La Unidad Educativa Municipal "Quitumbe" es una institución educativa con 20 años de experiencia que ofrece educación integral en los niveles básico y bachillerato. La institución promueve procesos de enseñanza-aprendizaje dinámicos, creativos y participativos de acuerdo con las corrientes pedagógicas actuales. Su visión es convertirse para el 2018 en una institución líder que forme ciudadanos autónomos, proactivos, competentes y respetuosos del medio ambiente.
El documento explica el proceso de constitución de una empresa en Perú. Define los tipos de sociedades y empresas individuales reconocidas legalmente, y describe los pasos y requisitos para registrar una empresa, incluyendo la inscripción en los registros públicos y la obtención del RUC ante la Sunat.
La elaboración de este trabajo de investigación está basado en nuestra inquietud debido al incremento de embarazos en adolescentes de temprana edad.
La adolescencia, es un período de transición, una etapa del ciclo de crecimiento que marca el final de la niñez y anuncia la adultez, dicho término se usa generalmente para referirse a una persona que se encuentra entre los 13 y 19 años de edad.
Para muchos jóvenes la adolescencia es un período de incertidumbre e inclusive de desesperación; para otros, es una etapa de amistades internas, de aflojamiento de ligaduras con los padres, y de sueños acerca del futuro.
En casa de alguno de los padres y con su novia o novio, buena parte de los chicos y chicas argentinos se inicia sexualmente cuando está promediando los 15 años.
El documento describe la Internet profunda o invisible, la cual es una gran porción de Internet que es difícil de rastrear. Contiene información que solo es accesible a través de bases de datos dinámicas tras realizar consultas. La Internet profunda es varias veces más grande que la visible y contiene una gran cantidad de información pública de alta calidad en diversos temas.
Como ficar milionário, só que ao contrário!Vinícius Hax
Apresentação feita no IV Fórum do Engenheiro Empreendedor. Apresenta alguns erros que cometi e desafios que enfrentei nos meus empreendimentos. Ao final deixo algumas dicas de como começar a empreender.
Vitoria(Spain)-European Green Capital 2012maditabalnco
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive function. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms.
Il cloud per l’accelerazione del business delle PMI: il progetto Icaro Paolo Nesi
Parte 1 (Paolo Nesi): Problematiche e motivazioni, Modello Cloud avanzato ICARO, Architettura e Soluzione, Strumenti della Soluzione ICARO, Parte 2 (Francesco Falaschi): Soluzioni Cloud vs soluzioni On-premise, Datacenter di Computer Gross (Empoli), Cloud declinato nel mercato Italiano, Startup trend, Esempio pratico di cost saving. Il passaggio al cloud è ora una problematica aperta e discussa, e spesso senza grandi risultati. Le questioni da prendere in considerazione sono moltissime, da quelle strategiche: costi di gestione, affidabilità, protezione dei dati, servizi scalabili, gestione e controllo del business; a quelle tecniche: migrazione, conversione, tempi di trasformazione, il transitorio, etc. A queste problematiche si aggiungono: informazioni contrastanti, la formazione del personale, la chiarezza delle offerte. La risoluzione di queste problematiche ha dato luogo al progetto ICARO. I risultati del progetto permettono di poter creare un passaggio graduale al cloud con soluzioni in grado di gestire le nuove esigenze con servizi di base e complessi, facilmente integrabili con le soluzioni attuali, con attenzione agli incrementi/decrementi di business. Le soluzioni di ICARO vengono sperimentate e validate rispetto a casi reali di aziende che utilizzano sistemi ERP, CRM, elearning, workflow, CMS, marketing, etc.
3. formato normal. gradacion. carlos rieraCARLOS-RIERA
Este documento es un informe de un estudiante de arquitectura del Instituto Universitario Politécnico "Santiago Mariño" en su extensión de Barinas. El estudiante Carlos E. Riera B presenta el informe bajo la tutela de la arquitecta Estela Aguilar como parte de los requisitos de la cátedra de Teoría de la Forma.
La nueva Ley de Delitos Informáticos deroga todos los delitos informáticos anteriores y presenta nuevos tipos penales inspirados en la Convención de Budapest. Estos nuevos delitos protegen bienes jurídicos como la confidencialidad, integridad y disponibilidad de datos y sistemas informáticos. Sin embargo, la ley no especifica claramente en todos los casos los peligros concretos que sanciona. Los delitos informáticos se diferencian de los delitos computacionales en que estos últimos solo son ilícitos convencionales
Torpe Fotos de la Boda de Fotos - ABC Noticiasbumpyworker6875
Una pareja contrató a un fotógrafo para su boda pero se llevaron una desagradable sorpresa al recibir las fotos de su gran día. Las imágenes estaban desenfocadas, tomadas desde ángulos extraños y carecían de la calidad esperada. Los novios decidieron denunciar públicamente al fotógrafo para evitar que otros pasen por la misma mala experiencia.
O documento apresenta uma palestra sobre testes unitários com ênfase em TestNG, Spring Framework e Mockito. Apresenta uma agenda com tópicos como revisão de Spring e Mockito, exercícios práticos de integração desses frameworks e revisão de código. Também fornece referências sobre testes unitários em livros e sites.
Este documento presenta los resultados de la liga de basquetbol empresarial de Tuxtepec, Oaxaca. En la sección varonil, Hernan Rivera de Biopapel lidera con 265 puntos, seguido por Alejandro Barredo de Abogados con 202 puntos. En la sección femenil, Joana Perez de Maderas lidera con 250 puntos, seguida por Berenice Castellanos de Comerciantes con 180 puntos. También incluye la programación de partidos para la próxima semana y tablas de posiciones de los equipos particip
The document discusses concurrency and synchronization in distributed computing. It provides an overview of Petr Kuznetsov's research at Telecom ParisTech, which includes algorithms and models for distributed systems. Some key points discussed are:
- Concurrency is important due to multi-core processors and distributed systems being everywhere. However, synchronization between concurrent processes introduces challenges.
- Common synchronization problems include mutual exclusion, readers-writers problems, and producer-consumer problems. Tools for synchronization include semaphores, transactional memory, and non-blocking algorithms.
- Characterizing distributed computing models and determining what problems can be solved in a given model is an important area of research, with implications for distributed system design.
The document discusses weakly supervised learning from video and images using convolutional neural networks. It describes using scripts as weak supervision for learning actions from movies without explicit labeling. Methods are presented for jointly learning actors and actions from scripts, and for action learning with ordering constraints. The use of CNNs for object and action recognition in images is also summarized, including work on training CNNs using only image-level labels without bounding boxes.
La Unidad Educativa Municipal "Quitumbe" es una institución educativa con 20 años de experiencia que ofrece educación integral en los niveles básico y bachillerato. La institución promueve procesos de enseñanza-aprendizaje dinámicos, creativos y participativos de acuerdo con las corrientes pedagógicas actuales. Su visión es convertirse para el 2018 en una institución líder que forme ciudadanos autónomos, proactivos, competentes y respetuosos del medio ambiente.
El documento explica el proceso de constitución de una empresa en Perú. Define los tipos de sociedades y empresas individuales reconocidas legalmente, y describe los pasos y requisitos para registrar una empresa, incluyendo la inscripción en los registros públicos y la obtención del RUC ante la Sunat.
La elaboración de este trabajo de investigación está basado en nuestra inquietud debido al incremento de embarazos en adolescentes de temprana edad.
La adolescencia, es un período de transición, una etapa del ciclo de crecimiento que marca el final de la niñez y anuncia la adultez, dicho término se usa generalmente para referirse a una persona que se encuentra entre los 13 y 19 años de edad.
Para muchos jóvenes la adolescencia es un período de incertidumbre e inclusive de desesperación; para otros, es una etapa de amistades internas, de aflojamiento de ligaduras con los padres, y de sueños acerca del futuro.
En casa de alguno de los padres y con su novia o novio, buena parte de los chicos y chicas argentinos se inicia sexualmente cuando está promediando los 15 años.
El documento describe la Internet profunda o invisible, la cual es una gran porción de Internet que es difícil de rastrear. Contiene información que solo es accesible a través de bases de datos dinámicas tras realizar consultas. La Internet profunda es varias veces más grande que la visible y contiene una gran cantidad de información pública de alta calidad en diversos temas.
Como ficar milionário, só que ao contrário!Vinícius Hax
Apresentação feita no IV Fórum do Engenheiro Empreendedor. Apresenta alguns erros que cometi e desafios que enfrentei nos meus empreendimentos. Ao final deixo algumas dicas de como começar a empreender.
Vitoria(Spain)-European Green Capital 2012maditabalnco
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive function. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms.
Il cloud per l’accelerazione del business delle PMI: il progetto Icaro Paolo Nesi
Parte 1 (Paolo Nesi): Problematiche e motivazioni, Modello Cloud avanzato ICARO, Architettura e Soluzione, Strumenti della Soluzione ICARO, Parte 2 (Francesco Falaschi): Soluzioni Cloud vs soluzioni On-premise, Datacenter di Computer Gross (Empoli), Cloud declinato nel mercato Italiano, Startup trend, Esempio pratico di cost saving. Il passaggio al cloud è ora una problematica aperta e discussa, e spesso senza grandi risultati. Le questioni da prendere in considerazione sono moltissime, da quelle strategiche: costi di gestione, affidabilità, protezione dei dati, servizi scalabili, gestione e controllo del business; a quelle tecniche: migrazione, conversione, tempi di trasformazione, il transitorio, etc. A queste problematiche si aggiungono: informazioni contrastanti, la formazione del personale, la chiarezza delle offerte. La risoluzione di queste problematiche ha dato luogo al progetto ICARO. I risultati del progetto permettono di poter creare un passaggio graduale al cloud con soluzioni in grado di gestire le nuove esigenze con servizi di base e complessi, facilmente integrabili con le soluzioni attuali, con attenzione agli incrementi/decrementi di business. Le soluzioni di ICARO vengono sperimentate e validate rispetto a casi reali di aziende che utilizzano sistemi ERP, CRM, elearning, workflow, CMS, marketing, etc.
3. formato normal. gradacion. carlos rieraCARLOS-RIERA
Este documento es un informe de un estudiante de arquitectura del Instituto Universitario Politécnico "Santiago Mariño" en su extensión de Barinas. El estudiante Carlos E. Riera B presenta el informe bajo la tutela de la arquitecta Estela Aguilar como parte de los requisitos de la cátedra de Teoría de la Forma.
La nueva Ley de Delitos Informáticos deroga todos los delitos informáticos anteriores y presenta nuevos tipos penales inspirados en la Convención de Budapest. Estos nuevos delitos protegen bienes jurídicos como la confidencialidad, integridad y disponibilidad de datos y sistemas informáticos. Sin embargo, la ley no especifica claramente en todos los casos los peligros concretos que sanciona. Los delitos informáticos se diferencian de los delitos computacionales en que estos últimos solo son ilícitos convencionales
Torpe Fotos de la Boda de Fotos - ABC Noticiasbumpyworker6875
Una pareja contrató a un fotógrafo para su boda pero se llevaron una desagradable sorpresa al recibir las fotos de su gran día. Las imágenes estaban desenfocadas, tomadas desde ángulos extraños y carecían de la calidad esperada. Los novios decidieron denunciar públicamente al fotógrafo para evitar que otros pasen por la misma mala experiencia.
O documento apresenta uma palestra sobre testes unitários com ênfase em TestNG, Spring Framework e Mockito. Apresenta uma agenda com tópicos como revisão de Spring e Mockito, exercícios práticos de integração desses frameworks e revisão de código. Também fornece referências sobre testes unitários em livros e sites.
Este documento presenta los resultados de la liga de basquetbol empresarial de Tuxtepec, Oaxaca. En la sección varonil, Hernan Rivera de Biopapel lidera con 265 puntos, seguido por Alejandro Barredo de Abogados con 202 puntos. En la sección femenil, Joana Perez de Maderas lidera con 250 puntos, seguida por Berenice Castellanos de Comerciantes con 180 puntos. También incluye la programación de partidos para la próxima semana y tablas de posiciones de los equipos particip
The document discusses concurrency and synchronization in distributed computing. It provides an overview of Petr Kuznetsov's research at Telecom ParisTech, which includes algorithms and models for distributed systems. Some key points discussed are:
- Concurrency is important due to multi-core processors and distributed systems being everywhere. However, synchronization between concurrent processes introduces challenges.
- Common synchronization problems include mutual exclusion, readers-writers problems, and producer-consumer problems. Tools for synchronization include semaphores, transactional memory, and non-blocking algorithms.
- Characterizing distributed computing models and determining what problems can be solved in a given model is an important area of research, with implications for distributed system design.
The document discusses weakly supervised learning from video and images using convolutional neural networks. It describes using scripts as weak supervision for learning actions from movies without explicit labeling. Methods are presented for jointly learning actors and actions from scripts, and for action learning with ordering constraints. The use of CNNs for object and action recognition in images is also summarized, including work on training CNNs using only image-level labels without bounding boxes.
This document discusses common C++ bugs and tools to find them. It describes various types of memory access bugs like buffer overflows on the stack, heap, and globals that can lead to crashes or security vulnerabilities. Threading bugs like data races, deadlocks, and race conditions on object destruction are also covered. Other undefined behaviors like initialization order issues, lack of sequence points, and integer overflows are explained. The document provides examples of each type of bug and emphasizes that undefined behavior does not guarantee a predictable result. It concludes with a quiz to find bugs in a code sample and links to additional reading materials.
AddressSanitizer, ThreadSanitizer, and MemorySanitizer are compiler-based tools that detect bugs like buffer overflows, data races, and uninitialized memory reads in C/C++ programs. AddressSanitizer instruments loads and stores to detect out-of-bounds memory accesses. ThreadSanitizer intercepts synchronization calls to detect data races between threads. MemorySanitizer tracks initialized and uninitialized memory using shadow memory to find uses of uninitialized values. The tools have found thousands of bugs with low overhead. Future work includes supporting more platforms and languages and detecting additional bug classes.
This document discusses common C++ bugs and tools to find them. It describes various types of memory access bugs like buffer overflows on the stack, heap, and globals that can lead to crashes or security vulnerabilities. Threading bugs like data races, deadlocks, and race conditions on object destruction are also covered. Other undefined behaviors like initialization order issues, lack of sequence points, and integer overflows are explained. The document provides examples of each type of bug and quizzes the reader to find bugs in a code sample. It recommends resources for further reading on debugging techniques and thread sanitizers that can detect races and data races.
This document provides examples and snippets of code for MapReduce, Pig, Hive, Spark, Shark, and Disco frameworks. It also includes two sections of references for related papers and Disco documentation. The examples demonstrate basic MapReduce jobs with drivers, mappers, and reducers in Java, Pig and Hive queries, Spark and Shark table operations, and a Disco MapReduce job.
1. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
2. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
3. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Часть 2. Десятая проблема Гильберта
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
5. Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900]
10. Entscheidung der L¨osbarkeit einer diophantischen
Gleichung. Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchen
Unbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoefficienten sei
vorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sich
mittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden l¨asst,
ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen l¨osbar ist.
6. Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900]
10. Entscheidung der L¨osbarkeit einer diophantischen
Gleichung. Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchen
Unbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoefficienten sei
vorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sich
mittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden l¨asst,
ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen l¨osbar ist.
10. Решение проблемы разрешимости для произвольного
диофантова уравнения. Пусть дано произвольное
диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и
целыми рациональными коэффициентами; требуется указать
общий метод, следуя которому можно было бы в конечное
число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в
целых рациональных числах или нет.
8. Диофантовы уравнения
Определение. Диофантово уравнение имеет вид
M(x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами.
Греческий математик Диофант жил, скорее всего, в 3-ем веке
нашей эры.
13. Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900]
10. Решение проблемы разрешимости для произвольного
диофантова уравнения. Пусть дано произвольное
диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и
целыми рациональными коэффициентами; требуется указать
общий метод, следуя которому можно было бы в конечное
число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в
целых рациональных числах или нет.
14. Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900]
10. Решение проблемы разрешимости для произвольного
диофантова уравнения. Пусть дано произвольное
диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и
целыми рациональными коэффициентами; требуется указать
общий метод, следуя которому можно было бы в конечное
число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в
целых рациональных числах или нет.
Целые рациональные числа
15. Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900]
10. Решение проблемы разрешимости для произвольного
диофантова уравнения. Пусть дано произвольное
диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и
целыми рациональными коэффициентами; требуется указать
общий метод, следуя которому можно было бы в конечное
число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в
целых рациональных числах или нет.
Целые рациональные числа – это числа 0, ±1, ±2, ±3, . . .
17. Диофантовы уравнения
Определение. Диофантово уравнение имеет вид
M(x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами.
Диофант искал решения в (положительных) рациональных
числах
18. Диофантовы уравнения
Определение. Диофантово уравнение имеет вид
M(x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами.
Диофант искал решения в (положительных) рациональных
числах
Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в
целых числах
19. Диофантовы уравнения
Определение. Диофантово уравнение имеет вид
M(x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами.
Диофант искал решения в (положительных) рациональных
числах
Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в
целых числах
Можно также ограничиться только решениями в
положительных целых числах или только в неотрицательных
целых числах
20. Диофантовы уравнения
Определение. Диофантово уравнение имеет вид
M(x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами.
Диофант искал решения в (положительных) рациональных
числах
Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в
целых числах
Можно также ограничиться только решениями в
положительных целых числах или только в неотрицательных
целых числах
26. Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900]
10. Решение проблемы разрешимости для произвольного
диофантова уравнения. Пусть дано произвольное
диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и
целыми рациональными коэффициентами; требуется указать
общий метод, следуя которому можно было бы в конечное
число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в
целых рациональных числах или нет.
27. Массовые проблемы
В современной терминологии 10-я проблема Гильберта
является массовой проблемой, то есть проблемой, состоящей
из счетного числа вопросов, на каждый из которых требуется
дать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит в
требовании найти единый универсальный метод, который
позволял бы ответить на любой из этих вопросов.
28. Массовые проблемы
В современной терминологии 10-я проблема Гильберта
является массовой проблемой, то есть проблемой, состоящей
из счетного числа вопросов, на каждый из которых требуется
дать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит в
требовании найти единый универсальный метод, который
позволял бы ответить на любой из этих вопросов.
Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта
10-я является единственной массовой проблемой
29. Массовые проблемы
В современной терминологии 10-я проблема Гильберта
является массовой проблемой, то есть проблемой, состоящей
из счетного числа вопросов, на каждый из которых требуется
дать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит в
требовании найти единый универсальный метод, который
позволял бы ответить на любой из этих вопросов.
Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта
10-я является единственной массовой проблемой и она может
рассматриваться как проблема информатики.
30. Массовые проблемы
В современной терминологии 10-я проблема Гильберта
является массовой проблемой, то есть проблемой, состоящей
из счетного числа вопросов, на каждый из которых требуется
дать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит в
требовании найти единый универсальный метод, который
позволял бы ответить на любой из этих вопросов.
Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта
10-я является единственной массовой проблемой и она может
рассматриваться как проблема информатики.
31. Ответ
Сегодня мы знаем, что 10-я проблема Гильберта решения не
имеет. Это означает, что она неразрешима как массовая
проблема:
32. Ответ
Сегодня мы знаем, что 10-я проблема Гильберта решения не
имеет. Это означает, что она неразрешима как массовая
проблема:
Теорема (Неразрешимость 10-й проблемы Гильберта) Не
существует алгоритма, который по узнавал бы по
произвольному диофантову уравнению, имеет ли оно решения.
33. Ответ
Сегодня мы знаем, что 10-я проблема Гильберта решения не
имеет. Это означает, что она неразрешима как массовая
проблема:
Теорема (Неразрешимость 10-й проблемы Гильберта) Не
существует алгоритма, который по узнавал бы по
произвольному диофантову уравнению, имеет ли оно решения.
В этом смысле говорят об отрицательном решении 10-й
проблемы Гильберта.
35. Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900]
10. Решение проблемы разрешимости для произвольного
диофантова уравнения. Пусть дано произвольное
диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и
целыми рациональными коэффициентами; требуется указать
общий метод, следуя которому можно было бы в конечное
число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в
целых рациональных числах или нет.
37. Recursively enumerable sets of
positive integers and their deci-
sion problems. Bulletin AMS,
50, 284–316 (1944); reprinted
in: The Collected Works of
E. L. Post, Davis, M. (ed),
Birkh¨auser, Boston, 1994.
Hilbert’s 10th problem “begs for
an unsolvability proof”
Emil L. Post
1897–1954
40. Хронология
Начало 50-х годов: гипотеза, которую выдвинул Martin
Davis.
Начало 60-х годов: частичный прогресс, который достигли
Martin Davis, Hilary Putnam и Julia Robinson.
41. Хронология
Начало 50-х годов: гипотеза, которую выдвинул Martin
Davis.
Начало 60-х годов: частичный прогресс, который достигли
Martin Davis, Hilary Putnam и Julia Robinson.
1970 год: последний шаг сделал Ю.Матиясевич.
43. An e-mail
Dear Professor,
you are wrong. I am a brilliant young programmer and
last night I wrote a sophisticated program in Java##.
My program solves Hilbert’s tenth problem in the
__positive__ sense. Namely, for every Diophantine
equation given as input, the program will print 1 or 0
depending on whether the equation has a solution or
not.
The attachment contains my ingenious program. You can
run it on your favorite Diophantine equations and see
how fast my program works.
Have a fun, Professor!
52. Точка зрения профессора:
Существует многочлен MS такой, что
S-
MS = 0
-
0, но решение существует
1, но решений не существует
53. Точка зрения профессора:
Существует многочлен MS такой, что
S-
MS = 0
-
0, но решение существует
1, но решений не существует
ДРУГОЙ ОТВЕТ
54. Точка зрения профессора:
Существует многочлен MS такой, что
S-
MS = 0
-
0, но решение существует
1, но решений не существует
ДРУГОЙ ОТВЕТ
остановка без ответа
55. Точка зрения профессора:
Существует многочлен MS такой, что
S-
MS = 0
-
0, но решение существует
1, но решений не существует
ДРУГОЙ ОТВЕТ
остановка без ответа
не останавливается
и ничего не печатает
64. Усовершенствованная программа профессора
P-S
S-MS = 0 -
0, но решение существует
1, но решений нет
ДРУГОЙ ОТВЕТ
остановка без ответа
не останавливается
Формальное доказательство того,
что S ошибется на MS
-¦
65. Усовершенствованная программа профессора
P-S
S-MS = 0 -
0, но решение существует
1, но решений нет
ДРУГОЙ ОТВЕТ
остановка без ответа
не останавливается
Доказательство того, что:
если S выдает 0, то уравнение
MS = 0 имеет решение
если S выдает 1, то уравнение
MS = 0 решений не имеет
-¦
67. Диофантовы уравнения
Определение. Диофантово уравнение имеет вид
M(x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами.
Диофант искал решения в (положительных) рациональных
числах
68. Диофантовы уравнения
Определение. Диофантово уравнение имеет вид
M(x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами.
Диофант искал решения в (положительных) рациональных
числах
Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в
целых числах
69. Диофантовы уравнения
Определение. Диофантово уравнение имеет вид
M(x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами.
Диофант искал решения в (положительных) рациональных
числах
Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в
целых числах
Можно также ограничиться только решениями в
положительных целых числах или только в неотрицательных
целых числах
70. Диофантовы уравнения
Определение. Диофантово уравнение имеет вид
M(x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами.
Диофант искал решения в (положительных) рациональных
числах
Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в
целых числах
Можно также ограничиться только решениями в
положительных целых числах или только в неотрицательных
целых числах
72. Натуральные числа против целых
(x + 1)3
+ (y + 1)3
= (z + 1)3
Имеет ли это уравнение решение в целых числах?
73. Натуральные числа против целых
(x + 1)3
+ (y + 1)3
= (z + 1)3
Имеет ли это уравнение решение в целых числах?
Да, и это тривиально: y = −1, z = x.
74. Натуральные числа против целых
(x + 1)3
+ (y + 1)3
= (z + 1)3
Имеет ли это уравнение решение в целых числах?
Да, и это тривиально: y = −1, z = x.
Имеет ли это уравнение решение в неотрицательных целых
числах?
75. Натуральные числа против целых
(x + 1)3
+ (y + 1)3
= (z + 1)3
Имеет ли это уравнение решение в целых числах?
Да, и это тривиально: y = −1, z = x.
Имеет ли это уравнение решение в неотрицательных целых
числах?
Нет, не имеет, но это нетривиально (частный случай Великой
теоремы Ферма).
76. От целых чисел к натуральным
Диофантово уравнение
P(x1, . . . , xm) = 0
имеет решение в целых числах x1, . . . , xm тогда и только тогда,
когда диофантово уравнение
P(p1 − q1, . . . , pm − qm) = 0.
имеет решение в натуральных числах p1, . . . , pm, q1, . . . , qm.
77. От целых чисел к натуральным
Диофантово уравнение
P(x1, . . . , xm) = 0
имеет решение в целых числах x1, . . . , xm тогда и только тогда,
когда диофантово уравнение
P(p1 − q1, . . . , pm − qm) = 0.
имеет решение в натуральных числах p1, . . . , pm, q1, . . . , qm.
Говорят, что массовая проблема распознавания разрешимости
диофантовых уравнений в целых числах сводится к массовой
проблеме распознавания разрешимости диофантовых
уравнений в натуральных числах.
78. От натуральных чисел к целым
Диофантово уравнение
P(p1, . . . , pm) = 0
имеет решение в натуральных числах тогда и только тогда,
когда диофантово уравнение
P(w2
1 + x2
1 + y2
1 + z2
1 , . . . , w2
m + x2
m + y2
m + z2
m) = 0.
имеет решение в целых числах.
79. От натуральных чисел к целым
Диофантово уравнение
P(p1, . . . , pm) = 0
имеет решение в натуральных числах тогда и только тогда,
когда диофантово уравнение
P(w2
1 + x2
1 + y2
1 + z2
1 , . . . , w2
m + x2
m + y2
m + z2
m) = 0.
имеет решение в целых числах.
Теорема (Joseph-Louis Lagrange [1770], знал и Pierre
Fermat, но не опубликовал) Каждое натуральное число
является суммой четырех квадратов.
80. От натуральных чисел к целым
Диофантово уравнение
P(p1, . . . , pm) = 0
имеет решение в натуральных числах тогда и только тогда,
когда диофантово уравнение
P(w2
1 + x2
1 + y2
1 + z2
1 , . . . , w2
m + x2
m + y2
m + z2
m) = 0.
имеет решение в целых числах.
Теорема (Joseph-Louis Lagrange [1770], знал и Pierre
Fermat, но не опубликовал) Каждое натуральное число
является суммой четырех квадратов.
Таким образом, массовая проблема распознавания
разрешимости диофантовых уравнений в натуральных целых
числах сводится к массовой проблеме распознавания
разрешимости диофантовых уравнений в целых числах.
81. Натуральные числа против целых
У нас есть два свед´ения:
массовая проблема распознавания разрешимости
диофантовых уравнений в целых числах сводится к
массовой проблеме распознавания разрешимости
диофантовых уравнений в натуральных числах.
массовая проблема распознавания разрешимости
диофантовых уравнений в натуральных целых числах
сводится к массовой проблеме распознавания
разрешимости диофантовых уравнений в целых числах.
82. Натуральные числа против целых
У нас есть два свед´ения:
массовая проблема распознавания разрешимости
диофантовых уравнений в целых числах сводится к
массовой проблеме распознавания разрешимости
диофантовых уравнений в натуральных числах.
массовая проблема распознавания разрешимости
диофантовых уравнений в натуральных целых числах
сводится к массовой проблеме распознавания
разрешимости диофантовых уравнений в целых числах.
Таким образом, массовая проблема распознавания
разрешимости диофантовых уравнений в целых числах
эквивалентна массовой проблеме распознавания разрешимости
диофантовых уравнений в натуральных числах.
83. Натуральные числа против целых
У нас есть два свед´ения:
массовая проблема распознавания разрешимости
диофантовых уравнений в целых числах сводится к
массовой проблеме распознавания разрешимости
диофантовых уравнений в натуральных числах.
массовая проблема распознавания разрешимости
диофантовых уравнений в натуральных целых числах
сводится к массовой проблеме распознавания
разрешимости диофантовых уравнений в целых числах.
Таким образом, массовая проблема распознавания
разрешимости диофантовых уравнений в целых числах
эквивалентна массовой проблеме распознавания разрешимости
диофантовых уравнений в натуральных числах.
Мы будем заниматься решением уравнений в натуральных
числах 0, 1, 2, . . .
84. Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900]
10. Решение проблемы разрешимости для произвольного
диофантова уравнения. Пусть дано произвольное
диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и
целыми рациональными коэффициентами; требуется указать
общий метод, следуя которому можно было бы в конечное
число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в
целых рациональных числах или нет.
85. Уравнения с параметрами
Семейство диофантовых уравнений имеет вид
M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные
которго разделены на две группы:
86. Уравнения с параметрами
Семейство диофантовых уравнений имеет вид
M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные
которго разделены на две группы:
параметры a1, . . . ,an;
87. Уравнения с параметрами
Семейство диофантовых уравнений имеет вид
M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные
которго разделены на две группы:
параметры a1, . . . ,an;
неизвестные x1, . . . ,xm.
88. Уравнения с параметрами
Семейство диофантовых уравнений имеет вид
M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные
которго разделены на две группы:
параметры a1, . . . ,an;
неизвестные x1, . . . ,xm.
Рассмотрим множество M такое, что
a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.
89. Уравнения с параметрами
Семейство диофантовых уравнений имеет вид
M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные
которго разделены на две группы:
параметры a1, . . . ,an;
неизвестные x1, . . . ,xm.
Рассмотрим множество M такое, что
a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.
Множества, имеющие такие представления называются
диофантовыми.
93. Примеры диофантовых множеств
Множество всех полных квадратов, представлено
уравнением
a − x2
= 0
Множество всех составных чисел, представлено
уравнением
94. Примеры диофантовых множеств
Множество всех полных квадратов, представлено
уравнением
a − x2
= 0
Множество всех составных чисел, представлено
уравнением
a − (x1 + 2)(x2 + 2) = 0
95. Примеры диофантовых множеств
Множество всех полных квадратов, представлено
уравнением
a − x2
= 0
Множество всех составных чисел, представлено
уравнением
a − (x1 + 2)(x2 + 2) = 0
Множество всех нестепеней числа 2, представлено
уравнением
96. Примеры диофантовых множеств
Множество всех полных квадратов, представлено
уравнением
a − x2
= 0
Множество всех составных чисел, представлено
уравнением
a − (x1 + 2)(x2 + 2) = 0
Множество всех нестепеней числа 2, представлено
уравнением
a − (2x1 + 3)x2 = 0
102. Программа Диофанта
a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}
D-a1, . . . , an
103. Программа Диофанта
a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}
D-a1, . . . , an -
остановка, если a1, . . . , an ∈ M
вечная работа в противном случае
104. Программа Диофанта
a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}
D-a1, . . . , an -
остановка, если a1, . . . , an ∈ M
вечная работа в противном случае
for (y=0;;y++)
for (x1=0;x1<y;x1++)
........................
for (xm=0;xm<y;xm++)
if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP
106. Перечислимые множества
Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных
чисел называется перечислимым, если можно написать
программу R, такую что
R-a1, . . . , an -
остановка, если a1, . . . , an ∈ M
вечная работа в противном случае
107. Перечислимые множества
Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных
чисел называется перечислимым, если можно написать
программу R, такую что
R-a1, . . . , an -
остановка, если a1, . . . , an ∈ M
вечная работа в противном случае
Эквивалентное определение. Множество M, состоящее из
n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если
можно написать программу P которая (работая бесконечно
долго) будет печатать только элементы множества M и
напечатает каждое из них, быть может, много раз.
109. Вторая программа Диофанта
a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}
for (y=0;;y++)
for (a1=0;a1<y;a1++)
.......................
for (an=0;an<y;an++)
for (x1=0;x1<y;x1++)
........................
for (xm=0;xm<y;xm++)
if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0)
print(a1,...,an)
111. Пример
P(a1, x1, x2) = a1 − (x1 + 2)(x2 + 2)
for y do
for a1 to y do
for x1 to y do
for x2 to y do
if a1 - (x1 + 2)*(x2 + 2)=0 then
print(a1) fi
od od od od
112. Пример
P(a1, x1, x2) = a1 − (x1 + 2)(x2 + 2)
for y do
for a1 to y do
for x1 to y do
for x2 to y do
if a1 - (x1 + 2)*(x2 + 2)=0 then
print(a1) fi
od od od od
4, 4, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 8, 8, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 4, 6, 6, 8, 8, 9,
10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 12,
12, 4, 6, 6,. . .
114. Перечислимые множества
Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных
чисел называется перечислимым, если можно написать
программу R, такую что
R-a1, . . . , an -
остановка, если a1, . . . , an ∈ M
вечная работа в противном случае
115. Перечислимые множества
Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных
чисел называется перечислимым, если можно написать
программу R, такую что
R-a1, . . . , an -
остановка, если a1, . . . , an ∈ M
вечная работа в противном случае
Эквивалентное определение. Множество M, состоящее из
n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если
можно написать программу P которая (работая бесконечно
долго) будет печатать только элементы множества M и
напечатает каждое из них, быть может, много раз.
118. Гипотеза Martin’a Davis’а
Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является
перечислимым.
Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимое
множество является диофантовым.
119. Гипотеза Martin’a Davis’а
Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является
перечислимым.
Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимое
множество является диофантовым.
Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году.
DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество и
диофантово множество совпадают.
120. Гипотеза Martin’a Davis’а
Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является
перечислимым.
Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимое
множество является диофантовым.
Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году.
DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество и
диофантово множество совпадают.
Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson, Юрий Матиясевич
146. Диофантовы машины
Формализация недетерминизма
Leonard Adleman и Kenneth Manders [1976] ввели понятие
недетерминированной диофантовой машины, NDDM .
NDDM
P(a, x1, . . . , xm)
?
= 0 'E
c EE
вход
a
угадать
x1, . . . , xm
ДА НЕТ
принять a отвергнуть
147. Диофантовы машины
Формализация недетерминизма
Leonard Adleman и Kenneth Manders [1976] ввели понятие
недетерминированной диофантовой машины, NDDM .
NDDM
P(a, x1, . . . , xm)
?
= 0 'E
c EE
вход
a
угадать
x1, . . . , xm
ДА НЕТ
принять a отвергнуть
DPRM-теорема: NDDM имееют такую же вычислительную
силу как, например, машины Тьюринга, то есть любое
множество, принимаемое некоторой машиной Тьюринга,
принимается некоторой NDDM, и, очевидно, наоборот.
149. Диофантова сложность
Определения
NDDM
P(a, x1, . . . , xm)
?
= 0 'E
c EE
вход
a
угадать
x1, . . . , xm
ДА НЕТ
принять a отвергнуть
SIZE(a)=минимально возможное значение |x1| + · · · + |xm|, где
|x| обозначает длину двоичной записи x.
150. Диофантова сложность
D vs NP
Leonard Adleman и Kenneth Manders [1975] ввели в
рассмотрение класс D состоящий из множеств M имеющих
представления вида
a ∈ M ⇐⇒
⇐⇒ ∃x1 . . . xm P(a, x1, . . . , xm) = 0 & |x1| + · · · + |xm| ≤ |a|k
.
151. Диофантова сложность
D vs NP
Leonard Adleman и Kenneth Manders [1975] ввели в
рассмотрение класс D состоящий из множеств M имеющих
представления вида
a ∈ M ⇐⇒
⇐⇒ ∃x1 . . . xm P(a, x1, . . . , xm) = 0 & |x1| + · · · + |xm| ≤ |a|k
.
Открытая проблема. D
?
= NP.