1. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | inf
x∈K
y, x ≥ 0}
6. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K∗
1 ∩ K∗
2 .
¡ Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку
y, x1 + x2 = y, x1 + y, x2 , то inf
x1∈K1,x2∈K2
y, x1 + x2 =
inf
x1∈K1,x2∈K2
( y, x1 + y, x2 ) = inf
x1∈K1
y, x1 + inf
x2∈K2
y, x2 ⇒
inf
x1∈K1, x2∈K2
y, x1 + x2 ≥ 0 ⇔



inf
x1∈K1
y, x1 ≥ 0,
inf
x2∈K2
y, x2 ≥ 0.
£
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

2. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | inf
x∈K
y, x ≥ 0}
6. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K∗
1 ∩ K∗
2 .
¡ Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку
y, x1 + x2 = y, x1 + y, x2 , то inf
x1∈K1,x2∈K2
y, x1 + x2 =
inf
x1∈K1,x2∈K2
( y, x1 + y, x2 ) = inf
x1∈K1
y, x1 + inf
x2∈K2
y, x2 ⇒
inf
x1∈K1, x2∈K2
y, x1 + x2 ≥ 0 ⇔



inf
x1∈K1
y, x1 ≥ 0,
inf
x2∈K2
y, x2 ≥ 0.
£
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

3. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | inf
x∈K
y, x ≥ 0}
6. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K∗
1 ∩ K∗
2 .
¡ Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку
y, x1 + x2 = y, x1 + y, x2 , то inf
x1∈K1,x2∈K2
y, x1 + x2 =
inf
x1∈K1,x2∈K2
( y, x1 + y, x2 ) = inf
x1∈K1
y, x1 + inf
x2∈K2
y, x2 ⇒
inf
x1∈K1, x2∈K2
y, x1 + x2 ≥ 0 ⇔



inf
x1∈K1
y, x1 ≥ 0,
inf
x2∈K2
y, x2 ≥ 0.
£
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

4. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | inf
x∈K
y, x ≥ 0}
6. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K∗
1 ∩ K∗
2 .
¡ Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку
y, x1 + x2 = y, x1 + y, x2 , то inf
x1∈K1,x2∈K2
y, x1 + x2 =
inf
x1∈K1,x2∈K2
( y, x1 + y, x2 ) = inf
x1∈K1
y, x1 + inf
x2∈K2
y, x2 ⇒
inf
x1∈K1, x2∈K2
y, x1 + x2 ≥ 0 ⇔



inf
x1∈K1
y, x1 ≥ 0,
inf
x2∈K2
y, x2 ≥ 0.
£
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

5. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | inf
x∈K
y, x ≥ 0}
6. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K∗
1 ∩ K∗
2 .
¡ Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку
y, x1 + x2 = y, x1 + y, x2 , то inf
x1∈K1,x2∈K2
y, x1 + x2 =
inf
x1∈K1,x2∈K2
( y, x1 + y, x2 ) = inf
x1∈K1
y, x1 + inf
x2∈K2
y, x2 ⇒
inf
x1∈K1, x2∈K2
y, x1 + x2 ≥ 0 ⇔



inf
x1∈K1
y, x1 ≥ 0,
inf
x2∈K2
y, x2 ≥ 0.
£
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

6. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | inf
x∈K
y, x ≥ 0}
6. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K∗
1 ∩ K∗
2 .
¡ Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку
y, x1 + x2 = y, x1 + y, x2 , то inf
x1∈K1,x2∈K2
y, x1 + x2 =
inf
x1∈K1,x2∈K2
( y, x1 + y, x2 ) = inf
x1∈K1
y, x1 + inf
x2∈K2
y, x2 ⇒
inf
x1∈K1, x2∈K2
y, x1 + x2 ≥ 0 ⇔



inf
x1∈K1
y, x1 ≥ 0,
inf
x2∈K2
y, x2 ≥ 0.
£
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

7. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | inf
x∈K
y, x ≥ 0}
6. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K∗
1 ∩ K∗
2 .
¡ Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку
y, x1 + x2 = y, x1 + y, x2 , то inf
x1∈K1,x2∈K2
y, x1 + x2 =
inf
x1∈K1,x2∈K2
( y, x1 + y, x2 ) = inf
x1∈K1
y, x1 + inf
x2∈K2
y, x2 ⇒
inf
x1∈K1, x2∈K2
y, x1 + x2 ≥ 0 ⇔



inf
x1∈K1
y, x1 ≥ 0,
inf
x2∈K2
y, x2 ≥ 0.
£
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

8. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | inf
x∈K
y, x ≥ 0}
6. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K∗
1 ∩ K∗
2 .
¡ Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку
y, x1 + x2 = y, x1 + y, x2 , то inf
x1∈K1,x2∈K2
y, x1 + x2 =
inf
x1∈K1,x2∈K2
( y, x1 + y, x2 ) = inf
x1∈K1
y, x1 + inf
x2∈K2
y, x2 ⇒
inf
x1∈K1, x2∈K2
y, x1 + x2 ≥ 0 ⇔



inf
x1∈K1
y, x1 ≥ 0,
inf
x2∈K2
y, x2 ≥ 0.
£
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

9. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | inf
x∈K
y, x ≥ 0}
6. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K∗
1 ∩ K∗
2 .
¡ Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку
y, x1 + x2 = y, x1 + y, x2 , то inf
x1∈K1,x2∈K2
y, x1 + x2 =
inf
x1∈K1,x2∈K2
( y, x1 + y, x2 ) = inf
x1∈K1
y, x1 + inf
x2∈K2
y, x2 ⇒
inf
x1∈K1, x2∈K2
y, x1 + x2 ≥ 0 ⇔



inf
x1∈K1
y, x1 ≥ 0,
inf
x2∈K2
y, x2 ≥ 0.
£
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

10. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | inf
x∈K
y, x ≥ 0}
6. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K∗
1 ∩ K∗
2 .
¡ Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку
y, x1 + x2 = y, x1 + y, x2 , то inf
x1∈K1,x2∈K2
y, x1 + x2 =
inf
x1∈K1,x2∈K2
( y, x1 + y, x2 ) = inf
x1∈K1
y, x1 + inf
x2∈K2
y, x2 ⇒
inf
x1∈K1, x2∈K2
y, x1 + x2 ≥ 0 ⇔



inf
x1∈K1
y, x1 ≥ 0,
inf
x2∈K2
y, x2 ≥ 0.
£
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

11. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | inf
x∈K
y, x ≥ 0}
6. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K∗
1 ∩ K∗
2 .
¡ Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку
y, x1 + x2 = y, x1 + y, x2 , то inf
x1∈K1,x2∈K2
y, x1 + x2 =
inf
x1∈K1,x2∈K2
( y, x1 + y, x2 ) = inf
x1∈K1
y, x1 + inf
x2∈K2
y, x2 ⇒
inf
x1∈K1, x2∈K2
y, x1 + x2 ≥ 0 ⇔



inf
x1∈K1
y, x1 ≥ 0,
inf
x2∈K2
y, x2 ≥ 0.
£
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

12. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | inf
x∈K
y, x ≥ 0}
6. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K∗
1 ∩ K∗
2 .
¡ Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку
y, x1 + x2 = y, x1 + y, x2 , то inf
x1∈K1,x2∈K2
y, x1 + x2 =
inf
x1∈K1,x2∈K2
( y, x1 + y, x2 ) = inf
x1∈K1
y, x1 + inf
x2∈K2
y, x2 ⇒
inf
x1∈K1, x2∈K2
y, x1 + x2 ≥ 0 ⇔



inf
x1∈K1
y, x1 ≥ 0,
inf
x2∈K2
y, x2 ≥ 0.
£
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

13. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

14. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

15. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

16. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

17. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

18. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

19. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

20. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

21. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

22. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

23. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

24. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

25. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

26. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

27. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

28. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

29. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

30. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

31. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

32. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

33. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

34. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

35. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

36. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

37. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
7. K1, K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)∗ ⊃ K∗
1 + K∗
2 .
¡ Пусть y ∈ K∗
1 + K∗
2 ⇒ y = y1 + y2, где y1 ∈K∗
1 , y2 ∈K∗
2 ⇒
y1 ∈ K∗
1 ⇒ y1, x ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);
y2 ∈ K∗
2 ⇒ y2, x ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2).
Значит, y1 + y2, x ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)∗. £
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
¡ По т. о втором сопряженном конусе K1 = K∗∗
1 , K2 = K∗∗
2
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K∗∗
1 ∩ K∗∗
2 )∗ = (K∗
1 )∗ ∩ (K∗
2 )∗ ∗ 6
=
(K∗
1 + K∗
2 )∗ ∗
= K∗
1 + K∗
2
∗∗
= K∗
1 + K∗
2
(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

38. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
Отметим, что убрать замыкание в последней формуле
нельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклых
замкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:
Пусть K1 — конус в R3, образованный кругом
x2
1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.
Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

39. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
Отметим, что убрать замыкание в последней формуле
нельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклых
замкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:
Пусть K1 — конус в R3, образованный кругом
x2
1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.
Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

40. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
Отметим, что убрать замыкание в последней формуле
нельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклых
замкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:
Пусть K1 — конус в R3, образованный кругом
x2
1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.
Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

41. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
Отметим, что убрать замыкание в последней формуле
нельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклых
замкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:
Пусть K1 — конус в R3, образованный кругом
x2
1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.
Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

42. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
Отметим, что убрать замыкание в последней формуле
нельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклых
замкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:
Пусть K1 — конус в R3, образованный кругом
x2
1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.
Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

43. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
Отметим, что убрать замыкание в последней формуле
нельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклых
замкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:
Пусть K1 — конус в R3, образованный кругом
x2
1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.
Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

44. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
Отметим, что убрать замыкание в последней формуле
нельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклых
замкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:
Пусть K1 — конус в R3, образованный кругом
x2
1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.
Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

45. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
Отметим, что убрать замыкание в последней формуле
нельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклых
замкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:
Пусть K1 — конус в R3, образованный кругом
x2
1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.
Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

46. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
Отметим, что убрать замыкание в последней формуле
нельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклых
замкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:
Пусть K1 — конус в R3, образованный кругом
x2
1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.
Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

47. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
Отметим, что убрать замыкание в последней формуле
нельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклых
замкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:
Пусть K1 — конус в R3, образованный кругом
x2
1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.
Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

48. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
Отметим, что убрать замыкание в последней формуле
нельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклых
замкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:
Пусть K1 — конус в R3, образованный кругом
x2
1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.
Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

49. Свойства сопряженного конуса
K∗ := {y ∈ Rn | y, x ≥ 0 ∀ x ∈ K}
8. K1, K2 — выпуклые замкнутые конусы
⇒ (K1 ∩ K2)∗ = K∗
1 + K∗
2 .
Отметим, что убрать замыкание в последней формуле
нельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклых
замкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:
Пусть K1 — конус в R3, образованный кругом
x2
1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.
Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ