1. Мысли вслух
(о некоторых методических «хитростях»)
Для положительных чисел справедливо утверждение: среднее
арифметическое положительных чисел не меньше их среднего
геометрического. Это утверждение является неравенством Коши.
a 1 + a 2 + ... + a n n
≥ a 1 ⋅ a 2 ⋅ ... ⋅ a n .
n
Причем равенство выполняется в случае, если a 1 = a 2 = ... = a n .
Неравенство Коши активно используется для решения уравнений, для
решения и доказательства различных неравенств.
Пример 1. Решите уравнение 3
50x 6 + 225x 4 = 4x 2 + 3.
Решение.
50 x 6 + 225x 4 = 4 x 2 + 3. ⇔ 3 25x ⋅ ( 2x + 9 ) = 4x + 3. ⇔
3 4 2 2
⇔ 3 5x 2 ⋅ 5x 2 ⋅ ( 2x 2 + 9 ) = 4x 2 + 3.
На основании неравенства Коши для трех положительных чисел имеем:
5x 2 + 5x 2 + ( 2 x 2 + 9 )
⇔ 5x ⋅ 5x ⋅ ( 2 x + 9 ) ≤
3 2 2 2
= 4 x 2 + 3.
3
Итак, 3 5x 2 ⋅ 5x 2 ⋅ ( 2 x 2 + 9) ≤ 4x 2 + 3 ∀x ∈ R и равенство достигается в
случае, если 5x 2 = 5x 2 = 2x 2 + 9, то есть при x = − 3 или при x = 3.
{
Ответ: − 3; 3 . }
Примечание. Конечно данное уравнение можно представить в виде
уравнения шестой степени и «победоносно» довести до логического
завершения его решение.

2. Пример 2. Решите уравнение x 2 + x − 1 + x − x 2 + 1 = x 2 − x + 2.
Решение.
x 2 + x − 1 + x − x 2 + 1 = x 2 − x + 2.
( x 2 + x − 1) + 1 x 2 + x
Учтем, что x + x − 1 = ( x + x − 1) ⋅ 1 ≤
2 2
= и
2 2
x − x +1 =
2
(x − x 2
+ 1) ⋅ 1 ≤
(x − x 2
+ 1) + 1
=
x −x2 +2
.
2 2
Сложив почленно два этих неравенства, получим:
x2 +x +x −x2 +2
x + x −1 + x − x +1 ≤
2 2
= x + 1. Следовательно,
2
x 2 − x + 2 ≤ x + 1. ⇔ ( x − 1) 2 ≤ 0. ⇔ ( x − 1) 2 = 0. ⇔ x − 1 = 0. ⇔ x = 1.
Ответ: {1} .
36 4
Пример 3. Решите уравнение + + 4 x − 2 + y − 1 − 28 = 0.
x −2 y −1
Решение.
Учтем, что x ∈ ( 2;+∞ ) и y ∈ (1;+∞ ). Тогда сложив два очевидных неравенства
36 4
+ 4 x − 2 ≥ 24 и + y − 1 ≥ 4, получим
x −2 y −1
36 4
+ + 4 x − 2 + y − 1 ≥ 28, причем равенство возможно только
x −2 y −1
в случае, если имеет решение следующая система уравнений:
36 4
=4 x −2∧ = y − 1. Решая эту несложную систему,
x −2 y −1
получаем решение x = 11 и y = 5.
Ответ: ( 11;5 )}.
{