для векторных систем, которые являются неразрешимыми. Кроме того, документ затрагивает тему шахматных машин и их работу с состояниями и регистрами.

Embed presentation

Download to read offline
1 / 146
2 / 146
3 / 146
4 / 146
5 / 146
6 / 146
7 / 146
8 / 146
9 / 146
10 / 146
11 / 146
12 / 146
13 / 146
14 / 146
15 / 146
16 / 146
17 / 146
18 / 146
19 / 146
20 / 146
21 / 146
22 / 146
23 / 146
24 / 146
25 / 146
26 / 146
27 / 146
28 / 146
29 / 146
30 / 146
31 / 146
32 / 146
33 / 146
34 / 146
35 / 146
36 / 146
37 / 146
38 / 146
39 / 146
40 / 146
41 / 146
42 / 146
43 / 146
44 / 146
45 / 146
46 / 146
47 / 146
48 / 146
49 / 146
50 / 146
51 / 146
52 / 146
53 / 146
54 / 146
55 / 146
56 / 146
57 / 146
58 / 146
59 / 146
60 / 146
61 / 146
62 / 146
63 / 146
64 / 146
65 / 146
66 / 146
67 / 146
68 / 146
69 / 146
70 / 146
71 / 146
72 / 146
73 / 146
74 / 146
75 / 146
76 / 146
77 / 146
78 / 146
79 / 146
80 / 146
81 / 146
82 / 146
83 / 146
84 / 146
85 / 146
86 / 146
87 / 146
88 / 146
89 / 146
90 / 146
91 / 146
92 / 146
93 / 146
94 / 146
95 / 146
96 / 146
97 / 146
98 / 146
99 / 146
100 / 146
101 / 146
102 / 146
103 / 146
104 / 146
105 / 146
106 / 146
107 / 146
108 / 146
109 / 146
110 / 146
111 / 146
112 / 146
113 / 146
114 / 146
115 / 146
116 / 146
117 / 146
118 / 146
119 / 146
120 / 146
121 / 146
122 / 146
123 / 146
124 / 146
125 / 146
126 / 146
127 / 146
128 / 146
129 / 146
130 / 146
131 / 146
132 / 146
133 / 146
134 / 146
135 / 146
136 / 146
137 / 146
138 / 146
139 / 146
140 / 146
141 / 146
142 / 146
143 / 146
144 / 146
145 / 146
146 / 146
Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Шестая лекция Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений
Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net)
Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia:
Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri
Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939
Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939 – at the age of 13
Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939 – at the age of 13 – for the purpose of describing chemical processes
Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939 – at the age of 13 – for the purpose of describing chemical processes Системы векторного сложения (systems of vector addition)
Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n
Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n δj,k ∈ Z
Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N δj,k ∈ Z
Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , α n δj,k ∈ Z
Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j
Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N
Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆ j1
Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2
Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3
Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .
Проблема достижимости
Проблема достижимости ВХОД: Cистема векторного сложения {∆1 , . . . , ∆k } и два вектора A и B
Проблема достижимости ВХОД: Cистема векторного сложения {∆1 , . . . , ∆k } и два вектора A и B ВОПРОС: Верно ли, что вектор B достижим из вектора A в этой системе?
Проблема включения
Проблема включения ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A
Проблема включения ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A во второй системе, достижим из вектора A также и в первой системе?
Проблема включения ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A во второй системе, достижим из вектора A также и в первой системе? Теорема (Michael Rabin, не опубликовано). Проблема включения для систем векторного сложения неразрешима.
Проблема включения ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A во второй системе, достижим из вектора A также и в первой системе? Теорема (Michael Rabin, не опубликовано). Проблема включения для систем векторного сложения неразрешима.
Проблема эквивалентности ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A в одной из этих систем, достижим из вектора A также и в другой системе?
Проблема эквивалентности ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A в одной из этих систем, достижим из вектора A также и в другой системе? Теорема (M. Hack; T. Araki и T. Kasami). Проблема эквивалентности для систем векторного сложения неразрешима.
Обобщенные кони на многомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n δj,k ∈ Z
Обобщенные кони на многомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn
Обобщенные кони на многомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
Обобщенные кони на многомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
Сравнение проблем Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn
Сравнение проблем Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A)
Сравнение проблем Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A)
Сравнение проблем Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A)&K (A) ⊇ K (A)
Специальные кони δ1 , . . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1}
Специальные кони δ1 , . . . , δ n δi1 = · · · = δia = −1 δm ∈ {−1, 0, 1}
Специальные кони δ1 , . . . , δ n δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm ∈ {−1, 0, 1}
Специальные кони δ1 , . . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1} δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm = 0, если m ∈ {i1 , . . . , ia , j1 , . . . , jb }
Специальные кони δ1 , . . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1} δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm = 0, если m ∈ {i1 , . . . , ia , j1 , . . . , jb } i1 , . . . , ia j1 , . . . , jb
Специальные кони δ1 , . . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1} δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm = 0, если m ∈ {i1 , . . . , ia , j1 , . . . , jb } i1 , . . . , ia j1 , . . . , jb Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb
Шахматная машина
Шахматная машина Шахматная машина имеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число.
Шахматная машина Шахматная машина имеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина может находиться в одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ;
Шахматная машина Шахматная машина имеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина может находиться в одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ; инструкции машины имеют вид Si0 Ri1 . . . Ria Sj0 Rj1 . . . Rjb где все числа i0 , i1 , . . . , ia , j0 , j1 , . . . , jb попарно различны.
Шахматная машина Шахматная машина имеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина может находиться в одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ; инструкции машины имеют вид Si0 Ri1 . . . Ria Sj0 Rj1 . . . Rjb где все числа i0 , i1 , . . . , ia , j0 , j1 , . . . , jb попарно различны. Шахматная машина является недетерминированной!
Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb
Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se
Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .
Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты.
Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия.
Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия. 1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то rj ≤ F (x1 , . . . , xk )
Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия. 1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то rj ≤ F (x1 , . . . , xk ) 2. Для любого y такого, что y ≤ F (x1 , . . . , xk ), существует поле r1 , . . . , rn , достижимое с поля (∗) и такое, что rj = y , re = 1.
Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия. 1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то rj ≤ F (x1 , . . . , xk ) 2. Для любого y такого, что y ≤ F (x1 , . . . , xk ), существует поле r1 , . . . , rn , достижимое с поля (∗) и такое, что rj = y , re = 1. 3. Состояние Se не встречается в левых частях инструкций машины.
Сложение чисел S1 I4 S2 O6 S1 I5 S2 O6 S1 S3 S2 S1
Умножение чисел S1 I6 S2 S2 I7 S3 R8 O9 S3 S2 S3 S4 S4 R8 S1 I7 S1 S4 S1 S5
Сложение функций Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) + F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ).
Сложение функций Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) + F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ). S1 I4 S2 O6 S1 I5 S2 O6 S1 S3 S2 S1
Умножение функций Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) × F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ).
Умножение функций Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) × F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ). S1 I6 S2 S2 I7 S3 R8 O9 S3 S2 S3 S4 S4 R8 S1 I7 S1 S4 S1 S5
Альтернативы либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Альтернативы либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm )
Альтернативы либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm ) A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm )
Альтернативы либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm ) A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) либо ∃x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) = B(x1 , . . . , xm )} либо ∀x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) + 1}
Альтернативы либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm ) A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) либо ∃x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) = B(x1 , . . . , xm )} либо ∀x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) + 1}
Машина K A A(x1 , . . . , xm )
Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times
Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A .
Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры
Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр
Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние
Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9.
Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции: Sm+2 ... Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1 ... Sm+2 Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm Sm+3 Sm+2 Sm+3 Sb , Обозначим полученную машину через K A
Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции: Sm+2 ... Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1 ... Sm+2 Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm Sm+3 Sm+2 Sm+3 Sb , Обозначим полученную машину через K A , её начальным состоянием объявим Sm+2 .
Машина K B B(x1 , . . . , xm ) + 1 = B (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ). w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую B , Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции: Sm+2 ... Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1 ... Sm+2 Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm Sm+3 Sm+2 Sm+3 Sb , Обозначим полученную машину через K состоянием объявим Sm+2 . B, её начальным
Машина K Добавим к машине K A следующие инструкции
Машина K Добавим к машине K A следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St
Машина K Добавим к машине K A следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St 2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss St Rj
Машина K Добавим к машине K A следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St 2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss St Rj 3. для каждого состояния Sk машины KB : Ss Sk
Машина K Добавим к машине K A следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St 2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss St Rj 3. для каждого состояния Sk машины KB : Ss Sk St Ss 4.
Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA .
Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Включение и эквивалентность Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A)
Включение и эквивалентность Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ∧ K (A) ⊇ K (A)
Включение и эквивалентность Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ∧ K (A) ⊇ K (A) K (r1 , . . . , rn ) ⊇ K (r1 , . . . , rn ) ⇐⇒ ⇐⇒ K (r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn )
Включение и эквивалентность Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ∧ K (A) ⊇ K (A) K (r1 , . . . , rn ) ⊇ K (r1 , . . . , rn ) ⇐⇒ ⇐⇒ K (r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn ) K(r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn )
Включение и эквивалентность K Ri1 . . . Ria K Rj1 . . . Rjb Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb K Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+5 Ri1 . . . Ria Tm+4 Rj1 . . . Rjb Tm+7 Ri1 . . . Ria Tm+6 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+4 Sm+2 Sm+8 Tm+6 Sm+2 Sm+8 Tm+5 Sm+2 Sm+8 Tm+7 Sm+2 Tm+4 Tm+5 K все инструкции K Tm+6 Tm+7
Включение и эквивалентность K Ri1 . . . Ria K Rj1 . . . Rjb Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb K Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+5 Ri1 . . . Ria Tm+4 Rj1 . . . Rjb Tm+7 Ri1 . . . Ria Tm+6 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+4 Sm+2 Sm+8 Tm+6 Sm+2 Sm+8 Tm+5 Sm+2 Sm+8 Tm+7 Sm+2 Tm+4 Tm+5 K все инструкции K Tm+6 Tm+7 K ⊇K ⇐⇒ K = K
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0]
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 Bn = b1 . . . bk . . . bn if k ∈ M otherwise
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 Bn = b1 . . . bk . . . bn if k ∈ M otherwise
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bob
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits - Bn
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn ? COMPRESSION Bob n bits - Bn
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn ? COMPRESSION ? Cn Bob n bits - Bn
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits - Bn ? COMPRESSION ? Cn Length(Cn ) bits -C n
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits ? COMPRESSION ? Cn - Bn DECOMPRESSION Length(Cn ) bits 6 -C n
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits ? COMPRESSION ? Cn - Bn 6 DECOMPRESSION Length(Cn ) bits 6 -C n
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits ? ZIP ? Cn - Bn 6 UNZIP Length(Cn ) bits 6 -C n
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits ? A−1 A ? Cn - Bn 6 Length(Cn ) bits 6 -C n
Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): Cn = A(Bn ) Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): if n ≤ k + 1 otherwise Cn = A(Bn ) = Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): Cn = A(Bn ) = Alice Bn 0Bn n bits if n ≤ k + 1 otherwise Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): Cn = A(Bn ) = Alice Bn 0Bn 1bk+2 bk+3 . . . bn n bits if n ≤ k + 1 otherwise Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): 0Bn 1bk+2 bk+3 . . . bn Cn = A(Bn ) = if n ≤ k + 1 otherwise A−1 (0C ) = C Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): 0Bn 1bk+2 bk+3 . . . bn Cn = A(Bn ) = if n ≤ k + 1 otherwise A−1 (0C ) = C A−1 (1C ) = b1 . . . bk+1 C Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
Case of Decidable M Bn = b1 b2 . . . bk . . . bn Alice Bn bk = n bits 1, 0 if k ∈ M otherwise Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
Case of Decidable M Bn = b1 b2 . . . bk . . . bn bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Cn = A(Bn ) Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
Case of Decidable M Bn = b1 b2 . . . bk . . . bn Cn = A(Bn ) Alice Bn bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise = n = binary notation of n ˜ n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
Case of Decidable M Bn = b1 b2 . . . bk . . . bn Cn = A(Bn ) Alice Bn bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise = n = binary notation of n ˜ n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? n ˜ log(n) bits 6 - n ˜
Case of Diophantine M a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn ba = ? Cn if k ∈ M otherwise Bob n bits - Bn 6 A−1 A ? 1, 0 Length(Cn ) bits 6 -C n
Case of Diophantine M a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] Bn = b1 . . . bk . . . bn ba = 1, 0 if k ∈ M otherwise Cn = A(Bn ) Alice Bn Bob n bits ? A−1 A ? Cn - Bn 6 Length(Cn ) bits 6 -C n
Case of Diophantine M a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] Bn = b1 . . . bk . . . bn ba = Cn = A(Bn ) 1, 0 if k ∈ M otherwise = n qn ˜ where qn is the number of "1" in Bn and qn is the binary notation of qn padded by leading zeros to the length of n. Alice Bn Bob n bits ? A−1 A ? Cn - Bn 6 Length(Cn ) bits 6 -C n
Case of Diophantine M a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] Bn = b1 . . . bk . . . bn ba = Cn = A(Bn ) 1, 0 if k ∈ M otherwise = n qn ˜ where qn is the number of "1" in Bn and qn is the binary notation of qn padded by leading zeros to the length of n. Alice Bn Bob n bits ? A−1 A ? nqn ˜ - Bn 6 2 log(n) bits 6 - nq ˜ n
Computational Chaos in Number Theory Gregory Chaitin [1987] constructed a particular one-parameter exponential Diophantine equation and considered the set of all values of the parameter for which the equation has infinitely many solutions: a ∈ M ⇐⇒ ∃∞ x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0]
Computational Chaos in Number Theory Gregory Chaitin [1987] constructed a particular one-parameter exponential Diophantine equation and considered the set of all values of the parameter for which the equation has infinitely many solutions: a ∈ M ⇐⇒ ∃∞ x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0] He proved that so called prefix-free Kolmogorov complexity (defined up to an additive constant) of this set is equal to n.
Computational Chaos in Number Theory Gregory Chaitin [1987] constructed a particular one-parameter exponential Diophantine equation and considered the set of all values of the parameter for which the equation has infinitely many solutions: a ∈ M ⇐⇒ ∃∞ x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0] He proved that so called prefix-free Kolmogorov complexity (defined up to an additive constant) of this set is equal to n. Informally, one can say that the set M is completely chaotic.
More Computational Chaos in Number Theory Toby Ord and Tien D. Kieu [2003] constructed another particular one-parameter exponential Diophantine equation which for every value of the parameter has only finitely many solutions and considered the set of all values of the parameter for which the equation has even number of solutions: a ∈ M ⇐⇒ ∃even x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0]
More Computational Chaos in Number Theory Toby Ord and Tien D. Kieu [2003] constructed another particular one-parameter exponential Diophantine equation which for every value of the parameter has only finitely many solutions and considered the set of all values of the parameter for which the equation has even number of solutions: a ∈ M ⇐⇒ ∃even x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0] They proved that the prefix-free Kolmogorov complexity of this set is also equal to n (up to an additive constant).
Even More Computational Chaos in Number Theory Theorem (Matiyasevich [2006]). Let U be a decidable infinite set with infinite complement. WE CAN construct an exponential Diophantine equation which for every value of the parameter has only finitely many solutions and such that the prefix-free Kolmogorov complexity of the set a ∈ M ⇐⇒ ∃U x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0] is equal to n (up to an additive constant).
Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm )
Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима.
Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима. Проблема унификации для исчисления предикатов третьего порядка неразрешима.
Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима. Проблема унификации для исчисления предикатов третьего порядка неразрешима. L. D. Baxter [1978] дал новое доказательство этого факта с использованием неразрешимости диофантовых уравнений.
Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима. Проблема унификации для исчисления предикатов третьего порядка неразрешима. L. D. Baxter [1978] дал новое доказательство этого факта с использованием неразрешимости диофантовых уравнений. W. D. Golfarb [1981] установил неразрешимость проблема унификации для исчисления предикатов второго порядка, исходя из неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.
Одна история
Одна история Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)?
Одна история Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)? A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимость одновременной жесткой E -унификации
Одна история Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)? A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимость одновременной жесткой E -унификации путем сведения к ней так называемой проблемы монадической полуунификации (monadic semi-unification problem).
Одна история Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)? A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимость одновременной жесткой E -унификации путем сведения к ней так называемой проблемы монадической полуунификации (monadic semi-unification problem). Неразрешимость проблемы монадической полуунификации установил ранее M. Baaz [1993] путем сведения к ней проблемы унификации для исчисления предикатов второго порядка.
Одна история Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)? A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимость одновременной жесткой E -унификации путем сведения к ней так называемой проблемы монадической полуунификации (monadic semi-unification problem). Неразрешимость проблемы монадической полуунификации установил ранее M. Baaz [1993] путем сведения к ней проблемы унификации для исчисления предикатов второго порядка. W. D. Golfarb [1981] установил неразрешимость проблемы унификации для исчисления предикатов второго порядка, исходя из неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.
Одна история Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)? A. Воронков и A. Дегтярев [1996] дали прямое доказательство неразрешимость одновременной жесткой E -унификации на основе неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.

More Related Content

PDF
Юрий Владимирович Матиясевич. Десятая проблема Гильберта. Решение и применени...
byComputer Science Club
 
PDF
Андрей Соболевский - Вокруг Базельской задачи: Бернулли, Эйлер, Риман
byYandex
 
PDF
Определенный интеграл
byssuser4d8a9a
 
PPT
Egje po matematike_zadaniya_s5
byИван Иванов
 
PDF
20111023 circuit complexity_seminar_lecture04_mihajlin
byComputer Science Club
 
PDF
Лекция №7 "Машина опорных векторов"
byTechnosphere1
 
PDF
Suprun11 PROBLEMAS MATEMATICAS ESPECIALES 1
byArmando Cavero
 
PPTX
ЕГЭ_№23
bykuzinolga
 
Юрий Владимирович Матиясевич. Десятая проблема Гильберта. Решение и применени...
byComputer Science Club
 
Андрей Соболевский - Вокруг Базельской задачи: Бернулли, Эйлер, Риман
byYandex
 
Определенный интеграл
byssuser4d8a9a
 
Egje po matematike_zadaniya_s5
byИван Иванов
 
20111023 circuit complexity_seminar_lecture04_mihajlin
byComputer Science Club
 
Лекция №7 "Машина опорных векторов"
byTechnosphere1
 
Suprun11 PROBLEMAS MATEMATICAS ESPECIALES 1
byArmando Cavero
 
ЕГЭ_№23
bykuzinolga
 

What's hot

PDF
Лекция №6 "Линейные модели для классификации и регрессии"
byTechnosphere1
 
PDF
Линейные многошаговые методы
byTheoretical mechanics department
 
PDF
1555 показательн. и логарифмич. функции в зад. и примерах власова а.п. и др-...
bypsvayy
 
PDF
Решение систем линейных уравнений: трехдиагональные, симметричные и положител...
byTheoretical mechanics department
 
PDF
Итерационные методы решения СЛАУ
byTheoretical mechanics department
 
DOC
Мысль №7
byrasparin
 
PDF
Integral1
byLha Bolorerdene
 
PDF
Сплайн интерполяция
byTheoretical mechanics department
 
PDF
Численное решение ОДУ. Метод Эйлера
byTheoretical mechanics department
 
PPT
показательная функция. решение показательных уравнений
byermolaeva_mv
 
PDF
Pr i-4
bygthtcnhjqrf1952
 
PDF
1742 повторяем математику за курс средней школы арефьева и.г-2015 -118с
bypsvayy
 
PDF
Otkrytye uroki matematiki_5_6_klassy
byssusera868ff
 
PPT
задание 17 (c3) неравенства Vopvet
byLeva Sever
 
PDF
Коды Адамара. Каскадные коды Форни.
byAlex Dainiak
 
PDF
Лекция №9 "Алгоритмические композиции. Начало"
byTechnosphere1
 
PPT
Ustnoe reshenie kvadratnogo_uravneniya
byИван Иванов
 
PDF
Лекция №4 "Задача классификации"
byTechnosphere1
 
PDF
L6: Метод опорных векторов
byTechnosphere1
 
PDF
01 - Введение в дискретную математику. Теория множеств и комбинаторика
byRoman Brovko
 
Лекция №6 "Линейные модели для классификации и регрессии"
byTechnosphere1
 
Линейные многошаговые методы
byTheoretical mechanics department
 
1555 показательн. и логарифмич. функции в зад. и примерах власова а.п. и др-...
bypsvayy
 
Решение систем линейных уравнений: трехдиагональные, симметричные и положител...
byTheoretical mechanics department
 
Итерационные методы решения СЛАУ
byTheoretical mechanics department
 
Мысль №7
byrasparin
 
Integral1
byLha Bolorerdene
 
Сплайн интерполяция
byTheoretical mechanics department
 
Численное решение ОДУ. Метод Эйлера
byTheoretical mechanics department
 
показательная функция. решение показательных уравнений
byermolaeva_mv
 
Pr i-4
bygthtcnhjqrf1952
 
1742 повторяем математику за курс средней школы арефьева и.г-2015 -118с
bypsvayy
 
Otkrytye uroki matematiki_5_6_klassy
byssusera868ff
 
задание 17 (c3) неравенства Vopvet
byLeva Sever
 
Коды Адамара. Каскадные коды Форни.
byAlex Dainiak
 
Лекция №9 "Алгоритмические композиции. Начало"
byTechnosphere1
 
Ustnoe reshenie kvadratnogo_uravneniya
byИван Иванов
 
Лекция №4 "Задача классификации"
byTechnosphere1
 
L6: Метод опорных векторов
byTechnosphere1
 
01 - Введение в дискретную математику. Теория множеств и комбинаторика
byRoman Brovko
 

Viewers also liked

PPT
20111204 computer graphics_galinsky_lecture12_real_time
byComputer Science Club
 
PDF
20080323 machine learning_nikolenko_lecture05
byComputer Science Club
 
PDF
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
byComputer Science Club
 
PDF
20081116 auctions nikolenko_lecture10
byComputer Science Club
 
PDF
20130915 lecture1 2-tarski_matiyasevich
byComputer Science Club
 
PDF
20111015 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture02
byComputer Science Club
 
PDF
20121006 uralcsslub fall_term_opening
byComputer Science Club
 
PDF
20130429 dynamic c_c++_program_analysis-alexey_samsonov
byComputer Science Club
 
PPT
20120309 formal semantics shilov_lecture02
byComputer Science Club
 
20111204 computer graphics_galinsky_lecture12_real_time
byComputer Science Club
 
20080323 machine learning_nikolenko_lecture05
byComputer Science Club
 
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
byComputer Science Club
 
20081116 auctions nikolenko_lecture10
byComputer Science Club
 
20130915 lecture1 2-tarski_matiyasevich
byComputer Science Club
 
20111015 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture02
byComputer Science Club
 
20121006 uralcsslub fall_term_opening
byComputer Science Club
 
20130429 dynamic c_c++_program_analysis-alexey_samsonov
byComputer Science Club
 
20120309 formal semantics shilov_lecture02
byComputer Science Club
 

Similar to 20131106 h10 lecture6_matiyasevich

PDF
20100418 hilberts tenth_problem_matiyasevich_lecture10
byComputer Science Club
 
PDF
Slides2
byComputer Science Club
 
PDF
20100923 proof complexity_hirsch_lecture02
byComputer Science Club
 
PDF
20100930 proof complexity_hirsch_lecture03
byComputer Science Club
 
PDF
векторная алгебра
byVladimir Yaschuk
 
PDF
Maths 18-01-23
byfoxford-ru
 
PDF
Matanal 31oct
byАнтон Савостьянов
 
PDF
алгебра и геометрии учебное пособие. тестовые задании
byИван Иванов
 
PDF
20131013 h10 lecture4_matiyasevich
byComputer Science Club
 
PPT
Лекция 14 Матрицы
bysimple_people
 
DOC
Применение скалярного произведения векторов к решению алгебраических задач
byrasparin
 
PDF
Дмитрий Кашицын, Вывод типов в динамических и не очень языках II
byPlatonov Sergey
 
PDF
Численные методы решения СЛАУ. Метод Гаусса.
byTheoretical mechanics department
 
PDF
435.элементы теории множеств и математической логики теория и задачи
byivanov15548
 
PDF
526.высшая математика линейная алгебра и аналитическая геометрия
byefwd2ws2qws2qsdw
 
PDF
Решение задач на собственные значения
byTheoretical mechanics department
 
PDF
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
byComputer Science Club
 
PPT
решение заданий части 2 (c) (222) Vopvet.Ru
byLeva Sever
 
PDF
20110224 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture03
byComputer Science Club
 
PDF
20110224 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture02
byComputer Science Club
 
20100418 hilberts tenth_problem_matiyasevich_lecture10
byComputer Science Club
 
Slides2
byComputer Science Club
 
20100923 proof complexity_hirsch_lecture02
byComputer Science Club
 
20100930 proof complexity_hirsch_lecture03
byComputer Science Club
 
векторная алгебра
byVladimir Yaschuk
 
Maths 18-01-23
byfoxford-ru
 
Matanal 31oct
byАнтон Савостьянов
 
алгебра и геометрии учебное пособие. тестовые задании
byИван Иванов
 
20131013 h10 lecture4_matiyasevich
byComputer Science Club
 
Лекция 14 Матрицы
bysimple_people
 
Применение скалярного произведения векторов к решению алгебраических задач
byrasparin
 
Дмитрий Кашицын, Вывод типов в динамических и не очень языках II
byPlatonov Sergey
 
Численные методы решения СЛАУ. Метод Гаусса.
byTheoretical mechanics department
 
435.элементы теории множеств и математической логики теория и задачи
byivanov15548
 
526.высшая математика линейная алгебра и аналитическая геометрия
byefwd2ws2qws2qsdw
 
Решение задач на собственные значения
byTheoretical mechanics department
 
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
byComputer Science Club
 
решение заданий части 2 (c) (222) Vopvet.Ru
byLeva Sever
 
20110224 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture03
byComputer Science Club
 
20110224 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture02
byComputer Science Club
 

More from Computer Science Club

PDF
20141223 kuznetsov distributed
byComputer Science Club
 
PDF
Computer Vision
byComputer Science Club
 
PDF
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
byComputer Science Club
 
PDF
20140531 serebryany lecture02_find_scary_cpp_bugs
byComputer Science Club
 
PDF
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
byComputer Science Club
 
PDF
20140511 parallel programming_kalishenko_lecture12
byComputer Science Club
 
PDF
20140427 parallel programming_zlobin_lecture11
byComputer Science Club
 
PDF
20140420 parallel programming_kalishenko_lecture10
byComputer Science Club
 
PDF
20140413 parallel programming_kalishenko_lecture09
byComputer Science Club
 
PDF
20140329 graph drawing_dainiak_lecture02
byComputer Science Club
 
PDF
20140329 graph drawing_dainiak_lecture01
byComputer Science Club
 
PDF
20140310 parallel programming_kalishenko_lecture03-04
byComputer Science Club
 
PDF
20140223-SuffixTrees-lecture01-03
byComputer Science Club
 
PDF
20140216 parallel programming_kalishenko_lecture01
byComputer Science Club
 
PDF
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
byComputer Science Club
 
PDF
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
byComputer Science Club
 
PDF
20131006 h10 lecture2_matiyasevich
byComputer Science Club
 
PDF
20130922 h10 lecture1_matiyasevich
byComputer Science Club
 
PDF
20130928 automated theorem_proving_harrison
byComputer Science Club
 
PDF
20130922 lecture3 matiyasevich
byComputer Science Club
 
20141223 kuznetsov distributed
byComputer Science Club
 
Computer Vision
byComputer Science Club
 
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
byComputer Science Club
 
20140531 serebryany lecture02_find_scary_cpp_bugs
byComputer Science Club
 
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
byComputer Science Club
 
20140511 parallel programming_kalishenko_lecture12
byComputer Science Club
 
20140427 parallel programming_zlobin_lecture11
byComputer Science Club
 
20140420 parallel programming_kalishenko_lecture10
byComputer Science Club
 
20140413 parallel programming_kalishenko_lecture09
byComputer Science Club
 
20140329 graph drawing_dainiak_lecture02
byComputer Science Club
 
20140329 graph drawing_dainiak_lecture01
byComputer Science Club
 
20140310 parallel programming_kalishenko_lecture03-04
byComputer Science Club
 
20140223-SuffixTrees-lecture01-03
byComputer Science Club
 
20140216 parallel programming_kalishenko_lecture01
byComputer Science Club
 
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
byComputer Science Club
 
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
byComputer Science Club
 
20131006 h10 lecture2_matiyasevich
byComputer Science Club
 
20130922 h10 lecture1_matiyasevich
byComputer Science Club
 
20130928 automated theorem_proving_harrison
byComputer Science Club
 
20130922 lecture3 matiyasevich
byComputer Science Club
 

20131106 h10 lecture6_matiyasevich

  • 1.
    Что можно делать свещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  • 2.
    Что можно делать свещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  • 3.
    Что можно делать свещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  • 4.
    Что можно делать свещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Шестая лекция Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  • 5.
  • 6.
    Формализмы для описания параллельных/распределенныхвычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net)
  • 7.
    Формализмы для описания параллельных/распределенныхвычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia:
  • 8.
    Формализмы для описания параллельных/распределенныхвычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri
  • 9.
    Формализмы для описания параллельных/распределенныхвычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939
  • 10.
    Формализмы для описания параллельных/распределенныхвычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939 – at the age of 13
  • 11.
    Формализмы для описания параллельных/распределенныхвычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939 – at the age of 13 – for the purpose of describing chemical processes
  • 12.
    Формализмы для описания параллельных/распределенныхвычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939 – at the age of 13 – for the purpose of describing chemical processes Системы векторного сложения (systems of vector addition)
  • 13.
    Системы векторного сложения ∆1= δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n
  • 14.
    Системы векторного сложения ∆1= δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n δj,k ∈ Z
  • 15.
    Системы векторного сложения ∆1= δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N δj,k ∈ Z
  • 16.
    Системы векторного сложения ∆1= δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , α n δj,k ∈ Z
  • 17.
    Системы векторного сложения ∆1= δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j
  • 18.
    Системы векторного сложения ∆1= δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N
  • 19.
    Системы векторного сложения ∆1= δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆ j1
  • 20.
    Системы векторного сложения ∆1= δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2
  • 21.
    Системы векторного сложения ∆1= δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3
  • 22.
    Системы векторного сложения ∆1= δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .
  • 23.
  • 24.
    Проблема достижимости ВХОД: Cистема векторногосложения {∆1 , . . . , ∆k } и два вектора A и B
  • 25.
    Проблема достижимости ВХОД: Cистема векторногосложения {∆1 , . . . , ∆k } и два вектора A и B ВОПРОС: Верно ли, что вектор B достижим из вектора A в этой системе?
  • 26.
  • 27.
    Проблема включения ВХОД: Две системывекторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A
  • 28.
    Проблема включения ВХОД: Две системывекторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A во второй системе, достижим из вектора A также и в первой системе?
  • 29.
    Проблема включения ВХОД: Две системывекторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A во второй системе, достижим из вектора A также и в первой системе? Теорема (Michael Rabin, не опубликовано). Проблема включения для систем векторного сложения неразрешима.
  • 30.
    Проблема включения ВХОД: Две системывекторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A во второй системе, достижим из вектора A также и в первой системе? Теорема (Michael Rabin, не опубликовано). Проблема включения для систем векторного сложения неразрешима.
  • 31.
    Проблема эквивалентности ВХОД: Две системывекторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A в одной из этих систем, достижим из вектора A также и в другой системе?
  • 32.
    Проблема эквивалентности ВХОД: Две системывекторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A в одной из этих систем, достижим из вектора A также и в другой системе? Теорема (M. Hack; T. Araki и T. Kasami). Проблема эквивалентности для систем векторного сложения неразрешима.
  • 33.
    Обобщенные кони намногомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n δj,k ∈ Z
  • 34.
    Обобщенные кони намногомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn
  • 35.
    Обобщенные кони намногомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
  • 36.
    Обобщенные кони намногомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
  • 37.
    Сравнение проблем Обозначение. K(α1, . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn
  • 38.
    Сравнение проблем Обозначение. K(α1, . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A)
  • 39.
    Сравнение проблем Обозначение. K(α1, . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A)
  • 40.
    Сравнение проблем Обозначение. K(α1, . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A)&K (A) ⊇ K (A)
  • 41.
    Специальные кони δ1 ,. . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1}
  • 42.
    Специальные кони δ1 ,. . . , δ n δi1 = · · · = δia = −1 δm ∈ {−1, 0, 1}
  • 43.
    Специальные кони δ1 ,. . . , δ n δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm ∈ {−1, 0, 1}
  • 44.
    Специальные кони δ1 ,. . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1} δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm = 0, если m ∈ {i1 , . . . , ia , j1 , . . . , jb }
  • 45.
    Специальные кони δ1 ,. . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1} δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm = 0, если m ∈ {i1 , . . . , ia , j1 , . . . , jb } i1 , . . . , ia j1 , . . . , jb
  • 46.
    Специальные кони δ1 ,. . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1} δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm = 0, если m ∈ {i1 , . . . , ia , j1 , . . . , jb } i1 , . . . , ia j1 , . . . , jb Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb
  • 47.
  • 48.
    Шахматная машина Шахматная машинаимеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число.
  • 49.
    Шахматная машина Шахматная машинаимеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина может находиться в одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ;
  • 50.
    Шахматная машина Шахматная машинаимеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина может находиться в одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ; инструкции машины имеют вид Si0 Ri1 . . . Ria Sj0 Rj1 . . . Rjb где все числа i0 , i1 , . . . , ia , j0 , j1 , . . . , jb попарно различны.
  • 51.
    Шахматная машина Шахматная машинаимеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина может находиться в одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ; инструкции машины имеют вид Si0 Ri1 . . . Ria Sj0 Rj1 . . . Rjb где все числа i0 , i1 , . . . , ia , j0 , j1 , . . . , jb попарно различны. Шахматная машина является недетерминированной!
  • 52.
    Вычисления на шахматноймашине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb
  • 53.
    Вычисления на шахматноймашине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se
  • 54.
    Вычисления на шахматноймашине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .
  • 55.
    Вычисления на шахматноймашине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты.
  • 56.
    Вычисления на шахматноймашине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия.
  • 57.
    Вычисления на шахматноймашине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия. 1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то rj ≤ F (x1 , . . . , xk )
  • 58.
    Вычисления на шахматноймашине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия. 1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то rj ≤ F (x1 , . . . , xk ) 2. Для любого y такого, что y ≤ F (x1 , . . . , xk ), существует поле r1 , . . . , rn , достижимое с поля (∗) и такое, что rj = y , re = 1.
  • 59.
    Вычисления на шахматноймашине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия. 1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то rj ≤ F (x1 , . . . , xk ) 2. Для любого y такого, что y ≤ F (x1 , . . . , xk ), существует поле r1 , . . . , rn , достижимое с поля (∗) и такое, что rj = y , re = 1. 3. Состояние Se не встречается в левых частях инструкций машины.
  • 60.
    Сложение чисел S1 I4 S2O6 S1 I5 S2 O6 S1 S3 S2 S1
  • 61.
    Умножение чисел S1 I6 S2 S2I7 S3 R8 O9 S3 S2 S3 S4 S4 R8 S1 I7 S1 S4 S1 S5
  • 62.
    Сложение функций Лемма. Имеядве шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) + F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ).
  • 63.
    Сложение функций Лемма. Имеядве шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) + F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ). S1 I4 S2 O6 S1 I5 S2 O6 S1 S3 S2 S1
  • 64.
    Умножение функций Лемма. Имеядве шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) × F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ).
  • 65.
    Умножение функций Лемма. Имеядве шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) × F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ). S1 I6 S2 S2 I7 S3 R8 O9 S3 S2 S3 S4 S4 R8 S1 I7 S1 S4 S1 S5
  • 66.
    Альтернативы либо ∃x1 . .. xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  • 67.
    Альтернативы либо ∃x1 . .. xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm )
  • 68.
    Альтернативы либо ∃x1 . .. xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm ) A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm )
  • 69.
    Альтернативы либо ∃x1 . .. xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm ) A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) либо ∃x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) = B(x1 , . . . , xm )} либо ∀x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) + 1}
  • 70.
    Альтернативы либо ∃x1 . .. xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm ) A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) либо ∃x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) = B(x1 , . . . , xm )} либо ∀x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) + 1}
  • 71.
    Машина K A A(x1, . . . , xm )
  • 72.
    Машина K A A(x1, . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times
  • 73.
    Машина K A A(x1, . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A .
  • 74.
    Машина K A A(x1, . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры
  • 75.
    Машина K A A(x1, . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр
  • 76.
    Машина K A A(x1, . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние
  • 77.
    Машина K A A(x1, . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9.
  • 78.
    Машина K A A(x1, . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции: Sm+2 ... Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1 ... Sm+2 Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm Sm+3 Sm+2 Sm+3 Sb , Обозначим полученную машину через K A
  • 79.
    Машина K A A(x1, . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции: Sm+2 ... Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1 ... Sm+2 Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm Sm+3 Sm+2 Sm+3 Sb , Обозначим полученную машину через K A , её начальным состоянием объявим Sm+2 .
  • 80.
    Машина K B B(x1 ,. . . , xm ) + 1 = B (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ). w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую B , Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции: Sm+2 ... Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1 ... Sm+2 Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm Sm+3 Sm+2 Sm+3 Sb , Обозначим полученную машину через K состоянием объявим Sm+2 . B, её начальным
  • 81.
    Машина K Добавим кмашине K A следующие инструкции
  • 82.
    Машина K Добавим кмашине K A следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St
  • 83.
    Машина K Добавим кмашине K A следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St 2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss St Rj
  • 84.
    Машина K Добавим кмашине K A следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St 2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss St Rj 3. для каждого состояния Sk машины KB : Ss Sk
  • 85.
    Машина K Добавим кмашине K A следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St 2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss St Rj 3. для каждого состояния Sk машины KB : Ss Sk St Ss 4.
  • 86.
    Машина K Машина Kимеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA .
  • 87.
    Машина K Машина Kимеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  • 88.
    Машина K Машина Kимеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  • 89.
    Машина K Машина Kимеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  • 90.
    Машина K Машина Kимеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  • 91.
    Машина K Машина Kимеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  • 92.
    Машина K Машина Kимеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  • 93.
    Включение и эквивалентность Проблемавключения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A)
  • 94.
    Включение и эквивалентность Проблемавключения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ∧ K (A) ⊇ K (A)
  • 95.
    Включение и эквивалентность Проблемавключения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ∧ K (A) ⊇ K (A) K (r1 , . . . , rn ) ⊇ K (r1 , . . . , rn ) ⇐⇒ ⇐⇒ K (r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn )
  • 96.
    Включение и эквивалентность Проблемавключения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ∧ K (A) ⊇ K (A) K (r1 , . . . , rn ) ⊇ K (r1 , . . . , rn ) ⇐⇒ ⇐⇒ K (r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn ) K(r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn )
  • 97.
    Включение и эквивалентность K Ri1. . . Ria K Rj1 . . . Rjb Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb K Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+5 Ri1 . . . Ria Tm+4 Rj1 . . . Rjb Tm+7 Ri1 . . . Ria Tm+6 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+4 Sm+2 Sm+8 Tm+6 Sm+2 Sm+8 Tm+5 Sm+2 Sm+8 Tm+7 Sm+2 Tm+4 Tm+5 K все инструкции K Tm+6 Tm+7
  • 98.
    Включение и эквивалентность K Ri1. . . Ria K Rj1 . . . Rjb Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb K Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+5 Ri1 . . . Ria Tm+4 Rj1 . . . Rjb Tm+7 Ri1 . . . Ria Tm+6 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+4 Sm+2 Sm+8 Tm+6 Sm+2 Sm+8 Tm+5 Sm+2 Sm+8 Tm+7 Sm+2 Tm+4 Tm+5 K все инструкции K Tm+6 Tm+7 K ⊇K ⇐⇒ K = K
  • 99.
    Archiving Diophantine Sets a∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0]
  • 100.
    Archiving Diophantine Sets a∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise
  • 101.
    Archiving Diophantine Sets a∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 Bn = b1 . . . bk . . . bn if k ∈ M otherwise
  • 102.
    Archiving Diophantine Sets a∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 Bn = b1 . . . bk . . . bn if k ∈ M otherwise
  • 103.
    Archiving Diophantine Sets a∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bob
  • 104.
    Archiving Diophantine Sets a∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob
  • 105.
    Archiving Diophantine Sets a∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits - Bn
  • 106.
    Archiving Diophantine Sets a∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn ? COMPRESSION Bob n bits - Bn
  • 107.
    Archiving Diophantine Sets a∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn ? COMPRESSION ? Cn Bob n bits - Bn
  • 108.
    Archiving Diophantine Sets a∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits - Bn ? COMPRESSION ? Cn Length(Cn ) bits -C n
  • 109.
    Archiving Diophantine Sets a∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits ? COMPRESSION ? Cn - Bn DECOMPRESSION Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 110.
    Archiving Diophantine Sets a∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits ? COMPRESSION ? Cn - Bn 6 DECOMPRESSION Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 111.
    Archiving Diophantine Sets a∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits ? ZIP ? Cn - Bn 6 UNZIP Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 112.
    Archiving Diophantine Sets a∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits ? A−1 A ? Cn - Bn 6 Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 113.
    Saving Constant Numberof Bits B = b1 . . . bk . . . Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 114.
    Saving Constant Numberof Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 115.
    Saving Constant Numberof Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): Cn = A(Bn ) Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 116.
    Saving Constant Numberof Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): if n ≤ k + 1 otherwise Cn = A(Bn ) = Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 117.
    Saving Constant Numberof Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): Cn = A(Bn ) = Alice Bn 0Bn n bits if n ≤ k + 1 otherwise Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 118.
    Saving Constant Numberof Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): Cn = A(Bn ) = Alice Bn 0Bn 1bk+2 bk+3 . . . bn n bits if n ≤ k + 1 otherwise Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 119.
    Saving Constant Numberof Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): 0Bn 1bk+2 bk+3 . . . bn Cn = A(Bn ) = if n ≤ k + 1 otherwise A−1 (0C ) = C Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 120.
    Saving Constant Numberof Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): 0Bn 1bk+2 bk+3 . . . bn Cn = A(Bn ) = if n ≤ k + 1 otherwise A−1 (0C ) = C A−1 (1C ) = b1 . . . bk+1 C Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 121.
    Case of DecidableM Bn = b1 b2 . . . bk . . . bn Alice Bn bk = n bits 1, 0 if k ∈ M otherwise Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 122.
    Case of DecidableM Bn = b1 b2 . . . bk . . . bn bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Cn = A(Bn ) Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 123.
    Case of DecidableM Bn = b1 b2 . . . bk . . . bn Cn = A(Bn ) Alice Bn bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise = n = binary notation of n ˜ n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 124.
    Case of DecidableM Bn = b1 b2 . . . bk . . . bn Cn = A(Bn ) Alice Bn bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise = n = binary notation of n ˜ n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? n ˜ log(n) bits 6 - n ˜
  • 125.
    Case of DiophantineM a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn ba = ? Cn if k ∈ M otherwise Bob n bits - Bn 6 A−1 A ? 1, 0 Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 126.
    Case of DiophantineM a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] Bn = b1 . . . bk . . . bn ba = 1, 0 if k ∈ M otherwise Cn = A(Bn ) Alice Bn Bob n bits ? A−1 A ? Cn - Bn 6 Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 127.
    Case of DiophantineM a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] Bn = b1 . . . bk . . . bn ba = Cn = A(Bn ) 1, 0 if k ∈ M otherwise = n qn ˜ where qn is the number of "1" in Bn and qn is the binary notation of qn padded by leading zeros to the length of n. Alice Bn Bob n bits ? A−1 A ? Cn - Bn 6 Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 128.
    Case of DiophantineM a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] Bn = b1 . . . bk . . . bn ba = Cn = A(Bn ) 1, 0 if k ∈ M otherwise = n qn ˜ where qn is the number of "1" in Bn and qn is the binary notation of qn padded by leading zeros to the length of n. Alice Bn Bob n bits ? A−1 A ? nqn ˜ - Bn 6 2 log(n) bits 6 - nq ˜ n
  • 129.
    Computational Chaos inNumber Theory Gregory Chaitin [1987] constructed a particular one-parameter exponential Diophantine equation and considered the set of all values of the parameter for which the equation has infinitely many solutions: a ∈ M ⇐⇒ ∃∞ x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0]
  • 130.
    Computational Chaos inNumber Theory Gregory Chaitin [1987] constructed a particular one-parameter exponential Diophantine equation and considered the set of all values of the parameter for which the equation has infinitely many solutions: a ∈ M ⇐⇒ ∃∞ x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0] He proved that so called prefix-free Kolmogorov complexity (defined up to an additive constant) of this set is equal to n.
  • 131.
    Computational Chaos inNumber Theory Gregory Chaitin [1987] constructed a particular one-parameter exponential Diophantine equation and considered the set of all values of the parameter for which the equation has infinitely many solutions: a ∈ M ⇐⇒ ∃∞ x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0] He proved that so called prefix-free Kolmogorov complexity (defined up to an additive constant) of this set is equal to n. Informally, one can say that the set M is completely chaotic.
  • 132.
    More Computational Chaosin Number Theory Toby Ord and Tien D. Kieu [2003] constructed another particular one-parameter exponential Diophantine equation which for every value of the parameter has only finitely many solutions and considered the set of all values of the parameter for which the equation has even number of solutions: a ∈ M ⇐⇒ ∃even x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0]
  • 133.
    More Computational Chaosin Number Theory Toby Ord and Tien D. Kieu [2003] constructed another particular one-parameter exponential Diophantine equation which for every value of the parameter has only finitely many solutions and considered the set of all values of the parameter for which the equation has even number of solutions: a ∈ M ⇐⇒ ∃even x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0] They proved that the prefix-free Kolmogorov complexity of this set is also equal to n (up to an additive constant).
  • 134.
    Even More ComputationalChaos in Number Theory Theorem (Matiyasevich [2006]). Let U be a decidable infinite set with infinite complement. WE CAN construct an exponential Diophantine equation which for every value of the parameter has only finitely many solutions and such that the prefix-free Kolmogorov complexity of the set a ∈ M ⇐⇒ ∃U x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0] is equal to n (up to an additive constant).
  • 135.
  • 136.
    Унификация (невсеобщее равенство) E1(x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима.
  • 137.
    Унификация (невсеобщее равенство) E1(x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима. Проблема унификации для исчисления предикатов третьего порядка неразрешима.
  • 138.
    Унификация (невсеобщее равенство) E1(x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима. Проблема унификации для исчисления предикатов третьего порядка неразрешима. L. D. Baxter [1978] дал новое доказательство этого факта с использованием неразрешимости диофантовых уравнений.
  • 139.
    Унификация (невсеобщее равенство) E1(x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима. Проблема унификации для исчисления предикатов третьего порядка неразрешима. L. D. Baxter [1978] дал новое доказательство этого факта с использованием неразрешимости диофантовых уравнений. W. D. Golfarb [1981] установил неразрешимость проблема унификации для исчисления предикатов второго порядка, исходя из неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.
  • 140.
  • 141.
    Одна история Разрешима липроблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)?
  • 142.
    Одна история Разрешима липроблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)? A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимость одновременной жесткой E -унификации
  • 143.
    Одна история Разрешима липроблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)? A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимость одновременной жесткой E -унификации путем сведения к ней так называемой проблемы монадической полуунификации (monadic semi-unification problem).
  • 144.
    Одна история Разрешима липроблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)? A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимость одновременной жесткой E -унификации путем сведения к ней так называемой проблемы монадической полуунификации (monadic semi-unification problem). Неразрешимость проблемы монадической полуунификации установил ранее M. Baaz [1993] путем сведения к ней проблемы унификации для исчисления предикатов второго порядка.
  • 145.
    Одна история Разрешима липроблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)? A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимость одновременной жесткой E -унификации путем сведения к ней так называемой проблемы монадической полуунификации (monadic semi-unification problem). Неразрешимость проблемы монадической полуунификации установил ранее M. Baaz [1993] путем сведения к ней проблемы унификации для исчисления предикатов второго порядка. W. D. Golfarb [1981] установил неразрешимость проблемы унификации для исчисления предикатов второго порядка, исходя из неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.
  • 146.
    Одна история Разрешима липроблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)? A. Воронков и A. Дегтярев [1996] дали прямое доказательство неразрешимость одновременной жесткой E -унификации на основе неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.