1. Сложность пропозициональных доказательств
Эдуард Алексеевич Гирш
http://logic.pdmi.ras.ru/~hirsch
ПОМИ РАН
23 сентября 2010 г.
1 / 6

2. Полиномиальное моделирование
Определение
Пусть S, W — системы для одного и того же языка L.
S моделирует W (пишем S≤W ) ⇐⇒
S-док-ва — не длиннее W -док-в (с точностью до полинома p):
∀F ∈ L |кратчайшее S-док-во для F| ≤ p(|кратчайшее W -док-во для F|).
2 / 6

3. Полиномиальное моделирование
Определение
Пусть S, W — системы для одного и того же языка L.
S моделирует W (пишем S≤W ) ⇐⇒
S-док-ва — не длиннее W -док-в (с точностью до полинома p):
∀F ∈ L |кратчайшее S-док-во для F| ≤ p(|кратчайшее W -док-во для F|).
S строго моделирует W (пишем S<W ), если ещё и W ≤ S.
Например, CP (секущие плоскости) < Res (метод резолюций).
2 / 6

4. Полиномиальное моделирование
Определение
Пусть S, W — системы для одного и того же языка L.
S моделирует W (пишем S≤W ) ⇐⇒
S-док-ва — не длиннее W -док-в (с точностью до полинома p):
∀F ∈ L |кратчайшее S-док-во для F| ≤ p(|кратчайшее W -док-во для F|).
S строго моделирует W (пишем S<W ), если ещё и W ≤ S.
Например, CP (секущие плоскости) < Res (метод резолюций).
Определение
p-моделирование (≤p) — конструктивная версия:
за полиномиальное время можно трансформировать
W -доказательство размера w в S-доказательство размера p(w).
2 / 6

5. Полиномиальное моделирование
Определение
Пусть S, W — системы для одного и того же языка L.
S моделирует W (пишем S≤W ) ⇐⇒
S-док-ва — не длиннее W -док-в (с точностью до полинома p):
∀F ∈ L |кратчайшее S-док-во для F| ≤ p(|кратчайшее W -док-во для F|).
S строго моделирует W (пишем S<W ), если ещё и W ≤ S.
Например, CP (секущие плоскости) < Res (метод резолюций).
Определение
p-моделирование (≤p) — конструктивная версия:
за полиномиальное время можно трансформировать
W -доказательство размера w в S-доказательство размера p(w).
Определение
(p-)оптимальная система док-в — наименьший элемент для ≤ (≤p). 2 / 6

6. Системы Фреге
Определение
Системой Фреге называется система, состоящая из корректных правил вида
F1 F2 . . . Fk
G
,
Fi , G — формулы логики высказываний,
в качестве переменных можно подставлять произвольные формулы с
выбранным множеством операций (“базисом”),
вывод начинается с аксиом (где k = 0),
новые формулы выводятся ( ) правилами из ранее выведенных.
Пример
P ⊃ (Q ⊃ P)
,
(¬Q ⊃ ¬P) ⊃ ((¬Q ⊃ P) ⊃ Q)
,
P P ⊃ Q
Q
,
(P ⊃ (Q ⊃ R)) ⊃ ((P ⊃ Q) ⊃ (P ⊃ R))
.
3 / 6

7. Системы Фреге
Эквивалентность
Система полна, если F ∈ L =⇒ ∃ док-во F.
4 / 6

8. Системы Фреге
Эквивалентность
Система Фреге полна, если F ∈ L =⇒ ∗ F.
Система Фреге импликативно полна, если ˜∀(F ⊃ G) =⇒ F ∗ G.
4 / 6

9. Системы Фреге
Эквивалентность
Система Фреге полна, если F ∈ L =⇒ ∗ F.
Система Фреге импликативно полна, если ˜∀(F ⊃ G) =⇒ F ∗ G.
Теорема
Все корректные полные импликативно полные системы Фреге
полиномиально p-эквивалентны (т.е. p-моделируют друг друга).
4 / 6

10. Системы Фреге
Эквивалентность
Система Фреге полна, если F ∈ L =⇒ ∗ F.
Система Фреге импликативно полна, если ˜∀(F ⊃ G) =⇒ F ∗ G.
Теорема
Все корректные полные импликативно полные системы Фреге
полиномиально p-эквивалентны (т.е. p-моделируют друг друга).
Док-во для одинаковых базисов: промоделируем каждое правило.
4 / 6

11. Системы Фреге
Эквивалентность
Система Фреге полна, если F ∈ L =⇒ ∗ F.
Система Фреге импликативно полна, если ˜∀(F ⊃ G) =⇒ F ∗ G.
Теорема
Все корректные полные импликативно полные системы Фреге
полиномиально p-эквивалентны (т.е. p-моделируют друг друга).
Док-во для одинаковых базисов: промоделируем каждое правило.
При смене базиса глубокие формулы могут вырасти!
4 / 6

12. Системы Фреге
Эквивалентность
Система Фреге полна, если F ∈ L =⇒ ∗ F.
Система Фреге импликативно полна, если ˜∀(F ⊃ G) =⇒ F ∗ G.
Теорема
Все корректные полные импликативно полные системы Фреге
полиномиально p-эквивалентны (т.е. p-моделируют друг друга).
Док-во для одинаковых базисов: промоделируем каждое правило.
При смене базиса глубокие формулы могут вырасти!
Непрямой перевод:
F = T[G H],
F = ((G H) ∧ T[1]) ∨ (¬(G H) ∧ T[0]).
Ясно, что собственно операции переводятся на нижнем уровне,
а уровней получается O(log . . .).
4 / 6

13. Системы Фреге
Эквивалентность
Система Фреге полна, если F ∈ L =⇒ ∗ F.
Система Фреге импликативно полна, если ˜∀(F ⊃ G) =⇒ F ∗ G.
Теорема
Все корректные полные импликативно полные системы Фреге
полиномиально p-эквивалентны (т.е. p-моделируют друг друга).
Док-во для одинаковых базисов: промоделируем каждое правило.
При смене базиса глубокие формулы могут вырасти!
Непрямой перевод:
F = T[G H],
F = ((G H) ∧ T[1]) ∨ (¬(G H) ∧ T[0]).
Ясно, что собственно операции переводятся на нижнем уровне,
а уровней получается O(log . . .).
Остаётся научиться работать с таким представлением.
4 / 6

14. Секвенциальное (генценовское) исчисление
Секвенция F1, . . . , Fk → G1, . . . , Gl
Смысл:
i
Fi ⊃
j
Gj .
5 / 6

15. Секвенциальное (генценовское) исчисление
Секвенция F1, . . . , Fk → G1, . . . , Gl (списки как множества!).
Смысл:
i
Fi ⊃
j
Gj .
Аксиомы F → F, ослабление
Γ → ∆
F, Γ → G, ∆
.
Правила введения ∧, ∨, ¬:
Γ → F, ∆
Γ → F ∨ G, ∆
,
F, Γ → ∆ G, Γ → ∆
F ∨ G, Γ → ∆
,
F, Γ → ∆
Γ → ¬F, ∆
,
F, Γ → ∆
F ∧ G, Γ → ∆
,
Γ → F, ∆ Γ → G, ∆
Γ → F ∧ G, ∆
,
Γ → F, ∆
¬F, Γ → ∆
.
5 / 6

16. Секвенциальное (генценовское) исчисление
Секвенция F1, . . . , Fk → G1, . . . , Gl (списки как множества!).
Смысл:
i
Fi ⊃
j
Gj .
Аксиомы F → F, ослабление
Γ → ∆
F, Γ → G, ∆
.
Правила введения ∧, ∨, ¬:
Γ → F, ∆
Γ → F ∨ G, ∆
,
F, Γ → ∆ G, Γ → ∆
F ∨ G, Γ → ∆
,
F, Γ → ∆
Γ → ¬F, ∆
,
F, Γ → ∆
F ∧ G, Γ → ∆
,
Γ → F, ∆ Γ → G, ∆
Γ → F ∧ G, ∆
,
Γ → F, ∆
¬F, Γ → ∆
.
Правило сечения: F, Γ → ∆ Γ → F, ∆
Γ → ∆
.
5 / 6

17. Секвенциальное (генценовское) исчисление
Секвенция F1, . . . , Fk → G1, . . . , Gl (списки как множества!).
Смысл:
i
Fi ⊃
j
Gj .
Аксиомы F → F, ослабление
Γ → ∆
F, Γ → G, ∆
.
Правила введения ∧, ∨, ¬:
Γ → F, ∆
Γ → F ∨ G, ∆
,
F, Γ → ∆ G, Γ → ∆
F ∨ G, Γ → ∆
,
F, Γ → ∆
Γ → ¬F, ∆
,
F, Γ → ∆
F ∧ G, Γ → ∆
,
Γ → F, ∆ Γ → G, ∆
Γ → F ∧ G, ∆
,
Γ → F, ∆
¬F, Γ → ∆
.
Правило сечения: F, Γ → ∆ Γ → F, ∆
Γ → ∆
.
Эквивалентны системам Фреге.
Сечение важно для длины вывода, но не для полноты.
5 / 6

18. Секвенциальное (генценовское) исчисление
Секвенция F1, . . . , Fk → G1, . . . , Gl (списки как множества!).
Смысл:
i
Fi ⊃
j
Gj .
Аксиомы F → F, ослабление
Γ → ∆
F, Γ → G, ∆
.
Правила введения ∧, ∨, ¬:
Γ → F, ∆
Γ → F ∨ G, ∆
,
F, Γ → ∆ G, Γ → ∆
F ∨ G, Γ → ∆
,
F, Γ → ∆
Γ → ¬F, ∆
,
F, Γ → ∆
F ∧ G, Γ → ∆
,
Γ → F, ∆ Γ → G, ∆
Γ → F ∧ G, ∆
,
Γ → F, ∆
¬F, Γ → ∆
.
Правило сечения: F, Γ → ∆ Γ → F, ∆
Γ → ∆
.
Эквивалентны системам Фреге.
Сечение важно для длины вывода, но не для полноты.
Доказательство от противного очевидно преобразуется в прямое.5 / 6

19. Правило расширения
Разрешим вводить новые переменные: аксиома x ≡ F.
Фреге с правилом расширения ≡ резолюции с правилом расширения!
(Для резолюции: аксиомы (¬x ∨ a1 ∨ . . . ∨ ak) и (¬a1 ∨ x), . . . , (¬ak ∨ x).
6 / 6

20. Правило расширения
Разрешим вводить новые переменные: аксиома x ≡ F.
Фреге с правилом расширения ≡ резолюции с правилом расширения!
(Для резолюции: аксиомы (¬x ∨ a1 ∨ . . . ∨ ak) и (¬a1 ∨ x), . . . , (¬ak ∨ x).
Короткое доказательство принципа Дирихле:
доказываем по индукции (n + 1 → n → . . .), вводя новые переменные,
очередное m-е отображение селит m кроликов в m − 1 клеток;
тех, кто сидел, как надо (j < m), оставляем;
в клетку, где был (m + 1)-й, селим того, кто сидел в m-й клетке:
6 / 6

21. Правило расширения
Разрешим вводить новые переменные: аксиома x ≡ F.
Фреге с правилом расширения ≡ резолюции с правилом расширения!
(Для резолюции: аксиомы (¬x ∨ a1 ∨ . . . ∨ ak) и (¬a1 ∨ x), . . . , (¬ak ∨ x).
Короткое доказательство принципа Дирихле:
доказываем по индукции (n + 1 → n → . . .), вводя новые переменные,
очередное m-е отображение селит m кроликов в m − 1 клеток;
тех, кто сидел, как надо (j < m), оставляем;
в клетку, где был (m + 1)-й, селим того, кто сидел в m-й клетке:
q
(m)
i, j ≡ q
(m+1)
i, j ∨ (q
(m+1)
m+1, j ∧ q
(m+1)
i,m ),
q
(n+1)
i, j ≡ pi, j .
6 / 6