Документ описывает диофантовые уравнения, их определения и важные теоремы, связанные с перечислимыми и диофантовыми множествами. Обсуждаются гипотезы Martin Davis и их доказательства, а также возможности создания экспоненциально диофантового представления. Также рассматриваются регистровые машины и их инструкции, необходимые для выполнения программ.

1. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

2. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

3. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Часть 2. Десятая проблема Гильберта
Вторая лекция
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

4. Диофантовы уравнения
Определение. Диофантово уравнение имеет вид
M(x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами.

5. Диофантовы уравнения
Определение. Диофантово уравнение имеет вид
M(x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами.
Диофант искал решения в (положительных) рациональных
числах

6. Диофантовы уравнения
Определение. Диофантово уравнение имеет вид
M(x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами.
Диофант искал решения в (положительных) рациональных
числах
Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в
целых числах

7. Диофантовы уравнения
Определение. Диофантово уравнение имеет вид
M(x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами.
Диофант искал решения в (положительных) рациональных
числах
Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в
целых числах
Мы будем заниматься решением уравнений в натуральных
числах 0, 1, 2, . . .

8. Диофантовы уравнения
Определение. Диофантово уравнение имеет вид
M(x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами.
Диофант искал решения в (положительных) рациональных
числах
Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в
целых числах
Мы будем заниматься решением уравнений в натуральных
числах 0, 1, 2, . . .

9. Уравнения с параметрами
Семейство диофантовых уравнений имеет вид
M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные
которго разделены на две группы:

10. Уравнения с параметрами
Семейство диофантовых уравнений имеет вид
M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные
которго разделены на две группы:
параметры a1, . . . ,an;

11. Уравнения с параметрами
Семейство диофантовых уравнений имеет вид
M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные
которго разделены на две группы:
параметры a1, . . . ,an;
неизвестные x1, . . . ,xm.

12. Уравнения с параметрами
Семейство диофантовых уравнений имеет вид
M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные
которго разделены на две группы:
параметры a1, . . . ,an;
неизвестные x1, . . . ,xm.
Рассмотрим множество M такое, что
a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.

13. Уравнения с параметрами
Семейство диофантовых уравнений имеет вид
M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,
где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные
которго разделены на две группы:
параметры a1, . . . ,an;
неизвестные x1, . . . ,xm.
Рассмотрим множество M такое, что
a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.
Множества, имеющие такие представления называются
диофантовыми.

14. Перечислимые множества

15. Перечислимые множества
Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных
чисел называется перечислимым, если можно написать
программу R, такую что
R-a1, . . . , an -
остановка, если a1, . . . , an ∈ M
вечная работа в противном случае




16. Гипотеза Martin’a Davis’а

17. Гипотеза Martin’a Davis’а
Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является
перечислимым.

18. Гипотеза Martin’a Davis’а
Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является
перечислимым.
Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимое
множество является диофантовым.

19. Гипотеза Martin’a Davis’а
Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является
перечислимым.
Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимое
множество является диофантовым.
Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году.
DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество и
диофантово множество совпадают.

20. Гипотеза Martin’a Davis’а
Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является
перечислимым.
Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимое
множество является диофантовым.
Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году.
DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество и
диофантово множество совпадают.

21. DPRM-теорема
DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество и
диофантово множество совпадают.

22. DPRM-теорема
DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество и
диофантово множество совпадают.

23. DPRM-теорема
DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество и
диофантово множество совпадают.
Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных
чисел называется перечислимым, если можно написать
программу R, такую что
R-a1, . . . , an -
остановка, если a1, . . . , an ∈ M
вечная работа в противном случае




24. DPRM-теорема
DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество и
диофантово множество совпадают.
Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных
чисел называется перечислимым, если можно написать
программу R, такую что
R-a1, . . . , an -
остановка, если a1, . . . , an ∈ M
вечная работа в противном случае



a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}

25. An e-mail

26. An e-mail
Dear Professor,
you are wrong. I am a brilliant young programmer and
last night I wrote a sophisticated program in Java##.
My program solves Hilbert’s tenth problem in the
__positive__ sense. Namely, for every Diophantine
equation given as input, the program will print 1 or 0
depending on whether the equation has a solution or
not.
The attachment contains my ingenious program. You can
run it on your favorite Diophantine equations and see
how fast my program works.
Have a fun, Professor!

27. Первый шаг
Теорема (Martin Davis [1950]) Каждое перечислимое
множество M имеет "почти диофантово" представление
a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒
∃z∀y≤z∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm, y, z) = 0}.

28. DPR-теорема
Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных
чисел называется перечислимым, если можно написать
программу R, такую что
R-a1, . . . , an -
остановка, если a1, . . . , an ∈ M
вечная работа в противном случае




29. DPR-теорема
Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных
чисел называется перечислимым, если можно написать
программу R, такую что
R-a1, . . . , an -
остановка, если a1, . . . , an ∈ M
вечная работа в противном случае



Теорема (Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson
[1961]). Для каждого перечислимого множества можно
построить его экспоненциально диофантово представление:
a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒
∃x1 . . . xm{EL(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = ER(a1, . . . , an, x1, . . . , xm)}
где EL и ER – выражения, построенные по традиционным пра-
вилам из переменных и конкретных натуральных чисел с по-
мощью операций сложения, умножения и возведения в степень.

30. DPR-теорема
Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных
чисел называется перечислимым, если можно написать
программу R, такую что
R-a1, . . . , an -
остановка, если a1, . . . , an ∈ M
вечная работа в противном случае



Теорема (Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson
[1961]). Для каждого перечислимого множества можно
построить его экспоненциально диофантово представление:
a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒
∃x1 . . . xm{EL(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = ER(a1, . . . , an, x1, . . . , xm)}
где EL и ER – выражения, построенные по традиционным пра-
вилам из переменных и конкретных натуральных чисел с по-
мощью операций сложения, умножения и возведения в степень.

31. Регистровые машины

32. Регистровые машины
Регистровая машина имеет конечное количество регистров
R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно
большое натуральное число.

33. Регистровые машины
Регистровая машина имеет конечное количество регистров
R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно
большое натуральное число. Машина выполняет программу
состоящую из конечного числа инструкций снабженных
метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с
меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk.

34. Регистровые машины
Регистровая машина имеет конечное количество регистров
R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно
большое натуральное число. Машина выполняет программу
состоящую из конечного числа инструкций снабженных
метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с
меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk.
Инструкции бывают трёх типов:

35. Регистровые машины
Регистровая машина имеет конечное количество регистров
R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно
большое натуральное число. Машина выполняет программу
состоящую из конечного числа инструкций снабженных
метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с
меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk.
Инструкции бывают трёх типов:
I. Sk: R + +;Si

36. Регистровые машины
Регистровая машина имеет конечное количество регистров
R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно
большое натуральное число. Машина выполняет программу
состоящую из конечного числа инструкций снабженных
метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с
меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk.
Инструкции бывают трёх типов:
I. Sk: R + +;Si
II. Sk: R − −; Si;Sj

37. Регистровые машины
Регистровая машина имеет конечное количество регистров
R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно
большое натуральное число. Машина выполняет программу
состоящую из конечного числа инструкций снабженных
метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с
меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk.
Инструкции бывают трёх типов:
I. Sk: R + +;Si
II. Sk: R − −; Si;Sj
III. Sk: STOP

38. Регистровые машины
Регистровая машина имеет конечное количество регистров
R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно
большое натуральное число. Машина выполняет программу
состоящую из конечного числа инструкций снабженных
метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с
меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk.
Инструкции бывают трёх типов:
I. Sk: R + +;Si
II. Sk: R − −; Si;Sj
III. Sk: STOP
Lambek [1961], Melzak [1961], Minsky [1961], Minsky [1967],
Shepherdson и Sturgis [1963]

39. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP

40. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
Начальное состояние S1

41. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
Начальное состояние S1
Начальное содержимое регистров R1=a, R2=0

42. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
Начальное состояние S1
Начальное содержимое регистров R1=a, R2=0
В каком случае машина остановится?

43. Протокол

44. Протокол
q . . . t + 1 t . . . 0
S1 s1,q . . . s1,t+1 s1,t . . . s1,0
...
...
...
...
...
...
...
Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0
...
...
...
...
...
...
...
Sm sm,q . . . sm,t+1 sm,t . . . sm,0
sk,t =
1, если на шаге t машина была в состоянии k
0 в противном случае

45. Протокол
q . . . t + 1 t . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0
...
...
...
...
...
...
...
R1 r1,q . . . r1,t+1 r1,t . . . r1,0
...
...
...
...
...
...
...
R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0
...
...
...
...
...
...
...
Rn rn,q . . . rn,t+1 rn,t . . . rn,0
r ,t – это содержимое -го регистра на шаге t

46. Протокол
q . . . t + 1 t . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0
...
...
...
...
...
...
...
Z1 z1,q . . . z1,t+1 z1,t . . . z1,0
...
...
...
...
...
...
...
Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0
...
...
...
...
...
...
...
Zn zn,q . . . zn,t+1 zn,t . . . zn,0
z ,t =
1, если r ,t > 0
0 в противном случае

47. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP

48. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 =

49. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t

50. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t

51. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t

52. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t

53. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t

54. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t

55. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t

56. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 =

57. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t

58. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t

59. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

60. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 =

61. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t

62. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 =

63. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t

64. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 =

65. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t

66. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t

67. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 =

68. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t

69. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 =

70. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t

71. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t
s6,t+1 =

72. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t
s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t

73. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t
s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t

74. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t
s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 =

75. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t
s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

76. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t
s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t
s8,t+1 =

77. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t
s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t
s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t

78. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t
s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t
s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t

79. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t
s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t
s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 =

80. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t
s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t
s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t

81. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t
s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t
s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t
s1,0 =

82. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t
s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t
s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t
s1,0 = 1

83. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t
s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t
s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t
s1,0 = 1 s2,0 = · · · = s9,0 = 0

84. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t
s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t
s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t
s1,0 = 1 s2,0 = · · · = s9,0 = 0
r1,0 =

85. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t
s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t
s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t
s1,0 = 1 s2,0 = · · · = s9,0 = 0
r1,0 = a

86. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t
s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t
s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t
s1,0 = 1 s2,0 = · · · = s9,0 = 0
r1,0 = a r2,0 = 0

87. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t
s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t
s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t
s1,0 = 1 s2,0 = · · · = s9,0 = 0
r1,0 = a r2,0 = 0
s9,q = 1

88. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t
s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t
s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t
s1,0 = 1 s2,0 = · · · = s9,0 = 0
r1,0 = a r2,0 = 0
s9,q = 1 s1,q = · · · = s8,q = 0

89. Пример
S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6
S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8
S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t
s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t
s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t
s1,0 = 1 s2,0 = · · · = s9,0 = 0
r1,0 = a r2,0 = 0
s9,q = 1 s1,q = · · · = s8,q = 0

90. Новые значения регистров
r ,t+1 = r ,t + +
sk,t − −
z ,tsk,t

91. Новые значения регистров
r ,t+1 = r ,t + +
sk,t − −
z ,tsk,t
где +
-суммирование ведется по всем инструкциям вида
Sk : R + +; Si,

92. Новые значения регистров
r ,t+1 = r ,t + +
sk,t − −
z ,tsk,t
где +
-суммирование ведется по всем инструкциям вида
Sk : R + +; Si,
а −
-суммирование – по всем инструкциям вида
Sk : R − −; Si; Sj.

93. Новые состояния
sd,t+1 = +
d sk,t + −
d z ,tsk,t + 0
d (1 − z ,t)sk,t

94. Новые состояния
sd,t+1 = +
d sk,t + −
d z ,tsk,t + 0
d (1 − z ,t)sk,t
где +
d -суммирование ведется по всем инструкциям вида
Sk : R + +; Sd,

95. Новые состояния
sd,t+1 = +
d sk,t + −
d z ,tsk,t + 0
d (1 − z ,t)sk,t
где +
d -суммирование ведется по всем инструкциям вида
Sk : R + +; Sd,
−
d -суммирование ведется по всем инструкциям вида
Sk : R − −; Sd; Sj,

96. Новые состояния
sd,t+1 = +
d sk,t + −
d z ,tsk,t + 0
d (1 − z ,t)sk,t
где +
d -суммирование ведется по всем инструкциям вида
Sk : R + +; Sd,
−
d -суммирование ведется по всем инструкциям вида
Sk : R − −; Sd; Sj,
а 0
d -суммирование – по всем инструкциям вида
Sk : R − −; Si; Sd.

97. Начальные значения

98. Начальные значения
Всегда начинаем в состоянии S1:
s1,0 = 1,
s2,0 = · · · = sm,0 = 0.

99. Начальные значения
Всегда начинаем в состоянии S1:
s1,0 = 1,
s2,0 = · · · = sm,0 = 0.
(Единственная) входная величина a помещается в регистр R1:
r1,0 = a,

100. Начальные значения
Всегда начинаем в состоянии S1:
s1,0 = 1,
s2,0 = · · · = sm,0 = 0.
(Единственная) входная величина a помещается в регистр R1:
r1,0 = a,
все остальные регистры пусты:
r2,0 = · · · = rn,0 = 0.

101. Остановка
Sm является единственной командой STOP:
sm,q = 1,
s1,q = · · · = sm−1,q = 0.
При остановке все регистры пусты:
r1,q = · · · = rn,q = 0.

102. Протокол
q . . . t + 1 t . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0
...
...
...
...
...
...
...

103. Протокол
q . . . t + 1 t . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 sk = q
t=0 sk,tbt
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0
...
...
...
...
...
...
...

104. Протокол
q . . . t + 1 t . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 = sk = q
t=0 sk,tbt
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0
...
...
...
...
...
...
...

105. Протокол
q . . . t + 1 t . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 = sk = q
t=0 sk,tbt
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 = r = q
t=0 r ,tbt
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0
...
...
...
...
...
...
...

106. Протокол
q . . . t + 1 t . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 = sk = q
t=0 sk,tbt
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 = r = q
t=0 r ,tbt
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 = z = q
t=0 z ,tbt
...
...
...
...
...
...
...

107. Протокол
q . . . t + 1 t . . . 0 b = 2c+1
...
...
...
...
...
...
...
Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 = sk = q
t=0 sk,tbt
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 = r = q
t=0 r ,tbt
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 = z = q
t=0 z ,tbt
...
...
...
...
...
...
...

108. Поразрядное умножение
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k

109. Поразрядное умножение
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
a & b =
∞
k=0
akbk2k

110. Новые значения регистров
sk =
q
t=0
sk,tbt
r =
q
t=0
r ,tbt
z =
q
t=0
z ,tbt
r ,t+1 = r ,t + +
sk,t − −
z ,tsk,t

111. Новые значения регистров
sk =
q
t=0
sk,tbt
r =
q
t=0
r ,tbt
z =
q
t=0
z ,tbt
r ,t+1 = r ,t + +
sk,t − −
z ,tsk,t

112. Новые значения регистров
sk =
q
t=0
sk,tbt
r =
q
t=0
r ,tbt
z =
q
t=0
z ,tbt
r ,t+1 = r ,t + +
sk,t − −
z ,tsk,t

113. Новые значения регистров
sk =
q
t=0
sk,tbt
r =
q
t=0
r ,tbt
z =
q
t=0
z ,tbt
r ,t+1 = r ,t + +
sk,t − −
z ,tsk,t

114. Новые значения регистров
sk =
q
t=0
sk,tbt
r =
q
t=0
r ,tbt
z =
q
t=0
z ,tbt
r ,t+1bt+1
= r ,tbt+1
+ +
sk,tbt+1
− −
z ,tsk,tbt+1

115. Новые значения регистров
sk =
q
t=0
sk,tbt
r =
q
t=0
r ,tbt
z =
q
t=0
z ,tbt
q−1
t=0
r ,t+1bt+1
=
q−1
t=0
r ,tbt+1
+ +
sk,tbt+1
− −
z ,tsk,tbt+1

116. Новые значения регистров
sk =
q
t=0
sk,tbt
r =
q
t=0
r ,tbt
z =
q
t=0
z ,tbt
q−1
t=0
r ,t+1bt+1
=
q−1
t=0
r ,tbt+1
+ +
sk,tbt+1
− −
z ,tsk,tbt+1

117. Новые значения регистров
sk =
q
t=0
sk,tbt
r =
q
t=0
r ,tbt
z =
q
t=0
z ,tbt
q−1
t=0
r ,t+1bt+1
=
q−1
t=0
r ,tbt+1
+ +
sk,tbt+1
− −
z ,tsk,tbt+1
r − r ,0 = br + b +
sk − b −
(z & sk)

118. Новые значения регистров
sk =
q
t=0
sk,tbt
r =
q
t=0
r ,tbt
z =
q
t=0
z ,tbt
q−1
t=0
r ,t+1bt+1
=
q−1
t=0
r ,tbt+1
+ +
sk,tbt+1
− −
z ,tsk,tbt+1
r − r ,0 = br + b +
sk − b −
(z & sk)
r1 − a = br1 + b +
sk − b −
(z & sk)
r = br + b +
sk − b −
(z & sk), = 2, . . . , n

119. Новые состояния
sk =
q
t=0
sk,tbt
z =
q
t=0
z ,tbt
sd,t+1 =
= +
d sk,t + −
d z ,tsk,t + 0
d (1 − z ,t)sk,t

120. Новые состояния
sk =
q
t=0
sk,tbt
z =
q
t=0
z ,tbt
sd,t+1 =
= +
d sk,t + −
d z ,tsk,t + 0
d (1 − z ,t)sk,t

121. Новые состояния
sk =
q
t=0
sk,tbt
z =
q
t=0
z ,tbt
sd,t+1 =
= +
d sk,t + −
d z ,tsk,t + 0
d (1 − z ,t)sk,t

122. Новые состояния
sk =
q
t=0
sk,tbt
z =
q
t=0
z ,tbt
sd,t+1 =
= +
d sk,t + −
d z ,tsk,t + 0
d (1 − z ,t)sk,t

123. Новые состояния
sk =
q
t=0
sk,tbt
z =
q
t=0
z ,tbt
sd,t+1bt+1
=
= +
d sk,tbt+1
+ −
d z ,tsk,tbt+1
+ 0
d (1 − z ,t)sk,tbt+1

124. Новые состояния
sk =
q
t=0
sk,tbt
z =
q
t=0
z ,tbt
q−1
t=0
sd,t+1bt+1
=
=
q−1
t=0
+
d sk,tbt+1
+ −
d z ,tsk,tbt+1
+ 0
d (1 − z ,t)sk,tbt+1

125. Новые состояния
sk =
q
t=0
sk,tbt
z =
q
t=0
z ,tbt
q−1
t=0
sd,t+1bt+1
=
=
q−1
t=0
+
d sk,tbt+1
+ −
d z ,tsk,tbt+1
+ 0
d (1 − z ,t)sk,tbt+1

126. Новые состояния
sk =
q
t=0
sk,tbt
z =
q
t=0
z ,tbt
q−1
t=0
sd,t+1bt+1
=
=
q−1
t=0
+
d sk,tbt+1
+ −
d z ,tsk,tbt+1
+ 0
d (1 − z ,t)sk,tbt+1
sd − sd,0 = b +
d sk + b +
d (z & sk) + b 0
d ((e − z ) & sk)

127. Новые состояния
sk =
q
t=0
sk,tbt
z =
q
t=0
z ,tbt
q−1
t=0
sd,t+1bt+1
=
=
q−1
t=0
+
d sk,tbt+1
+ −
d z ,tsk,tbt+1
+ 0
d (1 − z ,t)sk,tbt+1
sd − sd,0 = b +
d sk + b +
d (z & sk) + b 0
d ((e − z ) & sk)
e =
q−1
t=0
1 · bt+1
=
bq − 1
b − 1

128. Индикаторы нуля
z ,t =
0, если r ,t = 0
1 в противном случае

129. Индикаторы нуля
z ,t =
0, если r ,t = 0
1 в противном случае
b = 2c+1
r ,t ≤ 2c
− 1

130. Индикаторы нуля
z ,t =
0, если r ,t = 0
1 в противном случае
b = 2c+1
r ,t ≤ 2c
− 1 = 01 . . . 1

131. Индикаторы нуля
z ,t =
0, если r ,t = 0
1 в противном случае
b = 2c+1
r ,t ≤ 2c
− 1 = 01 . . . 1
2c
− 1 + r ,t =

132. Индикаторы нуля
z ,t =
0, если r ,t = 0
1 в противном случае
b = 2c+1
r ,t ≤ 2c
− 1 = 01 . . . 1
2c
− 1 + r ,t =
01 . . . 1, если r ,t = 0
1 ∗ · · · ∗ в противном случае

133. Индикаторы нуля
z ,t =
0, если r ,t = 0
1 в противном случае
b = 2c+1
r ,t ≤ 2c
− 1 = 01 . . . 1
2c
− 1 + r ,t =
01 . . . 1, если r ,t = 0
1 ∗ · · · ∗ в противном случае
2c
& (2c
− 1 + r ,t) = 2c
z ,t

134. Индикаторы нуля
z ,t =
0, если r ,t = 0
1 в противном случае
b = 2c+1
r ,t ≤ 2c
− 1 = 01 . . . 1
2c
− 1 + r ,t =
01 . . . 1, если r ,t = 0
1 ∗ · · · ∗ в противном случае
2c
& (2c
− 1 + r ,t) = 2c
z ,t
q
t=0
(2c
& (2c
− 1 + r ,t))bt
=
q
t=0
2c
z ,tbt

135. Индикаторы нуля
z ,t =
0, если r ,t = 0
1 в противном случае
b = 2c+1
r ,t ≤ 2c
− 1 = 01 . . . 1
2c
− 1 + r ,t =
01 . . . 1, если r ,t = 0
1 ∗ · · · ∗ в противном случае
2c
& (2c
− 1 + r ,t) = 2c
z ,t
q
t=0
(2c
& (2c
− 1 + r ,t))bt
=
q
t=0
2c
z ,tbt
2c
f & ((2c
− 1)f + r ) = 2c
z f =
q
t=0
1 · bt
=
bq+1 − 1
b − 1

136. Выбор c
r ,t < b

137. Выбор c
r ,t < b = 2c+1

138. Выбор c
r ,t < b = 2c+1
r ,t ≤ 2c
− 1 = 01 . . . 1
2c
− 1 + r ,t =
01 . . . 1, если r ,t = 0
1 ∗ · · · ∗ в противном случае

139. Выбор c
r ,t < b = 2c+1
r ,t ≤ 2c
− 1 = 01 . . . 1
2c
− 1 + r ,t =
01 . . . 1, если r ,t = 0
1 ∗ · · · ∗ в противном случае

140. Выбор c
r ,t < b = 2c+1
r ,t ≤ 2c
− 1 = 01 . . . 1
2c
− 1 + r ,t =
01 . . . 1, если r ,t = 0
1 ∗ · · · ∗ в противном случае
2c
& r ,t = 0

141. Выбор c
r ,t < b = 2c+1
r ,t ≤ 2c
− 1 = 01 . . . 1
2c
− 1 + r ,t =
01 . . . 1, если r ,t = 0
1 ∗ · · · ∗ в противном случае
2c
& r ,t = 0

142. Выбор c
r ,t < b = 2c+1
r ,t ≤ 2c
− 1 = 01 . . . 1
2c
− 1 + r ,t =
01 . . . 1, если r ,t = 0
1 ∗ · · · ∗ в противном случае
2c
& r ,t = 0

143. Выбор c
r ,t < b = 2c+1
r ,t ≤ 2c
− 1 = 01 . . . 1
2c
− 1 + r ,t =
01 . . . 1, если r ,t = 0
1 ∗ · · · ∗ в противном случае
q
t=0
(2c
& r ,t)bt
= 0

144. Выбор c
r ,t < b = 2c+1
r ,t ≤ 2c
− 1 = 01 . . . 1
2c
− 1 + r ,t =
01 . . . 1, если r ,t = 0
1 ∗ · · · ∗ в противном случае
q
t=0
(2c
& r ,t)bt
= 0
2c
f & r = 0 f =
q
t=0
1 · bt+1
=
bq+1 − 1
b − 1

145. Все условия

146. Все условия
b = 2c+1

147. Все условия
b = 2c+1
r − r ,0 = br + b +
sk − b −
(z & sk)

148. Все условия
b = 2c+1
r − r ,0 = br + b +
sk − b −
(z & sk)
sd − sd,0 = b +
d sk + b +
d (z & sk) + b 0
d ((e − z ) & sk)

149. Все условия
b = 2c+1
r − r ,0 = br + b +
sk − b −
(z & sk)
sd − sd,0 = b +
d sk + b +
d (z & sk) + b 0
d ((e − z ) & sk)
e =
bq − 1
b − 1

150. Все условия
b = 2c+1
r − r ,0 = br + b +
sk − b −
(z & sk)
sd − sd,0 = b +
d sk + b +
d (z & sk) + b 0
d ((e − z ) & sk)
e =
bq − 1
b − 1
2c
f & ((2c
− 1)f + r ) = 2c
z f =
bq+1 − 1
b − 1

151. Все условия
b = 2c+1
r − r ,0 = br + b +
sk − b −
(z & sk)
sd − sd,0 = b +
d sk + b +
d (z & sk) + b 0
d ((e − z ) & sk)
e =
bq − 1
b − 1
2c
f & ((2c
− 1)f + r ) = 2c
z f =
bq+1 − 1
b − 1
2c
f & r = 0

152. Все условия
b = 2c+1
r − r ,0 = br + b +
sk − b −
(z & sk)
sd − sd,0 = b +
d sk + b +
d (z & sk) + b 0
d ((e − z ) & sk)
e =
bq − 1
b − 1
2c
f & ((2c
− 1)f + r ) = 2c
z f =
bq+1 − 1
b − 1
2c
f & r = 0 sm = bq