Computer Science Club, profile picture
Uploaded byComputer Science Club
429 views

20130922 h10 lecture1_matiyasevich

Документ обсуждает десятую проблему Гильберта, связанную с разрешимостью диофантовых уравнений, которая была сформулирована в 1900 году. Основное внимание уделяется тому, что не существует алгоритма, позволяющего определить наличие решения для произвольного диофантова уравнения, что делает проблему неразрешимой. Документ также прослеживает историческое развитие данной проблемы от древнегреческого математика Диофанта до современных исследований.

Embed presentation

Download to read offline
1 / 151
2 / 151
3 / 151
4 / 151
5 / 151
6 / 151
7 / 151
8 / 151
9 / 151
10 / 151
11 / 151
12 / 151
13 / 151
14 / 151
15 / 151
16 / 151
17 / 151
18 / 151
19 / 151
20 / 151
21 / 151
22 / 151
23 / 151
24 / 151
25 / 151
26 / 151
27 / 151
28 / 151
29 / 151
30 / 151
31 / 151
32 / 151
33 / 151
34 / 151
35 / 151
36 / 151
37 / 151
38 / 151
39 / 151
40 / 151
41 / 151
42 / 151
43 / 151
44 / 151
45 / 151
46 / 151
47 / 151
48 / 151
49 / 151
50 / 151
51 / 151
52 / 151
53 / 151
54 / 151
55 / 151
56 / 151
57 / 151
58 / 151
59 / 151
60 / 151
61 / 151
62 / 151
63 / 151
64 / 151
65 / 151
66 / 151
67 / 151
68 / 151
69 / 151
70 / 151
71 / 151
72 / 151
73 / 151
74 / 151
75 / 151
76 / 151
77 / 151
78 / 151
79 / 151
80 / 151
81 / 151
82 / 151
83 / 151
84 / 151
85 / 151
86 / 151
87 / 151
88 / 151
89 / 151
90 / 151
91 / 151
92 / 151
93 / 151
94 / 151
95 / 151
96 / 151
97 / 151
98 / 151
99 / 151
100 / 151
101 / 151
102 / 151
103 / 151
104 / 151
105 / 151
106 / 151
107 / 151
108 / 151
109 / 151
110 / 151
111 / 151
112 / 151
113 / 151
114 / 151
115 / 151
116 / 151
117 / 151
118 / 151
119 / 151
120 / 151
121 / 151
122 / 151
123 / 151
124 / 151
125 / 151
126 / 151
127 / 151
128 / 151
129 / 151
130 / 151
131 / 151
132 / 151
133 / 151
134 / 151
135 / 151
136 / 151
137 / 151
138 / 151
139 / 151
140 / 151
141 / 151
142 / 151
143 / 151
144 / 151
145 / 151
146 / 151
147 / 151
148 / 151
149 / 151
150 / 151
151 / 151
Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900]
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Entscheidung der L¨osbarkeit einer diophantischen Gleichung. Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchen Unbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoefficienten sei vorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sich mittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden l¨asst, ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen l¨osbar ist.
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Entscheidung der L¨osbarkeit einer diophantischen Gleichung. Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchen Unbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoefficienten sei vorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sich mittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden l¨asst, ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen l¨osbar ist. 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами.
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Греческий математик Диофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры.
Полиномиальные уравнения у древних греков x2 = 2
Полиномиальные уравнения у древних греков x2 = 2 1 1
Полиномиальные уравнения у древних греков x2 = 2 1 1                        
Полиномиальные уравнения у древних греков x2 = 2 1 1                         x
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет. Целые рациональные числа
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет. Целые рациональные числа – это числа 0, ±1, ±2, ±3, . . .
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами.
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах Можно также ограничиться только решениями в положительных целых числах или только в неотрицательных целых числах
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах Можно также ограничиться только решениями в положительных целых числах или только в неотрицательных целых числах
От Диофанта до Гильберта Диофант жил – когда?
От Диофанта до Гильберта Диофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры.
От Диофанта до Гильберта Диофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры. Гильберт сформулировал проблемы – когда?
От Диофанта до Гильберта Диофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры. Гильберт сформулировал проблемы в 1900 году
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900]
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.
Массовые проблемы В современной терминологии 10-я проблема Гильберта является массовой проблемой, то есть проблемой, состоящей из счетного числа вопросов, на каждый из которых требуется дать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит в требовании найти единый универсальный метод, который позволял бы ответить на любой из этих вопросов.
Массовые проблемы В современной терминологии 10-я проблема Гильберта является массовой проблемой, то есть проблемой, состоящей из счетного числа вопросов, на каждый из которых требуется дать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит в требовании найти единый универсальный метод, который позволял бы ответить на любой из этих вопросов. Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта 10-я является единственной массовой проблемой
Массовые проблемы В современной терминологии 10-я проблема Гильберта является массовой проблемой, то есть проблемой, состоящей из счетного числа вопросов, на каждый из которых требуется дать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит в требовании найти единый универсальный метод, который позволял бы ответить на любой из этих вопросов. Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта 10-я является единственной массовой проблемой и она может рассматриваться как проблема информатики.
Массовые проблемы В современной терминологии 10-я проблема Гильберта является массовой проблемой, то есть проблемой, состоящей из счетного числа вопросов, на каждый из которых требуется дать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит в требовании найти единый универсальный метод, который позволял бы ответить на любой из этих вопросов. Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта 10-я является единственной массовой проблемой и она может рассматриваться как проблема информатики.
Ответ Сегодня мы знаем, что 10-я проблема Гильберта решения не имеет. Это означает, что она неразрешима как массовая проблема:
Ответ Сегодня мы знаем, что 10-я проблема Гильберта решения не имеет. Это означает, что она неразрешима как массовая проблема: Теорема (Неразрешимость 10-й проблемы Гильберта) Не существует алгоритма, который по узнавал бы по произвольному диофантову уравнению, имеет ли оно решения.
Ответ Сегодня мы знаем, что 10-я проблема Гильберта решения не имеет. Это означает, что она неразрешима как массовая проблема: Теорема (Неразрешимость 10-й проблемы Гильберта) Не существует алгоритма, который по узнавал бы по произвольному диофантову уравнению, имеет ли оно решения. В этом смысле говорят об отрицательном решении 10-й проблемы Гильберта.
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900]
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.
Первая неразрешимая массовая проблема в чистой математике A. A. Марков (сын) Emil L. Post 1903–1979 1897–1954
Recursively enumerable sets of positive integers and their deci- sion problems. Bulletin AMS, 50, 284–316 (1944); reprinted in: The Collected Works of E. L. Post, Davis, M. (ed), Birkh¨auser, Boston, 1994. Hilbert’s 10th problem “begs for an unsolvability proof” Emil L. Post 1897–1954
Хронология
Хронология Начало 50-х годов: гипотеза, которую выдвинул Martin Davis.
Хронология Начало 50-х годов: гипотеза, которую выдвинул Martin Davis. Начало 60-х годов: частичный прогресс, который достигли Martin Davis, Hilary Putnam и Julia Robinson.
Хронология Начало 50-х годов: гипотеза, которую выдвинул Martin Davis. Начало 60-х годов: частичный прогресс, который достигли Martin Davis, Hilary Putnam и Julia Robinson. 1970 год: последний шаг сделал Ю.Матиясевич.
An e-mail
An e-mail Dear Professor, you are wrong. I am a brilliant young programmer and last night I wrote a sophisticated program in Java##. My program solves Hilbert’s tenth problem in the __positive__ sense. Namely, for every Diophantine equation given as input, the program will print 1 or 0 depending on whether the equation has a solution or not. The attachment contains my ingenious program. You can run it on your favorite Diophantine equations and see how fast my program works. Have a fun, Professor!
Точка зрения студента S
Точка зрения студента S- M = 0
Точка зрения студента S- M = 0 - 1, если существует хотя бы одно решение 0, если решений вообще не суще- ствует   
Точка зрения студента Для любого многочлена M: S- M = 0 - 1, если существует хотя бы одно решение 0, если решений вообще не суще- ствует   
Точка зрения профессора:
Точка зрения профессора: Существует многочлен MS такой, что S- MS = 0 - ОШИБКА
Точка зрения профессора: Существует многочлен MS такой, что S- MS = 0 - ОШИБКА
Точка зрения профессора: Существует многочлен MS такой, что S- MS = 0 - 0, но решение существует   
Точка зрения профессора: Существует многочлен MS такой, что S- MS = 0 - 0, но решение существует 1, но решений не существует   
Точка зрения профессора: Существует многочлен MS такой, что S- MS = 0 - 0, но решение существует 1, но решений не существует ДРУГОЙ ОТВЕТ   
Точка зрения профессора: Существует многочлен MS такой, что S- MS = 0 - 0, но решение существует 1, но решений не существует ДРУГОЙ ОТВЕТ остановка без ответа   
Точка зрения профессора: Существует многочлен MS такой, что S- MS = 0 - 0, но решение существует 1, но решений не существует ДРУГОЙ ОТВЕТ остановка без ответа не останавливается и ничего не печатает   
Программа профессора
Программа профессора P
Программа профессора P- S
Программа профессора P- S - MS = 0
Программа профессора P- S - MS = 0 S -
Программа профессора P- S - MS = 0 S - ОШИБКА
Усовершенствованная программа профессора P-S S-MS = 0 - ОШИБКА
Усовершенствованная программа профессора P-S S-MS = 0 - ОШИБКА Формальное доказательство того, что S ошибется на MS -¦
Усовершенствованная программа профессора P-S S-MS = 0 - 0, но решение существует 1, но решений нет ДРУГОЙ ОТВЕТ остановка без ответа не останавливается    Формальное доказательство того, что S ошибется на MS -¦
Усовершенствованная программа профессора P-S S-MS = 0 - 0, но решение существует 1, но решений нет ДРУГОЙ ОТВЕТ остановка без ответа не останавливается    Доказательство того, что: если S выдает 0, то уравнение MS = 0 имеет решение если S выдает 1, то уравнение MS = 0 решений не имеет -¦
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами.
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах Можно также ограничиться только решениями в положительных целых числах или только в неотрицательных целых числах
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах Можно также ограничиться только решениями в положительных целых числах или только в неотрицательных целых числах
Натуральные числа против целых (x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3
Натуральные числа против целых (x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3 Имеет ли это уравнение решение в целых числах?
Натуральные числа против целых (x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3 Имеет ли это уравнение решение в целых числах? Да, и это тривиально: y = −1, z = x.
Натуральные числа против целых (x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3 Имеет ли это уравнение решение в целых числах? Да, и это тривиально: y = −1, z = x. Имеет ли это уравнение решение в неотрицательных целых числах?
Натуральные числа против целых (x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3 Имеет ли это уравнение решение в целых числах? Да, и это тривиально: y = −1, z = x. Имеет ли это уравнение решение в неотрицательных целых числах? Нет, не имеет, но это нетривиально (частный случай Великой теоремы Ферма).
От целых чисел к натуральным Диофантово уравнение P(x1, . . . , xm) = 0 имеет решение в целых числах x1, . . . , xm тогда и только тогда, когда диофантово уравнение P(p1 − q1, . . . , pm − qm) = 0. имеет решение в натуральных числах p1, . . . , pm, q1, . . . , qm.
От целых чисел к натуральным Диофантово уравнение P(x1, . . . , xm) = 0 имеет решение в целых числах x1, . . . , xm тогда и только тогда, когда диофантово уравнение P(p1 − q1, . . . , pm − qm) = 0. имеет решение в натуральных числах p1, . . . , pm, q1, . . . , qm. Говорят, что массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах.
От натуральных чисел к целым Диофантово уравнение P(p1, . . . , pm) = 0 имеет решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда диофантово уравнение P(w2 1 + x2 1 + y2 1 + z2 1 , . . . , w2 m + x2 m + y2 m + z2 m) = 0. имеет решение в целых числах.
От натуральных чисел к целым Диофантово уравнение P(p1, . . . , pm) = 0 имеет решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда диофантово уравнение P(w2 1 + x2 1 + y2 1 + z2 1 , . . . , w2 m + x2 m + y2 m + z2 m) = 0. имеет решение в целых числах. Теорема (Joseph-Louis Lagrange [1770], знал и Pierre Fermat, но не опубликовал) Каждое натуральное число является суммой четырех квадратов.
От натуральных чисел к целым Диофантово уравнение P(p1, . . . , pm) = 0 имеет решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда диофантово уравнение P(w2 1 + x2 1 + y2 1 + z2 1 , . . . , w2 m + x2 m + y2 m + z2 m) = 0. имеет решение в целых числах. Теорема (Joseph-Louis Lagrange [1770], знал и Pierre Fermat, но не опубликовал) Каждое натуральное число является суммой четырех квадратов. Таким образом, массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах.
Натуральные числа против целых У нас есть два свед´ения: массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах. массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах.
Натуральные числа против целых У нас есть два свед´ения: массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах. массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах. Таким образом, массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах эквивалентна массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах.
Натуральные числа против целых У нас есть два свед´ения: массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах. массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах. Таким образом, массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах эквивалентна массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах. Мы будем заниматься решением уравнений в натуральных числах 0, 1, 2, . . .
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.
Уравнения с параметрами Семейство диофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы:
Уравнения с параметрами Семейство диофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы: параметры a1, . . . ,an;
Уравнения с параметрами Семейство диофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы: параметры a1, . . . ,an; неизвестные x1, . . . ,xm.
Уравнения с параметрами Семейство диофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы: параметры a1, . . . ,an; неизвестные x1, . . . ,xm. Рассмотрим множество M такое, что a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.
Уравнения с параметрами Семейство диофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы: параметры a1, . . . ,an; неизвестные x1, . . . ,xm. Рассмотрим множество M такое, что a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}. Множества, имеющие такие представления называются диофантовыми.
Примеры диофантовых множеств
Примеры диофантовых множеств Множество всех полных квадратов, представлено уравнением
Примеры диофантовых множеств Множество всех полных квадратов, представлено уравнением a − x2 = 0
Примеры диофантовых множеств Множество всех полных квадратов, представлено уравнением a − x2 = 0 Множество всех составных чисел, представлено уравнением
Примеры диофантовых множеств Множество всех полных квадратов, представлено уравнением a − x2 = 0 Множество всех составных чисел, представлено уравнением a − (x1 + 2)(x2 + 2) = 0
Примеры диофантовых множеств Множество всех полных квадратов, представлено уравнением a − x2 = 0 Множество всех составных чисел, представлено уравнением a − (x1 + 2)(x2 + 2) = 0 Множество всех нестепеней числа 2, представлено уравнением
Примеры диофантовых множеств Множество всех полных квадратов, представлено уравнением a − x2 = 0 Множество всех составных чисел, представлено уравнением a − (x1 + 2)(x2 + 2) = 0 Множество всех нестепеней числа 2, представлено уравнением a − (2x1 + 3)x2 = 0
Программа Диофанта
Программа Диофанта ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0
Программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}
Программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}
Программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0} D
Программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0} D-a1, . . . , an
Программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0} D-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае   
Программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0} D-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае    for (y=0;;y++) for (x1=0;x1<y;x1++) ........................ for (xm=0;xm<y;xm++) if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP
Перечислимые множества
Перечислимые множества Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае   
Перечислимые множества Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае    Эквивалентное определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу P которая (работая бесконечно долго) будет печатать только элементы множества M и напечатает каждое из них, быть может, много раз.
Вторая программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}
Вторая программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0} for (y=0;;y++) for (a1=0;a1<y;a1++) ....................... for (an=0;an<y;an++) for (x1=0;x1<y;x1++) ........................ for (xm=0;xm<y;xm++) if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) print(a1,...,an)
Пример P(a1, x1, x2) = a1 − (x1 + 2)(x2 + 2)
Пример P(a1, x1, x2) = a1 − (x1 + 2)(x2 + 2) for y do for a1 to y do for x1 to y do for x2 to y do if a1 - (x1 + 2)*(x2 + 2)=0 then print(a1) fi od od od od
Пример P(a1, x1, x2) = a1 − (x1 + 2)(x2 + 2) for y do for a1 to y do for x1 to y do for x2 to y do if a1 - (x1 + 2)*(x2 + 2)=0 then print(a1) fi od od od od 4, 4, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 8, 8, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 4, 6, 6,. . .
Перечислимые множества
Перечислимые множества Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае   
Перечислимые множества Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае    Эквивалентное определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу P которая (работая бесконечно долго) будет печатать только элементы множества M и напечатает каждое из них, быть может, много раз.
Гипотеза Martin’a Davis’а
Гипотеза Martin’a Davis’а Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является перечислимым.
Гипотеза Martin’a Davis’а Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является перечислимым. Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимое множество является диофантовым.
Гипотеза Martin’a Davis’а Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является перечислимым. Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимое множество является диофантовым. Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году. DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество и диофантово множество совпадают.
Гипотеза Martin’a Davis’а Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является перечислимым. Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимое множество является диофантовым. Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году. DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество и диофантово множество совпадают. Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson, Юрий Матиясевич
Перечисление диофантовых уравнений M1(a, ¯x) = 0, . . . , Mk(a, ¯x) = 0, . . .
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , Mk(a, ¯x) = 0, . . .
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0)
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ?
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ?
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MS (k, ¯x) = 0}
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0}
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0)
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) =?
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 0
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 0 ⇒ kS ∈ MS
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 0 ⇒ kS ∈ MS ⇒ ∃¯x{MkS (kS , ¯x) = 0}
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 1
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 1 ⇒ kS ∈ MS
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 1 ⇒ kS ∈ MS ⇒ ¬∃¯x{MkS (kS , ¯x) = 0}
Универсальное уравнение
Универсальное уравнение Список всех однопараметрических уравнений: M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . , Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . .
Универсальное уравнение Список всех однопараметрических уравнений: M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . , Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . . a, k ∈ U ⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0}
Универсальное уравнение Список всех однопараметрических уравнений: M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . , Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . . a, k ∈ U ⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} a, k ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k, y1, . . . , yn) = 0}
Универсальное уравнение Список всех однопараметрических уравнений: M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . , Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . . a, k ∈ U ⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} a, k ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k, y1, . . . , yn) = 0} ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k, y1, . . . , yn) = 0}
Текущие рекорды Задача о решении произвольного параметрического диофантова уравнения может быть сведена к решению эквивалентного диофантова уравнения, имеющего степень D и N неизвестных, где в качестве D, N можно взять любую из следующих пар: 4, 58 , 8, 38 , 12, 32 , 16, 29 , 20, 28 , 24, 26 , 28, 25 , 36, 24 , 96, 21 , 2668, 19 , 2 × 105, 14 , 6.6 × 1043, 13 , 1.3 × 1044, 12 , 4.6 × 1044, 11 , 8.6 × 1044, 10 , 1.6 × 1045, 9 .
Непростой многочлен для простых чисел Теорема (J.P.Jones, D.Sato, H.Wada, D.Wiens, [1976]) Множество всех простых чисел – это в точности множество всех положительных значений, принимаемых многочленом (k + 2) { 1 −[wz + h + j − q]2 − [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h − z]2 − [2n + p + q + z − e]2 − 16(k + 1)3 (k + 2)(n + 1)2 + 1 − f 2 2 − e3 (e + 2)(a + 1)2 + 1 − o2 2 − (a2 − 1)y2 + 1 − x2 2 − 16r2 y4 (a2 − 1) + 1 − u2 2 − [n + l + v − y]2 − (a + u2 (u2 − a))2 − 1 (n + 4dy)2 + 1 − (x + cu)2 2 − (a2 − 1)l2 + 1 − m2 2 − q + y(a − p − 1) + s(2ap + 2a − p2 − 2p − 2) − x 2 − z + pl(a − p) + t(2ap − p2 − 1) − pm 2 − [ai + k + 1 − l − i]2 − p + l(a − n − 1) + b(2an + 2a − n2 − 2n − 2) − m 2 } при натуральных значениях 26 переменных a, b, c, . . . , x, y, z.
Диофантовы машины Формализация недетерминизма Leonard Adleman и Kenneth Manders [1976] ввели понятие недетерминированной диофантовой машины, NDDM .
Диофантовы машины Формализация недетерминизма Leonard Adleman и Kenneth Manders [1976] ввели понятие недетерминированной диофантовой машины, NDDM . NDDM P(a, x1, . . . , xm) ? = 0 'E c EE вход a угадать x1, . . . , xm ДА НЕТ принять a отвергнуть
Диофантовы машины Формализация недетерминизма Leonard Adleman и Kenneth Manders [1976] ввели понятие недетерминированной диофантовой машины, NDDM . NDDM P(a, x1, . . . , xm) ? = 0 'E c EE вход a угадать x1, . . . , xm ДА НЕТ принять a отвергнуть DPRM-теорема: NDDM имееют такую же вычислительную силу как, например, машины Тьюринга, то есть любое множество, принимаемое некоторой машиной Тьюринга, принимается некоторой NDDM, и, очевидно, наоборот.
Диофантова сложность Определения NDDM P(a, x1, . . . , xm) ? = 0 'E c EE вход a угадать x1, . . . , xm ДА НЕТ принять a отвергнуть
Диофантова сложность Определения NDDM P(a, x1, . . . , xm) ? = 0 'E c EE вход a угадать x1, . . . , xm ДА НЕТ принять a отвергнуть SIZE(a)=минимально возможное значение |x1| + · · · + |xm|, где |x| обозначает длину двоичной записи x.
Диофантова сложность D vs NP Leonard Adleman и Kenneth Manders [1975] ввели в рассмотрение класс D состоящий из множеств M имеющих представления вида a ∈ M ⇐⇒ ⇐⇒ ∃x1 . . . xm P(a, x1, . . . , xm) = 0 & |x1| + · · · + |xm| ≤ |a|k .
Диофантова сложность D vs NP Leonard Adleman и Kenneth Manders [1975] ввели в рассмотрение класс D состоящий из множеств M имеющих представления вида a ∈ M ⇐⇒ ⇐⇒ ∃x1 . . . xm P(a, x1, . . . , xm) = 0 & |x1| + · · · + |xm| ≤ |a|k . Открытая проблема. D ? = NP.

More Related Content

PDF
20101029 reals and_integers_matiyasevich_ekb_lecture03-04
byComputer Science Club
 
PDF
20101030 reals and_integers_matiyasevich_ekb_lecture05-06
byComputer Science Club
 
PPTX
Ozone126
byDonald Stevens
 
PPT
20120309 formal semantics shilov_lecture04
byComputer Science Club
 
PPTX
Andres felipe rodriguez
byfeliperodriguezcortes
 
PPTX
Posterous ohje
byPauliina Venho
 
PDF
20120219 chosen ciphertext_security_importance_zhirkov
byComputer Science Club
 
PPT
Qr koodit opetuksessa
byPauliina Venho
 
20101029 reals and_integers_matiyasevich_ekb_lecture03-04
byComputer Science Club
 
20101030 reals and_integers_matiyasevich_ekb_lecture05-06
byComputer Science Club
 
Ozone126
byDonald Stevens
 
20120309 formal semantics shilov_lecture04
byComputer Science Club
 
Andres felipe rodriguez
byfeliperodriguezcortes
 
Posterous ohje
byPauliina Venho
 
20120219 chosen ciphertext_security_importance_zhirkov
byComputer Science Club
 
Qr koodit opetuksessa
byPauliina Venho
 

Viewers also liked

PPTX
Unidad educativa municipal quitumbe
bySteven Lalvay
 
PPT
Mobiilioppiminen on kokemuksellista
byPauliina Venho
 
DOC
Modelo para marcadores
byAngielAlvarado
 
PPTX
Métodos anticonceptivos
byManuel Franco
 
PDF
Maison, Brittany 1.1
byBrittany Maison
 
PPTX
Internet profundo y internet invisible
byCYNTIA
 
PDF
LOGOTIPO FLOATING
byFrancisco Rosas
 
PDF
Como ficar milionário, só que ao contrário!
byVinícius Hax
 
PPS
Vitoria(Spain)-European Green Capital 2012
bymaditabalnco
 
PDF
Il cloud per l’accelerazione del business delle PMI: il progetto Icaro
byPaolo Nesi
 
PPSX
3. formato normal. gradacion. carlos riera
byCARLOS-RIERA
 
PPTX
Nueva ley de delitos informaticos
byCYNTIA
 
PDF
20120513 dynamics morozov
byComputer Science Club
 
PDF
Dia29
byDaniel Afonso
 
PDF
Torpe Fotos de la Boda de Fotos - ABC Noticias
bybumpyworker6875
 
PPT
Treinamento Testes Unitários - parte 2
byDiego Pacheco
 
DOCX
т
bysasha1333
 
PDF
Chevy Equinox at Jerry's Chevrolet in Baltimore, Maryland
byJerry's Chevrolet
 
PDF
Jornada 13 empresarial
byArturo Pacheco Alvarez
 
PPT
Appreciation
byHennie Steyn
 
Unidad educativa municipal quitumbe
bySteven Lalvay
 
Mobiilioppiminen on kokemuksellista
byPauliina Venho
 
Modelo para marcadores
byAngielAlvarado
 
Métodos anticonceptivos
byManuel Franco
 
Maison, Brittany 1.1
byBrittany Maison
 
Internet profundo y internet invisible
byCYNTIA
 
LOGOTIPO FLOATING
byFrancisco Rosas
 
Como ficar milionário, só que ao contrário!
byVinícius Hax
 
Vitoria(Spain)-European Green Capital 2012
bymaditabalnco
 
Il cloud per l’accelerazione del business delle PMI: il progetto Icaro
byPaolo Nesi
 
3. formato normal. gradacion. carlos riera
byCARLOS-RIERA
 
Nueva ley de delitos informaticos
byCYNTIA
 
20120513 dynamics morozov
byComputer Science Club
 
Dia29
byDaniel Afonso
 
Torpe Fotos de la Boda de Fotos - ABC Noticias
bybumpyworker6875
 
Treinamento Testes Unitários - parte 2
byDiego Pacheco
 
т
bysasha1333
 
Chevy Equinox at Jerry's Chevrolet in Baltimore, Maryland
byJerry's Chevrolet
 
Jornada 13 empresarial
byArturo Pacheco Alvarez
 
Appreciation
byHennie Steyn
 

Similar to 20130922 h10 lecture1_matiyasevich

PPT
Reshenie diofantovyh uravnenij
bydimonz9
 
PDF
20131006 h10 lecture2_matiyasevich
byComputer Science Club
 
PPT
Nestandartnye prijomy resheniya_kvadratnyh_uravnen
byIvanchik5
 
PPT
Irracionalnye chisla
byIvanchik5
 
PPT
8, 11 иррациональные числа
byNatali Ivanova
 
PDF
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
byComputer Science Club
 
PPT
консультация 1 (11.03.2012)
byIlia Bazhenov
 
PPT
презентация учащихся
byguest9b374f
 
Reshenie diofantovyh uravnenij
bydimonz9
 
20131006 h10 lecture2_matiyasevich
byComputer Science Club
 
Nestandartnye prijomy resheniya_kvadratnyh_uravnen
byIvanchik5
 
Irracionalnye chisla
byIvanchik5
 
8, 11 иррациональные числа
byNatali Ivanova
 
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
byComputer Science Club
 
консультация 1 (11.03.2012)
byIlia Bazhenov
 
презентация учащихся
byguest9b374f
 

More from Computer Science Club

PDF
20141223 kuznetsov distributed
byComputer Science Club
 
PDF
Computer Vision
byComputer Science Club
 
PDF
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
byComputer Science Club
 
PDF
20140531 serebryany lecture02_find_scary_cpp_bugs
byComputer Science Club
 
PDF
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
byComputer Science Club
 
PDF
20140511 parallel programming_kalishenko_lecture12
byComputer Science Club
 
PDF
20140427 parallel programming_zlobin_lecture11
byComputer Science Club
 
PDF
20140420 parallel programming_kalishenko_lecture10
byComputer Science Club
 
PDF
20140413 parallel programming_kalishenko_lecture09
byComputer Science Club
 
PDF
20140329 graph drawing_dainiak_lecture02
byComputer Science Club
 
PDF
20140329 graph drawing_dainiak_lecture01
byComputer Science Club
 
PDF
20140310 parallel programming_kalishenko_lecture03-04
byComputer Science Club
 
PDF
20140223-SuffixTrees-lecture01-03
byComputer Science Club
 
PDF
20140216 parallel programming_kalishenko_lecture01
byComputer Science Club
 
PDF
20131106 h10 lecture6_matiyasevich
byComputer Science Club
 
PDF
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
byComputer Science Club
 
PDF
20131013 h10 lecture4_matiyasevich
byComputer Science Club
 
PDF
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
byComputer Science Club
 
PDF
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
byComputer Science Club
 
PDF
20130928 automated theorem_proving_harrison
byComputer Science Club
 
20141223 kuznetsov distributed
byComputer Science Club
 
Computer Vision
byComputer Science Club
 
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
byComputer Science Club
 
20140531 serebryany lecture02_find_scary_cpp_bugs
byComputer Science Club
 
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
byComputer Science Club
 
20140511 parallel programming_kalishenko_lecture12
byComputer Science Club
 
20140427 parallel programming_zlobin_lecture11
byComputer Science Club
 
20140420 parallel programming_kalishenko_lecture10
byComputer Science Club
 
20140413 parallel programming_kalishenko_lecture09
byComputer Science Club
 
20140329 graph drawing_dainiak_lecture02
byComputer Science Club
 
20140329 graph drawing_dainiak_lecture01
byComputer Science Club
 
20140310 parallel programming_kalishenko_lecture03-04
byComputer Science Club
 
20140223-SuffixTrees-lecture01-03
byComputer Science Club
 
20140216 parallel programming_kalishenko_lecture01
byComputer Science Club
 
20131106 h10 lecture6_matiyasevich
byComputer Science Club
 
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
byComputer Science Club
 
20131013 h10 lecture4_matiyasevich
byComputer Science Club
 
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
byComputer Science Club
 
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
byComputer Science Club
 
20130928 automated theorem_proving_harrison
byComputer Science Club
 

20130922 h10 lecture1_matiyasevich

  • 1.
    Что можно делать свещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  • 2.
    Что можно делать свещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  • 3.
    Что можно делать свещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  • 4.
  • 5.
    Давид Гильберт, “Математическиепроблемы”, [1900] 10. Entscheidung der L¨osbarkeit einer diophantischen Gleichung. Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchen Unbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoefficienten sei vorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sich mittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden l¨asst, ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen l¨osbar ist.
  • 6.
    Давид Гильберт, “Математическиепроблемы”, [1900] 10. Entscheidung der L¨osbarkeit einer diophantischen Gleichung. Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchen Unbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoefficienten sei vorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sich mittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden l¨asst, ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen l¨osbar ist. 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.
  • 7.
    Диофантовы уравнения Определение. Диофантовоуравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами.
  • 8.
    Диофантовы уравнения Определение. Диофантовоуравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Греческий математик Диофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры.
  • 9.
    Полиномиальные уравнения удревних греков x2 = 2
  • 10.
    Полиномиальные уравнения удревних греков x2 = 2 1 1
  • 11.
    Полиномиальные уравнения удревних греков x2 = 2 1 1                        
  • 12.
    Полиномиальные уравнения удревних греков x2 = 2 1 1                         x
  • 13.
    Давид Гильберт, “Математическиепроблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.
  • 14.
    Давид Гильберт, “Математическиепроблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет. Целые рациональные числа
  • 15.
    Давид Гильберт, “Математическиепроблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет. Целые рациональные числа – это числа 0, ±1, ±2, ±3, . . .
  • 16.
    Диофантовы уравнения Определение. Диофантовоуравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами.
  • 17.
    Диофантовы уравнения Определение. Диофантовоуравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах
  • 18.
    Диофантовы уравнения Определение. Диофантовоуравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах
  • 19.
    Диофантовы уравнения Определение. Диофантовоуравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах Можно также ограничиться только решениями в положительных целых числах или только в неотрицательных целых числах
  • 20.
    Диофантовы уравнения Определение. Диофантовоуравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах Можно также ограничиться только решениями в положительных целых числах или только в неотрицательных целых числах
  • 21.
    От Диофанта доГильберта Диофант жил – когда?
  • 22.
    От Диофанта доГильберта Диофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры.
  • 23.
    От Диофанта доГильберта Диофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры. Гильберт сформулировал проблемы – когда?
  • 24.
    От Диофанта доГильберта Диофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры. Гильберт сформулировал проблемы в 1900 году
  • 25.
  • 26.
    Давид Гильберт, “Математическиепроблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.
  • 27.
    Массовые проблемы В современнойтерминологии 10-я проблема Гильберта является массовой проблемой, то есть проблемой, состоящей из счетного числа вопросов, на каждый из которых требуется дать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит в требовании найти единый универсальный метод, который позволял бы ответить на любой из этих вопросов.
  • 28.
    Массовые проблемы В современнойтерминологии 10-я проблема Гильберта является массовой проблемой, то есть проблемой, состоящей из счетного числа вопросов, на каждый из которых требуется дать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит в требовании найти единый универсальный метод, который позволял бы ответить на любой из этих вопросов. Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта 10-я является единственной массовой проблемой
  • 29.
    Массовые проблемы В современнойтерминологии 10-я проблема Гильберта является массовой проблемой, то есть проблемой, состоящей из счетного числа вопросов, на каждый из которых требуется дать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит в требовании найти единый универсальный метод, который позволял бы ответить на любой из этих вопросов. Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта 10-я является единственной массовой проблемой и она может рассматриваться как проблема информатики.
  • 30.
    Массовые проблемы В современнойтерминологии 10-я проблема Гильберта является массовой проблемой, то есть проблемой, состоящей из счетного числа вопросов, на каждый из которых требуется дать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит в требовании найти единый универсальный метод, который позволял бы ответить на любой из этих вопросов. Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта 10-я является единственной массовой проблемой и она может рассматриваться как проблема информатики.
  • 31.
    Ответ Сегодня мы знаем,что 10-я проблема Гильберта решения не имеет. Это означает, что она неразрешима как массовая проблема:
  • 32.
    Ответ Сегодня мы знаем,что 10-я проблема Гильберта решения не имеет. Это означает, что она неразрешима как массовая проблема: Теорема (Неразрешимость 10-й проблемы Гильберта) Не существует алгоритма, который по узнавал бы по произвольному диофантову уравнению, имеет ли оно решения.
  • 33.
    Ответ Сегодня мы знаем,что 10-я проблема Гильберта решения не имеет. Это означает, что она неразрешима как массовая проблема: Теорема (Неразрешимость 10-й проблемы Гильберта) Не существует алгоритма, который по узнавал бы по произвольному диофантову уравнению, имеет ли оно решения. В этом смысле говорят об отрицательном решении 10-й проблемы Гильберта.
  • 34.
  • 35.
    Давид Гильберт, “Математическиепроблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.
  • 36.
    Первая неразрешимая массоваяпроблема в чистой математике A. A. Марков (сын) Emil L. Post 1903–1979 1897–1954
  • 37.
    Recursively enumerable setsof positive integers and their deci- sion problems. Bulletin AMS, 50, 284–316 (1944); reprinted in: The Collected Works of E. L. Post, Davis, M. (ed), Birkh¨auser, Boston, 1994. Hilbert’s 10th problem “begs for an unsolvability proof” Emil L. Post 1897–1954
  • 38.
  • 39.
    Хронология Начало 50-х годов:гипотеза, которую выдвинул Martin Davis.
  • 40.
    Хронология Начало 50-х годов:гипотеза, которую выдвинул Martin Davis. Начало 60-х годов: частичный прогресс, который достигли Martin Davis, Hilary Putnam и Julia Robinson.
  • 41.
    Хронология Начало 50-х годов:гипотеза, которую выдвинул Martin Davis. Начало 60-х годов: частичный прогресс, который достигли Martin Davis, Hilary Putnam и Julia Robinson. 1970 год: последний шаг сделал Ю.Матиясевич.
  • 42.
  • 43.
    An e-mail Dear Professor, youare wrong. I am a brilliant young programmer and last night I wrote a sophisticated program in Java##. My program solves Hilbert’s tenth problem in the __positive__ sense. Namely, for every Diophantine equation given as input, the program will print 1 or 0 depending on whether the equation has a solution or not. The attachment contains my ingenious program. You can run it on your favorite Diophantine equations and see how fast my program works. Have a fun, Professor!
  • 44.
  • 45.
  • 46.
    Точка зрения студента S- M= 0 - 1, если существует хотя бы одно решение 0, если решений вообще не суще- ствует   
  • 47.
    Точка зрения студента Длялюбого многочлена M: S- M = 0 - 1, если существует хотя бы одно решение 0, если решений вообще не суще- ствует   
  • 48.
  • 49.
    Точка зрения профессора: Существуетмногочлен MS такой, что S- MS = 0 - ОШИБКА
  • 50.
    Точка зрения профессора: Существуетмногочлен MS такой, что S- MS = 0 - ОШИБКА
  • 51.
    Точка зрения профессора: Существуетмногочлен MS такой, что S- MS = 0 - 0, но решение существует   
  • 52.
    Точка зрения профессора: Существуетмногочлен MS такой, что S- MS = 0 - 0, но решение существует 1, но решений не существует   
  • 53.
    Точка зрения профессора: Существуетмногочлен MS такой, что S- MS = 0 - 0, но решение существует 1, но решений не существует ДРУГОЙ ОТВЕТ   
  • 54.
    Точка зрения профессора: Существуетмногочлен MS такой, что S- MS = 0 - 0, но решение существует 1, но решений не существует ДРУГОЙ ОТВЕТ остановка без ответа   
  • 55.
    Точка зрения профессора: Существуетмногочлен MS такой, что S- MS = 0 - 0, но решение существует 1, но решений не существует ДРУГОЙ ОТВЕТ остановка без ответа не останавливается и ничего не печатает   
  • 56.
  • 57.
  • 58.
  • 59.
  • 60.
  • 61.
  • 62.
  • 63.
    Усовершенствованная программа профессора P-S S-MS= 0 - ОШИБКА Формальное доказательство того, что S ошибется на MS -¦
  • 64.
    Усовершенствованная программа профессора P-S S-MS= 0 - 0, но решение существует 1, но решений нет ДРУГОЙ ОТВЕТ остановка без ответа не останавливается    Формальное доказательство того, что S ошибется на MS -¦
  • 65.
    Усовершенствованная программа профессора P-S S-MS= 0 - 0, но решение существует 1, но решений нет ДРУГОЙ ОТВЕТ остановка без ответа не останавливается    Доказательство того, что: если S выдает 0, то уравнение MS = 0 имеет решение если S выдает 1, то уравнение MS = 0 решений не имеет -¦
  • 66.
    Диофантовы уравнения Определение. Диофантовоуравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами.
  • 67.
    Диофантовы уравнения Определение. Диофантовоуравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах
  • 68.
    Диофантовы уравнения Определение. Диофантовоуравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах
  • 69.
    Диофантовы уравнения Определение. Диофантовоуравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах Можно также ограничиться только решениями в положительных целых числах или только в неотрицательных целых числах
  • 70.
    Диофантовы уравнения Определение. Диофантовоуравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах Можно также ограничиться только решениями в положительных целых числах или только в неотрицательных целых числах
  • 71.
    Натуральные числа противцелых (x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3
  • 72.
    Натуральные числа противцелых (x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3 Имеет ли это уравнение решение в целых числах?
  • 73.
    Натуральные числа противцелых (x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3 Имеет ли это уравнение решение в целых числах? Да, и это тривиально: y = −1, z = x.
  • 74.
    Натуральные числа противцелых (x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3 Имеет ли это уравнение решение в целых числах? Да, и это тривиально: y = −1, z = x. Имеет ли это уравнение решение в неотрицательных целых числах?
  • 75.
    Натуральные числа противцелых (x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3 Имеет ли это уравнение решение в целых числах? Да, и это тривиально: y = −1, z = x. Имеет ли это уравнение решение в неотрицательных целых числах? Нет, не имеет, но это нетривиально (частный случай Великой теоремы Ферма).
  • 76.
    От целых чиселк натуральным Диофантово уравнение P(x1, . . . , xm) = 0 имеет решение в целых числах x1, . . . , xm тогда и только тогда, когда диофантово уравнение P(p1 − q1, . . . , pm − qm) = 0. имеет решение в натуральных числах p1, . . . , pm, q1, . . . , qm.
  • 77.
    От целых чиселк натуральным Диофантово уравнение P(x1, . . . , xm) = 0 имеет решение в целых числах x1, . . . , xm тогда и только тогда, когда диофантово уравнение P(p1 − q1, . . . , pm − qm) = 0. имеет решение в натуральных числах p1, . . . , pm, q1, . . . , qm. Говорят, что массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах.
  • 78.
    От натуральных чиселк целым Диофантово уравнение P(p1, . . . , pm) = 0 имеет решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда диофантово уравнение P(w2 1 + x2 1 + y2 1 + z2 1 , . . . , w2 m + x2 m + y2 m + z2 m) = 0. имеет решение в целых числах.
  • 79.
    От натуральных чиселк целым Диофантово уравнение P(p1, . . . , pm) = 0 имеет решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда диофантово уравнение P(w2 1 + x2 1 + y2 1 + z2 1 , . . . , w2 m + x2 m + y2 m + z2 m) = 0. имеет решение в целых числах. Теорема (Joseph-Louis Lagrange [1770], знал и Pierre Fermat, но не опубликовал) Каждое натуральное число является суммой четырех квадратов.
  • 80.
    От натуральных чиселк целым Диофантово уравнение P(p1, . . . , pm) = 0 имеет решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда диофантово уравнение P(w2 1 + x2 1 + y2 1 + z2 1 , . . . , w2 m + x2 m + y2 m + z2 m) = 0. имеет решение в целых числах. Теорема (Joseph-Louis Lagrange [1770], знал и Pierre Fermat, но не опубликовал) Каждое натуральное число является суммой четырех квадратов. Таким образом, массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах.
  • 81.
    Натуральные числа противцелых У нас есть два свед´ения: массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах. массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах.
  • 82.
    Натуральные числа противцелых У нас есть два свед´ения: массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах. массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах. Таким образом, массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах эквивалентна массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах.
  • 83.
    Натуральные числа противцелых У нас есть два свед´ения: массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах. массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах. Таким образом, массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах эквивалентна массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах. Мы будем заниматься решением уравнений в натуральных числах 0, 1, 2, . . .
  • 84.
    Давид Гильберт, “Математическиепроблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.
  • 85.
    Уравнения с параметрами Семействодиофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы:
  • 86.
    Уравнения с параметрами Семействодиофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы: параметры a1, . . . ,an;
  • 87.
    Уравнения с параметрами Семействодиофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы: параметры a1, . . . ,an; неизвестные x1, . . . ,xm.
  • 88.
    Уравнения с параметрами Семействодиофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы: параметры a1, . . . ,an; неизвестные x1, . . . ,xm. Рассмотрим множество M такое, что a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.
  • 89.
    Уравнения с параметрами Семействодиофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы: параметры a1, . . . ,an; неизвестные x1, . . . ,xm. Рассмотрим множество M такое, что a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}. Множества, имеющие такие представления называются диофантовыми.
  • 90.
  • 91.
    Примеры диофантовых множеств Множествовсех полных квадратов, представлено уравнением
  • 92.
    Примеры диофантовых множеств Множествовсех полных квадратов, представлено уравнением a − x2 = 0
  • 93.
    Примеры диофантовых множеств Множествовсех полных квадратов, представлено уравнением a − x2 = 0 Множество всех составных чисел, представлено уравнением
  • 94.
    Примеры диофантовых множеств Множествовсех полных квадратов, представлено уравнением a − x2 = 0 Множество всех составных чисел, представлено уравнением a − (x1 + 2)(x2 + 2) = 0
  • 95.
    Примеры диофантовых множеств Множествовсех полных квадратов, представлено уравнением a − x2 = 0 Множество всех составных чисел, представлено уравнением a − (x1 + 2)(x2 + 2) = 0 Множество всех нестепеней числа 2, представлено уравнением
  • 96.
    Примеры диофантовых множеств Множествовсех полных квадратов, представлено уравнением a − x2 = 0 Множество всех составных чисел, представлено уравнением a − (x1 + 2)(x2 + 2) = 0 Множество всех нестепеней числа 2, представлено уравнением a − (2x1 + 3)x2 = 0
  • 97.
  • 98.
    Программа Диофанта ∃x1 .. . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0
  • 99.
    Программа Диофанта a1, .. . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}
  • 100.
    Программа Диофанта a1, .. . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}
  • 101.
    Программа Диофанта a1, .. . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0} D
  • 102.
    Программа Диофанта a1, .. . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0} D-a1, . . . , an
  • 103.
    Программа Диофанта a1, .. . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0} D-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае   
  • 104.
    Программа Диофанта a1, .. . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0} D-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае    for (y=0;;y++) for (x1=0;x1<y;x1++) ........................ for (xm=0;xm<y;xm++) if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP
  • 105.
  • 106.
    Перечислимые множества Определение. МножествоM, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае   
  • 107.
    Перечислимые множества Определение. МножествоM, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае    Эквивалентное определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу P которая (работая бесконечно долго) будет печатать только элементы множества M и напечатает каждое из них, быть может, много раз.
  • 108.
    Вторая программа Диофанта a1,. . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}
  • 109.
    Вторая программа Диофанта a1,. . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0} for (y=0;;y++) for (a1=0;a1<y;a1++) ....................... for (an=0;an<y;an++) for (x1=0;x1<y;x1++) ........................ for (xm=0;xm<y;xm++) if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) print(a1,...,an)
  • 110.
    Пример P(a1, x1, x2)= a1 − (x1 + 2)(x2 + 2)
  • 111.
    Пример P(a1, x1, x2)= a1 − (x1 + 2)(x2 + 2) for y do for a1 to y do for x1 to y do for x2 to y do if a1 - (x1 + 2)*(x2 + 2)=0 then print(a1) fi od od od od
  • 112.
    Пример P(a1, x1, x2)= a1 − (x1 + 2)(x2 + 2) for y do for a1 to y do for x1 to y do for x2 to y do if a1 - (x1 + 2)*(x2 + 2)=0 then print(a1) fi od od od od 4, 4, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 8, 8, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 4, 6, 6,. . .
  • 113.
  • 114.
    Перечислимые множества Определение. МножествоM, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае   
  • 115.
    Перечислимые множества Определение. МножествоM, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае    Эквивалентное определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу P которая (работая бесконечно долго) будет печатать только элементы множества M и напечатает каждое из них, быть может, много раз.
  • 116.
  • 117.
    Гипотеза Martin’a Davis’а Тривиальныйфакт. Каждое диофантово множество является перечислимым.
  • 118.
    Гипотеза Martin’a Davis’а Тривиальныйфакт. Каждое диофантово множество является перечислимым. Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимое множество является диофантовым.
  • 119.
    Гипотеза Martin’a Davis’а Тривиальныйфакт. Каждое диофантово множество является перечислимым. Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимое множество является диофантовым. Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году. DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество и диофантово множество совпадают.
  • 120.
    Гипотеза Martin’a Davis’а Тривиальныйфакт. Каждое диофантово множество является перечислимым. Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимое множество является диофантовым. Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году. DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество и диофантово множество совпадают. Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson, Юрий Матиясевич
  • 121.
  • 122.
  • 123.
    Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a,¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0)
  • 124.
    Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a,¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ?
  • 125.
    Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a,¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ?
  • 126.
    Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a,¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS
  • 127.
    Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a,¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS
  • 128.
    Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a,¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MS (k, ¯x) = 0}
  • 129.
    Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a,¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0}
  • 130.
    Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a,¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0)
  • 131.
    Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a,¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) =?
  • 132.
    Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a,¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 0
  • 133.
    Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a,¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 0 ⇒ kS ∈ MS
  • 134.
    Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a,¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 0 ⇒ kS ∈ MS ⇒ ∃¯x{MkS (kS , ¯x) = 0}
  • 135.
    Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a,¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 1
  • 136.
    Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a,¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 1 ⇒ kS ∈ MS
  • 137.
    Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a,¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 1 ⇒ kS ∈ MS ⇒ ¬∃¯x{MkS (kS , ¯x) = 0}
  • 138.
  • 139.
    Универсальное уравнение Список всеходнопараметрических уравнений: M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . , Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . .
  • 140.
    Универсальное уравнение Список всеходнопараметрических уравнений: M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . , Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . . a, k ∈ U ⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0}
  • 141.
    Универсальное уравнение Список всеходнопараметрических уравнений: M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . , Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . . a, k ∈ U ⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} a, k ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k, y1, . . . , yn) = 0}
  • 142.
    Универсальное уравнение Список всеходнопараметрических уравнений: M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . , Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . . a, k ∈ U ⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} a, k ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k, y1, . . . , yn) = 0} ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k, y1, . . . , yn) = 0}
  • 143.
    Текущие рекорды Задача орешении произвольного параметрического диофантова уравнения может быть сведена к решению эквивалентного диофантова уравнения, имеющего степень D и N неизвестных, где в качестве D, N можно взять любую из следующих пар: 4, 58 , 8, 38 , 12, 32 , 16, 29 , 20, 28 , 24, 26 , 28, 25 , 36, 24 , 96, 21 , 2668, 19 , 2 × 105, 14 , 6.6 × 1043, 13 , 1.3 × 1044, 12 , 4.6 × 1044, 11 , 8.6 × 1044, 10 , 1.6 × 1045, 9 .
  • 144.
    Непростой многочлен дляпростых чисел Теорема (J.P.Jones, D.Sato, H.Wada, D.Wiens, [1976]) Множество всех простых чисел – это в точности множество всех положительных значений, принимаемых многочленом (k + 2) { 1 −[wz + h + j − q]2 − [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h − z]2 − [2n + p + q + z − e]2 − 16(k + 1)3 (k + 2)(n + 1)2 + 1 − f 2 2 − e3 (e + 2)(a + 1)2 + 1 − o2 2 − (a2 − 1)y2 + 1 − x2 2 − 16r2 y4 (a2 − 1) + 1 − u2 2 − [n + l + v − y]2 − (a + u2 (u2 − a))2 − 1 (n + 4dy)2 + 1 − (x + cu)2 2 − (a2 − 1)l2 + 1 − m2 2 − q + y(a − p − 1) + s(2ap + 2a − p2 − 2p − 2) − x 2 − z + pl(a − p) + t(2ap − p2 − 1) − pm 2 − [ai + k + 1 − l − i]2 − p + l(a − n − 1) + b(2an + 2a − n2 − 2n − 2) − m 2 } при натуральных значениях 26 переменных a, b, c, . . . , x, y, z.
  • 145.
    Диофантовы машины Формализация недетерминизма LeonardAdleman и Kenneth Manders [1976] ввели понятие недетерминированной диофантовой машины, NDDM .
  • 146.
    Диофантовы машины Формализация недетерминизма LeonardAdleman и Kenneth Manders [1976] ввели понятие недетерминированной диофантовой машины, NDDM . NDDM P(a, x1, . . . , xm) ? = 0 'E c EE вход a угадать x1, . . . , xm ДА НЕТ принять a отвергнуть
  • 147.
    Диофантовы машины Формализация недетерминизма LeonardAdleman и Kenneth Manders [1976] ввели понятие недетерминированной диофантовой машины, NDDM . NDDM P(a, x1, . . . , xm) ? = 0 'E c EE вход a угадать x1, . . . , xm ДА НЕТ принять a отвергнуть DPRM-теорема: NDDM имееют такую же вычислительную силу как, например, машины Тьюринга, то есть любое множество, принимаемое некоторой машиной Тьюринга, принимается некоторой NDDM, и, очевидно, наоборот.
  • 148.
    Диофантова сложность Определения NDDM P(a, x1,. . . , xm) ? = 0 'E c EE вход a угадать x1, . . . , xm ДА НЕТ принять a отвергнуть
  • 149.
    Диофантова сложность Определения NDDM P(a, x1,. . . , xm) ? = 0 'E c EE вход a угадать x1, . . . , xm ДА НЕТ принять a отвергнуть SIZE(a)=минимально возможное значение |x1| + · · · + |xm|, где |x| обозначает длину двоичной записи x.
  • 150.
    Диофантова сложность D vsNP Leonard Adleman и Kenneth Manders [1975] ввели в рассмотрение класс D состоящий из множеств M имеющих представления вида a ∈ M ⇐⇒ ⇐⇒ ∃x1 . . . xm P(a, x1, . . . , xm) = 0 & |x1| + · · · + |xm| ≤ |a|k .
  • 151.
    Диофантова сложность D vsNP Leonard Adleman и Kenneth Manders [1975] ввели в рассмотрение класс D состоящий из множеств M имеющих представления вида a ∈ M ⇐⇒ ⇐⇒ ∃x1 . . . xm P(a, x1, . . . , xm) = 0 & |x1| + · · · + |xm| ≤ |a|k . Открытая проблема. D ? = NP.