1. Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Черемшанский лицей»
Черемшанского муниципального района
Республики Татарстан
Показательная функция.
Решение
показательных
уравнений
Ермолаева Марина Викторовна ,
учитель математики высшей квалификационной категории
2013 год

2. Цели урока:
• углубление понимания сущности различных
методов решения показательных уравнений для
получения новых знаний;
• установление внутрипредметных связей;
• воспитание у учащихся культуры мышления;
• формирование умений осуществлять самоконтроль
и взаимоконтроль
• формирование умений анализировать,
устанавливать связи и отношения;
• формирование умений строить логическую цепочку
рассуждений;
• формирование умений проводить обобщение,
переносить знания в новую ситуацию;
• формирование навыков коллективной и
индивидуальной работы;

3. Функцию вида
у = а , а  0, а ≠1
х
называют показательной функцией

4. Основные свойства
а>1 0<а<1
а>1 0<а<1
D(f)=(-∞; +∞) D(f)=(-∞; +∞)
Е(f)=(0; +∞) Е(f)=(0; +∞)
Возрастает Убывает
Непрерывна Непрерывна
Ограничена снизу Ограничена снизу
Выпукла вниз Выпукла вниз
Дифференцируема Дифференцируема

5. Какие из перечисленных ниже
функций являются показательными
1) y = 2x;
2) y = x2 ;
3) y =(-3)x;
4) y =(√2 )x;
5) y = x;
6) y =(x - 2)3;
7) y = π x;
8) y = 3-x.

6. Какие из перечисленных показательных
функций являются возрастающими:
1)y = 5x;
2) y = (0,5)x;
3) y =(√ 2 )x;
4) y = 10x;
5) y = π x;
6) y= (⅔)x;
7) y =(14 cos(π /3))-x.

7. На каком из рисунков изображен график
функции:
А у у у
Б В
1
0 х 0 1 х
х 0
Г у Д у у
Е
1
0
0 х х 0 х
1
X
1 
1) у=  4  , 2) у=3х,
 

8. На рисунке изображены графики показательных
функций. Соотнесите график функции с формулой.
1) 2)
у = ( 2) − 1
х
у = ( 2)
х−1
3)
у = ( 2) + 1
х
4)
у = ( 2)
х+1

9. Назовите функцию, возрастающую (убывающую)
на множестве действительных чисел. Соотнесите
график с соответствующей формулой.
а)
б)
у = ( 3) х
у = (0,3) х

10. Укажите множество значений функции.
а) (5;
а )(5; ∞ ) б)(0; ∞ ) в)(−∞ ; ∞ ) г )(7; ∞)

11. Проверь себя
12
10
8
у=(1/2)х
у=3*х+10
6
4
2
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

12. 10
8
6
4
у=3х
у=2х+5
2
0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-2
-4
-6

13. Проверим правильность построения
графиков
у
у
1 у = 0,5х-1 1 у = 3х-4
0 х 0 4 х
-1

14. Показательные уравнения
Уравнения вида a f (x) = a g (x) (где а >0,
а ≠ 1) и уравнения, сводящиеся к этому виду
называются показательными.
Способы решения
показательных
уравнений
Простейшие показательные уравнения:
a = b (a = 1) .
Уравнения
f (x) f (x)
приводимые к
квадратным.
Уравнения вида Функционально –
f (x) g(x)
a = a . графический

15. 1. Простейшие
показательные уравнения
2 x -1 = 1024
Решение 2 x − 1 = 210 , x − 1 = 10, x = 11 .
Решить уравнения
2. 2 x =-3
Ответ : x = 11x = 5
1. 4
Решение x = log 5 .
Решение нет корней, т. к. 2 x >0
4
Ответ : x = log 5
2 x =-3 Ответ : нет корней 4
x -1 3. 2 = 1024
Решение 2 x − 1 = 210 , x − 1 = 10, x = 11 .
Решение нет корней, т. к. 2 x >0
Ответ : x = 11
Ответ : нет корней

16. Решите уравнения ( устно):
5 х
=25 2 ⋅2 х =64
⋅
 х=2 х =5
 7 х-2 =49  3 ⋅ 9 х =81
 х=4 ⋅
 х = 1,5
 4 х =1  5 х =7 х
х = 0  х=0
 5,7 х-3 = 1  3,4 х+2 =4,3 х+2
х = 3  х = -2

17. 2. Метод приведения к одному
основанию a f (x) = a g (x)
2 =3
0,5x 0,5x 4х+1 + 4х = 320
30,5x > 0 4х . 4 + 4х = 320
(2/3) 0,5x = 1 4х(4 + 1) = 320
0,5х = 0 4х = 64
х=0 4х = 4 3
Ответ: 0 х=3
Ответ: 3.

18. 2. Метод приведения к одному
основанию
Решить уравнение
2 x2 −6x−2,5 = 512
Решение
512 = 2⋅ 256 = 2⋅ 2 ⋅128 = 2 ⋅2 ⋅2 ⋅64 = 2⋅ 2⋅ 2 ⋅2 ⋅32 = 29
2 x2 −6x−2,5 = 29
9
2 x2 −6x−2,5 = 2 2
x 2 − 6x − 2,5 = 9
2
x 2 − 6x −7 = 0
D = 36 + 28 = 64
x = 6 + 8 =7
1 2
x = 6 −8 = −1
2 2
Ответ : x =7, x = −1
1 2

19. Уравнения приводимые к квадратным
9 х– 26⋅3 х– 27 = 0,
2 х
(3х) – 26 3 – 27 = 0,
х
Пусть 3 = t, t> 0, тогда:
t2– 26 t– 27 = 0,
а+с=b
t1 = - 1 не имеет смысла, т.к. t> 0.
t2= 27 Переходим к переменной х:
х
3 х= 27,
3
3=3,
х = 3.
Ответ: 3

20. 4 +2
sinx
-8=0
1+sinx
 22sinx+2∙2sinx-8=0,
2sinx =t, t>0.
t²+2t-8=0, t1=-4, t2=2.
t1=-4 не удовлетворяет условию t>0.
Вернемся к переменной х, получаем 2sinx
π
=2, sinx=1, х= + 2πn
.
π 2
Ответ: 2 + 2πn.

21. 3. Способ подстановки
Решить уравнение
3 ⋅5 2x−1 − 2 ⋅5 x−1 =0,2
Решение. Перепишем уравнение иначе :
3 ⋅(5 x )2 − 2 ⋅ 5 x = 0,2
5 5
Обозначим 5 x =t >0, тогда
3 t 2 − 2 ⋅t = 1 , т.е. 3 t 2 −2t −1 =0 .
5 5 5
Отсюда t =1, t =− 1 (не подходит).
1 2 3
Итак, 5 x =1; 5 x =50 , x =0.
Ответ : x =0

22. 4. Метод почленного деления
Решить уравнение
6 ⋅4 x −13 ⋅6 x +6 ⋅9 x =0
Решение. Уравнение имеет вид
6 ⋅ 2 2x −13 ⋅2 x ⋅3 x +6 ⋅32x =0.
Разделим обе части уравнения на 2 2x =4 x ≠0, получаем
x 2x
6 - 13 ⋅ x6 x +6 ⋅ 9 x =0 , т.е. 6 −13 ⋅ 3  +6 ⋅ 3  =0.
   
4 4 x 
2




2



x
3
 
Обозначим   =t >0. Имеем
2
 
6 t 2 −13t +6 =0 ⇒ t = 3 , t = 2 .
1 2 2 3
x x
3 3 и  3 =2 .

Получаем два уравнения   = 



2 2 2 3
   
Находим, что x =1, x =−1.
1 2
Ответ : x =1, x =−1
1 2

23. 5. Способ группировки
Решить уравнение
5 2x − x + = x + 2x −
4 1 4 5 1
Решение
5 2x − 2x − − x + − x =
5 1 4 1 4 0
5 2x (1 − − ) − x (4 + =
5 1 4 1) 0
4 ⋅ 2x = ⋅ x
5 5 4
5
4⋅ 25 x = ⋅ x
5 4
5
4 =4 x
25 25 x
x
4 = 4 

 
 
25 25 
 
x= 1
Ответ : x = 1

24. (3 -81)∙√1-х=0
х²
 Решение:
Произведение двух выражений равно нулю, если
хотя бы один из множителей равен нулю, а
другой при этом не теряет смысла.
1) 3х²-81=0, 3х²=34, х²=4, х=2 или х=-2.При х=2
подкоренное выражение отрицательно,
значит, число 2 не является корнем исходного
уравнения.
2) √1-х=0 при х=1.Это число является корнем
исходного уравнения, так как выражение 3х²-
81имеет смысл при любом х.
Ответ: -2; 1.

25. Решение уравнения 16 = 3 ? х
Y
16
у = 16
х
У=3
1
X

26. Методы решения
показательных уравнений
1. Простейшие показательные
уравнения.
2. Метод приведения к одному
основанию.
3. Способ подстановки.
4. Метод почленного деления.
5. Способ группировки.

27. Цели урока:
• углубление понимания сущности различных
методов решения показательных уравнений для
получения новых знаний;
• установление внутрипредметных связей;
• воспитание у учащихся культуры мышления;
• формирование умений осуществлять самоконтроль
и взаимоконтроль
• формирование умений анализировать,
устанавливать связи и отношения;
• формирование умений строить логическую цепочку
рассуждений;
• формирование умений проводить обобщение,
переносить знания в новую ситуацию;
• формирование навыков коллективной и
индивидуальной работы;